Действия с квадратни корени. Модул
Първо ниво
Сравнение на числата. Изчерпателното ръководство (2019)
Когато решавате уравнения и неравенства, както и задачи с модули, трябва да поставите намерените корени на числовата линия. Както знаете, намерените корени може да са различни. Те могат да бъдат така: , или могат да бъдат така: , .
Съответно, ако числата не са рационални, а ирационални (ако сте забравили какви са, вижте в темата) или са сложни математически изрази, тогава поставянето им на числовата ос е много проблематично. Освен това не можете да използвате калкулатори по време на изпита, а приблизителните изчисления не дават 100% гаранция, че едно число е по-малко от друго (ами ако има разлика между сравняваните числа?).
Разбира се, знаете, че положителните числа винаги са по-големи от отрицателните и че ако си представим числова ос, тогава при сравняване най-големите числа ще бъдат вдясно от най-малкото: ; ; и т.н.
Но винаги ли всичко е толкова лесно? Където на числовата ос отбелязваме, .
Как могат да бъдат сравнени например с число? Това е проблемът...)
Първо, нека поговорим общ контуркак и какво да сравнявам.
Важно: препоръчително е да правите трансформации така, че знакът за неравенство да не се променя!Тоест, по време на трансформации е нежелателно да се умножава по отрицателно число, И забранено еквадрат, ако една от частите е отрицателна.
Сравнение на дроби
И така, трябва да сравним две дроби: и.
Има няколко варианта как да направите това.
Вариант 1. Приведете дробите към общ знаменател.
Нека го запишем под формата на обикновена дроб:
- (както виждате, също намалих числителя и знаменателя).
Сега трябва да сравним дроби:
Сега можем да продължим да сравняваме по два начина. Ние можем:
- просто приведете всичко към общ знаменател, като представите и двете дроби като неправилни (числителят е по-голям от знаменателя):
Кое число е по-голямо? Точно така, този с по-голям числител, тоест първият.
- „да изхвърлим“ (помислете, че сме извадили по едно от всяка фракция и съотношението на фракциите една към друга съответно не се е променило) и сравнете фракциите:
Ние също ги привеждаме към общ знаменател:
Получихме абсолютно същия резултат като в предишния случай - първото число е по-голямо от второто:
Да проверим дали сме извадили правилно единица? Нека изчислим разликата в числителя при първото изчисление и второто:
1)
2)
И така, разгледахме как да сравняваме дроби, привеждайки ги към общ знаменател. Нека да преминем към друг метод - сравняване на дроби, привеждането им към общ... числител.
Вариант 2. Сравняване на дроби чрез привеждане към общ числител.
Да да. Това не е правописна грешка. Този метод рядко се преподава на някого в училище, но много често е много удобен. За да разберете бързо същността му, ще ви задам само един въпрос - „в кои случаи стойността на дроб е най-голяма?“ Разбира се, ще кажете „когато числителят е възможно най-голям, а знаменателят възможно най-малък“.
Например, можете със сигурност да кажете, че е вярно? Ами ако трябва да сравним следните дроби: ? Мисля, че веднага ще поставите знака правилно, защото в първия случай те са разделени на части, а във втория на цели, което означава, че във втория случай парчетата се оказват много малки и съответно: . Както можете да видите, знаменателите тук са различни, но числителите са едни и същи. Въпреки това, за да сравните тези две дроби, не е нужно да търсите общ знаменател. Въпреки че... намерете го и вижте дали знакът за сравнение все още е грешен?
Но знакът е същият.
Да се върнем към първоначалната ни задача - да сравним и... Ще сравним и... Нека сведем тези дроби не до общ знаменател, а до общ числител. За да направите това просто числител и знаменателумножете първата дроб по. Получаваме:
И. Коя част е по-голяма? Точно така, първият.
Вариант 3: Сравняване на дроби чрез изваждане.
Как да сравняваме дроби с помощта на изваждане? Да, много просто. Изваждаме друга от една дроб. Ако резултатът е положителен, тогава първата дроб (minuend) е по-голяма от втората (subtrahend), а ако е отрицателен, тогава обратното.
