Kuidas võrrelda kahte erineva alusega logaritmi. Numbrite võrdlus
Jaotises küsimuses, kuidas võrrelda logaritme millal....(+)? antud autori poolt Sõelu parim vastus on Või ei saa te seda ühele alusele taandada, vaid kasutage omadusi logaritmiline funktsioon.
Kui logaritmilise funktsiooni alus on suurem kui 1, siis funktsioon suureneb ja x > 1 korral, mida väiksem on alus, seda kõrgemal graafik asub,
0 eest< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Kui logaritmi alus on suurem kui null ja väiksem kui 1, siis funktsioon väheneb,
Pealegi, kui x > 1, mida väiksem on alus, seda kõrgem on graafik,
0 eest< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
See selgub järgmiselt:
Vastus alates kõhn[guru]
Vähendage logaritmid samale alusele (näiteks naturaalarvuni) ja seejärel võrrelge.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b = Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b = -Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b = -Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b = Ln(16)/Ln(3); b>a.
Vastus alates Neuropatoloog[guru]
Kasutage uude baasi liikumiseks valemit: log(a)b=1/log(b)a.
Seejärel võrrelge sama alusega murdude, näiteks logaritmide nimetajaid.
Kahest samade lugejatega murdest on väiksema nimetajaga murd suurem.
Näiteks log(7)16 ja log(3)16
1/log(16)7 ja 1/log(16)3
Kuna log(16)7>log(16)3, siis 1/log(16)7< 1/log(16)3.
Alustame sellest ühe logaritmi omadused. Selle sõnastus on järgmine: ühtsuse logaritm on võrdne nulliga, see tähendab, logi a 1=0 iga a>0 korral a≠1. Tõestus pole keeruline: kuna a 0 =1 mis tahes a korral, mis vastab ülaltoodud tingimustele a>0 ja a≠1, siis logaritmi definitsioonist tuleneb ka tõestatav võrdus log a 1=0.
Toome näiteid vaadeldava omaduse rakendamisest: log 3 1=0, log1=0 ja .
Liigume edasi järgmise kinnisvara juurde: baasiga võrdse arvu logaritm võrdne ühega , see on, logi a a=1 kui a>0, a≠1. Tõepoolest, kuna a 1 =a iga a korral, siis logaritmi definitsiooni järgi log a a = 1.
Logaritmide selle omaduse kasutamise näideteks on võrrandid log 5 5=1, log 5.6 5.6 ja lne=1.
Näiteks log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ja .
Kahe positiivse arvu korrutise logaritm x ja y on võrdne nende arvude logaritmide korrutisega: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Tõestame korrutise logaritmi omadust. Kraadi omaduste tõttu a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, ja kuna põhilogaritmilise identiteedi järgi log a x =x ja log a y =y, siis log a x ·a log a y =x·y. Seega log a x+log a y =x·y, millest logaritmi definitsiooni järgi tuleneb tõestatav võrdsus.
Toome näiteid korrutise logaritmi omaduse kasutamisest: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ja .
Korrutise logaritmi omadust saab üldistada positiivsete arvude x 1 , x 2 , …, x n lõpliku arvu n korrutisega kui log a (x 1 × 2 ·… × n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Seda võrdsust saab probleemideta tõestada.
Näiteks saab korrutise naturaallogaritmi asendada summaga kolm naturaallogaritmid numbrid 4 , e ja .
Kahe positiivse arvu jagatise logaritm x ja y on võrdne nende arvude logaritmide vahega. Jagatise logaritmi omadus vastab valemile kujul , kus a>0, a≠1, x ja y on mõned positiivsed numbrid. Selle valemi kehtivus on tõestatud nagu ka korrutise logaritmi valem: kuna , siis logaritmi definitsiooni järgi.
Siin on näide selle logaritmi omaduse kasutamisest: .
Liigume edasi astme logaritmi omadus. Astme logaritm võrdub astendaja ja selle astme aluse mooduli logaritmi korrutisega. Kirjutame selle astme logaritmi omaduse valemina: log a b p =p·log a |b|, kus a>0, a≠1, b ja p on sellised arvud, et aste b p on mõistlik ja b p >0.
