Lennuki plaatimine. Parketid - hulknurktasandiline tessellatsioon
Miks mõned inimorganid tulevad paarikaupa (näiteks kopsud, neerud), teised aga ühes eksemplaris?
Kaustikud on üldlevinud optilised pinnad ja kõverad, mis tekivad valguse peegeldumisel ja murdumisel. Kaustikuid võib kirjeldada kui jooni või pindu, mida mööda valguskiired koonduvad.
Shabbat G.B.
Nüüd teame Universumi ehitusest umbes sama palju kui muistsed inimesed teadsid Maa pinnast. Täpsemalt teame, et meie vaatlustele ligipääsetav väike osa universumist on struktureeritud samamoodi nagu väike osa kolmemõõtmelisest eukleidilisest ruumist. Teisisõnu, me elame kolmemõõtmelisel kollektoril (3-kollektoril).
Viktor Lavrus
Inimene eristab enda ümber olevaid objekte nende kuju järgi. Huvi objekti kuju vastu võib dikteerida eluline vajadus või selle võib põhjustada kuju ilu. Parimale aitab kaasa vorm, mis põhineb sümmeetria ja kuldse lõike kombinatsioonil visuaalne taju ning ilu- ja harmooniatunde tekkimine. Tervik koosneb alati osadest, sees on erineva suurusega osad teatud suhtesüksteisele ja tervikule. Kuldse lõike põhimõte - kõrgeim ilming terviku ja selle osade struktuurne ja funktsionaalne täiuslikkus kunstis, teaduses, tehnoloogias ja looduses.
Dokumentaalfilm "Dimensioonid" on kaks tundi matemaatikat, mis viib teid järk-järgult neljandasse dimensiooni.
Sergei Stafeev
Muistsete rahvaste kõige teadmistemahukam ülesanne oli ruumis ja ajas orienteerumine. Sel eesmärgil on inimkond juba ammusest ajast püstitanud arvukalt megaliitehitisi – kromleke, dromosid, dolmeneid ja menhiire. Leiutati uskumatult geniaalsed seadmed, mis võimaldasid lugeda aega minutite täpsusega või visualiseerida suundi mitte rohkem kui poole kraadise veaga. Näitame, kuidas inimesed lõid kõigil mandritel päikesekiirte jaoks lõkse, ehitasid templeid, mis olid justkui astronoomiliste suundade külge "nööritud", kaevasid kaldtunneleid päevaseks tähevaatluseks või püstitasid gnomoonobeliske. Uskumatult suutsid meie kauged esivanemad näiteks jälgida mitte ainult päikese- või kuuvarju, vaid isegi Veenuse varju.
Helitugevuse uurimiseks ja kirjeldamiseks kasutavad inimesed ruumilise keha tasapinnale projitseerimise meetodit. See näeb välja umbes selline:
Teades, millised projektsioonid välja näevad, saate tõelise kolmemõõtmelise objekti ära tunda, uurida ja konstrueerida.
See on klassikalises kristallograafias levinud uurimismeetod. Teadlased uurivad esmalt üht projektsiooni või tasapinda, sillutades selle arvutatud elementidega sama tihedalt nagu parkett ning uurides samal ajal sümmeetriat ja muid sillutatud tasapinna tunnuseid.
Seejärel täidetakse kogu kolmemõõtmeline ruumala nende tasapindadega, nagu raamatud täidavad kuubiku pakendikasti. Seda meetodit nimetatakse plaatimismeetodiks.
Huvi plaatimise vastu tekkis seoses mosaiikide, ornamentide ja muude mustrite ehitamisega, mis põhinevad korrapärastel hulktahukatel: kolmnurgad, ruudud ja kuuseedrid.
Tavalisest viisnurgast või viisnurgast pole lennukit kunagi olnud võimalik plaatida. See jätab lüngad - täitmata praod. Ja seetõttu peetakse klassikalises kristallograafias viisnurkset sümmeetriat tänapäevani keelatud.
Ja lõpuks leiti selline meetod.
1976. aastal andis inglise matemaatik Roger Penrose, kes töötas aktiivselt matemaatika, üldrelatiivsusteooria ja kvantteooria erinevates valdkondades, matemaatilise kirjelduse temanimelisest “Penrose’i mosaiigist”.
Ta võimaldas kahe väga lihtsa kujuga plaadi abil sillutada lõputu tasapinna, millel on kunagi kordumatu muster.
"Penrose'i teemantide" matemaatilise olemuse mõistmiseks pöördume pentagrammi poole.
Kõige lihtsamal kujul on "Penrose'i plaadid" kahte tüüpi rombikujuliste kujundite komplekt, millest mõned on sisenurgaga 36°, teised sisenurgaga 72°. Kumbki koosneb kahest kolmnurgast, mis täidavad vastava pentagrammi mudeli.
Pentagrammi elementide suhted peegeldavad täielikult Fibonacci kuldset proportsiooni. Selle aluseks on irratsionaalne arv = 1,6180339...
Penrose’i idee täita tasapind tihedalt “kuldsete” rombide abil muudeti kolmemõõtmeliseks ruumiks.
Sel juhul võivad "Penrose'i rombide" rolli uutes ruumistruktuurides täita ikosaeedrid ja dodekaeedrid.
See oli ilus leid, vaid üks paljudest ruumilistest paradoksidest lummatud Roger Penrose'i helge ja visa meele leiutistest. Siin on tema laitmatu arusaam Fibonacci kuldlõikest, mis tõi tema uurimistöö kunstile lähemale.
Ja just see oli aluseks edasistele uuringutele ja kvaasikristallide avastamisele keemialaborites ning uuele, loomingulisemale arusaamisele kolmemõõtmelisest ruumist nii teaduse kui ka kunsti jaoks.
Üks silmatorkav näide loomingulisest uurimisest, mis minu tähelepanu köitis, oli noor sloveenia kunstnik Matyushka Teija Krašek.
Ta sai bakalaureusekraadi maalikunsti erialal Visual Arts College'is (Ljubljana, Sloveenia). Tema teoreetiline ja praktiline töö keskendub sümmeetriale kui kunsti ja teaduse vahelisele sillale.
Tema töid on esitletud paljudel rahvusvahelistel näitustel ja avaldatud rahvusvahelistes ajakirjades .
M.T. Krašek oma näitusel "Kaleidoskoopilised lõhnad", Ljubljana, 2005
Ema Teia Krasheki kunstilist loovust seostatakse erinevat tüüpi sümmeetria, Penrose'i plaatide ja rombidega, kvaasikristallidega, kuldlõikega kui sümmeetria põhielemendiga, Fibonacci numbritega jne.
Peegelduse, kujutlusvõime ja intuitsiooni abil püüab ta neis elementides ja struktuurides leida uusi seoseid, uusi struktuuri tasandeid, uut ja erinevat tüüpi korda.
Oma töös kasutab ta laialdaselt arvutigraafikat kui väga kasulikku vahendit kunstiteoste loomisel, mis on ühenduslüli loodusteaduste, matemaatika ja kunsti vahel.
Kui valime selle käegakatsutavalt ebastabiilse kompositsiooni Penrose'i teemandi küljepikkuseks ühe Fibonacci arvu (näiteks 21 cm), saame jälgida, kuidas kompositsiooni mõne segmendi pikkused moodustavad Fibonacci jada.
Suur osa kunstniku kunstilistest kompositsioonidest on pühendatud Shekhtmani kvaasikristallidele ja Penrose'i võretele.
Nendes hämmastavates kompositsioonides võib Penrose'i rombide vahelistes suhetes täheldada ringikujulise sümmeetria ilminguid:
Iga kaks külgnevat Penrose'i teemanti moodustavad viisnurkse tähe. Näete kümnenurka, mille moodustavad 10 külgneva Penrose'i rombi servad, luues uue korrapärase hulktahuka.
Ja viimasel pildil on Penrose’i rombide lõputu koosmõju – pentagrammid, viisnurgad, kahanevad kompositsiooni keskpunkti suunas. Kuldse suhte suhtarvud on erinevates skaalades esindatud mitmel erineval viisil.
Ema Teia Krasheki kunstilised kompositsioonid äratasid teaduse ja kunsti esindajate suurt tähelepanu.
Penrose'i mosaiik on suurepärane näide sellest, kuidas kaunis konstruktsioon, mis asub erinevate erialade ristumiskohas, leiab tingimata oma rakenduse.
Räägime lennuki plaatimisest. Tesselatsioon on terve tasapinna katmine mittekattuvate kujunditega. Ilmselt tekkis huvi sillutise vastu esmalt seoses mosaiikide, ornamentide ja muude mustrite ehitamisega. On teada palju korduvatest motiividest koosnevaid ornamente. Üks lihtsamaid plaate on näidatud joonisel 1.