В нашия случай нека се опитаме да извадим първата дроб от втората: .
Както вече разбирате, ние също преобразуваме в обикновена дроб и получаваме същия резултат - . Нашият израз приема формата:
След това пак ще трябва да прибегнем до привеждане до общ знаменател. Въпросът е: по първия начин, преобразуване на дроби в неправилни, или по втория начин, сякаш „премахване“ на единицата? Между другото, това действие има напълно математическа обосновка. Виж:
Вторият вариант ми харесва повече, тъй като умножението в числителя, когато се редуцира до общ знаменател, става много по-лесно.
Нека го приведем към общ знаменател:
Основното тук е да не се объркваме от кое число сме извадили и къде. Внимателно погледнете напредъка на решението и не случайно объркайте знаците. Извадихме първото число от второто число и получихме отрицателен отговор, така че?.. Точно така, първото число е по-голямо от второто.
Схванах го? Опитайте да сравните дроби:
Спрете, спрете. Не бързайте да довеждате до общ знаменател или да изваждате. Вижте: можете лесно да го преобразувате в десетична дроб. Колко дълго ще бъде? вярно Какво повече в крайна сметка?
Това е друг вариант - сравняване на дроби чрез преобразуване в десетичен знак.
Вариант 4: Сравняване на дроби чрез деление.
Да да. И това също е възможно. Логиката е проста: когато разделим по-голямо число на по-малко, отговорът, който получаваме, е число, по-голямо от едно, а ако разделим по-малко число на по-голямо, тогава отговорът попада в интервала от до.
За да запомните това правило, вземете произволни две прости числа за сравнение, например и. Знаете ли какво има повече? Сега нека разделим на. Нашият отговор е. Съответно теорията е вярна. Ако разделим на, това, което получаваме, е по-малко от едно, което от своя страна потвърждава, че всъщност е по-малко.
Нека се опитаме да приложим това правило към обикновени дроби. Да сравним:
Разделете първата дроб на втората:
Нека съкращаваме постепенно.
Полученият резултат е по-малък, което означава, че дивидентът е по-малък от делителя, тоест:
Разгледахме всички възможни варианти за сравняване на дроби. Как ги виждате 5:
- привеждане към общ знаменател;
- свеждане до общ числител;
- свеждане до формата на десетична дроб;
- изваждане;
- разделение.
Готови ли сте да тренирате? Сравнете дробите по оптимален начин:
Нека сравним отговорите:
- (- конвертиране в десетична)
- (разделете една дроб на друга и намалете с числител и знаменател)
- (изберете цялата част и сравнете дроби на принципа на същия числител)
- (разделете една дроб на друга и намалете с числител и знаменател).
2. Сравнение на степени
Сега си представете, че трябва да сравним не само числа, но и изрази, където има степен ().
Разбира се, можете лесно да поставите знак:
В крайна сметка, ако заменим степента с умножение, получаваме:
От този малък и примитивен пример следва правилото:
Сега опитайте да сравните следното: . Можете също така лесно да поставите знак:
Защото ако заменим степенуването с умножение...
Като цяло разбирате всичко и изобщо не е трудно.
Трудности възникват само когато при сравняване степените имат различни основи и показатели. В този случай е необходимо да се опитаме да доведем до обща основа. Например:
Разбира се, знаете, че това, съответно, изразът приема формата:
Нека отворим скобите и да сравним какво получаваме:
някои специален случай, когато основата на степента () е по-малка от единица.
Ако, тогава от две степени и по-голямата е тази, чийто индекс е по-малък.
Нека се опитаме да докажем това правило. Нека бъде.
Нека въведем някакво естествено число като разлика между и.
Логично, нали?
А сега нека отново обърнем внимание на условието - .
Съответно: . Следователно, .
Например:
Както разбирате, разгледахме случая, когато основите на правомощията са равни. Сега нека видим кога основата е в интервала от до, но показателите са равни. Тук всичко е много просто.
