Joonte täiuslikkus – telgsümmeetria elus. Matemaatika tund
Täna räägime nähtusest, millega igaüks meist elus pidevalt kokku puutub: sümmeetriast. Mis on sümmeetria?
Me kõik mõistame selle termini tähendust laias laastus. Sõnastik ütleb: sümmeetria on millegi osade paigutuse proportsionaalsus ja täielik vastavus sirge või punkti suhtes. Sümmeetriat on kahte tüüpi: aksiaalne ja radiaalne. Vaatame kõigepealt aksiaalset. See on, oletame, "peegelsümmeetria", kui objekti üks pool on teisega täiesti identne, kuid kordab seda peegeldusena. Vaadake lehe pooli. Need on peegelsümmeetrilised. Ka inimkeha pooled on sümmeetrilised (eestvaade) – identsed käed ja jalad, identsed silmad. Kuid ärgem eksigem, tegelikult ei ole orgaanilises (elus)maailmas absoluutset sümmeetriat võimalik leida! Lehe pooled kopeerivad üksteist kaugeltki täiuslikult, sama kehtib ka kohta Inimkeha(vaata ise lähemalt); Sama kehtib ka teiste organismide kohta! Muide, tasub lisada, et iga sümmeetriline keha on vaataja suhtes sümmeetriline ainult ühes asendis. Tasub näiteks paberilehte pöörata või üks käsi üles tõsta ja mis juhtub? – näete ise.
Inimesed saavutavad tõelise sümmeetria oma töös (asjades) - riided, autod... Looduses on see omane anorgaanilistele moodustistele, näiteks kristallidele.
Aga liigume edasi praktika juurde. Ärge alustage keerukatest objektidest, nagu inimesed ja loomad, vaid proovime uue valdkonna esimese harjutusena lõpetada lehe peeglipoole joonistamine.
Sümmeetrilise objekti joonistamine – 1. õppetund
Me hoolitseme selle eest, et see oleks võimalikult sarnane. Selleks ehitame sõna otseses mõttes üles oma hingesugulase. Ärge arvake, et ühe tõmbega peeglile vastav joon on nii lihtne tõmmata, eriti esimesel korral!
Märgime tulevase sümmeetrilise joone jaoks mitu võrdluspunkti. Toimime nii: pliiatsiga tõmbame ilma vajutamata mitu risti sümmeetriateljega - lehe keskribaga. Praegu piisab neljast-viiest. Ja nendel perpendikulaaridel mõõdame paremalt sama kaugust kui vasakul poolel lehe serva joonest. Soovitan teil kasutada joonlauda, ärge lootke liiga palju oma silmale. Reeglina kipume joonistust vähendama – seda on kogemustest täheldatud. Me ei soovita kaugusi sõrmedega mõõta: viga on liiga suur.
Ühendame saadud punktid pliiatsijoonega:
Vaatame nüüd hoolikalt, kas pooled on tõesti samad. Kui kõik on õige, teeme selle viltpliiatsiga ringi ja täpsustame oma rida:
Paplileht on valminud, nüüd saab tammelehe juures kiikuda.
Joonistame sümmeetrilise joonise – õppetund 2
Sel juhul seisneb raskus selles, et veenid on märgistatud ja need ei ole sümmeetriateljega risti ning rangelt tuleb järgida mitte ainult mõõtmeid, vaid ka kaldenurka. Noh, treenime oma silma:
Niisiis on joonistatud sümmeetriline tammeleht, õigemini ehitasime selle kõigi reeglite järgi:
Kuidas joonistada sümmeetrilist objekti - õppetund 3
Ja kinnitame teema – lõpetame sümmeetrilise sirelilehe joonistamise.
Tal on ka huvitav kuju- südamekujuline ja kõrvadega põhjas, peate pahvima:
Seda nad joonistasid:
Vaadake valminud tööd eemalt ja hinnake, kui täpselt suutsime vajaliku sarnasuse edasi anda. Siin on näpunäide: vaadake oma pilti peeglist ja see annab teile teada, kas selles on vigu. Teine võimalus: painutage pilti täpselt piki telge (oleme juba õppinud, kuidas seda õigesti painutada) ja lõigake leht välja piki algset joont. Vaadake joonist ennast ja lõigatud paberit.