Tasapind on kaetud rööpkülikutega ja kõik rööpkülikud on identsed. Selle plaadi mis tahes rööpküliku saab roosast rööpkülikust, nihutades viimast vektori võrra (vektorid ja määratakse valitud rööpküliku servade järgi, n ja m on täisarvud). Tuleb märkida, et vektori (või) nihutamisel muutub kogu plaat tervikuna iseendaks. Seda omadust võib võtta definitsioonina: nimelt perioodiline plaatimine perioodidega on plaat, mis vektori ja vektori poolt nihutamisel teiseneb iseendaks. Perioodilised plaadid võivad olla üsna keerulised, mõned neist on väga ilusad.
Lennuki kvaasiperioodiline plaatimine
Seal on lennuki huvitavaid ja mitteperioodilisi tessellatsioone. 1974. aastal Inglise matemaatik Roger Penrose avastas lennuki kvaasiperioodilised plaadid. Nende plaatide omadused loomulikultüldistada perioodiliste omadusi. Sellise plaatimise näide on näidatud joonisel 2.
Kogu lennuk on kaetud rombidega. Teemantide vahel pole tühikuid. Iga rombi tessellatsiooni saab saada ainult kahe tessellatsiooni abil, kasutades nihkeid ja pööramisi. See on kitsas romb (36 0, 144 0) ja lai romb (72 0, 108 0), mis on näidatud joonisel 3. Iga rombi külgede pikkus on 1. See plaatimine ei ole perioodiline - see on ilmselgelt ei muundu ühegi nihke all iseendaks . Siiski on sellel mõni oluline omadus, mis lähendab seda perioodilistele plaatidele ja sunnib seda nimetama kvaasiperioodiliseks. Asi on selles, et kvaasiperioodilise plaatimise mis tahes lõplik osa esineb kogu plaatimise jooksul lugematu arv kordi. Sellel plaatimisel on 5. järgu sümmeetriatelg, samas kui perioodiliste plaatide puhul selliseid telgi pole.
Veel üks Penrose'i konstrueeritud kvaasiperioodiline tasapinna plaatimine on näidatud joonisel 4. Kogu tasapind on kaetud nelja eritüüpi hulknurgaga. See on täht, romb, tavaline viisnurk.
A) Inflatsiooni ja deflatsiooni teisendamine
Kõik kolm ülaltoodud kvaasiperioodilise plaatimise näidet on tasapinna katmine, kasutades piiratud arvu kujundite tõlkeid ja pööramisi. See kate ei muundu ühegi nihke korral iseendaks, katte mis tahes lõplik osa esineb lugematuid kordi kogu katte ulatuses, pealegi võrdselt kogu tasapinna ulatuses. Ülalkirjeldatud plaatidel on mingi eriline omadus, mida Penrose nimetas inflatsiooniks. Selle omaduse uurimine võimaldab meil mõista nende katete struktuuri. Lisaks saab inflatsiooni kasutada Penrose'i mustrite koostamiseks. Inflatsiooni saab kõige selgemini illustreerida Robinsoni kolmnurkade näitel. Robinsoni kolmnurgad on kaks võrdhaarset kolmnurka P, Q nurkade (36 0, 72 0, 72 0) ja (108 0, 36 0, 36 0) ja küljepikkustega vastavalt, nagu joonisel 6. Siin φ on kuldne suhe:
Neid kolmnurki saab lõigata väiksemateks, nii et kõik uued (väiksemad) kolmnurgad on sarnased ühega algsetest kolmnurkadest. Lõike on näidatud joonisel 7: sirge ac on nurga dab poolitaja ning lõigud ae, ab ja ac on võrdsed. On lihtne näha, et kolmnurk acb ja äss on kongruentsed ja sarnased kolmnurgaga P ning kolmnurk cde on sarnane kolmnurgaga Q. Kolmnurk Q lõigatakse nii. Lõigu gh pikkus võrdub lõigu ih pikkusega (ja võrdub 1-ga). Kolmnurk igh sarnaneb kolmnurgaga P ja kolmnurk igf on sarnane kolmnurgaga Q. Uute kolmnurkade lineaarmõõtmed on t korda väiksemad kui esialgsetel. Seda lõikamist nimetatakse deflatsiooniks.
Pöördtransformatsiooni – liimimist – nimetatakse inflatsiooniks.
Jooniselt on näha, et kahest P-kolmnurgast ja ühest Q-kolmnurgast saame liimida P-kolmnurga ning P- ja Q-kolmnurgast Q-kolmnurga. Uute (liimitud) kolmnurkade jaoks lineaarsed mõõtmed t korda suurem kui algsed kolmnurgad.
Niisiis oleme kasutusele võtnud inflatsiooni ja deflatsiooni teisenduste kontseptsiooni. On selge, et inflatsiooni muutust saab korrata; tulemuseks on kolmnurkade paar, mille mõõtmed on t 2 korda suuremad kui algsed. Järjestikuste inflatsiooniteisenduste rakendamisel saate kolmnurkade paari sama meelevaldselt suur suurus. Sel viisil saate sillutada kogu tasapinna.
Võib näidata, et ülalkirjeldatud Robinsoni kolmnurkade plaatimine ei ole perioodiline
Tõestus
Toome välja selle väite tõestuse. Vaidleme vasturääkivuse kaudu. Oletame, et tasandi plaatimine Robinsoni kolmnurkadega on perioodiline perioodidega u ja w. Katame tasapinna rööpkülikute võrgustikuga külgedega u, w Tähistame p-ga P - kolmnurkade arvu, mille alumine vasak tipp (meie võrgu suhtes) asub varjutatud rööpkülikul; Defineerime arvu q sarnaselt. (Valitud p+q kolmnurgad moodustavad antud perioodilise plaadistuse nn põhipiirkonna.) Vaatleme ringi raadiusega R, mille keskpunkt on O. Tähistame PR-ga (tegelikult QR-ga) P-kolmnurkade arvu (vastavalt Q-). kolmnurgad), mis asuvad selle ringi sees.
Tõestame seda
1) Tõepoolest, raadiusega R ringi lõikuvate kolmnurkade arv on võrdeline R-ga, samas kui kolmnurkade arv raadiusega R ringis on võrdeline R 2-ga. Seetõttu on piiris P-kolmnurkade ja Q-kolmnurkade arvu suhe ringis võrdne selle suhtega põhipiirkonnas.
Võtame nüüd oma tessellatsiooni ja teostame deflatsiooniteisendusi. Siis on algses põhipiirkonnas pґ = 2p + q väiksemad P - kolmnurgad ja qґ = p + q väiksemad Q - kolmnurgad. Tähistame pґR ja qґR väiksemate kolmnurkade arvu raadiusega R ringis. Nüüd on lihtne leida vastuolu. Tõepoolest,
= = = = (L'Hopitali reegel)
Kust, võrrandi lahendamine
p/q=(2p+q)/(p+q),
samas kui p ja q on täisarvud! Vastuolu näitab, et Robinsoni kolmnurkadega plaatimine ei ole perioodiline.
Selgub, et see Robinsoni kolmnurkade kate pole ainus. Tasapinnal on lõpmatult palju erinevaid kvaasiperioodilisi katteid Robinsoni kolmnurkade poolt. Jämedalt öeldes peitub selle nähtuse põhjus selles, et deflatsiooni ajal saab joonisel 7 kujutatud poolitaja tõmmata tipust b, mitte tipust a. Seda meelevaldsust kasutades on võimalik näiteks saavutada, et kolmnurkadega kate muutub rombidega kolmnurkade katteks
B) Duaalsuse transformatsioon
Eespool toodud kvaasiperioodiliste plaatide konstrueerimise meetod näeb välja nagu oletus. Siiski on tavaline viis kvaasiperioodiliste katete ehitamiseks. See on duaalsuse teisendusmeetod, mille idee kuulub Hollandi matemaatikule de Braunile.
Selgitame seda meetodit tasapinna rombidega asendamise konstrueerimise näitel (vt joonis 3). Esmalt ehitame ruudustiku G. Selleks võtame tavaline viisnurk ja nummerdame selle küljed (j = 1,2,3,4,5; joon. 10). Vaatame külge numbriga j. Ehitame selle küljega paralleelsete joonte lõpmatu hulga nii, et kahe lähima sirge vaheline kaugus on võrdne 1-ga.
Teeme sarnase konstruktsiooni viisnurga mõlema külje jaoks; Joonistame sirgjooned nii, et need lõikuvad ainult paarikaupa. Tulemuseks on rida jooni, mis ei ole perioodilised (joonis 9) Selle komplekti read tähistatakse tähtedega l. Nummerdame read ümber kahe indeksiga: l j (n). Siin näitab j joone suunda (millise viisnurga küljega see on paralleelne). Täisarv n tähistab erinevaid paralleelseid jooni, läbib kõiki täisarvu väärtusi (nii positiivseid kui ka negatiivseid). See ridade hulk jagab tasapinna lõpmatuks hulknurkadeks. Neid hulknurki nimetatakse võrgusilmadeks. Hulknurkade külgi nimetame võrgusilma servadeks ja hulknurkade tippe võrgu tippudeks. (Sarnaselt kvaasiperioodilise katte Q puhul: rombid on Q küljed, rombide küljed on Q servad, rombide tipud on Q tipud)
Seega konstrueeritakse võrk G. Viigem nüüd läbi duaalsuse transformatsioon. Võrgusilma G iga tahk on võrreldav kvaasiperioodilise katte Q tipuga (rombi tipp). Tipud tähistame tähtedega (need on vektorid). Esiteks seostame võrgu iga tahu M viie täisarvuga n j = (M), j - 1,2, ....5 vastavalt järgmisele reeglile. M sisepunktid asuvad mõne sirge l j (n) ja sellega paralleelse sirge l j (n+1) vahel.
