История на създаването на теорията на групите. Теория на групите
Теория на групите
Група (математика)
Теория на групите
Основни понятия
Подгрупа Нормална подгрупа Факторна група (полу-)Директно произведение
Топологичен
Група лъжа
Ортогонална група O(n)
Специална унитарна група SU(n)
G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Група на Лоренц
група на Поанкаре
Вижте също „Физически портал“
Теорията на групите е клон на абстрактната алгебра, който изучава алгебрични структури, наречени групи, и техните свойства.
Можете да намерите списък с определения, свързани с теорията на групите, в статията Речник на термините на теорията на групите.
История
Теорията на групите има три исторически корена: теорията на алгебричните уравнения, теорията на числата и геометрията. Математиците, които стоят в началото на теорията на групите, са Леонард Ойлер, Карл Фридрих Гаус, Джоузеф Луис Лагранж, Нилс Хенрик Абел и Еварист Галоа. Галоа е първият математик, който свързва теорията на групите с друг клон на абстрактната алгебра, теорията на полето, развивайки теорията, която днес се нарича теория на Галоа.
Един от първите проблеми, които доведоха до появата на теорията на групите, беше проблемът за получаване на уравнение от степен m, което би имало m корена на дадено уравнение от степен n (m< n ). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Худде (1659 г.). В 1740 г. Сондерсон заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения 6 степени, а Ле Сёр (1748 г.) и Вейринг (с 1762 по 1782 гг.) развили эту идею.
Общата основа на теорията на уравненията, изградена върху теорията на пермутациите, през 1770-1771 г. открива Лагранж и на тази основа впоследствие израства теорията за заместванията. Той открива, че корените на всички резолвенти, които среща, са рационални функции на корените на съответните уравнения.
Теория на групите |
За да изучи свойствата на тези функции, той разработи "комбинационното смятане" (Calcul des Combinaisons). Съвременната работа на Vandermonde (1770) също предвижда развитието на теорията на групите.
Паоло Руфини през 1799 г. предлага доказателство за неразрешимостта на уравненията на петата и по-високите степени в радикалите. За да докаже това, той използва концепции от теорията на групите, въпреки че ги нарича с различни имена. Руфини публикува и писмо, написано до него от Абати, чийто лайтмотив е груповата теория.
Галоа открива, че ако едно алгебрично уравнение има няколко корена, тогава винаги съществува група от пермутации на тези корени, така че 1) всяка функция, която е инвариантна при пермутации на групата, е рационална и, обратно, 2) всяка рационална функция на корените е инвариантно спрямо пермутации на групата. Той публикува първите си трудове по теория на групите през 1829 г., на 18-годишна възраст, но те остават почти незабелязани, докато събраните му съчинения не са публикувани през 1846 г.
Артър Кейли и Августин Луи Коши са сред първите математици, които оценяват значението на теорията на групите. Тези учени също доказаха някои от важните теореми на теорията. Темата, която изучаваха, беше популяризирана от Серет, който посвети част от книгата си по алгебра на теорията, от Джордан, чийто Traité des Substitutions стана класика, и от Юджийн Нето (1882 г. ).), чиято работа е преведена на английски езикКоул. Много други математици от 19 век също имат голям принос за развитието на теорията на групите: Бертран, Ермит, Фробениус, Кронекер и Матийо.
Съвременното определение на понятието „група” е дадено едва през 1882 г. от Валтер фон Дюк.
През 1884 г. Sophus Lie инициира изследването на двете трансформационни групи на това, което сега наричаме групи на Lie и техните отделни подгрупи; творбите му са последвани от тези на Килинг, Студи, Шур, Маурер и Ели Картан. Теорията на дискретните групи е разработена от Клайн, Лий, Поанкаре и Пикар във връзка с изучаването на модулни форми и други обекти.
В средата на 20-ти век (основно между 1955 и 1983 г.) беше извършена огромна работа по класификацията на всички крайни прости групи, включително десетки хиляди страници документи.
Много други математици, като Артин, Еми Ньотер, Лудвиг Силов и други, също имат значителен принос към теорията на групите.
Кратко описание на теорията
Концепцията за група възниква в резултат на формално описание на симетрията и еквивалентността на геометричните обекти. В Ерлангенската програма на Феликс Клайн изучаването на геометрията беше свързано с изучаването на съответните групи трансформации. Например, ако фигурите са дадени на равнина, тогава група от движения определя тяхното равенство.
Определение . Групата е набор от елементи (крайни или безкрайни), върху които е зададена операция за умножение, която отговаря на следните четири аксиоми:
Затвореност на група спрямо операцията умножение . За всеки два елемента от една група има трети, който е техенБезплатна групова графика от ред 2по работа:
Асоциативностоперации за умножение. Редът, в който се извършва умножението, е без значение:
Наличие на един елемент. В групата има някакъв елемент E, чието произведение с всеки елемент A от групата дава същия елемент A:
Теория на групите |
Наличие на обратен елемент. За всеки елемент A от групата има елемент A −1 такъв, че техният продукт дава идентичността на елемента E:
Аксиомите на групата по никакъв начин не регулират зависимостта на операцията умножение от реда на факторите. Следователно, най-общо казано, промяната на реда на факторите засяга продукта. Групи, за които произведението не зависи от реда на факторите, се наричат комутативни или абелеви групи. За абелева група
Абелевите групи са доста редки във физически приложения. Най-често групите, които имат физическо значение, са неабелови:
Удобно е да се описват крайни групи с малък размер с помощта на т.нар. „Таблици за умножение“. В тази таблица всеки ред и всяка колона съответстват на един елемент от групата, а резултатът от операцията за умножение за съответните елементи се поставя в клетката в пресечната точка на реда и колоната.
По-долу е даден пример за таблица за умножение (таблица на Кейли) за група, състояща се от четири елемента: (1, −1, i, −i), в която операцията е обикновено аритметично умножение:
Идентификационният елемент тук е 1, обратните на 1 и −1 са самите себе си, а елементите i и −i са обратни един на друг.
Ако една група има безкраен брой елементи, тогава тя се нарича безкрайна група.
Когато елементите на една група непрекъснато зависят от някои параметри, тогава групата се нарича непрекъсната или група на Лъжа. За група на Лие се казва още, че е група, чийто набор от елементи образува гладко многообразие. Използвайки групи на Лие като групи на симетрия, се намират решения на диференциални уравнения.
Групите са повсеместни в математиката и природни наукиах, често за откриване на вътрешната симетрия на обекти (групи от автоморфизми). Вътрешната симетрия обикновено се свързва с инвариантни свойства; наборът от трансформации, които запазват това свойство, заедно с операцията на композиция, образуват група, наречена група на симетрия.
IN Теорията на Галоа, която доведе до концепцията за група, групите се използват за описание на симетрията на уравнения, чиито корени са корените на някоиполиномно уравнение. Защото важна роля, които играят в тази теория, се наричат разрешими групи.
