Algebralise materjali uurimise metoodika matemaatika algkursusel. Algebraline materjal algklasside matemaatikakursusel ja selle õppimise meetodid
"Algebralise materjali õppimine põhikoolis"
Esitab kõrgeima kategooria õpetaja Averyakova N.N.
Sissejuhatus.
1. peatükk. Algebralise materjali õppimise üldteoreetilised aspektid algkoolis.
1.1.Algebra elementide juurutamise kogemus algklassides.
1.2. Algebraliste mõistete juurutamise psühholoogiline alus põhikoolis.
1.3. Algebramõistete tekkeprobleem ja selle tähendus õppeaine konstrueerimisel.
2.1. Õppetöö algkoolis keskkooli vajaduste seisukohalt.
2.2. Mõistete võrdlemine (kontrasteerimine) matemaatikatundides.
2.3. Liitmise ja lahutamise, korrutamise ja jagamise ühisõpe.
3. peatükk. Uurimine algebralise materjali õppimisest matemaatikatundides 72. kooli algklassides.
3.1. Põhjendus uuenduslike tehnoloogiate (UDE tehnoloogia) kasutamiseks.
3.2. Algebraliste mõistetega tutvumise kogemusest.
3.3.Matemaatika õpitulemuste diagnostika.
Järeldus.
Bibliograafiline loetelu.
Sissejuhatus
Igal juhul kaasaegne süsteemÜldhariduses on ühel kesksel kohal matemaatika, mis kahtlemata räägib selle teadmusvaldkonna ainulaadsusest.
Mis on kaasaegne matemaatika? Miks seda vaja on? Neid ja sarnaseid küsimusi esitavad lapsed sageli õpetajatele. Ja iga kord on vastus erinev, sõltuvalt lapse arengutasemest ja tema haridusvajadustest.
Sageli öeldakse, et matemaatika on tänapäeva teaduse keel. Siiski tundub, et sellel väitel on märkimisväärne puudus. Matemaatika keel on nii laialt levinud ja nii sageli tõhus just seetõttu, et matemaatikat ei saa sellele taandada.
Silmapaistev vene matemaatik A. N. Kolmogorov kirjutas: „Matemaatika pole ainult üks keeltest. Matemaatika on keel pluss arutluskäik, see on nagu keel ja loogika koos. Matemaatika on mõtlemise tööriist. See sisaldab paljude inimeste täpse mõtlemise tulemusi. Matemaatika abil saab üht arutluskäiku teisega seostada... Looduse näiline keerukus oma kummaliste seaduste ja reeglitega, millest igaüks annab väga üksikasjaliku eraldi seletuse, on tegelikult omavahel tihedalt seotud. Kui aga matemaatikat kasutada ei taha, siis selles tohutus faktide mitmekesisuses sa ei näe, et loogika lubab liikuda ühelt teisele.“ (lk 44 – (12))
Seega võimaldab matemaatika kujundada teatud mõtlemisvorme, mis on vajalikud meid ümbritseva maailma uurimiseks.
Meie haridussüsteem on üles ehitatud nii, et kool annab paljudele ainsa võimaluse liituda matemaatilise kultuuriga ja omandada matemaatikas sisalduvaid väärtusi.
Milline on matemaatika üldiselt ja koolimatemaatika konkreetselt mõju loova isiksuse kasvamisele? Ülesannete lahendamise kunsti õpetamine matemaatikatundides annab meile äärmiselt soodsa võimaluse õpilastes teatud mõtteviisi kujundamiseks. Vajadus uurimistegevuse järele arendab huvi mustrite vastu ning õpetab nägema inimmõtte ilu ja harmooniat. Kõik see on kõige olulisem element üldine kultuur. Matemaatikakursusel on kujunemisel oluline mõju erinevaid vorme mõtlemine: loogiline, ruumigeomeetriline, algoritmiline. Ükskõik milline loominguline protsess algab hüpoteesi püstitamisest. Matemaatika, mis on sobiva õppekorraldusega hea kool hüpoteeside püstitamiseks ja kontrollimiseks, õpetab võrdlema erinevaid hüpoteese, leidma parimat varianti, püstitama uusi probleeme ja otsima võimalusi nende lahendamiseks. Inimmõtlemise võimalusi maksimeerides on matemaatika kõrgeim saavutus.
Matemaatikakursus (ilma geomeetriata) jaguneb tegelikult 3 põhiossa: aritmeetika (1.-5. klass), algebra (6. klass), analüüsi elemendid (9.-11. klass). Igal osal on oma spetsiaalne "tehnoloogia". Seega seostatakse seda aritmeetikas näiteks mitmekohaliste arvude arvutustega, algebras - identsete teisendustega, logaritmimisega, analüüsis - diferentseerimisega. Millised on aga sügavamad põhjused, mis on seotud iga osa kontseptuaalse sisuga? Järgmine küsimus puudutab kooliaritmeetika ja algebra eristamise aluseid. Aritmeetika hõlmab uuringut naturaalarvud(positiivsed täisarvud) ja murrud (liht- ja kümnendarvud). Spetsiaalne analüüs näitab aga, et seda tüüpi numbrite kombineerimine ühes kooliaines on ebaseaduslik. Fakt on see, et neil numbritel on erinevad funktsioonid: esimene on seotud objektide loendamisega, teine suuruste mõõtmisega. Suuruste mõõtmise seisukohalt, nagu märkis A. N. Kolmogorov, „ratsionaalsete ja irratsionaalsete reaalarvude vahel nii sügavat erinevust pole. Pedagoogilistel põhjustel on vaja peatuda ratsionaalsetel arvudel, kuna neid on lihtne murdudena kirjutada, kuid nende algusest peale antud kasutamine peaks viima koheselt reaalarvudeni kogu nende üldistuses” (12) -lk 9). Nii et on olemas reaalne võimalus naturaalarvude (täisarvude) põhjal moodustavad kohe “kõige üldisema arvu mõiste” (A. Lebesgue’i terminoloogias), reaalarvu mõiste. Kuid programmi ülesehituse seisukohalt ei tähenda see ei rohkemat ega vähemat kui murdosa aritmeetika kaotamist selle koolitõlgenduses. Üleminek täisarvudelt reaalarvudele on üleminek aritmeetikalt algebrale, analüüsi aluse loomisele. Need enam kui 30 aastat tagasi väljendatud ideed on aktuaalsed ka tänapäeval. Kas selles suunas on võimalik muuta matemaatika õpetamise struktuuri algklassides? Millised on algebraseerimise eelised ja puudused matemaatika algõpetuses? Selle töö eesmärk on püüda vastata esitatud küsimustele.
Selle eesmärgi saavutamine nõuab järgmiste ülesannete lahendamist:
Algebraliste suurus- ja arvumõistete juurutamise üldteoreetiliste aspektide arvestamine algkoolis;
Konkreetsete meetodite uurimine nende mõistete õpetamiseks algkoolis;
Näidata käsitletavate sätete praktilist rakendatavust algkoolis 72. keskkooli matemaatikatundides õpetaja N. N. Averjakova poolt.
PEATÜKK 1. ALGEBRAAMATERJALI ÕPPIMISE ÜLDTEOREETILISED ASPEKTID ALGKOOLIS.
- ALGEBRAELEMENTIDE TUTVUSTAMISE KOGEMUS ALGKOOLIS.
Akadeemilise aine sisu sõltub paljudest teguritest - elu nõudmistest õpilaste teadmistele, vastavate teaduste tasemest, laste vaimsetest ja füüsilistest vanusega seotud võimetest. Nende tegurite õige arvestamine on kooliõpilaste tõhusaima hariduse ja nende kognitiivsete võimete laiendamise oluline tingimus. Kuid mõnikord ei ole see tingimus mitmel põhjusel täidetud. Tundub, et praegu on osade õppeainete, sh. matemaatika, ei vasta uutele elunõuetele, kaasaegsete teaduste tasemele ning arengupsühholoogia ja -loogika uutele andmetele. See asjaolu tingib vajaduse õppeainete uue sisuga seotud võimalike projektide teoreetilise ja eksperimentaalse testimise järele. Matemaatikaoskustele pannakse alus põhikoolis. Kuid kahjuks pööravad nii matemaatikud ise, metoodikud kui ka psühholoogid sisule väga vähe tähelepanu elementaarne matemaatika. Piisab, kui öelda, et matemaatikaprogramm algkoolis (1-4) kujunes oma põhijoontes välja 50-60 aastat tagasi ja peegeldab loomulikult tolleaegset matemaatika, metodoloogia ja psühholoogia ideede süsteemi.
Vaatleme riigistandardi iseloomulikke jooni matemaatikas. Selle põhisisu on täisarvud ja tehted nendega, mida uuritakse teatud järjestuses. Lisaks hõlmab programm meetermõõdustiku ja ajamõõtude uurimist, oskust neid mõõtmiseks kasutada, visuaalse geomeetria mõningate elementide tundmist - ristküliku, ruudu joonistamist, segmentide, pindalade mõõtmist, mahtude arvutamist. Õpilased peavad omandatud teadmisi ja oskusi rakendama ülesannete lahendamisel ja lihtsate arvutuste tegemisel. Kogu kursuse vältel toimub probleemide lahendamine paralleelselt arvude ja tehtete õppimisega – selleks on eraldatud pool sobivast ajast. Ülesannete lahendamine aitab õpilastel mõista toimingu konkreetset tähendust, mõista nende rakendamise erinevaid juhtumeid, luua seoseid suuruste vahel ning omandada analüüsi ja sünteesi põhioskused. 1.–4. klassis lahendavad lapsed järgmisi põhitüüpi ülesandeid (liht- ja liitülesandeid): summa ja jäägi leidmine, korrutis ja jagatis, etteantud arvude suurendamine ja vähendamine, erinevus ja mitmekordne võrdlus, lihtne kolmikreegel, proportsionaalne jagamine, ülesande leidmine. tundmatu kahe erinevuse ja muud tüüpi probleemide tõttu. KOOS erinevad tüübid lapsed puutuvad ülesannete lahendamisel kokku suuruste sõltuvustega. Kuid üsna tavaliselt tekivad õpilastel probleemid pärast numbreid õppimist ja nende õppimisel; Peamine, mida lahendamisel nõutakse, on numbrilise vastuse leidmine. Lastel on suuri raskusi kvantitatiivsete seoste omaduste tuvastamisega konkreetsetes konkreetsetes olukordades, mida tavaliselt peetakse aritmeetilisteks probleemideks. Praktika näitab, et arvudega manipuleerimine asendab sageli ülesande tingimuste tegelikku analüüsi reaalsuuruste sõltuvuste vaatenurgast. Veelgi enam, õpikutes esitatud probleemid ei esinda süsteeme, milles "keerulisemad" olukorrad oleksid seotud kvantitatiivsete seoste "sügavamate" kihtidega. Sama raskusastmega ülesandeid võib leida nii õpiku algusest kui lõpust. Need muutuvad sektsioonide ja klasside lõikes süžee keerukuse (toimingute arv suureneb), arvude järjestuse (kümnelt miljardini), füüsiliste sõltuvuste keerukuse (jaotusprobleemidest liikumiseni) poolest. probleemid) ja muud parameetrid. Ainult üks parameeter – süvenemine matemaatiliste seaduste süsteemi endasse – avaldub neis nõrgalt ja ebaselgelt. Seetõttu on väga raske määrata konkreetse ülesande matemaatilise raskusastme kriteeriumi. Miks on kahe erinevuse hulgast tundmatu leidmise ja aritmeetilise keskmise leidmise ülesanded keerulisemad kui erinevuse ja mitmekordse võrdluse ülesanded? Tehnika ei vasta sellele küsimusele.
Seega õpilased algklassid ei saa piisavaid, täielikke teadmisi koguste ja üldised omadused ah koguseid ei arvuteooria elemente õppides, sest koolikursusel seostuvad need eelkõige arvutustehnikaga ega ka ülesannete lahendamisel, sest viimastel puudub vastav vorm ja vajalik süsteem. Metoodikute katsed õpetamismeetodeid täiustada, kuigi need viivad osalise eduni, ei muuda asjade üldist seisu, kuna neid piirab eelnevalt aktsepteeritud sisu raamistik.
Tundub, et vastuvõetud aritmeetilise programmi kriitiline analüüs peaks põhinema järgmistel sätetel:
Arvu mõiste ei ole identne objektide kvantitatiivsete omaduste mõistega;
Arv ei ole kvantitatiivsete suhete väljendamise algvorm.
Põhjendagem neid sätteid. On hästi teada, et kaasaegne matemaatika (eriti algebra) uurib kvantitatiivsete seoste aspekte, millel pole arvulist kesta. Samuti on hästi teada, et mõned kvantitatiivsed seosed on üsna väljendatavad ilma arvudeta ja arvude ees, näiteks segmentides, mahtudes jne (seos “rohkem”, “vähem”, “võrdne”). Esialgsete matemaatiliste mõistete esitamine tänapäevastes käsiraamatutes toimub sellises sümboolikas, mis ei pruugi eeldada objektide väljendamist numbritega. Nii on E.G. Gonini raamatus “Teoreetiline aritmeetika” põhilised matemaatilised objektid algusest peale tähistatud tähtede ja erimärkidega. Iseloomulik on see, et teatud tüüpi arvud ja arvulised sõltuvused on toodud vaid näidetena, hulkade omaduste illustratsioonidena, mitte aga nende ainsa võimaliku ja ainsa olemasoleva väljendusvormina. Tähelepanuväärne on, et paljud üksikute matemaatiliste definitsioonide illustratsioonid on esitatud graafilisel kujul, segmentide ja alade suhte kaudu. Hulkade ja suuruste kõiki põhiomadusi saab tuletada ja põhjendada ilma arvsüsteeme kaasamata; Veelgi enam, viimased saavad ise õigustuse üldiste matemaatiliste mõistete alusel.
Psühholoogide ja õpetajate arvukad tähelepanekud näitavad omakorda, et kvantitatiivsed ideed tekivad lastel ammu enne, kui nad omandavad teadmisi arvude ja nende kasutamise kohta. Tõsi, neid ideid kiputakse klassifitseerima "eelmatemaatilistele moodustistele" (mis on üsna loomulik traditsiooniliste meetodite puhul, mis tuvastavad objekti kvantitatiivsed omadused numbriga), kuid see ei muuda olulist funktsiooni lapse üldises funktsioonis. orienteerumine asjade omadustes. Ja mõnikord juhtub, et nende väidetavalt "eelmatemaatiliste moodustiste" sügavus on lapse enda matemaatilise mõtlemise arendamiseks olulisem kui arvutitehnoloogia ja puhtalt numbriliste sõltuvuste leidmise oskus. Tähelepanuväärne on, et akadeemik A. N. Kolmogorov märgib matemaatilise loovuse tunnuseid iseloomustades eriliselt järgmist asjaolu: "Enamik matemaatilisi avastusi põhineb mõnel lihtsal ideel: visuaalne geomeetriline konstruktsioon, uus elementaarne ebavõrdsus jne. Peate lihtsalt seda lihtsat ideed õigesti rakendama, et lahendada probleem, mis esmapilgul tundub kättesaamatu (12-lk 17).
Praegu sobivad mitmesugused ideed uue programmi ülesehituse ja koostamise viiside kohta. Selle koostamise töösse on vaja kaasata matemaatikud, psühholoogid, loogikud ja metoodikud. Kuid kõigi konkreetsete valikute puhul näib, et see peab vastama järgmistele nõuetele:
Ületada olemasolev lõhe matemaatika sisu vahel alg- ja keskkoolis;
Anda teadmiste süsteem objektiivse maailma kvantitatiivsete suhete põhiseaduste kohta; sel juhul peaksid arvude kui suuruse väljendamise erivormi omadused muutuma programmi eriliseks, kuid mitte põhiosaks;
Sisestage lastele matemaatilise mõtlemise meetodeid, mitte ainult arvutamisoskusi: see hõlmab probleemide süsteemi loomist, mis põhineb reaalsete suuruste sõltuvuste sfääri süvenemisel (matemaatika seos füüsika, keemia, bioloogia ja muude teadustega, mis uurivad konkreetseid suurusi). );
Lihtsustage otsustavalt kõiki arvutustehnikaid, minimeerides tööd, mida ei saa teha ilma sobivate tabelite, teatmeteoste ja muude abivahenditeta.
Nende nõuete tähendus on selge: põhikoolis on võimalik õpetada matemaatikat kui teadust kvantitatiivsete seoste seaduspärasustest, suuruste sõltuvustest; arvutustehnikad ja arvuteooria elemendid peaksid saama programmi eriliseks ja privaatseks osaks. Alates 1960. aasta lõpust läbi viidud uue matemaatikaprogrammi koostamise ja selle eksperimentaalse testimise kogemus lubab nüüd rääkida võimalusest viia kooli alates 1. klassist süstemaatiline matemaatikakursus, mis annab teadmisi kvantitatiivsest. suuruste seosed ja sõltuvused algebralisel kujul.
1.2.ALGEBRAALISTE MÕISTETE KASUTAMISE PSÜHHOLOOGILISED ALUSED ALGKOOLIS.