Esmalt tõestame selle omaduse positiivse b jaoks. Põhiline logaritmiline identsus võimaldab esitada arvu b kui log a b, siis b p =(a log a b) p ja saadud avaldis on võimsuse omaduse tõttu võrdne p·log a b . Seega jõuame võrrandini b p =a p·log a b, millest logaritmi definitsiooni järgi järeldame, et log a b p =p·log a b.
Jääb üle tõestada see omadus negatiivne b. Siinkohal märgime, et negatiivse b avaldis log a b p on mõttekas ainult paarisaste p (kuna astme b p väärtus peab olema suurem kui null, muidu pole logaritmil mõtet) ja sel juhul b p =|b| lk. Siis b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, kust log a b p =p·log a |b| .
Näiteks, ja ln(-3)4 =4·ln|-3|=4·ln3.
See tuleneb eelmisest kinnistust logaritmi omadus juurest: n-nda juure logaritm võrdub murdosa 1/n korrutisega radikaalavaldise logaritmiga, see tähendab, , kus a>0, a≠1, n on ühest suurem naturaalarv, b>0.
Tõestus põhineb võrdusel (vt), mis kehtib iga positiivse b kohta, ja astme logaritmi omadusel: .
Siin on näide selle atribuudi kasutamisest: .
Nüüd tõestame valem uuele logaritmialusele liikumiseks lahke . Selleks piisab võrdsuse log c b=log a b·log c a kehtivuse tõestamisest. Põhilogaritmiline identiteet võimaldab meil esitada arvu b kui log a b, siis log c b=log c a log a b . Jääb üle kasutada astme logaritmi omadust: log c a log a b =log a b log c a. See tõestab võrdsust log c b=log a b·log c a, mis tähendab, et on tõestatud ka logaritmi uuele alusele ülemineku valem.
Toome paar näidet selle logaritmide omaduse kasutamisest: ja .
Uuele baasile liikumise valem võimaldab teil liikuda edasi logaritmidega, millel on "mugav" alus. Näiteks saab seda kasutada naturaal- või kümnendlogaritmidele liikumiseks, et saaksite logaritmi tabelist logaritmi väärtuse arvutada. Uuele logaritmialusele liikumise valem võimaldab mõnel juhul leida ka antud logaritmi väärtuse, kui on teada mõne logaritmi väärtused teiste alustega.
Kasutatakse sageli erijuhtum valemid üleminekuks uuele logaritmi alusele, mille vormi c=b . See näitab, et log a b ja log b a – . Nt, .
Sageli kasutatakse ka valemit , mis on mugav logaritmi väärtuste leidmiseks. Oma sõnade kinnitamiseks näitame, kuidas seda saab kasutada vormi logaritmi väärtuse arvutamiseks. Meil on . Valemi tõestamiseks piisab, kui kasutada logaritmi a uuele alusele ülemineku valemit: .
Jääb üle tõestada logaritmide võrdlemise omadused.
Tõestame, et iga positiivse arvu b 1 ja b 2 korral on b 1 log a b 2 ja a>1 korral – ebavõrdsus log a b 1 Lõpuks jääb üle tõestada logaritmide loetletud omadustest viimane. Piirdugem selle esimese osa tõestusega, st tõestame, et kui a 1 >1, a 2 >1 ja a 1 1 on tõene log a 1 b>log a 2 b . Ülejäänud väited selle logaritmide omaduse kohta tõestatakse sarnase põhimõtte kohaselt. Kasutame vastupidist meetodit. Oletame, et 1 > 1, 2 > 1 ja 1 puhul 1 on tõene log a 1 b≤log a 2 b . Logaritmide omaduste põhjal saab need võrratused ümber kirjutada kujul Ja vastavalt ja neist järeldub, et vastavalt log b a 1 ≤log b a 2 ja log b a 1 ≥log b a 2. Seejärel peavad samade alustega astmete omaduste järgi kehtima võrrandid b log b a 1 ≥b log b a 2 ja b log b a 1 ≥b log b a 2 ehk a 1 ≥a 2 . Nii jõudsime tingimusega a 1 vastuoluni
Bibliograafia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).
Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com
Slaidi pealdised:
Logaritmi monotoonsuse omadused. Logaritmide võrdlus. Algebra 11. klass. Lõpetanud matemaatikaõpetaja: Lilija Anasovna Kinzyabulatova, Nojabrsk, 2014.
y= log a x , kus a>0; a≠1. a) Kui a> 1, siis y= log a x – kasvav b) Kui 0 Logaritmide võrdlemise meetodid. ① Monotoonsuse omadus Võrdle log a b log a c alused on a Kui a> 1, siis y= log a t kasvab, siis alates b> c = > log a b > log a c ; Kui 0 c => log a b log 1/3 8; Logaritmide võrdlemise meetodid. ② Graafiline meetod Võrrelge log a b logi b erineva alusega, arvud, mis on võrdsed b 1) Kui a> 1; с > 1, siis y=log a t, y=log с t – vanus. a) Kui a> c, b>1, siis logi a b log c b Logaritmide võrdlemise meetodid. ② Graafiline meetod Võrdle log a b log ja b alused on erinevad, arvud on võrdsed b-ga 2) Kui 0 c, b>1, siis log a b > log c b b) Kui a Logaritmide võrdlemise meetodid. ② Graafiline meetod Võrdle log a b log ja b alused on erinevad, arvud on võrdsed b Näited log 2 3 > log 4 3 2 1 Log 3 1/4 0,25; 3>1 log 0,3 0,6 Logaritmide võrdlemise meetodid. ③ Erineva monotoonsusega funktsioonid a>1 y=log a x – suureneb 0 1, siis log a c > log b d b) Kui 0 1) Logi 0,5 1/3 > log 5 1/2 Logaritmide võrdlemise meetodid. ⑤ Hindamismeetod log 3 5 log 4 17 1 > > > > Logaritmide võrdlemise meetodid. ⑦ Võrdlus segmendi keskosaga log 2 3 log 5 8 1 3/2 log 5 8 2* 3/2 2*log 5 8 2 log 5 64 log 2 8 log 5 64
peamised omadused.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
identsed põhjused
Log6 4 + log6 9.
Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks.
Logaritmide lahendamise näited
Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:
Loomulikult on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x >
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Üleminek uuele vundamendile
Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Vaata ka:
Logaritmi põhiomadused
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on võrdne 2,7 ja kaks korda Leo Nikolajevitš Tolstoi sünniaastaga.
Logaritmide põhiomadused
Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.
Logaritmide näited
Logaritmi avaldised
Näide 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Atribuutide 3.5 abil arvutame
2.
3.
4. Kus .
Näide 2. Leia x, kui
Näide 3. Olgu antud logaritmide väärtus
Arvuta log(x), kui
Logaritmide põhiomadused
Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.
Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmiülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.
Logaritmide liitmine ja lahutamine
Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Märge: võtmehetk Siin - identsed põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!
Need valemid aitavad teil arvutada logaritmiline avaldis isegi siis, kui selle üksikuid osi ei loeta (vt õppetundi “Mis on logaritm”). Vaadake näiteid ja vaadake:
Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.
Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.
Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud on sellele faktile üles ehitatud proovipaberid. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt muudatusteta).
Eksponenti väljavõtmine logaritmist
On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.
Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi , st. Saate sisestada enne logaritmi märki olevad arvud logaritmi endasse. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.
Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:
Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni väga viimane hetk töötame ainult nimetajaga.
Logaritmi valemid. Logaritmide näited lahendused.
Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.
Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log2 7. Kuna log2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2.
Üleminek uuele vundamendile
Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui põhjused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?
Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:
Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:
Täpsemalt, kui seame c = x, saame:
Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.
Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.
Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.
Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:
Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.
Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:
Nüüd vabaneme kümnendlogaritm, kolimine uude baasi:
Põhiline logaritmiline identiteet
Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:
Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.
Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii: .
Tegelikult, mis juhtub, kui arv b tõstetakse sellise astmeni, et sellele astmele vastav arv b annab arvu a? Täpselt nii: tulemuseks on sama arv a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi – paljud inimesed jäävad selle peale kinni.
Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:
Kui keegi ei tea, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne :)
Logaritmiline ühik ja logaritmiline null
Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida vaevalt omadusteks nimetada saab – pigem on need logaritmi definitsiooni tagajärjed. Need esinevad pidevalt probleemides ja tekitavad üllataval kombel probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.
- logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: selle aluse mis tahes aluse a logaritm on võrdne ühega.
- loga 1 = 0 on. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.
See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.
