Как се решава минус градус? Отрицателна степен на число: правила за построяване и примери
Първо ниво
Степен и неговите свойства. Изчерпателно ръководство (2019)
Защо са необходими дипломи? Къде ще ви трябват? Защо трябва да отделите време да ги изучавате?
Да научите всичко за дипломите, за какво служат, как да използвате знанията си в Ежедневиетопрочетете тази статия.
И, разбира се, познаването на степени ще ви доближи до успешно завършване OGE или Единен държавен изпит и прием в университета на вашите мечти.
Да вървим... (Да вървим!)
Важна забележка! Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. За да направите това, натиснете CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).
ПЪРВО НИВО
Степенуването е математическа операция точно като събиране, изваждане, умножение или деление.
Сега ще обясня всичко на човешки език на много прости примери. Бъди внимателен. Примерите са елементарни, но обясняват важни неща.
Да започнем с добавянето.
Тук няма какво да се обяснява. Вече знаете всичко: осем сме. Всеки има по две бутилки кола. Колко кола има? Точно така - 16 бутилки.
Сега умножение.
Същият пример с кола може да бъде написан по различен начин: . Математиците са хитри и мързеливи хора. Те първо забелязват някои модели и след това намират начин да ги „преброят“ по-бързо. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души имаше еднакъв брой бутилки кола и измислиха техника, наречена умножение. Съгласете се, счита се за по-лесно и по-бързо от.
Така че, за да броите по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблица за умножение. Разбира се, можете да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! Но…
Ето таблицата за умножение. Повторете.
И още един по-красив:
Какви други умни трикове за броене са измислили мързеливите математици? точно - повишаване на число на степен.
Повдигане на число на степен
Ако трябва да умножите число само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да повдигнете това число на пета степен. Например, . Математиците помнят, че две на пета степен е... И решават такива проблеми в главите си - по-бързо, по-лесно и безгрешно.
Всичко, което трябва да направите е запомнете какво е маркирано с цвят в таблицата на степените на числата. Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.
Между другото, защо се нарича втора степен? квадратчисла, а третият - куб? Какво означава? Много Добър въпрос. Сега ще имате както квадрати, така и кубчета.
Пример от реалния живот №1
Нека започнем с квадрата или втората степен на числото.
Представете си квадратен басейн с размери метър на метър. Басейнът е във вашата дача. Горещо е и много искам да плувам. Но... басейнът няма дъно! Трябва да покриете дъното на басейна с плочки. Колко плочки ви трябват? За да определите това, трябва да знаете долната площ на басейна.
Можете просто да изчислите, като посочите с пръст, че дъното на басейна се състои от кубчета метър по метър. Ако имате плочки метър на метър, ще ви трябват парчета. Лесно е... Но къде сте виждали такива плочки? Плочката най-вероятно ще бъде см на см. И тогава ще бъдете измъчвани от „броене с пръст“. След това трябва да умножите. И така, от едната страна на дъното на басейна ще поставим плочки (парчета), а от другата също плочки. Умножете по и ще получите плочки ().
Забелязахте ли, че за да определим площта на дъното на басейна, умножихме едно и също число по себе си? Какво означава? Тъй като умножаваме едно и също число, можем да използваме техниката на „постепенно степенуване“. (Разбира се, когато имате само две числа, все още трябва да ги умножите или да ги повдигнете на степен. Но ако имате много от тях, тогава повишаването им на степен е много по-лесно и също така има по-малко грешки в изчисленията , За Единния държавен изпит това е много важно).
И така, тридесет на втора степен ще бъде (). Или можем да кажем, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на число винаги може да бъде представена като квадрат. И обратното, ако видите квадрат, той ВИНАГИ е втората степен на дадено число. Квадратът е изображение на втората степен на число.
Пример от реалния живот №2
Ето една задача за вас: пребройте колко квадратчета има на шахматната дъска, като използвате квадрата на числото... От едната страна на клетките и от другата също. За да изчислите техния брой, трябва да умножите осем по осем или... ако забележите, че шахматната дъска е квадрат със страна, тогава можете да квадратирате осем. Ще получите клетки. () Така?
Пример от реалния живот #3
Сега кубът или третата степен на число. Същият басейн. Но сега трябва да разберете колко вода ще трябва да се излее в този басейн. Трябва да изчислите обема. (Между другото, обемите и течностите се измерват в кубични метри. Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъното е с размери метър и дълбочина и се опитайте да преброите колко кубчета с размери метър на метър ще се поберат във вашия басейн.
Просто посочете пръста си и пребройте! Едно, две, три, четири...двадесет и две, двадесет и три...Колко получихте? Не сте изгубени? Трудно ли е да броите с пръст? Така че! Вземете пример от математиците. Те са мързеливи, затова забелязаха, че за да изчислите обема на басейна, трябва да умножите неговата дължина, ширина и височина един по друг. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчета... По-лесно, нали?
Сега си представете колко мързеливи и хитри са математиците, ако опростят и това. Сведохме всичко до едно действие. Забелязаха, че дължината, ширината и височината са равни и че едно и също число се умножава по себе си... Какво означава това? Това означава, че можете да се възползвате от степента. И така, това, което някога сте преброили с пръста си, те правят с едно действие: три кубчета са равни. Написано е така: .
