Sümmeetriateljed. Figuurid, millel on sümmeetriatelg
Täna räägime nähtusest, millega igaüks meist elus pidevalt kokku puutub: sümmeetriast. Mis on sümmeetria?
Me kõik mõistame selle termini tähendust laias laastus. Sõnastik ütleb: sümmeetria on millegi osade paigutuse proportsionaalsus ja täielik vastavus sirge või punkti suhtes. Sümmeetriat on kahte tüüpi: aksiaalne ja radiaalne. Vaatame kõigepealt aksiaalset. See on, oletame, "peegelsümmeetria", kui objekti üks pool on teisega täiesti identne, kuid kordab seda peegeldusena. Vaadake lehe pooli. Need on peegelsümmeetrilised. Pooled on samuti sümmeetrilised Inimkeha(täisnägu) – identsed käed ja jalad, identsed silmad. Kuid ärgem eksigem, tegelikult ei ole orgaanilises (elus)maailmas absoluutset sümmeetriat võimalik leida! Lehe pooled kopeerivad teineteist kaugeltki täiuslikult, sama kehtib ka inimkeha kohta (vaadake ise lähemalt); Sama kehtib ka teiste organismide kohta! Muide, tasub lisada, et iga sümmeetriline keha on vaataja suhtes sümmeetriline ainult ühes asendis. Tasub näiteks paberilehte pöörata või üks käsi üles tõsta ja mis juhtub? – näete ise.
Inimesed saavutavad tõelise sümmeetria oma töös (asjades) - riided, autod... Looduses on see omane anorgaanilistele moodustistele, näiteks kristallidele.
Aga liigume edasi praktika juurde. Ärge alustage keerukatest objektidest, nagu inimesed ja loomad, vaid proovime uue valdkonna esimese harjutusena lõpetada lehe peeglipoole joonistamine.
Sümmeetrilise objekti joonistamine – 1. õppetund
Me hoolitseme selle eest, et see oleks võimalikult sarnane. Selleks ehitame sõna otseses mõttes üles oma hingesugulase. Ärge arvake, et ühe tõmbega peeglile vastav joon on nii lihtne tõmmata, eriti esimesel korral!
Märgime tulevase sümmeetrilise joone jaoks mitu võrdluspunkti. Toimime nii: pliiatsiga tõmbame ilma vajutamata mitu risti sümmeetriateljega - lehe keskribaga. Praegu piisab neljast-viiest. Ja nendel perpendikulaaridel mõõdame paremalt sama kaugust kui vasakul poolel lehe serva joonest. Soovitan teil kasutada joonlauda, ärge lootke liiga palju oma silmale. Reeglina kipume joonistust vähendama – seda on kogemustest täheldatud. Me ei soovita kaugusi sõrmedega mõõta: viga on liiga suur.
Ühendame saadud punktid pliiatsijoonega:
Vaatame nüüd hoolikalt, kas pooled on tõesti samad. Kui kõik on õige, teeme selle viltpliiatsiga ringi ja täpsustame oma rida:
Paplileht on valminud, nüüd saab tammelehe juures kiikuda.
Joonistame sümmeetrilise joonise – õppetund 2
Sel juhul seisneb raskus selles, et veenid on märgistatud ja need ei ole sümmeetriateljega risti ning rangelt tuleb järgida mitte ainult mõõtmeid, vaid ka kaldenurka. Noh, treenime oma silma:
Niisiis on joonistatud sümmeetriline tammeleht, õigemini ehitasime selle kõigi reeglite järgi:
Kuidas joonistada sümmeetrilist objekti - õppetund 3
Ja kinnitame teema – lõpetame sümmeetrilise sirelilehe joonistamise.
Tal on ka huvitav kuju- südamekujuline ja kõrvadega põhjas, peate pahvima:
Seda nad joonistasid:
Vaadake valminud tööd eemalt ja hinnake, kui täpselt suutsime vajaliku sarnasuse edasi anda. Siin on näpunäide: vaadake oma pilti peeglist ja see annab teile teada, kas selles on vigu. Teine võimalus: painutage pilti täpselt piki telge (oleme juba õppinud, kuidas seda õigesti painutada) ja lõigake leht välja piki algset joont. Vaadake joonist ennast ja lõigatud paberit.
Alates iidsetest aegadest on inimene arendanud ideid ilu kohta. Kõik looduse looming on ilus. Inimesed on omal moel ilusad, loomad ja taimed on hämmastavad. Vaatepilt on silmale meeldiv kalliskivi või soolakristalli, on raske mitte imetleda lumehelvest või liblikat. Aga miks see juhtub? Meile tundub, et objektide välimus on õige ja terviklik, õige ja vasak pool mis näeb välja samasugune, justkui peegelpildis.
Ilmselt olid kunstiinimesed esimesed, kes mõtlesid ilu olemusele. Muistsed skulptorid, kes uurisid inimkeha ehitust, juba 5. sajandil eKr. Hakati kasutama mõistet "sümmeetria". See sõna on kreeka päritolu ja tähendab harmooniat, proportsionaalsust ja sarnasust koostisosade paigutuses. Platon väitis, et ilus saab olla ainult see, mis on sümmeetriline ja proportsionaalne.
Geomeetrias ja matemaatikas vaadeldakse kolme tüüpi sümmeetriat: aksiaalne sümmeetria(sirge suhtes), keskne (punkti suhtes) ja peegel (tasapinna suhtes).
Kui objekti igal punktil on selle keskpunkti suhtes oma täpne kaardistus, siis keskne sümmeetria. Selle näideteks on sellised geomeetrilised kehad nagu silinder, pall, õige prisma jne.
Punktide aksiaalne sümmeetria sirgjoone suhtes eeldab, et see sirgjoon lõikub punkte ühendava lõigu keskosaga ja on sellega risti. Näiteks on võrdhaarse kolmnurga arendamata nurga poolitaja, mis tahes joon, mis on tõmmatud läbi ringi keskpunkti jne. Kui telgsümmeetria on iseloomulik, saab peegelpunktide määratlust visualiseerida, lihtsalt painutades seda piki telge ja asetades võrdsed pooled näost näkku. Soovitud punktid puudutavad üksteist.
Peegelsümmeetria korral paiknevad objekti punktid selle keskpunkti läbiva tasapinna suhtes võrdselt.
Loodus on tark ja ratsionaalne, seetõttu on peaaegu kogu tema looming harmoonilise struktuuriga. See kehtib nii elusolendite kui ka elutute objektide kohta. Enamiku eluvormide struktuuri iseloomustab üks kolmest sümmeetriatüübist: kahepoolne, radiaalne või sfääriline.
Kõige sagedamini võib aksiaalset täheldada taimedes, mis arenevad mullapinnaga risti. Sel juhul on sümmeetria identsete elementide pöörlemise tulemus ümber ühise telje, mis asub keskel. Nende asukoha nurk ja sagedus võivad olla erinevad. Näiteks puud: kuusk, vaher ja teised. Mõnel loomal esineb ka aksiaalne sümmeetria, kuid see on vähem levinud. Muidugi iseloomustab loodust harva matemaatiline täpsus, kuid organismi elementide sarnasus torkab siiski silma.
