Logaritm. Kahendlogaritmi, naturaallogaritmi, kümnendlogaritmi definitsioon; eksponentsiaalfunktsioon exp(x), arv e
EKSPONENTAARSED JA LOGARITMILISED FUNKTSIOONID VIII
§ 184. Astme ja juure logaritm
1. teoreem. Kraadi logaritm positiivne arv on võrdne selle astme eksponendi ja selle baasi logaritmi korrutisega.
Teisisõnu, kui A Ja X positiivne ja A =/= 1, siis mis tahes reaalarvu jaoks k
logi a x k = k logi a x . (1)
Selle valemi tõestamiseks piisab selle näitamisest
= a k logi a x . (2)
= x k
a k logi a x = (a logi a x ) k = x k .
See tähendab valemi (2) ja seega ka (1) kehtivust.
Pange tähele, et kui number k on loomulik ( k = n ), siis valem (1) on valemi erijuht
logi a (x 1 x 2 x 3 ... x n ) = log a x 1 + palk a x 2 + palk a x 3 + ... log a x n .
tõestatud eelmises lõigus. Tõepoolest, eeldades selles valemis
x 1 = x 2 = ... = x n = x ,
saame:
logi a x n = n logi a x .
1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;
2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.
Negatiivsete väärtuste jaoks X valem (1) kaotab oma tähenduse. Näiteks ei saa te kirjutada logi 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4), kuna avaldis logi 2 (-4) on määratlemata. Pange tähele, et selle valemi vasakul küljel oleval avaldisel on järgmine tähendus:
log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.
Üldiselt, kui number X on negatiivne, siis avaldis log a x 2k = 2k logi a x määratletud, sest x 2k > 0. Avaldis on 2 k logi a x sel juhul pole mõtet. Seetõttu kirjutage
Logi sisse a x 2k = 2k logi a x
see on keelatud. Kirjutada võib siiski
logi a x 2k = 2k logi a | x | (3)
See valem on kergesti saadud punktist (1), võttes seda arvesse
x 2k = | x | 2k
Näiteks,
log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.
2. teoreem. Positiivse arvu juure logaritm võrdub radikaalavaldise logaritmiga, mis on jagatud juure eksponendiga.
Teisisõnu, kui numbrid A Ja X on positiivsed A =/= 1 ja P - naturaalarv, See
logi a n √x = 1 / n logi a x
Tõesti, n √x = . Seega teoreemi 1 järgi
logi a n √x = log a = 1 / n logi a x .
1) log 3 √8 = 1 / 2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1 / 5 log 2 27.
Harjutused
1408. Kuidas muutub arvu logaritm, kui ilma baasi muutmata:
a) ruudus arv;
b) väljavõte arvust Ruutjuur?
1409. Kuidas muutub erinevuse logi 2? a -logi 2 b , kui numbrid A Ja b asendada vastavalt järgmisega:
A) A 3 ja b 3; b) 3 A ja 3 b ?
1410. Teades, et log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771, leidke 10. aluse logaritmid:
8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9
1411. Tõesta, et geomeetrilise progressiooni järjestikuste liikmete logaritmid moodustavad aritmeetilise progressiooni.
1412. Kas funktsioonid erinevad üksteisest?
juures = log 3 X 2 ja juures = 2 log 3 X
Koostage nende funktsioonide graafikud.
1413. Leidke viga järgmistes teisendustes:
log 2 1/3 = log 2 1/3
2log 2 1/3 > log 2 1/3;
log 2 (1/3) 2 > log 2 1/3
(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Nagu teate, korrutades avaldisi astmetega, nende eksponendid liidetakse alati (a b *a c = a b+c). Selle matemaatilise seaduse tuletas Archimedes ja hiljem, 8. sajandil, lõi matemaatik Virasen täisarvude eksponentide tabeli. Just nemad teenisid logaritmide edasist avastamist. Selle funktsiooni kasutamise näiteid võib leida peaaegu kõikjalt, kus on vaja tülikat korrutamist lihtsa liitmise abil lihtsustada. Kui kulutate selle artikli lugemisele 10 minutit, selgitame teile, mis on logaritmid ja kuidas nendega töötada. Lihtsas ja arusaadavas keeles.