Selle täisarvu n sobitame võre M tahkudega. Kuna võrgul on sirgjooned viies suunas, siis sel viisil sobitame võrgu G iga M viit täisarvu n j (M). Kvaasiperioodilise katte tipp Q, mis vastab võrgu G antud pinnale M, on konstrueeritud järgmiselt:
(M) = n1 (M) + + …+
Siin on ühikupikkusega vektor, mis on suunatud korrapärase viisnurga keskpunktist küljenumbri j keskele. Seega seostasime võrgu iga küljega kattetipu. Nii saame konstrueerida kõik Q tipud.
Nüüd ühendame mõned tipud sirgjooneliste segmentidega. Need on Q-katte servad (rombide küljed). Selleks kaaluge paari tahku M1 ja M2, millel on ühine serv. Ühendame nendele tahkudele vastavad katte tipud segmentidega.
Siis selgub, et vahe
Võib-olla võrdne ainult ühe vektoriga kümnest.
Seega on iga võrguserv seotud kattepinnaga Q. Iga võrgutipp on seotud kattepinnaga Q (romb) Tõepoolest, iga võrgutipp külgneb nelja küljega M R (R = 1,2,3,4). Vaatleme neile vastavat nelja kattetippu (M R). Erinevusest (2) järeldub, et neid tippe läbivad katte servad moodustavad rombi piiri. Konstrueeritakse tasapinna kvaasiperioodiline katmine rombidega.
Oleme illustreerinud duaalsuse teisendusmeetodit. See üldine meetod kvaasiperioodiliste katete meetodi konstrueerimine. Selles konstruktsioonis saab tavalise viisnurga asendada mis tahes tavalise hulknurgaga. Tulemuseks on uus kvaasiperioodiline kate. Duaalsuse teisendusmeetod on rakendatav ka kvaasiperioodiliste struktuuride konstrueerimiseks ruumis.
B) Kolmemõõtmelise ruumi kvaasiperioodiline täitmine
Penrose'i mustrites on kolmemõõtmeline üldistus. Kolmemõõtmelist ruumi saab täita spetsiaalset tüüpi rööptahukatega. Rööptorudel ei ole ühiseid sisepunkte ja nende vahel ei ole lünki. Selle täidise iga rööptahuka saab saada ainult kahest rööptahukast, kasutades nihkeid ja pöörlemisi. Need on niinimetatud Ammani-Mackay rööptahukad. Rööptahuka defineerimiseks piisab kolme ühest tipust väljuva serva määramisest. Esimese Ammani-Mackay rööptahuka puhul on need vektorid kujul:
= (0; 1; φ), = (-φ; 0; -1)
Ja teise rööptahuka jaoks:
= (0; -1;f), = (f; 0;1), = (0;1; f)
Nende rööptahukatega täidis ei muundu ühegi nihke korral iseendaks, kuid selle lõplik osa esineb kogu täidise jooksul lugematuid kordi. Ruumi täitmine nende rööptahukatega on seotud ikosaeedri sümmeetriatega. Ikosaeeder on platooniline tahke aine. Iga selle tahk on korrapärane kolmnurk. Ikosaeedril on 12 tippu, 20 tahku ja 30 serva
Rakendus
Selgus, et kiiresti jahtunud alumiinium-mangaani sulatil (avastati 1984. aastal) on just sellised sümmeetriad.Seega aitasid Penrose’i mustrid mõista äsja avastatud aine struktuuri. Ja mitte ainult see aine, vaid ka teisi tõelisi kvaasikristalle on leitud, nende eksperimentaalne ja teoreetiline uurimine on kaasaegse teaduse esirinnas.
Tasapinda on lihtne sillutada tavaliste kolmnurkade, ruutude või kuusnurkade parkettiga (all plaatimine Mõistame seda paigutust, kus iga kujundi tipud on rakendatud ainult naaberkujundite tippudele ja puudub olukord, kus tipp on küljele rakendatud). Selliste plaatide näited on näidatud joonisel fig. 1.
Muud õiget pole n- nurkadega tasapinda ei ole võimalik katta ilma tühikute ja kattumisteta. Siin on, kuidas seda selgitada. Nagu teada, mis tahes sisenurkade summa n-gon on võrdne ( n– 2) 180°. Sest kõik nurgad on õiged n-gonid on identsed, siis iga nurga kraadimõõt on . Kui tasapinda saab selliste kujunditega plaadistada, siis igas tipus see koondub k hulknurgad (mõnede jaoks k). Selle tipu nurkade summa peab olema 360°, seega . Pärast mõnda lihtsat teisendust muutub see võrdsus järgmiseks: . Kuid nagu on lihtne kontrollida, on viimasel võrrandil vaid kolm paari lahendusi, kui seda eeldada n Ja k täisarvud: k = 3, n = 6; k = 4, n= 4 või k = 6, n= 3. Need numbripaarid vastavad täpselt joonisel fig. 1 plaatimine.
Milliseid hulknurki saab veel kasutada tasapinna plaadistamiseks ilma tühikute ja kattumisteta?
Ülesanne
a) Tõesta, et tasapinna plaadistamiseks saab kasutada mis tahes kolmnurka.
b) Tõesta, et tasapinna plaadistamiseks saab kasutada mis tahes nelinurka (nii kumerat kui ka mittekumerat).
c) Too näide viisnurgast, millega saab tasapinna plaatida.
d) Too näide kuusnurgast, mida ei saa kasutada tasapinna plaadistamiseks.
e) Too näide n-ruut igale n> 6, mida saab kasutada lennuki sillutamiseks.
Vihje 1
Punktides a), c), e) võite proovida teha identsetest kujunditest "triipe", mida saab seejärel hõlpsasti kasutada kogu tasapinna sillutamiseks.
Samm b): Voldi kaks identset nelinurka kuusnurgaks, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed. Nende kuusnurkadega on lennukit üsna lihtne plaatida.
Punkt d): kasutage asjaolu, et nurkade summa igas tipus peab olema võrdne 360°.
Vihje 2
Punktis e võite proovida tegutseda teisiti: olemasolevaid kujundeid veidi muuta, et tekiks uued tessellatsioonid.
Lahendus
Vastuste näited on toodud piltidel.
c) Maja kujuline viisnurk teeb:
d) Selliste kuusnurkadega ei ole võimalik tasapinda sillutada: lihtsalt ükski sellise kuusnurga osa ei mahu täielikult "väljalõigatud" nurka. See on lahtrites selgelt nähtav:
Võite välja mõelda palju muid kuusnurki, mida ei saa kasutada tasapinna plaadistamiseks.
e) Siin on näide kaksteistnurgast, mida saab kasutada tasapinna plaadistamiseks. See plaatimismeetod saadi tavapärase ruudukujulise võre modifikatsioonina (vt joonis 1, ii tingimusest):
Järelsõna
Identsete kujunditega tasapinna plaatimise probleem ilma tühikute ja kattumisteta on tuntud juba iidsetest aegadest. Üks selle erijuhtumeid on küsimus, millised võivad olla parkettid (st tasapinna plaatimine korrapärased hulknurgad, ja mitte tingimata sama) ja eelkõige õiged parkettpõrandad. Korrektsel parketil on järgmine omadus: paralleelsete ülekannete (ilma pööreteta nihked) abil, mis kannavad parketi endasse, saab eelnevalt valitud sõlme kombineerida mis tahes muu parketisõlmega. Joonisel fig. 1 tingimustes on näidatud just õiged parkettpõrandad.
Pole raske tõestada, et neid on ainult 11 erinevat tüüpi korrektsed parketid (vt Ühtsete plaatide loetelu). Seda tõestatakse ligikaudu samal viisil, nagu tõestasime ülesande püstituses, et identsetest korrapärastest hulknurkadest on ainult kolme tüüpi parkett - iga korrapärase hulknurga nurkade astmed on teada, peate need lihtsalt valima nii, et kokku on 360° ja seda tehakse lihtsalt väikeste valikute loendiga. Nendel parkettpõrandatel on palju iidseid mosaiike.
Savist, kivist ja klaasist mosaiigid (ning puidust ja plaatidest parkettpõrandad) on selle teooria tuntuim ja arusaadavam rakendus elus. Paljud meist saavad seda kontrollida, minnes oma kööki või vannituppa. Tulevased disainerid uurivad spetsiaalselt matemaatilisi parkette, sest neid ja nende variatsioone kasutatakse sageli arhitektuuris ja dekoratsioonis.