Всичко, което остава е помнете градусната таблица. Освен ако, разбира се, не сте мързеливи и хитри като математиците. Ако обичате да работите усилено и да правите грешки, можете да продължите да броите с пръст.
Е, за да ви убедя най-накрая, че дипломите са измислени от отказали се и хитри хора, за да решават своите житейски проблеми, и за да не ви създавам проблеми, ето още няколко примера от живота.
Пример от реалния живот #4
Имате милион рубли. В началото на всяка година, за всеки милион, който правите, правите още един милион. Тоест всеки милион, който имате, се удвоява в началото на всяка година. Колко пари ще имате след години? Ако сега седите и "броите с пръст", значи сте много трудолюбив човек и... глупав. Но най-вероятно ще дадете отговор след няколко секунди, защото сте умни! И така, първата година - две умножено по две... втората година - какво стана, още две, третата година... Спри! Забелязахте, че числото се умножава по себе си пъти. Значи две на пета степен е милион! Сега си представете, че имате състезание и този, който може да брои най-бързо, ще получи тези милиони... Струва си да си припомним силата на числата, не мислите ли?
Пример от реалния живот #5
Имате милион. В началото на всяка година за всеки милион, който направите, печелите още два. Страхотно нали? Всеки милион се утроява. Колко пари ще имате след една година? Да преброим. Първата година - умножете по, след това резултатът с още един ... Вече е скучно, защото вече сте разбрали всичко: три се умножава по себе си пъти. Така че на четвърта степен е равно на милион. Просто трябва да помниш, че три на четвърта степен е или.
Сега знаете, че като повдигнете число на степен, ще улесните много живота си. Нека да разгледаме по-подробно какво можете да правите със степените и какво трябва да знаете за тях.
Термини и понятия... за да не се бъркаме
Така че, първо, нека дефинираме понятията. Какво мислиш, какво е степенен показател? Много е просто - това е числото, което е "на върха" на степента на числото. Не научно, но ясно и лесно за запомняне...
Е, в същото време какво такава основа за степен? Още по-просто - това е числото, което се намира отдолу, в основата.
Ето една рисунка за добра мярка.
Добре в общ изглед, с цел обобщаване и по-добро запомняне... Степен с основа “ ” и показател “ ” се чете като “на степен” и се записва по следния начин:
Степен на число с естествен показател
Вероятно вече се досещате: защото показателят е естествено число. Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествените числа са тези числа, които се използват при броене при изброяване на предмети: едно, две, три... Когато броим предмети, ние не казваме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“. Ние също не казваме: „една трета“ или „нула цяло пет“. Не е цели числа. Какви числа мислите, че са това?
Числа като „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“ се отнасят за цели числа.Като цяло целите числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (т.е. взети със знак минус) и число. Нулата е лесна за разбиране - това е, когато няма нищо. Какво означават отрицателните („минус“) числа? Но те са измислени предимно за посочване на дългове: ако имате баланс на телефона си в рубли, това означава, че дължите на оператора рубли.
Всички дроби са рационални числа. Как са възникнали, според вас? Много просто. Преди няколко хиляди години нашите предци открили, че им липсват естествени числа за измерване на дължина, тегло, площ и т.н. И те измислиха рационални числа... Интересно, нали?
Има и ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко, това е безкрайна десетична дроб. Например, ако разделите обиколката на кръг на неговия диаметър, ще получите ирационално число.
Резюме:
Нека дефинираме концепцията за степен, чийто експонент е естествено число (т.е. цяло число и положително).
- Всяко число на първа степен е равно на себе си:
- Да повдигнете число на квадрат означава да го умножите по себе си:
- Да кубирате число означава да го умножите само по себе си три пъти:
Определение.Повишаването на число на естествена степен означава числото да се умножи по себе си пъти:
.
Свойства на степените
Откъде са дошли тези имоти? Сега ще ви покажа.
Да видим: какво е това И ?
A-приори:
Колко множителя има общо?
Много е просто: добавихме множители към факторите и резултатът е множители.
Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест: , което трябваше да се докаже.
Пример: Опростете израза.
Решение:
Пример:Опростете израза.
Решение:Важно е да се отбележи, че в нашето правило Задължителнотрябва да има същите причини!
Следователно ние комбинираме мощностите с основата, но тя остава отделен фактор:
само за произведението на мощностите!
При никакви обстоятелства не можете да пишете това.
2. това е всичко та степен на число
Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степен:
Оказва се, че изразът се умножава по себе си пъти, тоест според дефиницията това е степента на числото:
По същество това може да се нарече „изваждане на индикатора от скоби“. Но никога не можете да направите това напълно:
Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем?
Но това в крайна сметка не е вярно.
Сила с отрицателна основа
До този момент сме обсъждали само какъв трябва да бъде показателят.
Но каква трябва да бъде основата?
В правомощията на естествен показателосновата може да бъде произволен брой. Всъщност можем да умножим всякакви числа едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни.
Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?
