Negatiivsete ja positiivsete arvude võrdlus. Numbrite võrdlus
Allolevas artiklis toome välja negatiivsete arvude võrdlemise põhimõtte: sõnastame reegli ja rakendame seda praktiliste ülesannete lahendamisel.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Negatiivsete arvude võrdlemise reegel
Reegel põhineb lähteandmete moodulite võrdlusel. Põhimõtteliselt võrrelge neid kahte negatiivsed arvud– tähendab positiivsete arvude võrdlemist, mis on võrdsed võrreldavate negatiivsete arvude absoluutväärtustega.
Definitsioon 1
Kahe negatiivse arvu võrdlemisel on väiksem arv, mille suurus on suurem; Suurem arv on see, mille moodul on väiksem. Antud negatiivsed arvud on võrdsed, kui nende absoluutväärtused on võrdsed.
Sõnastatud reegel kehtib nii negatiivsete täisarvude kui ka ratsionaal- ja reaalarvude kohta.
Geomeetriline tõlgendus kinnitab antud reeglis toodud põhimõtet: koordinaatjoonel asub negatiivne arv, mis on väiksem, vasakul kui suurem negatiivne arv. See väide kehtib üldiselt kõigi arvude kohta.
Näited negatiivsete arvude võrdlemiseks
Kõige lihtne näide negatiivsete arvude võrdlemine on täisarvude võrdlemine. Alustame sarnase ülesandega.
Näide 1
On vaja võrrelda negatiivseid numbreid - 65 ja - 23.
Lahendus
Reegli kohaselt peate negatiivsete arvude võrdlemise toimingu tegemiseks esmalt määrama nende moodulid. | - 65 | = 65 ja | - 23 | = 23. Nüüd võrdleme positiivseid numbreid, mis on võrdsed antud mooduliga: 65 > 23. Rakendame taas reeglit, et negatiivne arv, mille moodul on väiksem, on suurem. Seega saame: - 65< - 23 .
Vastus: - 65 < - 23 .
Negatiivsete ratsionaalarvude võrdlemine on veidi keerulisem: toimingu tulemuseks on lõpuks murdude või kümnendkohtade võrdlemine.
Näide 2
On vaja kindlaks teha, milline antud arvudest on suurem: - 4 3 14 või - 4 , 7 .
Lahendus
Määrame võrreldavate arvude moodulid. - 4 3 14 = 4 3 14 ja | - 4, 7 | = 4, 7. Nüüd võrdleme saadud mooduleid. Murdude terved osad on võrdsed, seega alustame murdosade võrdlemist: 3 14 ja 0, 7. Teisendame kümnendmurru 0, 7 tavaliseks murruks: 7 10, leiame võrreldavate murdude ühisnimetajad, saame: 15 70 Ja 49 70 . Siis on võrdluse tulemus: 15 70 < 49 70 või 3 14 < 0 , 7 . Таким образом, 4 3 14 < 4 , 7 . fff Rakendades negatiivsete arvude võrdlemise reeglit, saame: - 4 3 14 < - 4 , 7
Võrdlust oli võimalik teha ka murdarvu kümnendkohaks teisendamise teel. Erinevus on ainult arvutamise mugavuses.
Vastus: - 4 3 14 < - 4 , 7
Negatiivsete reaalarvude võrdlemisel järgitakse sama reeglit.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Definitsioon 1. Kui kaks numbrit on 1) a Ja b kui jagatud lk anna sama ülejääk r, siis nimetatakse selliseid arve equiremainderiks või mooduli poolest võrreldav lk.
avaldus 1. Lase lk mingi positiivne number. Siis iga number a alati ja pealegi ainsal viisil saab vormis esitada
Kuid neid numbreid saab seadistades r võrdne 0, 1, 2,..., lk−1. Seega sp+r=a saab kõik võimalikud täisarvud.
Näitame, et see esitus on ainulaadne. Teeskleme seda lk saab esitada kahel viisil a=sp+r Ja a=s 1 lk+r 1 . Siis
![]() |
![]() | (2) |
Sest r 1 aktsepteerib ühte numbritest 0,1, ..., lk−1, siis absoluutväärtus r 1 −r vähem lk. Kuid punktist (2) järeldub, et r 1 −r mitmekordne lk. Seega r 1 =r Ja s 1 =s.