Viimasel ajal on programmide moderniseerimisel pööratud erilist tähelepanu koolikursusele seatud teoreetilise aluse rajamisele (see suund avaldub nii meil kui välismaal). Selle suundumuse rakendamine õpetamises (eriti algklassides, nagu on täheldatud näiteks Ameerika koolis) tõstatab paratamatult mitmeid keerulisi küsimusi laste- ja hariduspsühholoogia ning didaktika jaoks, sest praegu õpinguid peaaegu pole. hulga tähenduse assimilatsiooni tunnuste paljastamine lapsel (erinevalt loendamise ja arvude valdamisest, mida on väga põhjalikult uuritud).
Loogiline ja psühholoogiline uurimus Viimastel aastatel(eriti J. Piaget' töö) paljastas seose laste mõtlemise mõningate mehhanismide ja üldiste matemaatiliste mõistete vahel. Allpool käsitleme konkreetselt selle seose tunnuseid ja nende tähtsust matemaatika kui õppeaine ülesehitamisel (räägime asja teoreetilisest küljest, mitte mingist konkreetsest programmi versioonist).
Naturaalarv on olnud matemaatika põhimõiste läbi selle ajaloo; see mängib väga olulist rolli kõigis tootmisvaldkondades, tehnoloogias, Igapäevane elu. See võimaldab teoreetilistel matemaatikutel anda sellele erilise koha teiste matemaatikamõistete seas. Erinevates vormides esitatakse väiteid, et naturaalarvu mõiste on matemaatilise abstraktsiooni algstaadium, et see on enamiku matemaatikadistsipliinide konstrueerimise aluseks.
Matemaatika algelementide valik õppeaineks sisuliselt rakendab neid üldsätted. Sel juhul eeldatakse, et numbritega tutvudes avastab laps samaaegselt ka kvantitatiivsete seoste algsed tunnused. Loendamine ja arv on kogu järgneva matemaatika õppimise aluseks koolis.
Siiski on põhjust arvata, et need sätted, mis toovad õigustatult esile arvu erilise ja fundamentaalse tähenduse, väljendavad samal ajal ebapiisavalt selle seost teiste matemaatiliste mõistetega ning hindavad ebatäpselt arvu kohta ja rolli matemaatika omandamise protsessis. . Eelkõige selle asjaolu tõttu tekivad matemaatika vastuvõetud programmide, meetodite ja õpikute olulised puudujäägid. Konkreetselt on vaja käsitleda arvu mõiste tegelikku seost teiste mõistetega.
Matemaatikas vaadeldakse süstemaatiliselt paljusid üldisi matemaatilisi mõisteid, eriti aga samaväärsuse seoste ja järjekorra mõisteid, sõltumata numbrilisest vormist. Need mõisted ei kaota oma iseseisvat iseloomu, nende põhjal on võimalik kirjeldada ja uurida konkreetset ainet - erinevaid arvusüsteeme, mõisteid, mis iseenesest ei kata algsete definitsioonide tähendust ja tähendust. Veelgi enam, matemaatikateaduse ajaloos arenesid üldmõisted täpselt sellisel määral, et "algebralised tehted" kuulus näide mida aritmeetika neli tehet annavad, hakati rakendama täiesti mittenumbriliste elementide puhul.
Viimasel ajal on püütud laiendada lapsele õppetöös matemaatika tutvustamise etappi. See tendents väljendub metoodilistes käsiraamatutes, aga ka mõnes eksperimentaalses õpikus. Nii on ühes Ameerika õpikus, mis on mõeldud 6-7-aastaste laste õpetamiseks, esimestel lehekülgedel ülesanded ja harjutused, mis õpetavad lapsi konkreetselt ainerühmade identiteedi kindlakstegemiseks. Lastele näidatakse komplektide ühendamise tehnikat, tutvustatakse vastavat matemaatilist sümboolikat. Numbritega töötamine põhineb algteadmistel hulkade kohta. Konkreetsete selle suundumuse elluviimise katsete sisu võib hinnata erinevalt, kuid see on iseenesest üsna õigustatud ja paljulubav.
Esmapilgul ei saa mõisteid "seos", "struktuur", "koosseisuseadused" ja muid olemasolevaid keerukaid matemaatilisi definitsioone seostada matemaatiliste mõistete kujunemisega väikelastel. Muidugi on nende mõistete kogu tõeline ja abstraktne tähendus ning koht matemaatika kui teaduse aksiomaatilises struktuuris assimilatsiooniobjektiks juba hästi arenenud ja matemaatikas “koolitatud” pea jaoks. Kuid mõned nende mõistetega fikseeritud asjade omadused ilmnevad nii või teisiti lapsele suhteliselt varakult: selleks on olemas konkreetsed psühholoogilised andmed.
Esiteks tuleb meeles pidada, et sünnihetkest kuni 7-10 aastani areneb ja areneb laps keerulisi süsteeme. üldised ideed meid ümbritseva maailma kohta ning paneb aluse mõtestatud ja objektiivsele mõtlemisele. Veelgi enam, lapsed tuvastavad suhteliselt kitsale empiirilisele materjalile tuginedes üldised orientatsioonimustrid asjade ajalis-ruumilistes ja põhjus-tagajärg sõltuvustes. Need diagrammid on omamoodi raamistik selle "koordinaatsüsteemi jaoks", mille raames laps hakkab üha enam valdama mitmekesise maailma erinevaid omadusi. Loomulikult on need üldised skeemid vähe realiseeritud ja vähesel määral saab neid väljendada ka laps ise abstraktse hinnangu vormis. Piltlikult öeldes on need lapse käitumise korraldamise intuitiivne vorm (kuigi mõistagi kajastuvad need hinnangutes üha enam).
Viimastel aastakümnetel on laste intelligentsi kujunemise ja nende üldiste ettekujutuste tekkimise küsimusi reaalsuse, aja ja ruumi kohta eriti intensiivselt uurinud kuulus Šveitsi psühholoog J. Piaget ja tema kolleegid. Mõned tema teosed on otsene seos lapse matemaatilise mõtlemise arendamise probleemidele ja seetõttu on meil oluline käsitleda neid seoses õppekava koostamise küsimustega.
Ühes oma viimases raamatus (17) esitab J. Piaget eksperimentaalseid andmeid selliste elementaarsete loogiliste struktuuride tekke ja kujunemise kohta lastel (kuni 12-14-aastased) nagu klassifitseerimine ja järjestamine. Klassifitseerimine hõlmab kaasamistehte (näiteks A+A1=B) ja selle pöördtehte (B-A1=A) sooritamist. seriatsioon on objektide järjestamine süstemaatilistesse ridadesse (näiteks saab ritta paigutada erineva pikkusega pulgad, mille iga liige on kõigist eelnevatest suurem ja kõigist järgnevatest väiksem).
Analüüsides klassifikatsiooni kujunemist, näitab J. Piaget, kuidas algvormist, ainult objektide ruumilisel lähedusel põhineva „kujundliku agregaadi“ loomisest liiguvad lapsed edasi sarnasussuhtel põhineva klassifikatsioonini („mitte- kujundlikud agregaadid”) ja seejärel kõige keerulisemale vormile - klasside kaasamisele, mille määrab kontseptsiooni mahu ja sisu vaheline seos. Autor käsitleb konkreetselt klassifikatsiooni moodustamist mitte ainult ühe, vaid ka kahe või kolme tunnuse järgi ning lastes võime arendamist uute elementide lisamisel klassifitseerimise aluseid muuta.
Need uuringud taotlesid väga konkreetset eesmärki – tuvastada meele operaatorstruktuuride kujunemismustrid ja ennekõike selline konstitutiivne omadus nagu pöörduvus, s.o. mõistuse võime liikuda edasi ja tagasi. Pööratavus ilmneb siis, kui „toimingud ja tegevused võivad areneda kahes suunas ja ühe neist suundadest mõistmine põhjustab ipso facto (tõttu fakti enda) teise mõistmise (17-lk 15).
Pööratavus esindab J. Piaget' järgi mõistusele omast põhiseadust kompositsiooni. Sellel on kaks üksteist täiendavat ja taandamatut vormi:ümberpööramine (inversioon või eitus) ja vastastikkus. Pööramine toimub näiteks juhul, kui objekti ruumilist liikumist punktist A punkti B saab tühistada, viies objekti tagasi punktist B punkti A, mis on lõppkokkuvõttes võrdne nullteisendusega (tehte ja selle pöördväärtuse korrutis on identne tehe või nullteisendus).
Vastastikusus (või kompensatsioon) hõlmab juhtu, kui näiteks objekti liigutamisel punktist A punkti B jääb objekt punkti B, kuid laps ise liigub punktist A punkti B ja taastoodab algpositsiooni, kui objekt oli vastu tema keha. . Objekti liikumist siin ei tühistata, vaid see kompenseeritakse vastava liikumisega enda keha- ja see on teisendamisest erinev vorm (17-lk 16). J. Piaget usub, et aritmeetiliste ja geomeetriliste tehete arengu psühholoogiline uurimine lapse meeles (eriti need loogikatehed, mis teostavad neis eeltingimusi) võimaldab täpselt korreleerida mõtlemise operaatoristruktuure algebraliste struktuuridega, järjestusega. struktuurid ja topoloogilised (17-lk 17) . Seega vastab algebraline struktuur (“rühm”) mõistuse operaatorimehhanismidele, alludes ühele pööratavuse vormidele - inversioonile (eitamisele). Rühmal on neli elementaarset omadust: rühma kahe elemendi korrutis annab ka rühma elemendi; otsetehe vastab ühele ja ainult ühele pöördtehtele; toimub identiteedi toiming; järjestikused kompositsioonid on assotsiatiivsed. Intellektuaalsete tegude keeles tähendab see:
Kahe tegevussüsteemi kooskõlastamine moodustab uue skeemi, mis on lisatud eelmistele;
Operatsioon võib areneda kahes suunas;
Kui naastes juurde alguspunkt leiame selle muutumatuna;
Ühele ja samale punktile võib jõuda erineval viisil ning punkti ennast peetakse muutumatuks.
Vaatleme peamisi J. Piaget sõnastatud sätteid seoses õppekava koostamise küsimustega. Esiteks näitavad J. Piaget’ uuringud, et sada koolieelses ja koolipõlv Laps arendab operaatori mõtlemise struktuure, mis võimaldavad tal hinnata objektide klasside ja nende positsioonide põhiomadusi. Veelgi enam, juba konkreetsete toimingute etapis (alates 7. eluaastast) omandab lapse intellekt pöörduvuse omaduse, mis on äärmiselt oluline õppeainete, eriti matemaatika teoreetilise sisu mõistmiseks. Need andmed näitavad, et traditsiooniline psühholoogia ja pedagoogika ei võtnud piisavalt arvesse lapse vaimse arengu nende etappide keerukust ja mahukat olemust, mis on seotud perioodiga 2–7 ja 7–11 aastat. Piaget' saadud tulemuste arvestamine võimaldab teha mitmeid olulisi järeldusi seoses matemaatika õppekava koostamisega. Esiteks viitavad faktilised andmed 2–11-aastase lapse intellekti kujunemise kohta sellele, et praegu pole mitte ainult “struktuurseose” matemaatiliste mõistete kaudu kirjeldatud objektide omadused talle “võõrad”, vaid nad ise sisenevad orgaaniliselt lapse mõtlemisse.
Traditsioonilised programmid ei võta seda arvesse. Seetõttu ei mõista nad paljusid lapse intellektuaalse arengu protsessis peituvaid võimalusi. 7. eluaastaks on lastel juba piisavalt välja kujunenud vaimsete tegevuste plaan ning õpetades sobivat programmi, milles matemaatiliste struktuuride omadused on “selgelt” antud ja lastele antud vahendid nende analüüsimiseks, on võimalik kiiresti viia lapsed "ametlike" toimingute tasemele kui aja jooksul, mille jooksul seda nende omaduste "iseseisva" avastamise ajal tehakse. Oluline on arvestada järgmise asjaoluga. On alust arvata, et J. Piaget’ poolt vanusesse 7-11 dateeritud konkreetsete operatsioonide tasandil mõtlemise iseärasused on ise lahutamatult seotud traditsioonilisele algkoolile iseloomulike õppekorralduse vormidega.
Seega on praegu olemas faktilised andmed, mis näitavad tihedat seost laste mõtlemise struktuuride ja üldiste algebraliste struktuuride vahel. Selle ühenduse olemasolu avab fundamentaalsed võimalused õppeaine koostamiseks, mis areneb skeemi "lihtsatest struktuuridest keerukate kombinatsioonideni" järgi. See meetod võib olla võimas hoob, et arendada lastes sellist mõtlemist, mis põhineb üsna tugeval kontseptuaalsel alusel.
1.3.ALGEBRAALISTE MÕISTETE ALGUMISE PROBLEEM JA SELLE TÄHTSUS HARIDUSAINE EHITUSELE.
Eraldamine koolikursus matemaatika algebra jaoks ja aritmeetiline tingimus. Üleminek toimub järk-järgult. Algkursuse üks keskseid mõisteid on naturaalarvu mõiste. Seda tõlgendatakse samaväärsete hulkade klassi kvantitatiivse tunnusena. Kontseptsioon ilmneb konkreetsel alusel komplekti käitamise ja suuruste mõõtmise tulemusena. Vajalik on analüüsida mõiste “kogus” sisu. Tõsi, selle terminiga on seotud veel üks termin - "mõõde". Üldkasutuses on mõiste kvantiteet seotud mõistetega “võrdne”, “rohkem”, “vähem”, mis kirjeldavad väga erinevaid omadusi. Objektide kogum muudetakse suuruseks alles siis, kui on kehtestatud kriteeriumid, mis võimaldavad selle mis tahes elemendi A ja B suhtes kindlaks teha, kas A on võrdne B-ga, suurem kui B või väiksem kui B. mis tahes kahe elemendi A ja B puhul kehtib üks ja ainult üks seostest: A=B, A B, A B.
V.F. Kogan tuvastab mõistete “võrdne”, “rohkem”, “vähem” järgmised kaheksa põhiomadust.
1) vähemalt üks seostest kehtib: A=B, A B, A B;
2) kui seos A=B kehtib, siis seos A B ei kehti;
3) kui A=B kehtib, siis seos A B ei kehti;
4) kui A=B ja B=C, siis A=C;
5) kui A on B ja B on C, siis A on C;
6) kui A C ja B C, siis A C;
7) võrdsus on pöörduv seos: A=B B=A;
8) võrdsus on vastastikune seos: olenemata sellest, milline on vaadeldava hulga element A, A = A.
"Võrdluskriteeriumide kehtestamisega muudame paljususe suuruseks," kirjutas V. F. Kogan. Praktikas tähistab suurus tavaliselt mitte elementide kogumit, vaid võrdluskriteeriumite eristamiseks kasutusele võetud uut mõistet (koguse nimetus. Nii on mõisted “maht”, “kaal”, “pikkus” jne. "Samal ajal on matemaatiku jaoks väärtus täielikult määratletud, kui on näidatud palju elemente ja võrdluskriteeriume," märkis V. F. Kogan.
See autor peab naturaalseid arvude jadasid matemaatilise suuruse kõige olulisemaks näiteks. Sellise võrdluskriteeriumi, nagu arvude poolt reas hõivatud positsioon (asub ühe koha, järgneb ..., eelneb ...) seisukohast, vastab see jada postulaatidele ja esindab seetõttu suurust. Kogustega töötades (soovitav on salvestada üksikud väärtused tähtedega) saate toota keeruline süsteem teisendused, nende omaduste sõltuvuse tuvastamine, võrdsuselt ebavõrdsusele liikumine, liitmise ja lahutamise teostamine. Naturaal- ja reaalarvud on võrdselt tugevalt seotud suuruste ja mõnede nende oluliste tunnustega. Kas neid ja teisi omadusi on võimalik muuta lapse jaoks spetsiaalseks uurimisobjektiks juba enne, kui hakatakse kasutusele võtma suuruste suhte kirjeldamise numbrilist vormi? Need võivad olla eelduseks numbri ja selle järgnevaks üksikasjalikuks tutvustamiseks erinevad tüübid, eelkõige murdude propedeutika, koordinaatide mõistete, funktsioonide ja muude mõistete jaoks juba nooremas klassis. Mis võiks olla selle esialgse osa sisu? See on tutvumine füüsiliste objektidega, nende võrdluskriteeriumid, kvantiteedi esiletõstmine matemaatilise kaalutlusobjektina, võrdlusmeetodite ja selle tulemuste salvestamise sümboolsete vahendite tundmine, suuruste üldiste omaduste analüüsimise tehnikad. Kursuse algosa on vajalik, mis tutvustaks lastele algebralisi põhimõisteid (enne arvude tutvustamist). Millised on sellise programmi peamised võtmeteemad?
Teema 1. Objektide nivelleerimine ja lõpetamine (pikkuse, mahu, kaalu, osade koostise ja muude parameetrite järgi).
Teema 2. Objektide võrdlemine ja selle tulemuste fikseerimine võrdsuse-võrratuse valemi abil.
Ülesanded objektide võrdlemiseks ja selle tegevuse tulemuste sümboolseks tähistamiseks;
Võrdlustulemuste sõnaline salvestamine (mõisted “rohkem”, “vähem”, “võrdne”).
Kirjalikud märgid
Võrdlustulemuste illustreerimine pildiga;
Võrreldavate objektide tähistamine tähtede järgi.
Teema 3. Võrdsuse ja ebavõrdsuse omadused.