Например числото положително или отрицателно ли е? А? ? С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно по друго, резултатът ще бъде положителен.
Но негативните са малко по-интересни. Спомняме си простото правило от 6 клас: „минус за минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по, работи.
Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
успяхте ли
Ето и отговорите: В първите четири примера, надявам се, всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: в крайна сметка няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен.
Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).
Пример 6) вече не е толкова прост!
6 примера за практикуване
Анализ на решението 6 примера
Ако пренебрегнем осмата сила, какво виждаме тук? Да си припомним програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:
Нека погледнем внимателно знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Редът на термините е грешен. Ако бяха обърнати, правилото можеше да се приложи.
Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: четната степен на знаменателя ни помага тук.
По магически начин термините смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем лесно да променим знаците в скобите.
Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!
Да се върнем към примера:
И отново формулата:
Цялнаричаме естествените числа, противоположните им (т.е. взети със знака " ") и числото.
положително цяло число, и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.
Сега нека да разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.
Всяко число на нулева степен е равно на едно:
Както винаги, нека се запитаме: защо това е така?
Нека разгледаме някаква степен с основа. Вземете например и умножете по:
И така, умножихме числото по и получихме същото нещо, каквото беше - . По какво число трябва да умножите, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.
Можем да направим същото с произволно число:
Нека повторим правилото:
Всяко число на нулева степен е равно на едно.
Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).
От една страна трябва да е равно на произволна степен - колкото и да умножаваш нулата по себе си, пак ще получиш нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число на нулева степен, то трябва да е равно. И така, колко от това е вярно? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да повдигнат нулата на нулева степен. Тоест сега не можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем на нулева степен.
Да продължим. Освен естествени числа и числа, целите числа включват и отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим както миналия път: умножете някакво нормално число по същото число на отрицателна степен:
От тук е лесно да изразите това, което търсите:
Сега нека разширим полученото правило до произволна степен:
И така, нека формулираме правило:
Число с отрицателна степен е реципрочната стойност на същото число с положителна степен. Но в същото време Базата не може да бъде нула:(защото не можете да разделите по).
Нека обобщим:
I. Изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.
II. Всяко число на нулева степен е равно на едно: .
III. Число, което не е равно на нула на отрицателна степен, е обратното на същото число на положителна степен: .
Задачи за самостоятелно решаване:
Е, както обикновено, примери за независими решения:
Анализ на проблемите за самостоятелно решение:
Знам, знам, цифрите са страшни, но на Единния държавен изпит трябва да сте подготвени за всичко! Решете тези примери или анализирайте техните решения, ако не сте успели да ги решите и ще се научите да се справяте лесно с тях на изпита!
Нека продължим да разширяваме диапазона от числа, „подходящи“ като показател.
Сега нека помислим рационални числа.Кои числа се наричат рационални?
Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа и.
За да разбере какво е "дробна степен", разгледайте фракцията:
Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:
Сега нека си припомним правилото за "степен на степен":
Какво число трябва да се повдигне на степен, за да се получи?
Тази формулировка е дефиницията на корена на степен th.
Нека ви напомня: коренът на степен th на число () е число, което, когато е повдигнато на степен, е равно на.
Тоест коренът на та степен е обратната операция на повдигане на степен: .
Оказва се, че. Очевидно това специален случайможе да се разшири: .
Сега добавяме числителя: какво е това? Отговорът е лесен за получаване с помощта на правилото мощност към степен:
Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.
Нито един!
Нека си припомним правилото: всяко число, повдигнато на четна степен, е положително число. Тоест, невъзможно е да се извлекат четни корени от отрицателни числа!
Това означава, че такива числа не могат да бъдат повдигнати на дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.
Какво ще кажете за израза?
Но тук възниква проблем.
Числото може да бъде представено под формата на други, редуцируеми дроби, например, или.
И се оказва, че съществува, но не съществува, но това са просто два различни записа на едно и също число.
Или друг пример: веднъж, след това можете да го запишете. Но ако запишем индикатора по различен начин, отново ще имаме проблеми: (тоест получихме съвсем различен резултат!).
За да избегнем подобни парадокси, смятаме само положителен основен показател с дробен показател.
Така че, ако:
- - естествено число;
- - цяло число;
Примери:
Рационалните експоненти са много полезни за трансформиране на изрази с корени, например:
5 примера за практикуване
Анализ на 5 примера за обучение
Е, сега идва най-трудната част. Сега ще го разберем степен с ирационален показател.
Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение
В края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест всички ирационални числа са реални числа, с изключение на рационалните).
Когато изучаваме степени с естествени, цели и рационални показатели, всеки път създаваме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.
Например степен с естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти;
...число на нулева степен- това е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест те все още не са започнали да го умножават, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определено „празно число“ , а именно число;
...цяло отрицателно число- сякаш е настъпил някакъв „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.
Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число.
Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.
КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЩЕ ОТИДЕТЕ! (ако се научиш да решаваш такива примери :))
Например:
Решете сами:
Анализ на решенията:
1. Нека започнем с обичайното правило за повишаване на степен на степен:
Сега погледнете индикатора. Той не ти ли напомня за нищо? Нека си припомним формулата за съкратено умножение на разликата на квадратите:
В такъв случай,
Оказва се, че:
Отговор: .