Sa vajad
- - sümmeetriliste punktide omadused;
- - sümmeetriliste kujundite omadused;
- - joonlaud;
- - ruut;
- - kompass;
- - pliiats;
- - paber;
- - graafikaredaktoriga arvuti.
Juhised
Joonistage sirgjoon a, mis on sümmeetriatelg. Kui selle koordinaate pole määratud, joonistage see meelevaldselt. Asetage selle sirge ühele küljele suvaline punkt A. Peate leidma sümmeetrilise punkti.
AutoCADis kasutatakse sümmeetria atribuute pidevalt. Selleks kasutage suvandit Peegel. Võrdhaarse kolmnurga või võrdhaarse trapetsi konstrueerimiseks piisab, kui joonistada alumine alus ning nurk selle ja külje vahel. Peegeldage neid määratud käsu abil ja pikendage külgi vajaliku suuruseni. Kolmnurga puhul on see nende lõikepunkt ja trapetsi puhul on see etteantud väärtus.
Kui kasutate valikut „pööra vertikaalselt/horisontaalselt”, kohtate graafilistes redaktorites pidevalt sümmeetriat. Sel juhul võetakse sümmeetriateljeks sirgjoon, mis vastab pildiraami ühele vertikaalsele või horisontaalsele küljele.
Allikad:
- kuidas joonistada keskset sümmeetriat
Koonuse ristlõike konstrueerimine pole nii keeruline ülesanne. Peaasi on järgida ranget toimingute jada. Siis on see ülesanne hõlpsasti teostatav ja see ei nõua teilt palju tööd.
Sa vajad
- - paber;
- - pliiats;
- - ring;
- - joonlaud.
Juhised
Sellele küsimusele vastates peate esmalt otsustama, millised parameetrid määravad jaotise.
Olgu selleks tasapinna l ja tasandi ja punkti O lõikesirge, mis on ristumiskoht selle lõikega.
Konstruktsioon on illustreeritud joonisel 1. Sektsiooni ehitamise esimene samm on läbi selle läbimõõduga lõigu keskpunkti, mis on selle joonega risti pikendatud l-ni. Tulemuseks on punkt L. Järgmiseks tõmmake läbi punkti O sirgjoon LW ja konstrueerige kaks juhtkoonust, mis asuvad põhilõikes O2M ja O2C. Nende juhikute ristumiskohas asub punkt Q ja juba näidatud punkt W. Need on soovitud lõigu kaks esimest punkti.
Nüüd joonistage koonuse BB1 põhja risti MS ja konstrueerige ristilõike O2B ja O2B1 generatriksid. Selles jaotises tõmmake punkti O kaudu sirge RG, mis on paralleelne punktiga BB1. Т.R ja Т.G on veel kaks soovitud lõigu punkti. Kui oleks teada palli ristlõige, siis saaks selle juba selles etapis ehitada. See pole aga üldse ellips, vaid midagi elliptilist, millel on sümmeetria segmendi QW suhtes. Seetõttu peaksite ehitama võimalikult palju lõikepunkte, et need hiljem sujuva kõveraga ühendada, et saada kõige usaldusväärsem eskiis.
Ehitage suvaline lõikepunkt. Selleks tõmmake koonuse põhjale suvaline läbimõõt AN ja konstrueerige vastavad juhikud O2A ja O2N. Tõmmake t.O kaudu sirgjoon, mis läbib PQ ja WG, kuni see lõikub punktides P ja E äsja ehitatud juhikutega. Need on veel kaks soovitud lõigu punkti. Samamoodi jätkates võite leida nii palju punkte, kui soovite.
Tõsi, nende saamise protseduuri saab veidi lihtsustada, kasutades sümmeetriat QW suhtes. Selleks saate joonistada sirgeid SS’ soovitud lõigu tasapinnale paralleelselt RG-ga, kuni need lõikuvad koonuse pinnaga. Ehitus lõpetatakse konstrueeritud polüliini ümardamisega akordidest. Piisab, kui konstrueerida pool soovitud lõigust juba mainitud sümmeetria tõttu QW suhtes.
Video teemal
Vihje 3: kuidas graafikut koostada trigonomeetriline funktsioon
Sa pead joonistama ajakava trigonomeetriline funktsioonid? Õppige toimingute algoritmi sinusoidi konstrueerimise näitel. Probleemi lahendamiseks kasutage uurimismeetodit.