Нека си припомним как да сравним това с пример:
Разбира се, направихте сметката бързо:
Ето защо, когато срещнете подобни задачи за сравнение, имайте предвид някой прост подобен пример, който можете бързо да изчислите, и въз основа на този пример поставете знаци в по-сложен.
Когато извършвате трансформации, не забравяйте, че ако умножавате, добавяте, изваждате или разделяте, всички действия трябва да се извършват както с лявата, така и с дясната страна правилната страна(ако умножите по, тогава трябва да умножите и двете).
Освен това има случаи, когато е просто неизгодно да се правят каквито и да било манипулации. Например, трябва да сравните. IN в такъв случай, не е толкова трудно да се повдигне на степен и да се подреди знакът въз основа на това:
Да се упражняваме. Сравнете степени:
Готови ли сте да сравните отговорите? Ето какво получих:
- - същото като
- - същото като
- - същото като
- - същото като
3. Сравняване на числа с корени
Първо, нека си спомним какво представляват корените? Помните ли този запис?
Коренът на степен на реално число е число, за което е валидно равенството.
корениот нечетна степен съществуват за отрицателни и положителни числа, и дори корени- само за положителни.
Коренната стойност често е безкраен десетичен знак, което затруднява точното изчисляване, така че е важно да можете да сравнявате корени.
Ако сте забравили какво е и с какво се яде - . Ако си спомняте всичко, нека се научим да сравняваме корените стъпка по стъпка.
Да кажем, че трябва да сравним:
За да сравните тези два корена, не е нужно да правите никакви изчисления, просто анализирайте самата концепция за „корен“. Разбирате ли за какво говоря? Да, за това: иначе може да се запише като трета степен на някакво число, равно на радикалния израз.
Какво още? или? Разбира се, можете да сравните това без никакви затруднения. Колкото по-голямо е числото, което повдигаме на степен, толкова по-голяма ще бъде стойността.
Така. Нека изведем едно правило.
Ако показателите на корените са еднакви (в нашия случай това е), тогава е необходимо да се сравнят радикалните изрази (и) - колкото по-голямо е радикалното число, толкова по-голяма е стойността на корена с равни показатели.
Трудно за запомняне? Тогава просто запазете пример в главата си и... Това повече?
Показателите на корените са еднакви, тъй като коренът е квадратен. Коренното изражение на едно число () е по-голямо от друго (), което означава, че правилото наистина е вярно.
Ами ако радикалните изрази са еднакви, но степените на корените са различни? Например: .
Също така е съвсем ясно, че при извличане на корен от по-голяма степен ще се получи по-малко число. Да вземем за пример:
Нека обозначим стойността на първия корен като, а вторият - като, тогава:
Лесно можете да видите, че трябва да има повече в тези уравнения, следователно:
Ако радикалните изрази са еднакви(в нашия случай), и показателите на корените са различни(в нашия случай това е и), тогава е необходимо да се сравнят показателите(И) - колкото по-висок е индикаторът, толкова по-малък е този израз.
Опитайте се да сравните следните корени:
Да сравним резултатите?
Решихме това успешно :). Възниква друг въпрос: ами ако всички сме различни? И степен, и радикален израз? Не всичко е толкова сложно, просто трябва... да се „отървем“ от корена. Да да. Просто се отървете от него)
Ако имаме различни степени и радикални изрази, трябва да намерим най-малкото общо кратно (прочетете раздела за) за показателите на корените и да повдигнем двата израза на степен, равна на най-малкото общо кратно.
Че всички сме в думи и думи. Ето един пример:
- Разглеждаме индикаторите на корените - и. Тяхното най-малко общо кратно е .
- Нека повдигнем двата израза на степен:
- Нека трансформираме израза и отворим скобите (повече подробности в главата):
- Да преброим какво сме направили и да поставим знак:
4. Сравнение на логаритми
И така, бавно, но сигурно стигнахме до въпроса как да сравняваме логаритми. Ако не си спомняте какво е това животно, съветвам ви първо да прочетете теорията от раздела. чел ли си го След това отговорете на няколко важни въпроса:
- Какъв е аргументът на логаритъм и каква е неговата основа?