Teema 4. Liitmise (lahutamise) tehte.
Teema 5. Üleminek A B tüüpi võrratusest võrdsusele liitmise (lahutamise) tehte kaudu.
Teema 6. Võrdsete liitmine ja lahutamine – ebavõrdsused.
Tundide õige planeerimise, õppemeetodite täiustamise ja õppevahendite eduka valiku korral saab selle materjali täielikult selgeks õppida kolme kuuga.
Järgmiseks saavad lapsed tuttavaks viisidega, kuidas saada arvu, mis väljendab objekti kui terviku ja selle osa suhet. Seal on rida, mida rakendatakse juba 1. klassis - kvantiteedi põhiomaduste ja liitmise operatsiooni ülekandmine arvudele (täisarvudele). Eelkõige saavad lapsed arvurida töötades kiiresti numbrijada väärtuseks muuta. Seega võimaldab arvurea käsitlemine suurusena arendada just liitmise ja lahutamise ning seejärel korrutamise ja jagamise oskusi uuel viisil.
2.1. ÕPETAMINE ALGKOOLIS KESKKOOLI VAJADUSTE PUHAST.
Teatavasti kulub 5. klassis matemaatikat õppides märkimisväärne osa ajast kordamisele, mida lapsed oleks pidanud põhikoolis õppima. See kordamine peaaegu kõigis õpikutes võtab poolteist akadeemilist veerandit. Keskkooli matemaatikaõpetajad pole rahul põhikoolilõpetajate ettevalmistusega. Mis on selle olukorra põhjus? Selleks analüüsiti tänapäeval tuntumaid põhikooli matemaatikaõpikuid: need on autorite M.I.Moro, I.I. Arginskaja, N. B. Istomina, L. G. Peterson, V. V. Davõdov, B. P. Geidman.
Nende õpikute analüüs paljastas mitmeid negatiivseid aspekte, mis esinevad suuremal või vähemal määral kõigis neist ja mõjutavad edasist õppimist negatiivselt. Esiteks põhineb neis materjali assimilatsioon suuresti meeldejätmisel. Ilmekas näide Seda tehakse korrutustabeli meeldejätmisega. Põhikoolis pühendatakse selle päheõppimisele palju vaeva ja aega. Kuid suvevaheajal unustavad lapsed selle ära. Sellise kiire unustamise põhjuseks on päheõppimine. L.S. Võgotski näitas, et mõtestatud meeldejätmine on palju efektiivsem kui mehaaniline meeldejätmine ning läbiviidud katsed tõestavad veenvalt, et materjal satub pikaajalisse mällu vaid siis, kui see sellele materjalile vastava töö tulemusena meelde jääb. Põhikoolis materjali õppimisel toetutakse objektiivsele tegevusele ja näitlikule selgusele, mis viib empiirilise mõtlemise kujunemiseni. Muidugi on algkoolis vaevalt võimalik ilma sellise visualiseerimiseta täielikult hakkama saada, kuid see peaks olema ainult selle või selle fakti illustratsioon, mitte kontseptsiooni kujundamise alus. Illustreeriva selguse ja sisuliste toimingute kasutamine õpikutes viib sageli selleni, et mõiste ise on "hägune". Näiteks M.I.Moreau matemaatikameetodis öeldakse, et lapsed peavad teostama jagamist, paigutades objekte hunnikutesse või tehes 30 õppetunni jaoks joonise. Selliste toimingute puhul läheb jagamistehte olemus kaotsi, kuna jagamise tulemusena tekkiv korrutamise pöördtegevus õpitakse ära kõige raskemini ja palju halvemini kui teised aritmeetilised tehted.
Põhikoolis matemaatikat õpetades ei räägita kuskil mingite väidete tõestamisest. Samal ajal, kui meenub, kui raske on gümnaasiumis tõendit õpetada, tuleb selleks hakata valmistuma juba algklassides. Veelgi enam, seda saab teha algkoolilastele üsna kättesaadaval materjalil. Selliseks materjaliks võib näiteks olla reegel, mille kohaselt jagatakse arv 1-ga, null arvuga ja arv iseendaga. Lapsed suudavad neid jagamise definitsiooni ja vastavate korrutamisreeglite abil üsna hästi tõestada.
Põhikooli materjal võimaldab ka algebra propedeutikat – tööd tähtede ja täheväljenditega. Enamik õpikuid väldib tähtede kasutamist. Seetõttu töötavad lapsed neli aastat peaaegu eranditult numbritega, pärast mida on tähtedega töötamisega muidugi väga raske harjuda. selliseks tööks on aga võimalik pakkuda propedeutikat, õpetada juba põhikoolis lapsi täheväljendis asendama tähe asemel numbrit. See on imeliselt tehtud näiteks L.G.Petersoni õpikus. Alates 1. klassist võetakse tähestikulised sümbolid kasutusele koos numbritega ja mõnel juhul ka neist ette. Kõikide reeglite ja järeldustega on kaasas kirjasõna. Näiteks 16. õppetund (1. klass, 2. osa) teemal “Null” tutvustab lastele nulli lahutamist arvust ja arvu endast ning lõpetab järgmise tähistusega: a -0 = a a-a = 0
30. tund teemal “Võrdlusülesanded” 1. klass sisaldab tööd võrdlusharjutustega kujul: a*a-3 c+4*c+5 c+0* c-0 d-1*d-2
Need harjutused sunnivad last mõtlema ja otsima tõendeid valitud lahenduse kohta.
2.2. MÕISTETE VÕRDLEMINE (KONTRASTEERIMINE) MATEMAATIKATUNNIDES.
Praegune programm näeb 1. klassis ette ainult kahe esimese etapi tehte õppimise: liitmise ja lahutamise. Esimese õppeaasta piiramine ainult kahe toiminguga on sisuliselt kõrvalekalle sellest, mis saavutati juba praegustele eelnenud õpikutes: ükski õpetaja ei kurtnud siis, et korrutamine ja jagamine, ütleme 20 piires, on üle jõu käiv. esimese klassi õpilaste võimalused. Tähelepanu väärib ka see, et teiste riikide koolides, kus haridus algab 6-aastaselt, sisaldab esimene õppeaasta esmast tutvumist matemaatika kõigi nelja tehtega. Matemaatika tugineb peamiselt neljale tegevusele ja mida varem need õpilase mõtlemispraktikasse kaasatakse, seda stabiilsem ja usaldusväärsem on matemaatikakursuse edasine areng.
M.I. Moro 1. klassi õpiku esimestes versioonides oli ette nähtud korrutamine ja jagamine. Kuid autorid hoidsid järjekindlalt kinni ühest “uudsusest” – hõlmas 1. klassis kõiki liitmise ja lahutamise juhtumeid 100 piires. Kuna aga nii suure teabemahu uurimiseks polnud piisavalt aega, otsustati nihutada. korrutamine ja jagamine täielikult järgmine aasta koolitust. Niisiis, vaimustus programmi lineaarsusest, st. puhtkvantitatiivne teadmiste laiendamine (samad toimingud, kuid suuremate arvudega) võtsid aja, mis varem oli eraldatud teadmiste kvalitatiivseks süvendamiseks (kõigi nelja tegevuse uurimine kahe tosina piires). Korrutamise ja jagamise õppimine juba 1. klassis tähendab kvalitatiivset hüpet mõtlemises, kuna see võimaldab hallata tihendatud mõtteprotsesse.
Traditsiooni kohaselt oli omaette teemaks liitmise ja lahutamise uurimine 20 piires, vajadus selle lähenemise järele teadmiste süstematiseerimisel ilmneb isegi küsimuse loogilisest analüüsist: tõsiasi on see, et ühe- numbrilisi numbreid laiendatakse kahe kümne piires (0+1= 1… 9+9=18). Seega moodustavad 20 piires olevad arvud oma sisemistes seostes tervikliku seostesüsteemi; Seega on otstarbekus säilitada “20” teise tervikliku teemana (esimene selline teema on tegevused esimese kümne sees). Käsitletav juhtum on just selline, kus kontsentrilisus (teise kümne säilitamine eriteemana) osutub kasulikumaks kui lineaarsus (teise kümne lahustamine teemas “Saja”).
M.I. Moro õpikus on esimese kümne uurimine jagatud kaheks eraldiseisvaks osaks: esiteks uuritakse esimese kümne arvude koostist ja järgmises teemas vaadeldakse tegevusi kümne piires. On eksperimentaalseid õpikuid, kus arvude ja toimingute koostise numeratsiooni ühisuuringud viiakse läbi 10 piires korraga ühes jaotises (Erdniev P.M.).
Esimestes tundides peaks õpetaja seadma eesmärgiks õpetada õpilast kasutama mõistepaare, mille sisu selgub sobivate lausete koostamise protsessis järgmiste sõnadega: enam-vähem, pikem-lühem, kõrgem-madalam, raskem-kergem, paksem-peenem, rohkem paremale - rohkem vasakule, kaugemale - lähemale jne. Mõistepaaridega töötades on oluline kasutada laste vaatlusi. Võrdlusprotsessi õpetamist saab huvitavamaks muuta nn lauaharjutuste juurutamine. Siin selgitatakse mõistete “veerg” ja “rida” tähendust. Tutvustatakse vasaku veeru ja parema veeru, ülemise ja alumise rea mõistet. Näitame koos lastega nende mõistete semantilist tõlgendust. Sellised harjutused harjutavad lapsi järk-järgult ruumilise orientatsiooniga ja on olulised matemaatika koordinaatmeetodi hilisemal uurimisel. Suur tähtsus Esimeste tundide jaoks peame töötama numbriseeria kallal. Arvrea kasvu on mugav illustreerida ükshaaval liitmise teel, liikudes mööda arvujoont paremale. Kui (+) märk on seotud liikumisega mööda numbrijoont ühe võrra paremale, siis (-) märk on seotud ühe võrra vasakule liikumisega. (Seetõttu näitame ühes õppetükis mõlemat märki korraga). Arvuridade kallal töötades tutvustame järgmisi mõisteid: arvurea algus (arv null) tähistab kiire vasakut otsa; Arv 1 vastab ühiku segmendile, mida tuleb numbriseeriast eraldi kujutada. Lapsed töötavad numbrivihuga kolme piires. Valime kaks kõrvuti asetsevat numbrit 2 ja 3. Liikudes numbrilt 2 numbrile 3, mõtlevad lapsed järgmiselt: "Numbrile 2 järgneb number 3." Liikudes numbrilt 3 numbrile 2, öeldakse: "Enne numbrit 3 tuleb number 2" või "Arv 2 tuleb enne numbrit 3". See meetod võimaldab määrata antud numbri koha nii eelmiste kui ka järgnevate numbrite suhtes; Kohe on paslik tähelepanu pöörata arvu asukoha suhtelisusele, näiteks arv 3 on korraga nii järgnev (arvu 2 taga) kui ka eelnev (arvu 4 ees). Näidatud üleminekud piki arvuseeriat tuleb seostada vastavate aritmeetiliste tehtega. Näiteks fraasi “Numbrile 2 järgneb number 3” on sümboolselt kujutatud järgmiselt: 2+1=3; psühholoogiliselt on aga kasulik luua vastupidine seos: “Enne numbrit 3 on arv 2” ja kirje: 3-1=2. Arvu kohast arvuseerias mõistmiseks tuleks esitada paarisküsimused:
1) Millisele numbrile järgneb number 3? Millise arvu ees tuleb number 2?
2) milline arv tuleb pärast numbrit 2? Mis number tuleb enne numbrit 3? Jne.
Mugav on kombineerida tööd numbriseeriaga, kus võrreldakse numbreid suurusjärgus, samuti võrreldakse arvude asukohta arvureal. Järk-järgult arenevad geomeetrilise iseloomuga hinnangute seosed: number 4 asub arvust 3 paremal asuval arvureal; tähendab, et 4 on suurem kui 3. Ja vastupidi: arv 3 on arvust 4 vasakul, mis tähendab, et arv 3 on väiksem kui arv 4. See loob seose mõistepaaride vahel: paremal on rohkem, vasakule on vähem.
Ülaltoodust näeme teadmiste integreeritud assimilatsiooni tunnust: kogu liitmise ja lahutamisega seotud mõistete kogumit pakutakse koos, pidevates üksteisesse üleminekutes. Õppimiskogemus näitab vastastikku vastandlike mõistepaaride samaaegse kasutuselevõtu eeliseid, alustades esimestest õppetundidest. Näiteks kolme verbi samaaegne kasutamine: "lisa (lisage 1 kuni 2), "lisage" (lisage number 2 numbriga 1), mis on kujutatud sümboolselt identselt (2 + 1 = 3), aitab lapsi. õppige nende sõnade sarnasust ja lähedust tähenduse järgi (sarnaseid arutlusi saab teha sõnade "lahutamine", "lahutamine", "vähendamine" kohta.
Pikaajalised testid on näidanud esimese kümne numbri monograafilise uurimise eeliseid. Iga järjestikust numbrit analüüsitakse mitmepoolselt, kusjuures loetletakse kõik selle moodustamise võimalused; selle numbri sees sooritatakse kõik võimalikud toimingud, korratakse “kogu matemaatikat”, kasutatakse kõiki vastuvõetavaid grammatilisi vorme arvudevahelise seose väljendamiseks. Loomulikult korratakse selle õppesüsteemiga seoses järgnevate arvude katmisega varem uuritud näiteid, s.t. arvuridade laiendamine toimub eelnevalt käsitletud arvude kombinatsioonide ja lihtsate ülesannete sortide pideva kordamisega.
2.3. LISA- JA LAHETAMISE, KORRUTAMISE JA JAGAMISE ÜHINE UURING.
Elementaarmatemaatika metoodikas käsitletakse nende kahe tehte harjutusi tavaliselt eraldi. Kuid eelistatavam on samaaegne duaaloperatsiooni "terminiteks liitmine-lagundamine" uurimine. Sellise töö saab üles ehitada järgmiselt. Laske lastel lahendada liitmisülesanne: "Lisage 3 pulgale 1 pulk ja saate 4 pulka." Pärast seda esitame kohe küsimuse: "Millistest numbritest koosneb number 4?" 4 pulka koosneb 3 pulgast (laps loeb 3 pulka) ja 1 pulgast (eraldab veel 1 pulga). Esialgne harjutus võib olla arvu lagunemine. Õpetaja esitab küsimuse: “Millistest arvudest koosneb arv 5?” (arv 5 koosneb 3-st ja 2-st). Ja kohe küsitakse samade numbrite kohta: “Kui palju sa saad, kui liidad 2 vastu 3?” (lisada 2 vastu 3 ja saad 5). Samal eesmärgil on kasulik harjutada näidete lugemist kahes suunas: 5+2=7. Lisage kaks viiele ja saate seitse. (loe vasakult paremale) 7 koosneb terminitest 2 ja 5. (loe paremalt vasakule). Kasulik on verbaalset vastuseisu saada selliste harjutustega klassiruumi aabitsatel, mis võimaldavad näha vastavate operatsioonide konkreetset sisu. Arvutamine aabitsa peal on asendamatu vahendina arvudega seotud toimingute visualiseerimiseks ja 10 piires oleva arvu väärtust seostatakse siin ühe juhtme luude komplekti pikkusega (seda pikkust tajub õpilane visuaalselt. Niisiis, kui Lahendades liitmise näidet (5+2=7), on esmalt loendatud õpilane aabitsas 5 kivi, seejärel lisas ta neile 2 ja pärast seda teatas summa: “Lisada 5-le 2 - saad 7” ( saadud arvu 7 nimetuse määrab õpilane uue hulga ümberarvutamisega: 1-2-3-4-5-6- 7).
Õpilane: lisage 2 kuni 5 ja saate 7.
Õpetaja: Näidake mulle, millistest terminitest number 7 koosneb?
Õpilane eraldab 2 luud paremale. Arv 7 on 2 ja 5. Nende harjutuste sooritamisel on soovitatav algusest peale kasutada mõisteid “esimene termin” (5), “teine termin” (2), “summa” (7). Pakutakse järgmist tüüpi ülesandeid:
a) kahe liikme summa on 7, leia need;
c) millistest terminitest koosneb arv 7?
c) jagage summa 7 2 liikmeks, 3 jne.
Sellise olulise algebralise kontseptsiooni nagu kommutatiivne liitmisseadus omandamine nõuab mitmesuguseid harjutusi, mis põhinevad esialgu praktilistel manipulatsioonidel objektidega.
Õpetaja: Võtke vasak käsi 3 pulka ja paremal - 2. Mitu pulka on kokku?
Õpilane: Kokku on 5 pulka.
Õpetaja: Kuidas ma saan sellest rohkem rääkida?
Õpilane: Lisage 2 kuni 2 pulka - saab 5 pulka.
Õpetaja: Looge see näide lõigatud numbrite abil. (õpilane teeb numbritest näite).
Õpetaja: Nüüd vahetage söögipulgad: vasakult paremale ja paremalt vasakule. Mitu pulka on praegu mõlemas käes?
Õpilane: Kahes käes oli ainult 5 ja nüüd on jälle 5.
Õpetaja: Miks see juhtus?
Õpilane: Sest me ei pannud kuhugi pulki kõrvale ega lisanud. Nii palju kui oli, nii palju jääb.