2. Намаляваме дробите в експоненти до една и съща форма: или двата десетични, или двата обикновени. Получаваме например:
Отговор: 16
3. Нищо специално, използваме обичайните свойства на градусите:
НАПРЕДНАЛО НИВО
Определяне на степен
Степента е израз на формата: , където:
- — степен база;
- - експонента.
Степен с натурален показател (n = 1, 2, 3,...)
Повишаването на число на естествена степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:
Степен с цяло число (0, ±1, ±2,...)
Ако показателят е положително цяло числономер:
Строителство до нулева степен:
Изразът е неопределен, защото, от една страна, на произволна степен е това, а от друга страна, всяко число на та степен е това.
Ако показателят е отрицателно цяло числономер:
(защото не можете да разделите по).
Още веднъж за нули: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.
Примери:
Степен с рационален показател
- - естествено число;
- - цяло число;
Примери:
Свойства на степените
За да улесним решаването на проблемите, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Нека ги докажем.
Да видим: какво е и?
A-приори:
И така, от дясната страна на този израз получаваме следния продукт:
Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест:
Q.E.D.
Пример : Опростете израза.
Решение : .
Пример : Опростете израза.
Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило Задължителнотрябва да има същите причини. Следователно ние комбинираме мощностите с основата, но тя остава отделен фактор:
Друг важна забележка: това правило е - само за произведение на мощности!
При никакви обстоятелства не можете да пишете това.
Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степен:
Нека прегрупираме тази работа по следния начин:
Оказва се, че изразът се умножава по себе си пъти, тоест според дефиницията това е степента на числото:
По същество това може да се нарече „изваждане на индикатора от скоби“. Но никога не можете да направите това напълно: !
Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това в крайна сметка не е вярно.
Сила с отрицателна основа.
До този момент сме обсъждали само какво трябва да бъде индексстепени. Но каква трябва да бъде основата? В правомощията на естествено индикатор основата може да бъде произволен брой .
Всъщност можем да умножим всякакви числа едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни. Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?
Например числото положително или отрицателно ли е? А? ?
С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно по друго, резултатът ще бъде положителен.
Но негативните са малко по-интересни. Спомняме си простото правило от 6 клас: „минус за минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по (), получаваме - .
И така до безкрайност: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Можем да формулираме следното прости правила:
- дористепен, - номер положителен.
- Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
- Положително число на каквато и да е степен е положително число.
- Нула на произволна степен е равна на нула.
Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:
1. | 2. | 3. |
4. | 5. | 6. |
успяхте ли Ето и отговорите:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
В първите четири примера, надявам се всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.
В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: в крайна сметка няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).
Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомним това, става ясно, че, което означава, че основата е по-малка от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.
И отново използваме определението за степен:
Всичко е както обикновено - записваме определението на степените и ги разделяме един на друг, разделяме ги на двойки и получаваме:
Преди да разгледаме последното правило, нека решим няколко примера.
Пресметнете изразите:
Решения :
Ако пренебрегнем осмата сила, какво виждаме тук? Да си припомним програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите!
Получаваме:
Нека погледнем внимателно знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Редът на термините е грешен. Ако бяха обърнати, би могло да се приложи правило 3. Но как? Оказва се, че е много лесно: четната степен на знаменателя ни помага тук.
Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега се оказва така:
По магически начин термините смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем лесно да променим знаците в скобите. Но е важно да запомните: Всички знаци се променят едновременно!Не можете да го замените, като промените само един недостатък, който не ни харесва!
Да се върнем към примера:
И отново формулата:
И така, последното правило:
Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека разширим концепцията за степен и да я опростим:
Е, сега нека отворим скобите. Колко букви има общо? пъти по множители - на какво ви напомня това? Това не е нищо повече от определение на операция умножение: Там имаше само множители. Тоест, това по дефиниция е степен на число с показател:
Пример:
Степен с ирационален показател
В допълнение към информацията за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален показател. Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение - в края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните числа).
Когато изучаваме степени с естествени, цели и рационални показатели, всеки път създаваме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например степен с естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти; число на нулева степен е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест те все още не са започнали да го умножават, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определен „празно число“, а именно число; степен с цяло число отрицателен експонент - сякаш е настъпил някакъв „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.
Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (точно както е трудно да си представим 4-измерно пространство). Това е по-скоро чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен към цялото пространство на числата.
Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число. Но в училище не мислим за подобни трудности; ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.
Какво правим, ако видим ирационален показател? Опитваме се да се отървем от него! :)
Например:
Решете сами:
1) | 2) | 3) |
Отговори:
- Нека си спомним формулата за разликата на квадратите. Отговор: .
- Привеждаме дробите до една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например: .
- Нищо специално, използваме обичайните свойства на градусите:
ОБОБЩЕНИЕ НА РАЗДЕЛА И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ
Степеннаречен израз от формата: , където:
Степен с цяло число
степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).
Степен с рационален показател
степен, чийто показател е отрицателни и дробни числа.
