Millistel juhtudel annab see plussi? Märgi reeglid korrutamiseks ja liitmiseks
Kas me saame korrutamisest õigesti aru?
"- A ja B istusid toru peal. A kukkus, B kadus, mis jäi toru peale?
"Sinu kiri I jääb alles."(Filmist "Noored universumis")
Miks korrutades arvu nulliga saadakse null?
7 * 0 = 0
Miks kahe negatiivse arvu korrutamisel saadakse positiivne arv?
7 * (-3) = + 21
Õpetajad pakuvad neile kahele küsimusele vastuse andmiseks kõik endast oleneva.
Kuid keegi ei julge tunnistada, et korrutamise sõnastuses on kolm semantilist viga!
Kas elementaarses aritmeetikas on võimalik vigu teha? Matemaatika positsioneerib end ju täppisteadusena...
Koolimatemaatika õpikud neile küsimustele vastuseid ei anna, asendades selgitused reeglistikuga, mis tuleb pähe õppida. Võib-olla peetakse seda teemat keskkoolis raskesti seletatavaks? Proovime neid probleeme mõista.
7 on korrutis. 3 on kordaja. 21-töö.
Ametliku sõnastuse kohaselt:
- arvu korrutamine mõne teise arvuga tähendab nii paljude korrutajate liitmist, kui kordaja ette näeb.
Aktsepteeritud sõnastuse kohaselt ütleb tegur 3 meile, et võrdsuse paremal küljel peaks olema kolm seitset.
7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21
Kuid see korrutamise sõnastus ei saa seletada ülaltoodud küsimusi.
Parandame korrutamise sõnastust
Tavaliselt on matemaatikas palju mõeldud, aga sellest ei räägita ega kirjutata.
See viitab plussmärgile enne esimest seitset võrrandi paremal küljel. Paneme selle plussi kirja.
7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21
Aga millele lisandub esimene seitse? See tähendab muidugi nulli. Kirjutame nulli.
7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21
Mis siis, kui me korrutame kolme miinus seitsmega?
7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21
Kirjutame kordaja -7 liitmise, kuid tegelikult lahutame nullist mitu korda. Avame sulgud.
7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21
Nüüd saame anda korrutamise täpsustatud formuleeringu.
- Korrutamine on korduva korrutise (-7) korduva lisamise (või nullist lahutamise) protsess nii mitu korda, kui kordaja näitab. Kordaja (3) ja selle märk (+ või -) näitavad tehte arvu, mis nullile liidetakse või nullist lahutatakse.
Kasutades seda rafineeritud ja veidi muudetud korrutamise sõnastust, on negatiivsete kordaja korral korrutamise märgireeglid kergesti seletatavad.
7 * (-3) - nulli järel peab olema kolm miinusmärki = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = -21
7 * (-3) - pärast nulli = peaks jälle olema kolm miinusmärki
0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21
Korrutage nulliga
7 * 0 = 0 + ... nulltehteid ei lisata.
Kui korrutamine on nulli liitmine ja kordaja näitab nulliga liitmise operatsioonide arvu, siis kordaja null näitab, et nullile ei liideta midagi. Seetõttu jääb see nulliks.
Seega leidsime olemasolevas korrutamise sõnastuses kolm semantilist viga, mis takistavad kahe "märgireegli" mõistmist (kui kordaja on negatiivne) ja arvu korrutamist nulliga.
- Korrutajat ei pea liitma, vaid lisage see nullile.
- Korrutamine pole mitte ainult nullile liitmine, vaid ka nullist lahutamine.
- Korrutaja ja selle märk ei näita mitte liikmete arvu, vaid pluss- või miinusmärkide arvu korrutamise osadeks (või lahutatavateks) jagamisel.
Olles sõnastust mõnevõrra täpsustanud, saime seletada arvu korrutamise ja nulliga korrutamise märkide reegleid ilma korrutamise kommutatiivse seaduse abita, ilma jaotusseaduseta, ilma analoogiaid arvujoonega, ilma võrranditeta. , ilma tõestuseta pöördväärtusest jne.
Korrutamise täpsustatud formuleerimise märgireeglid tuletatakse väga lihtsalt.
7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)
7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)
7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)
7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)
Kordaja ja selle märk (+3 või -3) näitavad võrrandi paremal küljel olevate "+" või "-" märkide arvu.
Korrutamise modifitseeritud formuleering vastab arvu astmeks tõstmise operatsioonile.
2^3 = 1*2*2*2 = 8
2^0 = 1 (üht ei korrutata ega jagata millegagi, nii et see jääb üheks)
2^-1 = 1: 2 = 1/2
2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4
2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8
Matemaatikud nõustuvad, et arvu tõstmine positiivse astmeni tähendab ühe korrutamist mitu korda. Ja arvu tõstmine negatiivse astmeni on ühe mitmekordne jagamine.
Korrutamise tehe peaks olema sarnane astendamise operatsiooniga.
2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6
2*2 = 0 + 2 + 2 = 4
2*0 = 0 (nullile ei lisata midagi ja nullist ei lahutata midagi)
2*-1 = 0 - 2 = -2
2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4
2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6
Korrutamise modifitseeritud sõnastus ei muuda matemaatikas midagi, vaid annab tagasi korrutustehte algse tähenduse, selgitab “märkide reegleid”, korrutades arvu nulliga ning ühitab korrutamise eksponentsiga.