Definitsioon matemaatikas
Logaritm on järgmise kujuga avaldis: log a b=c, st mis tahes mittenegatiivse arvu (st iga positiivse) logaritmi “b” aluse “a” suhtes peetakse astmeks “c”. ”, milleni tuleb baasi „a” tõsta, et lõpuks saada väärtus „b”. Analüüsime logaritmi näidete abil, oletame, et on olemas avaldis log 2 8. Kuidas vastust leida? See on väga lihtne, peate leidma sellise võimsuse, et 2-st kuni vajaliku võimsuseni saate 8. Kui olete oma peas arvutusi teinud, saame arvu 3! Ja see on tõsi, sest 2 astmel 3 annab vastuseks 8.
Logaritmide tüübid
Paljude õpilaste ja üliõpilaste jaoks tundub see teema keeruline ja arusaamatu, kuid tegelikult pole logaritmid nii hirmutavad, peamine on mõista nende üldist tähendust ja meeles pidada nende omadusi ja mõningaid reegleid. Seal on kolm üksikud liigid logaritmilised avaldised:
- Naturaallogaritm ln a, kus aluseks on Euleri arv (e = 2,7).
- Kümnend a, kus alus on 10.
- Mis tahes arvu b logaritm aluse a>1 suhtes.
Igaüks neist on otsustatud standardsel viisil, mis sisaldab logaritmilisi teoreeme kasutades lihtsustamist, redutseerimist ja järgnevat taandada ühele logaritmile. Logaritmide õigete väärtuste saamiseks peaksite nende lahendamisel meeles pidama nende omadusi ja toimingute jada.
Reeglid ja mõned piirangud
Matemaatikas on mitmeid reegleid-piiranguid, mida aktsepteeritakse aksioomina, st need ei kuulu arutlusele ja on tõde. Näiteks on võimatu jagada numbreid nulliga, samuti on võimatu eraldada negatiivsete arvude paarisjuurt. Logaritmidel on ka oma reeglid, mida järgides saate hõlpsalt õppida töötama isegi pikkade ja mahukate logaritmiliste avaldistega:
- Alus "a" peab alati olema suurem kui null ja mitte võrdne 1-ga, vastasel juhul kaotab avaldis oma tähenduse, kuna "1" ja "0" on mis tahes määral alati võrdsed nende väärtustega;
- kui a > 0, siis a b >0, selgub, et ka “c” peab olema suurem kui null.
Kuidas logaritme lahendada?
Näiteks on antud ülesanne leida vastus võrrandile 10 x = 100. See on väga lihtne, tuleb valida aste, tõstes arvu kümmet, milleni saame 100. See on loomulikult 10 2 = 100.
Nüüd esitame selle avaldise logaritmilisel kujul. Saame logaritmi 10 100 = 2. Logaritmide lahendamisel koonduvad kõik toimingud praktiliselt kokku, et leida aste, milleni on etteantud arvu saamiseks vaja sisestada logaritmi baas.
Tundmatu kraadi väärtuse täpseks määramiseks peate õppima kraaditabeliga töötamist. See näeb välja selline:
Nagu näete, saab mõningaid eksponente intuitiivselt ära arvata, kui teil on tehniline mõistus ja teadmised korrutustabelist. Suuremate väärtuste jaoks vajate aga toitetabelit. Seda saavad kasutada isegi need, kes ei tea kompleksist üldse midagi matemaatilised teemad. Vasakpoolne veerg sisaldab numbreid (alus a), ülemine arvude rida on astme c väärtus, milleni arv a tõstetakse. Ristmikul sisaldavad lahtrid arvuväärtusi, mis on vastuseks (a c = b). Võtame näiteks kõige esimese lahtri numbriga 10 ja paneme selle ruudu ruutu, saame väärtuse 100, mis on näidatud meie kahe lahtri ristumiskohas. Kõik on nii lihtne ja kerge, et isegi kõige tõelisem humanist mõistab!
