Rühmateooria loomise ajalugu. Rühma teooria
Rühma teooria
Rühm (matemaatika)
Rühma teooria
Põhimõisted
Alarühm Tavaline alarühm Tegurirühm (pool)Otsetoode
Topoloogiline
Valegrupp
Ortogonaalrühm O(n)
Ühtne erirühm SU(n)
G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentzi rühm
Poincaré rühm
Vaata ka "Füüsiline portaal"
Rühmateooria on abstraktse algebra haru, mis uurib algebralisi struktuure, mida nimetatakse rühmadeks, ja nende omadusi.
Rühmateooriaga seotud definitsioonide loendi leiate artiklist Rühmateooria terminite sõnastik.
Lugu
Rühmateoorial on kolm ajaloolist juurt: algebraliste võrrandite teooria, arvuteooria ja geomeetria. Matemaatikud, kes seisid grupiteooria alguses, on Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Joseph Louis Lagrange, Niels Henrik Abel ja Évariste Galois. Galois oli esimene matemaatik, kes ühendas rühmateooria abstraktse algebra teise haru, väljateooriaga, arendades välja teooriat, mida praegu nimetatakse Galois' teooriaks.
Üks esimesi probleeme, mis viis rühmateooria tekkeni, oli m astme võrrandi saamine, millel oleks antud astme võrrandi m juur (m< n ). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Худде (1659 г.). В 1740 г. Сондерсон заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения 6 степени, а Ле Сёр (1748 г.) и Вейринг (с 1762 по 1782 гг.) развили эту идею.
Permutatsioonide teooriale üles ehitatud võrranditeooria üldine alus 1770-1771. leidis Lagrange'i ja selle põhjal kasvas hiljem asendusteooria. Ta avastas, et kõigi leitud lahustite juured olid vastavate võrrandite juurte ratsionaalsed funktsioonid.
Rühma teooria |
Nende funktsioonide omaduste uurimiseks töötas ta välja "kombinatsioonide arvutuse" (Calcul des Combinaisons). Ka Vandermonde'i (1770) kaasaegne töö nägi ette rühmateooria arengut.
Paolo Ruffini pakkus 1799. aastal välja tõendi viienda ja kõrgema astme võrrandite lahendamatuse kohta radikaalides. Selle tõestamiseks kasutas ta rühmateooriast pärit mõisteid, kuigi nimetas neid erinevate nimedega. Ruffini avaldas ka Abbati talle kirjutatud kirja, mille juhtmotiiviks oli rühmateooria.
Galois avastas, et kui algebralisel võrrandil on mitu juurt, siis on alati olemas nende juurte permutatsioonide rühm, nii et 1) iga funktsioon, mis on rühma permutatsioonide korral muutumatu, on ratsionaalne ja vastupidi, 2) juurte iga ratsionaalne funktsioon on rühma permutatsioonide korral muutumatu. Oma esimesed rühmateooria alased tööd avaldas ta 1829. aastal, 18-aastaselt, kuid need jäid praktiliselt märkamatuks kuni tema kogutud teoste avaldamiseni 1846. aastal.
Arthur Cayley ja Augustin Louis Cauchy olid esimeste matemaatikute seas, kes mõistsid rühmateooria tähtsust. Need teadlased tõestasid ka mõningaid teooria olulisi teoreeme. Nende uuritud teemat populariseerisid Serret, kes pühendas teooriale osa oma algebra raamatust, Jordan, kelle „Traité des Substitutions” sai klassikaks, ja Eugene Netto (1882). ). ), kelle teos on tõlgitud inglise keel Cole. Ka paljud teised 19. sajandi matemaatikud andsid suure panuse rühmateooria arendamisse: Bertrand, Hermite, Frobenius, Kronecker ja Mathieu.
Mõiste “rühm” tänapäevase definitsiooni andis Walter von Duke alles 1882. aastal.
1884. aastal algatas Sophus Lie uurimise selle kohta, mida me praegu nimetame Lie rühmadeks ja nende diskreetseid alamrühmi transformatsioonirühmadena; tema teostele järgnesid Killingi, Studi, Schuri, Maureri ja Elie Cartani omad. Diskreetsete rühmade teooria töötasid välja Klein, Lie, Poincare ja Picard seoses moodulvormide ja muude objektide uurimisega.
20. sajandi keskel (peamiselt aastatel 1955–1983) tehti tohutu töö kõigi lõplike lihtrühmade klassifitseerimisel, sealhulgas kümneid tuhandeid lehekülgi töid.
Paljud teised matemaatikud, nagu Artin, Emmy Noether, Ludwig Sylow ja teised, andsid samuti käegakatsutava panuse rühmateooriasse.
Teooria lühikirjeldus
Grupi mõiste tekkis geomeetriliste objektide sümmeetria ja samaväärsuse formaalse kirjelduse tulemusena. Felix Kleini Erlangeni programmis oli geomeetriaõpe seotud vastavate teisendusrühmade uurimisega. Näiteks kui on antud tasapinnal olevad arvud, siis nende võrdsuse selgitab välja liikumiste rühm.
Definitsioon . Rühm on elementide kogum (lõplik või lõpmatu), millel on antud korrutustehte, mis rahuldab järgmist nelja aksioomi:
Rühma suletus korrutamise operatsiooni all . Grupi mis tahes kahe elemendi jaoks on kolmas, mis on nende2. järjekorra tasuta rühmagraafik töö järgi:
Assotsiatiivsuskorrutamisoperatsioonid. Korrutamise järjekord on ebaoluline:
Üksiku elemendi olemasolu. Rühmas on element E, mille korrutis mis tahes rühma elemendiga A annab sama elemendi A:
Rühma teooria |
Pöördelemendi olemasolu. Iga rühma elemendi A jaoks on element A −1, nii et nende korrutis annab identiteedielemendi E:
Rühma aksioomid ei reguleeri kuidagi korrutustehte sõltuvust tegurite järjekorrast. Seega üldiselt mõjutab tegurite järjekorra muutmine toodet. Gruppe, mille puhul korrutis ei sõltu tegurite järjekorrast, nimetatakse kommutatiivseteks ehk Abeli rühmadeks. Abeli rühma jaoks
Abeli rühmad on füüsilistes rakendustes üsna haruldased. Enamasti on füüsilise tähendusega rühmad mitteabelilikud:
Väikeste mõõtmetega piiratud rühmi kirjeldatakse mugavalt nn "Korrutustabelid". Selles tabelis vastab iga rida ja iga veerg rühma ühele elemendile ning vastavate elementide korrutamistoimingu tulemus paigutatakse rea ja veeru ristumiskohas olevasse lahtrisse.
Allpool on näide korrutustabelist (Cayley tabel) rühma jaoks, mis koosneb neljast elemendist: (1, -1, i, -i), milles tehe on tavaline aritmeetiline korrutamine:
Identiteedielement on siin 1, 1 ja −1 pöördväärtused on ise ning elemendid i ja −i on üksteise pöördväärtused.
Kui rühmas on lõpmatu arv elemente, siis nimetatakse seda lõpmatuks rühmaks.
Kui rühma elemendid sõltuvad pidevalt mõnest parameetrist, siis nimetatakse seda rühma pidevaks ehk Lie rühmaks. Vale rühma nimetatakse ka rühmaks, mille elementide kogum moodustab sujuva kollektori. Kasutades Lie rühmi sümmeetriarühmadena, leitakse lahendused diferentsiaalvõrranditele.
Rühmad on üldlevinud matemaatikas ja loodusteadused ah, sageli objektide sisemise sümmeetria tuvastamiseks (automorfismide rühmad). Sisemine sümmeetria on tavaliselt seotud muutumatute omadustega; seda omadust säilitav teisenduste kogum koos kompositsiooni toimimisega moodustab rühma, mida nimetatakse sümmeetriarühmaks.
IN Galois' teooria, millest sündis rühma mõiste, kasutatakse rühmi, et kirjeldada võrrandite sümmeetriat, mille juured on mõne polünoomvõrrand. Sest oluline roll, mida nad selles teoorias mängivad, said oma nime lahendatavad rühmad.