Kommutatiivseadust õpitakse ka arvude terminiteks lagundamise harjutustes. Millal kehtestada nihkumise seadus? Liitumise õpetamise põhieesmärk, juba esimese kümne sees, on harjutustes pidevalt rõhutada kommutatiivseaduse rolli. Laske lastel kokku lugeda 6 pulka, seejärel lisage neile 3 pulka ja arvutage ümber (seitse-kaheksa-üheksa) kokku summa: 6 ja 3 on 9. Pakume kohe uue näite: 3+6: uus summa võib olla paika pandud ümberarvutamise teel, kuid järk-järgult ja sihipäraselt peaks kujunema lahendusmeetod kõrgemas koodis, s.t. loogiliselt, ilma ümberarvutamiseta. Kui 6 jah 3 on 9 (vastus arvutatud ümber), siis 3 jah 6 (ilma ümberarvutamiseta) on 9.
L.G. Peterson tutvustab seda meetodit juba 13. tunnis, kus lapsed lahendavad neli avaldist tähtsümbolites (T+K=F K+T=F F-T=K F-K=T), ja seejärel numbrilises vormis: 2+1=3 1+ 2=3 3-2=1 3-1+2.
Nelja näite koostamine on vahend lastele kättesaadavate teadmiste laiendamiseks. Näeme, et liitmistehte iseloomustamine ei peaks toimuma sporaadiliselt, vaid peaks saama peamiseks loogiliseks vahendiks õigete numbriliste seoste tugevdamisel. Seoses uute tabelitulemuste mällu kuhjumisega tuleb pidevalt arvestada liitmise peamist omadust - terminite liikuvust. Näeme: keerukamate arvutus- või loogiliste operatsioonide omavahelist seost, mille abil sooritatakse paar “keerulist operatsiooni”. Keeruliste mõistete eksplitsiitne vastandamine põhineb lihtsamate mõistete implitsiitsel vastandamisel.
Korrutamise ja jagamise esialgne uuring on soovitatav läbi viia järgmises kolme ülesandetsükli järjestuses (igas tsüklis 3 ülesannet):
1 a), b) korrutamine konstantse korrutisega ja sisu järgi jagamine (koos); c) jagamine võrdseteks osadeks.
2 a), b) arvu mitu korda vähendamine ja suurendamine (koos), c) mitmekordne võrdlus;
3 a), b) arvu ühe osa ja arvu leidmine selle ühe osa suuruse järgi (koos) c) ülesande „Mis osa on teise arv?” lahendamine? Korrutamise ja jagamise samaaegne õppimine sisus. Korrutamisele pühendatud õppetükkides 2-3 selgitatakse korrutamise mõiste kui võrdsete terminite lühendatud liitmise tähendust. Tavaliselt kuvatakse õpilastele kirje liitmise asendamise kohta korrutamisega: 2+2+2+2=8 2*4=8 Siin on seos liitmise ja korrutamise vahel. On asjakohane kohe pakkuda tagasiside saamiseks mõeldud harjutust. korrutamine-liitmine" Seda kirjet vaadates peaks õpilane mõistma, et arvu 2 tuleb liitmisena korrata nii mitu korda, kui näitab kordaja näites 2*4=8. Mõlemat tüüpi harjutuste kombinatsioon on üks olulisi tingimusi, mis tagab "korrutamise" mõiste teadliku assimilatsiooni. Väga oluline on näidata iga vastava korrutamisjuhtumi puhul vastav jagamise juhtum. Tulevikus on kasulik kaaluda korrutamist ja jagamist koos.
Jagamise mõiste tutvustamisel on vaja meelde tuletada vastavaid korrutamise juhtumeid, et nendele toetudes luua mõiste uuest korrutamisele vastupidisest tegevusest. Seetõttu omandab mõiste “korrutamine” rikkaliku sisu, see pole mitte ainult võrdsete liikmete liitmise tulemus (“liitmise üldistamine”), vaid ka alus, jagamise alghetk, mis omakorda tähistab "ahendatud lahutamine", asendades järjestikuse "lahutamise 2-ga" Korrutamise tähendust ei mõisteta mitte niivõrd korrutamise enda, vaid pidevate üleminekute kaudu korrutamise ja jagamise vahel, kuna jagamine on varjatud, “muudetud” korrutamine. Kõik loogilised operatsioonid, mida praktiline tegevus toetab, peavad olema hästi läbi mõeldud. Töö tulemuseks on korrutamis- ja jagamistabelid:
2 * 2 = 4 4: 2 = 2 järgi
2*3=6 6:2=3 igaüks
2*4=8 8: 2=4 igaüks jne.
Korrutustabel koostatakse konstantse teguriga 1 ja jagamistabel koostatakse konstantse jagaja abil. Võrdseteks osadeks jagamise õpetust tutvustatakse pärast 2-ga korrutamise ja jagamise õpet. Ülesanne on antud: „Neli õpilast tõid kaasa 2 vihikut. Mitu märkmikku sa kaasa tõid?" Praktilise tegevuse sooritamisel kogume vihikuid (võtame 2 vihikut 4 korda). Loome pöördülesande: "Jagati välja 8 vihikut, igale õpilasele jagati 2 vihikut." Tulemuseks on 4. Kirje kuvatakse 2t.*4=8t., 8t.: 2t.=4t. Algul on kasulik nimed üksikasjalikult kirja panna. Nüüd koostame 3. ülesande: “4 õpilasele tuleb jagada võrdselt 8 vihikut. Mitu märkmikku saab iga inimene? Esmalt tuleks võrdseteks osadeks jagamist demonstreerida ka objektidel. Seetõttu omandab mõiste “korrutamine” rikkaliku sisu: see pole mitte ainult võrdsete liikmete liitmise tulemus (“liitmise üldistamine”), vaid ka alus, jagamise algmoment, mis omakorda kujutab endast tihendatud lahutamine, asendades järjestikuse "lahutamise 2-ga". Sel juhul konstrueeriti väga edukalt L. G. Petersoni ja N. B. Istomina matemaatikaõpikute seletus. tegevusmeetodil õppetöösse tuuakse uus mõiste, s.o. lapsed ise “avastavad” selle sisu ning õpetaja juhendab nende uurimistegevust ning tutvustab üldtunnustatud terminoloogiat ja sümboleid. Kõigepealt kordavad lapsed üle korrutamise tähendust ja koostavad pildi järgi korrutise 2*4=8. Jaotustoimingute õppimine on motiveeritud laste igapäevasest praktilisest tegevusest. Õpetaja küsib, kas sa oled elus pidanud midagi võrdselt jagama, ja pakub ülesande: “Meil on vaja 36 kommi nelja inimese vahel võrdselt ära jagada. Kui palju ma peaksin igaühele andma? raskus, mis tekib seoses probleemiküsimusele vastamisega, motiveerib uurima ainemudeleid kasutades. Iga inimese töölaual on ette valmistatud 36 eset (nööbid, figuurid, märgid jne). Need on laotatud 4 võrdse suurusega hunnikusse jne. Õpetaja näitab kirjet _ - jaga võrdseteks osadeks - see tähendab igas osas objektide arvu leidmist. Harjutuste seeriat täites jõuavad lapsed järeldusele, et jagamistehe on korrutustehe pöördtehe. Pähkleid 4-ga jagades saame arvu 2, mille korrutamisel 4-ga saame 8. 8:4=2 2*4=8. Märgi kohta võib lastele öelda, et seda kasutatakse matemaatikas sama asja väljendavate lausete tähistamiseks (ekvivalentlause). Kinnitusharjutusi sooritades teevad lapsed jooniseid ja joonistavad tugiskeeme.
Tunni lõpus tehakse järeldus ja räägitakse valjuhäälselt ning laiendatakse jagamise üldisele juhtumile - arvu a jagamiseks arvuga b peate valima arvu c, mis korrutades b-ga, annab:
A:B=C C*B=A ja koostatakse toetav kontuur. Oluline on lastele edasi anda, et matemaatilised avaldised ja valemid võimaldavad tuvastada üldisi mustreid ja luua analoogia esmapilgul täiesti erinevatele nähtustele. Selle fakti teadvustamine aitab õpilastel paremini mõista matemaatiliste üldistuste asjakohasust, matemaatika rolli ja kohta loodusteaduste süsteemis.
PEATÜKK 3. MATEMAATIKATUNNIDE ALGEBRAAMATERJALI ÕPPIMISE UURIMUSTÖÖ 72. keskkooli 72. ALGKLASSIDE KOOS ÜKSIKÕIMETE SÜVAÕPEGA.
3.1. INNOVATIIVSTE TEHNOLOOGIATE (UDE TECHNOLOGY) KASUTAMISE PÕHJENDUS.
Oma töös kasutan edukalt P.T. Erdnievi välja töötatud didaktiliste üksuste suurendamise tehnoloogiat (UDE). Autor esitas „didaktilise üksuse” teadusliku kontseptsiooni rohkem kui 30 aastat tagasi. Tema algkooli didaktiliste üksuste koondamise süsteem varustab kooliõpilasi haridusteabe loova arendamise algoritmiga. See tehnoloogia on asjakohane ja paljutõotav, kuna sellel on pikaajaline tegevus, see sisendab lapsele intelligentsuse jooni ja aitab kaasa aktiivse isiksuse kujunemisele.
P.M.Erdniev toob välja neli peamist viisi didaktiliste üksuste suurendamiseks:
1) omavahel seotud tegevuste ja operatsioonide ühine ja samaaegne uurimine;
2) deformeerunud harjutuste kasutamine;
3) pöördülesannete meetodi laialdane kasutamine;
4)loovülesannete osakaalu suurendamine.
Iga meetod aitab kaasa mõtlemisreservide aktualiseerimisele. Esimene meetod on omavahel seotud toimingute, operatsioonide ühine uuring - liitmine-lahutamine, korrutamine-jagamine. Esimeses klassis, õppides esimest kümmet, tutvuvad lapsed vormi näidetega: 3+4=7 kasutades didaktiliste ühikute suurendamise tehnoloogiat, tutvustan liitmise kommutatiivset omadust: 4+3=7 vastuseks on sama, rekord on kujul: 3+4= 7
Pakun lastele näiteid lahutamise kohta ja märge näeb välja selline: 7 -3=4
4=3. Teadmised võetakse kokku ja kombineeritakse ning dokumente koondatakse. Samamoodi saate koostada töö korrutamise ja jagamise kohta. Näiteks: 8+8+8+8+8=40 8*5=40 5*8=40 40:5=8 40:8=5
Lapsed õpivad eristama vastandlikke mõisteid ja toiminguid, uurides samal ajal seotud toiminguid. "Närvilised harjumused" on K.D. Ushinsky sõnul inimeses fikseeritud mitte eraldi, vaid paaride, ridade, ridade, rühmadena. Selline materjali esitamine loob tingimused laste iseseisvuse ja algatusvõime arendamiseks.
Teine viis didaktiliste üksuste suurendamiseks on deformeeritud harjutuste meetod, mille puhul ei ole vajalik element mitte üks, vaid mitu elementi. Näiteks võite esimeses klassis pakkuda ülesande, kus peate määrama tegevuse märgi ja tundmatu komponendi: 8 = 2. Selliste näidete puhul valib õpilane võrdluse põhjal esmalt tegevuse märgi ja seejärel leiab puuduva komponendi. Sellise näite lahendamisel põhjendab laps järgmiselt: 8 2, mis tähendab miinusmärki 8 koosneb 2-st ja 6-st, mis tähendab, et näide on 8-6 = 2. Nii aktiveerub tähelepanu ja õpilaste mõtlemine areneb loogiliste ahelate lahendamisele tuginedes.
Kolmas viis didaktiliste üksuste suurendamiseks on lahendada otsene probleem ja muuta see pöördülesanneteks ja sarnasteks. Ülesannete lahendamine algklassides on õpilaste mõtlemise arendamisel keskse tähtsusega: lahendamisel saavad lapsed tuttavaks suuruste sõltuvusega, elu erinevate aspektidega, õpivad mõtlema, arutlema, võrdlema. Probleemide lahendamise õpetamisel on vaja õpetada lastele pöördülesannete loomist. Iga meetod põhineb eluslooduse suurel infoseadusel – tagasiside seadusel. Ülesannetega töötades on kasulik kasutada seda, kui ülesandereas järgmine erineb eelmisest vaid ühe elemendi poolest. Sel juhul on üleminek ühelt probleemilt teisele lihtsam ning eelmise probleemi lahendamisest saadud info aitab leida lahendusi järgnevatele probleemidele. See tehnika on eriti kasulik nõrkade ja aeglaste laste jaoks. Näiteks ülesanne summa leidmiseks, loome selle pöördülesanded. “Isa andis Mashale 11 õuna ja ema lisas veel 5 õuna. Mitu õuna Maša vanemad kokku andsid?"
- Analüüsime küsimusi: „Mis on probleemis teada? Mida peate teadma? Kirjutage ülesanne lühidalt üles. Kuidas saate teada, kui palju õunu Masha vanemad talle kinkisid? (12+5=17)
- Pöördülesande koostamine, kus tundmatu on isa antud õunte arv. “Isa andis mitu õuna ja ema lisas veel 5 õuna. Kokku on Mašal nüüd 17 õuna. Mitu õuna andis Maša isa?
- Saate luua veel ühe pöördülesande, kus tundmatu on õunte arv, mille Mašale tema ema andis. “Isa andis Mashale 12 õuna ja ema lisas veel paar õuna. Kokku on Mašal nüüd 17 õuna. Mitu õuna andis Maša ema?" (17-12=5). Märkmikus teeme kõigi 3 ülesande kohta lühikesi märkmeid. Seotud ülesanded sulanduvad suure assimilatsiooniüksusena seotud ülesannete rühma ja moodustavad kolm ülesannet. Niisiis on didaktiliste üksuste suurendamise süsteemi peamine tehnoloogiline uudsus ülesannete olemasolu, mille jaoks õpilane harjutab iseseisvalt pöördülesannete koostamist otsese probleemi tingimuste analüüsi põhjal, tuvastades loogilise ahela.
Neljas konsolideerimisviis on loominguliste ülesannete osakaalu suurendamine. Näiteks antakse ülesanne "aknaga": +7-50=20. Lapsed otsivad vastust valikumeetodil, kuid sina saad selle ülesande lahendada mööda noolt arutledes, kasutades pöördtehtet: 20+59-7=63. Vajalik arv on 63. Loomingulised ülesanded peavad olema igas tunnis. Selliste harjutuste abil harjub laps iseseisvalt mõtteid jätkama, otsustusvõimet ümber kujundama, mis on tulevikus määrava tähtsusega aktiivsete harjutuste koostamisel, loov meel nii väärtuslik inimene oma avaldumises mis tahes töövaldkonnas.
3.2 ALGEBRAALISTE MÕISTETE KOGEMUSEST.
Juba 1. klassis õpetan lapsi iseseisvalt paika panema märke, mille järgi saab teatud objekte võrrelda. Õpetaja näitab lastele 2 raskust erinevat värvi. "Milliste kriteeriumide alusel saab neid võrrelda?" Lapsed annavad vastuse: "Neid saab võrrelda kaalu, pikkuse, põhja järgi." Mida me saame öelda? - nad on ebavõrdsed (kaalu, pikkusega). Kuidas seda täpsemalt väljendada? - must kaal on raskem, suurem, paksem. Mida tähendab raskem? - Raskem, kaalukam. Sarnast tööd juhtküsimustega tehakse ka muude tunnuste osas. Koos õpetajaga teeme kindlaks, et “raskem” tähendab rohkem kaalu, “pikem” tähendab pikemat (pikkus, pikkus) jne. Selle töö järelduseks oli välja selgitada, et kui leiate märgi, mille järgi objekte võrreldakse, on need kas võrdsed või ebavõrdsed. Seda saab kirjutada erimärkidega “=” ja “=”. L.G.Peterson võrdleb neid mõisteid väga edukalt ja alles siis tehakse märke selgeks – vähem või rohkem. Lapsed on väga valmis seda ebavõrdsust lahendama. Teostame ka vastupidiseid ülesandeid - erinevad objektid valitakse "vähem kui" või "suurem kui" märkide abil. Sel juhul tekib kohe ainulaadne ülesanne - mõistete "vasakult paremale" määratlemine - 5 on väiksem kui 10. Lisaks on edukalt võimalik kirjutada mitte ainult numbrite, vaid ka erinevate jooniste ja joontega. Sellel perioodil võetakse selle alusel kasutusele salvestuse tähtvorm. Erinevat laadi ülesannetega töötades on vaja anda lastele arusaam, et tähed ise ei kirjuta võrdluse tulemust kirja, vaid neil on vaja neid ühendavat märki. Ja sellest tulemusest räägib ainult kogu valem - 2 või enama objekti kaalu, pikkuse võrdlus.
Selle teemaga töötamine on kogu matemaatika algse osa väljatöötamiseks ülimalt oluline, kuna see on sisuliselt seotud suhetesüsteemi loomisega lapse tegevuses, mis identifitseerib suurused edasiste teisenduste aluseks. Sõnasõnalised valemid, mis asendavad mitmeid esialgseid salvestusmeetodeid, muudavad need seosed esimest korda abstraktsiooniks, kuna tähed ise tähistavad mis tahes konkreetsete suuruste konkreetseid väärtusi ja kogu valem on mis tahes võimalik võrdsuse või ebavõrdsuse suhe. need väärtused. Nüüd saate valemitele tuginedes uurida valitud suhete enda omadusi, muutes need spetsiaalseks analüüsiobjektiks.