Bioloogid ei võta sageli arvesse mitte aksiaalset sümmeetriat, vaid kahepoolset (kahepoolset) sümmeetriat. Selle näiteks on liblika või kiili tiivad, taimelehed, õie kroonlehed jne. Igal juhul on elusobjekti parem ja vasak osa võrdsed ja on üksteise peegelpildid.
Sfääriline sümmeetria on iseloomulik paljude taimede, mõnede kalade, molluskite ja viiruste viljadele. Ja näiteid radiaalne sümmeetria on teatud tüüpi ussid, okasnahksed.
Inimese silmis seostatakse asümmeetriat kõige sagedamini ebakorrapärasuse või alaväärsusega. Seetõttu on enamikus inimkäte loomingus jälgitav sümmeetria ja harmoonia.
Selles õppetükis vaatleme veel ühte mõne figuuri omadust – telg- ja kesksümmeetriat. Aksiaalset sümmeetriat kohtame iga päev, kui vaatame peeglisse. Tsentraalne sümmeetria on eluslooduses väga levinud. Samal ajal on sümmeetriaga kujunditel mitmeid omadusi. Lisaks saame hiljem teada, et telg- ja kesksümmeetria on liikumistüübid, mille abil lahendatakse terve rida probleeme.
See õppetund pühendatud telg- ja kesksümmeetriale.
Definitsioon
Neid kahte punkti nimetatakse sümmeetriline suhteliselt sirge, kui:
Joonisel fig. 1 näitab näiteid punktidest, mis on sümmeetrilised sirgjoone suhtes ja , ja .
Riis. 1
Pangem tähele ka tõsiasja, et sirge mis tahes punkt on selle sirge suhtes sümmeetriline.
Joonised võivad olla ka sirgjoone suhtes sümmeetrilised.
Sõnastame range määratluse.
Definitsioon
Figuuri nimetatakse sümmeetriline sirge suhtes, kui joonise iga punkti puhul kuulub joonisele ka selle sirge suhtes sümmeetriline punkt. Sel juhul kutsutakse rida sümmeetriatelg. Figuuril on aksiaalne sümmeetria.
Vaatame mõnda näidet joonistest, millel on telgsümmeetria ja nende sümmeetriateljed.
Näide 1
Nurgal on aksiaalne sümmeetria. Nurga sümmeetriatelg on poolitaja. Tõepoolest: langetame risti poolitaja suhtes nurga mis tahes punktist ja pikendame seda, kuni see ristub nurga teise küljega (vt joonis 2).
Riis. 2
(sest - ühine pool, (poolitaja omadus) ja kolmnurgad on täisnurksed). Tähendab,. Seetõttu on punktid nurga poolitaja suhtes sümmeetrilised.
Sellest järeldub, et võrdhaarsel kolmnurgal on ka telje sümmeetria alusele tõmmatud poolitaja (kõrguse, mediaani) suhtes.
Näide 2
Võrdkülgsel kolmnurgal on kolm sümmeetriatelge (iga kolme nurga poolitajad/mediaanid/kõrgused (vt joonis 3).
Riis. 3
Näide 3
Ristkülikul on kaks sümmeetriatelge, millest igaüks läbib oma kahe vastaskülje keskpunkte (vt joonis 4).
Riis. 4
Näide 4
Rombil on ka kaks sümmeetriatelge: sirged, mis sisaldavad selle diagonaale (vt joonis 5).
Riis. 5
Näide 5
Ruudul, mis on nii romb kui ka ristkülik, on 4 sümmeetriatelge (vt joonis 6).
Riis. 6
Näide 6
Ringjoone puhul on sümmeetriatelg iga sirge, mis läbib selle keskpunkti (st sisaldab ringi läbimõõtu). Seetõttu on ringil lõpmatult palju sümmeetriatelge (vt joonis 7).
Riis. 7
Vaatleme nüüd kontseptsiooni keskne sümmeetria.
Definitsioon
Punkte nimetatakse sümmeetriline punkti suhtes, kui: - lõigu keskpaik.
Vaatame mõnda näidet: joonisel fig. 8 näitab punkte ja , Samuti ja , Mis on punkti suhtes sümmeetrilised Ja punktid ja ei ole selle punkti suhtes sümmeetrilised.
Riis. 8
Mõned joonised on teatud punkti suhtes sümmeetrilised. Sõnastame range määratluse.
Definitsioon
Figuuri nimetatakse punkti suhtes sümmeetriline, kui joonise mõne punkti jaoks kuulub sellesse kujundisse ka temaga sümmeetriline punkt. Punkti nimetatakse sümmeetria keskpunkt, ja joonisel on keskne sümmeetria.
Vaatame näiteid keskse sümmeetriaga kujunditest.
Näide 7
Ringjoone puhul on sümmeetria keskpunkt ringi keskpunkt (seda on lihtne tõestada, meenutades ringi läbimõõdu ja raadiuse omadusi) (vt joonis 9).
Riis. 9
Näide 8
Rööpküliku puhul on sümmeetria keskpunkt diagonaalide lõikepunkt (vt joonis 10).
Riis. 10
Lahendame mitmeid telg- ja kesksümmeetria ülesandeid.
Ülesanne 1.
Mitu sümmeetriatelge on lõigul?
Segmendil on kaks sümmeetriatelge. Esimene neist on lõiku sisaldav sirge (kuna sirge mis tahes punkt on selle sirge suhtes sümmeetriline). Teine on lõiguga risti poolitaja, st sirgjoon, mis on lõiguga risti ja läbib selle keskosa.
Vastus: 2 sümmeetriatelge.
2. ülesanne.
Mitu sümmeetriatelge on sirgel?
Sirgjoonel on lõpmatult palju sümmeetriatelge. Üks neist on joon ise (kuna joone mis tahes punkt on selle sirge suhtes sümmeetriline). Ja ka sümmeetriateljed on kõik sirged, mis on antud sirgega risti.
Vastus: sümmeetriatelgi on lõpmatult palju.
3. ülesanne.
Mitu sümmeetriatelge on talal?
Kiirel on üks sümmeetriatelg, mis langeb kokku kiirt sisaldava joonega (kuna sirge mis tahes punkt on selle sirge suhtes sümmeetriline).
Vastus: üks sümmeetriatelg.
4. ülesanne.
Tõesta, et rombi diagonaale sisaldavad sirged on selle sümmeetriateljed.
Tõestus:
Mõelge rombile. Tõestame näiteks, et sirge on selle sümmeetriatelg. On ilmne, et punktid on üksteise suhtes sümmeetrilised, kuna need asuvad sellel sirgel. Lisaks on punktid ja selle joone suhtes sümmeetrilised, kuna . Valime nüüd suvalise punkti ja tõestame, et selle suhtes sümmeetriline punkt kuulub samuti rombi alla (vt joonis 11).