Tesselatsioonid esinevad ka looduses. Lisaks tuntud kärgstruktuuridele on silmapaistvamad näited Stolbchaty neeme (Kunashiri saar, Kuriili saarte suur seljandik) geoloogilised moodustised ja Põhja-Iirimaa "Giant’s Causeway".
Meie probleemi üldistus - ruumi plaatimine - tänapäeva oluline kristallograafia haru, mängimine oluline roll integreeritud optikas ja laserfüüsikas.
Kummalisel kombel teati kuni suhteliselt hiljutise ajani ainult perioodilisi tessellatsioone (mis on pärast mõningast nihket ja selle kordusi iseendaga täiesti ühilduvad). 1974. aastal tuli aga inglise teadlane Roger Penrose välja mitteperioodiliste plaatidega, mida nüüd tema järgi Penrose plaatideks kutsutakse. Hiljem (1984. aastal) avastati sarnased mitteperioodilised struktuurid aastal
Munitsipaalharidusasutus
"Keskkool nr 28."
Tasapinna plaatimine ruumis.
Uurimisreferaat
Matemaatika
10. klassi õpilased
Komarcheva Anna
Juhendaja:
matemaatikaõpetaja Ovsjankina O.A.
mütištši
Sissejuhatus……………………………………………………………………………………3
Tasapinnalise plaatimise määratlus………………………………………………..4
Plaatimise ilmumise ajalugu………………………………………………………………..5
Parketid………………………………………………………………………………………..7
H. Foderbergi mitteperioodiline plaatimine……………………………………………………………………………………
Lihtsaim plaatimine………………………………………………………….11
Roger Penrose'i mosaiik………………………………………………………………..12
Penrose'i mosaiigi omadused……………………………………………………………..13
Sensatsiooniline avastus………………………………………………………….14
Kvaasikristallid………………………………………………………………….17
Kvaasikristallide struktuur……………………………………………………….19
Kvaasikristallide omadused……………………………………………………….21
Fullereenid ja kvaasikristallid…………………………………………………………………24
Maurice Escher…………………………………………………………………………26
Keskaegsed kaunistused…………………………………………………………28
Girikhide struktuur………………………………………………………………..31
Järeldus…………………………………………………………………………………..34
Sissejuhatus
Abstrakti asjakohasus seisneb selles, et tasapinnalist plaatimist uuritakse aktiivselt kristallfüüsikas, geomeetrias ja seda leidub ka igapäevaelus.
Isegi iidsed kunstnikud lõid hämmastavaid geomeetrilisi mustreid. Oma mustrite loomiseks ei kasutanud nad lihtsaid, juhuslikult väljamõeldud kontuure, vaid figuure, mis olid paigutatud kindlasse järjekorda. Ja kõige hämmastavam on see, et inimesed kohtusid nendega hiljem uuesti. Iidsed mustrid pole midagi muud kui need, mida sajandeid hiljem nimetatakse Penrose'i võreks ja mida leidub kvaasikristallide struktuuris!
Ja kuulus Hollandi kunstnik Maurice Escher (1898-1972), kes lõi kuulsaid graveeringuid ja mosaiike ega saanud kunagi matemaatikast aru, väitis: „Kõik mu tööd on mängud. Tõsised mängud." Kuid nendes mängudes on matemaatikud üle maailma vaadanud juba mitu aastakümmet täiesti tõsiseid materiaalseid tõendeid ideede kohta, mis on loodud eranditult matemaatilise aparatuuri abil.
Kõige tõsisemat tähelepanu lennuki kosmoses plaatimise probleemile hakati pöörama viimase viiekümne aasta jooksul pärast avastusi kristallide – kõvametallisulamite – füüsikas. Kristallograafias on 5. järku pöörlemissümmeetria kõige tõhusamalt esindatud taimemaailmas ja kõige lihtsamates elusorganismides, eriti teatud tüüpi viirustel ja mõnel mereelanikel.
Tasapinnalise tessellatsiooni defineerimine
Tesselatsioon on terve tasapinna katmine mittekattuvate kujunditega.
Plaatimine - vahesein lennuk või tühik arvud ilma ühiste sisepunktideta või kogu tasapinna katmine mittekattuvate kujunditega.
Tasapinna plaatimist saab kujutada piirjoontes kokku liimitud figuuride komplektina. Üks lihtsamaid näiteid on nn kuusnurkne plaatimine, kui tasapind, nagu kärgstruktuuri, koosneb külgedelt ühendatud kuusnurkadest. Plaatimist nimetatakse perioodiliseks, kui see teatud vektori võrra nihutatuna muundub iseendaks. Kuusnurksel juhul on selleks näiteks külgnevate kuusnurksete rakkude keskpunkte ühendav vektor.
Plaatimise ajalugu
Ilmselt tekkis huvi sillutise vastu esmalt seoses mosaiikide, ornamentide ja muude mustrite ehitamisega. On teada palju korduvatest motiividest koosnevaid ornamente.
Juba pütagoorlased teadsid, et on olemas ainult kolme tüüpi korrapäraseid hulknurki, millega tasapinda saab täielikult plaadistada ilma tühikute ja kattumisteta – kolmnurk, ruut ja kuusnurk.
Tasapinna mitteperioodilise plaatimise matemaatiline probleem on eksisteerinud umbes pool sajandit. Selle probleemi kõige kuulsam lahendus on Penrose mosaiik, mis ilmus eelmise sajandi seitsmekümnendatel ja milles on kasutatud vaid kahte erinevat kujundit.
Ja esimese plaatide komplekti, mis koosnes 20 426 kujundist, tutvustas 1966. aastal matemaatik Robert Berger. Mõne aja pärast õnnestus tal aga vajalike plaatide arvu vähendada 104-le.
Kõnealuse töö autorile piisas ülesande lahendamiseks ühest kujundist - tavalisest kuusnurgast. Selliste plaatide paigaldamisel ei tohiks mustad jooned katkeda ja kuusnurkade tippude lipud, mis asuvad plaadi ühe külje pikkusega võrdsel kaugusel (joonisel nooltega tähistatud), peaksid välja nägema. samas suunas.
Parketid
Igas tessellatsioonis, mis kasutab ruutu, korrapärast kolmnurka ja korrapärast kuusnurka, on kahel hulknurgal kas ühine külg, ainult ühine tipp või puuduvad ühised punktid. Nimetatakse seda nõuet rahuldavate hulknurksete tasapinna tessellatsioone parketid.
Üsna lihtne on veenduda, et parkett ei moodusta muud korrapärast hulknurka. Ja siin on vaja hulknurga nurkade summa valemit.
Kui parkett on valmistatud n-gons, siis toimub parketi igas tipus konvergents k= 360°/ a n hulknurgad, kus n- õige nurk n-gon. Seda on lihtne leida a 3 = 60°, a 4 = 90°, a 5 = 108°, a 6 = 120° ja 120° a n P > 7. Seetõttu on 360° jaguv a n ainult kui P = 3; 4; 6.
Korrapärastest hulknurkadest parketid on ise korrapärased selles mõttes, et nad on kõigi oma tippude ja parketi moodustavate hulknurksete osade suhtes "võrdse struktuuriga". (Neid tükke nimetatakse plaatimispindadeks või lihtsalt plaatideks.) Teisisõnu, tavalise parketi mis tahes kahe tipu jaoks saab määrata selle isejoonduse nii, et üks tipp jääb teisele. Sama kehtib mis tahes kahe parkettplaadi kohta.
Võite nõuda, et parkett oleks korrapärane ainult tippudes, kuid lubada kasutada erinevat tüüpi korrapäraseid hulknurki. Siis lisandub algsele kolmele veel kaheksa parkettpõrandat.