IN algebraline topoloogia rühmi kasutatakse topoloogiliste ruumide invariantide kirjeldamiseks. Invariantide all peame silmas ruumi omadusi, mis ei muutu, kui seda mingil moel deformeeruda. Rühmade selliste kasutusviiside näideteks on põhirühmad, homoloogia- ja kohomoloogiarühmad.
Valegruppe kasutatakse diferentsiaalvõrrandite ja kollektorite uurimisel; need ühendavad rühmateooria ja matemaatilise analüüsi. Nende rühmadega seotud analüüsivaldkonda nimetatakse harmooniliseks analüüsiks.
Rühma teooria |
Kombinatoorikas kasutatakse permutatsioonirühmade ja rühmatoimingute mõisteid, et lihtsustada hulga elementide arvu arvutamist; eriti kasutatakse sageli Burnside'i lemmat.
Rühmateooria mõistmine on väga oluline ka füüsika ja teiste loodusteaduste jaoks. Keemias kasutatakse rühmi kristallvõrede ja molekulaarsete sümmeetriate klassifitseerimiseks. Füüsikas kasutatakse alluvate sümmeetriate kirjeldamiseks rühmi füüsikalised seadused. Füüsikas on eriti olulised rühmade, eriti Lie rühmade esitused, kuna need näitavad sageli teed "võimalike" füüsikaliste teooriate juurde.
Rühma nimetatakse tsükliliseks, kui selle genereerib üks element a, st kõik selle elemendid on a astmed (või kui kasutada aditiivset terminoloogiat, siis esindatavad kujul na, kus n on täisarv). Matemaatiline tähistus: .
Nad ütlevad, et rühm tegutseb komplektis, kui on antud homomorfism grupist
hulga kõigi permutatsioonide rühma . Lühiduse huvides on see sageli kirjutatud või.
Näited rühmadest
Lihtsaim rühm on korrutamise tavapärase aritmeetilise operatsiooniga rühm, mis koosneb elemendist 1. Element 1 on rühma identsuselement ja selle pöördväärtus:
Järgmine lihtne näide on tavapärase korrutamise aritmeetilise operatsiooniga rühm, mis koosneb elementidest (1, -1). Element 1 on rühma identiteedielement, mõlemad rühma elemendid on iseenda suhtes pöördvõrdelised:
Korrutamise suhteliselt tavalise aritmeetilise tehte rühmaks on neljast elemendist (1, -1, i, -i) koosnev hulk. Identiteedielement on siin 1, 1 ja -1 pöördväärtused on ise ning elemendid i ja -i on üksteise pöördväärtused.
Rühm on kaks ruumi pööret 0° ja 180° ümber ühe telje, kui kahe korrutis
pöördeid loetakse nende järjestikuseks täitmiseks. Seda rühma nimetatakse tavaliselt C2-ks. See on isomorfne (st identne) ülaltoodud rühmaga elementidega 1 ja -1. Pöörake 0° nurga all, sest see
on identne, tähistatud tabelis tähega E.
Rühma teooria |
||||
R 180 |
||||
R 180 |
||||
R 180 |
R 180 |
|||
Rühm koos identse teisendusega E moodustatakse inversioonitehte I abil, mis muudab iga vektori suuna vastupidiseks. Grupioperatsioon on kahe inversiooni järjestikune täitmine. Seda rühma tähistatakse tavaliselt S2-ga. See on isomorfne ülaltoodud rühmaga C2.
Analoogiliselt rühmaga C2 on võimalik konstrueerida rühm C3, mis koosneb tasapinna pööretest 0°, 120° ja 240° nurkade all. Võime öelda, et rühm C 3 on pöörete rühm, mis muudab võrdkülgse kolmnurga iseendaks.
Rühma C3 elemendid
R 120 |
240 R |
||
R 120 |
240 R |
||
R 120 |
R 120 |
240 R |
|
240 R |
240 R |
R 120 |
|
Kui lisada rühma C 3 kolmnurga peegeldust selle kolme sümmeetriatelje (R1, R2, R3) suhtes, siis saame täieliku rühma tehteid, mis teisendavad kolmnurga iseendaks. Seda rühma nimetatakse
D3.
D3 rühma elemendid
Kõiki raamatuid saab alla laadida tasuta ja ilma registreerimiseta.
Elliot, Dauber. Sümmeetria füüsikas. 2 köites. 1983. aastal 364+414 lk djvu. ühes arhiivis 7,4 MB.
Kaheköiteline monograafia (inglise füüsikute poolt) sümmeetria põhimõtetest füüsikas. 1. köites on lühidalt välja toodud sümmeetriateooria aluseks olev rühmade teooria ja rühmade esituste teooria ning käsitletakse selle teooria rakendusi aatomite ja kristallvõrede struktuuri analüüsimisel, samuti sümmeetria kirjeldamisel. tuumade omadused ja elementaarosakesed. 2. köites käsitletakse molekulide elektronstruktuuri, ruumi ja aja sümmeetriaomadusi, permutatsioonirühmi ja unitaarrühmi ning osakeste omadusi välisväljades.
Väga paljudele füüsikutele ja matemaatikutele – teadlastele, magistrantidele ja üliõpilastele.
Raamat on kirjutatud füüsiku poolt ja füüsikutele. See pole matemaatikute jaoks alasti abstraktsioon, vaid palju füüsilised süsteemid. Ma soovitan.
Lae alla
UUS O.V. Bogopolsky. Sissejuhatus rühmateooriasse. 2002 148 lk djvu. 732 KB.
Raamatu eesmärk on kiire ja sügav sissejuhatus rühmateooriasse. Esimeses osas esitatakse teooria alused, konstrueeritakse Mathieu sporaadiline rühm ning selgitatakse selle seost kodeerimise teooria ja Steineri süsteemidega. Teises osas uuritakse Bass-Serre'i teooriat puudele mõjuvate rühmade kohta. Raamatu eripäraks on geomeetriline lähenemine lõplike ja lõpmatute rühmade teooriale. Saadaval suur hulk näiteid, harjutusi ja jooniseid.
Teadlastele, magistrantidele ja üliõpilastele.
See sissejuhatus on üsna raske ja eeldab head algebra tundmist.
. . . . . . . . . . . . Lae alla
OKEI. Aminov. Sümmeetriateooria. Loengukonspektid ja ülesanded. 2002 192 lk djvu.
Käesolev käsiraamat on koostatud loengute kursuse "Matemaatika lisapeatükid", mida autor on aastaid lugenud teoreetilisele füüsikale spetsialiseerunud üliõpilastele, III kursuse üliõpilastele mõeldud valikkursuse "Sümmeetriateooria" ja kursus "Matemaatika lisapeatükid rakendustega" füüsikateaduskonna magistrantidele. Loengute sisu esitatakse peamiselt vormis lühike kokkuvõte; Täpsemalt on kirjeldatud teemad, millel laboriülesandeid tehakse. Iga sektsiooni ülesanded lahendavad õpilased praktilisi harjutusi ja iseseisvalt. Üldiselt on käesolev käsiraamat mõeldud õpilaste abistamiseks klassivälisel tööl soovitatava kirjandusega.
. . . . . . . . . . . . Lae alla
V.A. Artamonov, Yu. L. Slovohhotov. Rühmad ja nende rakendused füüsikas, keemias, kristallograafias. 2005 aasta. 512 lk djvu. 5,4 MB.
Rühmade teooriat tutvustatakse süstemaatiliselt ja käsitletakse selle füüsikalis-keemilisi rakendusi. Esitatakse põhilised rühmakonstruktsioonid, lõplikult genereeritud Abeli ja kristallograafiliste rühmade teooria, lõplike rühmade, lineaarsete rühmade esitusteooria alused ja nende Lie algebrad. Lühidalt käsitletakse kvaasikristalle, renormaliseerimisrühmi, Hopfi algebraid ja topoloogilisi rühmi. Arutatakse sümmeetria seoseid mehaanikas, molekulaarspektroskoopias ja füüsikas tahke, samuti aatomite, tuumade ja elementaarosakeste teoorias.