Võrrandid ja võrratused
Selgub, et teatud tingimustel on eksponendiks logaritm. Seetõttu saab logaritmilise võrdsusena kirjutada mis tahes matemaatilisi arvavaldisi. Näiteks 3 4 =81 saab kirjutada kui 81 baasi 3 logaritm, mis võrdub neljaga (log 3 81 = 4). Sest negatiivsed jõud reeglid on samad: 2 -5 = 1/32 kirjutame selle logaritmina, saame log 2 (1/32) = -5. Matemaatika üks põnevamaid sektsioone on “logaritmide” teema. Allpool vaatleme võrrandite näiteid ja lahendusi, kohe pärast nende omaduste uurimist. Nüüd vaatame, kuidas ebavõrdsused välja näevad ja kuidas neid võrranditest eristada.
Antakse järgmine avaldis: log 2 (x-1) > 3 - see on logaritmiline võrratus, kuna tundmatu väärtus “x” on logaritmilise märgi all. Ja ka avaldises võrreldakse kahte suurust: soovitud arvu logaritm alus kahele on suurem kui arv kolm.
Kõige olulisem erinevus logaritmiliste võrrandite ja võrratuste vahel on see, et logaritmidega võrrandid (näide - logaritm 2 x = √9) viitavad vastuses ühele või mitmele konkreetsele arvväärtusele, samas kui võrratuste lahendamisel määratletakse need piirkonnana. vastuvõetavad väärtused ja selle funktsiooni murdepunktid. Selle tulemusena ei ole vastus lihtne üksikute arvude kogum, nagu võrrandi vastuses, vaid pidev arvude jada või komplekt.
Põhiteoreemid logaritmide kohta
Primitiivsete logaritmi väärtuste leidmise ülesannete lahendamisel ei pruugi selle omadused olla teada. Kui aga rääkida logaritmilistest võrranditest või võrratustest, siis ennekõike on vaja selgelt mõista ja praktikas rakendada logaritmide kõiki põhiomadusi. Vaatame võrrandite näiteid hiljem; kõigepealt vaatame iga omadust üksikasjalikumalt.
- Põhiidentiteet näeb välja selline: a logaB =B. See kehtib ainult siis, kui a on suurem kui 0, mitte võrdne ühega ja B on suurem kui null.
- Korrutise logaritmi saab esitada järgmise valemiga: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sel juhul eelduseks on: d, s1 ja s2 > 0; a≠1. Saate esitada selle logaritmilise valemi tõestuse koos näidete ja lahendusega. Olgu log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, siis a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saame, et s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (omadused kraadi ) ja siis definitsiooni järgi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mis vajas tõestamist.
- Jagatise logaritm näeb välja selline: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Valemi kujul olev teoreem võtab kasutusele järgmine vaade: log a q b n = n/q log a b.
Seda valemit nimetatakse "logaritmi astme omaduseks". See meenutab tavaliste kraadide omadusi ja see pole üllatav, sest kogu matemaatika põhineb looduslikel postulaatidel. Vaatame tõestust.
Olgu logi a b = t, selgub a t =b. Kui tõstame mõlemad osad astmeni m: a tn = b n ;
aga kuna a tn = (a q) nt/q = b n, siis log a q b n = (n*t)/t, siis log a q b n = n/q log a b. Teoreem on tõestatud.
Näited probleemidest ja ebavõrdsusest
Kõige tavalisemad logaritmide probleemide tüübid on võrrandite ja võrratuste näited. Neid leidub peaaegu kõigis probleemraamatutes ja need on ka matemaatikaeksamite kohustuslik osa. Ülikooli astumiseks või matemaatika sisseastumiseksamite sooritamiseks peate teadma, kuidas selliseid ülesandeid õigesti lahendada.
Kahjuks pole logaritmi tundmatu väärtuse lahendamiseks ja määramiseks ühtset plaani või skeemi, kuid seda saab rakendada iga matemaatilise võrratuse või logaritmilise võrrandi puhul teatud reeglid. Kõigepealt peaksite välja selgitama, kas väljendit saab lihtsustada või viia selleni üldine välimus. Kui kasutate nende omadusi õigesti, saate pikki logaritmilisi avaldisi lihtsustada. Saame nendega kiiresti tuttavaks.
