Lahendage võrrand tundmatu juurega. Võrrand ja selle juured: definitsioonid, näited
Pärast seda, kui oleme uurinud võrduste mõistet, nimelt ühte nende tüüpidest – arvulisi võrdusi, saame liikuda edasi teise olulise tüübi – võrrandite – juurde. Selle materjali raames selgitame, mis on võrrand ja selle juur, sõnastame põhidefinitsioonid ja anname erinevaid näiteid võrrandid ja nende juurte leidmine.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Võrrandi mõiste
Tavaliselt uuritakse võrrandi mõistet kohe alguses koolikursus algebra. Siis määratletakse see järgmiselt:
Definitsioon 1
Võrrand nimetatakse võrduseks tundmatu arvuga, mis tuleb leida.
Tundmatuid on tavaks tähistada väikeste ladina tähtedega, näiteks t, r, m jne, kuid kõige sagedamini kasutatakse x, y, z. Teisisõnu, võrrandi määrab selle salvestusvorm, see tähendab, et võrdsus on võrrand ainult siis, kui see taandatakse teatud tüüpi– see peab sisaldama tähte, tähendust, mis tuleb leida.
Toome mõned näited kõige lihtsamatest võrranditest. Need võivad olla võrdsused kujul x = 5, y = 6 jne, aga ka need, mis sisaldavad aritmeetilisi tehteid, näiteks x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.
Pärast sulgude mõiste õppimist ilmub sulgudega võrrandite mõiste. Nende hulka kuuluvad 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 jne. Otsimist vajav täht võib esineda mitu korda, kuid mitu korda, näiteks , näiteks võrrandis x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Samuti võivad tundmatud paikneda mitte ainult vasakul, vaid ka paremal või mõlemas osas korraga, näiteks x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 või 8 x − 9 = 2 (x + 17) .
Peale selle, kui õpilased on tuttavad täisarvude kontseptsiooniga, muutuvad reaalsed, ratsionaalsed, naturaalarvud, samuti logaritmid, juured ja astmed, ilmuvad uued võrrandid, mis hõlmavad kõiki neid objekte. Oleme selliste väljendite näidetele pühendanud eraldi artikli.
7. klassi õppekavas esineb muutujate mõiste esmakordselt. Need on kirjad, mis võivad kesta erinevad tähendused(Lisateavet leiate artiklist numbriliste, literaalsete ja muutuvate avaldiste kohta). Selle kontseptsiooni põhjal saame võrrandi uuesti määratleda:
2. definitsioon
Võrrand on võrdus, mis hõlmab muutujat, mille väärtus tuleb välja arvutada.
See tähendab, et näiteks avaldis x + 3 = 6 x + 7 on võrrand muutujaga x ja 3 y − 1 + y = 0 on võrrand muutujaga y.
Ühel võrrandil võib olla rohkem kui üks muutuja, kuid kaks või enam. Neid nimetatakse vastavalt kahe-, kolme muutujaga võrranditeks jne. Kirjutame definitsiooni:
3. definitsioon
Kahe (kolme, nelja või enama) muutujaga võrrandid on võrrandid, mis sisaldavad vastavat arvu tundmatuid.
Näiteks võrrand kujul 3, 7 · x + 0, 6 = 1 on võrrand ühe muutujaga x ja x − z = 5 on võrrand kahe muutujaga x ja z. Kolme muutujaga võrrandi näide oleks x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.
Võrrandi juur
Kui me räägime võrrandist, siis tekib kohe vajadus määratleda selle juure mõiste. Proovime selgitada, mida see tähendab.
Näide 1
Meile antakse teatud võrrand, mis sisaldab ühte muutujat. Kui asendame tundmatu tähe numbriga, saab võrrandist numbriline võrdus - kas tõene või väär. Seega, kui võrrandis a + 1 = 5 asendame tähe numbriga 2, muutub võrdsus vääraks ja kui 4, siis on õige võrdus 4 + 1 = 5.
Meid huvitavad rohkem just need väärtused, millega muutuja muutub tõeliseks võrdsuseks. Neid nimetatakse juurteks või lahendusteks. Paneme definitsiooni kirja.
4. määratlus
Võrrandi juur Nad nimetavad muutuja väärtust, mis muudab antud võrrandi tõeliseks võrduseks.
Juure võib nimetada ka lahenduseks või vastupidi – mõlemad need mõisted tähendavad sama asja.
Näide 2
Selle määratluse selgitamiseks võtame näite. Ülalpool andsime võrrandi a + 1 = 5. Definitsiooni järgi on juur sel juhul on 4, kuna tähe asemel asendades annab see õige numbrilise võrdsuse ja kaks ei ole lahendus, kuna see vastab valele võrrandile 2 + 1 = 5.
Mitu juurt võib ühel võrrandil olla? Kas igal võrrandil on juur? Vastame neile küsimustele.
Samuti on olemas võrrandid, millel pole üht juurt. Näide oleks 0 x = 5. Me saame asendada lõpmatult palju erinevad numbrid, kuid ükski neist ei muuda seda tõeliseks võrduseks, kuna 0-ga korrutamine annab alati 0.
On ka võrrandeid, millel on mitu juurt. Need võivad olla kas piiratud või lõpmatud suur hulk juured.