IN алгебрична топологиягрупи се използват за описание на инварианти на топологични пространства. Под инварианти имаме предвид свойства на пространството, които не се променят, когато то се деформира по някакъв начин. Примери за такива употреби на групи са фундаментални групи, хомологични и кохомологични групи.
Групите на Лъжа се използват при изследване на диференциални уравнения и многообразия; те съчетават теория на групите и математически анализ. Областта на анализ, свързана с тези групи, се нарича хармоничен анализ.
Теория на групите |
В комбинаториката понятията групи за пермутация и групови действия се използват за опростяване на изчисляването на броя на елементите в набор; по-специално, често се използва лемата на Бърнсайд.
Разбирането на теорията на групите също е много важно за физиката и другите естествени науки. В химията групите се използват за класифициране на кристални решетки и молекулни симетрии. Във физиката групите се използват за описание на симетриите, които се подчиняват физични закони. Особено важни във физиката са представянията на групи, по-специално групите на Ли, тъй като те често сочат пътя към „възможни“ физически теории.
Една група се нарича циклична, ако е генерирана от един елемент a, тоест всички нейни елементи са степени на a (или, ако използваме адитивна терминология, представими във формата na, където n е цяло число). Математически запис: .
Казват, че групата действа на набор, ако е даден хомоморфизъм от групата
към групата на всички пермутации на множеството. За краткост често се изписва като или.
Примери за групи
Най-простата група е групата с обичайната аритметична операция умножение, която се състои от елемент 1. Елемент 1 е елементът на идентичност на групата и негов обратен елемент:
Следващият прост пример е група с обичайната аритметична операция умножение, която се състои от елементи (1, -1). Елемент 1 е елементът на идентичност на групата, и двата елемента на групата са обратни на себе си:
Групата на сравнително обикновената аритметична операция умножение е набор, състоящ се от четири елемента (1, -1, i, -i). Идентификационният елемент тук е 1, обратните на 1 и -1 са самите себе си, а елементите i и -i са обратни един на друг.
Групата е две завъртания на пространството с 0° и 180° около една ос, ако произведението от две
ходовете се считат за тяхното последователно изпълнение. Тази група обикновено се означава С2. Тя е изоморфна (т.е. идентична) на горната група с елементи 1 и -1. Завъртете под ъгъл 0°, защото то
е идентичен, обозначен в таблицата с буквата Е.
Теория на групите |
||||
R 180 |
||||
R 180 |
||||
R 180 |
R 180 |
|||
Групата, заедно с идентичната трансформация E, се формира от операцията на инверсия I, която обръща посоката на всеки вектор. Групова операция е последователно изпълнение на две инверсии. Тази група обикновено се означава S2. Тя е изоморфна на горната група C2.
По аналогия с група C2 е възможно да се построи група C3, състояща се от завъртания на равнината под ъгли от 0°, 120° и 240°. Можем да кажем, че групата C 3 е група ротации, които трансформират равностранен триъгълник в себе си.
Елементи от група C3
R 120 |
R 240 |
||
R 120 |
R 240 |
||
R 120 |
R 120 |
R 240 |
|
R 240 |
R 240 |
R 120 |
|
Ако добавим към група C 3 отражения на триъгълника спрямо неговите три оси на симетрия (R1, R2, R3), тогава получаваме пълна група от операции, които трансформират триъгълника в себе си. Тази група се нарича
D3.
Елементи от група D3
Всички книги могат да бъдат изтеглени безплатно и без регистрация.
Елиът, Даубер. Симетрия във физиката. В 2 тома. 1983 г 364+414 стр. djvu. в един архив 7,4 MB.
Двутомна монография (от английски физици) за принципите на симетрията във физиката. Том 1 очертава накратко теорията на групите и теорията на груповите представяния, която е в основата на теорията на симетриите, и разглежда приложенията на тази теория към анализа на структурата на атомите и кристалните решетки, както и към описанието на симетрията свойства на ядрата и елементарни частици. Том 2 обсъжда електронната структура на молекулите, симетричните свойства на пространството и времето, пермутационните групи и унитарните групи и свойствата на частиците във външни полета.
За широк кръг от физици и математици – научни работници, докторанти и студенти.
Книгата е написана от физик и за физици. Това не е гола абстракция за математиците, но много неща са разгледани физически системи. Препоръчвам.
Изтегли
НОВ О.В. Богополски. Въведение в теорията на групите. 2002 г 148 стр. djvu. 732 KB.
Целта на книгата е да предостави бързо и задълбочено въведение в теорията на групите. Първата част излага основите на теорията, конструира спорадичната група на Матийо и обяснява връзката й с теорията на кодирането и системите на Щайнер. Втората част разглежда теорията на Bass-Serre за групи, действащи върху дървета. Особеност на книгата е геометричният подход към теорията на крайните и безкрайните групи. На разположение голям бройпримери, упражнения и снимки.
За научни работници, докторанти и студенти.
Това въведение е доста сложно и изисква добри познания по алгебра.
. . . . . . . . . . . . Изтегли
ДОБРЕ. Аминов. Теория на симетрията. Лекционни записки и задачи. 2002 г 192 стр. djvu.
Това ръководство е съставено въз основа на курса от лекции „Допълнителни глави по математика“, които в продължение на много години се четат от автора за студенти, специализиращи теоретична физика, избираемия курс „Теория на симетрията“ за студенти от трета година и курс "Допълнителни глави по математика с приложения" за магистри във Физическия факултет. Съдържанието на лекциите е представено основно във формата кратко обобщение; По-подробно са описани темите, по които се изпълняват лабораторните задачи. Задачите за всеки раздел се решават от учениците практически упражненияи независимо. Като цяло това ръководство има за цел да помогне на учениците в извънкласната работа с препоръчителна литература.
. . . . . . . . . . . . Изтегли
В. А. Артамонов, Ю. Л. Словохотов. Групи и техните приложения във физиката, химията, кристалографията. 2005 година. 512 стр. djvu. 5,4 MB.
Систематизирано е теорията на групите и са разгледани нейните физикохимични приложения. Представени са основните групови конструкции, теорията на крайно генерираните абелеви и кристалографски групи, основите на теорията на представянията на крайни групи, линейни групи и техните алгебри на Ли. Накратко се обсъждат квазикристали, ренормализационни групи, алгебри на Хопф и топологични групи. Обсъждат се връзките на симетрия в механиката, молекулярната спектроскопия и физиката твърдо, както и в теорията на атомите, ядрата и елементарните частици.
За студенти по природни науки във висшето училище образователни институции. UMO печат върху класическото университетско образование. Може да бъде полезно за студенти и изследователи.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Изтегли
Алексеев В. Б. Теоремата на Абел в задачи и решения. 2001 година. 190 стр. PDF. 1,4 MB.