Sa vajad
- - joonlaud;
- - pliiats;
- - trigonomeetria aluste tundmine.
Juhised
Video teemal
Märge
Kui üheribalise hüperboloidi kaks pooltelge on võrdsed, saab joonise saada, pöörates hüperbooli pooltelgedega, millest üks on ülaltoodud ja teine, mis erineb kahest võrdsest, ümber kujuteldav telg.
Abistavad nõuanded
Kui uurida seda arvu Oxzi ja Oyzi telgede suhtes, on selge, et selle põhiosad on hüperboolid. Ja kui seda ruumilist pöörlemiskuju lõigata Oxy tasapinnaga, on selle lõik ellipsiks. Üheribalise hüperboloidi kaelaellips läbib koordinaatide alguspunkti, sest z=0.
Kurguellipsi kirjeldatakse võrrandiga x²/a² +y²/b²=1 ja ülejäänud ellipsid koostatakse võrrandiga x²/a² +y²/b²=1+h²/c².
Allikad:
- Ellipsoidid, paraboloidid, hüperboloidid. Sirgjoonelised generaatorid
Viieharulise tähe kuju on inimene iidsetest aegadest laialdaselt kasutanud. Peame selle kuju ilusaks, sest tunneme selles alateadlikult ära kuldlõike seosed, s.t. viieharulise tähe ilu on matemaatiliselt õigustatud. Eukleides kirjeldas esimesena viieharulise tähe ehitust oma Elementides. Ühinegem tema kogemusega.
Sa vajad
- joonlaud;
- pliiats;
- kompass;
- kraadiklaas.
Juhised
Tähe konstruktsioon taandub selle tippude konstrueerimisele ja sellele järgnevale ühendamisele üksteisega järjestikku läbi ühe. Õige ehitamiseks tuleb ring jagada viieks.
Koostage kompassi abil suvaline ring. Märkige selle keskpunkt punktiga O.
Märkige punkt A ja joonestage joonlauaga lõigu OA. Nüüd peate lõigu OA pooleks jagama, selleks tõmmake punktist A raadiusega OA kaar, kuni see lõikub ringiga kahes punktis M ja N. Koostage lõik MN. Punkt E, kus MN lõikub punktiga OA, poolitab lõigu OA.
Taastage risti OD raadiusega OA ja ühendage punktid D ja E. Tehke punktist E OA-le sälk B raadiusega ED.
Nüüd, kasutades lõiku DB, märkige ring viie võrra võrdsetes osades. Märgistage tavalise viisnurga tipud järjestikku numbritega 1 kuni 5. Ühendage punktid järgmises järjestuses: 1 3-ga, 2 4-ga, 3 5-ga, 4 1-ga, 5 2-ga. Siin on õige. viieharuline täht, tavaliseks viisnurgaks. Täpselt nii ma selle ehitasin
KOLMNURGAD.
§ 17. SÜMEETRIA SUHTELISELT PAREMALE OTSE.
1. Figuurid, mis on üksteise suhtes sümmeetrilised.
Joonistame paberilehele tindiga joonise ja pliiatsiga väljaspool seda - suvaline sirgjoon. Seejärel, laskmata tindil kuivada, painutame paberilehte mööda seda sirgjoont nii, et üks lehe osa kattub teisega. See lehe teine osa annab seega selle kujundi jäljendi.
Kui seejärel paberilehte uuesti sirgeks ajada, siis on sellel kaks kujundit, mida nimetatakse sümmeetriline antud joone suhtes (joonis 128).
Kahte kujundit nimetatakse sümmeetriliseks teatud sirge suhtes, kui joonistustasapinna painutamisel piki seda sirget need on joondatud.
Sirget, mille suhtes need kujundid on sümmeetrilised, nimetatakse nendeks sümmeetriatelg.
Sümmeetriliste kujundite definitsioonist järeldub, et kõik sümmeetrilised kujundid on võrdsed.
Sümmeetrilisi kujundeid saate ilma tasapinna painutamiseta, vaid geomeetrilise konstruktsiooni abil. Olgu vaja sirge AB suhtes konstrueerida punkt C", mis on sümmeetriline antud punkti C suhtes. Kujutagem punktist C risti.