Kõrgkooli loodusainete üliõpilastele õppeasutused. UMO tempel klassikalisel ülikooliharidusel. Võib olla kasulik kraadiõppuritele ja teadlastele.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lae alla
Aleksejev V. B. Abeli teoreem probleemides ja lahendustes. aasta 2001. 190 lk PDF. 1,4 MB.
Sellest raamatust saab lugeja teada, kuidas lahendada 3. ja 4. astme algebralisi võrrandeid ühe tundmatuga ja miks võrrandite lahendamiseks kulub rohkem kõrge asteÜldvalemeid (radikaalides) pole. Samal ajal tutvub ta kahe kaasaegse matemaatika väga olulise lõiguga - rühmateooria ja kompleksmuutuja funktsioonide teooriaga. Selle raamatu üks peamisi eesmärke on võimaldada lugejal matemaatikas kätt proovida. Selleks esitatakse peaaegu kogu materjal definitsioonide, näidete ja suure hulga ülesannete kujul koos juhiste ja lahendustega.
Raamat on mõeldud laiale tõsisele matemaatikahuvilisele lugejaskonnale (alates gümnasistidest) ega eelda lugejalt erilisi eelteadmisi. Raamat võib olla ka matemaatilise ringi töö juhendiks. Viimases ma kahtlen. Nüüd pole enam selliseid õpilasi. Aga raamat on kasulik.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lae alla
Barut A., Ronchka R. Rühma representatsiooni teooria ja selle rakendused. 2 raamatus. 1980. aasta djvu. ühes arhiivis
Raamat 1. Peatükid 1-11. 452 lk 4,9 MB. Raamat 1. Peatükid 12-21+ Rakendused. 393 lehekülge 2,8 MB.
Monograafia autorid on tuntud Ameerika ja Poola teadlased, füüsika rühmateoreetiliste meetodite spetsialistid. Raamat toob välja kaasaegsed tõhusad meetodid ja tulemused rühmade esitusteooria ja Lie-algebra kohta, kajastab lai valik nende füüsilised rakendused. Autorid on saavutanud eduka kombinatsiooni esitluse matemaatilisest rangusest, materjali täielikkusest, selgusest ja keele kättesaadavusest; Kõiki peatükke saadavad hoolikalt valitud harjutused.
Esimeses (peatükid 1-11) esitatakse Lie rühmade ja algebrate üldteooria, eksplitsiitselt konstrueeritud nende lõplikud esitused, Lie algebra esituste teooria piiramata operaatoritega ning Lie algebra esituste integreeritavuse teooria. esitatakse.
Teises: Lie algebra esituste kvartodünaamilised rakendused. Rühmateooria ja rühmaesitused kvantteoorias. Lie rühmade harmooniline analüüs. Erifunktsioonid ja rühmavaated. Harmooniline analüüs homogeensetes ruumides. Indutseeritud esindused. Indutseeritud esitused poolotsetest toodetest. Põhiteoreemid indutseeritud esituste kohta. Poollihtsate valerühmade indutseeritud esitused.
. . . . . . . . . . . . Lae alla
Vilenkin. Erifunktsioonid ja rühmaesituse teooria. Suurus 4,3 MB. 600 lk djvu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lae alla
Gelfand, Minlos, Shapiro. Rotatsioonirühma ja Lorentzi rühma esindatus, nende rakendused. Suurus 3,8 MB. 367 lk djvu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lae alla
Naimark. Grupi representatsiooni teooria. Suurus 24,0 MB. 564 lk PDF.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lae alla
Rumer Yu.B., Fet A.I. Ühtse sümmeetria teooria. 405 lk djvu. 3,2 MB.
Raamat koosneb 18 peatükist, mis on jagatud kolme ossa: matemaatiline sissejuhatus, hadronite ühtne klassifikatsioon, massivalemid.
Esimeses osas esitatakse peamised faktid kompleksiteooriast lineaarsed ruumid ja konstruktsioonid nende kohal, rühmade põhiomadused, algebrad ja nende esitused. Ettekande käigus antakse definitsioonide ja teoreemide täpsed sõnastused, teoreemide tõestused reeglina välja jäetakse. See osa sisaldab arvukalt kommentaare, mis selgitavad esitatud tulemuste tähendust ja põhjust.
Teises osas on üksikasjalikult uuritud neid konkreetseid rühmi (ja nende esitusi), mida on vaja tugevate interaktsioonide sümmeetria kirjeldamiseks, s.t. rühmad SU(2), SU(3), SU(4) ja SU(6). Selles osas juhitakse tähelepanu teooria nendele aspektidele, mis on füüsika jaoks vajalikud.
Viimane osa on pühendatud massivalemite tuletamisele ja see on pigem füüsiline kui matemaatiline. Massivalemite jaoks pakutakse välja uus põhjendus, mis võimaldab neid laiemalt tõlgendada. Bibliograafia sisaldab käsitletava teema põhiteoseid.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lae alla
Hamermesh. Rühmateooria ja selle rakendused füüsilistele probleemidele. Suurus 4,6 MB. 590 lk djv.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lae alla
K. Chevalley. Valegrupi teooria. 3 köites. djvu.
1. köide. 1948. 316 lk 7,7 MB.
K. Chevalley raamatu tugevuseks on Lie rühmade kui terviku süstemaatiline käsitlemine, erinevalt kohalikust vaatepunktist, mida tavaliselt rakendatakse vanemates käsiraamatutes. Seda esitussüsteemi rakendas esmakordselt L. S. Pontryagin oma raamatus “The Theory of Continuous Groups” (G.T.T.I. 1938), milles siiski on ainult viimased peatükid pühendatud Lie rühmade tegelikule teooriale.
K. Chevalley raamat on mõeldud teadusmatemaatikutele, abiturientidele ja magistrantidele. Selle lugemiseks peate valdama kombinatoorse ja hulgateoreetilise topoloogia ning abstraktse rühmateooria põhimõisteid.
Köide 2. Algebralised rühmad. 1958. aastal 316 lk 7,7 MB.
Teine köide on pühendatud algebraliste rühmade (maatriksrühmad, mis on määratletud koefitsientidevaheliste algebraliste suhetega) teooria esitlemisele, teooriale, mis on välja kujunenud aastatel. viimased aastad suuresti autori enda loomingus. See on algebraliste rühmade teooria esimene süstemaatiline kirjeldus maailmakirjanduses.
Raamat on mõeldud matemaatikutele – abiturientidele, magistrantidele ja teadlastele.
3. köide. Lie algebra üldteooria. 1958. aastal 306 lk 4,8 MB.
Kolmas köide esitab Lie algebra üldteooria. Seni pole sellele teooriale spetsiaalselt pühendatud venekeelseid monograafiaid.
See köide, nagu ka eelmised, on mõeldud matemaatikutele – bakalaureuseõppe üliõpilastele, magistrantidele ja teadlastele.
Aleksei Savvatejev loengute käigust:
Kutsun teid oma rühmateooria minikursusele, mille nimetasin "Koolirühma teooriaks".
Usun, et grupiteooriat tuleks õppida keskklassides – ligikaudu samal ajal, kui kasutusele võetakse sümboolne tähis (tähed x, y, z jne). jääkide poolt see moodul(ühelt poolt) ja permutatsioonid (teiselt), mitte kõrgemad kui abstraktsioonitase numbritest 3,4,5 kuni sümboliteni. Permutatsioone seevastu on lihtne mõista ja omandada juba teises või kolmandas klassis, nagu ka selle mooduli jääkide süsteem.
Minikursusel tõmban vahed kinni kooliharidus, mis on seotud rühmateooriaga ja rühmade konkreetsete näidetega. Selgitatakse põhifakte jääkide kohta, tõestatakse Fermat' väike teoreem, uuritakse permutatsioonirühmade alarühmi kolmel ja neljal sümbolil, tutvustatakse antud rühma normaalse alamrühma mõistet ja rühma lihtsust.