Näide 3
Niisiis, võrrandis x − 2 = 4 on ainult üks juur - kuus, x 2 = 9 puhul kaks juurt - kolm ja miinus kolm, x · (x − 1) · (x − 2) = 0 kolm juurt - null, üks ja kaks, võrrandis x=x on lõpmatult palju juuri.
Nüüd selgitame, kuidas võrrandi juuri õigesti kirjutada. Kui neid pole, kirjutame: "võrrandil pole juuri." Sel juhul saab märkida ka tühja hulga märgi ∅. Kui juured on olemas, siis kirjutame need komadega eraldatuna või märgime hulga elementidena, sulgedes need lokkis sulgudesse. Seega, kui mis tahes võrrandil on kolm juurt - 2, 1 ja 5, siis kirjutame - 2, 1, 5 või (- 2, 1, 5).
Lubatud on kirjutada juured lihtsate võrduste kujul. Seega, kui võrrandis on tundmatu tähistatud tähega y ja juured on 2 ja 7, siis kirjutame y = 2 ja y = 7. Mõnikord lisatakse tähtedele alaindeksid, näiteks x 1 = 3, x 2 = 5. Sel viisil osutame juurte numbritele. Kui võrrandil on lõpmatu arv lahendeid, siis kirjutame vastuse numbrilise intervallina või kasutame üldtunnustatud tähistust: naturaalarvude hulk on tähistatud N, täisarvud - Z, reaalarvud - R. Oletame, et kui meil on vaja kirjutada, et võrrandi lahend on suvaline täisarv, siis kirjutame, et x ∈ Z ja kui suvaline reaalarv ühest üheksani, siis y ∈ 1, 9.
Kui võrrandil on kaks, kolm juurt või rohkem, siis reeglina ei räägita juurtest, vaid võrrandi lahenditest. Sõnastame mitme muutujaga võrrandi lahendi definitsiooni.
Definitsioon 5
Kahe, kolme või enama muutujaga võrrandi lahenduseks on muutujate kaks, kolm või enam väärtust, mis muudavad antud võrrandi õigeks arvuliseks võrduseks.
Selgitame definitsiooni näidetega.
Näide 4
Oletame, et meil on avaldis x + y = 7, mis on kahe muutujaga võrrand. Asendame esimese asemel ühe ja teise asemel kaks. Saame vale võrdsuse, mis tähendab, et see väärtuspaar ei ole selle võrrandi lahendus. Kui võtta paar 3 ja 4, siis võrdsus saab tõeseks, mis tähendab, et oleme leidnud lahenduse.
Sellistel võrranditel ei pruugi olla juuri või neid võib olla lõpmatu arv. Kui meil on vaja üles kirjutada kaks, kolm, neli või enam väärtust, siis eraldame need sulgudes komadega. See tähendab, et ülaltoodud näites näeb vastus välja selline (3, 4).
Praktikas tuleb kõige sagedamini tegeleda ühte muutujat sisaldavate võrranditega. Nende lahendamise algoritmi käsitleme üksikasjalikult võrrandite lahendamisele pühendatud artiklis.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Algebra õppimisel seisavad koolilapsed silmitsi mitut tüüpi võrranditega. Lihtsamate hulgas on lineaarsed, mis sisaldavad üht tundmatut. Kui muutuja matemaatilises avaldises tõstetakse teatud astmeni, siis nimetatakse võrrandit ruut-, kuup-, bikvadraat- ja nii edasi. Need avaldised võivad sisaldada ratsionaalseid arve. Kuid on ka irratsionaalseid võrrandeid. Need erinevad teistest funktsiooni olemasolu poolest, kus tundmatu on radikaali märgi all (st puhtalt väliselt, siin on muutuja näha ruutjuure all). Irratsionaalsete võrrandite lahendamisel on oma omadused. Muutuja väärtuse arvutamisel õige vastuse saamiseks tuleb neid arvesse võtta.
"Sõnades kirjeldamatu"
Pole saladus, et iidsed matemaatikud opereerisid peamiselt ratsionaalsete arvudega. Nende hulka kuuluvad, nagu teada, täisarvud, mida väljendatakse tavaliste ja kümnendmurdude kaudu, mis on antud kogukonna esindajad. Siiski õppisid irratsionaalseid võrrandeid lahendama ka Lähis- ja Lähis-Ida, aga ka India teadlased, kes arendavad trigonomeetriat, astronoomiat ja algebrat. Näiteks kreeklased teadsid sarnaseid suurusi, kuid neid verbaalsesse vormi pannes kasutasid nad mõistet “alogos”, mis tähendas “väljendamatut”. Veidi hiljem nimetasid eurooplased neid jäljendades selliseid numbreid kurdiks. Need erinevad kõigist teistest selle poolest, et neid saab esitada vaid lõpmatu mitteperioodilise murdena, mille lõplikku arvulist avaldist on lihtsalt võimatu saada. Seetõttu kirjutatakse selliseid arvude kuningriigi esindajaid sagedamini numbrite ja märkide kujul mõne avaldisena, mis asub teise või kõrgema astme juure all.