Степен с ирационален показател
степен, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.
Свойства на степените
Характеристики на степените.
- Отрицателното число е повишено до дористепен, - номер положителен.
- Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
- Положително число на каквато и да е степен е положително число.
- Нула е равна на всяка степен.
- Всяко число на нулева степен е равно.
СЕГА ИМАТЕ ДУМАТА...
Как ви харесва статията? Напишете по-долу в коментарите дали ви е харесало или не.
Разкажете ни за вашия опит с използването на свойства на степени.
Може би имате въпроси. Или предложения.
Пишете в коментарите.
И успех на изпитите!
Степента се използва за опростяване на операцията по умножаване на число по себе си. Например, вместо да пишете, можете да пишете 4 5 (\displaystyle 4^(5))(обяснение за този преход е дадено в първия раздел на тази статия). Степените улесняват писането на дълги или сложни изрази или уравнения; степените също са лесни за добавяне и изваждане, което води до опростен израз или уравнение (напр. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).
Забележка:ако трябва да решите експоненциално уравнение (в такова уравнение неизвестното е в степента), прочетете.
стъпки
Решаване на прости задачи със степени
- 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
- 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)
-
Умножете резултата (16 в нашия пример) по следващото число. Всеки следващ резултат ще нараства пропорционално. В нашия пример умножете 16 по 4. Така:
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
- 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
- 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
- 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
- 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
- 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
- Продължете да умножавате резултата от първите две числа по следващото число, докато получите окончателния отговор. За да направите това, умножете първите две числа и след това умножете получения резултат по следващото число в редицата. Този метод е валиден за всяка степен. В нашия пример трябва да получите: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
-
Решете следните задачи.Проверете отговора си с помощта на калкулатор.
- 8 2 (\displaystyle 8^(2))
- 3 4 (\displaystyle 3^(4))
- 10 7 (\displaystyle 10^(7))
-
На вашия калкулатор потърсете ключа с надпис "exp" или " x n (\displaystyle x^(n))“ или „^“.С помощта на този ключ ще повдигнете число на степен. Почти невъзможно е ръчно да се изчисли степен с голям индикатор (например степента 9 15 (\displaystyle 9^(15))), но калкулаторът може лесно да се справи с тази задача. В Windows 7 стандартният калкулатор може да бъде превключен в инженерен режим; За да направите това, щракнете върху „Преглед“ -> „Инженеринг“. За да превключите към нормален режим, щракнете върху „Преглед“ -> „Нормално“.
- Проверете получения отговор с помощта на търсачка (Google или Yandex). Използвайки клавиша "^" на клавиатурата на компютъра, въведете израза в търсачката, която незабавно ще покаже правилния отговор (и евентуално ще предложи подобни изрази, които да изучавате).
Събиране, изваждане, умножение на степени
-
Можете да събирате и изваждате градуси само ако имат еднакви основи.Ако трябва да добавите степени с еднакви основи и показатели, тогава можете да замените операцията събиране с операцията умножение. Например, като се има предвид изразът 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Не забравяйте, че степента 4 5 (\displaystyle 4^(5))могат да бъдат представени във формата 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); По този начин, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(където 1 +1 =2). Тоест, пребройте броя на подобни степени и след това умножете тази степен и това число. В нашия пример повишете 4 на пета степен и след това умножете получения резултат по 2. Не забравяйте, че операцията събиране може да бъде заменена с операцията умножение, например, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Ето и други примери:
- 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
- 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
- 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
- 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
-
При умножение на степени с една и съща основа се събират техните показатели (основата не се променя).Например, като се има предвид изразът x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). В този случай просто трябва да добавите индикаторите, като оставите основата непроменена. По този начин, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Ето визуално обяснение на това правило:
При повишаване на степен на степен показателите се умножават.Например, дава се степен. Тъй като експонентите се умножават, тогава (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Смисълът на това правило е, че умножавате по степени (x 2) (\displaystyle (x^(2)))върху себе си пет пъти. Като този:
- (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
- (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
- Тъй като основата е една и съща, показателите просто се сумират: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
-
Степен с отрицателен показател трябва да се преобразува в дроб (обратна степен).Няма значение, ако не знаете какво е реципрочна степен. Ако ви бъде дадена степен с отрицателен показател, напр. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), запишете тази степен в знаменателя на дробта (поставете 1 в числителя) и направете показателя положителен. В нашия пример: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Ето и други примери:
При деление на степени с една и съща основа, експонентите им се изваждат (основата не се променя).Операцията деление е противоположна на операцията умножение. Например, като се има предвид изразът 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Извадете степента в знаменателя от степента в числителя (не променяйте основата). По този начин, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
- Степента в знаменателя може да бъде записана по следния начин: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Не забравяйте, че дробта е число (степен, израз) с отрицателен показател.
-
По-долу са дадени някои изрази, които ще ви помогнат да се научите да решавате задачи с показатели.Дадените изрази покриват материала, представен в този раздел. За да видите отговора, просто маркирайте празното място след знака за равенство.