Seejärel tõestatakse, et paarispermutatsioonide rühm n≥5 sümbolil on lihtne (mis avab soovijatele tee algebraliste võrrandite lahendatavuse kohta radikaalides) ja ka seda, et tasandi translatsiooni alamrühm ( ruum) on normaalne vastava objekti kõigi (afiinsete) liikumiste rühmas . Madalamõõtmelised liikumisrühmad saavad täieliku iseloomustuse (Schale'i teoreem ja erinevat tüüpi liikumiste koostise seadused).
Aleksei Vladimirovitš Savvatejev - füüsika- ja matemaatikateaduste doktor, mänguteooria spetsialist, Dmitri Pozharski ülikooli rektor, matemaatika populariseerija laste ja täiskasvanute seas. Töötab korraga mitmes teadusasutused, sealhulgas uurimislaboris sotsiaalsed suhted ja NES-i ühiskonna mitmekesisus. Loeb loenguid Yandexis andmeanalüüsi koolis, osaleb teoreetilises uurimistöös. Irkutskis töötab ta ISU dotsendina 0,2-kordse palgaga.
Kommentaarid: 0 |
Aleksei Savvatejev
Geomeetria – klassikaline eukleidiline, Lobatševski, projektiivne ja sfääriline – ei pälvi tänapäevaste matemaatikateaduskondade (koolidest rääkimata) programmides piisavalt tähelepanu. Samas on see visuaalne ja ülimalt ilus. Paljud väited on visuaalselt silmnähtavad ja samas ootamatud (miks Irkutskist Lissaboni lendav lennuk stardib kõigepealt Norilski suunas?) 8 loengu jooksul tutvuvad üliõpilased selle matemaatikavaldkonna algteabega, mis sai alguse rohkem kui kaks aastatuhandet tagasi. Lõpetame palju keerukama materjaliga, mis viib otseselt tänapäevaste teadusharudeni. Käsitletakse rühmateooria ja Lie algebra põhialuseid.
Aleksei Savvatejev
Galois' teooria on algebra haru, mis võimaldab teatud väljateooria küsimusi ümber sõnastada rühmateooria keeles, muutes need mõnes mõttes lihtsamaks. Galois’ teooria pakub ühtse elegantse lähenemise klassikaliste probleemide lahendamisele: milliseid kujundeid saab kompassi ja joonlauaga konstrueerida? Milliseid algebralisi võrrandeid saab lahendada standardsete algebraliste operatsioonide (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ja juurdumine) abil?
Aleksei Savvatejev
Aleksei Savvatejev, Aleksei Semihatov
Teaduse küsimus
Miks tulevad matemaatikud välja uusi lahendamatuid probleeme? Miks on vaja kaasaegset matemaatikat? Teadlaste seas pole ühtegi, kes mõistaks kõiki kaasaegsete matemaatikateaduste valdkondi. Ja matemaatikud mõtlevad välja üha uusi lahendamatuid probleeme ja siis võitlevad nendega aastakümneid. Mille jaoks see kõik on? Ja mis on matemaatika meie eluga pistmist? Saatekülaline on füüsika- ja matemaatikateaduste doktor Aleksei Savvatejev. Intervjueeris Aleksei Semikhatov.
Aleksander Bufetov
Anatoli Vershik
Alles hiljuti, ja nagu alati, samaaegselt ja iseseisvalt, pidid mitmed matemaatikute rühmad erinevatel põhjustel süstemaatiliselt uurima antud rühma juhuslikult valitud alarühmi. Kõneleja jaoks oli seekord ülesanne leida konjugatsiooni-invariantsed mõõdud antud rühma kõigi alarühmade võre pealt. See probleem on oluline esituste teooria jaoks (mõnede rühmade faktoresitused) ja dünaamiliste süsteemide enda teooria jaoks (täiesti mittevabad tegevused). Muud põhjused on Betti numbrite asümptootiline käitumine lokaalselt sümmeetrilistes ruumides, rühmade tegevus puudel, juhuslikel homogeensetel aladel käimise teooria ja ilmselt see pole veel kõik. Aruanne on pühendatud üldmõisteid, analüüs fundamentaalsest näitest, nimelt sellest, mis on sümmeetrilise rühma juhuslik alamrühm - lõplik ja lõpmatu, ja lõpuks selgitus, kuidas see kõik on seotud märkide teooriaga.
Jevgeni Smirnov
Peegeldusrühmad on konstantse kõverusega ruumi (sfäär, eukleidiline või hüperboolne ruum) diskreetne liikumisrühm, mis tekib peegelduste kogumi abil. Peegeldusrühmad esinevad üllatavalt sageli erinevates algebraülesannetes.
Ivan Arzhantsev
Sellel kursusel uuritakse sellist imelist ja täiesti elementaarset objekti nagu lõplike mõõtmetega kommutatiivsed assotsiatiivsed algebrad kompleksarvude kohal. Siin on üsna lihtne tõestada esimesi struktuurseid tulemusi, kuid saada täielik klassifikatsioon vaevalt võimalik. Me arutame erinevaid tehnikaid töötada lõplike mõõtmetega algebratega (maksimaalsed ideaalid ja lokaalsed algebrad, filtreerimine ja liigitamine, Hilbert-Samueli jada ja sokkel) ning saada selgesõnaline kirjeldus väikeste mõõtmetega algebratest. Selgub, et lõplike mõõtmetega algebrad on tihedalt seotud kommutatiivsete maatriksrühmade avatud orbiidi toimingutega afiinsetes ja projektiivsetes ruumides. Selgitame seda seost. Selgitamise käigus kerkivad loomulikult esile sellised mõisted nagu lineaaroperaatori eksponent, rühmaesitus ja tsükliline moodul, Lie algebra ja selle universaalne ümbritsev.
Mihhail Tjomkin
Asetades tetraeedrid üksteise kõrvale piki nende nägu, võib saada näiteid lihtsatest kompleksidest - olulisest matemaatilisest objektist. Värvime sellise struktuuri kolmnurgad mustaks ja valged värvid ja me nimetame värvimiseks head, kui igal tetraeedril on võrdne arv must-valgeid tahke. Selgub, et (standardselt lihtsustatult jagatud) madalamõõtmeliste sfääride puhul osutub valgete kolmnurkade hulk uurimist väärivaks objektiks: Möbiuse ribaks või projektiivseks tasapinnaks. Kirjeldades täpselt, kuidas need objektid kolmnurkadeks jagunevad, siis me loomulikult tekib ikosaeeder – imeline korrapärane hulktahukas. Selle isesobiva rühma uurimine võimaldab meil mõista, kui palju häid värve on olemas. Teel kohtume nii tähtsaga põhimõisteid matemaatika, nagu eelmainitud lihtkompleksi- ja sümmeetriarühm, tegevus jne.
Ivan Losev
Loengutes tutvustatakse põhiteavet lõplike rühmade esituste teooriast, selgitatakse Vershiku ja Okounkovi lähenemist sümmeetriliste rühmade esitustele, räägitakse sellest, mis toimub positiivsed omadused ja mis Lie algebra sellega pistmist on? Kursus peaks olema arusaadav õpilastele alates esimesest kursusest, kes on algebra kursust hästi omandanud.
RÜHMATEOORIA ALUSED
Loengukursus
Krasnojarsk, 2007
Senashov, V.I.
Rühmateooria alused: loengute kursus / , . – Krasnojarsk: FGOU VPO “Siberi föderaalülikool, loodus- ja humanitaarteaduste instituut”, 20 lk.
Distsipliin "Rühmateooria alused" on jätk distsipliinile "Kõrgem algebra" ja on üks peamisi eridistsipliini üliõpilaste ettevalmistamisel erialal "Matemaatika". Loengute kursus on mõeldud algebra ja matemaatilise loogika osakonna üliõpilastele ja magistrantidele.
© Krasnojarski Loodus- ja
Humanitaarteadused, 2007.
OSA 1. ÜLDTEAVE ……………………………………….. 5
Teema 1. SISSEJUHATUS ………………………………………………… 5
Ajalooline teave rühmateooria tekke ja arengu kohta.
Uuringu eesmärgid ja eesmärgid. lühikirjeldus kaasaegne
rühmateooria seis. Kirjanduse arvustus. Üldine informatsioon.