Ülaltoodust lähtuvalt proovime defineerida irratsionaalset võrrandit. Sellised väljendid sisaldavad nn sõnastamatuid numbreid, mis on kirjutatud märgi abil ruutjuur. Nad võivad esindada igasuguseid üsna keerukaid võimalusi, kuid nendes selle kõige lihtsamal kujul Need näevad välja nagu alloleval fotol.
Irratsionaalseid võrrandeid lahendama asudes tuleb kõigepealt välja arvutada pindala vastuvõetavad väärtused muutuv.
Kas väljendil on mõtet?
Saadud väärtuste kontrollimise vajadus tuleneb omadustest. Nagu teada, on selline väljend vastuvõetav ja omab mingit tähendust ainult teatud tingimustel. Paarisastme juurte korral peavad kõik radikaalavaldised olema positiivsed või võrdsed nulliga. Kui see tingimus ei ole täidetud, siis ei saa esitatud matemaatilist tähistust tähenduslikuks pidada.
Toome konkreetse näite irratsionaalsete võrrandite lahendamisest (allpool olev pilt).
Sel juhul on ilmne, et määratud tingimusi ei saa täita ühegi soovitud väärtusega aktsepteeritava väärtuse puhul, kuna selgub, et 11 ≤ x ≤ 4. See tähendab, et lahenduseks saab olla ainult Ø.
Analüüsi meetod
Ülaltoodust selgub, kuidas lahendada teatud tüüpi irratsionaalvõrrandeid. Siin tõhusal viisil võib olla lihtne analüüs.
Toome mitu näidet, mis seda taas selgelt demonstreerivad (allpool olev pilt).
Esimesel juhul selgub väljendi hoolikal uurimisel kohe ülimalt selgeks, et see ei saa olla tõsi. Tõepoolest, võrdsuse vasakul poolel peaksime saama positiivne arv, mis ei saa olla võrdne -1-ga.
Teisel juhul võib kahe positiivse avaldise summa lugeda võrdseks nulliga ainult siis, kui x - 3 = 0 ja x + 3 = 0 korraga. Ja see on jälle võimatu. Ja see tähendab, et vastus tuleks uuesti kirjutada Ø.
Kolmas näide on väga sarnane juba varem käsitletule. Tõepoolest, siin nõuavad ODZ tingimused, et täidetud oleks järgmine absurdne ebavõrdsus: 5 ≤ x ≤ 2. Ja sellisel võrrandil samamoodi ei saa olla mõistlikke lahendeid.
Piiramatu suum
Irratsionaalse olemust saab kõige selgemalt ja täielikumalt selgitada ja teada ainult lõputu arvude jada kaudu kümnend. Ja konkreetne, särav näideüks selle perekonna liikmetest on πi. Pole asjata, et seda matemaatilist konstanti tuntakse iidsetest aegadest, seda kasutatakse ringi ümbermõõdu ja pindala arvutamisel. Kuid eurooplaste seas rakendasid seda esmakordselt inglane William Jones ja šveitslane Leonard Euler.
See konstant tekib järgmiselt. Kui võrrelda erineva ümbermõõduga ringe, siis nende pikkuste ja läbimõõtude suhe sisse kohustuslik võrdne sama arvuga. See on pi. Kui väljendada seda läbi hariliku murru, saame ligikaudu 22/7. Esmalt tegi seda suur Archimedes, kelle portree on näidatud ülaloleval joonisel. Seetõttu sai selline number tema nime. Kuid see ei ole selgesõnaline, vaid võib-olla kõige hämmastavama arvu ligikaudne väärtus. Geniaalne teadlane leidis soovitud väärtuse 0,02 täpsusega, kuid tegelikult pole sellel konstandil tegelikku tähendust, vaid seda väljendatakse kui 3,1415926535... See on lõputu arvude jada, mis läheneb lõputult mingile müütilisele väärtusele.
Ruudukujundamine
Kuid pöördume tagasi irratsionaalsete võrrandite juurde. Tundmatu leidmiseks kasutavad nad sel juhul väga sageli lihtne meetod: ruudustage olemasoleva võrdsuse mõlemad pooled. See meetod annab tavaliselt häid tulemusi. Kuid tuleks arvestada irratsionaalsete suuruste salakavalusega. Kõik selle tulemusena saadud juured tuleb üle kontrollida, sest need ei pruugi sobida.
Kuid jätkame näidete vaatamist ja proovime äsja pakutud meetodi abil muutujaid leida.
Vieta teoreemi kasutades pole sugugi keeruline leida soovitud suuruste väärtusi pärast seda, kui oleme teatud toimingute tulemusena moodustanud ruutvõrrand. Siin selgub, et juurte hulgas on 2 ja -19. Kuid kontrollides, asendades saadud väärtused algsesse avaldisesse, saate veenduda, et ükski neist juurtest ei sobi. See on ebaratsionaalsete võrrandite puhul tavaline nähtus. See tähendab, et meie dilemmal pole jällegi lahendusi ja vastus peaks viitama tühjale hulgale.
Keerulisemad näited
Mõnel juhul on vaja avaldise mõlemad pooled ruudustada mitte üks kord, vaid mitu korda. Vaatame näiteid, kus seda nõutakse. Neid saab näha allpool.