От тази книга читателят ще научи как да решава алгебрични уравнения от 3-та и 4-та степен с едно неизвестно и защо е необходимо повече за решаването на уравненията висока степенНяма общи формули (в радикали). В същото време той ще се запознае с два много важни раздела на съвременната математика – теория на групите и теория на функциите на комплексната променлива. Една от основните цели на тази книга е да даде възможност на читателя да опита силите си в математиката. За целта почти целият материал е представен под формата на определения, примери и голям брой задачи, снабдени с инструкции и решения.
Книгата е предназначена за широк кръг читатели, интересуващи се от сериозна математика (започвайки от гимназисти), и не изисква от читателя да има специални предварителни познания. Книгата може да служи и като помагало за работа на математически кръжок. Съмнявам се в последното. Сега няма такива ученици. Но книгата е полезна.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Изтегли
Barut A., Ronchka R. Теория на груповото представяне и нейните приложения. В 2 книги. 1980 г djvu. в един архив
Книга 1. Глави 1-11. 452 стр. 4.9 MB. Книга 1. Глави 12-21+ Приложения. 393 страници 2.8 MB.
Автори на монографията са известни американски и полски учени, специалисти по групови теоретични методи във физиката. Книгата очертава съвременните ефективни методи и резултати от теорията на представянията на групите и алгебрите на Лие, отразява широк обхваттехните физически приложения. Авторите са постигнали успешно съчетание на математическа строгост на изложението, пълнота на обхващане на материала с яснота и достъпност на езика; Всички глави са придружени от внимателно подбрани упражнения.
В първия (глави 1 - 11) е дадена общата теория на групите и алгебрите на Лие, изрично са конструирани техните крайномерни представяния, теорията на представянията на алгебрите на Лие чрез неограничени оператори и теорията за интегрируемостта на представянията на алгебрите на Лие са представени.
Във втория: Квартодинамични приложения на представяния на алгебрата на Ли. Теория на групите и групови представяния в квантовата теория. Хармоничен анализ на групите на Ли. Специални функции и групови изгледи. Хармоничен анализ на хомогенни пространства. Индуцирани репрезентации. Индуцирани представяния на полупреки продукти. Фундаментални теореми за индуцирани представяния. Индуцирани представяния на полупрости групи на Ли.
. . . . . . . . . . . . Изтегли
Виленкин. Специални функции и теория на груповото представяне. Размер 4.3 MB. 600 стр. djvu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Изтегли
Гелфанд, Минлос, Шапиро. Представяне на ротационната група и групата на Лоренц, техните приложения. Размер 3,8 MB. 367 стр. djvu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Изтегли
Наймарк. Теория на груповото представителство. Размер 24.0 MB. 564 стр. PDF.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Изтегли
Румер Ю. Б., Фет А. И. Теория на унитарната симетрия. 405 стр. djvu. 3,2 MB.
Книгата се състои от 18 глави, разделени на три части: математическо въведение, единна класификация на адроните, масови формули.
В първата част са изложени основните факти от теорията на комплекса линейни пространстваи конструкции над тях, основни свойства на групите, алгебрите и техните представяния. По време на изложението се дават точните формулировки на дефинициите и теоремите, като по правило се пропускат доказателствата на теоремите. Тази част включва множество коментари, обясняващи значението и причината за представените резултати.
Втората част предоставя подробно изследване на онези конкретни групи (и техните представителства), които са необходими за описание на симетрията на силните взаимодействия, т.е. групи SU(2), SU(3), SU(4) и SU(6). В тази част се обръща внимание на тези аспекти на теорията, които са необходими за физиката.
Последната част е посветена на извеждането на формули за маса и е повече физическа, отколкото математическа. За масовите формули се предлага нова обосновка, която позволява да се тълкуват по-широко. Библиографията съдържа основните трудове по разглежданата тема.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Изтегли
Хамермеш. Теория на групите и нейните приложения към физически проблеми. Размер 4,6 MB. 590 стр. djv.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Изтегли
К. Шевали. Теория на групата на лъжата. В 3 тома. djvu.
Том 1. 1948 г. 316 стр. 7.7 MB.
Силата на книгата на K. Chevalley е нейното систематично разглеждане на групите на Lie като цяло, за разлика от местната гледна точка, обикновено прилагана в по-старите ръководства. Тази система на представяне е въведена за първи път от Л. С. Понтрягин в неговата книга „Теория на непрекъснатите групи“ (G.T.T.I. 1938), в която обаче само последните глави са посветени на действителната теория на групите на Ли.
Книгата на К. Шевале е предназначена за научни математици, студенти и докторанти. За да го прочетете, трябва да овладеете основните понятия на комбинаторната и теоретико-множествената топология и теорията на абстрактните групи.
Том 2. Алгебрични групи. 1958 г 316 стр. 7.7 MB.
Вторият том е посветен на представянето на теорията на алгебричните групи (групи от матрици, определени от алгебрични отношения между коефициенти), теория, разработена през последните годинидо голяма степен в произведенията на самия автор. Това е първото систематично представяне на теорията на алгебричните групи в световната литература.
Книгата е предназначена за математици - старши студенти, специализанти и научни работници.
Том 3. Обща теория на алгебрите на Ли. 1958 г 306 стр. 4.8 MB.
Третият том представя общата теория на алгебрите на Ли. Досега не е имало монографии на руски, специално посветени на тази теория.
Този том, както и предходните, е предназначен за математици - студенти, докторанти и научни работници.
Алексей Савватеев за хода на лекциите:
Каня ви на моя мини-курс по теория на групите, който нарекох „Теория на училищните групи“.
Смятам, че теорията на групите трябва да се изучава в средните класове - приблизително по същото време, когато се въведе символното означение (букви x, y, z и т.н.), тъй като нивото на абстракция, водещо до общата концепция за група от системи от остатъци от този модул(от една страна) и пермутации (от друга), не по-високо от нивото на абстракция от числа 3,4,5 до символи. Пермутациите са лесни за разбиране и усвояване още във втори-трети клас, точно както системите с остатъци за даден модул.
В миникурса затварям пропуските училищно образование, отнасящи се до теорията на групите и конкретни примери за групи. Ще бъдат установени основни факти за остатъците, ще бъде доказана малката теорема на Ферма, ще бъдат изучавани подгрупи от групи за пермутация на три и четири символа, ще бъде въведена концепцията за нормална подгрупа на дадена група и простотата на група.
Тогава ще бъде доказано, че групата от четни пермутации на n≥5 символа е проста (което ще отвори пътя към въпросите за разрешимостта на алгебрични уравнения в радикали), а също и че подгрупата от равнинни (пространствени) транслации е нормална в групата от всички (афинни) движения на съответния обект. Нискоразмерните групи от движения ще получат пълна характеристика (теорема на Chales и законите за съставяне на движения от различни видове).