- MATEMAATIKA TREENINGUTULEMUSTE DIAGNOSTIKA.
Diagnostika tähtsus on suur, kuna selle abil tehakse kindlaks, et lapse saavutused vastavad õpitulemustele esitatavatele kohustuslikele nõuetele. Tulemusi analüüsides saame teha järeldusi, millised muutused toimuvad lapsega õppeprotsessis, miks ei saanud õpetada, millega ei arvestatud, kuidas õppeprotsessi kohandada, millist abi õpilane vajab . Testid võivad olla diagnostilise vahendina. Iga sisurea kohta koostatakse vastavalt alghariduse kohustuslikule miinimumsisule testiülesanded ning selliseid teste tutvustatakse laialdaselt ka valmis trükiväljaannetes. Need aitavad tuvastada õppimise lünki. Minu klassis tuvastati algebra elementide uurimisel järgmised probleemid:
Mõnel õpilasel on täheväljendite lahendamisel raskusi (täheavaldise arvväärtuse leidmine, arvestades selles sisalduvate tähtede antud väärtusi);
Võrrandite lahendamisel tehakse vigu tundmatute komponentide leidmise reeglite kasutamisel (sõltuvus liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise komponentide vahel);
Võrrandi juurte kontrollimisel ei arvuta mõned lapsed võrrandi vasakut poolt, vaid panevad automaatselt võrdusmärgi;
Keerulisema ülesehitusega võrrandite kujul X+10=30-7 või X+(45-17)=40 kaotavad osad lapsed võrrandit teisendades ja lihtsustades muutuja, sattudes aritmeetiliste arvutustega kaasa.
Olles saanud testi andmed ja analüüsinud tulemusi, koostan enda jaoks tööplaani lünkade ja puuduste parandamiseks.
Näidistest õpilaste teadmiste kontrollimiseks.
- Lisage 10-le 9, 5, 8, 4, 7, 0.
- Kirjuta kaardile number: 8+5 17-9
8+2+ 17-7-
- Arva ära, milline number tuleks kaardile kirjutada:
3, 6, 9, 12, * A(13), B(15), C(18), G(muu number)
- Kirjutage kaardile number, et võrdsus oleks tõene:
9=17-* A(6), B(15), C(4), G (veel üks arv)
- . 8+7=19-* A(3), B(15), C(4), G(veel üks arv).
6 Märkige õiged võrdsused:
A) 12+1=11 B)14-5=9 C)17+3=20 D)20-1=9 E)18+2=20 F)8-5=13 H)6+9=15
7. Järjesta avaldised nende väärtuste kahanevas järjekorras: A)7-5 B)7+6 C)3+7
8. Millised numbrid võivad * asendada?
1) 12 1* A(0, 1, 2) B(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) C(0, 1)
9. Kus on õige toimingute järjekord? A) 12-3+7 B) 19-9-5+3
10. Kirjutage üles arvavaldised ja leidke väärtused: arvust 12 lahutage arvude 3 ja 5 summa
A) (3+5)-12 B) 12-3+5 C) 12-(3+5) D) muu vastus:
See test näitab, kes lastest pole teise kümne numbri nummerdamist selgelt omandanud. Need on lapsed, kes said alla 18 punkti. Nendega on vaja teha parandustööd, mis hõlmavad kõiki võimalikke omandatud teadmiste kasutamise juhtumeid, kus lapsed orienteeruvad sarnastes harjutustes üsna hästi. Koostatakse nende laste vanematega töötamise plaan ja nõustatakse neid vanemaid, kes seda vajavad. Lõpudiagnostika kontrollib kogu 1. klassi õppesuuna teadmisi. Teen nendega veel ühe töö, et testida nende meisterlikkust arvude liitmisel ja lahutamisel 20 ja seejärel 100 piires. Lapsed peaksid oskama õpitud tehnikaid kasutades sooritada toiminguid: leidma liitmise ja lahutamise tundmatu komponenti, võrdlema numbreid ja arvulisi avaldisi , suutma leida pöördtoimingu. Teiste autorite programmide osas võib täheldada, et algebralise materjali varajane kasutuselevõtt on kõigile lastele üsna vastuvõetav. Olles läbi töötanud erinevaid programme ja uurinud erinevate matemaatikaautorite õpetamismeetodeid, kasutan kõiki vajalikke elemente mis tahes õpikust, et tund oleks tulemuslikum ja tulemuslikum. Huvitavad harjutused, mis arendavad mõtlemist, loogikat, õpetavad mõtlema, leiutama, kombineerima ja sisalduvad igas matemaatikatunnis. Minu laste lemmikaine on matemaatika. Trükitud märkmike ja sõeltestide kasutamine aitab tuvastada lünki teadmistes.
Matemaatika kõigi sisuvaldkondade õppimisel jälgitakse pidevalt õpitulemusi ja tehakse õppediagnostikat. Lapsed sooritavad pidevalt vahekontrolle ja arvestusi, mistõttu on õpilaste edusamme lihtne jälgida.
Algklassides kasutan klassivaba õppe ajal (1-2 klassi) algebralise materjali teadmiste arendamiseks järgmisi tasemeid ja kriteeriume: kõrge tase (20-25 punkti) - sellel tasemel omandab laps teadlikult õpitud materjal, teema mõisted on omandatud ja oskab teemaga iseseisvalt töötada , täidab ülesandeid vigadeta;
keskmine tase (14-9 punkti) - teema on omandatud, oskab vastata kaudsetele küsimustele, vastab suunavate küsimuste abil teemal õigesti, teeb 1-2 viga, leiab need üles ja parandab iseseisvalt;
madal tase (alla 14 punkti) - teeb enamikus ülesannetes vigu, ei vasta alati õigesti õpetaja otsesele küsimusele, vajalikud on korrigeerivad harjutused ja täiendav individuaalne töö.
Samuti viin diagnostikatööde töötlemisel läbi analüüsi tulemuste elementide kaupa analüüsi: vead ja nende esinemise põhjused. Võrrandite lahendamisel (arvu otsimisel, mille asendamine muudab võrrandi õigeks arvuliseks võrrandiks) on võimalikud ja ilmnevad järgmised vead:
Aritmeetilise tehte valimisel tundmatu komponendi leidmisel (sellise vea põhjuseks on võimetus määrata komponentide vahelist seost või selle materjali teadmatus);
Arvutusvead (liitmis-, lahutamis-, korrutamis- ja jagamisalgoritmide kasutamise põhjused; üksikasjalikku analüüsi algoritmi mõnes etapis ei tehtud).
Selles sisalduvate tähtede antud väärtustega sõnasõnaliste avaldiste lahendamisel tehakse järgmised vead:
Algoritmide (spetsiifiliste arvutustehnikate) kasutamisel;
Konkreetse etteantud tähe väärtuse valikuga (ettevaatamatus, ei analüüsitud antud tähe vastavust teatud numbrile).
Numbrite ja numbriliste avaldiste võrdlemisel teevad nad vigu:
Enam-vähem märkide sõnastamisel (põhjuseks konkreetsete mõistete teadmatus, analüüsimata arvude biti- ja klassikoosseis, naturaalarvude numeratsiooni, arvude kohatähenduste teadmatus);
Aritmeetilistes arvutustes.
Liitarvulise avaldise väärtuse leidmisel tehakse vigu:
Tegevuse järjekorras,
Toimingu komponentide vale salvestamine (vigade põhjus - algse avaldise struktuuri kindlaksmääramine ja sellekohane rakendamine ebaõnnestus vajalik reegel, ei teadnud toimingute sooritamise algoritmi). Teadmiste, võimete, oskuste monitooringu tulemusi hoolikalt analüüsides tuvastab õpetaja lüngad ja vead soorituses ning saab korrektselt planeerida edasist tööd puudujääkide kõrvaldamiseks koolituses.
Allpool on näited osade ja läbiviidud kontrollide testidest ja diagnostikast.
Testi number | Arenenud oskused ja võimed |
10-11 | Tulemus jääb 20, 100 piiresse. Liitmise ja lahutamise tabel. Numbriavaldise väärtuse leidmine 2-4 sammuga. Lugege, kirjutage, võrrelge 100 piires. Liitmise ja lahutamise tehte nimetus ja tähistus. Ülesannete lahendamine 1-2 sammuga. Oskus võrrelda ja liigitada. Ruumilised esitused. Koguste tundmine. Põhioskuste kujunemise ja matemaatilise arengu tase. |
Lõpliku diagnostika tulemused 1. klassile
10-11 | tasemel |
|||||||||||
Antonov A. Batraeva D. Bašlovkin D. Belova V. Bobyleva E. Gabrielyan G. Gasnikova M. Goroshko A. Guzaeva E. Dvugroševa M. Kondratjev D. Konstantinov I. Kopylov V. Mihhailova V. Mihhailova I. Morozova A. Podgornõi I. Razin N. Romanov D. Sinitsyna K. Süleymanov R. Suljoznov A. Teplyakova Yu. Frolov D. Shirshaeva K. | Lühike Lühike Keskmine Keskmine Kõrge Keskmine Keskmine Kõrge Kõrge Lühike Kõrge Kõrge Kõrge Kõrge Keskmine Kõrge Lühike Keskmine Keskmine Kõrge Kõrge Keskmine Keskmine Keskmine keskmine |
Mälu arengu taseme kontrollimine
kuulmis | visuaalne | mootor | Visuaalne-kuuldav |
||
Antonov A. Batraeva D. Bašlovkin D. Belova V. Bobyleva E. Gabrielyan G. Gasnikova M. Goroshko A. Guzaeva E. Dvugroševa M. Kondratjev D. Konstantinov I. Kopylov V. Mihhailova V. Mihhailova I. Morozova A. Podgornõi I. Razin N. Romanov D. Sinitsyna K. Süleymanov R. Suljoznov A. Teplyakova Yu. Frolov D. Shirshaeva K. | 0,4 keskmine 0,2 madal 0,6 keskmine 0,8 keskmine 1 kõrge 0,7 keskmine 0,7 keskmine 1 kõrge 1 kõrge 0,5 madal 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 0,9 keskmine 1 kõrge 0,4 madal 0,7 keskmine 0,7 keskmine 1 kõrge 1 kõrge 0,7 keskmine 1 kõrge 0,7 keskmine 0,6 keskmine | 0,4 madal 0,3 madal 0,8 keskmine 0,9 keskmine 1 kõrge 0,6 keskmine 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 0,4 madal 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 0,4 madal 0,9 keskmine 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 0,8 keskmine 0,9 keskmine 0,9 keskmine 0,8 keskmine | 0,8 keskmine 0,4 madal 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 0,9 keskmine 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 0,8 keskmine 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 1 kõrge 0,5 madal 0,8 keskmine 0,7 keskmine 1 kõrge 0,9 keskmine 0,8 keskmine 1 kõrge 0,8 keskmine 0,5 madal | 0,7 keskmine 0,4 madal 0,9 keskmine 0,9 keskmine
0,8 keskmine 0,9 keskmine
0,5 madal
0,4 madal 0,9 keskmine 0,9 keskmine
0,8 keskmine 0,9 keskmine 0,8 keskmine 0,5 keskmine |
С=а:N С – mälukoefitsient, С=1 juures – optimaalne variant – kõrge tase
C=0,7 +/-0,2 - keskmine tase, C - alla 0,5 - madal arengutase
KOKKUVÕTE
Praegu on neid piisavalt soodsad tingimused radikaalselt parandada matemaatikaõppe korraldust algkoolis:
- algkool muudeti kolmeaastasest neljaaastaseks;
- matemaatika õppimiseks eraldatakse tunde esimesel neljal aastal, s.o. 40% kogu keskkooli jooksul sellele ainele pühendatud ajast?
- Iga aastaga töötab algklasside õpetajana üha suurem hulk kõrgharidusega inimesi;
- Suurenenud on võimalused õpetajate ja kooliõpilaste paremaks varustamiseks õppe- ja visuaalsete vahenditega, millest enamik on toodetud värvilistena.
Pole vaja tõestada matemaatika algõpetuse määravat rolli õpilase intelligentsuse arengus üldiselt. Üliõpilase esimese nelja õppeaasta jooksul omandatud erinevate assotsiatsioonide rikkus, kui see on õigesti tehtud, saab järgmistel aastatel teadmiste enesearendamise peamiseks tingimuseks. Kui see esialgsete ideede ja kontseptsioonide, mõttekäikude, elementaarsete loogikatehnikate varu on puudulik, paindumatu ja vaesunud, siis keskkooli minnes kogevad kooliõpilased pidevalt raskusi, sõltumata sellest, kes neid järgmisena õpetab või milliseid õpikuid nad kasutavad. .
Algkoolid on meil ja teistes riikides teatavasti toiminud juba sajandeid, seetõttu on alghariduse teooria ja praktika traditsioonide poolest palju rikkamad kui gümnaasiumiõpe.
Väärtuslikke metodoloogilisi avastusi ja üldistusi matemaatika algõpetuse kohta tegid L. N. Tolstoi, K. D. Ušinski, V. A. Latõšev ja teised metoodikud juba eelmisel sajandil. Märkimisväärseid tulemusi on viimastel aastakümnetel saadud elementaarmatemaatika meetodite abil L.V.Zankovi, A.S.Pchelko laborites, aga ka didaktiliste üksuste konsolideerimise uurimisel.
Võttes mõistlikult arvesse olemasolevaid teadustulemusi, mis on viimase 20 aasta jooksul erinevate loominguliste kollektiivide poolt alghariduse meetodite abil saavutatud, on nüüd kõik võimalused algkoolis "kirega õppimise" saavutamiseks. Eelkõige avaldab õpilastele algebraliste põhimõistete tutvustamine kahtlemata positiivset mõju õpilaste asjakohaste teadmiste omandamisele keskkoolis.
BIBLIOGRAAFILINE LOETELU
- Aktuaalsed probleemid matemaatika õpetamisel algkoolis./Toim. M.I.Moro, A.M.Pyshkalo. -M.: Pedagoogika, 1977.
- I. I. Arginskaja, E. A. Ivanovskaja. Matemaatika: õpik nelja-aastase algkooli 1., 2., 3., 4. klassile - Samara: kirjastus. maja "Fedorov", 2000.
- M.A. Bantova, G.V. Beltjukova. Matemaatika õpetamise meetodid algklassides.- M.: Pedagogika, 1984.
- P.M. Erdniev. Lõimitud teadmised rõõmsa õppimise tingimusena./ Algkool.- 1999 nr 11, lk 4-11.
- V.V. Davõdov. Vaimne areng algkoolieas./ Toim. A.V. Petrovski. - M.: Pedagoogika, 1973.
- A.Z.Zak. Nooremate koolilaste vaimsete võimete arendamine.
- I. M. Doronina. UDE metoodika kasutamine matemaatikatundides. //Algkool.-2000, nr 11, lk.29-30.
- N.B. Istomina. Matemaatika õpetamise meetodid algkoolis.- M.: Kirjastuskeskus "Akadeemia", 1998.
- M. I. Vološkina. Nooremate kooliõpilaste kognitiivse tegevuse aktiveerimine matemaatikatundides.//Algkool-1992 nr 10.
- V.F.Kogan. Matemaatiliste mõistete omadustest. -M. : Teadus, 1984.
- G.A.Pentegova. Loogilise mõtlemise arendamine matemaatikatundides. //Algkool.-2000.-Nr 11.
- A. N. Kolmogorov. Matemaatiku erialast. M.-Pedagoogika. 1962. aasta.
- M.I.Moro, A.M.Pyshkalo. Matemaatika õpetamise meetodid algkoolis.- M. Pedagoogika, 1980.
- LG Peterson. Matemaatika klass 1-4 - Metoodilised soovitused õpetajatele - M.: “Ballas”, 2005.
- Diagnostilised tulemused haridusprotsess 4-aastases algkoolis: Kasvatus- ja metoodiline käsiraamat / Toim. Kalinina N.V. / Uljanovsk: UIPKPRO, 2002.
- Sõltumatu ja proovipaberid algkoolile (-4). M. - "Ballas", 2005.
- J. Piaget. Valitud psühholoogilised teosed. SP-b.: Kirjastus "Peeter", 1999.
- A.V. Sergeenko. Matemaatika õpetamine välismaal.- M.: Akadeemia, 1998.
- Stoilova L.P. Matemaatika. M. - Akadeemia, 2000.
- W.W. Sawyer Prelüüd matemaatikale, M.-Prosveshchenie.1982.
- Testid: Algkool. 1, 2, 3, 4 klass: Haridus- ja metoodiline käsiraamat / L.M. Zelenina, T.E. Khokhlova, M.N. Bystrova jt - 2. väljaanne, stereotüüp. - M .: Bustard, 2004.
Psühholoogias valitses üsna pikka aega arvamus, et algebra elemente tuleks õppida mitte algklassides, vaid vanemas klassis, kuna noorema koolilapse mõtlemise iseärasused, võimetus rohkem abstraktsioone moodustada. kõrge tase. Sellised silmapaistvad psühholoogid nagu P. Ya Galperin, V. V. Davõdov, D. B. Elkonin jt ja õpetajad - A. I. Merkuševich, A. M. Pyshkalo jne leidsid aga, et 6–10-aastased lapsed saavad teatud koolituse korraldusega. valdab täielikult mõne algebralise mõiste sisu. Sellest lähtuvalt võeti algebraline materjal 1969. aastal algkooli matemaatika õppekavasse.