Vaata ka:
B-st lähtuv logaritm a-aluseks tähistab avaldist. Logaritmi arvutamine tähendab astme x () leidmist, mille juures võrdsus on täidetud
Logaritmi põhiomadused
Ülaltoodud omadusi on vaja teada, kuna peaaegu kõik logaritmidega seotud ülesanded ja näited lahendatakse nende põhjal. Ülejäänud eksootilised omadused saab tuletada nende valemitega matemaatiliste manipulatsioonide abil
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Logaritmide summa ja erinevuse valemit (3.4) arvutades kohtate üsna sageli. Ülejäänud on mõnevõrra keerulised, kuid paljude ülesannete puhul on need asendamatud keerukate avaldiste lihtsustamiseks ja nende väärtuste arvutamiseks.
Levinud logaritmide juhtumid
Mõned levinumad logaritmid on need, mille alus on isegi kümme, eksponentsiaalne või kaks.
Logaritmi kümne baasini nimetatakse tavaliselt kümnendlogaritmiks ja seda tähistatakse lihtsalt lg(x)-ga.
Salvestusest selgub, et põhitõed pole salvestusel kirjas. Näiteks
Naturaalne logaritm on logaritm, mille aluseks on astendaja (tähistatakse ln(x)-ga).
Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on võrdne 2,7 ja kaks korda Leo Nikolajevitš Tolstoi sünniaastaga. Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.
Ja veel üks oluline logaritm kahe aluse jaoks on tähistatud
Funktsiooni logaritmi tuletis võrdub ühega, mis on jagatud muutujaga
Integraal- ehk antiderivatiivne logaritm määratakse seosega
Antud materjalist piisab paljude logaritmide ja logaritmidega seotud ülesannete lahendamiseks. Materjali mõistmiseks toon vaid mõned levinud näited kooli õppekava ja ülikoolid.
Logaritmide näited
Logaritmi avaldised
Näide 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
Atribuutide 3.5 abil arvutame
2.
Logaritmide erinevuse omaduse järgi saame
3.
Kasutades omadusi 3.5 leiame
4. Kus .
Näiliselt keerukat väljendit on lihtsustatud mitme reegli abil
Logaritmi väärtuste leidmine
Näide 2. Leia x, kui
Lahendus. Arvutamiseks rakendame viimase liikme 5 ja 13 omadusi
Paneme selle protokolli ja leinama
Kuna alused on võrdsed, võrdsustame avaldised
Logaritmid. Esimene tase.
Olgu logaritmide väärtus antud
Arvuta log(x), kui
Lahendus: võtame muutuja logaritmi, et kirjutada logaritm läbi selle liikmete summa
See on alles meie tutvumise algus logaritmide ja nende omadustega. Harjutage arvutusi, rikastage oma praktilisi oskusi – peagi vajate saadud teadmisi logaritmiliste võrrandite lahendamiseks. Olles tutvunud selliste võrrandite lahendamise põhimeetoditega, laiendame teie teadmisi teisele sama olulisele teemale - logaritmilised võrratused...
Logaritmide põhiomadused
Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.
Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmiülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.
Logaritmide liitmine ja lahutamine
Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y).
Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Pange tähele: võtmepunkt on siin identsed põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!
Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log6 4 + log6 9.
Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.
Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.
Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt muudatusteta).
Eksponenti väljavõtmine logaritmist
Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:
On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.
Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi , st. Saate sisestada enne logaritmi märki olevad arvud logaritmi endasse.
Kuidas lahendada logaritme
See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.
Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:
Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.
Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log2 7. Kuna log2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2.
Üleminek uuele vundamendile
Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui põhjused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?
Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:
Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:
Täpsemalt, kui seame c = x, saame:
Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.
Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.
Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.
Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:
Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.
Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:
Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:
Põhiline logaritmiline identiteet
Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:
Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.
Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii: .
Tegelikult, mis juhtub, kui arv b tõstetakse sellise astmeni, et sellele astmele vastav arv b annab arvu a? Täpselt nii: tulemuseks on sama arv a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi – paljud inimesed jäävad selle peale kinni.
Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:
Kui keegi ei tea, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne :)
Logaritmiline ühik ja logaritmiline null
Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida vaevalt omadusteks nimetada saab – pigem on need logaritmi definitsiooni tagajärjed. Need esinevad pidevalt probleemides ja tekitavad üllataval kombel probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.
- logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: selle aluse mis tahes aluse a logaritm on võrdne ühega.
- loga 1 = 0 on. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.
See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.