Алексей Владимирович Савватеев - доктор на физико-математическите науки, специалист в областта на теорията на игрите, ректор на университета "Дмитрий Пожарски", популяризатор на математиката сред деца и възрастни. Работи едновременно в няколко научни институции, включително в Научноизследователската лаборатория социални отношенияи многообразието на обществото на НСЗ. Изнася лекции в Yandex School of Data Analysis и участва в теоретични изследвания. В Иркутск той работи като доцент в ISU на 0,2 пъти заплата.
Коментари: 0 |
Алексей Савватеев
Геометрията - класическа Евклидова, Лобачевски, проективна и сферична - не получава достатъчно внимание в програмите на съвременните математически факултети (да не говорим за училищата). В същото време е визуален и изключително красив. Много твърдения са визуално очевидни и в същото време неочаквани (защо самолет, летящ от Иркутск до Лисабон, излита първо в посока Норилск?) В 8 лекции студентите ще се запознаят с първоначалната информация в тази област на математиката , която датира от преди повече от две хиляди години. Ще завършим с много по-сложен материал, който директно води към съвременните клонове на науката. Ще бъдат обхванати основите на теорията на групите и алгебрите на Ли.
Алексей Савватеев
Теорията на Галоа е клон на алгебрата, който ви позволява да преформулирате някои въпроси от теорията на полето на езика на теорията на групите, което ги прави в известен смисъл по-прости. Теорията на Галоа предоставя единен, елегантен подход за решаване на класически проблеми: какви фигури могат да бъдат конструирани с компас и линийка? Кои алгебрични уравнения могат да бъдат решени с помощта на стандартни алгебрични операции (събиране, изваждане, умножение, деление и корен)?
Алексей Савватеев
Алексей Савватеев, Алексей Семихатов
Въпрос на наука
Защо математиците продължават да измислят нови неразрешими проблеми? Защо е необходима съвременната математика? Сред учените няма нито един, който да разбира всички области на съвременните математически науки. И математиците измислят все по-неразрешими проблеми и след това се борят с тях в продължение на десетилетия. За какво е всичко това? И какво общо има математиката с живота ни? Гост на предаването е докторът на физико-математическите науки Алексей Савватеев. Интервюто взе Алексей Семихатов.
Александър Буфетов
Анатолий Вершик
Едва наскоро и, както винаги, едновременно и независимо, няколко групи математици трябваше, по различни причини, да изучават систематично произволно избрани подгрупи от дадена група. За лектора този повод беше задачата да намери инвариантни към конюгацията мерки върху решетката на всички подгрупи на дадена група. Този проблем е важен както за теорията на представянията (факторни представяния на някои групи), така и за самата теория на динамичните системи (напълно несвободни действия). Други причини са асимптотичното поведение на числата на Бети в локално симетрични пространства, действията на групи върху дървета, теорията за разходките в произволни хомогенни пространства и, очевидно, това не е всичко. Докладът ще бъде посветен общи понятия, анализ на фундаментален пример, а именно какво е случайна подгрупа на симетрична група - крайна и безкрайна и накрая обяснение как всичко това е свързано с теорията на характерите.
Евгений Смирнов
Отражателните групи са дискретна група от движения на пространство с постоянна кривина (сфера, евклидово или хиперболично пространство), което се генерира от набор от отражения. Групите за отражение се появяват изненадващо често в различни алгебрични задачи.
Иван Аржанцев
Този курс изучава такъв чудесен и напълно елементарен обект като крайномерни комутативни асоциативни алгебри върху комплексни числа. Тук е доста лесно да се докажат първите структурни резултати, но да се получат пълна класификацияедва ли е възможно. Ще обсъдим различни техникиработа с крайномерни алгебри (максимални идеали и локални алгебри, филтриране и градиране, последователност на Хилберт-Самюел и цокъл) и получаване на явно описание на алгебри с малки размери. Оказва се, че крайномерните алгебри са тясно свързани с отворените орбитални действия на комутативни матрични групи върху афинни и проективни пространства. Ще обясним тази връзка. В процеса на обяснение естествено ще възникнат понятия като експонента на линеен оператор, групово представяне и цикличен модул, алгебра на Ли и нейната универсална обгръщаща.
Михаил Тьомкин
Чрез поставяне на тетраедри един до друг по дължината на лицата им, могат да се получат примери за симплициални комплекси - важен математически обект. Нека оцветим триъгълниците на такава структура в черно и бели цветовеи наричаме оцветяване добро, ако всеки тетраедър има равен брой черни и бели лица. Оказва се, че в случая на (стандартно просто разделени) сфери с ниска размерност, наборът от бели триъгълници се оказва обект, който си струва да се изучава: лента на Мьобиус или проективна равнина. Когато описваме как точно тези обекти са разделени на триъгълници, ние естественоще възникне икосаедър - чудесен правилен многостен. Изучаването на групата от неговите самокомбинации ще ни позволи да разберем колко добри оцветители има. По пътя ще срещнем такива важни основни понятияматематика, като гореспоменатия прост комплекс и група на симетрия, действие и др.
Иван Лосев
Лекциите въвеждат основна информация от теорията на представянията на крайни групи, обясняват подхода на Вершик и Окунков към представянията на симетрични групи и говорят какво се случва в положителни характеристикии какво общо има алгебрата на лъжата с това? Курсът трябва да бъде разбираем за студенти, започващи от първата година, които са усвоили добре курса по алгебра.
ОСНОВИ НА ТЕОРИЯ НА ГРУПИТЕ
Лекционен курс
Красноярск, 2007 г
Сенашов, В. И.
Основи на теорията на групите: курс от лекции / , . – Красноярск: Федерална държавна образователна институция за висше професионално образование „Сибирски федерален университет, Институт по естествени и хуманитарни науки“, 20стр.
Дисциплината „Основи на теорията на групите” е продължение на дисциплината „Висша алгебра” и е една от основните специални дисциплини при подготовката на студентите за специалност „Математика”. Лекционният курс е предназначен за студенти и докторанти, специализиращи в катедрата по алгебра и математическа логика.
© Красноярски институт по природни и
Хуманитарни науки, 2007.
РАЗДЕЛ 1. ОБЩА ИНФОРМАЦИЯ …………………………………….. 5
Тема 1. ВЪВЕДЕНИЕ ……………………………………………… 5
Исторически сведения за възникването и развитието на теорията на групите.
Цели и задачи на изследването. кратко описание намодерен
състояние на теорията на групите. Литературен преглед. Главна информация.
Тема 2. Групи, подгрупи…………………………………… 7
Дефиниция на група, примери. Определение на подгрупа,
примери за подгрупи.
РАЗДЕЛ 2. КЛАСОВЕ ГРУПИ, ВИДОВЕ ЗАДАЧИ НА ГРУПИ………. 9
Тема 3. Класове групи, примери……………………………... 9
Крайни и безкрайни групи, периодични групи,
групи без усукване, смесени групи, примери.