Nooremad koolilapsed algebra elemente uurides saavad nad alginfot arvavaldiste, arvuliste võrduste ja võrratuste, muutujaga võrratuste, muutujaga avaldiste, kahe muutujaga võrrandite kohta.
Algebralist materjali õpitakse alates 1. klassist. tihedas seoses aritmeetika ja geomeetriaga. Algebra elementide kasutuselevõtt aitab kaasa arvude, aritmeetiliste tehete ja matemaatiliste seoste mõistete üldistamisele ning samal ajal valmistab lapsi ette algebra õppimiseks järgmistes klassides.
Õppetöö põhietapid ja algebralise materjali sisu
1. ARVUVÄLJENDITE UURIMISE METOODIKA
Numbriline avaldis -
1. iga arv on arvuline avaldis.
2. kui a ja b on arvavaldised, siis nende summa a+b, vahe a-b, korrutis a∙b ja jagatis a:b on samuti arvavaldised.
Numbrilise avaldise väärtus- see on kõigi toimingute tulemusel saadud arv. näidatud numbriliselt.
Matemaatikaprogramm pakub:
Tutvustage toimingute järjekorra reegleid ja õpetage neid arvutustes kasutama,
Tutvustage õpilastele avaldiste identseid teisendusi.
CV-dega tutvumise metoodika võib jagada kolmeks etapiks:
1. etapp. Tutvumine ühte tegevust sisaldavate väljenditega (summa, vahe, korrutis, kahe arvu jagatis).
Tutvumine esimese väljendiga – summaga – toimub 1. klassis. kontsentratsiooni "10" uurimisel.
1. Hulgadega tehteid tehes õpivad lapsed ennekõike liitmise ja lahutamise spetsiifilist tähendust, seetõttu mõistavad nad vormi 5 + 1,6-2 tähistes tegevuste märke sõnade "lisa" lühinimetusena. , "lahutage" (loetakse: liitke 1 kuni 5, saate 6, lahutage 6-st 2, saate 4).
2. Tulevikus süveneb nende toimingute kontseptsioon. Õpilased saavad teada, et mõne ühiku lisamine suurendab arvu sama ühikute arvu võrra ja arvu lahutamine vähendab seda sama ühikute arvu võrra.
(lugemine: 5 suurendada 1 võrra, 6 vähendada 2 võrra).
3. Seejärel õpivad lapsed tegevusmärkide nimesid: "pluss", "miinus"
(lugemine: 5 pluss 1,6 miinus 1).
4. Lapsed õpivad CV komponentide nimetusi.
(lugemine: 1 liige. 5, 2 terminit 1, summa võrdub 6).
Ligikaudu samamoodi käib töö järgmiste avaldiste kallal: erinevus (1. klass), korrutis ja jagatis (2. klass).
2. etapp. Tutvumine ühe etapi tegevusi sisaldavate CV-dega .
Enne sulgudega väljendite õppimist pakutakse õpilastele avaldisi kujul 8+1-7 10-5+4
Nendel juhtudel leitakse esmalt ovaaliga ümbritsetud avaldise väärtus, seejärel lahutatakse saadud tulemusest ruudus olev arv. Sel juhul kasutavad õpilased tegevuste järjestuse reeglit kaudsel kujul ja sooritavad esimesed identsed teisendused (8+1-7=9-7=2).
Hiljem võetakse kasutusele sulud 6+4-1=(6+4)-1.
Reegel on moodustatud: esmalt sooritatakse sulgudesse kirjutatud toiming.
Sissejutatud reegli valdamiseks on kaasatud erinevad treeningharjutused. Samal ajal õpivad lapsed neid väljendeid õigesti lugema ja kirjutama:
Kirjutage ja arvutage: .
1. Lahutage arvude 9 ja 7 summast 10.
2. 10-le lisage numbrite 9 ja 7 vahe.
Järgnevalt tutvustatakse arvavaldise mõisteid (ostensiiv, näidates) ja arvavaldise tähendust. 2 klassi Koos. 68
Pärast seda loevad või kirjutavad lapsed väljendeid üles, leiavad nende tähendused ja koostavad ise väljendeid.
Uute terminite valdamine võimaldab neil lugeda väljendeid uuel viisil ( kirjutage üles väljendid, leidke väljendi tähendus, võrrelge väljendeid jne) 2. klass lk.58 nr 1,2, 6; lk.69 nr 2.
Keerulistes väljendites on väljendeid ühendavatel tegevusmärkidel kahekordne tähendus, mis avaldub õpilastele.
Küsimused ja ülesanded iseseisvaks tööks
1. Nimeta geomeetrilised mõisted, mida algkoolis õpitakse. Miks neid uuritakse?
2. Kas geomeetriline materjal moodustab matemaatika algkursuse iseseisva osa? Miks?
3. Kirjeldage õpilaste arendamise metoodikat geomeetrilised mõisted: segment, kolmnurk, nurk, ristkülik.
4. Milliseid võimalusi annab geomeetrilise materjali õppimine õpilaste loogilise mõtlemise arendamiseks? Too näiteid.
5. Milliseid seoseid saavad õpilased geomeetrilist materjali uurides tuttavaks?
6. Millist funktsiooni täidavad ehitusülesanded põhikoolis?
7. Too näiteid põhikoolile omasetest ehitusprobleemidest.
8. Millised on ehitusprobleemide lahendamise etapid? Näidake, mil määral saab ehitusülesannete lahendamise üldist skeemi kasutada algklassides.
Loeng 14. Algebralise materjali uurimise meetodid
1. Matemaatika põhimõisted.
2. Algebralise materjali uurimismeetodite üldküsimused algklasside matemaatikakursustes.
3. Arvulised avaldised. Aritmeetiliste tehete sooritamise järjekorra reeglitega tutvumine.
4. Muutujaga avaldised.
5. Võrrandite uurimise meetodid.
6. Numbriliste võrratuste ja arvuliste võrratuste uurimise metoodika.
7. Funktsionaalse sõltuvuse tutvustamine õpilastele.
Viited: (1) 4. peatükk; (2) §-d 27, 37, 52; (5) - (12).
Matemaatika põhimõisted
Numbriline avaldis in üldine vaade saab määratleda nii:
1) Iga arv on arvuline avaldis.
2) Kui A ja B on arvavaldised, siis (A) + (B), (A) - (B), (A) (B), (A): (B); (A)⁽ⁿ⁾ ja f(A), kus f (x) on mingi arvfunktsioon, on samuti arvavaldised.
Kui kõiki selles määratud toiminguid saab sooritada arvavaldises, siis saadud reaalarvu nimetatakse selle arvavaldise arvväärtuseks ja arvulisel avaldisel on tähendus. Mõnikord pole numbrilisel avaldisel arvväärtust, sest kõik selles nimetatud toimingud ei ole teostatavad; sellisel arvulisel avaldisel pole väidetavalt mingit tähendust. Niisiis, järgmised arvulised avaldised (5 - 3): (2 - 8:4); √7 – 2 · 6 ja (7 – 7)° ei ole mõttekas.
Seega on igal arvulisel avaldisel kas üks arvväärtus või see on mõttetu. -
Arvulise avaldise väärtuse arvutamisel kasutatakse järgmist protseduuri:
1. Kõik sulgudes olevad toimingud sooritatakse kõigepealt. Kui sulgusid on mitu paari, alustatakse arvutusi kõige sisematest.
2. Sulgude sees määrab arvutuste järjekorra tehte prioriteet: kõigepealt arvutatakse funktsiooni väärtused, seejärel tehakse astendamine, seejärel korrutamine või jagamine ning viimasena liitmine ja lahutamine.
3. Kui on mitu sama prioriteediga operatsiooni, tehakse arvutused järjestikku vasakult paremale.
Numbriline võrdsus- kaks arvavaldist A ja B, mis on ühendatud võrdusmärgiga ("=").
Numbriline ebavõrdsus- kaks arvavaldist A ja B, mis on ühendatud ebavõrdsuse märgiga (“<", ">", "≤" või "≥").
Kutsutakse välja avaldis, mis sisaldab muutujat ja mis muutub numbriks, kui muutuja asendatakse selle väärtusega avaldis muutujaga või numbriline vorm.
Võrrand ühe muutujaga(ühe tundmatuga) – predikaat kujul f₁(x) = f₂(x), kus x ∊X, kus f₁(x) ja f₂(x) on hulgal X defineeritud avaldised muutujaga x.
Mis tahes muutuja x väärtust hulgast X, mille võrrand muutub tõeliseks arvuliseks võrrandiks, nimetatakse juur(võrrandi lahendamine). Lahenda võrrand- see tähendab kõigi selle juurte leidmist või tõestamist, et neid pole olemas. Võrrandi kõigi juurte hulka (või predikaadi f1(x) = f₂(x) tõehulka T) nimetatakse võrrandi lahendite hulgaks.
Väärtuste kogumit, millega võrrandi mõlemad pooled on määratletud, nimetatakse muutuja x lubatud väärtuste piirkonnaks (ADV) ja võrrandi definitsioonipiirkonnaks.
2. Algebralise materjali uurimismeetodite üldküsimused
Matemaatika algkursus sisaldab koos põhilise aritmeetilise materjaliga ka algebra elemente, mida esindavad järgmised mõisted:
Numbrilised avaldised;
Avaldised muutujaga;
Arvulised võrdsused ja ebavõrdsused;
Võrrandid.
Algebra elementide lisamise eesmärk algkooli matemaatikakursusesse on:
Kaaluge aritmeetilist materjali põhjalikumalt ja sügavamalt;
Viia õpilaste üldistused kõrgemale tasemele;
Luua eeldused algebra edukamaks õppimiseks kesk- ja gümnaasiumis.
Algebralist materjali programmis eraldi teemana esile ei tõsta. See jaotatakse kogu algkooli matemaatikakursusel koos üksikute küsimustega. Neid küsimusi õpitakse alates 1. klassist paralleelselt aritmeetilise põhimaterjali õppimisega. Programmis pakutud küsimuste käsitlemise järjestuse määrab õpik.
Õpitud algebraliste mõistete valdamine algklassides hõlmab sobiva terminoloogia kasutuselevõttu ja lihtsate toimingute sooritamist ilma formaalsete loogiliste definitsioonide konstrueerimiseta.
Saada oma head tööd teadmistebaasi on lihtne. Kasutage allolevat vormi
Üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös, on teile väga tänulikud.
Postitatud aadressil http://www.allbest.ru/
Algebralise materjali uurimise meetodid
Loeng 1. Matemaatilised avaldised
1.1 Matemaatilise avaldise mõiste õppimine
Algebralist materjali õpitakse alates 1. klassist tihedas seoses aritmeetilise ja geomeetrilise materjaliga. Algebra elementide kasutuselevõtt soodustab mõistete edastamist arvu, aritmeetiliste toimingute, matemaatiliste seoste kohta ja samal ajal valmistab lapsi ette algebra õppimiseks järgmistes klassides.
Kursuse põhilised algebralised mõisted on „võrdsus“, „ebavõrdsus“, „avaldis“, võrrand. Algklasside matemaatikakursuses nende mõistete definitsioonid puuduvad. Õpilased saavad neist mõistetest aru ideede tasandil õppeprotsessi käigus. spetsiaalselt valitud harjutuste sooritamine.
1.–4. klassi matemaatikaprogramm näeb ette, et lapsi õpetatakse lugema ja kirjutama magmaatilisi väljendeid: tutvustada tegevuste järjekorra reeglitega ja õpetada neid arvutustes kasutama, tutvustada õpilasi avaldiste identsete teisendustega.
Lastel matemaatilise avaldise mõiste kujundamisel tuleb arvestada, et numbrite vahele asetatud tegevusmärk on kahetähendusliku tähendusega; ühelt poolt tähistab see toimingut, mis tuleb sooritada numbritega (näiteks 6+4 - lisa 4); teisest küljest näitab tegevusmärk avaldist (6+4 on arvude 6 ja 4 summa).
Väljenditega töötamise metoodika hõlmab kahte etappi. Neist esimeses moodustatakse lihtsate avaldiste mõiste (summa, erinevus, korrutis, kahe arvu jagatis) ja teises - keerukate (summa umbes, korrutised ja arvud, kahe jagatise erinevus jne) mõiste. .
Tutvustame esimest avaldist - kahe summa; arvud esineb 1. klassis liitmise ja lahutamise õppimisel 10 piires. Hulgadega tehteid tehes õpivad lapsed eelkõige liitmise ja lahutamise spetsiifilist tähendust, mistõttu vormi 5+1, 6-2 kirjetes nad mõistavad tegude märke sõnade "liita", "lahutada" lühinimetusena. See kajastub näidus (liides 1-le 5 võrdub 6-ga, lahutades 2-st 6-st, võrdub 4-ga). Tulevikus nende toimingute mõisted süvenevad. Õpilased saavad teada, et mõne ühiku lisamine suurendab arvu sama ühikute arvu võrra ja arvu lahutamine vähendab seda sama ühikute arvu võrra. See kajastub ka nootide lugemise uues vormis (4 suurendamine 2 võrra võrdub 6, 7 vähenemine 2 võrra 5) Seejärel õpivad lapsed tegevusmärkide nimetusi: "pluss", "miinus" ja loevad näiteid, nimetades tegevusmärgid (4+2 =6, 7-3 =4),
Olles tutvunud komponentide nimetuste ja liitmise tulemusega, kasutavad õpilased liitmise tulemuseks oleva arvu tähistamiseks terminit "summa". Tuginedes laste teadmistele arvude nimede kohta lisaks, selgitab õpetaja, et lisaks näidetele nimetatakse kirjet, mis koosneb kahest plussmärgiga ühendatud arvust, samamoodi nagu võrdusmärgi teisel poolel olevat numbrit (9 summa "6+3 on samuti summa). See on selgelt kujutatud järgmiselt:
Selleks, et lapsed õpiksid avaldise nimena mõiste "summa" uut tähendust tundma, antakse järgmised harjutused: "Kirjutage üles arvude 7 ja 2 summa; arvutage välja, milline on arvude 3 ja 4 summa on võrdne; loe kirje (6 + 3), öelge, millega summa võrdub; asenda number on arvude summa (9= ?+?); võrrelge arvude summasid (6+3 ja 6+2) , öelge, kumb on suurem, kirjutage see üles märgiga suurem kui ja lugege kirjet. Selliste harjutuste käigus mõistavad õpilased järk-järgult mõiste "summa" kahekordset tähendust: numbrite summa üleskirjutamiseks tuleb need ühendada plussmärgiga; Summa väärtuse leidmiseks tuleb lisada etteantud arvud.
Ligikaudu samal viisil töötame järgmiste avaldiste kallal: kahe arvu erinevus, korrutis ja jagatis. Kuid nüüd võetakse kõik need terminid kohe kasutusele nii avaldise kui ka toimingu tulemuse nimetusena. Väljendite lugemise ja kirjutamise ning nende tähenduse leidmise oskust sobiva tegevuse abil arendatakse korduvate harjutuste kaudu, mis on sarnased summadega harjutustele.
10 piires liitmise ja lahutamise uurimisel kaasatakse avaldised, mis koosnevad kolmest või enamast arvust, mis on ühendatud vormi samade või erinevate tegevusmärkidega: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2. Nende väljendite tähendusi arvutades valdavad lapsed väljendites reeglit toimingute sooritamise järjekorra kohta ilma sulgudeta väljendites, kuigi nad seda ei sõnasta. Mõnevõrra hiljem õpetatakse lapsi arvutamise käigus avaldisi teisendama: näiteks: 7+5=3+5=8. Sellised kirjed on identiteedi teisenduste tegemise esimene samm.
Esimese klassi õpilastele vormi väljendite tutvustamine: 10 - (6+2), (7-4)+5 jne. valmistab neid ette uurima arvu summale liitmise, summast arvu lahutamise jms reegleid, liitülesannete lahendusi kirja panema ning ühtlasi aitab kaasa väljenduse mõiste sügavamale mõistmisele.
Metoodika õpilastele vormi väljendite tutvustamiseks: 10+(6-2), (7+4)+5 jne. valmistab neid ette uurima arvu summale liitmise, summast arvu lahutamise jms reegleid, liitülesannete lahendusi kirja panema ning ühtlasi aitab kaasa väljenduse mõiste sügavamale mõistmisele.
Õpilastele vormi 10+(6-2), (5+3) -1 väljendite tutvustamise meetod võib olla erinev. Saate kohe õpetada lugema valmisväljendeid analoogselt näitega ja arvutama väljendite tähendusi, selgitades toimingute järjekorda. Teine võimalik viis lastele seda tüüpi väljenditega kurssi viia on koostada õpilaste poolt need avaldised etteantud arvust ja kõige lihtsamast avaldisest.