- Какво определя дали една функция нараства или намалява?
Ако помните всичко и сте го усвоили перфектно, нека започваме!
За да сравнявате логаритмите един с друг, трябва да знаете само 3 техники:
- намаляване на същата база;
- свеждане до същия аргумент;
- сравнение с третото число.
Първоначално обърнете внимание на основата на логаритъма. Нали се сещате, че ако е по-малко, тогава функцията намалява, а ако е повече, тогава се увеличава. На това ще се базират нашите преценки.
Нека разгледаме сравнение на логаритми, които вече са били редуцирани до една и съща основа или аргумент.
Като начало, нека опростим проблема: нека сравним логаритмите равни основания. Тогава:
- Функцията, за, нараства на интервала от, което означава, по дефиниция, тогава („директно сравнение“).
- Пример:- основанията са същите, сравняваме аргументите съответно: , следователно:
- Функцията at намалява на интервала от, което означава, по дефиниция, тогава („обратно сравнение“). - основите са еднакви, сравняваме съответно аргументите: знакът на логаритмите обаче ще бъде „обратен“, тъй като функцията намалява: .
Сега разгледайте случаите, когато причините са различни, но аргументите са едни и същи.
- Основата е по-голяма.
- . В този случай използваме „обратно сравнение“. Например: - аргументите са еднакви и. Нека сравним основите: обаче знакът на логаритмите ще бъде „обратен“:
- Основата a е в празнината.
- . В този случай използваме „директно сравнение“. Например:
- . В този случай използваме „обратно сравнение“. Например:
Нека запишем всичко в обща таблична форма:
, при което | , при което | |
Съответно, както вече разбрахте, когато сравняваме логаритми, трябва да водим до една и съща основа или аргумент.Стигаме до една и съща база, използвайки формулата за преминаване от една база към друга.
Можете също да сравните логаритмите с третото число и въз основа на това да направите заключение кое е по-малко и кое е повече. Например, помислете как да сравните тези два логаритма?
Малка подсказка - за сравнение ще ви помогне много логаритъм, чийто аргумент ще бъде равен.
Мисъл? Нека решим заедно.
Можем лесно да сравним тези два логаритма с вас:
не знам как? Виж по-горе. Току що решихме това. Какъв знак ще има? дясно:
Съгласен?
Нека да сравним един с друг:
Трябва да получите следното:
Сега комбинирайте всички наши заключения в едно. Се случи?
5. Сравнение на тригонометрични изрази.
Какво е синус, косинус, тангенс, котангенс? За какво служи единичната окръжност и как да намерим стойността върху нея тригонометрични функции? Ако не знаете отговорите на тези въпроси, горещо ви препоръчвам да прочетете теорията по тази тема. И ако знаете, тогава сравняването на тригонометрични изрази помежду си не е трудно за вас!
Нека си освежим малко паметта. Нека начертаем единична тригонометрична окръжност и вписан в нея триъгълник. успяхте ли Сега отбележете от коя страна нанасяме косинуса и от коя синуса, използвайки страните на триъгълника. (вие, разбира се, помните, че синусът е отношението на срещуположната страна към хипотенузата, а косинусът е съседната страна?). Ти ли го нарисува? Страхотен! Последният щрих е да напишем къде ще го имаме, къде и т.н. Ти остави ли го? Пфу) Нека сравним какво се случи с теб и мен.
уф! Сега да започнем сравнението!
Да кажем, че трябва да сравним и. Начертайте тези ъгли, като използвате подканите в полетата (където сме отбелязали къде), като поставите точки върху единичната окръжност. успяхте ли Ето какво имам.
Сега нека спуснем перпендикуляр от точките, които маркирахме върху окръжността, върху оста... Кой? Коя ос показва стойността на синусите? Правилно, . Ето какво трябва да получите:
Гледайки тази снимка, кое е по-голямо: или? Разбира се, защото точката е над точката.