Тема 4.Генериращи комплекти. Циклични групи, подгрупи на циклична група ……………………………………. единадесет
Дефиниране на групи чрез генериране на множества. Примери за циклични, 2-генерирани и 3-генерирани групи.
РАЗДЕЛ 3. СТРУКТУРА НА ГРУПАТА ………………………………... 12
Тема 5. Вмеждукласове………………………………………………………….. 12
Свойства на съседни класове. Индекс на подгрупа, теорема на Лагран
Е, последствия.
Тема 6.Класове спрегнати елементи. Нормализатор и центратор ………………………………………………………… 13
Определение и свойства на класове от спрегнати елементи, когато
мерки. Дефиниция на централизатор, нормализатор, теорема за степента на класове от спрегнати елементи.
Тема 7.Център, комутатор. Факторна група …………………………… 14
Определения за център, комутатор. Примери.
Тема 8. Пълни групи………………………………………… 16
Пълни групи, примери. Теореми за пълни групи.
РАЗДЕЛ 4. ГРУПОВИ ЕКСПЛЕИ……………………………………. 17
Тема 9. Заместващи групи ………………………………….
Дефиниции и свойства на заместващите групи. Теорема на Кейли.
Тема 10.Хомоморфизми……………………………………... 18
Дефиниция на хомоморфизъм, примери за хомоморфни преобразувания
ny, теореми за хомоморфизми.
Тема 11. Изоморфизми………………………………………… 20
Дефиниция на изоморфизъм, примери за изоморфни групи.
Тема 12. Автоморфизми……………………………………. 21
Определение за автоморфизъм. Видове автоморфизми, холоморфи.
РАЗДЕЛ 5.РАБОТА НА ГРУПИ …………………………… 24
Тема 13.Директни и декартови произведения……………… 24
Дефиниции. Примери за групи, които могат да се разложат на редове и
Декартови продукти.
Тема 14. Полупряк продукт, безплатно
работа и други видове работи…………………. 27
Полупряк продукт, безплатен продукт, безплатен продукт с комбинирана подгрупа, единен продукт.
Тема 15.Редове в групи……………………………………….. 31
Нормални серии, субнормални серии. Видове групи с редове.
Тема 16. Теорема на Силов…………………………………….. 32
Силовски подгрупи. Теорема на Силов. Приложения на теоремата на Силов.
Тема 17.Алгебрични системи ……………………………… 33
Примери за алгебрични системи. Групоид, полугрупа, квазигрупа, цикъл, група, пръстен, поле.
РАЗДЕЛ 6. КРАЙНИ УСЛОВИЯ В ГРУПИ …………… 35
Тема 18. Групи с условия на минималност и
максимум ………………………………………………………………………. 35
Групи с минимални и максимални условия. Черниковски групи и техните свойства.
Тема 19. Условия на крайност …………………………………… 38
Условия за двупримитивна крайност, спрегнати на бипримитивни
крайници, тяхното отслабване и генерализиране. Шунковски групи. Примери.
РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРИ ЗА ГРУПИ ……………………………………. 40
Тема 20. Групи на диедър……………………………………. 40
Дефиниции и свойства на диедралните групи.
Тема 21. Групи замествания и матрици …………………………… 43
Групи замествания и матрици. Представяне на диедралната група
група от замествания.
Тема 22. Групи движения ………………………………….. 48
Геометрични трансформации. Движения. Симетрия на фигурите.
Групи на симетрия на правилни многостени. Крайни и безкрайни групи на симетрия на пространствени и равнинни фигури.
РАЗДЕЛ 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………... 54
Тема 23. Атласи на групи …………………………………………5 4
Групови маси. Атласи на крайни прости групи и представяния
ции на крайни групи.
Тема 24. Заключение …………………………………………..5 6
Преглед сегашно състояниегрупова теория.
Допълнение ………………………………………………………………. 57
Тема 25.Групи на Фробениус…………………………….. 57
БИБЛИОГРАФСКИ СПИСЪК ……………………………… 62
РАЗДЕЛ 1. ОБЩА ИНФОРМАЦИЯ
Тема 1. ВЪВЕДЕНИЕ
Исторически сведения за възникването и развитието на теорията на групите.Концепцията за група възниква през 18 век, идва от няколко дисциплини: теорията за решаване на алгебрични уравнения в радикали (в трудовете на J. Lagrange и A. Vandermonde през 1771 г. за първи път са използвани замествания за нуждите на тази теория и разлагането на групата от замествания в съседни класове е получено, през 19 век дълбоките връзки между свойствата на групата от пермутации и свойствата на уравненията са посочени от Н. Абел през 1824 г. и Е. Галоа през 1830 г. Особено забележителни са постиженията на Е. Галоа в теорията на групите.Той откри ролята на нормалните подгрупи в решението на проблема за разрешимостта на уравненията в радикалите, установи простотата на редуващи се групи от степен над 4. C. Jordan систематизира и разви изследвания в тази посока в трактат за групата на заместванията през 1870 г.). В проективната геометрия, независимо от това, групите възникват, когато се изучава поведението на фигури при различни трансформации, което доведе до изследване на самите трансформации и търсене на тяхната класификация (тук можем да споменем имената на А. Мобиус, който изучава елементарни видове родство геометрични форми, A. Cayley, който разбира групата като система, дефинирана чрез генериране на елементи и отношения, F. Klein, създателят през 1872 г. на „Програмата Erlangen“, която формира основата за класификацията на геометриите концепцията за група на трансформации). Групово-теоретични идеи могат да бъдат проследени и в теорията на числата. Л. Ойлер през 1761 г., когато изучава „остатъците, оставащи при разделяне на мощности“, използва сравнения и разделения на класове остатъци, тоест на съседни класове по подгрупа. К. Гаус през 1801 г. в „Аритметични изследвания“ определя подгрупите на групата на Галоа на уравнението за разделяне на окръжност и в изследването на „композицията на двоични квадратни форми“ доказа, че класове от еквивалентни форми образуват крайна абелева група по отношение на състава.
В края на 19в. е разработена съвременната абстрактна концепция за група. През 1895 г. С. Лий вече дефинира групата като набор от трансформации, затворени при операция, която е асоциативна и гарантира идентичност и обратни елементи.
Изследването на групите без предположението за тяхната крайност и без предположения за природата на елементите се оформя в самостоятелна област на математиката през 1916 г. в книгата на нашия сънародник „Абстрактна теория на групите“.
В момента теорията на групите е една от най-развитите области на алгебрата, имаща множество приложения както в самата математика, така и извън нея - в топологията, теорията на функциите, кристалографията, квантова механикаи други области на математиката и науката.