Riis. üksteist
Joonista punkti läbiva joonega risti ja pikendage seda, kuni see lõikub . Mõtle kolmnurgad ja . Need kolmnurgad on täisnurksed (ehituselt), lisaks on neil: - ühine jalg ja (kuna rombi diagonaalid on selle poolitajad). Nii et need kolmnurgad on võrdsed: . See tähendab, et kõik neile vastavad elemendid on võrdsed, seega: . Nende lõikude võrdsusest järeldub, et punktid ja on sirgjoone suhtes sümmeetrilised. See tähendab, et see on rombi sümmeetriatelg. Sarnaselt saab seda fakti tõestada ka teise diagonaali puhul.
Tõestatud.
5. ülesanne.
Tõesta, et rööpküliku diagonaalide lõikepunkt on selle sümmeetriakese.
Tõestus:
Vaatleme rööpkülikut. Tõestame, et punkt on selle sümmeetriakese. On ilmne, et punktid ja , ja on punkti suhtes paarisümmeetrilised, kuna rööpküliku diagonaalid jagatakse pooleks lõikepunktiga. Valime nüüd suvalise punkti ja tõestame, et rööpküliku hulka kuulub ka selle suhtes sümmeetriline punkt (vt joonis 12).
Sümmeetria I
Sümmeetria (kreeka keelest sümmeetria - proportsionaalsus)
matemaatikas, 1) sümmeetria (kitsas tähenduses) või peegeldus (peegel) tasandi α suhtes ruumis (sirgejoone suhtes A tasapinnal), on ruumi (tasapinna) teisendus, milles iga punkt M läheb punkti M" nii, et segment MM" risti tasapinnaga α (sirge A) ja jagab selle pooleks. Tasand α (sirge A) nimetatakse tasapinnaks (teljeks) C. Peegeldus on näide ortogonaalsest teisendusest (vt Ortogonaalne teisendus), mis muudab orientatsiooni (vt Orientatsioon) (erinevalt õigest liikumisest). Mis tahes ortogonaalset teisendust saab läbi viia, sooritades järjestikku piiratud arvu peegeldusi - see fakt mängib S-i uurimisel olulist rolli. geomeetrilised kujundid. 2) Sümmeetria (laiemas mõttes) - geomeetrilise kujundi omadus F, mis iseloomustab vormi mõningast korrapärasust F, selle muutumatus liigutuste ja peegelduste mõjul. Täpsemalt, joonis F on S. (sümmeetriline), kui on olemas mitteidentne ortogonaalne teisendus, mis võtab selle kujundi endasse. Kõikide ortogonaalsete teisenduste kogum, mis ühendab figuuri F iseendaga, on rühm (vt rühm), mida nimetatakse selle kujundi sümmeetriarühmaks (mõnikord nimetatakse neid teisendusi endid sümmeetriateks). Seega on tasane kujund, mis peegeldusel iseendaks muutub, sümmeetriline sirgjoone – C-telje – suhtes. ( riis. 1
); siin koosneb sümmeetriarühm kahest elemendist. Kui joonis F tasapinnal on selline, et pöörded mis tahes punkti O suhtes läbi 360°/ n, n- täisarv ≥ 2, teisenda see iseendaks, siis F omab S. n-s järjekord punkti suhtes KOHTA- keskpunkt C. Selliste kujundite näiteks on korrapärased hulknurgad ( riis. 2
); rühm S. siin - nn. tsükliline rühm n- järjekorras. Ringil on lõpmatu järjestusega ring (kuna seda saab endaga kombineerida, pöörates läbi mis tahes nurga). Ruumisüsteemi lihtsaimad tüübid on lisaks peegelduste tekitatud süsteemile kesksüsteem, aksiaalsüsteem ja ülekandesüsteem. a) Punkti O suhtes tsentraalse sümmeetria (inversiooni) korral ühendatakse joonis Ф iseendaga pärast järjestikuseid peegeldusi kolmelt üksteisega risti asetsevalt tasapinnalt ehk teisisõnu punkt O on sümmeetrilisi punkte Ф ühendava lõigu keskpunkt. ( riis. 3
). b) Telgsümmeetria korral või S. sirgjoone suhtes n-ndat järku, joonis kantakse enda peale, pöörates ümber teatud sirgjoone (C. telg) 360° nurga all. n. Näiteks kuubil on sirgjoon AB C-telg on kolmandat järku ja sirgjoon CD- neljandat järku C-telg ( riis. 3
); Üldiselt on korrapärased ja poolregulaarsed hulktahukad mitme joone suhtes sümmeetrilised. Kristallide telgede asukoht, arv ja järjestus mängivad kristallograafias olulist rolli (vt kristallide sümmeetria), c) kujund, mis asetseb enda peale järjestikuse pööramise teel 360°/2 nurga all. kümber sirgjoone AB ja peegeldumisel sellega risti asetseval tasapinnal on peegeltelgjoon C. Otsejoon AB, nimetatakse peegli pöörlevaks teljeks C. 2. järjekord k, on järjekorra C-telg k (riis. 4
). Peegel-teljeline joondus järku 2 on samaväärne tsentraalse joondusega d) Ülekande sümmeetria korral kantakse kujund iseenda peale ülekandega mööda teatud sirget (translatsioonitelge) mis tahes lõigule. Näiteks ühe translatsiooniteljega joonisel on lõpmatu arv C-tasapindu (kuna mis tahes tõlke saab teostada kahe järjestikuse peegeldusega tasapinnalt, mis on ülekandeteljega risti) ( riis. 5
). Kristallvõrede uurimisel mängivad olulist rolli mitme ülekandeteljega kujundid (vt Kristallvõre). Kunstis on kompositsioon kui üks harmoonilise kompositsiooni liike laialt levinud (vt Kompositsioon). See on omane arhitektuuriteostele (olles kui mitte kogu ehitise kui terviku, siis selle osade ja detailide – plaani, fassaadi, sammaste, kapiteelide jne asendamatu omadus) ning dekoratiiv- ja tarbekunstile. S. kasutatakse ka peamise tehnikana ääriste ja ornamentide (lamedad kujundid, millel on vastavalt üks või mitu S. ülekannet koos peegeldustega) konstrueerimiseks ( riis. 6
, 7
). Peegelduste ja pööramiste (kurnavad geomeetriliste kujundite igat tüüpi sümmeetria) tekitatud sümmeetriakombinatsioonid, aga ka ülekanded, pakuvad huvi ja on loodusteaduse erinevates valdkondades uurimisobjektiks. Näiteks taimede lehtede paigutuses täheldatakse spiraalset S.-d, mis viiakse läbi telje ümber teatud nurga all pööramise teel, millele lisandub ülekanne piki sama telge ( riis. 8