Решаване на задачи с дробни показатели
-
Ако показателят е неправилна дроб, тогава показателят може да се разложи на две степени, за да се опрости решението на проблема. В това няма нищо сложно - просто помнете правилото за умножение на степените. Например, дава се степен. Преобразувайте такава степен в корен, чиято степен е равна на знаменателя на дробния показател, и след това повдигнете този корен до степен, равна на числителя на дробния показател. За да направите това, помнете това 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). В нашия пример:
- x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
- x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
- x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
- Някои калкулатори имат бутон за изчисляване на степени (първо трябва да въведете основата, след това да натиснете бутона и след това да въведете степента). Означава се като ^ или x^y.
- Не забравяйте, че всяко число на първа степен е равно на себе си, например, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Освен това всяко число, умножено или разделено на едно, е равно на себе си, напр. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)И 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
- Знайте, че степента 0 0 не съществува (такава степен няма решение). Ако се опитате да решите такава степен на калкулатор или на компютър, ще получите грешка. Но не забравяйте, че всяко число на нулева степен е 1, например, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
- Във висшата математика, която оперира с въображаеми числа: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Където i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e е константа, приблизително равна на 2,7; a е произволна константа. Доказателството за това равенство може да се намери във всеки учебник по висша математика.
Степен с дробен показател (например ) се преобразува в операция за корен.В нашия пример: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Тук няма значение кое число е в знаменателя на дробния показател. Например, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- е четвъртият корен от “x”, т.е x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .
Предупреждения
- С увеличаването на експонентата неговата стойност нараства значително. Така че, ако отговорът ви изглежда грешен, той всъщност може да е правилен. Можете да проверите това, като начертаете всеки експоненциална функциянапример 2 x .
Умножете основата на експонентата по себе си толкова пъти, колкото е степента.Ако трябва да решите степенна задача на ръка, пренапишете степента като операция за умножение, където основата на степента се умножава сама по себе си. Например, дадена степен 3 4 (\displaystyle 3^(4)). В този случай основата на степен 3 трябва да се умножи сама по себе си 4 пъти: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Ето и други примери:
Първо умножете първите две числа.Например, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Не се притеснявайте - процесът на изчисление не е толкова сложен, колкото изглежда на пръв поглед. Първо умножете първите две четворки и след това ги заменете с резултата. Като този:
В тази статия ще разберем какво е то степен на. Тук ще дадем дефиниции на степента на число, като същевременно ще разгледаме подробно всички възможни показатели, като започнем от естествения показател и завършим с ирационалния. В материала ще намерите много примери за степени, покриващи всички тънкости, които възникват.
Навигация в страницата.
Степен с естествен показател, квадрат на число, куб на число
Да започнем с. Гледайки напред, нека кажем, че дефиницията на степента на число a с естествен показател n е дадена за a, което ще наречем степен основа, и n, които ще наречем експонент. Отбелязваме също, че степен с естествен показател се определя чрез произведение, така че за да разберете материала по-долу, трябва да имате разбиране за умножаване на числа.
Определение.
Степен на число с естествен показател nе израз на формата a n, чиято стойност е равна на произведението от n фактора, всеки от които е равен на a, т.е.
По-специално, степента на число a с показател 1 е самото число a, тоест a 1 =a.
Струва си да споменем веднага за правилата за четене на степени. Универсален методчетенето на записа a n е: „a на степен n“. В някои случаи са приемливи и следните опции: „a на n-та степен“ и „n-та степен на a“. Например, нека вземем степен 8 12, това е „осем на степен дванадесет“, или „осем на дванадесета степен“, или „дванадесета степен на осем“.
Втората степен на числото, както и третата степен на числото имат свои имена. Втората степен на число се нарича квадрат на числото, например, 7 2 се чете като „седем на квадрат“ или „квадрат на числото седем“. Третата степен на число се нарича кубични числа, например, 5 3 може да се чете като „пет кубчета“ или можете да кажете „куб на числото 5“.
Време е да донесете примери за степени с естествен показател. Нека започнем със степен 5 7, тук 5 е основата на степента, а 7 е степента. Нека дадем друг пример: 4,32 е основата, а естественото число 9 е показателят (4,32) 9 .
Моля, обърнете внимание, че в последния пример основата на степента 4.32 е написана в скоби: за да избегнем несъответствия, ще поставим в скоби всички основи на степента, които са различни от естествените числа. Като пример даваме следните степени с естествени показатели , основите им не са естествени числа, затова се записват в скоби. Е, за пълна яснота, в този момент ще покажем разликата, съдържаща се в записите под формата (−2) 3 и −2 3. Изразът (−2) 3 е степен на −2 с естествен показател 3, а изразът −2 3 (може да бъде записан като −(2 3) ) съответства на числото, стойността на степента 2 3 .
Обърнете внимание, че има нотация за степента на число a с показател n във формата a^n. Освен това, ако n е многозначно естествено число, тогава показателят се взема в скоби. Например 4^9 е друга нотация за степента на 4 9 . И ето още няколко примера за записване на степени с помощта на символа “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В това, което следва, ние ще използваме основно запис на степен на формата a n.
Един от проблемите, обратни на повдигането на степен с естествен показател, е проблемът за намиране на основата на степен от известна стойност на степента и известен показател. Тази задача води до.