Otsustades logaritmilised võrrandid, peaksime määrama, mis tüüpi logaritm meil on: näidisavaldis võib sisaldada naturaallogaritmi või kümnendlogaritmi.
Siin on näited ln100, ln1026. Nende lahendus taandub asjaolule, et nad peavad määrama võimsuse, mille baas 10 võrdub vastavalt 100 ja 1026. Naturaallogaritmide lahendamiseks peate rakendama logaritmilisi identiteete või nende omadusi. Vaatame näiteid erinevat tüüpi logaritmiliste ülesannete lahendamisest.
Logaritmi valemite kasutamine: näidete ja lahendustega
Niisiis, vaatame näiteid logaritmide põhiteoreemide kasutamisest.
- Korrutise logaritmi omadust saab kasutada ülesannetes, kus on vaja laiendada suur tähtsus arvud b lihtsamateks teguriteks. Näiteks log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastus on 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - nagu näha, õnnestus meil logaritmi astme neljandat omadust kasutades lahendada pealtnäha keeruline ja lahendamatu avaldis. Peate lihtsalt arvutama aluse ja seejärel võtma eksponendi väärtused logaritmi märgist välja.
Ühtse riigieksami ülesanded
Sisseastumiseksamitel leidub sageli logaritme, eriti palju logaritmiülesandeid ühtse riigieksami puhul (riigieksam kõigile koolilõpetajatele). Tavaliselt on need ülesanded olemas mitte ainult A-osas (eksami lihtsaim testiosa), vaid ka C-osas (kõige keerulisemad ja mahukamad ülesanded). Eksam eeldab teema “Looduslikud logaritmid” täpset ja täiuslikku tundmist.
Näited ja probleemide lahendused on võetud ametlikult Ühtse riigieksami valikud. Vaatame, kuidas selliseid ülesandeid lahendatakse.
Antud log 2 (2x-1) = 4. Lahendus:
kirjutame avaldise ümber, lihtsustades seda veidi log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmi definitsiooniga saame, et 2x-1 = 2 4, seega 2x = 17; x = 8,5.
- Parim on taandada kõik logaritmid samale alusele, et lahendus ei oleks tülikas ja segane.
- Kõik logaritmimärgi all olevad avaldised on näidatud positiivsetena, seega kui logaritmimärgi all oleva avaldise astendaja võetakse kordajaks välja, peab logaritmi alla jääv avaldis olema positiivne.
Niisiis, meil on kaks jõudu. Kui võtate numbri alumiselt realt, saate hõlpsalt leida võimsuse, milleni peate selle numbri saamiseks tõstma kaks. Näiteks 16 saamiseks peate kahe tõstma neljanda astmeni. Ja 64 saamiseks peate tõstma kaks kuuenda astmeni. Seda on tabelist näha.
Ja nüüd - tegelikult logaritmi määratlus:
X-i logaritmi baas a on aste, milleni x-i saamiseks tuleb a tõsta.
Tähistus: log a x = b, kus a on alus, x on argument, b on see, millega logaritm tegelikult võrdub.
Näiteks 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (aluse 2 logaritm 8-st on kolm, sest 2 3 = 8). Sama eduga logi 2 64 = 6, kuna 2 6 = 64.
Arvu antud baasi logaritmi leidmise operatsiooni nimetatakse logaritmiseerimiseks. Niisiis, lisame oma tabelisse uue rea:
2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Kahjuks ei arvutata kõiki logaritme nii lihtsalt. Näiteks proovige leida logi 2 5 . Arv 5 pole tabelis, kuid loogika näeb ette, et logaritm asub kuskil segmendis. Sest 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Selliseid arve nimetatakse irratsionaalseteks: koma järel olevaid arve saab kirjutada lõpmatuseni ja neid ei korrata kunagi. Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on parem jätta see nii: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Oluline on mõista, et logaritm on kahe muutujaga avaldis (alus ja argument). Alguses ajavad paljud segadusse, kus on alus ja kus on argument. Ärritavate arusaamatuste vältimiseks vaadake lihtsalt pilti:
Meie ees pole midagi muud kui logaritmi määratlus. Pidage meeles: logaritm on võimsus, millesse argumendi saamiseks tuleb alus ehitada. See on põhi, mis tõstetakse võimsuseks – see on pildil punasega esile tõstetud. Selgub, et alus on alati põhjas! Ma ütlen oma õpilastele seda imelist reeglit kohe esimeses tunnis – ja segadust ei teki.