Kaalutakse ka teist üldistust – suvalise hulknurga koopiatest tehtud parketid, õiged “piki servi” (st võimaldavad isejoondamist, mis muudab mis tahes antud plaadi mis tahes muuks). Selliseid parkette on 46, sealhulgas kolm esimest. Hulknurki, mis võivad nendes parkettides olla plaadid, nimetatakse planigonid. On selge, et tasapinda saab paigutada suvalise kolmnurga koopiatega, kuid vähem ilmne, et suvaline nelinurk on tasapind. Sama kehtib iga kuusnurga kohta, mille vastasküljed on võrdsed ja paralleelsed. |
|
Kõik eelpool käsitletud parkettid on perioodilised ehk igaühes on võimalik valida (ja isegi mitmel moel) mitmest plaadist koosnev ala, millest paralleelnihkega kogu parkett kätte saadakse. Teadlaste huvi selliste struktuuride vastu on seletatav sellega, et perioodilised plaadid, eriti ruumilised plaadid, modelleerivad kristallilisi struktuure. H. Foderbergi mitteperioodiline plaatimine Leidub ka mitteperioodilisi tessellatsioone, näiteks 1936. aastal saksa matemaatiku H. Foderbergi poolt leiutatud lennuki väga ilus spiraaltestellatsioon hentagonidega. Kuid kombineerides need plaadid paarikaupa kesksümmeetrilisteks kaheksanurkadeks, saate nendega perioodiliselt tasapinna plaadistada. Pikka aega eeldati, et pole olemas ühtegi plaati või isegi mitme erineva plaadi komplekti, mille koopiad suudaksid tasapinda katta ainult mitteperioodiliselt. Kuid 60ndate keskel. XX sajand see hüpotees lükati ümber, selleks oli vaja enam kui 20 000-st koosnevat komplekti erinevad tüübid plaadid Samm-sammult plaatide arvu vähendati ja lõpuks, kümme aastat hiljem, õnnestus inglise matemaatikul Roger Penrose'il hakkama saada vaid kahe väga lihtsa kujundiga. |
Lihtsaim plaatimine
Ühte lihtsaimat plaatimist saab kirjeldada järgmiselt. Tasapind on kaetud rööpkülikutega ja kõik rööpkülikud on identsed. Selle plaadi mis tahes rööpküliku saab algsest rööpkülikust, nihutades seda vektori nU ± mV võrra (vektorid U ja V määratakse valitud rööpküliku servade järgi, n ja m on täisarvud). Tuleb märkida, et vektori U (või V) poolt nihutamisel muutub kogu plaat tervikuna iseendaks. Seda omadust võib võtta definitsioonina: nimelt perioodiline plaatimine perioodidega U ja V on plaatimine, mis vektori U ja vektori V poolt nihutamisel teiseneb iseendaks.
Roger Penrose'i mosaiik
Pikka aega eeldati, et pole olemas ühtegi plaati või isegi mitme erineva plaadi komplekti, mille koopiad suudaksid tasapinda katta ainult mitteperioodiliselt. Kuid 60ndate keskel. 20. sajandil lükati see hüpotees ümber, mis nõudis enam kui 20 000 erinevat tüüpi plaatide komplekti. Samm-sammult plaatide arvu vähendati ja lõpuks, kümme aastat hiljem, õnnestus inglise matemaatikul Roger Penrose'il hakkama saada vaid kahe väga lihtsa kujundiga.
Inglise matemaatik Roger Penrose tuli 1973. aastal välja sellise asjaga – spetsiaalse mosaiigiga geomeetrilised kujundid. Sellest lähtuvalt sai see tuntuks kui Penrose'i mosaiik. Mis selles nii spetsiifilist on? Penrose mosaiik on kahe kindla kujuga hulknurksetest plaatidest (veidi erinevad rombid) kokku pandud muster. Nad võivad sillutada lõputu tasapinna ilma lünkadeta.
Saadud pilt näib olevat mingi “rütmiline” ornament – translatsioonilise sümmeetriaga pilt. Seda tüüpi sümmeetria tähendab, et saate valida konkreetse tüki mustris, mida saab tasapinnale "kopeerida" ja seejärel kombineerida need "duplikaadid" üksteisega paralleelse ülekandega (teisisõnu, ilma pööramiseta ja ilma suurendamiseta).
Kui aga tähelepanelikult vaadata, siis on näha, et Penrose’i mustril pole selliseid korduvaid struktuure – see on aperioodiline. Kuid asi pole optilises illusioonis, vaid selles, et mosaiik pole kaootiline: sellel on viiendat järku pöörlemissümmeetria. See tähendab, et pilti saab pöörata minimaalse nurga alla 360/ n kraadid, kus n– antud juhul sümmeetria järjekord n= 5. Seetõttu peab pöördenurk, mis ei muuda midagi, olema 360 / 5 = 72 kraadi kordne.
Penrose'i mosaiigil on järgmised omadused:
1. Peenikeste rombide ja jämedate rombide arvu suhe on alati võrdne nn “kuldse” arvuga 1,618...
2. Ta ei muundu iseendaks mingite nihkete ajal, s.t. mitte perioodiline
3. Omab viiendat järku pöörlemissümmeetriat. Pöörlemisnurk on 360° kordne / 5 = 72. Saadud mustrid on kvaasikristalliline vorm, millel on aksiaalne sümmeetria 5. järjekord. Mosaiigi struktuur on seotud Fibonacci jada.
Sensatsiooniline avastus
Umbes kümmekond aastat peeti Roger Penrose’i ilukirjandust vaid armsaks matemaatiliseks abstraktsiooniks.
Hiljem tegid USA ja Iisraeli teadlased – D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias ja J. Kahn – sensatsioonilise avastuse, avastades kiiresti jahutatud mangaani ja alumiiniumi sulami mitteperioodilise struktuuri. Varem arvati, et kristallide telgsümmeetria on ainult 1., 2., 3., 4. ja 6. järku. Teisisõnu, 5. järku aksiaalse sümmeetriaga kristallid on sujuva ülemineku seisundis amorfsete kehade ja perioodiliste kristallide vahel.
Varasemad tahkisfüüsikas eksisteerinud ideed välistasid selle võimaluse: difraktsioonimustri struktuuril on viiendat järku sümmeetria.
Selle osi ei saa paralleelse ülekandega kombineerida, mis tähendab, et see pole üldse kristall. Kuid difraktsioon on kristallvõrele iseloomulik!
Kuidas me saame siin olla? Küsimus ei ole lihtne, nii et teadlased leppisid kokku, et seda võimalust nimetatakse kvaasikristallideks - umbes nagu eritingimus ained. Nii sai matemaatilisest uudishimust kvaasikristallide sisemist struktuuri kirjeldav mudel.
Noh, avastuse ilu on see, et selle matemaatiline mudel on juba ammu valmis. Penrose'i mosaiik on suurepärane näide sellest, kuidas kaunis konstruktsioon, mis asub erinevate erialade ristumiskohas, leiab tingimata oma rakenduse. Kui sõlmpunktid asendatakse aatomitega, muutub Penrose'i plaatimine hea analoog kahemõõtmeline kvaasikristall, kuna sellel on palju sellele iseloomulikke omadusi
aine olek. Ja sellepärast:
Esiteks realiseeritakse mosaiigi ehitamine kindla algoritmi järgi, mille tulemusena ei osutu see juhuslikuks, vaid järjestatud struktuuriks. Selle mis tahes piiratud osa esineb mosaiigis lugematu arv kordi.
Teiseks võib mosaiigis eristada palju korrapäraseid kümnenurki, millel on täpselt sama suund. Need loovad pikamaa orientatsioonijärjekorra, mida nimetatakse kvaasiperioodiliseks. See tähendab, et kaugete mosaiikstruktuuride vahel toimub vastastikune mõju, mis koordineerib teemantide asukohta ja suhtelist orientatsiooni väga konkreetsel, kuigi mitmetähenduslikul viisil.
Kolmandaks, kui värvite järjestikku üle kõik rombid, mille küljed on paralleelsed mis tahes valitud suunaga, moodustavad need katkendlike joonte jada.
Mööda neid katkendlikke jooni saate tõmmata sirgeid paralleelseid jooni, mis asuvad üksteisest ligikaudu samal kaugusel. Tänu sellele omadusele saame Penrose'i mosaiigis rääkida translatsioonilisest sümmeetriast.
Neljandaks moodustavad järjestikku varjutatud teemandid viis sarnaste paralleelsete joonte perekonda, mis ristuvad 72° nurkade all. Nende katkendlike joonte suunad vastavad tavalise viisnurga külgede suundadele. Seetõttu on Penrose'i mosaiigil teatud määral 5. järku pöörlemissümmeetria ja see sarnaneb selles mõttes kvaasikristalliga.
Kvaasikristallid
Alates iidsetest aegadest, kui tahkete ainete teadus alles tekkis, on märgatud, et kõik looduses olevad kehad võib jagada kahte diametraalselt vastandlikku klassi: korrastamata amorfsed kehad, milles aatomite vastastikuses paigutuses puudub seaduspärasus, ja kristalsed kehad. , mida iseloomustab nende järjestatud paigutus . Selline tahkete ainete struktuuri jagunemine kestis peaaegu 20. sajandi lõpuni, mil avastati mitte päris “õiged” kristalsed kehad - kvaasikristallid. Neid hakati pidama amorfsete ja kristalsete kehade vahevormideks.
Kvaasi (lat. quasi - justkui, justkui) on erinevate sõnade eesliide, mis vastab tähenduselt sõnadele "väljamõeldud", "võlts", "väidetavalt".
1984. aastal avastati alumiiniumi sulam mangaaniga Al0,86Mn0,14, mille proov erilisel kiirjahutusmeetodil hajutas elektronkiire nii, et selle asukohas tekkis viiendat järku sümmeetriaga väljendunud difraktsioonimuster. fotoplaadile tekkisid difraktsioonimaksimumid (ikosaeedriline sümmeetria). Teravate difraktsioonimaksimumide olemasolu viitas kristallidele iseloomuliku kaugjärjestuse olemasolule struktuuris aatomite paigutuses, kuna see tähendab, et aatomid erinevad valdkonnad proovid peegeldavad võrdselt elektronkiirt. Täheldatud difraktsioonimustri sümmeetria oli aga vastuolus klassikalise kristallograafia põhikontseptsioonidega: selline sümmeetria on ühegi kristalse aine puhul füüsiliselt võimatu.