В този лекционен курс си припомняме накратко основните дефиниции и теореми от теорията на групите, които са включени в университетския курс по алгебра. След това въвеждаме слушателя в района съвременна теориягрупи чрез представяне на резултатите от последните десетилетия. Нека се спрем по-подробно на примери за групи и групи с условия за крайност.
Цели и задачи на изследването.Дисциплината „Основи на теорията на групите” е продължение на дисциплината „Висша алгебра” и е една от основните специални дисциплини при подготовката на студентите по специалност „Математика”.
Целта на обучението по дисциплината е запознаване с основните дефиниции и основни теореми на теорията на групите, както и развиване на умения и способности за използване на изучаваните теореми при доказателство на нови теореми и за конструиране на примери за групи.
В процеса на изучаване на дисциплината е необходимо да се придобият знания, умения и способности за професионална дейност като изследовател и преподавател по специалността „Математика“.
Специалистът трябва да знае: основните класове групи, класически примери за крайни и безкрайни групи, основни теореми на теорията на групите; да могат да: прилагат научени теореми при доказателства на нови теореми, да използват специализирана литература, справочници, математически енциклопедии, да придобиват практически умения самостоятелна работакогато изучавате групови структури, имайте представа за модерни тенденцииразвитие на теорията на групите в Русия и в света.
При писането на курс от лекции авторите имаха за цел накратко да запознаят читателя с понятията и теоремите на класическия курс на теория на групите и, ако е възможно, да се спрат подробно на концепциите, които са формирани в Красноярската школа по теория на групите и в момента се изучават активно както у нас, така и в чужбина.
Кратко описание на текущото състояние на теорията на групите.В момента теорията на групите е добре развит клон на математиката. Всяка година има международни конференции, посветени на теорията на крайните и безкрайните групи. Само в Русия през 2007 г. бяха проведени няколко международни конференции по теория на групите, една от които в Красноярск.
Има добре развити школи, занимаващи се с теория на групите в Москва, Санкт Петербург, Екатеринбург, Новосибирск, Омск, Томск, Иркутск, Челябинск, Красноярск и други градове на Русия. Стотици специалисти високо квалифицирансе занимават с различни клонове на теорията на групите. В Русия редовно се публикуват списанията „Алгебра и логика“, „Сибирски математически журнал“, „Фундаментална и приложна математика“, „Дискретна математика“, „Доклади на Академията на науките“, в които голям дял заемат статии по теория на групите. Руски учени са написали десетки монографии за крайни и безкрайни групи. постижения руски специалистив теорията на групите отдавна са заслужено признати в целия свят.
Литературен преглед.Когато изучавате дисциплината „Основи на теорията на групите“, препоръчваме да използвате учебници и предложения списък с препратки.
Тема 2. Групи, подгрупи
Дефиниция на група, примери.
Определение.Казват, че комплектът се дава двоична операция, ако е дефиниран закон, който свързва всеки два елемента от множество с един елемент от същото множество.
Определение.Няколко Жс бинарна алгебрична операция, определена върху него, се извиква група, ако:
1) тази операция е асоциативна, т.е. (ab)c = a(bc)за всякакви елементи a, b, cот Ж;
2) в Жима един единствен елемент д: ae=ea=aза всеки елемент аот Ж;
3) за всеки елемент аот Ж V Жсъществува обратноелемент https://pandia.ru/text/78/123/images/image002_125.gif" width="99" height="21 src=">.
Всички четни числа образуват група при добавяне. Групата за събиране също е колекция от цели числа, които са кратни на дадено число н. Наборът от нечетни числа вече няма да бъде група под операцията на добавяне, защото тази операцияни отвежда отвъд този набор. Група се образува и от всички ненулеви положителни рационални числа по отношение на операцията умножение. Числата 1 и -1 в операцията за умножение съставляват последната група.
Определение.Група ЖНаречен абелевскиили комутативен, ако всички елементи на групата комутират един с друг, т.е. комутативният закон е изпълнен ab = baза всякакви елементи а, бот групата Ж.
Примери за абелеви групи са наборите от рационални числа, реални числа и комплексни числа, разглеждани по отношение на операцията събиране. Неабелевите групи включват групи от замествания на повече от два елемента, групи от матрици по отношение на умножението.
Определение. Ред на елементитесе нарича най-малкото естествено число нтакова, че an = e. Означава се с | а|.
Определение. Групов ред Жсе нарича броят на неговите елементи.
Показва реда на групата Жчрез | Ж|. Ако множеството от елементи е безкрайно, казваме това Жима безкраен ред и напишете | Ж| = https://pandia.ru/text/78/123/images/image004_81.gif" width="95" height="29"> | ai M, mi = 1, n = 1, 2, 3, …}.
Доказателство.Нека означим множеството от елементи, въведени във формулировката на теоремата с з.
очевидно, HH з, з-1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image007_53.gif" width="16" height="16 src="> з.
От друга страна,<М> https://pandia.ru/text/78/123/images/image010_47.gif" width="13" height="13 src="> H ). Елемент хНаречен Представителсвързан клас. Десен cosetсе определя по подобен начин.
Свойства на съседни класове:
1) косетите или не се пресичат, или съвпадат;
2) косетите са с еднаква мощност;
3) елементи а, bсъдържащи се в един съседен клас по подгрупа з, Ако b-1 а з.
Доказателството за свойствата е оставено на читателя.
Определение.Брой съседни класове на група Жпо подгрупа зНаречен индексгрупи Жпо подгрупа зи се означава с | G:H|.
Лема на Нойман.Позволявам G –група, която е обединение на краен брой класове върху краен набор от подгрупи. Тогава поне една от тези подгрупи има краен индекс в Ж.
Доказателство.Да предположим, че теоремата е невярна и всяка от подгрупите з 1 ,…, Hnима безкраен индекс в Ж. Нека има разлагане на класове, посочени във формулировката на теоремата:
G = g 11з 1 .gif" width="16" height="20 src="> .gif" width="16 height=20" height="20"> ж 21з 2 … з 2 …
….gif" width="16" height="20">... .gif" width="16" height="20">… з 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">H 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">H 1 ж 21з 2 … .gif" width="16 height=20" height="20">….gif" width="16" height="20">… https://pandia.ru/text/78/123/images/image018_24.gif" width="20 height=19" height="19">.
Очевидно много е обединението на краен брой класове върху подгрупи з 2, …, Hnи съдържа ж 11з 1, по същия начин
ж 11з 1 .gif" width="16" height="20 src="> .gif" width="19" height="17"> .gif" width="24" height="16"> gh, ч hg, ч https://pandia.ru/text/78/123/images/image024_20.gif" width="15" height="15 src="> Ж), ако лявото и дясното съвпадат Жот зсъвпада.
За други свойства на cosets вижте.
Тема 6.Класове спрегнати елементи. Нормализатор и централизатор
Определение и свойства на класове спрегнати елементи, примери.елемент а е спрегнатс елемент bв група Ж, ако има такъв хот G,Какво = б.