Väljendite koostamise ja tähenduse leidmise oskust kasutavad õpilased liitülesannete lahendamisel, samas toimub siin väljendusmõiste edasine valdamine, omandatakse väljendite spetsiifiline tähendus ülesannete lahenduste kirjetes. Sellega seoses tuleb kasuks harjutus: probleemi seisukord tuuakse välja näiteks "Poisil oli 24 rubla. Jäätis maksab 12 rubla, komm 6 rubla." Lapsed peaksid selgitama, mida näitavad sel juhul järgmised väljendid:
Teises klassis võetakse kasutusele mõisted “matemaatiline avaldis” ja “väljenduse tähendus” (ilma definitsioonita). Pärast mitme näite salvestamist ühes tegevuses teatab õpetaja, et neid näiteid nimetatakse muidu matemaatilisteks avaldisteks.
Õpetaja õpetuse järgi mõtlevad lapsed ise välja erinevaid väljendeid. Õpetaja soovitab tulemused arvutada ja selgitab, et muidu nimetatakse tulemusi matemaatiliste avaldiste väärtusteks. Siis võetakse arvesse keerukamaid matemaatilisi avaldisi.
Hiljem esinedes erinevaid harjutusi esmalt õpetaja ja seejärel lapsed kasutavad uusi termineid (kirjutage väljendid üles, leidke väljendi tähendus, võrrelge väljendeid jne).
Keerulistes väljendites on ka lihtsamaid väljendeid ühendavatel tegevusmärkidel topelttähendus, mida õpilased tasapisi paljastavad. Näiteks avaldises 20+(34-8) näitab märk “+” toimingut, mis tuleb sooritada numbriga 20 ning numbrite 34 ja 8 vahet (lisada numbrite 34 ja 8 vahe 20). Lisaks tähistab plussmärk summat - see avaldis on summa, mille esimene liige on 20 ja teine liige on väljendatud numbrite 34 ja 8 vahega.
Pärast seda, kui lapsed on teises klassis tutvunud keerulistes avaldistes toimingute sooritamise järjekorraga, hakkavad nad moodustama mõisteid summa, erinevus, korrutis, jagatis, milles üksikuid elemente täpsustatakse avaldiste abil.
Seejärel omandavad õpilased väljendite lugemise, koostamise ja kirjutamise korduvate harjutuste käigus järk-järgult oskuse määrata keeruka väljenduse tüüp (2-3 sammuga).
Ühiselt koostatud ja väljendite lugemisel kasutatav diagramm hõlbustab oluliselt laste tööd:
määrata, milline toiming sooritatakse viimati;
pidage meeles, milliseid numbreid selle toimingu sooritamisel kutsutakse;
Harjutused keeruliste toimingute lugemiseks ja kirjutamiseks, kasutades lihtsaid väljendeid, aitavad lastel õppida korrareegleid.
1.2 Kodukorra õppimine
Keerulistes väljendites toimingute sooritamise järjekorra reegleid õpitakse 2. klassis, kuid lapsed kasutavad mõnda neist praktiliselt 1. klassis.
Esiteks käsitleme reeglit tehte järjekorra kohta avaldistes ilma sulgudeta, kui arve sooritatakse kas ainult liitmine ja lahutamine või ainult korrutamine ja jagamine. Kaht või enamat samal tasemel aritmeetilist tehtet sisaldavate avaldiste kasutuselevõtu vajadus tekib siis, kui õpilased tutvuvad 10 piires liitmise ja lahutamise arvutustehnikatega, nimelt:
Samamoodi: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.
Kuna nende väljendite tähenduste leidmiseks pöörduvad koolilapsed objektiivsete toimingute poole, mida tehakse kindlas järjekorras, õpivad nad kergesti ära tõsiasja, et avaldistes toimuvad aritmeetilised toimingud (liitmine ja lahutamine) sooritatakse järjestikku vasakult paremale.
Arvuavaldistega, mis sisaldavad liitmise ja lahutamise tehteid ning sulgusid, kohtavad õpilased esmalt teemas "Lisamine ja lahutamine 10 piires". Kui lapsed kohtavad selliseid väljendeid 1. klassis, näiteks: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1, 4 +3 - 2; 2. klassis näiteks: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32+18 - 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, näitab õpetaja, kuidas selliseid väljendeid lugeda ja kirjutada ning nende tähendust leida (näiteks 4*10:5 loe: 4 korruta 10-ga ja jagage saadud tulemus 5-ga). Õppides 2. klassis teemat “Tegevuste järjekord”, oskavad õpilased leida seda tüüpi väljendite tähendused. Töö eesmärk selles etapis on tugineda õpilaste praktilistele oskustele, juhtida nende tähelepanu sellistes väljendites toimingute sooritamise järjekorrale ja sõnastada vastav reegel. Õpilased lahendavad iseseisvalt õpetaja valitud näiteid ja selgitavad, millises järjekorras nad need sooritasid; toimingud igas näites. Seejärel sõnastavad nad järelduse ise või loevad õpikust: kui sulgudeta avaldises on märgitud ainult liitmise ja lahutamise toimingud (või ainult korrutamise ja jagamise toimingud), siis tehakse need kirjutamise järjekorras. (st vasakult paremale).
Hoolimata sellest, et vormiga a+b+c, a+(b+c) ja (a+b)+c avaldistes ei mõjuta sulgude olemasolu liitmise assotsiatiivsest seadusest tulenevalt tegevuste järjekorda, etapis on soovitatav suunata õpilased sellele, et sulgudes olev toiming sooritatakse esimesena. Selle põhjuseks on asjaolu, et vormi a - (b + c) ja a - (b - c) avaldiste puhul on selline üldistus vastuvõetamatu ja õpilaste jaoks esialgne etapp Erinevate numbriliste avaldiste sulgude määramises on üsna raske navigeerida. Edasi arendatakse sulgude kasutamist liitmis- ja lahutamisoperatsioone sisaldavates arvavaldistes, mis on seotud selliste reeglite uurimisega nagu summa liitmine arvule, arv summale, summa lahutamine arvust ja arvu lahutamine arvust. summa. Kuid esmalt sulgude sissetoomisel on oluline suunata õpilasi esmalt sulgudes olevaid toiminguid tegema.
Õpetaja juhib laste tähelepanu sellele, kui oluline on seda reeglit arvutuste tegemisel järgida, vastasel juhul võite saada vale võrdsuse. Näiteks selgitavad õpilased, kuidas saadakse väljendite tähendused: 70 - 36 +10 = 24, 60:10 - 3 = 2, miks need on valed, mis tähendused neil väljenditel tegelikult on. Samamoodi uurivad nad toimingute järjekorda avaldistes, mille sulgudes on vorm: 65 - (26 - 14), 50: (30 - 20), 90: (2 * 5). Õpilased tunnevad ka selliseid väljendeid ning oskavad lugeda, kirjutada ja arvutada nende tähendust. Olles selgitanud tegevuste järjekorda mitmes sellises väljendis, sõnastavad lapsed järelduse: sulgudega väljendites sooritatakse esimene toiming sulgudesse kirjutatud numbritega. Neid väljendeid vaadates ei ole raske näidata, et nendes olevaid toiminguid ei sooritata nende kirjutamise järjekorras; nende täitmise erineva järjekorra näitamiseks ja kasutatakse sulgusid.
Järgnevalt tutvustatakse sulgudeta avaldistes toimingute sooritamise järjekorra reeglit, kui need sisaldavad esimese ja teise etapi toiminguid. Kuna kodukord võetakse vastu kokkuleppel, edastab õpetaja selle lastele või õpivad õpilased õpikust. Tagamaks, et õpilased mõistavad tutvustatud reegleid koos treeningharjutused sisaldama näidetele lahendusi koos nende tegevuste järjekorra selgitusega. Tõhusad on ka harjutused vigade selgitamiseks tegevuste järjekorras. Näiteks on antud näidete paaridest tehtud ettepanek kirjutada üles ainult need, kus arvutused viidi läbi vastavalt toimingute järjekorra reeglitele:
Pärast vigade selgitamist saate anda ülesande: muutke sulgude abil toimingute järjekorda nii, et avaldis oleks määratud väärtusega. Näiteks selleks, et esimese antud avaldise väärtus oleks 10, tuleb see kirjutada järgmiselt: (20+30):5=10.
Avaldise väärtuse arvutamise harjutused on eriti kasulikud siis, kui õpilane peab rakendama kõiki õpitud reegleid. Näiteks on tahvlile või vihikutesse kirjutatud väljend 36:6+3*2. Õpilased arvutavad selle väärtuse. Seejärel kasutavad lapsed vastavalt õpetaja juhistele sulgusid, et muuta avaldises olevate toimingute järjekorda:
Huvitav, kuid keerulisem harjutus on vastupidine harjutus: sulgude paigutamine nii, et avaldis oleks antud väärtusega:
Huvitavad on ka järgmised harjutused:
1. Asetage sulud nii, et võrdsused oleksid tõesed:
25-17:4=2 3*6-4=6
2. Asetage tärnide asemel "+" või "-" märgid, et saada õiged võrdsused:
3. Asetage tärnide asemel aritmeetilised märgid, et võrdsused oleksid tõesed:
Selliseid harjutusi sooritades saavad õpilased veendumuse, et tegevuste järjekorra muutmisel võib väljendi tähendus muutuda.
Toimingute järjekorra reeglite omandamiseks on vaja 3. ja 4. klassis lisada järjest keerukamad väljendid, mille väärtuste arvutamisel õpilane rakendaks mitte ühte, vaid kahte või kolme toimingute järjekorra reeglit. aeg, näiteks:
90*8- (240+170)+190,
469148-148*9+(30 100 - 26909).
Sel juhul tuleks numbrid valida nii, et need võimaldaksid toiminguid sooritada mis tahes järjekorras, mis loob tingimused õpitud reeglite teadlikuks rakendamiseks.
1.3 Sissejuhatus avaldiste teisendusse
Avaldise teisendamine on antud avaldise asendamine teisega, mille väärtus on võrdne antud avaldise väärtusega. Õpilased sooritavad selliseid avaldiste moodustamisi, tuginedes aritmeetiliste tehete omadustele ja nendest tulenevatele tagajärgedele.
Iga reegli uurimisel veenduvad õpilased, et avaldistes teatud tüüpi saate toiminguid teha erineval viisil, kuid väljendi tähendus ei muutu. Edaspidi kasutavad õpilased teadmisi tegevuste omadustest, et muuta etteantud väljendid nendega võrdväärseteks väljenditeks. Näiteks pakutakse selliseid ülesandeid: jätkake salvestamist, nii et märk "=" säiliks:
56- (20+1)=56-20...
(10+5) * 4=10*4...
60:(2*10)=60:10...
Esimese ülesande täitmisel arutlevad õpilased nii: vasakul lahutage 56-st arvude 20 ja 1 summa, paremal lahutage 56-st 20; et saada paremale sama summa kui vasakule, tuleb paremalt lahutada ka 1. Teised avaldised teisendatakse sarnaselt, st pärast avaldise lugemist jätab õpilane meelde vastava reegli ja sooritades toiminguid vastavalt reegel, saab teisendatud avaldise. Teisenduse õigsuse tagamiseks arvutavad lapsed antud ja teisendatud avaldiste väärtused ja võrdlevad neid. Kasutades arvutustehnikate põhjendamiseks teadmisi toimingute omadustest, teevad 2.–4. klassi õpilased vormi avaldiste teisendusi:
54+30=(50+4)+20=(50+20)+4=70+4=74
72:3=(60+12):3=60:3+12:3=24
16 * 40=16 * (3 * 10)=(16 * 3) * 10=540
Siin on ka vajalik, et õpilased mitte ainult ei selgitaks, mille alusel nad iga järgnevat väljendit tuletavad, vaid mõistaksid ka, et kõiki neid väljendeid ühendab märk “=”, kuna neil on samad tähendused. Selleks tuleks mõnikord lasta lastel välja arvutada väljendite tähendused ja neid võrrelda. See hoiab ära sellised vead nagu:
75-30=70-30=40+5=45,
24*12=(10+2)=24*10 +24*2=288.
2. ja 3. klassi õpilased teisendavad väljendeid mitte ainult tegevuste omaduste, vaid ka tegevuste definitsioonide põhjal. Näiteks identsete terminite summa asendatakse korrutisega: 6+6+6=6 * 3 ja vastupidi: 9 * 4=9+9+9+9. Ka korrutamistoimingu tähendusest lähtuvalt teisendatakse keerulisemad avaldised: 8 * 4+8 = 8 * 5, 7 * 6 - 7 = 7 * 5.
Arvutuste ja spetsiaalselt valitud avaldiste analüüsi põhjal jõutakse 3. klassi õpilasteni järeldusele, et kui sulgudega avaldistes ei mõjuta sulud tegevuste järjekorda, siis võib need ära jätta: (30+20)+10=30+ 20+10, (10-6):4=10-6:4 jne. Seejärel harjutavad õpilased tegevuste uuritud omadusi ja toimingute järjestuse reegleid kasutades muutma sulgudega väljendeid identseteks ilma sulgudeta avaldisteks. Näiteks tehakse ettepanek kirjutada need avaldised ilma sulgudeta, et nende väärtused ei muutuks: (65+30) - 20 (20+4) * 3
Selgitades antud avaldistest esimese lahendust summast arvu lahutamise reegli alusel, asendavad lapsed selle avaldistega: 65+30 - 20, 65 - 20+30, 30 - 20+65, selgitades protseduuri. nendes toimingute sooritamise eest. Selliseid harjutusi sooritades on õpilased veendunud, et väljendi tähendus ei muutu, kui tegevuste järjekorda muudetakse vaid siis, kui rakendatakse tegevuste omadusi.
Seega on algkooliõpilastele väljendusmõistega kurssi viimine tihedalt seotud arvutusoskuse kujunemisega. Samas võimaldab väljenduse mõiste kasutuselevõtt korraldada sobivat tööd õpilaste matemaatilise kõne arendamiseks.
Loeng 2. Tähtsümbolid, võrdsused, võrratused, võrrandid
2.1 Tähtsümbolitega tutvumise metoodika
Vastavalt matemaatikaprogrammile tutvustatakse 3. klassis tähemärke.
Siin õpivad õpilased tundmatut numbrit või avaldise üht komponenti tähistava sümbolina tundma a-tähte vormi avaldiste lahendamisel: kirjutage "kasti" asemel täht a. Leidke summa a+6 väärtused, kui a=8, a=7. Seejärel saavad nad järgmistes tundides tuttavaks mõne ladina tähestiku tähega, mis tähistab üht väljendi komponenti. Täht x, tähis tundmatu arvu tähistamiseks võrrandite lahendamisel kujul: a + x = b, x - c = b - võetakse kasutusele 3. klassi IV veerandil.
Tähe kasutuselevõtt muutujat tähistava sümbolina võimaldab juba algklassides alustada tööd muutuja mõiste kujundamisega ning tutvustada lastele sümbolite matemaatilist keelt varem.
Alguses tehakse ettevalmistustööd tähe kui sümboli tähenduse paljastamiseks muutuja tähistamiseks õppeaastal 3. klassis. Selles esimeses etapis tutvustatakse lastele mõningaid ladina tähestiku tähti (a, b, c, d, k), mis tähistavad muutujat, st. üks avaldise komponentidest.
Tähesümbolite kasutuselevõtul numbrilise muutuja tähistamiseks mängib harjutuste süsteemis olulist rolli induktiivsete ja deduktiivsete meetodite oskuslik kombineerimine. Vastavalt sellele hõlmavad harjutused üleminekut numbrilistest avaldistest tähestikulistele avaldistele ja vastupidi, tähestikulistest avaldistest numbrilistele. Näiteks tahvlile riputatakse kolme taskuga plakat, millele on kirjutatud: “1 termin”, “2 termin”, “summa”.
Õpilastega vesteldes täidab õpetaja plakati taskud kaartidega, millele on kirjutatud numbrid ja matemaatilised avaldised:
Edasi saab selgeks, kas väljendeid on ikka võimalik koostada, kui palju selliseid väljendeid saab koostada. Lapsed mõtlevad välja teisi väljendeid ja leiavad neis midagi ühist: sama tegevus on liitmine ja erinev tegevus on erinevad terminid. Õpetaja selgitab, et erinevate numbrite üleskirjutamise asemel võib mõne tähega tähistada mis tahes numbrit, mis võib olla termin, näiteks a, suvalist numbrit, mis võib olla teine liige, näiteks b. Seejärel saab summa märkida järgmiselt: a + b (vastavad kaardid pannakse plakati taskutesse).
Õpetaja selgitab, et a+b on samuti matemaatiline avaldis, ainult selles on terminid tähistatud tähtedega, iga täht tähistab suvalist numbreid. Neid numbreid nimetatakse tähtväärtusteks.
Arvude erinevus tuuakse sisse sarnaselt arvavaldiste üldistatud tähistusega. Selleks, et õpilased mõistaksid, et avaldises sisalduvad tähed, näiteks b + c, võivad omandada palju arvväärtusi ja tähtavaldis ise on arvuliste avaldiste üldistatud tähistus, on ette nähtud harjutused üleminekuks tähtavaldistelt. numbriliste juurde.
Õpilased on veendunud, et andes tähtedele isikupäraseid arvväärtusi, saavad nad nii palju arvavaldisi, kui tahavad. Samamoodi tehakse tööd ka sõnasõnalise avaldise – arvude erinevuse – konkretiseerimiseks.