Edasised uuringud näitasid, et uus materjal rakendab uut tüüpi järjestus, mittekristalliline ja mitteamorfne (amorfset ainet iseloomustab lühimaa aatomjärjestuse olemasolu - kristalne kord ainult mõne aatomitevahelise vahemaa piires). Seetõttu nimetati seda ainet kvaasikristalliks.
Mõni aeg hiljem leiti teisi metallisulameid, millel oli kaugjärjestus, kuid millel on seitsmes, kaheksas, kümnes, kaheteistkümnes jne sümmeetriatelg. tellimused kristallidele keelatud. Seoses sellega on laienenud ka kvaasikristallide mõiste: praegu mõistetakse kvaasikristallide all üldiselt kaugjärjekorraga tahkeid metallisulameid, mille difraktsioonipiigid paiknevad mittekristallograafilise sümmeetriaga.
Kvaasikristallide struktuur
Kvaasikristallide füüsika oluline probleem on nende aatomi struktuur. Nende struktuuri saab mõista plaatimise matemaatilise teooria abil. Tavaline kristall on aatomite või molekulide perioodiline struktuur. Igal kristallstruktuuril on teatav sümmeetria. Kristallidel on kahte tüüpi pikamaa järjestust, orientatsioonilist ja translatsioonilist. Translatsioonijärjekord tähendab võimet konstrueerida kristallstruktuur, tõlkides teatud aatomite paigutusega struktuuri elementaarse ehitusploki kristalli elementaarraku teatud vektoriks. Sel juhul räägivad nad pikamaakorra olemasolust kristallis. Orientatsiooniline järjekord tähendab, et kristalli pöörlemine ümber teatud telje joondab aatomite positsioonid iseendaga. Kristallidel võib olla kolmandat, neljandat või kuuendat järku pöörlemissümmeetria.
Näiteks kui kristallil on kolmandat järku sümmeetriatelg, siis tema kristallvõre ei muutu pärast pöörlemist kolmandiku ringi võrra. Enamiku kristallide rakuühiku struktuur põhineb lihtsatel geomeetrilistel tahketel ainetel, nagu kuubik, tetraeeder ja oktaeedr. Kvaasikristallide, nagu alumiiniumi ja mangaani sulam, struktuur põhineb teisel geomeetrilisel kehal - ikosaeedril. Ikosaeeder on polühedron, millel on 20 tahku, millest igaüks on võrdkülgne kolmnurk, 12 tippu ja 30 serva. Ikosaeedril on viiendat järku sümmeetria: igas tipus on ühendatud viis tahku. Ikosaeedreid ei saa pakkida nii, et need täidaksid kogu ruumi tihedalt, ilma lünkadeta, nii et need ei saa olla kristallide elementaarsed rakud.
Viiest tetraeedrist koosneva kvaasikristalli struktuuri elemendid: ikosaeedri fragment (a), 32 - triakontaeedri tipp (6)
Ikosaeeder(alates kreeka keelεικοσάς - kakskümmend; -εδρον - nägu, nägu, alus) - korrapärane kumer hulktahukas, kahekümnetahuline hulktahukas, üks Platoonilised tahked ained. Kõik 20 tahku on võrdkülgsed kolmnurk. Servade arv on 30, tippude arv on 12.
Tetraeeder(kreeka τετραεδρον - tetraeeder) - nelja kolmnurkse tahuga hulktahukas, mille igas tipus koondub 3 tahku.
Triakontaeeder- (kreeka keelest triaconta kolmkümmend ja hedra alus). Kolmkümmend heedron, s.o keha, mis on piiratud 30 võrdse rombitasandiga.
Kvaasikristallide omadused
Kvaasikristallid on tavaliselt metalliliste elementide sulamid. Kuid kvaasikristallide füüsikalised omadused erinevad teiste metallisüsteemide omadustest. Metallide elektritakistus suureneb temperatuuri tõustes, lisandite kontsentratsioonis ja struktuuridefektides. Kvaasikristallid ei ole isolaatorid ega pooljuhid, kuid erinevalt metallidest on nende elektritakistus madalatel temperatuuridel ebanormaalselt kõrge, väheneb temperatuuri tõustes ning suureneb konstruktsiooni järjestuse suurenedes ja defektide lõõmutamisel (pikaajaline kuumutamine, mis kõrvaldab defektid). Huvitavat mustrit täheldatakse kümnenurksetes kvaasikristallides. Need on kihilised objektid: kvaasikristallilised tasandid on pakitud mööda kümnendat järku telge, millel on lõplik periood. Piki tihendustelge käitub juhtivus nagu tavalisel metallil, kuid kvaasikristallilistel tasanditel käitub see teisiti.
Peaaegu kõik kvaasikristallilised sulamid on diamagnetilised. Erandiks on mangaaniga sulamid, mis on paramagnetilised.
Tahkisteooria selgitab suurepäraselt tavaliste metallide ja nende sulamite elektroonilisi omadusi. Lähtepunktiks on kristalli struktuuri perioodilisus. Kuid teooria ei suuda veel selgitada, miks kvaasiperioodilisus on omaduste spetsiifilise käitumise allikas. Sellele küsimusele vastamiseks on vaja rohkem eksperimentaalset ja teoreetilist teavet kvaasikristallide elektroonilise struktuuri (elektroonilise spektri) kohta.
Praegu on avastatud üle 200 kvaasikristallilise sulami, mille omadusi aktiivselt uuritakse. Igal aastal on teateid uue koostisega kvaasikristallidest ja uute struktuuride variantidest, mille olemasolu ei osatud varem isegi oletada.
Hetkel on enamikus sünteesitud kvaasikristallides avastatud 5., 7., 8., 10., 12. ja veelgi kõrgemat järku sümmeetriateljed, mis on ideaalkristallide puhul keelatud. Need objektid pole veel praktilist rakendust leidnud, kuid nende uurimine laiendab meie arusaama aine struktuurist. Kvaasikristallilise oleku küsimus ei piirdu tahkisfüüsikaga. Kvaasikristallide sümmeetriaomadused on universaalsed. See tähendab, et kui tahkes aines leitakse mistahes kindla kujuga rakkude pakkimise meetod, siis hüdrodünaamilistes vooludes võib leida sama meetodi "vedelrakkude" pakkimiseks, kaose probleem (kaose faasitasandi struktuuris dünaamiline süsteem). meile esitati.
Siin on huvitav fakt, mida teadlased märkasid. Kristallograafias rangelt keelatud 5. järku pöörlemissümmeetria on kõige tõhusamalt esindatud taimemaailmas ja kõige lihtsamates elusorganismides, eriti mõnes viiruses, mõnes mereasukas (tähed, merisiilikud, rohevetikate kolooniad, jne) ja teistel objektidel, mis “ehitavad elu”. 5. järku pöörlemissümmeetria on omane paljudele põllulilledele (naistepuna, unustamatu, kellukas jt), puuvilja- ja marjataimede lilledele (vaarikad, viburnum, pihlakas, kibuvits jt), lillede jaoks viljapuud(kirss, pirn, õun, mandariin jne). Ka kuusekäbi soomused, päevalille terad või ananassi rakud moodustavad mingi peaaegu korrapärase pinnakatte, milles naaberrakud on organiseeritud selgelt nähtavateks spiraalideks ja moodustavad kvaasikristallidele lähedase struktuuri.
Nagu näeme, avaldub kvaasikristallides olulist rolli mängiv 5. järku pöörlemissümmeetria kõige selgemini justkui üleminekupiirkonnas looduse staatiliselt elutu ja painduva elumaailma vahel. Kvaasikristalliliste objektide uurimine on toonud kaasa mitmeid avastusi ja rakenduslikke arendusi. Termodünaamiliselt stabiilsete kvaasikristallide struktuurne täiuslikkus seab need samale tasemele tavaliste kristallide parimate näidetega. Nende põhjal saadakse kerged ja väga tugevad klaasid. Kvaasikristallide õhukestel kiledel ja kattekihtidel on väga madal hõõrdetegur. Kvaasikristalle kasutades luuakse komposiitmaterjale, näiteks hõõrdumiskindlat kummi. Eriti atraktiivsed on nende madal elektri- ja soojusjuhtivus, kõrge kõvadus, vastupidavus korrosioonile ja oksüdatsioonile, keemiline inertsus ja mittetoksilisus. Tänaseks on juba saadud palju paljutõotavaid kvaasikristalle, millest mitukümmend aastat tagasi ei osatud unistadagi. Üheks prioriteetseks ülesandeks on etteantud parameetrite järgi sünteesimeetodite väljatöötamine, mis võimaldaks eelnevalt “programmeerida” loodavate materjalide füüsikalisi omadusi.