Number r helistas miinus numbrid a modulo lk(teisisõnu number r kutsus numbri ülejäänud osa a peal lk).
avaldus 2. Kui kaks numbrit a Ja b mooduli poolest võrreldav lk, See a-b jagatuna lk.
Tõesti. Kui kaks numbrit a Ja b mooduli poolest võrreldav lk, siis jagamisel lk on sama ülejäänud lk. Siis
jagatuna lk, sest parem osa võrrand (3) jagatakse lk.
avaldus 3. Kui kahe arvu erinevus jagub arvuga lk, siis on need arvud moodulites võrreldavad lk.
Tõestus. Tähistame tähisega r Ja r 1 jaotuse järelejäänud a Ja b peal lk. Siis
![]() |
Näited 25≡39 (mod 7), -18≡14 (mod 4).
Esimesest näitest järeldub, et 25 jagamisel 7-ga annab sama jäägi kui 39. Tõepoolest, 25 = 3·7+4 (ülejäänud 4). 39=3·7+4 (ülejäänud 4). Teise näite kaalumisel peate arvestama, et jääk peab olema mittenegatiivne arv, mis on väiksem kui moodul (st 4). Siis saame kirjutada: −18=−5·4+2 (ülejäänud 2), 14=3·4+2 (ülejäänud 2). Seetõttu jääb −18 4-ga jagamisel jäägiks 2 ja 14 4-ga jagamisel jäägiks 2.
Moodulite võrdluste omadused
Kinnisvara 1. Kellelegi a Ja lk Alati
alati ei saa võrrelda
Kus λ on arvude suurim ühisjagaja m Ja lk.
Tõestus. Lase λ arvude suurim ühisjagaja m Ja lk. Siis
Sest m(a-b) jagatuna k, See
Seega
Ja m on üks arvu jagajatest lk, See
Kus h = pqs.
Pange tähele, et saame lubada võrdlusi negatiivsete moodulite alusel, s.t. võrdlus a≡b mod( lk) tähendab antud juhul erinevust a-b jagatuna lk. Negatiivsete moodulite puhul jäävad kehtima kõik võrdluste omadused.
Teema
Tunni tüüp
- uue materjali uurimine ja esmane assimilatsioon
Tunni eesmärgid
Tunniplaan
1. Sissejuhatus.
2. Teoreetiline osa
3. Praktiline osa.
4. Kodutöö.
5. Küsimused
Sissejuhatus
Vaatame video kuidas järjestada negatiivseid numbreid
Nüüd korraldage negatiivsed arvud ja dešifreerige õppetunni teema:
Vastus: sõna "võrdlus".
Teoreetiline osa
Numbrite võrdlus. Reeglid
Kahe arvu võrdlemisel tuleb esimese asjana tähelepanu pöörata võrreldavate arvude märkidele. Arv, millel on miinus (negatiivne), on alati väiksem kui positiivne arv.
Kui mõlemal võrreldaval arvul on miinusmärgid (negatiivsed), siis tuleb võrrelda nende absoluutväärtusi, st võrrelda neid ilma miinusmärke arvestamata. Arv, mille moodul on suurem, on tegelikult väiksem.
Näiteks -3 ja -5. Võrreldavad numbrid on negatiivsed. See tähendab, et me võrdleme nende mooduleid 3 ja 5. 5 on suurem kui 3, mis tähendab, et -5 on väiksem kui -3.
Kui üks võrreldavatest numbritest on null, on negatiivne arv väiksem kui null.
(-3 < 0) Ja positiivset on veelgi.
(3 > 0)
Samuti saate arve võrrelda horisontaalse koordinaatjoone abil. Vasakpoolne number on väiksem kui paremal asuv number.
Kehtib ka vastupidine reegel. Suurema koordinaadiga punkt koordinaatjoonel asub paremal kui väiksema koordinaadiga punkt.
Näiteks joonisel on punkt E punktist A paremal ja selle koordinaat on suurem. (5 > 1)
Täisarvude võrdlus
Arvude absoluutväärtuste (moodulite) võrdlus
Ebavõrdsused mooduliga
Praktiline osa
Numbrite võrdlemine numbrireal
Ülesanded
1. Selgitage, miks:
-5 vähem kui -1,
-2 üle -16,
-25 vähem kui 3,
0 veel – 9.