Teema 2. Rühmad, alarühmad ……………………………………… 7
Rühma määratlus, näited. Alarühma määratlus,
alarühmade näited.
OSA 2. RÜHMADE KLASSID, RÜHMADE ÜLESANDMISE LIIGID ………. 9
3. teema. Rühmatunnid, näited ………………………………… 9
Piiratud ja lõpmatud rühmad, perioodilised rühmad,
väändevabad rühmad, segarühmad, näited.
4. teema.Generaatorikomplektid. Tsüklilised rühmad, tsüklilise rühma alarühmad ……………………………………. üksteist
Rühmade määratlemine komplektide genereerimise teel. Näited tsüklilistest, 2-genereeritud ja 3-genereeritud rühmadest.
OSA 3. RÜHMA STRUKTUUR ………………………………………… 12
Teema 5. Cklassidevahelised ………………………………………….. 12
Kõrvalklasside omadused. Alarühma indeks, Lagrandi teoreem
Noh, tagajärjed.
6. teema.Konjugeeritud elementide klassid. Normalisaator ja tsentralisaator ………………………………………………………… 13
Konjugeeritud elementide klasside määratlus ja omadused, millal
meetmed. Tsentralisaatori, normaliseerija, konjugeeritud elementide klasside võimsuse teoreemi definitsioon.
7. teema.Keskus, kommutaator. Faktorirühm …………………………… 14
Keskuse, kommutaatori definitsioonid. Näited.
8. teema. Täisrühmad…………………………………………… 16
Täielikud rühmad, näited. Teoreemid täisrühmade kohta.
OSA 4. RÜHMAKUJUD………………………………………. 17
9. teema. Asendusrühmad ………………………………….
Asendusrühmade määratlused ja omadused. Cayley teoreem.
10. teema.Homomorfismid ……………………………………… 18
Homomorfismi definitsioon, homomorfse kaardistamise näited
ny, teoreemid homomorfismide kohta.
11. teema. Isomorfismid………………………………………… 20
Isomorfismi definitsioon, isomorfsete rühmade näited.
Teema 12. Automorfismid……………………………………. 21
Automorfismi definitsioon. Automorfismide tüübid, holomorfid.
5. JAGU.RÜHMATÖÖD ……………………………… 24
13. teema.Otsesed ja Descartes'i tooted………………… 24
Definitsioonid. Näited rühmadest, mida saab laotada ridadeks ja
Descartes'i tooted.
Teema 14. Poolotse toode, tasuta
töö ja muud tüüpi tööd…………………. 27
Semidirect toode, tasuta toode, tasuta toode kombineeritud alarühmaga, ühtne toode.
15. teema.Ridad rühmades………………………………………….. 31
Tavalised seeriad, ebanormaalsed seeriad. Ridadega rühmade tüübid.
16. teema. Sylow teoreem……………………………………….. 32
Sylow alarühmad. Sylow teoreem. Sylow teoreemi rakendused.
17. teema.Algebralised süsteemid ……………………………… 33
Algebraliste süsteemide näited. Rühm, poolrühm, kvaasirühm, silmus, rühm, ring, väli.
OSA 6. RÜHMADE LÕPPETINGIMUSED …………… 35
Teema 18. Minimaalsustingimustega rühmad ja
maksimaalne ………………………………………………………………………. 35
Grupid miinimum- ja maksimumtingimustega. Tšernikovi rühmad ja nende omadused.
Teema 19. Lõplikkuse tingimused …………………………………… 38
Biprimitiivse lõplikkuse tingimused, konjugaat biprimitiivsega
jäsemed, nende nõrgenemine ja üldistamine. Šunkovi rühmad. Näited.
OSA 7. RÜHMADE NÄITED ………………………………………. 40
Teema 20. Diheedrirühmad………………………………………. 40
Dihedraalrühmade määratlused ja omadused.
Teema 21. Asenduste ja maatriksite rühmad …………………………… 43
Asenduste ja maatriksite rühmad. Diheedrirühma esitus
asenduste rühm.
Teema 22. Liikumisrühmad ……………………………………….. 48
Geomeetrilised teisendused. Liikumised. Figuuride sümmeetria.
Regulaarsete hulktahukate sümmeetriarühmad. Ruumi- ja tasapinnaliste kujundite lõplikud ja lõpmatud sümmeetriarühmad.
8. JAGU. JÄRELDUS………………………………………………
Teema 23. Rühmade atlased ……………………………………………5 4
Grupitabelid. Lõplike lihtsate rühmade ja esituste atlased
piiritletud rühmade vahel.
Teema 24. Kokkuvõte ……………………………………………..5 6
Ülevaade tipptasemel rühmateooria.
Täiendus ………………………………………………………………. 57
25. teema.Frobeniuse rühmad ………………………………….. 57
VIITED ………………………………… 62
OSA 1. ÜLDTEAVE
Teema 1. SISSEJUHATUS
Ajalooline teave rühmateooria tekke ja arengu kohta. Rühma mõiste tekkis 18. sajandil, see pärineb mitmest distsipliinist: algebraliste võrrandite lahendamise teooriast radikaalides (J. Lagrange'i ja A. Vandermonde'i töödes 1771. aastal kasutati selle teooria vajadusteks esmakordselt asendusi. ja asendusrühma lagunemine külgnevateks saadi klassideks, 19. sajandil osutasid sügavatele seostele permutatsioonirühma omaduste ja võrrandite omaduste vahel N. Abel 1824 ja E. Galois 1830. aastal. Eriti tähelepanuväärsed on E. Galois' saavutused rühmateoorias, kes avastas normaalalarühmade rolli võrrandite lahendatavuse probleemi lahendamisel radikaalides, tegi kindlaks üle 4 astme vahelduvate rühmade lihtsuse. C. Jordan süstematiseeris ja arendas sellesuunaline uurimus 1870. aasta asenduste rühma käsitlevas traktaadis). Projektiivses geomeetrias tekivad sellest hoolimata rühmad, kui uuritakse kujundite käitumist erinevatel teisendustel, mis viis teisenduste endi uurimiseni ja nende liigituse otsimiseni (siinkohal võib mainida uurinud A. Moebiuse nimesid). elementaarsed suguluse liigid geomeetrilised kujundid, A. Cayley, kes hakkas mõistma rühma kui süsteemi, mis on määratletud elementide ja suhete genereerimisega, F. Klein, 1872. aastal Erlangeni programmi looja, mis pani aluse geomeetriate klassifitseerimisele rühma mõistele. teisendustest). Rühmateoreetilisi ideid saab jälgida ka arvuteoorias. L. Euler kasutas 1761. aastal "võimsuste jagamisel järelejäävaid jääke" uurides võrdlusi ja jagamist jääkide klassidesse, st alarühmade kaupa külgnevatesse klassidesse. K. Gauss määras 1801. aastal "Aritmeetikauuringutes" ringi jaotusvõrrandi Galois' rühma alamrühmad ja "binaararvude koostise" uurimisel. ruutvormid" tõestas, et ekvivalentvormide klassid moodustavad kompositsiooni suhtes lõpliku Abeli rühma.
19. sajandi lõpus. töötati välja kaasaegne abstraktne grupi mõiste. 1895. aastal defineeris S. Lee juba rühma kui teisenduste kogumit, mis on suletud operatsiooniga, mis on assotsiatiivne ja tagab identiteedi ja pöördelemendid.
Rühmade uurimine nende lõplikkust eeldamata ja elementide olemust eeldamata kujunes iseseisvaks matemaatikavaldkonnaks 1916. aastal meie kaasmaalase raamatus “Abstract Theory of Groups”.
Praegu on rühmateooria algebra üks arenenumaid valdkondi, millel on palju rakendusi nii matemaatikas endas kui ka mujal - topoloogias, funktsiooniteoorias, kristallograafias, kvantmehaanika ja muud matemaatika ja loodusteaduste valdkonnad.