Kontrollime, kas meie korrutamise formuleering on kooskõlas jagamistehtega.
15: 5 = 3 (5 * 3 = 15 korrutamise pöördväärtus)
Jagatis (3) vastab nulliga (+3) liitmise operatsioonide arvule korrutamise ajal.
Arvu 15 jagamine 5-ga tähendab, et leiate, mitu korda peate 15-st lahutama 5. Seda tehakse järjestikuse lahutamise teel, kuni saadakse null tulemus.
Jagamise tulemuse leidmiseks peate loendama miinusmärkide arvu. Neid on kolm.
15: 5 = 3 toimingut viie lahutamiseks 15-st, et saada null.
15 - 5 - 5 - 5 = 0 (jaotus 15:5)
0 + 5 + 5 + 5 = 15 (korrutades 5 * 3)
Jagage jäägiga.
17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0
17: 5 = 3 ja 2 ülejäänud
Kui on jagamine jäägiga, siis miks mitte korrutada lisandiga?
2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17
Vaatame sõnastuse erinevust kalkulaatoril
Olemasolev korrutamise sõnastus (kolm terminit).
10 + 10 + 10 = 30
Korrigeeritud korrutiseformulatsioon (kolm liitmist nulltehtele).
0 + 10 = = = 30
(Vajutage kolm korda "võrdub".)
10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Kordaja 3 näitab, et kordaja 10 tuleb kolm korda lisada nullile.
Proovi korrutada (-10) * (-3), lisades termini (-10) miinus kolm korda!
(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?
Mida tähendab kolme miinusmärk? Võib-olla nii?
(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?
Vabandust... Ma ei saa korrutist terminite summaks (või erinevuseks) (-10) lagundada.
Muudetud sõnastus teeb seda õigesti.
0 - (-10) = = = +30
(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Kordaja (-3) näitab, et kordaja (-10) tuleb nullist lahutada kolm korda.
Märgi reeglid liitmiseks ja lahutamiseks
Eespool näitasime lihtsat viisi korrutamise märkide reeglite tuletamiseks, muutes korrutamise sõnastuse tähendust.
Kuid järelduse tegemiseks kasutasime liitmise ja lahutamise märkide reegleid. Need on peaaegu samad, mis korrutamisel. Loome märkide liitmise ja lahutamise reeglite visualiseeringu nii, et sellest aru saaks ka 1. klassi laps.
Mis on "miinus", "negatiivne"?
Looduses pole midagi negatiivset. Ei ole negatiivset temperatuuri, negatiivset suunda, negatiivset massi, negatiivseid laenguid... Isegi siinus saab oma olemuselt olla ainult positiivne.
Kuid matemaatikud tulid välja negatiivsete arvudega. Milleks? Mida tähendab "miinus"?
Miinusmärk tähendab vastupidist suunda. Vasak parem. Ülemine alumine osa. Päripäeva - vastupäeva. Edasi-tagasi. Külm kuum. Kerge raske. Aeglane kiire. Kui järele mõelda, võite tuua palju muid näiteid, kus on mugav kasutada negatiivseid väärtusi.
Meile tuttavas maailmas algab lõpmatus nullist ja läheb pluss lõpmatuseni.
"Miinus lõpmatust" reaalses maailmas ei eksisteeri. See on sama matemaatiline kokkulepe, mis mõiste "miinus".
Niisiis, "miinus" tähistab vastupidist suunda: liikumine, pöörlemine, protsess, korrutamine, liitmine. Analüüsime erinevaid suundi positiivsete ja negatiivsete (teissuunas suurenevate) arvude liitmisel ja lahutamisel.
Raskused liitmise ja lahutamise märkide reeglite mõistmisel on tingitud sellest, et neid reegleid selgitatakse tavaliselt arvureal. Arvureal segunevad kolm erinevat komponenti, millest tuletatakse reeglid. Ja segadusest, erinevate mõistete ühte hunnikusse pakkimisest, tekivad mõistmisraskused.
Reeglite mõistmiseks peame jagama:
- esimene tähtaeg ja summa (need on peal horisontaaltelg);
- teine termin (see on vertikaalteljel);
- liitmise ja lahutamise operatsioonide suund.
See jaotus on joonisel selgelt näidatud. Kujutage vaimselt ette, et vertikaaltelg võib pöörata horisontaalteljele kattudes.
Lisamine toimub alati vertikaaltelje pööramisega päripäeva (plussmärk). Lahutamistehe sooritatakse alati vertikaaltelje pööramisega vastupäeva (miinusmärk).
Näide. Diagramm paremas alanurgas.
On näha, et kahel kõrvuti asetseval miinusmärgil (lahutustehte märk ja arvu 3 märk) on erinev tähendus. Esimene miinus näitab lahutamise suunda. Teine miinus on numbrimärk vertikaalteljel.
Leidke horisontaalteljel esimene liige (-2). Leidke vertikaalteljel teine liige (-3). Pöörake vaimselt vertikaalne telg vastupäeva, kuni (-3) joondub horisontaaltelje numbriga (+1). Arv (+1) on liitmise tulemus.
Lahutamise operatsioon
annab sama tulemuse, mis ülemises paremas nurgas oleva diagrammi liitmisoperatsioon.
Seetõttu saab kaks kõrvuti asetsevat miinusmärki asendada ühe plussmärgiga.