Pärast juurte kättesaamist ärge unustage neid kontrollida, sest võib tekkida lisajuur. Tuleks selgitada, miks see võimalik on. Kasutamisel sarnane meetod Seal on omamoodi võrrandi ratsionaliseerimine. Kuid vabanedes juurtest, mis meile ei meeldi, mis ei lase meil aritmeetilisi tehteid teha, näib, et laiendame olemasolevat tähenduste ulatust, mis on (nagu võib aru saada) tagajärgedest. Seda ennetades viime läbi kontrolli. Sel juhul on võimalus veenduda, et ainult üks juurtest sobib: x = 0.
Süsteemid
Mida peaksime tegema juhtudel, kui meil on vaja lahendada irratsionaalsete võrrandite süsteeme ja meil pole mitte üks, vaid kaks tundmatut? Siin toimime samamoodi nagu tavajuhtudel, kuid võttes arvesse nende matemaatiliste avaldiste ülaltoodud omadusi. Ja loomulikult tuleks iga uue ülesande puhul kasutada loomingulist lähenemist. Kuid jällegi on parem kõike kaaluda allpool esitatud konkreetse näite abil. Siin ei pea te mitte ainult leidma muutujaid x ja y, vaid märkima vastuses ka nende summa. Seega on olemas süsteem, mis sisaldab irratsionaalseid koguseid (vt fotot allpool).
Nagu näete, ei kujuta selline ülesanne midagi üleloomulikult rasket. Peate lihtsalt olema tark ja aru saama, mida vasak pool Esimene võrrand on summa ruut. Sarnased ülesanded leiate ühtsest riigieksamist.
Irratsionaalne matemaatikas
Iga kord tekkis inimkonnas vajadus luua uut tüüpi numbreid, kui tal polnud mõne võrrandi lahendamiseks piisavalt ruumi. Irratsionaalsed arvud pole erand. Nagu näitavad ajaloost pärit faktid, pöörasid suured targad sellele esimest korda tähelepanu juba enne meie ajastut, 7. sajandil. Seda tegi Indiast pärit matemaatik, keda tuntakse Manava nime all. Ta mõistis selgelt, et mõnest naturaalarvust on võimatu juurt eraldada. Näiteks hõlmavad need 2; 17 või 61, nagu ka paljud teised.
Üks Pythagoreanist, mõtleja nimega Hippasus, jõudis samale järeldusele, püüdes teha arvutusi, kasutades pentagrammi külgede arvulisi väljendeid. Avastades matemaatilisi elemente, mida ei saa väljendada arvväärtustega ja millel pole tavaarvude omadusi, vihastas ta kolleege nii palju, et ta visati üle laeva merre. Fakt on see, et teised Pythagoraslased pidasid tema mõttekäiku mässuks universumi seaduste vastu.
Radikaali märk: evolutsioon
„Kurtide“ arvude arvväärtuse väljendamise juurmärki ei hakatud kohe kasutama irratsionaalsete võrratuste ja võrrandite lahendamisel. Euroopa, eriti itaalia matemaatikud hakkasid radikaalsetele esimest korda mõtlema 13. sajandi paiku. Samal ajal tekkis neil idee kasutada tähistamiseks ladina tähte R. Kuid saksa matemaatikud käitusid oma töödes erinevalt. Neile meeldis rohkem täht V. Saksamaal levis peagi tähis V(2), V(3), mis oli mõeldud väljendama ruutjuurt 2, 3 jne. Hiljem sekkusid hollandlased ja muutsid radikaali märki. Ja Rene Descartes viis evolutsiooni lõpule, viies ruutjuure märgi tänapäevase täiuslikkuseni.
Vabanemine ebaratsionaalsest
Irratsionaalsed võrrandid ja ebavõrdsused võivad sisaldada muutujat mitte ainult ruutjuure märgi all. See võib olla mis tahes määral. Kõige tavalisem viis sellest vabanemiseks on tõsta võrrandi mõlemad pooled sobiva astmeni. See on peamine toiming, mis aitab operatsioonidel irratsionaalsega. Paarisarvuliste juhtumite toimingud ei erine eriti nendest, mida oleme juba varem arutanud. Siin tuleb arvesse võtta radikaali avaldise mittenegatiivsuse tingimusi ja lahenduse lõpus on vaja välja filtreerida muutujate kõrvalised väärtused samamoodi, nagu oli näidatud juba vaadeldud näidetes. .
Täiendavate teisenduste hulgas, mis aitavad õiget vastust leida, kasutatakse sageli avaldise korrutamist selle konjugaadiga, samuti on sageli vaja sisestada uus muutuja, mis muudab lahendamise lihtsamaks. Mõnel juhul on tundmatute väärtuste leidmiseks soovitatav kasutada graafikuid.