Известно е, че множеството от рационални числа се състои от цели числа и дроби, като всяка дроб може да бъде представена като положителна или отрицателна обикновена дроб. Дефинирахме степен с цяло число в предходния параграф, следователно, за да завършим дефиницията на степен с рационален показател, трябва да дадем значение на степента на числото a с дробен показател m/n, където m е цяло число и n е естествено число. Хайде да го направим.
Нека разгледаме степен с дробен показател от формата . За да остане валидно свойството мощност към степен, равенството трябва да е спазено . Ако вземем предвид полученото равенство и как сме определили , тогава е логично да го приемем при условие, че за дадени m, n и a изразът има смисъл.
Лесно се проверява, че за всички свойства на степен с цял показател са валидни (това беше направено в раздела свойства на степен с рационален показател).
Горното разсъждение ни позволява да направим следното заключение: ако са дадени m, n и a, изразът има смисъл, тогава степента на a с дробен показател m/n се нарича n-ти корен от a на степен m.
Това твърдение ни доближава до дефиницията на степен с дробен показател. Всичко, което остава, е да опишем при какви m, n и a изразът има смисъл. В зависимост от ограниченията, наложени на m, n и a, има два основни подхода.
Най-лесният начин е да наложите ограничение на a, като вземете a≥0 за положително m и a>0 за отрицателно m (тъй като за m≤0 степента 0 на m не е дефинирана). Тогава получаваме следната дефиниция на степен с дробен показател.
Определение.
Степен на положително число a с дробен показател m/n, където m е цяло число и n е естествено число, се нарича n-ти корен на числото a на степен m, т.е.
Дробната степен на нула също се определя с единственото предупреждение, че индикаторът трябва да е положителен.
Определение.
Степен нула с дробен положителен показател m/n, където m е положително цяло число и n е естествено число, се дефинира като .
Когато степента не е определена, тоест степента на числото нула с дробен отрицателен показател няма смисъл.
Трябва да се отбележи, че при тази дефиниция на степен с дробен показател има едно предупреждение: за някои отрицателни a и някои m и n изразът има смисъл и ние отхвърлихме тези случаи, като въведохме условието a≥0. Например, записите имат смисъл или , и дефиницията, дадена по-горе, ни принуждава да кажем, че степените с дробен показател на формата
нямат смисъл, тъй като основата не трябва да е отрицателна.
Друг подход за определяне на степен с дробен показател m/n е отделно разглеждане на четните и нечетните показатели на корена. Този подход изисква допълнително условие: степента на числото a, чийто показател е , се счита за степен на числото a, чийто показател е съответната несъкратима дроб (ще обясним важността на това условие по-долу ). Тоест, ако m/n е несъкратима дроб, тогава за всяко естествено число k степента първо се заменя с .
За четно n и положително m изразът има смисъл за всяко неотрицателно a (четен корен от отрицателно число няма смисъл); за отрицателно m числото a все още трябва да е различно от нула (в противен случай ще има деление с нула). И за нечетно n и положително m числото a може да бъде всяко (коренът на нечетна степен е дефиниран за всяко реално число), а за отрицателно m числото a трябва да е различно от нула (така че да няма деление на нула).
Горното разсъждение ни води до тази дефиниция на степен с дробен показател.
Определение.
Нека m/n е несъкратима дроб, m е цяло число и n е естествено число. За всяка съкратима дроб степента се заменя с . Степента на число с несъкратим дробен показател m/n е за
![](https://i0.wp.com/cleverstudents.ru/powers/images/powers/023.png)
Нека обясним защо степен с редуцируем дробен показател първо се заменя със степен с нередуцируем показател. Ако просто дефинираме степента като и не направим уговорка относно несводимостта на дробта m/n, тогава ще се сблъскаме със ситуации, подобни на следното: тъй като 6/10 = 3/5, тогава равенството трябва да е спазено , Но
, А .
Число, повдигнато на степенТе наричат число, което се умножава по себе си няколко пъти.
Степен на число с отрицателна стойност (a - n) може да се определи по подобен начин, както се определя степента на същото число с положителен показател (a n) . Той обаче изисква и допълнително определение. Формулата се дефинира като:
а-н = (1/a n)
Свойствата на отрицателните степени на числата са подобни на степените с положителен показател. Представено уравнение а m/a n= м-н може да е справедливо като
« Никъде, както в математиката, яснотата и точността на заключението не позволяват на човек да се измъкне от отговор, като говори около въпроса».
А. Д. Александров
при н Повече ▼ м , и със м Повече ▼ н . Да разгледаме един пример: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .
Първо трябва да определите числото, което действа като дефиниция на степента. b=a(-n) . В този пример -н е степенен показател b - желаната числена стойност, а - основата на степента под формата на естествена числова стойност. След това определете модула, тоест абсолютната стойност на отрицателно число, което действа като експонента. Изчислете степента на дадено число спрямо абсолютно число като индикатор. Стойността на градуса се намира, като едно се раздели на полученото число.