Selles loengukursuses tuletame põgusalt meelde rühmateooria põhidefinitsioone ja teoreeme, mis sisalduvad ülikooli algebra kursuses. Seejärel tutvustame kuulajale ala kaasaegne teooria rühmades viimaste aastakümnete tulemuste esitluse kaudu. Vaatleme üksikasjalikult näidetel rühmade ja rühmade kohta, millel on lõplikkuse tingimused.
Uuringu eesmärgid ja eesmärgid. Distsipliin “Rühmateooria alused” on jätk kursusele “Kõrgem algebra” ja on üks peamisi eridistsipliini üliõpilaste ettevalmistamisel erialale “Matemaatika”.
Distsipliini õpetamise eesmärk on viia end kurssi rühmateooria põhimõistete ja põhiteoreemidega, samuti arendada oskusi ja oskusi kasutada õpitud teoreeme uute teoreemide tõestustes ning konstrueerida rühmade näiteid.
Distsipliini õppimise käigus on vaja omandada teadmised, oskused ja vilumused erialal „Matemaatika“ teadlase ja õpetaja kutsetegevuseks.
Spetsialist peab teadma: rühmade põhiklasse, lõplike ja lõpmatute rühmade klassikalisi näiteid, rühmateooria põhiteoreeme; oskama: rakendada õpitud teoreeme uute teoreemide tõestamisel, kasutada erialakirjandust, teatmeteoseid, matemaatilisi entsüklopeediaid, omandada praktilisi oskusi iseseisev töö grupistruktuuride uurimisel omama ettekujutust kaasaegsed trendid rühmateooria areng Venemaal ja maailmas.
Loengute kursust kirjutades seadsid autorid eesmärgiks tutvustada lugejale lühidalt klassikalise rühmateooria kursuse mõisteid ja teoreeme ning võimalusel peatuda üksikasjalikult mõistetel, mis kujunesid välja Krasnojarski rühmateooria koolkonnas ja õpitakse praegu aktiivselt nii meil kui välismaal .
Rühmateooria hetkeseisu lühikirjeldus. Praegu on rühmateooria hästi arenenud matemaatika haru. Igal aastal toimuvad rahvusvahelised konverentsid, mis on pühendatud lõplike ja lõpmatute rühmade teooriale. Ainuüksi Venemaal toimus 2007. aastal mitu rahvusvahelist rühmateooria konverentsi, üks neist Krasnojarskis.
Hästi arenenud rühmateooriaga tegelevad koolid on Moskvas, Peterburis, Jekaterinburgis, Novosibirskis, Omskis, Tomskis, Irkutskis, Tšeljabinskis, Krasnojarskis ja teistes Venemaa linnades. Sajad spetsialistid kõrgelt kvalifitseeritud tegelevad rühmateooria erinevate harudega. Venemaal ilmuvad regulaarselt ajakirjad “Algebra ja loogika”, “Siberi matemaatika ajakiri”, “Fundamentaal- ja rakendusmatemaatika”, “Diskreetne matemaatika”, “Teaduste Akadeemia aruanded”, millest suure osa moodustavad artiklid. rühmateooria kohta. Vene teadlased on kirjutanud kümneid monograafiaid lõplike ja lõpmatute rühmade kohta. Saavutused Vene spetsialistid grupiteoorias on juba pikka aega teenitult tunnustatud kogu maailmas.
Kirjanduse arvustus. Distsipliini “Rühmateooria alused” õppimisel soovitame kasutada õpikuid ja soovitatud kirjanduse loetelu.
Teema 2. Rühmad, alarühmad
Rühma määratlus, näited.
Definitsioon. Nad ütlevad, et komplekt on antud kahendoperatsioon, kui on määratletud seadus, mis seob hulga mis tahes kaks elementi sama hulga ühe elemendiga.
Definitsioon. Trobikond G millel on määratud kahendalgebraline tehte, nimetatakse Grupp, Kui:
1) see tehe on assotsiatiivne, st. (ab)c = a(bc) mis tahes elementide jaoks a, b, c alates G;
2) sisse G on üks element e: ae = ea = a mis tahes elemendi jaoks a alates G;
3) iga elemendi kohta a alates G V G on olemas tagasi element https://pandia.ru/text/78/123/images/image002_125.gif" width="99" height="21 src=">.
Kõik paarisarvud moodustavad lisamisel rühma. Liitmisrühm on ka täisarvude kogum, mis on antud arvu kordsed n. Paaritute arvude komplekt ei ole enam liitmise operatsiooni all olev rühm, sest seda operatsiooni viib meid sellest komplektist kaugemale. Rühma moodustavad ka kõik nullist erinevad positiivsed ratsionaalarvud korrutamise tehte suhtes. Korrutustehte numbrid 1 ja -1 moodustavad lõpliku rühma.
Definitsioon. Grupp G helistas Abeli või kommutatiivne, kui kõik rühma elemendid pendeldavad omavahel, st kommutatsiooniseadus on täidetud ab = ba mis tahes elementide jaoks a, b grupist G.
Abeli rühmade näited on liitmise tehte suhtes arvesse võetud ratsionaalarvude, reaalarvude ja kompleksarvude komplektid. Mitte-Abeli rühmad hõlmavad asendusrühmi rohkem kui kahel elemendil, maatriksite rühmi korrutamise suhtes.
Definitsioon. Elementide järjekord nimetatakse väikseimaks naturaalarvuks n selline, et an = e. Tähistatakse | a|.
Definitsioon. Grupi järjekord G nimetatakse selle elementide arvu.
Näitab rühma järjestust G läbi | G|. Kui elementide hulk on lõpmatu, siis me ütleme seda G on lõpmatu järjestusega ja kirjutage | G| = https://pandia.ru/text/78/123/images/image004_81.gif" width="95" height="29"> | ai M, mi = 1, n = 1, 2, 3, …}.
Tõestus. Tähistame teoreemi lauses toodud elementide hulka tähisega H.
Ilmselgelt HH H, H-1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image007_53.gif" width="16" height="16 src="> H.
Teisel pool,<M> https://pandia.ru/text/78/123/images/image010_47.gif" width="13" height="13 src="> H ). x helistas esindaja seotud klass. Õige komplekt defineeritakse sarnaselt.
Külgnevate klasside omadused:
1) kosetid kas ei ristu või langevad kokku;
2) kosetid on samaväärsed;
3) elemendid a, b sisalduvad ühes külgnevas klassis alarühmade kaupa H, Kui b-1 a H.
Omaduste tõendamine jääb lugeja hooleks.
Definitsioon. Külgnevate rühmaklasside arv G alarühma kaupa H helistas indeks rühmad G alarühma kaupa H ja seda tähistatakse | G:H|.
Neumanni Lemma. Lase G – rühm, mis on piiratud arvu kosettide liit alamrühmade lõpliku hulga üle. Siis on vähemalt ühel neist alarühmadest lõplik indeks G.
Tõestus. Oletame, et teoreem on väär ja iga alarühm H 1 ,…, Hn on lõputu indeksiga G. Olgu teoreemi lauses näidatud lagunemine kosettideks:
G = g 11H 1 .gif" width="16" height="20 src="> .gif" width="16 height=20" height="20"> g 21H 2 … H 2 …
….gif" width="16" height="20">… .gif" width="16" height="20">… H 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">H 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">H 1 g 21H 2 … .gif" width="16 height=20" height="20">….gif" width="16" height="20">… https://pandia.ru/text/78/123/images/image018_24.gif" width="20 height=19" height="19">.
Ilmselgelt palju on piiratud arvu kosettide liit alarühmade üle H 2, …, Hn ja sisaldab g 11H 1, sarnaselt
g 11H 1 .gif" width="16" height="20 src="> .gif" width="19" height="17"> .gif" width="24" height="16"> gh, h hg, h https://pandia.ru/text/78/123/images/image024_20.gif" width="15" height="15 src="> G), kui vasak ja parem pool sisenevad G Kõrval H kokku sobima.
Muude cosettide omaduste kohta vt.
6. teema.Konjugeeritud elementide klassid. Normalisaator ja tsentralisaator
Konjugeeritud elementide klasside määratlus ja omadused, näited. Element a on konjugaat elemendiga b rühmas G, kui see on olemas x alates G, Mida = b.