Munitsipaalharidusasutus
"Kuedino 2. Keskkool"
Irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodid
Lõpetanud: Olga Egorova,
Juhendaja:
Õpetaja
matemaatika,
kõrgeim kvalifikatsioon
Sissejuhatus....……………………………………………………………………………………… 3
Jaotis 1. Irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodid…………………………………6
1.1 C osa irratsionaalvõrrandite lahendamine……….….….…………………21
2. jagu. Individuaalsed ülesanded…………………………………………….....………...24
Vastused………………………………………………………………………………………….25
Bibliograafia…….…………………………………………………………………….26
Sissejuhatus
aastal omandatud matemaatikaharidus Põhikool, on üldhariduse oluline komponent ja üldine kultuur kaasaegne inimene. Peaaegu kõik, mis tänapäeva inimest ümbritseb, on kõik kuidagi seotud matemaatikaga. Ja hiljutised edusammud füüsikas, inseneriteaduses ja infotehnoloogias ei jäta kahtlust, et asjade seis jääb ka tulevikus samaks. Seetõttu taandub paljude praktiliste probleemide lahendamine lahendamisele erinevat tüüpi võrrandid, mida peate õppima lahendama. Üks neist tüüpidest on irratsionaalvõrrandid.
Irratsionaalsed võrrandid
Võrrandit, mis sisaldab tundmatut (või tundmatu ratsionaalset algebralist avaldist) radikaalimärgi all, nimetatakse irratsionaalne võrrand. Elementaarmatemaatikas leitakse irratsionaalsete võrrandite lahendused reaalarvude hulgast.
Iga irratsionaalse võrrandi saab taandada ratsionaalseks algebraliseks võrrandiks, kasutades algebralisi elementaartehteid (korrutamine, jagamine, võrrandi mõlema poole tõstmine täisarvuni). Tuleb meeles pidada, et saadud ratsionaalne algebraline võrrand võib osutuda mitteekvivalentseks algse irratsionaalse võrrandiga, nimelt võib see sisaldada "lisa" juuri, mis ei ole algse irratsionaalse võrrandi juured. Seetõttu tuleb pärast saadud ratsionaalse algebralise võrrandi juurte leidmist kontrollida, kas kõik ratsionaalse võrrandi juured on irratsionaalvõrrandi juured.
Üldjuhul on raske näidata ühtki universaalset meetodit mis tahes irratsionaalse võrrandi lahendamiseks, kuna on soovitav, et algse irratsionaalvõrrandi teisenduste tulemusena ei oleks tulemuseks lihtsalt mingi ratsionaalne algebraline võrrand mis on antud irratsionaalvõrrandi juured, vaid ratsionaalne algebraline võrrand, mis on moodustatud väikseima võimaliku astme polünoomidest. Soov saada võimalikult väikese astmega polünoomidest moodustatud ratsionaalne algebraline võrrand on üsna loomulik, kuna ratsionaalse algebralise võrrandi kõigi juurte leidmine iseenesest võib osutuda üsna keeruliseks ülesandeks, mille saame täielikult lahendada ainult väga piiratud arvul juhtudel.
Irratsionaalvõrrandite tüübid
Paarisastmega irratsionaalsete võrrandite lahendamine tekitab alati rohkem probleeme kui paaritu astmega irratsionaalsete võrrandite lahendamine. Paaritu astmega irratsionaalsete võrrandite lahendamisel OD ei muutu. Seetõttu käsitleme allpool irratsionaalseid võrrandeid, mille aste on paaris. Irratsionaalseid võrrandeid on kahte tüüpi:
2..
Vaatleme neist esimest.
ODZ võrrandid: f(x)≥ 0. ODZ-s on võrrandi vasak pool alati mittenegatiivne – seega saab lahendus eksisteerida ainult siis, kui g(x)≥ 0. Sel juhul on võrrandi mõlemad pooled mittenegatiivsed ja astendamine 2 n annab samaväärse võrrandi. Me saame sellest aru
Pöörame tähelepanu asjaolule, et antud juhul ODZ tehakse automaatselt ja te ei pea seda kirjutama, vaid tingimuseg(x) ≥ 0 tuleb kontrollida.
Märge:
See on väga oluline tingimus samaväärsust. Esiteks vabastab see õpilase uurimisvajadusest ning pärast lahenduste leidmist kontrollige tingimust f(x) ≥ 0 – radikaalavaldise mittenegatiivsust. Teiseks keskendub see seisukorra kontrollimiseleg(x) ≥ 0 – parema poole mittenegatiivsus. Peale ruudustamist on võrrand ju lahendatud st lahendatakse kaks võrrandit korraga (kuid arvtelje erinevatel intervallidel):
1. - kus g(x)≥ 0 ja
2. - kus g(x) ≤ 0.
Samal ajal käituvad paljud ODZ-i leidmise kooliharjumusest selliste võrrandite lahendamisel täpselt vastupidiselt:
a) pärast lahenduste leidmist kontrollivad nad tingimust f(x) ≥ 0 (mis on automaatselt täidetud), tehes samas aritmeetilisi vigu ja saades vale tulemuse;
b) ignoreerida tingimustg(x) ≥ 0 - ja jällegi võib vastus valeks osutuda.
Märge: Samaväärsuse tingimus on eriti kasulik trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel, kus ODZ leidmine hõlmab trigonomeetriliste võrratuste lahendamist, mis on palju keerulisem kui trigonomeetriliste võrrandite lahendamine. Paaristingimuste kontrollimine trigonomeetrilistes võrrandites g(x)≥ 0 ei ole alati lihtne teha.
Vaatleme teist tüüpi irratsionaalseid võrrandeid.
.