Oleme definitsiooni välja mõelnud – jääb üle vaid õppida logaritme lugema, s.t. "logi" märgist lahti saada. Alustuseks märgime, et määratlusest tuleneb kaks olulist fakti:
- Argument ja alus peavad alati olema suuremad kui null. See tuleneb astme määratlusest ratsionaalse astendajaga, millele logaritmi definitsioon taandatakse.
- Alus peab olema ühest erinev, sest üks jääb igal määral ikkagi üheks. Seetõttu on mõttetu küsimus “millisele võimule tuleb tõsta, et saada kaks”. Sellist kraadi pole olemas!
Selliseid piiranguid nimetatakse vastuvõetavate väärtuste vahemik(ODZ). Selgub, et logaritmi ODZ näeb välja selline: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Pange tähele, et arvule b (logaritmi väärtus) pole piiranguid. Näiteks võib logaritm olla negatiivne: log 2 0,5 = −1, sest 0,5 = 2-1.
Kuid nüüd käsitleme ainult arvulisi avaldisi, kus pole vaja teada logaritmi VA-d. Kõiki piiranguid on probleemide autorid juba arvesse võtnud. Kui aga mängu tulevad logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused, muutuvad DL-nõuded kohustuslikuks. Võib ju alus ja argument sisaldada väga tugevaid konstruktsioone, mis ei pruugi eeltoodud piirangutele vastata.
Nüüd vaatame logaritmide arvutamise üldist skeemi. See koosneb kolmest etapist:
- Väljendage alust a ja argumenti x astmena, mille minimaalne võimalik alus on suurem kui üks. Teel on parem kümnendkohtadest lahti saada;
- Lahenda muutuja b võrrand: x = a b ;
- Saadud arv b on vastuseks.
See on kõik! Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on see nähtav juba esimeses etapis. Nõue, et baas peab olema suurem kui üks, on väga oluline: see vähendab vea tõenäosust ja lihtsustab oluliselt arvutusi. Sama ka kümnendkohad: kui muudate need kohe tavalisteks, on vigu palju vähem.
Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas see skeem töötab:
Ülesanne. Arvutage logaritm: log 5 25
- Kujutleme alust ja argumenti viie astmena: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Saime vastuse: 2.
Loome ja lahendame võrrandi:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Ülesanne. Arvutage logaritm:
Ülesanne. Arvutage logaritm: log 4 64
- Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
- Loome ja lahendame võrrandi:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Saime vastuse: 3.
Ülesanne. Arvutage logaritm: log 16 1
- Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Loome ja lahendame võrrandi:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Saime vastuseks: 0.
Ülesanne. Arvutage logaritm: log 7 14
- Kujutleme alust ja argumenti seitsme astmena: 7 = 7 1 ; 14 ei saa esitada seitsme astmena, kuna 7 1< 14 < 7 2 ;
- Eelmisest lõigust järeldub, et logaritm ei lähe arvesse;
- Vastus ei muutu: logi 7 14.
Väike märkus viimase näite kohta. Kuidas olla kindel, et arv ei ole teise arvu täpne aste? See on väga lihtne – lihtsalt arvestage see peamiste tegurite hulka. Kui laienemisel on vähemalt kaks erinevat tegurit, ei ole see arv täpne võimsus.
Ülesanne. Uurige, kas arvud on täpsed astmed: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - täpne aste, sest on ainult üks kordaja;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ei ole täpne võimsus, kuna tegureid on kaks: 3 ja 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - täpne aste;
35 = 7 · 5 - jällegi mitte täpne võimsus;
14 = 7 · 2 - jällegi mitte täpne aste;
Pange tähele ka seda, et algarvud ise on alati iseenda täpsed astmed.
Kümnendlogaritm
Mõned logaritmid on nii levinud, et neil on eriline nimi ja sümbol.