Me kõik oleme harjunud kasutama valmis aritmeetikareegleid, mõtlemata nende tähendusele. Seetõttu ei pane me sageli isegi tähele, kuidas liitmise (lahutamise) märkide reeglid erinevad korrutamise (jagamise) märkide reeglitest. Kas need tunduvad ühesugused? Peaaegu... Järgmisel joonisel on näha väikest erinevust.
Nüüd on meil kõik, mida vajame korrutamise märgireeglite tuletamiseks. Väljundi järjestus on järgmine.
- Näitame selgelt, kuidas saadakse liitmise ja lahutamise märkide reeglid.
- Teeme olemasolevas korrutamise sõnastuses semantilisi muudatusi.
- Korrutamise modifitseeritud formuleeringu ja liitmise märkide reeglite alusel tuletame korrutamise märkide reeglid.
Märge.
Allpool on kirjutatud Märgi reeglid liitmiseks ja lahutamiseks, mis on saadud visualiseerimisest. Ja punasega võrdluseks samad märkide reeglid matemaatikaõpikust. Hall pluss sulgudes on nähtamatu pluss, mida ei kirjutata positiivse arvu kohta.
Terminite vahel on alati kaks märki: tehtemärk ja numbrimärk (me ei kirjuta plussi, vaid mõtleme seda). Märkide reeglid näevad ette ühe märgipaari asendamise teise paariga ilma liitmise (lahutamise) tulemust muutmata. Tegelikult on ainult kaks reeglit.
Reeglid 1 ja 3 (visualiseerimiseks) - dubleerivad 4. ja 2. reeglid. Kooli tõlgenduse reeglid 1 ja 3 ei kattu visuaalse skeemiga, seetõttu ei kehti need märkide lisamise reeglite kohta. Need on mõned muud reeglid...
1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???
2. +- = -(+)........ + - = - (+) ok
3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???
4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok
Koolireegel 1. (punane) võimaldab asendada kaks plussi järjest ühe plussiga. Reegel ei kehti märkide asendamisel liitmisel ja lahutamisel.
Koolireegel 3. (punane) lubab positiivsele arvule peale lahutamistehte plussmärki mitte kirjutada. Reegel ei kehti märkide asendamisel liitmisel ja lahutamisel.
Märkide liitmise reeglite tähendus on ühe märgipaari asendamine teise tähistepaariga ilma liitmise tulemust muutmata.
Koolimetoodikud segasid kaks reeglit ühte reeglisse:
Kaks märkide reeglit positiivsete ja negatiivsete arvude liitmisel ja lahutamisel (ühe märgipaari asendamine teise märgipaariga);
Kaks reeglit positiivsele arvule plussmärgi mitte kirjutamiseks.
Kaks erinevat ühte segatud reeglit on sarnased märkide reeglitele korrutamisel, kus kahe märgi tulemuseks on kolmas. Nad näevad välja täpselt sarnased.
Suur segadus! Jälle sama asi, et paremini lahti harutada. Toome operatsioonimärgid punasega esile, et eristada neid numbrimärkidest.
1. Liitmine ja lahutamine. Kaks märgireeglit, mille järgi terminite vahel olevaid märgipaare vahetatakse. Operatsioonimärk ja numbrimärk.
+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)
+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)
2. Kaks reeglit, mille järgi positiivse arvu plussmärki on lubatud mitte kirjutada. Need on registreerimisvormi reeglid. Ei kehti lisamise kohta. Positiivse arvu korral kirjutatakse ainult tehte märk.
- + = - |||||||||| - (+2) = - 2
+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2
3. Neli märkide reeglit korrutamiseks. Kui kaks tegurite tunnust põhjustavad toote kolmanda märgi. Korrutamismärgireeglid sisaldavad ainult arvumärke.
+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2
+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2
- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2
- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2
Nüüd, kui oleme vormireeglid eraldanud, peaks olema selge, et liitmise ja lahutamise märgireeglid ei ole sugugi sarnased korrutamise märgireeglitega.
V. Kozarenko
Miinus ja pluss on matemaatikas negatiivsete ja positiivsete arvude märgid. Nad suhtlevad iseendaga erinevalt, nii et arvudega tehteid tehes, näiteks jagamine, korrutamine, lahutamine, liitmine jne, tuleb arvestada allkirja reeglid. Ilma nende reegliteta ei saa te kunagi lahendada isegi kõige lihtsamat algebralist või geomeetriline probleem. Neid reegleid teadmata ei saa te õppida mitte ainult matemaatikat, vaid ka füüsikat, keemiat, bioloogiat ja isegi geograafiat.
Vaatame lähemalt märkide põhireegleid.
Jaoskond.
Kui jagame "pluss" "miinusega", saame alati "miinus". Kui jagame "miinuse" "plussiga", saame alati ka "miinuse". Kui jagame "pluss" "plussiga", saame "pluss". Kui jagame “miinus” “miinusega”, saame kummalisel kombel ka “plussi”.
Korrutamine.
Kui korrutame "miinuse" plussiga, saame alati "miinuse". Kui korrutame “pluss” “miinusega”, saame alati ka “miinuse”. Kui korrutame "pluss" "plussiga", saame positiivse arvu, see tähendab "pluss". Sama kehtib ka kahe negatiivse arvu kohta. Kui korrutada "miinus" "miinus", saame "pluss".