Освен това обозначението =брадватрансфери към комплекти: AB = {аб | а А, b б). В тази нотация дефиницията на нормална подгрупа е както следва: з Жтогава и само когато HGH.
Теорема 6.1.Редовете на спрегнатите елементи са равни.
Доказателство.Позволявам = б.Да приемем, че | а| = н, |b| = мИ н < м. Тогава ( )н = ан = д, Но bne. Полученото противоречие доказва теоремата.
Конюгацията е отношение на еквивалентност. (Тоест, три свойства са изпълнени за конюгиране: рефлексивност, симетрия и транзитивност.) Цялата група е разделена на несвързани класове от спрегнати елементи aG. Във всичко бройни системии абелеви групи, класовете от спрегнати елементи се състоят от един елемент. Като цяло различните класове могат да имат различни правомощия. Нормализаторът служи като инструмент за измерване на мощността на класа.
Примери за групи, в които всеки клас от спрегнати елементи се състои от един елемент, са всички абелеви групи. Има три класа спрегнати елементи в групата на пермутации от трета степен: клас, състоящ се от един елемент, клас, състоящ се от два елемента от трети ред и клас, състоящ се от три спрегнати инволюции.
Дефиниция на централизатор, нормализатор, теорема за степента на класове от спрегнати елементи.
Определение.Позволявам М- произволно подмножество на групата Ж, з- неговата подгрупа. Нормализаторът на множеството Mв група Жнаречен набор Н.Х.(М) = { ч | hM = Мх, ч з }.
Определение.Задайте центратор Мв група Жнаречен набор CG(M)={g|gm=mg, m M}.
В абелевите групи централизаторът на всеки елемент съвпада с цялата група. В група от пермутации от трета степен централизаторите на всички елементи съвпадат с цикличните групи, генерирани от тези елементи.
Теорема 6.2.Ако М- подмножество и з- подгрупа на групата Ж, тогава кардиналността на класа от подмножества, спрегнати към Мелементи от зравно на индекс | з : Н.Х.(М) |. По-специално | aG| = |Ж : NG(а) |.
Доказателство.Да покажем Mx, xH, към десните косети зот н = Н.Х.(М): (Mx)= Nx. Дисплей определено: от Mx = Мнизтича Nx = Ню Йорк. Това е едно към едно, защото Nx = Ню Йоркводи след себе си Mx = Мн. Това е картографиране „към“, защото за всеки клас Nxима прототип Mx. Теоремата е доказана.
Тема 7.Център, комутатор. Факторна група
Определения за център, комутатор. Примери.Структурата на групата до голяма степен се определя от променливостта на нейните елементи. Наборът от елементи на група, които комутират с всички нейни елементи, е подгрупа.
Определение.Групов център Жнаречен набор Z(G)=CG(G).
Упражнение.Група ЖАбелев ако и само тогава Z(G)= G.
Определение.Елементи а, bгрупи Жпътувам (пътувам) когато
а-1 b-1 аб = д.
Абелевите групи съвпадат с техния център. В групата на заместванията от трета степен центърът е единен.
Определение.Превключване [а, b] елементи а, bработата се нарича
[а , b] = а-1 b-1 аб.
Определение.Подгрупата, генерирана от всички комутатори, се нарича комутаторгрупи.
Комутаторът е инструмент, който измерва отклонението на групата от комутативността.
Определение.Ако Л, Мса подмножества на група, тогава техният взаимен комутант се нарича подгрупа
[Л , М] = < [а , b] | а Л, b М >.
Примери.
1. [ сн , сн] = Ан, за всеки н.
2. [ Ан, Ан] = Ан, n > 4.
3. [Ж , Ж] = 1 ако Жабелевски
Упражнения.
1. Докажете [ а , b]-1= [b , а].
2. Докажете [ аб , ° С] = [а , ° С]b[ b , ° С].
Групи от пермутации на корени са изследвани по-рано от други Лагранж и . Но заслугата на формулиралия е безспорна основни свойстваконцепции и ги прилага за решаване на нови и трудни проблеми. Това е направено от френския математик Галоа за понятието група. Едва след неговата работа тя става обект на изучаване на математиците.
Еварист Галоа (1811–1832) е роден в Бург-ла-Рейн. През 1823 г. родителите на Еварист го изпращат да учи в Кралския колеж в Париж. Тук той започва да се интересува от математика и започва самостоятелно да изучава трудовете на Лежандр, Ойлер, Лагранж и Гаус.
Галоа е напълно пленен от идеите на Лагранж. Струва му се, както някога Авел, че е намерил решение на уравнение от пета степен. Той прави неуспешен опит да влезе в Политехническото училище, но познанията му по трудовете на Лежандр и Лагранж не са достатъчни и Галоа се връща в колежа.
Тук щастието му се усмихва за първи път - той среща учител, който е успял да оцени гения му. Ричард знаеше как да се издигне над официалните програми, той беше наясно с напредъка на науката и се стремеше да разшири хоризонтите на своите ученици. Коментарите на Ричард за Еварист са прости: „Той работи само в най-високите области на математиката.“
И наистина, вече на седемнадесет години Галоа получава първите си научни резултати. През 1829 г. е публикувана неговата бележка „Доказателство на теорема за периодични продължителни дроби“. В същото време Галоа представя друга работа на Парижката академия на науките. Тя се изгуби при Коши.
Галоа се опитва да влезе в Политехническото училище за втори път и отново не успява. Към това скоро се добавя събитие, което шокира младия мъж: преследван от политически опоненти, баща му се самоубива. Нещастията, които сполетяха Еварист, неминуемо се отразиха и върху него: той стана нервен и избухлив.
През 1829 г. Галоа постъпва в Нормалното училище. В него се обучаваха кандидати за учителско звание. Тук Еварист извършва изследвания върху теорията на алгебричните уравнения и през 1830 г. представя работата си на конкурса на Парижката академия на науките.Съдбата му е в ръцете на постоянния секретар на Академията Фурие. Фурие започва да чете ръкописа, но скоро умира. Вторият ръкопис, както и първият, изчезва.
Настъпи момент в живота на Галоа, изпълнен с важни събития. Присъединява се към републиканците, влиза в Обществото на приятелите на народа и се записва в артилерията национална гвардия. Заради говорене срещу ръководството той беше изключен от Нормалното училище.
На 14 юли 1831 г., в чест на следващата годишнина от превземането на Бастилията, се проведе демонстрация на републиканците. Полицията арестува много демонстранти, сред които Галоа. Процесът срещу Галоа се провежда на 23 октомври 1831 г. Осъден е на 9 месеца затвор. Галоа продължава изследванията си в затвора.
Сутринта на 30 май 1832 г. по време на дуел в град Жантили Галоа е смъртоносно ранен от куршум в стомаха. Ден по-късно той почина.