CD sirgjoonele AB ja selle jätkuks paneme lõigu DC" = DC. Kui painutada joonistustasapinda piki AB, siis punkt C joondub punktiga C": punktid C ja C" on sümmeetrilised (joon. 129). ).
Oletame, et nüüd peame konstrueerima lõigu C "D", mis on sümmeetriline antud segmendi CD suhtes sirge AB suhtes. Konstrueerime punktid C" ja D", mis on sümmeetrilised punktide C ja D suhtes. Kui painutada joonistustasapinda piki AB, siis punktid C ja D ühtivad vastavalt punktidega C" ja D" (Joonis 130). Seetõttu lõigud CD ja C "D" langevad kokku, need on sümmeetrilised.
Ehitame nüüd antud hulknurga ABCDE suhtes sümmeetrilise kujundi antud sümmeetriatelje MN suhtes (joonis 131).
Selle ülesande lahendamiseks kukutage ristid A A, IN b, KOOS Koos, D d ja E e sümmeetriateljele MN. Seejärel joonistame nende perpendikulaaride pikendustele lõigud
A A" = A A, b B" = B b, Koos C" = Cs; d D"" =D d Ja e E" = E e.
Hulknurk A"B"C"D"E on sümmeetriline hulknurgaga ABCDE. Tõepoolest, kui painutada joonist mööda sirget MN, siis joonduvad mõlema hulknurga vastavad tipud ja seetõttu joonduvad ka hulknurgad ise See tõestab, et hulknurgad ABCDE ja A"B"C"D"E on sirge MN suhtes sümmeetrilised.
2. Sümmeetrilistest osadest koosnevad figuurid.
Sageli leitud geomeetrilised kujundid, mis on mõne sirgjoonega jagatud kaheks sümmeetriliseks osaks. Selliseid kujundeid nimetatakse sümmeetriline.
Näiteks nurk on sümmeetriline kujund ja nurga poolitaja on selle sümmeetriatelg, kuna mööda seda painutades kombineeritakse üks nurga osa teisega (joonis 132).
Ringis on sümmeetriateljeks selle läbimõõt, kuna mööda seda painutades kombineeritakse üks poolring teisega (joonis 133). Joonistel 134, a, b on täpselt sümmeetrilised.
Sümmeetrilisi kujundeid leidub sageli looduses, ehituses ja ehetes. Joonistele 135 ja 136 paigutatud kujutised on sümmeetrilised.
Tuleb märkida, et sümmeetrilisi kujundeid saab lihtsalt mööda tasapinda liikudes kombineerida vaid mõnel juhul. Sümmeetriliste kujundite kombineerimiseks on reeglina vaja ühte neist pöörata vastasküljega,
sümmeetria arhitektuurne fassaadhoone
Sümmeetria on mõiste, mis peegeldab looduses eksisteerivat korda, proportsionaalsust ja proportsionaalsust mis tahes süsteemi või loodusobjekti elementide vahel, korrastatust, süsteemi tasakaalu, stabiilsust, s.t. mingi harmoonia element.
Möödusid aastatuhanded, enne kui inimkond mõistis oma ühiskondliku ja tootmistegevuse käigus vajadust väljendada teatud mõistetes kaht tendentsi, mille ta oli kehtestanud eelkõige looduses: range korrakohasuse, proportsionaalsuse, tasakaalu olemasolu ja nende rikkumine. Inimesed on pikka aega pööranud tähelepanu kristallide õigele kujule, kärgede struktuuri geomeetrilisele rangusele, okste ja lehtede paigutuse järjestusele ja korratavusele puudel, kroonlehtedel, lilledel ja taimede seemnetel ning peegeldanud seda korrapärast oma praktilises plaanis. tegevused, mõtlemine ja kunst.
Eluslooduse objektidel ja nähtustel on sümmeetria. See mitte ainult ei rõõmusta silma ega inspireeri kõigi aegade ja rahvaste luuletajaid, vaid võimaldab elusorganismidel oma keskkonnaga paremini kohaneda ja lihtsalt ellu jääda.
Eluslooduses esineb valdav enamus elusorganisme erinevat tüüpi sümmeetriad (kuju, sarnasus, suhteline asukoht). Pealegi erinevad organismid anatoomiline struktuur võib olla sama tüüpi välise sümmeetriaga.