Lahutamine ja liitmine.
Need põhinevad erinevatel põhimõtetel. Kui negatiivne arv on absoluutväärtuses suurem kui meie positiivne, on tulemus loomulikult negatiivne. Kindlasti mõtlete, mis on moodul ja miks see siin üldse on. Kõik on väga lihtne. Moodul on arvu väärtus, kuid ilma märgita. Näiteks -7 ja 3. Modulo -7 on lihtsalt 7 ja 3 jääb 3-ks. Selle tulemusena näeme, et 7 on suurem, see tähendab, et meie negatiivne arv on suurem. Seega tuleb välja -7+3 = -4. Seda saab veelgi lihtsamaks muuta. Pange lihtsalt esikohale positiivne arv ja see tuleb välja 3-7 = -4, võib-olla on see kellelegi selgem. Lahutamine toimib täpselt samal põhimõttel.
Kaks negatiivset teevad jaatava- See on reegel, mida me koolis õppisime ja rakendame kogu elu. Ja keda meist huvitas miks? Muidugi on ilma lihtsam ebavajalikud küsimused pidage seda väidet meeles ja ärge süvenege teema olemusse. Nüüd on juba piisavalt teavet, mida tuleb “seedida”. Kuid neile, keda see küsimus veel huvitab, proovime anda selle matemaatilise nähtuse selgituse.
Iidsetest aegadest on inimesed kasutanud positiivset naturaalarvud: 1, 2, 3, 4, 5,... Numbritega loeti kariloomi, saaki, vaenlasi jne. Kahe positiivse arvu liitmisel ja korrutamisel said nad alati positiivse arvu, ühe suuruse jagamisel teisega ei saanud nad alati naturaalarve - nii tekkisid murdarvud. Aga lahutamine? Lapsepõlvest saadik teame, et parem on rohkemale vähem liita ja rohkemast vähem lahutada ning jällegi me ei kasuta negatiivseid numbreid. Selgub, et kui mul on 10 õuna, saan kellelegi anda ainult alla 10 või 10. Ma ei saa kuidagi anda 13 õuna, sest mul pole neid. Negatiivseid numbreid polnud pikka aega vaja.
Alles 7. sajandist pKr. Negatiivseid arve kasutati mõnes loendussüsteemis abisuurustena, mis võimaldasid vastuses saada positiivse arvu.
Vaatame näidet, 6x – 30 = 3x – 9. Vastuse leidmiseks on vaja jätta terminid tundmatutega vasakule, ülejäänud aga paremale: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 Selle võrrandi lahendamisel me isegi Negatiivseid numbreid ei olnud. Võiksime tundmatuid liikmeid üle kanda parem pool, ja ilma tundmatuteta - vasakule: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Negatiivse arvu jagamisel negatiivse arvuga saame positiivse vastuse: x = 7.
Mida me näeme?
Negatiivsete arvudega töötamine peaks jõudma samale vastusele kui ainult positiivsete arvudega töötamine. Me ei pea enam mõtlema toimingute praktilisele võimatusele ja mõttekusele – need aitavad meil probleemi palju kiiremini lahendada, taandamata võrrandit vormiks, millel on ainult positiivsed arvud. Meie näites ei kasutanud me keerulisi arvutusi, vaid millal suured hulgad Negatiivsete arvudega arvutuste lisamine võib meie tööd lihtsamaks muuta.
Aja jooksul, pärast pikki katseid ja arvutusi, õnnestus tuvastada reeglid, mis reguleerivad kõiki numbreid ja nendega tehtavaid tehteid (matemaatikas nimetatakse neid aksioomideks). Siit see tuli aksioom, mis väidab, et kahe negatiivse arvu korrutamisel saame positiivse arvu.
www.sait, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.
Matemaatikaõpetajat kuulates tajub enamik õpilasi materjali aksioomina. Samal ajal püüavad vähesed jõuda selle põhja ja aru saada, miks "miinus" plussiga annab "miinusmärgi" ja kahe negatiivse arvu korrutamisel tuleb positiivne tulemus.
Matemaatika seadused
Enamik täiskasvanuid ei suuda endale ega oma lastele selgitada, miks see nii juhtub. Nad õppisid seda materjali koolis kindlalt, kuid isegi ei püüdnud välja selgitada, kust sellised reeglid pärinevad. Aga asjata. Sageli ei ole tänapäeva lapsed nii kergeusklikud, nad peavad jõudma asjade põhjani ja mõistma, näiteks, miks pluss ja miinus annavad miinuse. Ja mõnikord küsivad poisid tahtlikult keerulisi küsimusi, et nautida hetke, mil täiskasvanud ei saa arusaadavat vastust anda. Ja see on tõesti katastroof, kui noor õpetaja satub hätta...
Muide, tuleb märkida, et ülalmainitud reegel kehtib nii korrutamisel kui ka jagamisel. Negatiivse ja positiivse arvu korrutis annab ainult miinuse. Kui me räägime umbes kaks numbrit "-" märgiga, on tulemuseks positiivne arv. Sama kehtib ka jagamise kohta. Kui üks arvudest on negatiivne, on jagatises ka märk “-”.