Математически произведенияГалоа, поне тези, които са оцелели, възлизат на шестдесет малки страници. Никога досега произведения от толкова малък обем не са донесли на автора такава широка слава.
През 1832 г. Галоа, докато е в затвора, съставя програма, която е публикувана само седемдесет години след смъртта му. Но дори в началото на ХХ век не предизвиква сериозен интерес и скоро е забравен. Само съвременните математици, които продължиха работата на много поколения учени, най-накрая реализираха мечтата на Галоа.
„Умолявам моите съдии да прочетат поне тези няколко страници“, започва известния си мемоар Галоа. Въпреки това идеите на Галоа са толкова дълбоки и всеобхватни, че е наистина трудно за всеки учен да ги оцени по онова време.
„...И така, аз вярвам, че опростяванията, получени чрез подобряване на изчисленията (разбира се, имаме предвид фундаментални опростявания, а не технически) изобщо не са безгранични. Ще дойде моментът, когато математиците ще могат да предвидят алгебрични трансформации толкова ясно, че че разходът на време и хартия за внимателното им провеждане ще престане да се изплаща.Не казвам, че анализът не може да постигне нещо ново отвъд тази предвидливост, но мисля, че без него един прекрасен ден всички средства ще бъдат напразни.
Подчинете изчисленията на волята си, групирайте математическите операции, научете се да ги класифицирате по степен на трудност, а не по външни признаци, - това са задачите на математиците на бъдещето, както аз ги разбирам, това е пътят, който искам да следвам.
Нека никой не бърка моя плам с желанието на някои математици да избегнат всякакви изчисления. Вместо алгебрични формули, те използват дълги аргументи и добавят към тромавостта на математическите трансформации тромавостта на словесното описание на тези трансформации, използвайки език, който не е подходящ за изпълнение на такива задачи. Тези математици изостават със сто години.
Нищо подобно не се случва тук. Тук правя анализ анализ. В същото време най-сложните от известните в момента трансформации (елиптични функции) се разглеждат само като частни случаи, много полезни и дори необходими, но все пак не общи, така че отказът от по-нататъшни по-широки изследвания би бил фатална грешка. Ще дойде време и трансформациите за които ние говорим зав по-високия анализ, очертан тук, всъщност ще бъде извършен и класифициран според степента на трудност, а не според вида на функциите, възникващи тук."
Тук е необходимо да се обърне внимание на думите „групови математически операции“. Галоа несъмнено има предвид груповата теория под това.
На първо място, Галоа не се интересуваше от отделни математически проблеми, а от общи идеи, които определят цялата верига от съображения и ръководят логическия ход на мисълта. Неговите доказателства се основават на дълбока теория, която позволява да се комбинират всички резултати, постигнати по това време, и да се определи развитието на науката за дълго време. Няколко десетилетия след смъртта на Галоа немският математик Дейвид Хилберт нарече тази теория „установяване на определена рамка от понятия“. Но без значение какво име е прикрепено към него, очевидно е, че обхваща много голяма област на познание.
„В математиката, както във всяка друга наука“, пише Галоа, „има въпроси, които изискват решения точно в момента. Това са належащи проблеми, които завладяват умовете на напреднали мислители независимо от собствената им воля и съзнание."
Един от проблемите, върху които работи Еварист Галоа, беше решаването на алгебрични уравнения. Какво се случва, ако разглеждаме само уравнения с числени коефициенти? В края на краищата може да се случи, че макар обща формулаНяма такива уравнения за решаване; корените на всяко отделно уравнение могат да бъдат изразени в радикали. Ами ако това не е така? Тогава трябва да има някакъв знак, който ни позволява да определим дали дадено уравнение е решено в радикали или не? Какъв е този знак?
Първото откритие на Галоа е, че той намалява степента на несигурност в техните значения, тоест той установява някои от „свойствата“ на тези корени. Второто откритие се отнася до метода, използван от Галоа за получаване на този резултат. Вместо да изучава самото уравнение, Галоа изучава неговата „група“, или, образно казано, своето „семейство“.
"Група", пише А. Далма, "е колекция от обекти, които имат определени общи свойства. Нека, например, реални числа да бъдат взети като такива обекти. Общото свойство на група от реални числа е, че при умножаване на всеки две елементи от тази група получаваме и реално число.Вместо реални числа, движенията в равнината, изучавани в геометрията, могат да се появят като "обекти"; в този случай свойството на групата е, че сумата от всеки две движения отново дава движение. Преминаване от прости примериЗа по-сложни можете да изберете някои операции върху обекти като „обекти“. В този случай основното свойство на групата ще бъде, че съставът на всеки две операции също е операция. Именно този случай изучава Галоа. Разглеждайки уравнение, което трябваше да бъде решено, той свърза определена група от операции с него (за съжаление не можем да изясним тук как се прави това) и доказа, че свойствата на уравнението се отразяват в характеристиките на тази група. Тъй като различни уравнения могат да имат една и съща група, достатъчно е да разгледаме съответната им група вместо тези уравнения. Това откритие бележи началото модерен етапразвитие на математиката.
От каквито и „обекти” да се състои групата: числа, движения или операции, всички те могат да се разглеждат като абстрактни елементи, които нямат специфични характеристики. За да дефинирате група, трябва само да формулирате Общи правила, което трябва да бъде изпълнено, за да може дадена колекция от „обекти“ да се нарече група. Понастоящем математиците наричат такива правила групови аксиоми; теорията на групите се състои от изброяване на всички логически следствия от тези аксиоми. В същото време непрекъснато се откриват все повече и повече нови свойства; Доказвайки ги, математикът все повече задълбочава теорията. Важно е нито самите обекти, нито операциите върху тях да бъдат специфицирани по никакъв начин. Ако след това, когато се изучава конкретен проблем, е необходимо да се разгледат някои специални математически или физически обекти, които образуват група, тогава въз основа на общата теория е възможно да се предвидят техните свойства. Така теорията на групите осигурява значителни икономии на разходи; В допълнение, това отваря нови възможности за използване на математиката в научните изследвания."
Въвеждането на концепцията за група освобождава математиците от тежката задача да разглеждат много различни теории. Оказа се, че трябва само да подчертаете „основните черти“ на тази или онази теория и тъй като по същество всички те са напълно сходни, достатъчно е да ги обозначите с една и съща дума и веднага става ясно, че безсмислено е да ги изучаваме поотделно.
Галоа се стреми да въведе ново единство в разширения математически апарат. Теорията на групите е преди всичко въвеждане на ред в математическия език.
Теорията на групите, започваща в края на 19 век, оказва огромно влияние върху развитието на математически анализ, геометрия, механика и накрая физика. Впоследствие навлиза и в други области на математиката - групите на Ли се появяват в теорията на диференциалните уравнения, групите на Клайн в геометрията. Възникват и галилеевите групи в механиката и групите в теорията на относителността.