) (vt täpsemalt artiklist. Sümmeetria bioloogias). C. molekulide konfiguratsioon, mis mõjutab nende füüsikalisi ja keemilisi omadusi, on oluline ühendite struktuuri, nende omaduste ja käitumise teoreetilises analüüsis. mitmesugused reaktsioonid(vt Sümmeetria keemias). Lõpuks, füüsikateadustes üldiselt omandab lisaks juba näidatud kristallide ja võre geomeetrilisele struktuurile olulise tähenduse ka struktuuri mõiste üldises tähenduses (vt allpool). Seega võimaldab füüsikalise aegruumi sümmeetria, mis väljendub selle homogeensuses ja isotroopsuses (vt relatiivsusteooria), kehtestada nn. looduskaitseseadused; üldistatud sünergia mängib olulist rolli aatomispektri kujunemisel ja klassifitseerimisel elementaarosakesed(vt Sümmeetria
füüsikas). 3) Sümmeetria (üldises tähenduses) tähendab matemaatilise (või füüsikalise) objekti struktuuri muutumatust selle teisenduste suhtes. Näiteks relatiivsusseaduste süsteemi määrab nende muutumatus Lorentzi teisenduste suhtes (vt Lorentzi teisendusi). Teisenduste kogumi määratlus, mis jätab objekti kõik struktuursed suhted muutumatuks, st rühma määratlus G selle automorfismid on saanud kaasaegse matemaatika ja füüsika juhtprintsiibiks, mis võimaldab sügavat ülevaadet sisemine struktuur objekt kui tervik ja selle osad. Kuna sellist objekti saab kujutada mõne ruumi elementidega R, mis on varustatud sellele vastava iseloomuliku struktuuriga, kuivõrd objekti teisendused on teisendused R. See. saadakse grupi esitus G transformatsioonirühmas R(või lihtsalt sisse R) ja S. objekti uurimine taandub tegevuse uurimisele G peal R ja selle toimingu invariantide leidmine. Samamoodi S. füüsikalised seadused, mis kontrollib uuritavat objekti ja mida tavaliselt kirjeldatakse võrranditega, mida rahuldavad ruumi elemendid R, määratakse tegevusega G selliste võrrandite jaoks. Näiteks kui mõni võrrand on lineaarruumis lineaarne R ja jääb mõne rühma teisenduste korral muutumatuks G, seejärel iga element g alates G vastab lineaarsele teisendusele T g V lineaarne ruum R selle võrrandi lahendused. Kirjavahetus g → T g on lineaarne esitus G ja teadmine kõigist selle esitustest võimaldab meil kindlaks teha erinevaid omadusi lahendusi ning aitab ka paljudel juhtudel (“sümmeetriakaalutlustest”) lahendusi ise leida. Eelkõige seletab see matemaatika ja füüsika vajadust arendada välja rühmade lineaarsete esituste teooria. Konkreetsete näidete jaoks vt Art. Sümmeetria füüsikas. Lit.: Shubnikov A.V., Sümmeetria. (Sümmeetriaseadused ja nende rakendamine teaduses, tehnikas ja tarbekunstis), M. - L., 1940; Coxeter G.S.M., Sissejuhatus geomeetriasse, tlk. inglise keelest, M., 1966; Weil G., Sümmeetria, tlk. inglise keelest, M., 1968; Wigner E., Sümmeetriauuringud, tlk. inglise keelest, M., 1971. M. I. Voitsekhovski. Riis. 3. Kuubik, mille kolmandat järku sümmeetriateljeks on sirge AB, neljandat järku sümmeetriateljeks sirge CD ja sümmeetriakeskmeks punkt O. Kuubi punktid M ja M" on sümmeetrilised nii telgede AB ja CD kui ka keskpunkti O suhtes. füüsikas. Kui seadused, mis loovad seoseid füüsikalist süsteemi iseloomustavate suuruste vahel või määravad nende suuruste muutumise ajas, ei muutu teatud operatsioonide (teisenduste) käigus, millele süsteem võib alluda, siis öeldakse, et nendel seadustel on S (või on muutumatud) andmete teisenduste suhtes. Matemaatiliselt moodustavad S. teisendused rühma (vt rühma). Kogemused näitavad, et füüsikalised seadused on sümmeetrilised järgmiste kõige üldisemate teisenduste suhtes. Pidev transformatsioon 1) Süsteemi kui terviku ülekandmine (nihe) ruumis. Seda ja järgnevaid ruumi-ajalisi teisendusi võib mõista kahes tähenduses: aktiivse transformatsioonina – reaalse ülekandena. füüsiline süsteem valitud referentssüsteemi suhtes või passiivse teisendusena - referentssüsteemi paralleelne ülekanne. Ruumi nihkeid käsitlevate füüsikaseaduste sümbol tähendab kõigi ruumipunktide samaväärsust, st ruumis eristatavate punktide puudumist (ruumi homogeensus). 2) Süsteemi kui terviku pöörlemine ruumis. S. selle teisendusega seotud füüsikalised seadused tähendavad kõigi ruumisuundade võrdsust (ruumi isotroopia). 3) Kellaaja alguse muutmine (aja nihe). S. selle teisenduse kohta tähendab, et füüsikalised seadused aja jooksul ei muutu. 4) Üleminek referentssüsteemile, mis liigub antud süsteemi suhtes konstantse (suunas ja suuruses) kiirusega. S. tähendab selle teisenduse suhtes eelkõige kõigi inertsiaalsete referentssüsteemide samaväärsust (vt Inertsiaalne referentssüsteem) (vt Relatiivsusteooria). 5) Gabariidi teisendused. Seadused, mis kirjeldavad osakeste vastasmõju mis tahes laenguga (elektrilaeng (vt elektrilaeng), barüonlaeng (vt Barüoni laeng), leptooniline laeng (vt Leptoni laeng), hüperlaeng), on 1. tüüpi gabariiditeisenduste suhtes sümmeetrilised. Need teisendused seisnevad selles, et kõigi osakeste lainefunktsioone (vt lainefunktsiooni) saab samaaegselt korrutada suvalise faasiteguriga: kus ψ j- osakeste lainefunktsioon j, z j on osakesele vastav laeng, väljendatuna elementaarlaengu ühikutes (näiteks elementaarelektrilaeng e), β on suvaline arvutegur. A→A + klass f, , (2) Kus f(x,juures, z, t) - koordinaatide suvaline funktsioon ( X,juures,z) ja aeg ( t), Koos- valguse kiirus. Selleks et teisendusi (1) ja (2) saaks elektromagnetväljade puhul teostada samaaegselt, on vaja üldistada 1. tüüpi gabariiditeisendused: on vaja nõuda, et vastastikmõju seadused oleksid teisenduste suhtes sümmeetrilised. (1) väärtusega β, mis on koordinaatide ja aja suvaline funktsioon: η – Plancki konstant. Ühendus 1. ja 2. tüüpi gabariiditeisenduste vahel elektromagnetiliste interaktsioonide jaoks tuleneb elektrilaengu kahekordsest rollist: ühelt poolt on elektrilaeng konserveerunud suurus ja teisest küljest toimib see interaktsioonikonstantina. iseloomustavad seost elektromagnetväli laetud osakestega. Teisendused (1) vastavad erinevate laengute jäävuse seadustele (vt allpool), aga ka mõnele sisemisele vastastikmõjule. Kui laengud pole mitte ainult säilivad suurused, vaid ka väljade allikad (nagu elektrilaeng), siis peavad neile vastavad väljad olema ka mõõtväljad (sarnaselt elektromagnetväljadele) ja teisendused (1) on üldistatud juhul, kui suurused β on suvalised koordinaatide ja aja funktsioonid (ja isegi operaatorid (vt operaatorid), mis muudavad sisesüsteemi olekuid). Selline lähenemine interakteeruvate väljade teooriale viib erinevate tugevate ja nõrkade interaktsioonide teooriateni (nn Yang-Millsi teooria). Diskreetsed teisendused Eespool loetletud süsteemide tüüpe iseloomustavad parameetrid, mis võivad teatud väärtuste vahemikus pidevalt muutuda (näiteks ruumi nihet iseloomustavad kolm nihkeparameetrit piki iga koordinaattelge, pöörlemine kolme pöördenurga võrra ümber nende telgede jne). Koos pideva S-ga. suur tähtsus füüsikas on neil diskreetne S. Peamised neist on järgmised. Sümmeetria ja looduskaitseseadused Noetheri teoreemi kohaselt (vt Noetheri teoreem) vastab süsteemi igale teisendusele, mida iseloomustab üks pidevalt muutuv parameeter, väärtusele, mis säilib (ei muutu ajas) süsteemi jaoks, millel see süsteem on. Seadused suletud süsteemi ruumis nihkumise, selle kui terviku pööramise ja aja alguse muutmise kohta järgivad vastavalt impulsi, nurkimpulsi ja energia jäävuse seadusi. Süsteemist, mis käsitleb 1. tüüpi gabariiditeisendusi - laengute jäävuse seadused (elektriline, barüon jne), isotoopide invariantsusest - isotoopspinni säilimine (vt isotoopne spin) tugevas interaktsiooniprotsessis. Mis puutub diskreetsetesse süsteemidesse, siis klassikalises mehaanikas ei too need kaasa mingeid säilivusseadusi. Siiski sisse kvantmehaanika, milles süsteemi olekut kirjeldatakse lainefunktsiooniga või laineväljade (näiteks elektromagnetvälja) puhul, kus kehtib superpositsiooniprintsiip, järgige diskreetsete süsteemide olemasolust mingite kindlate suuruste jäävuse seadusi. millel pole klassikalises mehaanikas analooge. Selliste suuruste olemasolu saab demonstreerida ruumilise pariteedi näitel (vt. Paarsus), mille säilimine tuleneb süsteemist ruumilise inversiooni suhtes. Tõepoolest, olgu ψ 1 lainefunktsioon, mis kirjeldab süsteemi mõnda olekut, ja ψ 2 süsteemi lainefunktsioon, mis tuleneb ruumidest. inversioon (sümboolselt: ψ 2 = Rψ 1, kus R- ruumide operaator. inversioon). Siis, kui ruumilise inversiooni suhtes on süsteem olemas, on ψ 2 süsteemi üks võimalikest olekutest ja superpositsiooni põhimõtte kohaselt on süsteemi võimalikeks olekuteks superpositsioonid ψ 1 ja ψ 2: sümmeetriline kombinatsioon. ψ s = ψ 1 + ψ 2 ja antisümmeetriline ψ a = ψ 1 - ψ 2. Inversiooniteisenduste ajal ψ 2 olek ei muutu (kuna Pψ s = Pψ 1 + Pψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s) ja olek ψ a muudab märki ( Pψ a = Pψ 1 - Pψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ a). Esimesel juhul ütlevad nad, et süsteemi ruumiline paarsus on positiivne (+1), teisel - negatiivne (-1). Kui süsteemi lainefunktsiooni täpsustada kasutades suurusi, mis ruumilise inversiooni käigus ei muutu (näiteks nurkimpulss ja energia), siis on ka süsteemi paarsus väga kindla väärtusega. Süsteem on kas positiivse või negatiivse pariteediga olekus (ja üleminekud ühest olekust teise ruumilise inversiooni suhtes sümmeetriliste jõudude mõjul on absoluutselt keelatud). Kvantmehaaniliste süsteemide ja statsionaarsete olekute sümmeetria. Degeneratsioon Erinevatele kvantmehaanilistele süsteemidele vastavate suuruste säilimine on tingitud sellest, et neile vastavad operaatorid pendeldavad süsteemi Hamiltoni süsteemiga, kui see ei sõltu otseselt ajast (vt Kvantmehaanika, Kommutatsioonisuhted). See tähendab, et need suurused on mõõdetavad samaaegselt süsteemi energiaga, st nad võivad antud energiaväärtuse jaoks omandada täiesti kindlad väärtused. Seetõttu on neist võimalik koostada nn. kogu suuruste komplekt, mis määravad süsteemi oleku. Seega on süsteemi statsionaarsed seisundid (vt Statsionaarne olek) (antud energiaga olekud) määratud suurustega, mis vastavad vaadeldava süsteemi stabiilsusele. S. olemasolu toob kaasa asjaolu, et kvantmehaanilise süsteemi erinevad liikumisolekud, mis saadakse üksteisest S. teisendamise teel, on samad väärtused füüsikalised suurused, mis nende teisenduste käigus ei muutu. Seega viib süsteemide süsteem reeglina degeneratsioonini (vt Degeneratsioon). Näiteks, teatud väärtus Süsteemi energia võib vastata mitmele erinevale olekule, mis teisenevad teisenduste C käigus üksteise kaudu. Matemaatilises mõttes kujutavad need olekud süsteemi rühma C taandamatu esituse alust (vt Rühm). See määrab kvantmehaanikas rühmateooria meetodite rakendamise viljakuse. Lisaks süsteemi selgesõnalise juhtimisega kaasnevale energiatasemete degeneratsioonile (näiteks süsteemi kui terviku pöörlemiste osas) esineb mitmes probleemis täiendavat degeneratsiooni, mis on seotud nn. varjatud S. interaktsioon. Sellised peidetud ostsillaatorid on olemas näiteks Coulombi interaktsiooni ja isotroopse ostsillaatori jaoks. Kui süsteem, millel on mõni süsteem, on jõudude väljas, mis seda süsteemi rikuvad (kuid on piisavalt nõrgad, et seda pidada väikeseks häireks), toimub algse süsteemi degenereerunud energiatasemete lõhenemine: erinevad seisundid, mis tulenevad süsteem.süsteemidel oli sama energia, “asümmeetriliste” häirete mõjul omandavad nad erinevaid energianihkeid. Juhtudel, kui häirival väljal on teatud väärtus, mis on osa algse süsteemi väärtusest, ei eemaldata energiatasemete degeneratsiooni täielikult: osa tasemeid jäävad degenereeruvaks vastavalt interaktsiooni väärtusele, mis "kaasab" häiriv väli. Energeetiliselt mandunud olekute olemasolu süsteemis viitab omakorda süsteemse interaktsiooni olemasolule ja võimaldab põhimõtteliselt selle süsteemi üles leida, kui see pole ette teada. Mängib viimane asjaolu oluline roll näiteks osakeste füüsikas. Sarnaste masside ja samade muude omadustega, kuid erinevate osakeste rühmade olemasolu elektrilaengud(nn isotoopmultipletid) võimaldasid tuvastada tugevate interaktsioonide isotoop-invariantsust ning avastuseni viis võimalus kombineerida samade omadustega osakesi laiematesse rühmadesse. S.U.