Selle matemaatikaseaduse õigsuse selgitamiseks on vaja sõnastada rõnga aksioomid. Kuid kõigepealt peate mõistma, mis see on. Matemaatikas nimetatakse rõngaks tavaliselt hulka, milles osalevad kaks kahe elemendiga tehet. Kuid parem on seda näite abil mõista.
Rõnga aksioom
On mitmeid matemaatilisi seadusi.
- Esimene neist on kommutatiivne, selle järgi C + V = V + C.
- Teist nimetatakse assotsiatiivseks (V + C) + D = V + (C + D).
Ka korrutamine (V x C) x D = V x (C x D) järgib neid.
Keegi pole tühistanud reegleid, mille järgi sulgud avatakse (V + C) x D = V x D + C x D, tõsi on ka see, et C x (V + D) = C x V + C x D.
Lisaks on kindlaks tehtud, et rõngasse saab sisestada spetsiaalse, lisandneutraalse elemendi, mille kasutamisel kehtib järgmine: C + 0 = C. Lisaks on iga C jaoks vastandelement, mis võib tähistada kui (-C). Sel juhul C + (-C) = 0.
Negatiivsete arvude aksioomide tuletamine
Olles nõustunud ülaltoodud väidetega, saame vastata küsimusele: "Millise märgi annavad pluss ja miinus?" Teades negatiivsete arvude korrutamise aksioomi, on vaja kinnitada, et tõepoolest (-C) x V = -(C x V). Ja ka see, et järgmine võrdsus on tõene: (-(-C)) = C.
Selleks peate esmalt tõestama, et igal elemendil on ainult üks "vend". Mõelgem järgmine näide tõend. Proovime ette kujutada, et C puhul on kaks arvu vastandlikud - V ja D. Sellest järeldub, et C + V = 0 ja C + D = 0, st C + V = 0 = C + D. Meenutades selle seadusi kommutatsiooni ja arvu 0 omaduste kohta saame arvestada kõigi kolme arvu summaga: C, V ja D. Proovime välja selgitada V väärtuse. Loogiline on, et V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, kuna C + D väärtus, nagu eespool eeldati, on 0. See tähendab, et V = V + C + D.
D väärtus tuletatakse samal viisil: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Selle põhjal selgub, et V = D.
Selleks, et mõista, miks "pluss" kuni "miinus" annab ikkagi "miinuse", peate mõistma järgmist. Niisiis, elemendi (-C) jaoks on C ja (-(-C)) vastandlikud, st nad on üksteisega võrdsed.
Siis on ilmne, et 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Sellest järeldub, et C x V on (-)C x V vastand, mis tähendab (- C) x V = -(C x V).
Täieliku matemaatilise ranguse jaoks on vaja ka kinnitada, et 0 x V = 0 mis tahes elemendi puhul. Kui järgida loogikat, siis 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. See tähendab, et korrutise 0 x V lisamine ei muuda kehtestatud summat kuidagi. Lõppude lõpuks on see toode võrdne nulliga.
Teades kõiki neid aksioome, saate järeldada mitte ainult seda, kui palju "pluss" ja "miinus" annavad, vaid ka seda, mis juhtub negatiivsete arvude korrutamisel.
Kahe arvu korrutamine ja jagamine märgiga "-".
Kui te ei süvene matemaatilistesse nüanssidesse, võite proovida negatiivsete arvudega töötamise reegleid selgitada lihtsamalt.
Oletame, et C - (-V) = D, selle põhjal C = D + (-V), st C = D - V. Kanname V üle ja saame, et C + V = D. C + V = C - (-V). See näide selgitab, miks avaldises, kus on kaks "miinust" järjest, tuleks nimetatud märgid muuta "plussiks". Vaatame nüüd korrutamist.
(-C) x (-V) = D, saate avaldisele liita ja lahutada kaks identset korrutist, mis ei muuda selle väärtust: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.
Pidades meeles sulgudega töötamise reegleid, saame:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
Sellest järeldub, et C x V = (-C) x (-V).
Samamoodi saate tõestada, et kahe negatiivse arvu jagamisel saadakse positiivne arv.
Üldised matemaatilised reeglid
Loomulikult ei sobi see selgitus algklassiõpilastele, kes alles hakkavad õppima abstraktseid negatiivseid numbreid. Parem on neil seletada nähtavatel objektidel, manipuleerides neile tuttava vaateklaasi taga oleva terminiga. Näiteks asuvad seal väljamõeldud, kuid olematud mänguasjad. Neid saab kuvada "-" märgiga. Kahe peegelobjekti korrutamine kannab need teise maailma, mis on võrdsustatud tegelikuga, see tähendab, et tulemuseks on positiivsed arvud. Aga abstraktne korrutamine negatiivne arv positiivselt annab see ainult kõigile tuttava tulemuse. Lõppude lõpuks annab "pluss" korrutades "miinus" "miinuse". Tõsi, lapsed ei püüa tegelikult kõiki matemaatilisi nüansse mõista.
Kuigi, olgem ausad, paljude inimeste jaoks isegi koos kõrgharidus Paljud reeglid jäävad saladuseks. Igaüks peab iseenesestmõistetavaks seda, mida õpetajad neile õpetavad, ilma raskusteta süvenedes kõigesse keerukusesse, mida matemaatika varjab. "Miinus" miinuse jaoks annab "pluss" - seda teavad eranditult kõik. See kehtib nii täis- kui ka murdarvude kohta.
1) Miks võrdub miinus üks korda miinus üks pluss üks?