Olgu võrrand antud
. Tema ODZ:
ODZ-s on mõlemad küljed mittenegatiivsed ja ruudustamisel saadakse samaväärne võrrand f(x) =g(x). Seetõttu ODZ-is või
Selle lahendusmeetodi puhul piisab, kui kontrollida ühe funktsiooni mittenegatiivsust - saate valida lihtsama.
Jaotis 1. Irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodid
1 meetod. Radikaalidest vabanemine, tõstes võrrandi mõlemad pooled järjestikku vastava loomuliku võimsuseni
Kõige sagedamini kasutatav meetod irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks on radikaalide kõrvaldamise meetod, tõstes võrrandi mõlemad pooled järjestikku sobiva loomuliku võimsuseni. Tuleb meeles pidada, et kui võrrandi mõlemad pooled tõstetakse paaritu astmeni, on saadud võrrand samaväärne algse astmega ja kui võrrandi mõlemad pooled tõstetakse paaris astmeni, on saadud võrrand üldiselt rääkides ei ole algse võrrandiga samaväärne. Seda saab hõlpsasti kontrollida, tõstes võrrandi mõlemad pooled mis tahes ühtlase astmeni. Selle toimingu tulemuseks on võrrand , mille lahenduste hulk on lahendushulkade liit: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Vaatamata sellele puudusele on võrrandi mõlema poole tõstmine mõne (sageli isegi) astmeni kõige levinum protseduur irratsionaalse võrrandi taandamiseks ratsionaalseks võrrandiks.
Lahenda võrrand:
Kus - mõned polünoomid. Kuna reaalarvude komplektis on juure ekstraheerimise toimingu määratlus, on tundmatu lubatud väärtused https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 height =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.
Kuna võrrandi 1 mõlemad pooled olid ruudus, võib selguda, et kõik võrrandi 2 juured ei ole algse võrrandi lahendid, juurte kontrollimine on vajalik.
Lahenda võrrand:
https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">
Kuubikud võrrandi mõlemad pooled, saame
Arvestades, et https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(viimasel võrrandil võivad olla juured, mis üldiselt ei ole võrrand ).
Kuubime selle võrrandi mõlemad pooled: . Kirjutame võrrandi ümber kujul x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Kontrollides teeme kindlaks, et x1 = 0 on võrrandi (-2 ≠ 1) kõrvaljuur ja x2 = 1 rahuldab originaali. võrrand.
Vastus: x = 1.
2. meetod. Kõrvaloleva tingimuste süsteemi asendamine
Ühtlase järjestusega radikaale sisaldavate irratsionaalsete võrrandite lahendamisel võivad vastustesse ilmuda kõrvalised juured, mida pole alati lihtne tuvastada. Kõrvaliste juurte tuvastamise ja kõrvaldamise hõlbustamiseks asendatakse see irratsionaalsete võrrandite lahendamisel kohe külgneva tingimuste süsteemiga. Täiendavad ebavõrdsused süsteemis võtavad tegelikult arvesse lahendatava võrrandi ODZ-d. ODZ leiate eraldi ja saate seda hiljem arvesse võtta, kuid eelistatav on kasutada segatingimuste süsteeme: võrrandi lahendamisel on väiksem oht midagi unustada või mitte arvestada. Seetõttu on mõnel juhul ratsionaalsem kasutada segasüsteemidele ülemineku meetodit.
Lahenda võrrand:
Vastus: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">
See võrrand on samaväärne süsteemiga
Vastus: võrrandil pole lahendeid.
3. meetod. N-nda juure omaduste kasutamine
Irratsionaalvõrrandite lahendamisel kasutatakse n-nda juure omadusi. Aritmeetiline juur n- th kraadi hulgast A helistada mittenegatiivsele numbrile n- i, kelle võimsus on võrdne A. Kui n – isegi( 2n), siis a ≥ 0, vastasel juhul juur puudub. Kui n – kummaline( 2 n+1), siis a on suvaline ja = - ..gif" width="45" height="19"> Seejärel:
2.
3.
4.
5.
Kõigi nende valemite rakendamisel tuleb formaalselt (määratletud piiranguid arvesse võtmata) meeles pidada, et vasakpoolsete ja õiged osad igaüks neist võib olla erinev. Näiteks on avaldis defineeritud f ≥ 0 Ja g ≥ 0, ja väljend on justkui f ≥ 0 Ja g ≥ 0, ja koos f ≤ 0 Ja g ≤ 0.
Iga valemi 1–5 puhul (määratletud piiranguid arvesse võtmata) võib selle parema külje ODZ olla laiem kui vasaku ODZ. Sellest järeldub, et võrrandi teisendused valemite 1–5 formaalse kasutamisega "vasakult paremale" (nagu need on kirjutatud) viivad võrrandini, mis on algse võrrandi tagajärg. Sel juhul võivad ilmneda algse võrrandi kõrvalised juured, seega on kontrollimine algse võrrandi lahendamisel kohustuslik samm.
Võrrandite teisendamine valemite 1-5 formaalse kasutamisega "paremalt vasakule" on vastuvõetamatu, kuna on võimalik hinnata algse võrrandi OD ja sellest tulenevalt juurte kadumist.
https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,
mis on algse tagajärg. Selle võrrandi lahendamine taandub võrrandite komplekti lahendamiseks .