(3)-C. tugevad vastasmõjud ja interaktsioonid, mis seda süsteemi rikuvad (vt Tugev interaktsioon). On märke, et tugeval interaktsioonil on veelgi laiem C-rühm. Väga viljakas on kontseptsioon nn. dünaamiline süsteem, mis tekib siis, kui arvestada teisendusi, mis hõlmavad üleminekuid erinevate energiatega süsteemi olekute vahel. Dünaamilise süsteemirühma taandamatu esitus on kogu süsteemi statsionaarsete olekute spekter. Dünaamilise süsteemi mõistet saab laiendada ka juhtudele, kui süsteemi Hamiltoni olek sõltub otseselt ajast ja sel juhul on kvantmehaanilise süsteemi kõik olekud, mis ei ole statsionaarsed (st millel puudub etteantud energia). ühendatud üheks taandamatuks süsteemi dünaamilise rühma esituseks. ). Lit.: Wigner E., Sümmeetriauuringud, tlk. inglise keelest, M., 1971. S. S. Gershtein. keemias avaldub molekulide geomeetrilises konfiguratsioonis, mis mõjutab füüsikaliste ja keemilised omadused molekulid isoleeritud olekus, välisväljas ja vastasmõjus teiste aatomite ja molekulidega. Enamikel lihtsatel molekulidel on tasakaalukonfiguratsiooni ruumilise sümmeetria elemendid: sümmeetriateljed, sümmeetriatasandid jne (vt Sümmeetria matemaatikas). Seega on ammoniaagi molekulil NH 3 korrapärase kolmnurkse püramiidi sümmeetria, metaani molekulil CH 4 tetraeedri sümmeetria. Komplekssetes molekulides tasakaalukonfiguratsiooni kui terviku sümmeetria reeglina puudub, kuid selle üksikute fragmentide sümmeetria on ligikaudu säilinud (lokaalne sümmeetria). Enamik Täielik kirjeldus molekulide nii tasakaaluliste kui ka mittetasakaaluliste konfiguratsioonide sümmeetria saavutatakse ideede põhjal nn. dünaamilised sümmeetriarühmad - rühmad, mis hõlmavad mitte ainult tuumakonfiguratsiooni ruumilise sümmeetria operatsioone, vaid ka identsete tuumade ümberpaigutamise operatsioone erinevates konfiguratsioonides. Näiteks NH3 molekuli dünaamiline sümmeetriarühm hõlmab ka selle molekuli inversioonioperatsiooni: N-aatomi üleminekut H-aatomite moodustatud tasapinna ühelt küljelt teisele poole. Molekuli tuumade tasakaalukonfiguratsiooni sümmeetriaga kaasneb selle molekuli erinevate olekute lainefunktsioonide teatav sümmeetria (vt lainefunktsioon), mis võimaldab klassifitseerida olekuid sümmeetriatüüpide järgi. Üleminek kahe valguse neeldumise või emissiooniga seotud oleku vahel, olenevalt olekute sümmeetria tüübist, võib esineda molekulaarspektris (vt Molekulaarspektrid) või olla keelatud, nii et sellele üleminekule vastav joon või riba spektris puudub. Olekute sümmeetria tüübid, mille vahel on võimalikud üleminekud, mõjutavad joonte ja ribade intensiivsust, samuti nende polarisatsiooni. Näiteks homonukleaarsetes kaheaatomilistes molekulides on üleminekud sama paarsusega elektrooniliste olekute vahel, mille elektronlainefunktsioonid käituvad inversioonioperatsiooni ajal ühtemoodi, on keelatud ega esine spektrites; benseeni molekulides ja sarnastes ühendites on keelatud üleminekud sama tüüpi sümmeetriaga mittedegenereerunud elektrooniliste olekute vahel jne. Sümmeetria valiku reegleid täiendatakse üleminekute vahel erinevaid tingimusi nende olekute pöörlemisega seotud valikureeglid. Paramagnetiliste tsentritega molekulide puhul põhjustab nende tsentrite keskkonna sümmeetria teatud tüüpi anisotroopiat g-tegur (Lande kordaja), mis mõjutab elektronide paramagnetilise resonantsi spektrite struktuuri (vt elektronide paramagnetiline resonants), samas kui molekulides, mille aatomituumade spinn on nullist erinev, põhjustab üksikute lokaalsete fragmentide sümmeetria teatud tüüpi energia lõhenemist. erinevate projektsioonidega olekutest tuumaspinn, mis mõjutab tuumamagnetresonantsspektrite struktuuri (vt Tuumamagnetresonants). Kvantkeemia ligikaudsetes lähenemisviisides, kasutades molekulaarorbitaalide ideed, on sümmeetria järgi klassifitseerimine võimalik mitte ainult molekuli kui terviku lainefunktsiooni, vaid ka üksikute orbitaalide jaoks. Kui molekuli tasakaalukonfiguratsioonil on sümmeetriatasand, milles asuvad tuumad, jagatakse kõik selle molekuli orbitaalid sellel tasapinnal peegelduse toimimise suhtes sümmeetrilisteks (σ) ja antisümmeetrilisteks (π). Molekulid, milles kõrgeimad (energiaga) hõivatud orbitaalid on π-orbitaalid, moodustavad spetsiifilisi küllastumata ja konjugeeritud ühendite klasse, millel on neile iseloomulikud omadused. Molekuli üksikute fragmentide lokaalse sümmeetria ja nendel fragmentidel paiknevate molekulaarorbitaalide tundmine võimaldab otsustada, millised fragmendid on kergemini ergastuvad ja muutuvad tugevamalt keemiliste transformatsioonide, näiteks fotokeemiliste reaktsioonide käigus. Sümmeetriamõisted on olulised kompleksühendite struktuuri, nende omaduste ja käitumise teoreetilises analüüsis erinevates reaktsioonides. Kristallvälja teooria ja ligandivälja teooria loovad vastastikune kokkulepe kompleksühendi hõivatud ja vabad orbitaalid, mis põhinevad andmetel selle sümmeetria, energiatasemete jagunemise olemuse ja astme kohta, kui ligandivälja sümmeetria muutub. Ainuüksi kompleksi sümmeetria tundmine võimaldab väga sageli selle omadusi kvalitatiivselt hinnata. 