2) Miks võrdub miinus üks korda pluss üks miinus ühega?
Minu vaenlase vaenlane on mu sõber
Lihtsaim vastus on: "Sest need on negatiivsete numbritega töötamise reeglid." Reeglid, mida me koolis õpime ja rakendame kogu elu. Õpikud aga ei selgita, miks reeglid on sellised, nagu nad on. Püüame seda esmalt aritmeetika arenguloost lähtuvalt mõista ja seejärel vastame sellele küsimusele nüüdisaegse matemaatika seisukohalt.
Kaua aega tagasi teadsid inimesed ainult naturaalnumbreid: 1, 2, 3, ... Neid kasutati riistade loendamiseks, rüüstamiseks, vaenlasteks jne. Kuid numbrid ise on üsna kasutud – nendega tuleb osata hakkama saada. Liitmine on selge ja arusaadav ning pealegi on kahe naturaalarvu summa ka naturaalarv (matemaatik ütleks, et liitmise tehte korral on naturaalarvude hulk suletud). Korrutamine on sisuliselt sama, mis liitmine, kui me räägime naturaalarvudest. Elus sooritame sageli nende kahe toiminguga seotud toiminguid (näiteks poes käies liidame ja korrutame) ning kummaline on mõelda, et meie esivanemad puutusid nendega harvemini kokku – liitmist ja korrutamist õppis inimkond väga pikka aega. tagasi. Tihti tuleb osa suurusi teistega jagada, kuid siin ei väljendata tulemust alati naturaalarvuna – nii tekkisid murdarvud.
Muidugi ei saa te ka ilma lahutamiseta hakkama. Kuid praktikas lahutame suuremast arvust tavaliselt väiksema arvu ja negatiivseid numbreid pole vaja kasutada. (Kui mul on 5 kommi ja annan õele 3, siis jääb mul 5–3 = 2 kommi, aga ma ei saa talle 7 kommi anda isegi siis, kui ma tahan.) See võib seletada, miks inimesed ei ole kasutanud negatiivseid numbreid kaua aega.
Negatiivseid numbreid on India dokumentides esinenud alates 7. sajandist pKr; Hiinlased hakkasid neid ilmselt veidi varem kasutama. Neid kasutati võlgade arvestamiseks või vahearvutustes võrrandite lahendamise lihtsustamiseks – see oli lihtsalt vahend positiivse vastuse saamiseks. Asjaolu, et negatiivsed arvud erinevalt positiivsetest ei väljenda ühegi olemi olemasolu, põhjustas tugevat usaldamatust. Inimesed vältisid sõna otseses mõttes negatiivseid numbreid: kui probleemile oli eitav vastus, uskusid nad, et vastust polegi. See usaldamatus püsis väga pikka aega ja isegi Descartes, üks moodsa matemaatika "asutajaid", nimetas neid "valeks" (17. sajandil!).
Mõelge näiteks võrrandile 7x – 17 = 2x – 2. Seda saab lahendada nii: liigutage tundmatuga terminid kohale vasak pool, ja ülejäänud - paremale, see saab korda 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Selle lahendusega ei kohanud me isegi negatiivseid numbreid.
Aga kogemata oli võimalik teha teisiti: nihutada mõisted tundmatuga paremale poole ja saada 2-17 = 2x-7x, (–15) = (–5)x. Tundmatu leidmiseks peate jagama ühe negatiivse arvu teisega: x = (–15)/(–5). Kuid õige vastus on teada ja seda tuleb järeldada (–15)/(–5) = 3 .
Mida see lihtne näide demonstreerib? Esiteks saab selgeks loogika, mis määras negatiivsete arvudega töötamise reeglid: nende toimingute tulemused peavad ühtima muul viisil saadud vastustega, ilma negatiivsete arvudeta. Teiseks, negatiivsete arvude kasutamist lubades vabaneme tüütust (kui võrrand osutub keerulisemaks, suure hulga terminitega) lahenduse otsimisest, kus kõik toimingud sooritatakse ainult naturaalarvudega. Pealegi ei pruugi me enam iga kord mõelda teisendatud suuruste mõttekusele – ja see on juba samm matemaatika abstraktseks teaduseks muutmise suunas.
Negatiivsete arvudega opereerimise reeglid ei kujunenud kohe välja, vaid neist sai üldistus arvukatest näidetest, mis tekkisid rakendusülesannete lahendamisel. Üldiselt võib matemaatika arengut jagada etappideks: iga järgmine etapp erineb objektide uurimisel eelnevast uue abstraktsioonitaseme võrra. Nii mõistsid matemaatikud 19. sajandil, et täisarvudel ja polünoomidel on kõigist välistest erinevustest hoolimata palju ühist: mõlemat saab liita, lahutada ja korrutada. Nendele tehtele kehtivad samad seadused – nii arvude kui ka polünoomide puhul. Kuid täisarvude jagamine üksteisega nii, et tulemuseks oleks jälle täisarvud, ei ole alati võimalik. Sama on polünoomidega.
Siis avastati ka teisi matemaatiliste objektide komplekte, millel selliseid tehteid teha: formaalsed astmeridad, pidevad funktsioonid... Lõpuks tuli arusaam, et kui uurida tehte endi omadusi, siis saab tulemusi rakendada kõikidele. need objektide komplektid (see lähenemine on tüüpiline kogu kaasaegsele matemaatikale).