Selle hulga esimesest võrrandist leiame https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> kust me leiame. Seega juured see võrrand võib olla ainult numbrid (-1) ja (-2).Kontroll näitab, et mõlemad leitud juured vastavad sellele võrrandile.
Vastus: -1,-2.
Lahenda võrrand:.
Lahendus: identiteetide põhjal asendage esimene termin sõnaga . Pange tähele, et kahe mittenegatiivse arvu summana vasakul küljel. "Eemaldage" moodul ja pärast sarnaste terminite toomist lahendage võrrand. Kuna , saame võrrandi . Alates , seejärel https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">
Vastus: x = 4,25.
4. meetod Uute muutujate kasutuselevõtt
Teine näide irratsionaalvõrrandi lahendamisest on uute muutujate sisseviimise meetod, mille suhtes saadakse kas lihtsam irratsionaalvõrrand või ratsionaalvõrrand.
Irratsionaalsete võrrandite lahendamine, asendades võrrandi selle tagajärjega (millele järgneb juurte kontrollimine), saab teha järgmiselt:
1. Leidke algse võrrandi ODZ.
2. Liigu võrrandilt selle tagajärje juurde.
3. Leia saadud võrrandi juured.
4. Kontrollige, kas leitud juured on algvõrrandi juured.
Kontroll on järgmine:
A) kontrollitakse iga leitud juure kuulumist algvõrrandisse. Need juured, mis ei kuulu ODZ-i, on algse võrrandi kõrval.
B) iga algvõrrandi ODZ-s sisalduva juure puhul kontrollitakse, kas iga algvõrrandi lahendamise käigus tekkinud ja paarisastmeni tõstetud võrrandi vasakul ja paremal küljel on samad märgid. Need juured, mille jaoks on mis tahes võrrandi paarisastmeks tõstetud osad olemas erinevad märgid, on algse võrrandi kõrval.
C) otsese asendamise teel kontrollitakse ainult neid juuri, mis kuuluvad algvõrrandi ODZ-sse ja mille puhul iga algvõrrandi lahendamise käigus tekkinud ja paarisastmeni tõstetud võrrandi mõlemal poolel on samad märgid. algne võrrand.
See määratud kontrollimeetodiga lahendusmeetod võimaldab vältida tülikaid arvutusi juhul, kui viimase võrrandi iga leitud juur asendatakse otse algse juurtega.
Lahendage irratsionaalne võrrand:
.
Selle võrrandi kehtivate väärtuste komplekt on:
Pannes , pärast asendamist saame võrrandi
või samaväärne võrrand
mida võib vaadelda ruutvõrrandina suhtes. Selle võrrandi lahendamisel saame
.
Seetõttu on algse irratsionaalvõrrandi lahendushulk kahe järgmise võrrandi lahendushulkade liit:
, .
Tõstades mõlema võrrandi mõlemad pooled kuubiks, saame kaks ratsionaalset algebralist võrrandit:
, .
Neid võrrandeid lahendades leiame, et sellel irratsionaalsel võrrandil on üks juur x = 2 (kontrollida pole vaja, kuna kõik teisendused on samaväärsed).
Vastus: x = 2.
Lahendage irratsionaalne võrrand:
Tähistame 2x2 + 5x – 2 = t. Seejärel saab algne võrrand kuju . Saadud võrrandi mõlemad pooled ruudustades ja sarnased liikmed tuues saame võrrandi, mis on eelmise tagajärg. Sellest leiame t = 16.
Tulles tagasi tundmatu x juurde, saame võrrandi 2x2 + 5x – 2 = 16, mis on algse tagajärg. Kontrollides oleme veendunud, et selle juured x1 = 2 ja x2 = - 9/2 on algvõrrandi juured.
Vastus: x1 = 2, x2 = -9/2.
5 meetod. Võrrandi identne teisendus
Irratsionaalsete võrrandite lahendamisel ei tohiks alustada võrrandi lahendamist võrrandite mõlema poole tõstmisega loomuliku astmeni, püüdes taandada irratsionaalvõrrandi lahendit ratsionaalse algebralise võrrandi lahendiks. Kõigepealt peame nägema, kas võrrandist on võimalik teha mõni identne teisendus, mis võib selle lahendamist oluliselt lihtsustada.
Lahenda võrrand:
Selle võrrandi vastuvõetavate väärtuste komplekt: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Jagame selle võrrandi .
.
Saame:
Kui a = 0, ei ole võrrandil lahendeid; kui võrrandit saab kirjutada kujul
sest sellel võrrandil pole lahendeid, kuna ühegi jaoks X, mis kuulub võrrandi lubatud väärtuste hulka, on võrrandi vasakul küljel olev avaldis positiivne;
kui võrrandil on lahendus
Võttes arvesse, et võrrandi lubatavate lahendite hulk määratakse tingimusega , saame lõpuks:
Selle irratsionaalse võrrandi lahendamisel on https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> võrrandi lahenduseks. Kõigi muude väärtuste puhul X võrrandil pole lahendeid.