1965. aastal pakkusid P. Woodward ja R. Hoffman välja orbitaalsümmeetria säilitamise põhimõtte keemilistes reaktsioonides, mida hiljem kinnitas ulatuslik eksperimentaalne materjal ja millel oli suur mõju preparatiivsete protsesside arengule. orgaaniline keemia. See põhimõte (Woodward-Hoffmani reegel) väidab, et üksikud elementaarsed teod keemilised reaktsioonid läbida, säilitades samal ajal molekulaarorbitaalide sümmeetria ehk orbitaalsümmeetria. Mida rohkem orbitaalide sümmeetriat elementaarsündmuse ajal rikutakse, seda raskem on reaktsioon. Molekulide sümmeetria arvestamine on oluline keemiliste laserite ja molekulaaralaldi loomisel kasutatavate ainete otsimisel ja valikul, orgaaniliste ülijuhtide mudelite konstrueerimisel, kantserogeensete ja farmakoloogiliste ainete analüüsimisel. toimeaineid jne. Lit.: Hochstrasser R., Sümmeetria molekulaarsed aspektid, trans. inglise keelest, M., 1968; Bolotin A. B., Stepanov N. f.. Rühmateooria ja selle rakendused molekulide kvantmehaanikas, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., Orbitaalsümmeetria säilitamine, tlk. inglise keelest, M., 1971. N. F. Stepanov. bioloogias (biosümmeetria). S. fenomeni eluslooduses märgati juba aastal Vana-Kreeka Pythagorealased (5. sajand eKr) seoses nende harmooniaõpetuse väljatöötamisega. 19. sajandil Mõned teosed ilmusid taimede (prantsuse teadlased O. P. Decandolle ja O. Bravo), loomade (saksa keeles E. Haeckel) ja biogeensete molekulide (prantsuse teadlased A. Vechan, L. Pasteur jt) sünteesi kohta. 20. sajandil bioloogilisi objekte uuriti kristallisatsiooni üldteooria (nõukogude teadlased Yu. V. Wulf, V. N. Beklemishev, B. K. Weinstein, Hollandi füüsikaline keemik F. M. Yeger, inglise kristallograafid eesotsas J. Bernaliga) ning parem- ja vasakpoolse doktriini seisukohast. (Nõukogude teadlased V. I. Vernadsky, V. V. Alpatov, G. F. Gause jt; Saksa teadlane W. Ludwig). Nende tööde tulemusel tuvastati 1961. aastal spetsiaalne suund S. - biosümmeetria - uurimisel. Kõige intensiivsemalt on uuritud bioloogiliste objektide struktuurset S.-d. Biostruktuuride - molekulaarsete ja supramolekulaarsete - uurimine struktuurse struktuuri seisukohast võimaldab eelnevalt kindlaks teha nende võimalikud struktuuritüübid ja seeläbi võimalike modifikatsioonide arvu ja tüübi ning kirjeldada rangelt välist vormi ja sisemist struktuuri. ruumiliste bioloogiliste objektide kohta. See tõi kaasa struktuurse S. mõistete laialdase kasutamise zooloogias, botaanikas, molekulaarbioloogia. Struktuurne S. avaldub eelkõige ühe või teise regulaarse korduse kujul. Saksa teadlaste I. F. Hesseli, E. S. Fedorovi (vt Fedorov) jt poolt välja töötatud klassikalises struktuuristruktuuri teoorias saab objekti struktuuri välimust kirjeldada selle struktuuri elementide komplektiga, see tähendab sellise geomeetrilise elemendiga. elemendid (punktid, jooned, tasapinnad), mille suhtes on järjestatud objekti identsed osad (vt Sümmeetria matemaatikas). Näiteks liik S. floksi lill ( riis. 1
, c) - üks 5. järku telg, mis läbib õie keskpunkti; toodetud selle töö käigus - 5 pööret (72, 144, 216, 288 ja 360°), millest igaühega langeb lill endaga kokku. Vaade S. liblikafiguurile ( riis. 2
, b) - üks tasapind, mis jagab selle kaheks pooleks - vasakule ja paremale; tasapinna kaudu tehtav operatsioon on peegelpeegeldus, mis “muutes” vasaku poole paremale, parema poole vasakule ja liblika kujundi endaga kombineerides. Liik S. radiolaria Lithocubus geometricus ( riis. 3
, b), sisaldab see lisaks pöördetelgedele ja peegeldustasanditele ka keskpunkti C. Iga sellisest ühest punktist läbi tõmmatud sirge radiolaaria sees kohtub joonise identsete (vastavate) punktidega mõlemal pool seda ja punktis. võrdsed vahemaad. Läbi S. keskuse tehtavad toimingud on peegeldused mingis punktis, mille järel kombineeritakse ka radiolaaria figuur iseendaga. Eluslooduses (nagu ka elutus looduses) leidub erinevate piirangute tõttu S. liike tavaliselt oluliselt väiksem arv, kui see teoreetiliselt võimalik on. Näiteks eluslooduse arengu madalamatel etappidel leidub kõigi punktstruktuuri klasside esindajaid - kuni organismideni, mida iseloomustab korrapärase hulktahuka ja palli struktuur (vt. riis. 3
). Kuid evolutsiooni kõrgematel etappidel leidub taimi ja loomi peamiselt nn. aksiaalne (tüüp n) ja aktinomorfne (tüüp n(m)KOOS. (mõlemal juhul n võib võtta väärtused 1 kuni ∞). Teljelise S-ga bioloogilised objektid (vt. riis. 1
) iseloomustavad ainult järjekorra C-telg n. Saktinomorfse S. bioobjektid (vt. riis. 2
) iseloomustab üks järjestuse telg n ja piki seda telge ristuvad tasapinnad m. Kõige levinumad liigid eluslooduses on S. spp. n =
1 ja 1. m = m, nimetatakse vastavalt asümmeetriaks (vt Asümmeetria) ja kahepoolseks ehk kahepoolseks S. Asümmeetria on iseloomulik enamiku taimeliikide lehtedele, kahepoolne S. - teatud määral inimese keha väliskujule, selgroogsetele, ja paljud selgrootud. Liikuvates organismides on selline liikumine ilmselt seotud erinevustega nende liikumises üles ja alla ning edasi ja tagasi, samas kui nende liikumine paremale ja vasakule on sama. Nende kahepoolse S. rikkumine tooks paratamatult kaasa ühe külje liikumise ja transformatsiooni pärssimise edasi liikumine ringkirjas 50-70ndatel. 20. sajandil Niinimetatud ebasümmeetrilised bioloogilised objektid ( riis. 4