Sümmeetriaprintsiip ütleb, et kui ruum on homogeenne, siis süsteemi kui terviku ülekandmine ruumis ei muuda süsteemi omadusi. Kui kõik suunad ruumis on samaväärsed, siis sümmeetriaprintsiip võimaldab süsteemi kui terviku pöörlemist ruumis. Aja alguspunkti muutmisel järgitakse sümmeetria põhimõtet. Vastavalt põhimõttele on võimalik teha üleminek selle süsteemi suhtes püsiva kiirusega liikuvale teisele referentssüsteemile. Elutu maailm on väga sümmeetriline. Sageli sümmeetria rikkumised kvantfüüsika elementaarosakesed- see on veelgi sügavama sümmeetria ilming. Asümmeetria on struktuuri kujundav ja loov eluprintsiip. Elusrakkudes on funktsionaalselt olulised biomolekulid asümmeetrilised: valgud koosnevad vasakule pööravatest aminohapetest (L-vorm) ja nukleiinhapped sisaldavad lisaks heterotsüklilistele alustele paremale pööravaid süsivesikuid - suhkruid (D-vorm), lisaks on DNA ise pärilikkuse aluseks on paremakäeline topeltheeliks.
Sümmeetria põhimõtted on relatiivsusteooria, kvantmehaanika ja füüsika aluseks tahke, aatomi- ja tuumafüüsika, osakeste füüsika. Need põhimõtted väljenduvad kõige selgemini loodusseaduste muutumatusomadustes. See ei puuduta ainult füüsikalised seadused, aga ka teisi, näiteks bioloogilisi. Näide bioloogiline seadus säilitamine võib toimida pärimisseadusena. See põhineb invariantsil bioloogilised omadused seoses üleminekuga ühelt põlvkonnalt teisele. On üsna ilmne, et ilma looduskaitseseadusteta (füüsikalised, bioloogilised ja muud) meie maailm lihtsalt ei saaks eksisteerida.
Seega väljendab sümmeetria millegi säilimist hoolimata mõnest muudatusest või millegi säilimist vaatamata muutusele. Sümmeetria eeldab mitte ainult objekti enda, vaid ka selle mis tahes omaduse muutumatust seoses objektil tehtavate teisendustega. Teatud objektide muutumatust võib täheldada seoses erinevate operatsioonidega - pööramised, tõlked, osade vastastikune asendamine, peegeldused jne.
Vaatleme sümmeetria tüüpe matemaatikas:
- * keskne (punkti suhtes)
- * aksiaalne (suhteliselt sirge)
- * peegel (tasapinna suhtes)
- 1. Kesksümmeetria (1. lisa)
Kujundit nimetatakse punkti O suhtes sümmeetriliseks, kui joonise iga punkti jaoks kuulub sellesse kujundisse ka punkti O suhtes sümmeetriline punkt. Punkti O nimetatakse joonise sümmeetriakeskmeks.
Sümmeetriakeskuse mõistega puututi esmakordselt kokku 16. sajandil. Ühes Claviuse teoreemidest, mis ütleb: "Kui rööptahuka lõikab keskpunkti läbiv tasapind, siis poolitatakse see pooleks ja vastupidi, kui rööptahukas lõigatakse pooleks, siis tasand läbib keskpunkti." Legendre, kes esmakordselt tutvustas elementaarne geomeetria sümmeetria uurimise elemendid, näitab, et parempoolsel rööptahukal on 3 sümmeetriatasandit, mis on servadega risti ja kuubil on 9 sümmeetriatasapinda, millest 3 on servadega risti ja ülejäänud 6 läbivad sümmeetriatasandit. näod.
Näited joonistest koos keskne sümmeetria, on ring ja rööpkülik.
Algebras arvestatakse paaris- ja paaritu funktsioonide uurimisel nende graafikuid. Konstrueerimisel on paarisfunktsiooni graafik ordinaattelje suhtes sümmeetriline ja paaritu funktsiooni graafik sümmeetriline alguspunkti suhtes, s.t. punkt O. See tähendab, et paaritul funktsioonil on keskne sümmeetria ja paarisfunktsioonil on telgsümmeetria.