По подобен начин сравняваме стойността на косинусите. Спускаме само перпендикуляра към оста... Точно така, . Съответно, гледаме коя точка е вдясно (или по-висока, както в случая със синусите), тогава стойността е по-голяма.
Вероятно вече знаете как да сравнявате допирателните, нали? Всичко, което трябва да знаете, е какво е тангенс. И така, какво е тангенс?) Точно така, отношението на синус към косинус.
За да сравним допирателните, начертаваме ъгъл по същия начин, както в предишния случай. Да кажем, че трябва да сравним:
Ти ли го нарисува? Сега също маркираме синусовите стойности на координатната ос. Забеляза ли? Сега посочете стойностите на косинуса върху координатната линия. Се случи? Да сравним:
Сега анализирай какво си написал. - разделяме голям сегмент на малък. Отговорът ще съдържа стойност, която определено е по-голяма от единица. нали
И когато разделим малкото на голямото. Отговорът ще бъде число, което е точно по-малко от едно.
Кой тригонометричен израз има по-голяма стойност?
дясно:
Както вече разбирате, сравняването на котангенси е едно и също нещо, само че в обратен ред: ние разглеждаме как сегментите, които определят косинус и синус, се отнасят един към друг.
Опитайте сами да сравните следните тригонометрични изрази:
Примери.
Отговори.
СРАВНЕНИЕ НА ЧИСЛАТА. СРЕДНО НИВО.
Кое число е по-голямо: или? Отговорът е очевиден. А сега: или? Вече не е толкова очевидно, нали? И така: или?
Често трябва да знаете кой числов израз е по-голям. Например, за да поставите точките на оста в правилния ред при решаване на неравенство.
Сега ще ви науча как да сравнявате такива числа.
Ако трябва да сравните числа и, ние поставяме знак между тях (идва от латинска думаСрещу или съкратено vs. - против): . Този знак замества неизвестния знак за неравенство (). След това ще извършим идентични трансформации, докато не стане ясно кой знак трябва да бъде поставен между числата.
Същността на сравняването на числа е следната: ние се отнасяме към знака като към някакъв знак за неравенство. И с израза можем да направим всичко, което обикновено правим с неравенствата:
- добавете произволно число към двете страни (и, разбира се, можем да извадим също)
- „преместете всичко на една страна“, тоест извадете един от сравняваните изрази от двете части. На мястото на извадения израз ще остане: .
- умножете или разделете на едно и също число. Ако това число е отрицателно, знакът за неравенство се обръща: .
- повдигнете двете страни на еднаква степен. Ако тази мощност е четна, трябва да се уверите, че и двете части имат един и същ знак; ако и двете части са положителни, знакът не се променя, когато се повдигне на степен, но ако са отрицателни, тогава се променя на противоположния.
- извлечете корен от една и съща степен от двете части. Ако извличаме корен от четна степен, първо трябва да се уверим, че и двата израза са неотрицателни.
- всякакви други еквивалентни трансформации.
Важно: препоръчително е да правите трансформации така, че знакът за неравенство да не се променя! Тоест, по време на трансформации е нежелателно да се умножава по отрицателно число и не можете да го поставите на квадрат, ако една от частите е отрицателна.
Нека да разгледаме няколко типични ситуации.
1. Степенуване.
Пример.
Кое е повече: или?
Решение.
Тъй като и двете страни на неравенството са положителни, можем да го повдигнем на квадрат, за да се отървем от корена:
Пример.
Кое е повече: или?
Решение.
Тук също можем да го повдигнем на квадрат, но това само ще ни помогне да се отървем от корен квадратен. Тук е необходимо да се повиши до такава степен, че и двата корена да изчезнат. Това означава, че показателят на тази степен трябва да се дели на двете (степен на първия корен) и на. Следователно това число се повдига на степен th:
2. Умножение с неговия спрегнат.
Пример.
Кое е повече: или?
Решение.