). Viimane võib eksisteerida vähemalt kahe modifikatsioonina - originaali ja selle peegelpildi (antipoodi) kujul. Veelgi enam, üht neist vormidest (ükskõik milline) nimetatakse paremale või D (ladina keelest dextro), teist nimetatakse vasakuks või L (ladina keelest laevo). D- ja L-bioobjektide vormi ja ehituse uurimisel töötati välja dissümmeetriliste tegurite teooria, mis tõestab iga D- või L-objekti kahe või enama (kuni lõpmatu arvu) modifikatsiooni võimalust (vt ka riis. 5
); samas sisaldas see valemeid viimaste arvu ja tüübi määramiseks. See teooria viis avastamiseni nn. bioloogiline isomeeria (vt isomeeria) (sama koostisega erinevad bioloogilised objektid; edasi riis. 5
Näidatud on 16 pärnalehe isomeeri). Bioloogiliste objektide esinemist uurides selgus, et mõnel juhul on ülekaalus D-vormid, teisel L-vormid, teistel on need esindatud võrdselt sageli. Bechamp ja Pasteur (19. sajandi 40. aastad) ning 30. aastatel. 20. sajandil Nõukogude teadlane G. F. Gause ja teised näitasid, et organismide rakud on ehitatud ainult või valdavalt L-aminohapetest, L-valkudest, D-desoksüribonukleiinhapetest, D-suhkrutest, L-alkaloididest, D- ja L-terpeenidest jne. Nii põhiline ja iseloomulik elusrakud, mida Pasteur nimetas protoplasma dissümmeetriaks, tagavad rakule, nagu 20. sajandil kindlaks tehti, aktiivsema ainevahetusega ja seda hoitakse evolutsiooni käigus tekkinud keerukate bioloogiliste ja füüsikalis-keemiliste mehhanismide kaudu. Sov. Teadlane V. V. Alpatov 1952. aastal tuvastas 204 soontaimeliiki kasutades, et 93,2% taimeliikidest kuulub L-tüüpi, 1,5% - D-tüüpi veresoonte seinte spiraalse paksenemisega, 5,3% liikidest - ratseemilise tüübini (D-veresoonte arv on ligikaudu võrdne L-veresoonte arvuga). D- ja L-bioobjekte uurides selgus, et võrdsus vahel D- ja L-kujulised mõnel juhul rikutakse seda nende füsioloogiliste, biokeemiliste ja muude omaduste erinevuste tõttu. Seda eluslooduse tunnust nimetati elu dissümmeetriaks. Seega on L-aminohapete põnev mõju plasma liikumisele taimerakkudes kümneid ja sadu kordi suurem kui nende D-vormide sama mõju. Paljud D-aminohappeid sisaldavad antibiootikumid (penitsilliin, gramitsidiin jt) on bakteritsiidsemad kui nende vormid L-aminohapetega. Levinud kruvikujuline L-kop suhkrupeet on 8-44% (olenevalt sordist) raskem ja sisaldab 0,5-1% rohkem suhkrut kui D-kop.
Liikumise kontseptsioon
Uurime kõigepealt liikumise mõistet.
Definitsioon 1
Tasapinna kaardistamist nimetatakse tasapinna liikumiseks, kui kaardistamine säilitab vahemaad.
Selle kontseptsiooniga on seotud mitu teoreemi.
2. teoreem
Kolmnurk muutub liikumisel võrdseks kolmnurgaks.
3. teoreem
Iga kujund muundub liikumisel sellega võrdseks figuuriks.
Aksiaalne ja tsentraalne sümmeetria on liikumise näited. Vaatame neid üksikasjalikumalt.
Aksiaalne sümmeetria
2. definitsioon
Punkte $A$ ja $A_1$ nimetatakse sümmeetrilisteks sirge $a$ suhtes, kui see sirge on lõiguga $(AA)_1$ risti ja läbib selle keskpunkti (joonis 1).
1. pilt.
Vaatleme aksiaalset sümmeetriat näiteülesande abil.
Näide 1
Koostage antud kolmnurga jaoks sümmeetriline kolmnurk selle mis tahes külje suhtes.
Lahendus.
Olgu meile antud kolmnurk $ABC$. Ehitame selle sümmeetria külje $BC$ suhtes. Telgsümmeetriaga külg $BC$ muundub iseendaks (tuleneb definitsioonist). Punkt $A$ läheb punkti $A_1$ järgmiselt: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Kolmnurk $ABC$ teiseneb kolmnurgaks $A_1BC$ (joonis 2).
Joonis 2.
3. definitsioon
Joonist nimetatakse sümmeetriliseks sirge $a$ suhtes, kui selle kujundi iga sümmeetriline punkt sisaldub samas joonises (joonis 3).
Joonis 3.
Joonisel $3$ on kujutatud ristkülikut. Sellel on aksiaalne sümmeetria nii iga diameetri kui ka kahe sirge suhtes, mis läbivad antud ristküliku vastaskülgede keskpunkte.
Keskne sümmeetria
4. definitsioon
Punkte $X$ ja $X_1$ nimetatakse sümmeetrilisteks punkti $O$ suhtes, kui punkt $O$ on lõigu $(XX)_1$ keskpunkt (joonis 4).
Joonis 4.
Vaatleme tsentraalset sümmeetriat näiteülesande abil.
Näide 2
Koostage antud kolmnurga jaoks sümmeetriline kolmnurk selle mis tahes tipus.
Lahendus.
Olgu meile antud kolmnurk $ABC$. Konstrueerime selle sümmeetria tipu $A$ suhtes. Keskse sümmeetriaga tipp $A$ muundub iseendaks (tuleneb definitsioonist). Punkt $B$ läheb punkti $B_1$ järgmiselt: $(BA=AB)_1$ ja punkt $C$ punkti $C_1$ järgmiselt: $(CA=AC)_1$. Kolmnurk $ABC$ teiseneb kolmnurgaks $(AB)_1C_1$ (joonis 5).
Joonis 5.
Definitsioon 5
Joonis on punkti $O$ suhtes sümmeetriline, kui selle kujundi iga sümmeetriline punkt sisaldub samas joonisel (joonis 6).
Joonis 6.
Joonis $6$ näitab rööpkülikut. Sellel on keskne sümmeetria diagonaalide lõikepunkti suhtes.
Näidisülesanne.
Näide 3
Olgu meile antud segment $AB$. Ehitage selle sümmeetria sirge $l$ suhtes, mis ei ristu antud lõiku, ja punkti $C$ suhtes, mis asub sirgel $l$.
Lahendus.
Kujutame skemaatiliselt probleemi seisukorda.
Joonis 7.
Esmalt kujutame aksiaalset sümmeetriat sirge $l$ suhtes. Kuna aksiaalne sümmeetria on liikumine, siis teoreemi $1$ järgi vastendatakse segment $AB$ sellega võrdsele lõigule $A"B"$. Selle koostamiseks teeme järgmist: tõmmake sirgjooned $m\ ja\n$ läbi punktide $A\ ja\B$, mis on risti sirgega $l$. Olgu $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Järgmisena joonistame lõigud $A"X=AX$ ja $B"Y=BY$.
Joonis 8.
Kujutame nüüd kesksümmeetriat punkti $C$ suhtes. Kuna kesksümmeetria on liikumine, siis teoreemi $1$ järgi vastendatakse segment $AB$ sellega võrdsele segmendile $A""B""$. Selle koostamiseks teeme järgmist: tõmbame jooned $AC\ ja\ BC$. Järgmiseks joonistame lõigud $A^("")C=AC$ ja $B^("")C=BC$.
Joonis 9.