2. Telgsümmeetria (2. liide)
Joonist nimetatakse sümmeetriliseks sirge a suhtes, kui joonise iga punkti jaoks kuulub sellesse kujundisse ka sirge a suhtes sümmeetriline punkt. Sirget a nimetatakse joonise sümmeetriateljeks. Figuuril on väidetavalt ka teljesuunaline sümmeetria.
Kitsamas tähenduses nimetatakse sümmeetriatelge teist järku sümmeetriateljeks ja see räägib "telgsümmeetriast", mida saab defineerida järgmiselt: figuuril (või kehal) on aksiaalne sümmeetria teatud telje suhtes, kui iga selle punktid E vastavad samale joonisele kuuluvale punktile F, et lõik EF on teljega risti, lõikub sellega ja jagatakse lõikepunktis pooleks.
Toon näiteid joonistest, millel on telgsümmeetria. Väljakujunemata nurgal on üks sümmeetriatelg – sirgjoon, millel asub nurga poolitaja. Võrdhaarsel (kuid mitte võrdkülgsel) kolmnurgal on samuti üks sümmeetriatelg ja võrdkülgsel kolmnurgal kolm sümmeetriatelge. Ristkülikul ja rombil, mis ei ole ruudud, on mõlemal kaks sümmeetriatelge ja ruudul neli sümmeetriatelge. Ringjoonel on neid lõpmatu arv – iga selle keskpunkti läbiv sirge on sümmeetriatelg.
On figuure, millel pole ühte sümmeetriatelge. Sellised joonised hõlmavad rööpkülikut, mis erineb ristkülikust, ja skaala kolmnurka.
3. Peegelsümmeetria (3. liide)
Peegelsümmeetria (sümmeetria tasapinna suhtes) on ruumi kaardistamine iseendaga, kus iga punkt M läheb punkti M1, mis on selle tasandi suhtes sümmeetriline.
Peegelsümmeetria on igapäevasest vaatlusest igale inimesele hästi teada. Nagu nimi ise näitab, ühendab peegelsümmeetria mis tahes objekti ja selle peegelduse tasapinnalises peeglis. Üks kujund (või keha) on teise suhtes peegelsümmeetriline, kui nad koos moodustavad peegelsümmeetrilise figuuri (või keha).
Piljardimängijad on peegeldustegevusega juba ammu tuttavad. Nende “peeglid” on mänguvälja küljed ja valguskiire rolli mängivad pallide trajektoorid. Olles tabanud nurga lähedal asuvat külge, veereb pall täisnurga all oleva külje poole ja sealt peegeldununa liigub tagasi paralleelselt esimese löögi suunaga.
Tuleb märkida, et kaks sümmeetrilist kujundit või ühe kujundi kaks sümmeetrilist osa, hoolimata kõigist nende sarnasustest, mahtude ja pindalade võrdsusest, on üldjuhul ebavõrdsed, s.t. neid ei saa omavahel kombineerida. Tegemist on erinevate kujunditega, neid ei saa omavahel asendada, näiteks õige kinnas, saabas vms. ei sobi vasaku käe või jala jaoks. Üksustes võib olla üks, kaks, kolm jne. sümmeetriatasandid. Näiteks sirge püramiid, mille alus on võrdhaarne kolmnurk, on sümmeetriline ühe tasandi P suhtes. Sama alusega prismal on kaks sümmeetriatasandit. Tavalisel kuusnurksel prismal on neid seitse. Pöörlevad kehad: kuul, torus, silinder, koonus jne. neil on lõpmatu arv sümmeetriatasapindu.
Vanad kreeklased uskusid, et universum on sümmeetriline lihtsalt sellepärast, et sümmeetria on ilus. Sümmeetria kaalutluste põhjal tegid nad mitmeid oletusi. Nii jõudis Pythagoras (5. sajand eKr), pidades sfääri kõige sümmeetrilisemaks ja täiuslikumaks vormiks, järeldusele, et Maa on sfääriline ja selle liikumisest mööda sfääri. Samal ajal uskus ta, et Maa liigub mööda teatud “kesktule” sfääri. Pythagorase sõnul pidid kuus tol ajal tuntud planeeti, samuti Kuu, Päike ja tähed tiirlema ümber sama "tule".