Selle tulemusena tekkis uus kontseptsioon: ring. See on lihtsalt elementide komplekt ja toimingud, mida saab nendega teha. Põhireeglid on siin reeglid (neid nimetatakse aksioomid), millele alluvad toimingud, mitte hulga elementide olemus (siin see on, uus tase abstraktsioonid!). Tahtes rõhutada, et oluline on struktuur, mis tekib pärast aksioomide tutvustamist, ütlevad matemaatikud: täisarvude ring, polünoomide ring jne. Aksioomidest lähtudes saab järeldada rõngaste muid omadusi.
Sõnastame rõnga aksioomid (mis on loomulikult sarnased täisarvudega töötamise reeglitega) ja seejärel tõestame, et igas ringis annab miinuse miinusega korrutamine plussi.
Sõrmus on kahe kahendtehte hulk (st iga tehe hõlmab kahte ringi elementi), mida traditsiooniliselt nimetatakse liitmiseks ja korrutamiseks, ning järgmiste aksioomidega:
- rõnga elementide lisamine sõltub kommutatiivsest ( A + B = B + A mis tahes elementide jaoks A Ja B) ja assotsiatiivne ( A + (B + C) = (A + B) + C) seadused; rõngas on spetsiaalne element 0 (neutraalne lisaelement) selline, et A+0=A ja mis tahes elemendi jaoks A on vastandelement (tähistatud (–A)), Mida A + (–A) = 0;
- korrutamine järgib kombinatsiooniseadust: A·(B·C) = (A·B)·C;
- Liitmine ja korrutamine on seotud järgmiste sulgude avamise reeglitega: (A + B) C = A C + B C Ja A (B + C) = A B + A C.
Pange tähele, et rõngad ei nõua kõige üldisemas konstruktsioonis ei korrutamise vahetatavust ega selle pööramatust (st jagamist ei saa alati teha) ega ühiku - neutraalse elemendi olemasolu korrutamisel. Kui tutvustame neid aksioome, saame erinevaid algebralisi struktuure, kuid neis on tõesed kõik rõngaste jaoks tõestatud teoreemid.
Nüüd tõestame seda mis tahes elementide puhul A Ja B suvalise rõnga puhul on tõsi, esiteks, (–A) B = – (AB), ja teiseks (–(–A)) = A. Väited ühikute kohta tulenevad sellest kergesti: (–1) 1 = – (1 1) = –1 Ja (–1)·(–1) = –((–1)·1) = – (–1) = 1.
Selleks peame kindlaks tegema mõned faktid. Esiteks tõestame, et igal elemendil võib olla ainult üks vastand. Tegelikult lase element A on kaks vastandit: B Ja KOOS. See on A + B = 0 = A + C. Arvestame summaga A+B+C. Kasutades assotsiatiivseid ja kommutatiivseid seadusi ning nulli omadust, saame, et ühelt poolt on summa võrdne B:B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, ja teisest küljest on see võrdne C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Tähendab, B=C.
Märgime nüüd seda A, Ja (–(–A)) on sama elemendi vastandid (–A), seega peavad need olema võrdsed.
Esimene fakt on järgmine: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, see on (–A)·B vastupidine A·B, mis tähendab, et see on võrdne – (A B).
Et olla matemaatiliselt range, selgitame ka põhjust 0 · B = 0 mis tahes elemendi jaoks B. Tõepoolest, 0 · B = (0 + 0) B = 0 · B + 0 · B. See tähendab, et lisamine 0·B summat ei muuda. See tähendab, et see toode on võrdne nulliga.
Ja selle, et rõngas on täpselt üks null (väidavad ju aksioomid, et selline element on olemas, aga selle ainulaadsusest ei räägita midagi!), jätame lugeja hooleks lihtsa harjutusena.
Matemaatikaõpetajat kuulates tajub enamik õpilasi materjali aksioomina. Samal ajal püüavad vähesed jõuda selle põhja ja aru saada, miks "miinus" plussiga annab "miinusmärgi" ja kahe negatiivse arvu korrutamisel tuleb positiivne tulemus.
Matemaatika seadused
Enamik täiskasvanuid ei suuda endale ega oma lastele selgitada, miks see nii juhtub. Nad õppisid seda materjali koolis kindlalt, kuid isegi ei püüdnud välja selgitada, kust sellised reeglid pärinevad. Aga asjata. Sageli ei ole tänapäeva lapsed nii kergeusklikud, nad peavad jõudma asjade põhjani ja mõistma, näiteks, miks pluss ja miinus annavad miinuse. Ja mõnikord küsivad poisid tahtlikult keerulisi küsimusi, et nautida hetke, mil täiskasvanud ei saa arusaadavat vastust anda. Ja see on tõesti katastroof, kui noor õpetaja satub hätta...
Muide, tuleb märkida, et ülalmainitud reegel kehtib nii korrutamisel kui ka jagamisel. Negatiivse ja positiivse arvu korrutis annab ainult miinuse. Kui me räägime kahest numbrist, millel on märk “-”, on tulemuseks positiivne arv. Sama kehtib ka jagamise kohta. Kui üks arvudest on negatiivne, on jagatises ka märk “-”.