Lisaks tähistus =kirvesülekanded komplektidesse: AB = {ab | a A, b B). Selles tähistuses on normaalse alarühma määratlus järgmine: H G siis ja ainult siis HGH.
Teoreem 6.1. Konjugeeritud elementide järjestused on võrdsed.
Tõestus. Lase = b. Oletame, et | a| = n, |b| = m Ja n < m. Siis ( )n = an = e, Aga bne. Saadud vastuolu tõestab teoreemi.
Konjugatsioon on ekvivalentsuhe. (See tähendab, et konjugeerimisel on täidetud kolm omadust: refleksiivsus, sümmeetria ja transitiivsus.) Kogu rühm on jagatud konjugeeritud elementide mitteühendatud klassideks aG. Kõik numbrisüsteemid ja Abeli rühmad, koosnevad konjugeeritud elementide klassid ühest elemendist. Üldiselt võivad erinevatel klassidel olla erinevad jõud. Normalisaator on vahend klassi võimsuse mõõtmiseks.
Näited rühmadest, milles iga konjugeeritud elementide klass koosneb ühest elemendist, on kõik Abeli rühmad. Kolmanda astme permutatsioonirühmas on kolm konjugeeritud elementide klassi: klass, mis koosneb ühest elemendist, klass, mis koosneb kahest kolmandat järku elemendist, ja klass, mis koosneb kolmest konjugeeritud involutsioonist.
Tsentralisaatori, normaliseerija, konjugeeritud elementide klasside võimsuse teoreemi definitsioon.
Definitsioon. Lase M- rühma suvaline alamhulk G, H- selle alarühm. Komplekti M normaliseerija rühmas G nimetatakse komplektiks N.H.(M) = { h | hM = Mh, h H }.
Definitsioon.Määra tsentraliseerija M rühmas G nimetatakse komplektiks CG(M)={g|gm=mg, m M}.
Abeli rühmades ühtib mis tahes elemendi tsentraliseerija kogu rühmaga. Kolmanda astme permutatsioonide rühmas langevad kõigi elementide tsentralisaatorid kokku nende elementide poolt genereeritud tsükliliste rühmadega.
Teoreem 6.2. Kui M- alamhulk ja H- rühma alarühm G, siis alamhulkade klassi kardinaalsus konjugeeritakse M elemendid alates H võrdne indeksiga | H : N.H.(M) |. Eelkõige | aG| = |G : NG(a) |.
Tõestus. Näitame välja Mx, xH, paremale kosetile H Kõrval N = N.H.(M): (Mx)= Nx. Ekraan kindlasti: alates Mx = Mn voolab välja Nx = Ny. See on üks-ühele, sest Nx = Ny toob kaasa Mx = Mn. See on "to" kaardistamine, sest iga klassi jaoks Nx prototüüp on olemas Mx. Teoreem on tõestatud.
7. teema.Keskus, kommutaator. Faktorirühm
Keskuse, kommutaatori definitsioonid. Näited. Rühma struktuuri määrab suuresti selle elementide muutlikkus. Rühma elementide kogum, mis liigub koos kõigi selle elementidega, on alamrühm.
Definitsioon.Grupi keskus G nimetatakse komplektiks Z(G)=CG(G).
Harjutus. Grupp G Abelian siis ja ainult siis Z(G) = G.
Definitsioon. Elemendid a, b rühmad G pendeldama (pendeldama) millal
a-1 b-1 ab = e.
Abeli rühmad langevad kokku nende keskusega. Kolmanda astme asenduste rühmas on keskus unitaarne.
Definitsioon.Lüliti [a, b] elemente a, b tööd nimetatakse
[a , b] = a-1 b-1 ab.
Definitsioon. Kõigi kommutaatorite poolt genereeritud alamrühma kutsutakse kommutaator rühmad.
Kommutaator on tööriist, mis mõõdab rühma kõrvalekallet kommutatiivsusest.
Definitsioon. Kui L, M on rühma alamhulgad, siis nende vastastikust kommutanti nimetatakse alamrühmaks
[L , M] = < [a , b] | a L, b M >.
Näited.
1. [ sn , sn] = An, kellelegi n.
2. [ An, An] = ja, n > 4.
3. [G , G] = 1 kui G abellik.
Harjutused.
1. Tõesta [ a , b]-1= [b , a].
2. Tõesta [ ab , c] = [a , c]b[ b , c].
Juurte permutatsioonide rühmi uurisid varem teised Lagrange ja . Kuid sõnastaja teene on vaieldamatu olulised omadused kontseptsioone ja rakendas neid uute ja keeruliste probleemide lahendamisel. Seda tegi prantsuse matemaatik Galois rühma mõiste jaoks. Alles pärast tema tööd sai sellest matemaatikute õppeaine.
Évariste Galois (1811–1832) sündis Bourg-la-Reines. 1823. aastal saatsid Evariste vanemad ta õppima Pariisi Kuninglikku Kolledžisse. Siin hakkas ta huvi tundma matemaatika vastu ja hakkas iseseisvalt uurima Legendre'i, Euleri, Lagrange'i ja Gaussi töid.
Galois on Lagrange'i ideedest täielikult haaratud. Talle tundub nagu kord Abelile, et ta on leidnud lahenduse viienda astme võrrandile. Ta teeb ebaõnnestunud katse astuda Ecole Polytechnique'i, kuid tema teadmised Legendre'i ja Lagrange'i teoste kohta ei olnud piisavad ning Galois naaseb kolledžisse.
Siin naeratab talle esimest korda õnn – ta kohtub õpetajaga, kes oskas hinnata tema geniaalsust. Richard teadis, kuidas ametlikest programmidest kõrgemale tõusta, ta oli teadlik teaduse edenemisest ja püüdis avardada oma õpilaste silmaringi. Richardi kommentaarid Evariste kohta on lihtsad: "Ta töötab ainult matemaatika kõrgeimates valdkondades."
Ja tõepoolest, juba seitsmeteistkümneaastaselt sai Galois oma esimesed teaduslikud tulemused. 1829. aastal avaldati tema märkus "Perioodiliste jätkumurdude teoreemi tõestamine". Samal ajal esitas Galois Pariisi Teaduste Akadeemiale veel ühe teose. Ta eksis Koshy juures ära.
Galois proovib teist korda polütehnilisse kooli astuda ja jälle ebaõnnestub. Sellele lisandus peagi sündmus, mis noormeest vapustas: poliitiliste vastaste jälitatuna sooritas isa enesetapu. Evaristi tabanud ebaõnne puudutas teda paratamatult: ta muutus närviliseks ja tuliseks.
1829. aastal astus Galois tavakooli. See koolitas õpetaja ametinimetuse kandidaate. Siin teostas Evariste algebraliste võrrandite teooriat uurimistööd ja esitas 1830. aastal oma töö Pariisi Teaduste Akadeemia konkursile.Tema saatus oli akadeemia alalise sekretäri Fourier' kätes. Fourier hakkab käsikirja lugema, kuid sureb peagi. Teine käsikiri, nagu ka esimene, kaob.
Galoisi elus on saabunud aeg, mis on täis tähtsaid sündmusi. Ta liitus vabariiklastega, astus Rahvasõprade Seltsi ja astus suurtükiväkke Rahvuskaart. Juhtkonna vastu rääkimise eest visati ta tavakoolist välja.
14. juulil 1831 toimus Bastille' tormirünnaku järgmise aastapäeva mälestuseks vabariiklaste meeleavaldus. Politsei vahistas palju meeleavaldajaid, sealhulgas Galois'. Galois' kohtuprotsess toimus 23. oktoobril 1831. aastal. Talle määrati 9 kuud vangistust. Galois jätkas uurimistööd vanglas.
30. mai hommikul 1832 sai Galois kahevõitluses Gentilly linnas surmavalt haavata kuuli läbi makku. Päev hiljem ta suri.
Matemaatilised tööd Galois, vähemalt need, mis säilivad, on kuuskümmend väikest lehekülge. Kunagi varem pole nii väikese mahuga teosed toonud autorile nii laialdast kuulsust.