NÄIDE 10:
Lahendage irratsionaalne võrrand: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">
Süsteemi ruutvõrrandi lahendamine annab kaks juurt: x1 = 1 ja x2 = 4. Saadud juurtest esimene ei rahulda süsteemi ebavõrdsust, seega x = 4.
Märkmed
1) Identsete teisenduste läbiviimine võimaldab teil teha ilma kontrollimiseta.
2) Ebavõrdsus x – 3 ≥0 viitab identiteedi teisendustele, mitte võrrandi definitsioonipiirkonnale.
3) Võrrandi vasakul küljel on kahanev funktsioon ja selle võrrandi paremal küljel on kasvav funktsioon. Vähenevate ja suurenevate funktsioonide graafikutel nende definitsioonivaldkondade ristumiskohas võib olla ainult üks ühine punkt. Ilmselgelt on meie puhul x = 4 graafikute lõikepunkti abstsiss.
Vastus: x = 4.
6 meetod. Funktsioonide valdkonna kasutamine võrrandite lahendamiseks
See meetod on kõige tõhusam võrrandite lahendamisel, mis sisaldavad funktsioone https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> ja selle ala määratlusi (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, siis peate kontrollima, kas võrrand on intervalli lõpus õige ja kas< 0, а b >0, siis on vajalik kontroll intervallidega (a;0) Ja . E(y) väikseim täisarv on 3.
Vastus: x = 3.
8 meetod. Tuletise rakendamine irratsionaalvõrrandite lahendamisel
Kõige tavalisem meetod võrrandite lahendamiseks tuletismeetodi abil on hinnangumeetod.
NÄIDE 15:
Lahendage võrrand: (1)
Lahendus: alates https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> või (2). Mõelge funktsioonile ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> üldse ja seetõttu suureneb. Seetõttu võrrand
on samaväärne võrrandiga, mille juur on algse võrrandi juur.
Vastus:
NÄIDE 16:
Lahendage irratsionaalne võrrand:
Funktsiooni domeeniks on segment. Leiame suurima ja väikseim väärtus selle funktsiooni väärtused intervallil. Selleks leiame funktsiooni tuletise f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Leiame funktsiooni väärtused f(x) segmendi otstes ja punktis: Nii, Aga ja seega võrdsus on võimalik ainult siis, kui https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" >. Kontrollimine näitab, et arv 3 on selle võrrandi juur.
Vastus: x = 3.
9 meetod. Funktsionaalne
Eksamitel palutakse teil mõnikord lahendada võrrandeid, mille saab kirjutada kujul , kus on funktsioon.
Näiteks mõned võrrandid: 1) 2)
. Tõepoolest, esimesel juhul
, teisel juhul
. Seetõttu lahendage irratsionaalvõrrandid järgmise väitega: kui funktsioon on hulgal rangelt kasvav X ja mis tahes , siis võrrandid jne on hulgal samaväärsed X .
Lahendage irratsionaalne võrrand: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> suureneb komplektis rangelt R, ja https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > millel on üks juur.Seetõttu on ka sellega ekvivalentsel võrrandil (1) üks juur
Vastus: x = 3.
NÄIDE 18:
Lahendage irratsionaalne võrrand: (1)
Ruutjuure definitsiooni põhjal saame, et kui võrrandil (1) on juured, siis kuuluvad need hulka https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" height="47" >.(2)
Võtke arvesse, et funktsioon https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> suureneb selles komplektis rangelt mis tahes ..gif" width="100" korral kõrgus ="41">, millel on üks juur Seetõttu ja selle ekvivalent komplektis X võrrandil (1) on üks juur
Vastus: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">
Lahendus: see võrrand on samaväärne segasüsteemiga
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmeanalüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene kasutas võrrandeid iidsetel aegadel ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Üsna sageli esineb võrrandites juurmärk ja paljud inimesed arvavad ekslikult, et selliseid võrrandeid on raske lahendada. Matemaatikas on selliste võrrandite jaoks spetsiaalne termin, mida kasutatakse juurega võrrandite nimetamiseks - irratsionaalsed võrrandid.
Peamine erinevus teiste võrrandite, näiteks ruut-, logaritmi- ja lineaarvõrrandite juurtega võrrandite lahendamisel seisneb selles, et neil pole standardset lahendusalgoritmi. Seetõttu on irratsionaalse võrrandi lahendamiseks vaja analüüsida lähteandmeid ja valida rohkem sobiv variant lahendusi.
Enamikul juhtudel kasutavad nad seda tüüpi võrrandite lahendamiseks meetodit võrrandi mõlema poole tõstmiseks samale astmele
Oletame, et on antud järgmine võrrand:
\[\sqrt((5x-16))=x-2\]
Teeme võrrandi mõlemad pooled ruudus:
\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], millest saame pidevalt:
Olles saanud ruutvõrrandi, leiame selle juured:
Vastus: \
Kui asendame need väärtused võrrandis, saame õige võrdsuse, mis näitab saadud andmete õigsust.
Kust saab võrgulahendaja abil lahendada juurtega võrrandi?
Võrrandi saate lahendada meie veebisaidil https://site. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil mõne sekundiga lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandid. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Meie veebisaidil saate vaadata ka videojuhiseid ja õppida võrrandit lahendama. Ja kui teil on veel küsimusi, võite neid esitada meie VKontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.