2. Võrdle:
numbrid on näidatud koordinaatreal: 0; A; V; Koos. Võrdlema:
1) a > 0; 2) sisse< 0; 3) 0 >Koos.
numbrid on näidatud koordinaatreal: 0; A; V; Koos. Võrrelge neid:
1) a > b; 2) koos< а; 3) в < с.
3. Milline ebavõrdsustest on tõene?
Arvud a ja b on negatiivsed; | a | > | aastal |.
a) a > b; b) a< в.
4. Võrrelge arvude a ja b moodulit.
Arvud a ja b on negatiivsed; A< в.
5. Milline ebavõrdsustest on tõene?
a on positiivne arv,
c on negatiivne arv.
a) a > b; b) a< в?
6. Võrdle:
Kodutöö
1. Võrrelge numbreid
2. Arvutage
3. Järjesta numbrid kasvavas järjekorras
Küsimused
Mida näitab joone punkti koordinaat?
Mis on arvu moodul geomeetrilisest vaatepunktist?
Mis on positiivse arvu moodul?
Mis on negatiivse arvu moodul?
Mis on nullmoodul?
Kas mis tahes arvu moodul võib olla negatiivne arv?
Mis on 5 vastandarv?
Milline arv on iseendale vastand?
Järeldus
Iga negatiivne arv on väiksem kui mis tahes positiivne arv.
Kahest negatiivsest arvust on väiksem see, mille suurus on suurem.
Null on suurem kui mis tahes negatiivne arv, kuid väiksem kui mis tahes positiivne arv.
Horisontaalsel koordinaadijoonel asub suurema koordinaadiga punkt väiksema koordinaadiga punktist paremal.
Kasutatud allikate loetelu
1. Matemaatikaentsüklopeedia (5 köites). - M.: Nõukogude entsüklopeedia, 2002. - T. 1.
2." Uusim kataloog koolilaps" "MAJA XXI sajand" 2008
3. Tunni kokkuvõte teemal “Arvude võrdlemine” Autor: Petrova V.P., matemaatikaõpetaja (5.-9. klass), Kiiev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matemaatika 6. klassile, Õpik keskkoolile
Töötasime tunni kallal
Pautinka A.V.
Petrova V.P.
Koostanud ja toimetanud Pautinka A.V.
Esitage küsimus selle kohta kaasaegne haridus, väljendada ideed või lahendada pakiline probleem, saate Haridusfoorum, kus koguneb rahvusvaheliselt värske mõtte ja tegevuse haridusnõukogu. Olles loonud
Arvude võrdlemine on matemaatikakursuse üks lihtsamaid ja mõnusamaid teemasid. Siiski tuleb öelda, et see pole nii lihtne. Näiteks on vähestel inimestel raskusi ühe- või kahekohaliste positiivsete arvude võrdlemisega.
Aga numbrid alates suur summa märgid tekitavad juba probleeme, sageli satuvad inimesed negatiivsete arvude võrdlemisel segadusse ega mäleta, kuidas kahte numbrit võrrelda erinevad märgid. Püüame kõigile neile küsimustele vastata.
Positiivsete arvude võrdlemise reeglid
Alustame kõige lihtsamast - numbritega, mille ees pole ühtegi märki, see tähendab positiivsete numbritega.
- Kõigepealt tasub meeles pidada, et kõik positiivsed arvud on definitsiooni järgi suuremad kui null, isegi kui me räägime umbes ilma täisarvuta murdosa. Näiteks kümnendmurd 0,2 on suurem kui null, kuna koordinaatjoonel on vastav punkt ikkagi nullist kahe väikese jaotuse kaugusel.
- Kui me räägime kahe positiivse arvu võrdlemisest suure hulga märkidega, siis peate võrdlema iga numbrit. Näiteks 32 ja 33. Kümnekohad nendel numbritel on samad, kuid arv 33 on suurem, kuna ühekohalistes kohtades on rohkem “3” kui “2”.
- Kuidas võrrelda kahte kümnendkohad? Siin peate kõigepealt vaatama kogu osa - näiteks murdosa 3,5 on väiksem kui 4,6. Mis siis, kui kogu osa on sama, kuid kümnendkohad erinevad? Sel juhul kehtib täisarvude reegel – märke tuleb võrrelda numbrite kaupa, kuni avastatakse suuremad ja väiksemad kümnendikud, sajandikud, tuhandikud. Näiteks - 4,86 on suurem kui 4,75, kuna kaheksa kümnendikku on suurem kui seitse.