Kuldse proportsiooni ootamatu ilmumine kvaasikristallide struktuuri viitab elava “motiivi” olemasolule nende sümmeetrias, kuna erinevalt elututest kristallidest võimaldab kuldse proportsiooni märkimisväärseid seoseid vaid elusmaailm. Palju on kvaasikristallide olemuse kohta endiselt ebaselge. Lisaks puuduvad lõplikult väljakujunenud füüsikalised ideed nende struktuuri iseärasuste kohta ning nende tugevuse, plastilisuse, elastsuse, elektrilise, magnetilise ja muude omaduste kohta pole ka füüsilist põhjendust. Nendest raskustest hoolimata ei nõrgene teadlaste suurenenud huvi saladuse vastu, mille loodus neile kvaasikristallide kujul esitas, ja tulevikus saadakse kahtlemata ootamatuid tulemusi rohkem kui üks kord.
Fullereenid ja kvaasikristallid
Kvaasikristallide struktuuriga on otseselt seotud nn fullereenid, mis avastati 1980. aastate keskel – varem tundmatu vorm süsinikuaatomite ühendamisel peaaegu sfäärilisteks molekulideks C n ( n = 28, 54, 60, 70, 84, 120...).Fullereenid on süsiniku molekulide klass, mis sisaldab rohkem kui 20 aatomit. Nende avastus süvendas kvaasikristallide avastamisest põhjustatud "kristallograafilist katastroofi". Enim uuritud süsiniku nanoobjekt on C 60 fullereen. Varem usuti, et süsinikku võib vabas olekus leida kahe modifikatsioonina - teemant ja grafiit. . C 60 molekuli struktuur on midagi muud. See on tipuga kärbitud ikosaeeder, st üks Archimedese 14 ebakorrapärasest (või poolregulaarsest) polüeedrist, milles kuusnurgad on omavahel ühendatud viisnurkadega. seda joonist üksikasjalikult uurides märgime, et selline struktuur meenutab jalgpallipalli, mis on traditsiooniliselt õmmeldud mustadest viisnurkadest ja valgetest kuusnurkadest. Pole üllatav, et sellisel molekulil on ikosaeedriline sümmeetria. Fullereenidega tutvumine on kohe kütkestav, tabatakse oma ilu ja proportsionaalsuse poolest. Fullereenid nagu kvaasikristallid räägivad maailma hämmastavast harmooniast, pidevast ühtsusest kõigis selle ilmingutes. Huvi fullereenide vastu tekkis eelkõige nende ainulaadse struktuuri ja sümmeetria tõttu, aga ka võimalus luua nende põhjal materjale, mida kasutatakse erinevates kõrgtehnoloogiates. Esiteks peetakse neid elektroonikaseadmete jaoks paljulubavateks materjalideks. Lisaks on fullereenide baasil loodud ülimadala ja ülikõrge temperatuuriga määrdeaineid ja ülijuhtivusega ühendeid ning saadud aineid, mis on kõvemad kui teemant (vt Science and Life, nr 10, 1995).
Nimetus "fullereenid" on antud uuele süsiniku modifikatsioonide klassile Ameerika arhitekti Buckminster Fulleri auks, kes töötas välja kerakujuliste kuplite disaini. Üks neist hoonetest ehitati rahvusvahelisel näitusel EXPO-67 Montrealis. Konstruktsiooni põhimotiiviks on korduvad kuusnurksed killud, mille vahele tuuakse teatud kohtadesse viisnurkseid, andes vajaliku
mahulise struktuuri kõverus.
Esimesed fullereenid eraldati kondenseerunud aurudest grafiit saadakse tahkete grafiidiproovide laserkiirgusega. Tegelikult olid need aine jäljed. Järgmine oluline samm astuti sisse 1990. aasta V. Kretschmer, Lamb, D. Huffman ja teised, kes töötasid välja meetodi grammides fullereenide tootmiseks grafiitelektroodide põletamisel elektrikaares atmosfääris heelium juures madalad rõhud. Erosiooni protsessis anood Teatud koguses fullereene sisaldav tahm settis kambri seintele. Seejärel oli võimalik valida elektroodide aurustamiseks optimaalsed parameetrid (rõhk, atmosfääri koostis, vool, elektroodide läbimõõt), mille juures saavutatakse fullereenide suurim saagis, keskmiselt 3-12% anoodimaterjalist, mis määrab lõpuks fullereenide kõrge hinna.
Maurice Escher
Uurime üksikasjalikumalt Maurice Escheri töid ülalkirjeldatud matemaatiliste mustrite jaoks. Escherit huvitasid igat tüüpi mosaiigid - regulaarsed ja ebaregulaarsed (perioodilised ja kvaasiperioodilised) - ning tutvustas ka oma tüüpi, mida ta nimetas "metamorfoosideks", kus figuurid muutuvad ja üksteisega suhtlevad ning mõnikord muudavad ka tasapinda ise. Seda tüüpi mosaiiki kirjeldati eelmises peatükis. Escher hakkas mosaiikide vastu huvi tundma 1936. aastal Hispaanias reisides. Ta veetis palju aega Alhambras araabia mosaiike visandades ja ütles hiljem, et see oli tema jaoks. rikkaim allikas inspiratsiooni." Escher kirjutas hiljem oma essees mosaiikide kohta:
“Matemaatikatöödes käsitletakse tasapinna regulaarset partitsiooni teoreetiliselt.... Kas see tähendab seda see küsimus kas see on puhtalt matemaatiline? Matemaatikud avasid ukse, mis viis teise maailma, kuid nad ise ei julgenud sellesse maailma siseneda. Neid huvitab rohkem tee, millel uks seisab, kui selle taga peituv aed.
Kui oleme aru saanud, kuidas perioodilisi ja kvaasiperioodilisi plaate luua, võime arvata, kuidas Maurice Escher lõi oma mosaiigid. Escheri mosaiikide üksikasjalikul uurimisel ja uurimisel võib oletada, et kunstnik kasutas järgmist väga huvitavat, kuid samas lihtsat meetodit. Joonistasin korrapärase kuusnurga (teatavasti saab selle kujundi abil luua perioodilisi mosaiike). Pärast seda kõverdas ta kuusnurga kolm kõrvuti asetsevat külge, andes neile vajaliku kontuuri ja kaardistas paralleeltõlke abil need küljed vastandlike külgedega.
Nii kindlustas meister, et saadud figuurist saaks ikkagi mosaiigi teha. Pärast seda muutis ta figuuri seestpoolt. Kunstnik jagas selle kuueks võrdseks kolmnurgaks. Igas kolmnurgas muudeti külgribisid nii, et koos kuusnurga muudetud küljega (kolmnurga alus) moodustasid need vajaliku looma kontuuri. Meie puhul saime "kala". Eelkirjeldatud meetodil sai ta printimiseks valmis pildi. Ülaltoodud meetodi paikapidavuse tõestuseks võib tuua meistri gravüüride mõnel trükisel säilinud hägused jooned eelmärkidest. Need read kordavad täpselt mustrit, mis tuleks saada meie pakutud meetodi esimeste etappide läbiviimisel.
Ülaltoodud kaalutlustest lähtudes saame jagada kogu “mosaiiktööde” massiivi kahte põhiklassi. Esimene on perioodiline töö ja teine on kvaasiperioodiline.
mina ise Maurice Escher, nagu paljud geeniused enne ja pärast teda, nentis: „Kõik mu tööd on mängud. Tõsised mängud." Kuid nendes mängudes on matemaatikud üle maailma vaadanud juba mitu aastakümmet täiesti tõsiseid materiaalseid tõendeid ideede kohta, mis on loodud eranditult matemaatilise aparatuuri abil. Perioodilised plaadid võivad olla üsna keerulised, mõned neist on väga ilusad. Näiteks on Maurice Escheri (The Riders) leiutatud perioodiline plaatimine.
Keskaegsed kaunistused
2007. aastal töötas Harvardi füüsik Peter Lu koos teise füüsikuga - Paul Steinhardtiga, kuid Princetonist - avaldatud ajakirjas Science artikkel Penrose'i mosaiikide kohta. Näib, et siin pole midagi ootamatut: kvaasikristallide avastamine äratas selle teema vastu suurt huvi, mis viis teadusajakirjanduses hulga publikatsioonide ilmumiseni. Teose tipphetk on aga see, et see pole kaugeltki pühendatud kaasaegne teadus. Ja üldiselt – mitte teadus. Lu juhtis tähelepanu keskajal ehitatud Aasia mošeesid katvatele mustritele. Need kergesti äratuntavad kujundused on valmistatud mosaiikplaatidest. Neid kutsutakse girihiks. Girikh on geomeetriline muster hulknurksete ja tähekujuliste kujundite kombinatsioonina, mis on iseloomulik Kesk- ja Kesk-Aasia keskaegsele kunstile. Girikh - pärsia keelest tõlgituna sõlm, keeruline geomeetriline muster, mis on ehitatud joontega mitmesugusteks geomeetrilisteks kujunditeks (tähed, ristkülikud, rombid jne).