Inimeste elu on täis sümmeetriat. See on mugav, ilus ja pole vaja uusi standardeid välja mõelda. Aga mis see tegelikult on ja kas see on looduses nii ilus, kui tavaliselt arvatakse?
Sümmeetria
Juba iidsetest aegadest on inimesed püüdnud korraldada ümbritsevat maailma. Seetõttu peetakse mõnda asja ilusaks ja mõnda mitte nii väga. Esteetilisest vaatenurgast peetakse atraktiivseks kulla ja hõbeda suhet, aga ka loomulikult sümmeetriat. See termin on kreeka päritolu ja tähendab sõna-sõnalt "proportsionaalsust". Muidugi me räägime mitte ainult sellel alusel kokkusattumusest, vaid ka mõnest teisest. Üldises mõttes on sümmeetria objekti omadus, kui teatud moodustiste tulemusena on tulemus võrdne algandmetega. Seda esineb nii elus kui ka sees elutu loodus, samuti inimese tehtud esemetes.
Esiteks on mõiste "sümmeetria" kasutusel geomeetrias, kuid leiab rakendust paljudes teaduslikud valdkonnad ja selle tähendus jääb üldiselt muutumatuks. See nähtus esineb üsna sageli ja seda peetakse huvitavaks, kuna mitmed selle tüübid ja elemendid erinevad. Huvitav on ka sümmeetria kasutamine, sest seda ei leidu mitte ainult looduses, vaid ka kanga mustrites, hoonete piiretes ja paljudes teistes tehisobjektides. Seda nähtust tasub põhjalikumalt käsitleda, sest see on äärmiselt paeluv.
Mõiste kasutamine teistes teadusvaldkondades
Järgnevalt vaadeldakse sümmeetriat geomeetria seisukohalt, kuid tasub mainida, et seda sõna ei kasutata mitte ainult siin. Bioloogia, viroloogia, keemia, füüsika, kristallograafia – kõik see on mittetäielik loetelu valdkondadest, kus seda nähtust uuritakse erinevate nurkade alt ja erinevates tingimustes. Näiteks oleneb klassifikatsioon sellest, millisele teadusele see termin viitab. Seega on tüüpideks jaotus väga erinev, ehkki mõned põhilised jäävad ehk läbivalt muutumatuks.
Klassifikatsioon
Sümmeetriat on mitu peamist tüüpi, millest kolm on kõige levinumad:
Lisaks eristatakse geomeetrias ka järgmisi tüüpe; need on palju vähem levinud, kuid mitte vähem huvitavad:
- libistades;
- pöörlev;
- punkt;
- progressiivne;
- kruvi;
- fraktal;
- jne.
Bioloogias nimetatakse kõiki liike veidi erinevalt, kuigi sisuliselt võivad need olla samad. Teatud rühmadeks jagunemine toimub teatud elementide olemasolu või puudumise, aga ka teatud elementide, nagu tsentrite, tasandite ja sümmeetriatelgede, arvu alusel. Neid tuleks käsitleda eraldi ja üksikasjalikumalt.
Põhielemendid
Nähtusel on teatud tunnused, millest üks on tingimata olemas. Niinimetatud põhielementide hulka kuuluvad tasapinnad, keskpunktid ja sümmeetriateljed. Tüüp määratakse vastavalt nende olemasolule, puudumisele ja kogusele.
Sümmeetriakese on punkt figuuri või kristalli sees, kus jooned, mis ühendavad paarikaupa kõiki üksteisega paralleelseid külgi, koonduvad. Muidugi pole seda alati olemas. Kui on külgi, millele pole paralleelset paari, siis sellist punkti ei saa leida, kuna seda pole olemas. Definitsiooni järgi on ilmne, et sümmeetriakeskus on see, mille kaudu saab kujundit iseendale peegeldada. Näiteks võiks olla ring ja punkt selle keskel. Seda elementi tähistatakse tavaliselt kui C.
Sümmeetriatasand on muidugi kujuteldav, kuid just see jagab kujundi kaheks üksteisega võrdseks osaks. See võib läbida üht või mitut külge, olla sellega paralleelne või neid jagada. Sama figuuri puhul võib korraga eksisteerida mitu tasapinda. Neid elemente tähistatakse tavaliselt kui P.