X kümnendlogaritm on logaritm aluse 10-ni, st. Aste, milleni tuleb arvu x saamiseks tõsta arv 10. Nimetus: lg x.
Näiteks log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne.
Nüüdsest, kui õpikusse ilmub fraas nagu “Leia lg 0,01”, siis teadke, et see pole kirjaviga. See on kümnendlogaritm. Kui te aga pole selle tähistusega tuttav, saate selle alati ümber kirjutada:
log x = log 10 x
Kõik, mis kehtib tavaliste logaritmide puhul, kehtib ka kümnendlogaritmide puhul.
Naturaalne logaritm
On veel üks logaritm, millel on oma tähistus. Mõnes mõttes on see isegi olulisem kui kümnendkoht. See on umbes naturaallogaritmi kohta.
X-i naturaallogaritm on logaritm aluse e-ni, st. aste, milleni tuleb arvu e tõsta, et saada arv x. Nimetus: ln x .
Paljud küsivad: mis on number e? See on irratsionaalne arv, selle täpset väärtust ei saa leida ega üles kirjutada. Toon ainult esimesed arvud:
e = 2,718281828459...
Me ei hakka üksikasjalikult kirjeldama, mis see number on ja miks seda vaja on. Pidage meeles, et e on alus naturaallogaritm:
ln x = log e x
Seega ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - jne. Teisest küljest on ln 2 irratsionaalne arv. Üldiselt on mis tahes ratsionaalarvu naturaallogaritm irratsionaalne. Välja arvatud muidugi üks: ln 1 = 0.
Naturaallogaritmide puhul kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad tavaliste logaritmide puhul.
Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.
Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmiülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.
Logaritmide liitmine ja lahutamine
Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: log a x ja logi a y. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:
- logi a x+ palk a y= log a (x · y);
- logi a x− logi a y= log a (x : y).
Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Märge: võtmehetk Siin - identsed põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!
Need valemid aitavad teil arvutada logaritmiline avaldis isegi siis, kui selle üksikuid osi ei loeta (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:
Palk 6 4 + palk 6 9.
Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 2 48 − log 2 3.
Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 3 135 − log 3 5.
Jällegi on alused samad, seega on meil:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud on sellele faktile üles ehitatud proovipaberid. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt muudatusteta).
Eksponenti väljavõtmine logaritmist
Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:
On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.
Muidugi on kõik need reeglid mõistlikud, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi, s.t. Saate sisestada enne logaritmi märki olevad arvud logaritmi endasse. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 7 49 6 .
Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
[Pildi pealdis]
Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Meil on:
[Pildi pealdis]Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni väga viimane hetk töötame ainult nimetajaga. Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.
Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log 2 7. Kuna log 2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2.
Üleminek uuele vundamendile
Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui põhjused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?
Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:
Olgu antud logaritmi logi a x. Siis suvalise numbri jaoks c selline, et c> 0 ja c≠ 1, võrdsus on tõene:
[Pildi pealdis]Eelkõige, kui paneme c = x, saame:
[Pildi pealdis]
Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.
Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.
Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 5 16 log 2 25.
Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:
[Pildi pealdis]Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.
Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log 9 100 lg 3.
Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:
[Pildi pealdis]Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:
[Pildi pealdis]Põhiline logaritmiline identiteet
Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:
Esimesel juhul number n muutub argumendis seisva astme näitajaks. Number n võib olla absoluutselt ükskõik, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.
Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetataksegi: logaritmiline põhiidentiteet.
Tegelikult, mis saab siis, kui number b tõsta sellise astmeni, et arv b sellele astmele annab numbri a? See on õige: saate sama numbri a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi – paljud inimesed jäävad selle peale kinni.
Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
[Pildi pealdis]
Pange tähele, et log 25 64 = log 5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:
[Pildi pealdis]Kui keegi veel ei tea, siis see oli päris ühtse riigieksami ülesanne :)
Logaritmiline ühik ja logaritmiline null
Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida vaevalt saab omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsiooni tagajärjed. Need esinevad pidevalt probleemides ja tekitavad üllataval kombel probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.
- logi a a= 1 on logaritmiline ühik. Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest baasist on võrdne ühega.
- logi a 1 = 0 on logaritmiline null. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a 0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.
See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.