Selle matemaatikaseaduse õigsuse selgitamiseks on vaja sõnastada rõnga aksioomid. Kuid kõigepealt peate mõistma, mis see on. Matemaatikas nimetatakse rõngaks tavaliselt hulka, milles osalevad kaks kahe elemendiga tehet. Kuid parem on seda näite abil mõista.
Rõnga aksioom
On mitmeid matemaatilisi seadusi.
- Esimene neist on kommutatiivne, selle järgi C + V = V + C.
- Teist nimetatakse assotsiatiivseks (V + C) + D = V + (C + D).
Ka korrutamine (V x C) x D = V x (C x D) järgib neid.
Keegi pole tühistanud reegleid, mille järgi sulgud avatakse (V + C) x D = V x D + C x D, tõsi on ka see, et C x (V + D) = C x V + C x D.
Lisaks on kindlaks tehtud, et rõngasse saab sisestada spetsiaalse, lisandneutraalse elemendi, mille kasutamisel kehtib järgmine: C + 0 = C. Lisaks on iga C jaoks vastandelement, mis võib tähistada kui (-C). Sel juhul C + (-C) = 0.
Negatiivsete arvude aksioomide tuletamine
Olles nõustunud ülaltoodud väidetega, saame vastata küsimusele: "Millise märgi annavad pluss ja miinus?" Teades negatiivsete arvude korrutamise aksioomi, on vaja kinnitada, et tõepoolest (-C) x V = -(C x V). Ja ka see, et järgmine võrdsus on tõene: (-(-C)) = C.
Selleks peate esmalt tõestama, et igal elemendil on ainult üks "vend". Vaatleme järgmist tõestuse näidet. Proovime ette kujutada, et C puhul on kaks arvu vastandlikud - V ja D. Sellest järeldub, et C + V = 0 ja C + D = 0, st C + V = 0 = C + D. Meenutades selle seadusi kommutatsiooni ja arvu 0 omaduste kohta saame arvestada kõigi kolme arvu summaga: C, V ja D. Proovime välja selgitada V väärtuse. Loogiline on, et V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, kuna C + D väärtus, nagu eespool eeldati, on 0. See tähendab, et V = V + C + D.
D väärtus tuletatakse samal viisil: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Selle põhjal selgub, et V = D.
Selleks, et mõista, miks "pluss" kuni "miinus" annab ikkagi "miinuse", peate mõistma järgmist. Niisiis, elemendi (-C) jaoks on C ja (-(-C)) vastandlikud, st nad on üksteisega võrdsed.
Siis on ilmne, et 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Sellest järeldub, et C x V on (-)C x V vastand, mis tähendab (- C) x V = -(C x V).
Täieliku matemaatilise ranguse jaoks on vaja ka kinnitada, et 0 x V = 0 mis tahes elemendi puhul. Kui järgida loogikat, siis 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. See tähendab, et korrutise 0 x V lisamine ei muuda kehtestatud summat kuidagi. Lõppude lõpuks on see toode võrdne nulliga.
Teades kõiki neid aksioome, saate järeldada mitte ainult seda, kui palju "pluss" ja "miinus" annavad, vaid ka seda, mis juhtub negatiivsete arvude korrutamisel.
Kahe arvu korrutamine ja jagamine märgiga "-".
Kui te ei süvene matemaatilisi nüansse, võite proovida rohkem lihtsal viisil Selgitage negatiivsete arvude käsitlemise reegleid.
Oletame, et C - (-V) = D, selle põhjal C = D + (-V), st C = D - V. Kanname V üle ja saame, et C + V = D. C + V = C - (-V). See näide selgitab, miks avaldises, kus on kaks "miinust" järjest, tuleks nimetatud märgid muuta "plussiks". Vaatame nüüd korrutamist.
(-C) x (-V) = D, saate avaldisele liita ja lahutada kaks identset korrutist, mis ei muuda selle väärtust: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.
Pidades meeles sulgudega töötamise reegleid, saame:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
Sellest järeldub, et C x V = (-C) x (-V).
Samamoodi saate tõestada, et kahe negatiivse arvu jagamisel saadakse positiivne arv.
Üldised matemaatilised reeglid
Loomulikult ei sobi see selgitus algklassiõpilastele, kes alles hakkavad õppima abstraktseid negatiivseid numbreid. Parem on neil seletada nähtavatel objektidel, manipuleerides neile tuttava vaateklaasi taga oleva terminiga. Näiteks asuvad seal väljamõeldud, kuid olematud mänguasjad. Neid saab kuvada "-" märgiga. Kahe peegelobjekti korrutamine kannab need teise maailma, mis on võrdsustatud tegeliku maailmaga, see tähendab, et tulemuseks on positiivsed numbrid. Abstraktse negatiivse arvu korrutamine positiivsega annab aga tulemuse, mis on kõigile tuttav. Lõppude lõpuks annab "pluss" korrutades "miinus" "miinuse". Tõsi, lapsed ei püüa tegelikult kõiki matemaatilisi nüansse mõista.
Kuigi tõele näkku vaadates jäävad paljud reeglid isegi kõrgharidusega inimeste jaoks saladuseks. Igaüks peab iseenesestmõistetavaks seda, mida õpetajad neile õpetavad, ilma raskusteta süvenedes kõigesse keerukusesse, mida matemaatika varjab. "Miinus" miinuse jaoks annab "pluss" - seda teavad eranditult kõik. See kehtib nii täis- kui ka murdarvude kohta.