Pikka aega usuti, et need mustrid loodi joonlaua ja kompassi abil. Paar aastat tagasi Usbekistanis reisides hakkas Lou aga huvi tundma kohalikku keskaegset arhitektuuri kaunistavate mosaiikmustrite vastu ja märkas neis midagi tuttavat. Harvardi naastes hakkas teadlane uurima sarnaseid motiive Afganistani, Iraani, Iraagi ja Türgi keskaegsete hoonete seintel olevatel mosaiikidel.
See näide on dateeritud hilisemasse perioodi – aastasse 1622 (India mošee). Vaadates seda ja selle struktuuri joonist, ei saa jätta imetlemata teadlaste rasket tööd. Ja muidugi meistrid ise.
Peter Lu avastas, et need mustrid on peaaegu identsed, ja suutis tuvastada kõigis geomeetrilistes kujundustes kasutatud girikhide põhielemendid. Lisaks leidis ta iidsetest käsikirjadest nende kujutiste joonised, mida iidsed kunstnikud kasutasid omamoodi petulehena seinte kaunistamisel.
Kuid selgub, et see kõik pole nii oluline. Nende mustrite loomiseks ei kasutanud nad lihtsaid, juhuslikult väljamõeldud kontuure, vaid figuure, mis olid paigutatud teatud järjekorras. Ja see pole eriti üllatav. Huvitav on see, et inimesed, kes olid sellised skeemid unustanud, puutusid nendega hiljem uuesti kokku.
Jah, jah, iidsed mustrid pole midagi muud kui need, mida sajandeid hiljem nimetatakse Penrose'i võreks ja mida leidub kvaasikristallide struktuuris!
Islami traditsioonis oli inimeste ja loomade kujutamine rangelt keelatud, mistõttu said geomeetrilised mustrid hoonete kujundamisel väga populaarseks. Keskaegsed meistrid suutsid selle kuidagi mitmekesiseks muuta. Kuid keegi ei teadnud, mis oli nende "strateegia" saladus. Niisiis, saladus peitub spetsiaalsete mosaiikide kasutamises, mis võivad sümmeetriliseks jäädes täita tasapinna ennast kordamata. Teine nende piltide “nipp” seisneb selles, et selliseid skeeme erinevates templites jooniste järgi “kopeerides” peavad kunstnikud paratamatult lubama moonutusi. Kuid seda laadi rikkumised on minimaalsed. Seda saab seletada vaid sellega, et suuremahulistel joonistel polnud mõtet: peamine oli põhimõte, mille järgi pilt üles ehitada. Girikhi struktuur Girikhide kokkupanemiseks kasutati viit tüüpi plaate (kümne- ja viisnurksed rombid ja “liblikad”), mis pandi kokku üksteisega külgnevasse mosaiiki ilma vaba ruumita. Nendest loodud mosaiikidel võis olla kas korraga pöörlemis- ja translatsioonisümmeetria või ainult viiendat järku pöörlemissümmeetria (ehk need olid Penrose'i mosaiigid). Nendel fotodel on esile tõstetud samad piirkonnad, kuigi need on fotod väga erinevatest mošeedest. |
Fragment 1304. aasta Iraani mausoleumi ornamendist. Paremal on girikhide rekonstruktsioon. |
Pärast sadade keskaegsete moslemipaikade fotode uurimist suutsid Lu ja Steinhardt dateerida suundumust 13. sajandisse. Imam Darbi pühamu portaal Isfahanis Iraanis). Siin on kaks girikhi süsteemi üksteise peal. Järk-järgult saavutas see meetod üha populaarsemaks ja 15. sajandiks sai see laialt levinud. Teadlased pidasid peaaegu ideaalse kvaasikristallilise struktuuri näiteks imaam Darbi pühamut Iraani linnas Isfahanis, mis pärineb aastast 1453. See avastus avaldas paljudele inimestele muljet. Ameerika Teaduse Edendamise Assotsiatsioon valmistas hea meelega selleks puhuks ette teadusuuringutele pühendatud pressiteateid, isegipealpärslane , araabia keel Jatürgi keel keeled (ilmselt "austusavaldusena" inspiratsiooni saamiseks). |
Tõsi, dr Emil Makovitsky Kopenhaageni ülikoolist pidas oma kohuseks teadlasi kiruda, et nad ei pööranud piisavalt tähelepanu tema 1991. aasta artiklile, milles ta uuris 12. sajandi Iraani hauakambri mustrit. Varsti ühinesid selle kriitikaga veel paar teadlast - Technionist ja Duke'i ülikoolist, öeldes, et Steinhardti ja Lu töö kujutab endast "huvitavat hüpoteesi".
Paul Steinhardt tõrjus märkusele ausalt vastu, öeldes, et tema ja ta kolleeg ei töötanud ühe näidise, vaid väga erineva materjali kallal. Õnneks ei toonud see kaasa akadeemilist tüli ja teadusmaailmas pälvis uurimus vähemalt mõningase tunnustuse.
Ja ometi jääb vastuseta kõige müstilisem küsimus – kuidas võisid keskaegsed araablased tulla välja kvaasikristalliliste struktuuridega, mis on meile teada olnud vähem kui kolm aastakümmet.
Kas see võib olla tõend matemaatika tohutust rollist keskaegses islami kunstis või oli see autorite jaoks lihtsalt kõige lihtsam viis oma töid kokku panna, pole praegu võimalik teada.
"Me ei saa kindlalt öelda, mida kogu see kunst tähendab," tunnistas Peter Lu. "Siiski tundub uskumatu, et sellise taktika valik oli pelgalt juhuse küsimus." Igatahes võib see avastus olla tõendiks, et kunst, millele erilist tähtsust ei omistata, osutus palju “arenenud”, kui oskasime arvata.
Järeldus
Tesselatsioon on kvaasikristallfüüsika enim uuritud valdkond. Peaaegu kõik praegu teadaolevad kvaasikristallid on metallisulamid, kuid nende omadused erinevad oluliselt põhimetallide omadustest. Märkigem näiteks ebatavaliselt suurt elektritakistust madalatel temperatuuridel ja selle langust temperatuuri tõustes. "Traditsioonilised" metallid käituvad täpselt vastupidiselt. Kvaasikristallide massilise kasutamise ajastu on ilmselgelt ees, mõned kontuurid on juba välja joonistuvad. Nende kasutamine liuglaagrites on võimalik - madala hõõrdeteguriga kvaasikristallilistel sulamitel on kõrge ohutusvaru. Kõrgtugevad mittenakkuvad katted, kõrge temperatuuriga ülijuhid, ülitugevad materjalid, üliõhukesed katted, ülipeened pulbrid ja kvaasikristallilised abrasiivid näevad ahvatlevad välja. Selle ainete klassi paljusid omadusi tuleb veel uurida. Üheks prioriteetseks ülesandeks on etteantud parameetrite järgi sünteesimeetodite väljatöötamine, mis võimaldaks eelnevalt “programmeerida” loodavate materjalide füüsikalisi omadusi. Kvaasikristallide avastamine kõigutas kristallograafia aluseid, mille paljusid sätteid tuli viimase veerandsajandi jooksul üle vaadata. Kristalli üldistatud idees asendades mõiste "ühikrakk" - tavapärane väikseim struktuuriüksus kristall – tuli mõiste “pikamaa kord”.Füüsikud võrdlevad kvaasikristallide avastamise olulisust kristallograafia jaoks irratsionaalarvude avastamisega matemaatikas. Praegu on plaatimise abil avastatud üle 200 kvaasikristallilise sulami, mille omadusi aktiivselt uuritakse.
Need objektid pole veel praktilist rakendust leidnud, kuid nende uurimine laiendab meie arusaama aine struktuurist.
Kvaasikristallilise oleku küsimus ei piirdu tahkisfüüsikaga. Kvaasikristallide sümmeetriaomadused on universaalsed. See tähendab, et kui tahkes aines leitakse mistahes kindla kujuga rakkude pakkimise meetod, siis hüdrodünaamilistes vooludes võib leida sama meetodi "vedelrakkude" pakkimiseks, kaose probleem (kaose faasitasandi struktuuris dünaamiline süsteem) jne Seetõttu on aastal Kvaasikristallide uurimine kaasab füüsikuid, matemaatikuid, kristallograafe ja materjaliteadlasi. Küsimus aine kvaasikristallilise oleku olemusest ja kvaasikristallide omaduste selgitamisest jääb aga endiselt mõistatuseks. Kvaasikristallid on hävitanud traditsioonilise idee ületamatust lõhest mineraalimaailma, kus "viisnurkne" sümmeetria oli keelatud, ja elusmaailma looduse vahel, kus "viisnurkne" sümmeetria on üks levinumaid. Ja me ei tohiks unustada et ikosaeedri põhiosa moodustab "kuldne proportsioon". Ja kvaasikristallide avastamine on veel üks teaduslik kinnitus, et võib-olla on just "kuldne proportsioon" see, mis avaldub eluslooduse maailmas ja mineraalide maailmas. , on peamine osakaal.