Ориз. 1
Помислете за степента на число с отрицателен дробен показател. Нека си представим, че числото а е всяко положително число, числа н И м - цели числа. Според определението а , която е издигната на степен - е равно на единица, разделена на същото число с положителна степен (Фигура 1). Когато степента на дадено число е дроб, тогава в такива случаи се използват само числа с положителни показатели.
Струва си да се помниче нулата никога не може да бъде показател на число (правилото за деление на нула).
Разпространението на такава концепция като число стана такива манипулации като изчисления на измерванията, както и развитието на математиката като наука. Въвеждането на отрицателни стойности се дължи на развитието на алгебрата, което даде общи решенияаритметични задачи, независимо от тяхното конкретно значение и изходни числови данни. В Индия, още през 6-11 век, отрицателните числа са били систематично използвани при решаване на задачи и са били интерпретирани по същия начин, както днес. В европейската наука отрицателните числа започват да се използват широко благодарение на Р. Декарт, който дава геометрична интерпретация отрицателни числа, като посоките на отсечките. Декарт беше този, който предложи обозначаването на число, повдигнато на степен, което да се показва като двуетажна формула a n .
Продължавайки разговора за силата на числото, логично е да разберем как да намерим стойността на мощността. Този процес се нарича степенуване. В тази статия ще проучим как се извършва степенуването, като същевременно ще се докоснем до всички възможни степени - естествени, цели, рационални и ирационални. И според традицията ще разгледаме подробно решения на примери за повишаване на числата на различни степени.
Навигация в страницата.
Какво означава "степенуване"?
Нека започнем, като обясним какво се нарича степенуване. Ето съответното определение.
Определение.
степенуване- това е намиране на стойността на степента на число.
По този начин намирането на стойността на степента на число a с показател r и повишаването на числото a на степен r е едно и също нещо. Например, ако задачата е „изчислете стойността на степен (0,5) 5“, тогава тя може да бъде преформулирана по следния начин: „Повишете числото 0,5 на степен 5“.
Сега можете да преминете директно към правилата, по които се извършва степенуването.
Повишаване на число на естествена степен
На практика равенството, основано на, обикновено се прилага във формата . Тоест, при повдигане на число a на дробна степен m/n, първо се взема корен n-та от числото a, след което полученият резултат се повдига на цяла степен m.
Нека да разгледаме решенията на примери за повдигане на дробна степен.
Пример.
Изчислете стойността на градуса.
Решение.
Ще покажем две решения.
Първи начин. По дефиниция на степен с дробен показател. Изчисляваме стойността на степента под знака на корена и след това извличаме кубичния корен: .
Втори начин. По дефиницията на степен с дробен показател и въз основа на свойствата на корените са верни следните равенства: . Сега извличаме корена
, накрая го повдигаме на цяло число
.
Очевидно получените резултати от повишаването на дробна степен съвпадат.
Отговор:
Обърнете внимание, че дробният показател може да се запише като десетичен знакили смесено число, в тези случаи трябва да се замени със съответната обикновена дроб и след това да се повдигне на степен.
Пример.
Изчислете (44.89) 2.5.
Решение.
Нека запишем експонента под формата на обикновена дроб (ако е необходимо, вижте статията): . Сега извършваме повдигането до дробна степен:
Отговор:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Трябва също да се каже, че повишаването на числата до рационални степени е доста трудоемък процес (особено когато числителят и знаменателят на дробния показател съдържат достатъчно големи числа), който обикновено се извършва с помощта на компютърна технология.
За да завършим тази точка, нека се спрем на повишаването на числото нула на дробна степен. Дадохме следното значение на дробната степен на нула на формата: когато имаме , а при нула до степента m/n не е дефинирана. И така, нула до дробна положителна степен е нула, например,
. А нулата в дробна отрицателна степен няма смисъл, например изразите 0 -4,3 нямат смисъл.
Издигане до ирационална степен
Понякога става необходимо да се намери стойността на степента на число с ирационален показател. В този случай за практически цели обикновено е достатъчно да се получи стойността на градуса с точност до определен знак. Нека веднага да отбележим, че на практика тази стойност се изчислява с помощта на електронни компютри, тъй като повишаването й до ирационална степен ръчно изисква голямо количествотромави изчисления. Но все пак ще опишем в общ контурсъщността на действието.
За да се получи приблизителна стойност на степента на число a с ирационален показател, се взема някакво десетично приближение на степента и се изчислява стойността на степента. Тази стойност е приблизителна стойност на степента на числото a с ирационален показател. Колкото по-точно десетичното приближение на дадено число е взето първоначално, толкова по-точна стойност на степента ще се получи накрая.
Като пример, нека изчислим приблизителната стойност на степента на 2 1,174367... . Нека вземем следното десетично приближение на ирационалния показател: . Сега повдигаме 2 до рационалната степен 1,17 (описахме същността на този процес в предишния параграф), получаваме 2 1,17 ≈2,250116. По този начин, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ако вземем по-точно десетично приближение на ирационалния показател, например, тогава получаваме по-точна стойност на оригиналния показател: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Библиография.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика за 5 клас. образователни институции.
- Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7. клас. образователни институции.
- Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.
- Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9. клас. образователни институции.
- Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в техникуми).