Kuid võib-olla kõige levinum on see, mida nimetatakse "sümmeetriateljeks". See on tavaline nähtus, mida võib näha nii geomeetrias kui ka looduses. Ja see väärib eraldi käsitlemist.
Teljed
Sageli on element, mille suhtes figuuri võib nimetada sümmeetriliseks
kuvatakse sirgjoon või lõik. Igal juhul ei räägi me punktist ega tasapinnast. Seejärel arvestatakse arve. Neid võib olla palju ja nad võivad asuda mis tahes viisil: poolitades või nendega paralleelselt, samuti ristudes nurki või mitte. Sümmeetriateljed on tavaliselt tähistatud kui L.
Näited hõlmavad võrdkülgseid ja Esimesel juhul on vertikaalne sümmeetriatelg, mille mõlemal küljel on võrdsed tahud, ja teisel juhul jooned lõikuvad iga nurga ja langevad kokku kõigi poolitajate, mediaanide ja kõrgustega. Tavalistel kolmnurkadel seda pole.
Muide, kõigi ülaltoodud elementide kogumit kristallograafias ja stereomeetrias nimetatakse sümmeetriaastmeks. See indikaator sõltub telgede, tasandite ja tsentrite arvust.
Näited geomeetriast
Tavapäraselt võime jagada kogu matemaatikute uuritavate objektide komplekti kujunditeks, millel on sümmeetriatelg, ja nendeks, millel puudub. Kõik ringid, ovaalid ja ka mõned erijuhud kuuluvad automaatselt esimesse kategooriasse, ülejäänud aga teise rühma.
Nagu kolmnurga sümmeetriateljest rääkides, ei eksisteeri seda elementi alati nelinurga puhul. Ruudu, ristküliku, rombi või rööpküliku jaoks on see, kuid ebakorrapärase kujundi jaoks vastavalt mitte. Ringjoone puhul on sümmeetriatelg selle keskpunkti läbivate sirgjoonte kogum.
Lisaks on sellest vaatenurgast huvitav vaadelda kolmemõõtmelisi figuure. Lisaks kõikidele tavapärastele hulknurkadele ja kuulile on mõnel koonusel, aga ka püramiididel, rööpkülikutel ja mõnel muul vähemalt üks sümmeetriatelg. Iga juhtumit tuleb käsitleda eraldi.
Näited looduses
Elus nimetatakse seda kahepoolseks, seda esineb kõige rohkem
sageli. Iga inimene ja paljud loomad on selle näiteks. Aksiaalset nimetatakse radiaalseks ja see on palju harvem, tavaliselt sees taimestik. Ja ometi on nad olemas. Näiteks tasub mõelda, mitu sümmeetriatelge on tähel ja kas tal üldse on? Loomulikult räägime mereelustikust, mitte astronoomide uurimisobjektist. Ja õige vastus oleks: see sõltub tähe kiirte arvust, näiteks viiest, kui ta on viieharuline.
Lisaks täheldatakse radiaalset sümmeetriat paljudel lilledel: karikakrad, rukkililled, päevalilled jne. Näiteid on tohutult, neid leidub sõna otseses mõttes kõikjal.
Arütmia
See termin meenutab ennekõike meditsiini ja kardioloogiat, kuid sellel on esialgu veidi erinev tähendus. IN sel juhul sünonüüm oleks "asümmeetria", st korrapärasuse puudumine või rikkumine ühel või teisel kujul. Seda võib leida juhuslikult ja mõnikord võib sellest saada imeline tehnika, näiteks riietuses või arhitektuuris. Lõppude lõpuks on sümmeetrilisi hooneid palju, kuid kuulus on veidi viltu ja kuigi see pole ainus, on see kõige rohkem kuulus näide. On teada, et see juhtus juhuslikult, kuid sellel on oma võlu.
Lisaks on ilmne, et ka inimeste ja loomade näod ja kehad pole täiesti sümmeetrilised. On tehtud isegi uuringuid, mis näitavad, et "õigeid" nägusid peetakse elutuks või lihtsalt ebaatraktiivseks. Sellegipoolest on sümmeetria tajumine ja see nähtus iseenesest hämmastav ja neid pole veel täielikult uuritud ning seetõttu on need äärmiselt huvitavad.