1832. aastal koostas Galois vanglas olles programmi, mis avaldati vaid seitsekümmend aastat pärast tema surma. Kuid isegi kahekümnenda sajandi alguses ei äratanud see tõsist huvi ja unustati peagi. Ainult kaasaegsed matemaatikud, kes jätkasid paljude põlvkondade teadlaste tööd, mõistsid lõpuks Galois' unistuse.
"Ma palun oma kohtunikke, et nad vähemalt need paar lehekülge läbi loeksid," alustas Galois oma kuulsat mälestusteraamatut. Galoisi ideed olid aga nii sügavad ja kõikehõlmavad, et tol ajal oli ühelgi teadlasel tõesti raske neid hinnata.
"... Niisiis, ma usun, et arvutuste parandamise teel saadavad lihtsustused (loomulikult peame silmas põhimõttelisi, mitte tehnilisi lihtsustusi) pole sugugi piiramatud. Saabub hetk, mil matemaatikud suudavad algebralisi teisendusi nii selgelt ette näha, et aja- ja paberikulu nende hoolikaks läbiviimiseks ei tasu end ära. Ma ei väida, et analüüsiga ei saa peale sellise ettenägelikkuse midagi uut saavutada, kuid arvan, et ilma selleta on ühel ilusal päeval kõik vahendid asjatud.
Allutage arvutused oma tahtele, rühmitage matemaatilisi tehteid, õppige neid klassifitseerima raskusastme, mitte väliseid märke, - need on tuleviku matemaatikute ülesanded minu arusaamise järgi, seda teed tahan minna.
Ärgu keegi ajagu segamini minu kirglikkust mõne matemaatiku sooviga üldse igasuguseid arvutusi vältida. Algebraliste valemite asemel kasutavad nad pikki argumente ja matemaatiliste teisenduste kohmakusele lisavad nad nende teisenduste verbaalse kirjeldamise kohmakuse, kasutades keelt, mis pole selliste ülesannete täitmiseks kohandatud. Need matemaatikud on sada aastat maas.
Midagi sellist siin ei juhtu. Siin ma teen analüüsi analüüsi. Samas peetakse praegu teadaolevatest teisendustest (ellipsifunktsioonidest) keerukaimaid vaid erijuhtudeks, väga kasulikeks ja isegi vajalikeks, kuid siiski mitte üldiseks, seega oleks edasisest laiemast uurimistööst keeldumine saatuslik viga. Tuleb aeg ja muutused, mille kohta me räägime siin kirjeldatud kõrgemas analüüsis tehakse ja klassifitseeritakse tegelikult raskusastme, mitte siin tekkivate funktsioonide tüübi järgi.
Siin on vaja pöörata tähelepanu sõnadele "rühma matemaatilised tehted". Galois mõtleb selle all kahtlemata rühmateooriat.
Esiteks ei huvitanud Galoisi üksikud matemaatilised probleemid, vaid üldised ideed, mis määravad kogu kaalutlusahela ja suunavad loogilist mõttekäiku. Tema tõendid põhinevad sügaval teoorial, mis võimaldab ühendada kõik selleks ajaks saavutatud tulemused ja määrata teaduse arengu pikaks ajaks. Mitu aastakümmet pärast Galois' surma nimetas saksa matemaatik David Hilbert seda teooriat "kindla mõisteraamistiku kehtestamiseks". Kuid olenemata sellest, mis nimi sellele on lisatud, on ilmne, et see hõlmab väga suurt teadmiste valdkonda.
"Matemaatikas, nagu igas teises teaduses," kirjutas Galois, "on küsimusi, mis nõuavad praegu lahendusi. Need on pakilised probleemid, mis haaravad arenenud mõtlejate meeled sõltumata nende enda tahtest ja teadvusest."
Üks probleemidest, millega Évariste Galois töötas, oli algebraliste võrrandite lahendamine. Mis juhtub, kui võtta arvesse ainult arvuliste koefitsientidega võrrandeid? Ju võib juhtuda, et kuigi üldine valem Selliseid võrrandeid ei ole vaja lahendada; iga üksiku võrrandi juured saab väljendada radikaalides. Mis siis, kui see nii ei ole? Siis peab olema mingi märk, mis võimaldab määrata, kas antud võrrand on lahendatud radikaalides või mitte? Mis see märk on?
Galoisi esimene avastus oli see, et ta vähendas nende tähenduste ebakindlust, see tähendab, et ta tuvastas mõned nende juurte "omadused". Teine avastus on seotud meetodiga, mida Galois selle tulemuse saamiseks kasutas. Võrrandi enda uurimise asemel uuris Galois selle “rühma” või piltlikult öeldes selle “perekonda”.
"Rühm," kirjutab A. Dalma, "on objektide kogum, millel on teatud ühised omadused. Olgu sellisteks objektideks näiteks reaalarvud. Reaalarvude rühma üldine omadus on see, et korrutades suvalise kahe Selle rühma elemendid saame ka reaalarvu. Geomeetrias uuritud tasapinnal toimuvad liikumised võivad reaalarvude asemel esineda "objektidena", sel juhul on rühma omaduseks see, et kahe liikumise summa annab jällegi Liikumine lihtsaid näiteid Keerulisemate toimingute puhul saate objektidega teatud toimingud valida "objektideks". Sel juhul on rühma peamine omadus see, et mis tahes kahe toimingu koosseis on ühtlasi tehe. Just seda juhtumit uuris Galois. Arvestades lahendamist vajavat võrrandit, seostas ta sellega teatud rühma tehteid (kahjuks ei saa me siinkohal selgitada, kuidas seda tehakse) ja tõestas, et võrrandi omadused peegelduvad selle rühma tunnustes. Kuna erinevatel võrranditel võib olla sama rühm, siis piisab nende võrrandite asemel nende vastavast rühmast. See avastus tähistas algust kaasaegne lava matemaatika arendamine.
Ükskõik, millistest “objektidest” rühm koosneb: numbritest, liikumistest või tehtetest, võib neid kõiki käsitleda abstraktsete elementidena, millel pole mingeid spetsiifilisi omadusi. Rühma määratlemiseks tuleb vaid sõnastada üldreeglid, mis peab olema täidetud, et antud “objektide” kogu saaks nimetada rühmaks. Praegu nimetavad matemaatikud selliseid reegleid rühmaaksioomideks; rühmateooria seisneb nende aksioomide kõigi loogiliste tagajärgede loetlemises. Samal ajal avastatakse järjest uusi omadusi; Neid tõestades süvendab matemaatik teooriat üha enam. Oluline on, et ei objekte endid ega nendega tehtavad toimingud ei oleks kuidagi määratletud. Kui pärast seda on mõne konkreetse probleemi uurimisel vaja arvestada mõne spetsiifilise matemaatilise või füüsikalise objektiga, mis moodustavad rühma, siis on üldise teooria põhjal võimalik nende omadusi ette näha. Grupiteooria annab seega märkimisväärse kulude kokkuhoiu; Lisaks avab see uusi võimalusi matemaatika kasutamiseks teadustöös."
Rühma mõiste kasutuselevõtt vabastas matemaatikud koormavast ülesandest kaaluda paljusid erinevaid teooriaid. Selgus, et peate esile tõstma ainult selle või teise teooria "põhijooned" ja kuna nad on sisuliselt kõik täiesti sarnased, piisab, kui tähistada neid sama sõnaga ja kohe saab selgeks, et on mõttetu neid eraldi uurida.
Galois püüab laiendatud matemaatilises aparaadis luua uut ühtsust. Rühmateooria on ennekõike matemaatilises keeles korra toomine.
19. sajandi lõpust alguse saanud rühmateoorial oli suur mõju selle arengule matemaatiline analüüs, geomeetria, mehaanika ja lõpuks füüsika. Seejärel tungis see teistesse matemaatika valdkondadesse – valede rühmad ilmusid diferentsiaalvõrrandite teoorias, Kleini rühmad geomeetrias. Samuti tekkisid Galilei rühmad mehaanikas ja rühmad relatiivsusteoorias.