Нека умножим и разделим всяка разлика на спрегнатата сума:
Очевидно знаменателят от дясната страна е по-голям от знаменателя отляво. Следователно дясната дроб е по-малка от лявата:
3. Изваждане
Нека помним това.
Пример.
Кое е повече: или?
Решение.
Разбира се, можем да изравним всичко, да прегрупираме и да го изравним отново. Но можете да направите нещо по-умно:
Може да се види, че от лявата страна всеки член е по-малък от всеки член от дясната страна.
Съответно сумата от всички членове от лявата страна е по-малка от сумата от всички членове от дясната страна.
Но внимавай! Попитаха ни какво повече...
Дясната страна е по-голяма.
Пример.
Сравнете числата и...
Решение.
Нека си припомним тригонометричните формули:
Нека проверим в кои четвърти на тригонометричната окръжност лежат точките и .
4. Разделяне.
Тук също използваме просто правило: .
При или, т.е.
При смяна на знака: .
Пример.
Сравнете: .
Решение.
5. Сравнете числата с третото число
Ако и, тогава (закон за транзитивност).
Пример.
Сравнете.
Решение.
Нека да сравним числата не едно с друго, а с числото.
Очевидно е, че.
От друга страна, .
Пример.
Кое е повече: или?
Решение.
И двете числа са по-големи, но по-малки. Нека изберем число, така че да е по-голямо от едното, но по-малко от другото. Например, . Да проверим:
6. Какво да правим с логаритмите?
Нищо специално. Как да се отървете от логаритмите е описано подробно в темата. Основните правила са:
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \клин (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \клин y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
Можем също да добавим правило за логаритми с по различни причинии същия аргумент:
Това може да се обясни по следния начин: колкото по-голяма е базата, толкова по-малка степен ще трябва да се повиши, за да се получи същото. Ако основата е по-малка, тогава е вярно обратното, тъй като съответната функция е монотонно намаляваща.
Пример.
Сравнете числата: и.
Решение.
Съгласно горните правила:
А сега формулата за напреднали.
Правилото за сравняване на логаритми може да бъде написано по-кратко:
Пример.
Кое е повече: или?
Решение.
Пример.
Сравнете кое число е по-голямо: .
Решение.
СРАВНЕНИЕ НА ЧИСЛАТА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО
1. Степенуване
Ако и двете страни на неравенството са положителни, те могат да бъдат повдигнати на квадрат, за да се отървем от корена
2. Умножение с неговия спрегнат
Конюгатът е фактор, който допълва израза към формулата за разликата на квадратите: - спрегнат за и обратно, т.к. .
3. Изваждане
4. Разделяне
Кога или това е
Когато знакът се промени:
5. Сравнение с третото число
Ако и тогава
6. Сравнение на логаритми
Основни правила.
Факт 1.
\(\bullet\) Нека вземем някакво неотрицателно число \(a\) (т.е. \(a\geqslant 0\) ). Тогава (аритметика) корен квадратенот числото \(a\) се нарича такова неотрицателно число \(b\), когато на квадрат получаваме числото \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(същото като )\quad a=b^2\]От определението следва, че \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Тези ограничения са важно условиесъществуването на квадратен корен и те трябва да се запомнят!
Не забравяйте, че всяко число, когато е на квадрат, дава неотрицателен резултат. Тоест \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) На какво е равно \(\sqrt(25)\)? Знаем, че \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Тъй като по дефиниция трябва да намерим неотрицателно число, тогава \(-5\) не е подходящо, следователно \(\sqrt(25)=5\) (тъй като \(25=5^2\) ).
Намирането на стойността на \(\sqrt a\) се нарича извличане на корен квадратен от числото \(a\) , а числото \(a\) се нарича радикален израз.
\(\bullet\) Въз основа на дефиницията, израз \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) и т.н. нямат смисъл.
Факт 2.
За бързи изчисления ще бъде полезно да научите таблицата на квадратите естествени числаот \(1\) до \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \край (масив)\]
Факт 3.
Какви операции можете да правите с квадратни корени?