Negatiivsete arvude võrdlemine
Kui ülesandes on teatud arvud -a ja -c ning me peame määrama, kumb neist on suurem, kehtib universaalne reegel. Esiteks kirjutatakse välja nende arvude moodulid - |a| ja |s| - ja võrrelda omavahel. Arv, mille moodul on suurem, on väiksem võrreldes negatiivsete arvudega ja vastupidi - suurem arv on see, mille moodul on väiksem.
Mida teha, kui on vaja võrrelda negatiivset ja positiivset arvu?
Siin töötab ainult üks reegel ja see on elementaarne. Positiivsed arvud on alati suuremad kui miinusmärgiga numbrid – olenemata sellest, millised need on. Näiteks arv “1” on alati suurem kui number “-1458” lihtsalt seetõttu, et üks asub koordinaatjoonel nullist paremal.
Samuti peate meeles pidama, et iga negatiivne arv on alati väiksem kui null.
Matemaatika tund 6. klassis
Teema: "Positiivsete ja negatiivsete arvude võrdlemine"
Tunni tüüp: õppeülesande püstitamise tund
Töö vormid: individuaalne, eesmine, paar, rühm.
Õppemeetodid: verbaalne, visuaalne, praktiline, problemaatiline.
Varustus Kabiin: arvuti, multimeedia projektor.
Tunni eesmärgid:
Kognitiivne: sõnastada reegel erinevate märkidega arvude võrdlemiseks, õppida seda praktikas rakendama.
Meta subjektid, sealhulgas:
Reguleeriv: püstitage õpiülesanne, mis põhineb õpilaste juba teadaoleva ja õpitu ning veel tundmatu korrelatsioonil; määrata probleemi lahendamiseks toimingute jada; korrigeerida tulemust, võttes arvesse õpilase, õpetaja ja kaaslaste hinnangut; mõista materjali kvaliteeti ja meisterlikkuse taset.
Suhtlusvõime: õppige tegema proaktiivset koostööd antud probleemile lahenduse leidmisel; õppida väljendama oma mõtteid piisava terviklikkuse ja täpsusega vastavalt suhtlusülesannetele ja -tingimustele.
Tundide ajal
Motivatsioon.
Jätkame tööd positiivsete ja negatiivsete numbritega. Positiivsete arvudega oleme tuttavad juba ammu, algul õppisime neid võrdlema, seejärel sooritama erinevaid tehteid: liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist. Kas arvate, et negatiivsete arvudega on võimalik teha samu tehteid kui positiivsete arvudega? (vastus). Mida tahaksid täna tunnis õppida?
Eesmärkide seadmine: Tuletage reegel erinevate märkidega arvude võrdlemiseks ja õppige seda rakendama.
Põhiteadmiste värskendamine.
Ülesanded suuliseks tööks:
Määratlege moodul.
Mis on numbrite märk, mis asuvad koordinaatjoonel nullist paremal? Kas nullist vasakul?
Leia arvu 6,8 moodul; -3,5; 18.11; 0,03; -12.3
Õppeülesande püstitamine.
Kuidas võrrelda numbreid, kasutades koordinaatjoont?
Koordinaatjoone punkt A asub punktist B vasakul. Millise punkti koordinaat on suurem?
Milline koordinaatjoone punkt asub vasakul?
A(0,6) või B(3,11)
Võrrelge arvude mooduleid
Probleemi lahendus.
Järgmise ülesande täitmiseks jaguneme 5 6-liikmeliseks rühmaks. Iga rühm peab võrdlema numbreid ja vastama esitatud küsimustele.
2 ja -11
-15 ja 16
Esmane konsolideerimine.
Nimeta viis erinevat numbrit
suur 0;
väiksem 0;
väiksem -5;
suur -3;
suur -11, aga väiksem -3
Milliste naabertäisarvude vahel asub arv 3.8? number -8,9
Kirjutage üles kõik täisarvud, mis asuvad koordinaatide sirgel arvude -2,5 ja 6 vahel; numbrite -17,3 ja -8,1 vahel
Kirjutage numbrid ise järjekorda laskuv -6,9; 3,8; 5; -10; 15; 0; -3:
Millised eesmärgid me täna tunnile seadsime, kas vastasime kõikidele esitatud küsimustele?