Edasi, seoses väljendite alase tööga, ilmneb konstantse väärtuse mõiste. Selleks võetakse arvesse avaldisi, milles konstantne väärtus on fikseeritud numbri abil, näiteks: a±12, 8±c. Siin, nagu ka esimeses etapis, on ette nähtud harjutused üleminekuks numbrilistest avaldistest tähtede ja numbritega kirjutatud avaldistele ja vastupidi.
Selleks kasutatakse esialgu kolme taskuga plakatit.
Kui õpilased täidavad plakati taskuid kaartidega, millele on kirjutatud numbrid ja matemaatilised avaldised, märkavad nad, et esimese termini väärtused muutuvad, kuid teise termini väärtused ei muutu.
Õpetaja selgitab, et teise termini saab kirjutada numbrite abil, seejärel saab arvude summa kirjutada järgmiselt: m + 8 ja kaardid pistetakse plakati vastavatesse taskutesse.
Sarnasel viisil saate vormi matemaatilisi avaldisi: 17±a, ±30 ja hiljem - vormi avaldisi: 7* in, c*4, a:8, 48:in.
4. klassis harjutusi nagu: Leia väljend a:b tähendus, kui
a = 3400 ja b = 2;
a = 2800 ja b = 7.
Kui õpilased mõistavad tähesümbolite tähendust, saab tähti kasutada nende teadmiste kokkuvõtmiseks.
Tähesümbolite kui üldistusvahendi kasutamise spetsiifiliseks aluseks on teadmised aritmeetiliste tehtetest ja nende põhjal kujunevad teadmised.
Nende hulka kuuluvad mõisted aritmeetiliste tehtetest, nende omadustest, komponentide vahelistest seostest ja tegevustulemustest, aritmeetiliste toimingute tulemuste muutumisest sõltuvalt ühe komponendi muutusest jne.
Seega aitab tähesümbolite kasutamine tõsta algklassiõpilaste omandatud teadmiste üldistustaset ning valmistab neid ette süstemaatilise algebra kursuse õppimiseks järgmistes klassides.
2.2 Arvulised võrdsused, ebavõrdsused
Võrdsuse, ebavõrdsuse ja võrrandite mõiste ilmneb vastastikuses seoses. Töö nende kallal toimub alates 1. klassist, mis on orgaaniliselt ühendatud aritmeetilise materjali õppimisega.
Uue programmi järgi on ülesandeks õpetada lapsi võrdlema numbreid, samuti võrdlema väljendeid, et luua suhteid “rohkem”, “vähem”, “võrdne”; õpetage kirjutama võrdlustulemusi, kasutades märke ">", "<", "=" и читать полученные равенства и неравенства.
Õpilased saavad etteantud arvude või aritmeetiliste avaldiste võrdluse põhjal arvulised võrrandid ja võrratused. Esialgu kujundavad nooremad kooliõpilased kontseptsiooni ainult tõelisest võrdsusest ja ebavõrdsusest (5>4, 6<7, 8=8).
Seejärel, kui õpilased omandavad muutujaga avaldiste ja ebavõrdsuste kallal töötamise kogemuse, liiguvad nad pärast tõeste ja valede (tõene ja väära) väidete kontseptsiooni kaalumist edasi võrdsuse ja ebavõrdsuse mõistete sellise definitsiooni juurde, mille kohaselt mis tahes kaks numbrid, kahte avaldist, mis on ühendatud ühe märgiga "suurem kui ", "vähem", nimetatakse ebavõrdsuseks. Samas eristatakse tõeseid ja valesid võrdusi ja ebavõrdsusi. 3. klassis pakutakse järgmisi harjutusi: kontrolli, kas antud võrrandid on õiged (4. veerand): 760 - 400=90*4; 630:7=640:8.
Kuid nendest harjutustest ei piisa. 4. klassis pakutakse sarnaseid ja muid harjutusi, näiteks: kontrollige, kas ebavõrdsused on tõesed: 478 * 24<478* (3*9); 356*10*6>356*16.
Võrdsuste ja ebavõrdsustega tutvumine algklassides on otseselt seotud numeratsiooni ja aritmeetiliste tehete õppimisega. matemaatiline algebra võrrand
Arvude võrdlemine toimub esmalt hulkade võrdlemise alusel, mis teatavasti tehakse üks-ühele vastavuse loomisega. Seda komplektide võrdlemise meetodit õpetatakse lastele ettevalmistusperioodil ja esimese kümne numbri nummerdamise õppimise alguses. Samal ajal loendatakse hulkade elemente ja võrreldakse saadud arve. Edaspidi tuginevad õpilased numbrite võrdlemisel oma kohale loomulikus jadas: 9<10, потому что при счете число 9 называют перед числом 10, и т.д.
Loodud seosed kirjutatakse märkide ">", "<", "=", учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначны: чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда.
Nimetatud arvude võrdlemine toimub esmalt koguste endi väärtuste võrdluse põhjal ja seejärel abstraktsete arvude võrdluse alusel, mille jaoks antud nimelised arvud on väljendatud samades ühikutes. mõõtmine.
Nimetatud arvude võrdlemine tekitab õpilastele suuri raskusi, seetõttu on selle toimingu õpetamiseks vaja 2.–4. klassis süstemaatiliselt pakkuda erinevaid harjutusi:
1 dm * 1 cm, 2 dm * 2 cm
Asendage sama arvuga: 7 km 500 m = _____ m
3) Valige numbrid nii, et kirje oleks õige: ____ h< ____ мин, ___ см=__ дм и т.д.
4) Kontrollige, kas antud võrrandid on tõesed või valed, parandage märki, kui võrrandid on valed:
4 t 8 c=480 kg, 100 min.=1 tund, 2 m 5 cm=250 cm.
Avaldiste võrdlemisele üleminek toimub järk-järgult. Esiteks, õppimise käigus lisamine ja. lahutamine 10 piires, harjutavad lapsed pikka aega avaldiste ja arvude võrdlemist. Esimesed võrratused kujul 3+1>3, 3 - 1<3 полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. В дальнейшем выражение и число учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами: находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:
Olles tutvunud avaldiste nimetustega, loevad õpilased võrdusi ja ebavõrdsusi nii: arvude 5 ja 3 summa on suurem kui 5.
Tuginedes tehtetele hulkadega ja hulkade võrdlemisel, õpivad õpilased praktiliselt tundma võrduste ja võrratuste olulisi omadusi (kui a = b, siis b = a). Kahe väljendi võrdlemine tähendab nende tähenduste võrdlemist. Arvude ja avaldiste võrdlemine kaasatakse esmalt 20 piires olevate arvude uurimisel ning seejärel kõikides kontsentratsioonides tegevusi uurides pakutakse neid harjutusi süstemaatiliselt lastele.
Teistes kontsentratsioonides tegevusi uurides muutuvad avaldiste võrdlemise harjutused keerulisemaks: avaldised muutuvad keerukamaks, õpilastel palutakse sisestada ühte avaldisesse sobiv arv, et saada õiged võrratused või ebavõrdsused ning koostada avaldistest õiged võrrandid või ebavõrdsused. need väljendid.
Seega aitavad arvude ja avaldiste võrdlemise harjutused kõigi kontsentratsioonide uurimisel ühelt poolt kaasa võrdsuste ja võrratuste mõistete kujunemisele, teisalt aga teadmiste omandamisele nummerdamise ja aritmeetiliste tehete kohta, samuti arvutusoskuste arendamine.
2.3 Metoodika muutujaga ebavõrdsustega tutvumiseks
Võrratused muutujaga kujul: x+3< 7, 10 - х >5 tutvustatakse 3. klassis. Alguses tähistatakse muutujat mitte tähega, vaid "aknaga", seejärel tähistatakse seda tähega.
Algklassides ei kasutata mõisteid “lahenda ebavõrdsus” ja “lahenda ebavõrdsus”, kuna paljudel juhtudel piirdutakse vaid mõne muutuja väärtuse valimisega, mille tulemuseks on tõeline ebavõrdsus. Harjutusi sooritatakse õpetaja juhendamisel.
Ebavõrdsusega harjutused tugevdavad arvutusoskusi ja aitavad omandada ka aritmeetilisi teadmisi. Täheväärtuste valimine ebavõrdsuses ja vormis: 5 + x = 5, 5 - x =5 10 * x = 10, 10* x<10, учащиеся закрепляют знания особых случаев действий. Но самым важным является то, что работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенств в 5 классе. В соответствии с программой в 1-4 классах рассматриваются упражнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х* (17 - 10)=70.
Algklasside ülesandeid peetakse tõelisteks võrdusteks, võrrandi lahendamine taandub tähe (tundmatu arvu) väärtuse leidmisele, mille jaoks antud avaldis on määratud väärtusega. Tundmatu arvu leidmine sellistes võrdustes toimub tulemuse ja aritmeetiliste tehete komponentide vahelise seose teadmise põhjal. Need programminõuded määravad kindlaks võrranditega töötamise metoodika,
2.4 Võrrandite uurimise metoodika
10 piires liitmise ja lahutamise õppimisel esimeste võrrandite kasutuselevõtu ettevalmistavas etapis õpivad õpilased seost summa ja terminite vahel. Lisaks on lapsed selleks ajaks omandanud oskuse võrrelda avaldisi ja numbreid ning saanud oma esimesed ideed vormi numbriliste võrdsuste kohta: 8 = 5 + 3, 6 + 4 = 40. Suure tähtsusega võrrandite kasutuselevõtu ettevalmistamisel on harjutused puuduvate arvude leidmiseks vormi võrrandites: 4 + * = 6, 5- * = 2. Selliste harjutuste sooritamise käigus harjuvad lapsed idee, et teadmata võib olla mitte ainult summa või erinevus, vaid ka üks terminitest.
Võrrandi mõistet tutvustatakse 3. klassis. Võrrandid lahendatakse suuliselt, kasutades valikumeetodit, s.o. lastele pakutakse lihtsaid võrrandeid kujul: x + 3 = 5. Selliste võrrandite lahendamiseks jätavad lapsed meelde arvude kompositsiooni 10 piires, antud juhul arvu 5 kompositsiooni (3 ja 2), mis tähendab x = 2.
4. klassis näitab õpetaja võrrandi lahendamise kirjet, mis põhineb laste teadmistel komponentide seostest ja aritmeetiliste tehtete tulemusest. Näiteks 6+x=15. Me ei tea teist liiget. Teise liikme saamiseks peame esimese liikme summast lahutama.
Lahenduse salvestamine:
Eksam:
Õpilastele tuleb selgitada, et kui me kontrollime, on vaja pärast saadud arvu x asemel asendamist leida saadud avaldise väärtus.
Hiljem, järgmises etapis, lahendatakse võrrandid tundmatu komponendi leidmise reeglite tundmise põhjal.
Iga juhtumi kohta antakse eraldi õppetund.
Postitatud saidile Allbest.ru
...Sarnased dokumendid
Ebavõrdsuse mõiste, selle olemus ja tunnused, klassifikatsioon ja sordid. Numbriliste võrratuste põhiomadused. Teise astme ebavõrdsuse graafilise lahendamise tehnika. Kahe muutujaga võrratuste süsteemid, muutujaga mooduli märgi all.
abstraktne, lisatud 31.01.2009
Trigonomeetrilised võrrandid ja võrratused kooli matemaatika kursuses. Trigonomeetria alase materjali analüüs erinevates õpikutes. Trigonomeetriliste võrrandite tüübid ja nende lahendamise meetodid. Trigonomeetriliste võrrandite ja võrratuste lahendamise oskuste kujundamine.
lõputöö, lisatud 06.05.2010
Teoreetiline teave teemal "Kolmnurkade võrdsuse testid". Teema "Kolmnurkade võrdsuse märgid" uurimise metoodika. Tunni teema on "Kolmnurk. Kolmnurkade tüübid." "Võrdhaarsete ja võrdkülgsete kolmnurkade omadused."
kursusetöö, lisatud 11.01.2004
Võrrandite tüübid, mis võimaldavad järjestust vähendada. Kõrgemat järku lineaarne diferentsiaalvõrrand. Teoreemid osalahenduste omaduste kohta. Wronski determinant ja selle rakendus. Euleri valemi kasutamine. Algebralise võrrandi juurte leidmine.
esitlus, lisatud 29.03.2016
Diferentsiaalvõrrandi kui ühe või mitme muutuja soovitud funktsiooni ühendava võrrandi elementide mõiste ja matemaatiline kirjeldus. Esimest järku mittetäielike ja lineaarsete diferentsiaalvõrrandite koostamine, nende rakendamine majanduses.
abstraktne, lisatud 08.06.2013
Meetod n-nda astme algebralise võrrandi analüütiliseks lahendamiseks (radikaalides) tagasipöördumisega algvõrrandi juurte juurde. Omaväärtused maatriksite funktsioonide leidmiseks. Lineaarsete diferentsiaal- ja diferentsiaalvõrrandite lahenduste stabiilsus.
teaduslik töö, lisatud 05.05.2010
Riccati võrrandi tüüp sõltuva muutuja suvalise murd-lineaarse teisenduse jaoks. Peegeldusfunktsiooni omadused, selle konstrueerimine esimest järku mittelineaarsete diferentsiaalvõrrandite jaoks. OF Riccati võrrandi lemma sõnastamine ja tõestamine.
kursusetöö, lisatud 22.11.2014
Võrrandirea ja võrratuste põhisuunad koolimatemaatika kursuses, seos arv- ja funktsionaalsüsteemiga. Uuringu tunnused, analüütilised ja graafilised meetodid parameetreid sisaldavate võrrandite ja võrratuste lahendamiseks.
kursusetöö, lisatud 01.02.2015
Info süstematiseerimine lineaarsete ja ruutsõltuvuste ning nendega seotud võrrandite ja võrratuste kohta. Täieliku ruudu eraldamine kui meetod mõne mittestandardse probleemi lahendamiseks. Funktsiooni |x| omadused. Moodulit sisaldavad võrrandid ja võrratused.
lõputöö, lisatud 25.06.2010
Arvutiprogrammi arendamise tunnuste analüüs. Lihtsa iteratsioonimeetodi üldised omadused. Sissejuhatus mittelineaarse algebralise võrrandi lahendamise põhimeetoditesse. Võrrandi lahendamise etappide käsitlemine poolitamise meetodil.
Algklasside algebralise materjali õppimise põhieesmärgid on, et algkooliõpilased saaksid algteavet võrdsuste ja ebavõrdsuste kohta, muutuja kohta, võrdsuste ja ebavõrdsuste kohta muutujaga, matemaatiliste avaldiste (numbrilised ja tähestikulised), nende väärtuste arvutamise kohta, lihtsatest võrranditest ja võrratustest, kooliõpilaste õpetamisest nende lahendamise viisidele, aga ka ülesannete lahendamisele algebraliselt. Algebralise materjali õppimine algklassides aitab kaasa arvude, aritmeetiliste tehete ja nende omaduste mõistete üldistamisele ning on ettevalmistus algebra õppimiseks keskkoolis.
Lapsed saavad esimesed ettekujutused võrdsustest ja ebavõrdsustest hulkade ja arvude võrdlemisel. Nende uurimine on seotud numeratsiooni, aritmeetiliste tehete ja suuruste uurimisega. Järgmisena tutvustatakse ideed tõelistest ja valedest võrdsustest ja ebavõrdsustest, võrdsustest ja ebavõrdsustest muutujaga.
Võrrandit käsitletakse kui võrdsust muutujaga. Võrrandi lahendamine tähendab muutuja sellise väärtuse valimist, mis võrrandisse asendamisel muutub õigeks arvuliseks võrduseks. See on võrrandite selektsioonipõhise lahendamise meetodi aluseks. Algklassides lahendatakse võrrandeid ka komponentide ja aritmeetiliste tehete tulemuste vahelise seose alusel, võrduse põhiomaduste rakendamise alusel (L.V. Zankovi süsteem), samuti abiga. graafikud (UMK “21. sajandi algkool”). Ebavõrdsuse lahendus on piiratud valikumeetodiga. Ülesannete lahendamisel kasutatakse võrrandeid ja võrratusi, kuid algebraline ülesannete lahendamise meetod piirdub algklassides tutvumistasemega.
Mõisted kõige lihtsamate avaldiste kohta moodustatakse seoses aritmeetiliste tehete uurimisega, seejärel tutvustatakse keerukaid avaldisi ja muutujaga avaldisi. Nooremad õpilased õpivad järjekorrareeglite abil arvutama keeruliste arvavaldiste väärtusi. Samuti õpivad nad leidma tähtede väärtusi arvestades muutujaga väljendite tähendusi.
Tähtsümboleid kasutatakse aritmeetiliste tehete seaduste ja omaduste salvestamise üldistamiseks, samuti ristkülikute, kolmnurkade, hulknurkade, ruumalade, kiiruste jms pindalade arvutamise valemeid.
Põhikooli matemaatikakursuse algebralise materjali mahu määramisel on praegu kaks radikaalselt vastandlikku suundumust. Üks suundumus on seotud algkooli matemaatikakursuste varase algebraseerimisega. Selle suundumuse esindajad on I. I. Arginskaja, E. I. Aleksandrova, L. G. Peterson, V. N. Rudnitskaja jt. Teine suundumus on seotud algebralise materjali kasutuselevõtuga algkooli matemaatikakursusel selle viimases etapis, 4. klassi lõpus (N. B. Istomina) Pärimuskooli õpik (M.I. Moro jt) on “keskmiste” vaadete esindaja.