Ütle mulle, kuidas võrrelda positiivset ja negatiivset arvu?
Kuidas võrrelda kahte negatiivset arvu?
Palun täitke tänase õppetunni tulemuskaardid.
Kodutööde seadmine. lk.29, õppige selgeks positiivsete ja negatiivsete arvude võrdlemise reegel, täitke nr 995, 996, 997, 999, 1000
Õppetegevuste refleksioon klassiruumis.
Võrrelge numbreid koordinaatjoone abil:
2 ja -11
-15 ja 16
Andke vastused järgmistele küsimustele:
Võrrelge kahte positiivset arvu
Võrdle positiivset arvu nulliga
Võrrelge negatiivset arvu nulliga
Võrrelge positiivseid ja negatiivseid numbreid
Võrrelge kahte negatiivset arvu
Hindamispaber | Hindamispaber Ma tean, kuidas võrrelda numbreid, kasutades koordinaatjoont Saan numbreid ise võrrelda Saan materjalist hästi aru ja oskan selles orienteeruda Vajan abi, ma ei saa materjalist aru Tunnis hindan oma tegevust hindeks..... |
Hindamispaber Ma tean, kuidas võrrelda numbreid, kasutades koordinaatjoont Saan numbreid ise võrrelda Saan materjalist hästi aru ja oskan selles orienteeruda Vajan abi, ma ei saa materjalist aru Tunnis hindan oma tegevust hindeks..... | Hindamispaber Ma tean, kuidas võrrelda numbreid, kasutades koordinaatjoont Saan numbreid ise võrrelda Saan materjalist hästi aru ja oskan selles orienteeruda Vajan abi, ma ei saa materjalist aru Tunnis hindan oma tegevust hindeks..... |
Hindamispaber Ma tean, kuidas võrrelda numbreid, kasutades koordinaatjoont Saan numbreid ise võrrelda Saan materjalist hästi aru ja oskan selles orienteeruda Vajan abi, ma ei saa materjalist aru Tunnis hindan oma tegevust hindeks..... | Hindamispaber Ma tean, kuidas võrrelda numbreid, kasutades koordinaatjoont Saan numbreid ise võrrelda Saan materjalist hästi aru ja oskan selles orienteeruda Vajan abi, ma ei saa materjalist aru Tunnis hindan oma tegevust hindeks..... |
Hindamispaber Ma tean, kuidas võrrelda numbreid, kasutades koordinaatjoont Saan numbreid ise võrrelda Saan materjalist hästi aru ja oskan selles orienteeruda Vajan abi, ma ei saa materjalist aru Tunnis hindan oma tegevust hindeks..... | Hindamispaber Ma tean, kuidas võrrelda numbreid, kasutades koordinaatjoont Saan numbreid ise võrrelda Saan materjalist hästi aru ja oskan selles orienteeruda Vajan abi, ma ei saa materjalist aru Tunnis hindan oma tegevust hindeks..... |
Hindamispaber Ma tean, kuidas võrrelda numbreid, kasutades koordinaatjoont Saan numbreid ise võrrelda Saan materjalist hästi aru ja oskan selles orienteeruda Vajan abi, ma ei saa materjalist aru Tunnis hindan oma tegevust hindeks..... | Hindamispaber Ma tean, kuidas võrrelda numbreid, kasutades koordinaatjoont Saan numbreid ise võrrelda Saan materjalist hästi aru ja oskan selles orienteeruda Vajan abi, ma ei saa materjalist aru Tunnis hindan oma tegevust hindeks..... |
Hindamispaber Ma tean, kuidas võrrelda numbreid, kasutades koordinaatjoont Saan materjalist hästi aru ja oskan selles orienteeruda Vajan abi, ma ei saa materjalist aru Tunnis hindan oma tegevust hindeks..... | Hindamispaber Ma tean, kuidas võrrelda numbreid, kasutades koordinaatjoont Saan numbreid ise võrrelda Saan materjalist hästi aru ja oskan selles orienteeruda Vajan abi, ma ei saa materjalist aru Tunnis hindan oma tegevust hindeks..... |