\(\bullet\) Сума или разлика квадратни корениНЕ Е РАВНО на корен квадратен от сбора или разликата, т.е \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]По този начин, ако трябва да изчислите, например, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , тогава първоначално трябва да намерите стойностите на \(\sqrt(25)\) и \(\ sqrt(49)\ ) и след това ги сгънете. следователно \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако стойностите \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) не могат да бъдат намерени при добавяне на \(\sqrt a+\sqrt b\), тогава такъв израз не се трансформира допълнително и остава такъв, какъвто е. Например в сумата \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) можем да намерим \(\sqrt(49)\) е \(7\) , но \(\sqrt 2\) не може да се трансформира в както и да е, Ето защо \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). За съжаление, този израз не може да бъде допълнително опростен\(\bullet\) Произведението/частното от корен квадратен е равно на корен квадратен от произведението/частното, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (при условие, че и двете страни на равенствата имат смисъл)
Пример: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Използвайки тези свойства, е удобно да намирате квадратни корени от големи числа, като ги разлагате на множители.
Нека разгледаме един пример. Нека намерим \(\sqrt(44100)\) . Тъй като \(44100:100=441\) , тогава \(44100=100\cdot 441\) . Според критерия за делимост числото \(441\) се дели на \(9\) (тъй като сборът от цифрите му е 9 и се дели на 9), следователно \(441:9=49\), т.е. \(441=9\ cdot 49\) .
Така получихме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Нека да разгледаме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Нека покажем как да въвеждаме числа под знака за квадратен корен, използвайки примера на израза \(5\sqrt2\) (кратка нотация за израза \(5\cdot \sqrt2\)). Тъй като \(5=\sqrt(25)\) , тогава \
Имайте предвид също, че напр.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Защо така? Нека обясним с пример 1). Както вече разбирате, не можем по някакъв начин да трансформираме числото \(\sqrt2\). Нека си представим, че \(\sqrt2\) е някакво число \(a\) . Съответно, изразът \(\sqrt2+3\sqrt2\) не е нищо повече от \(a+3a\) (едно число \(a\) плюс още три от същите числа \(a\)). И ние знаем, че това е равно на четири такива числа \(a\) , тоест \(4\sqrt2\) .
Факт 4.
\(\bullet\) Те често казват „не можете да извлечете корена“, когато не можете да се отървете от знака \(\sqrt () \ \) на корена (радикал), когато намирате стойността на число . Например, можете да вземете корена на числото \(16\), защото \(16=4^2\) , следователно \(\sqrt(16)=4\) . Но е невъзможно да се извлече коренът на числото \(3\), тоест да се намери \(\sqrt3\), защото няма число, което на квадрат да даде \(3\) .
Такива числа (или изрази с такива числа) са ирационални. Например числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)и така нататък. са ирационални.
Също ирационални са числата \(\pi\) (числото "pi", приблизително равно на \(3.14\)), \(e\) (това число се нарича число на Ойлер, то е приблизително равно на \(2.7 \)) и т.н.
\(\bullet\) Моля, имайте предвид, че всяко число ще бъде рационално или ирационално. И заедно всички рационални и всички ирационални числа образуват множество, наречено набор от реални числа.Този набор се обозначава с буквата \(\mathbb(R)\) .
Това означава, че всички числа, които познаваме в момента, се наричат реални числа.
Факт 5.
\(\bullet\) Модулът на реално число \(a\) е неотрицателно число \(|a|\), равно на разстоянието от точката \(a\) до \(0\) на истинска линия. Например \(|3|\) и \(|-3|\) са равни на 3, тъй като разстоянията от точките \(3\) и \(-3\) до \(0\) са същото и равно на \(3 \) .
\(\bullet\) Ако \(a\) е неотрицателно число, тогава \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ако \(a\) е отрицателно число, тогава \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Казват, че за отрицателните числа модулът „изяжда“ минуса, докато положителните числа, както и числото \(0\), остават непроменени от модула.
НОТова правило важи само за числа. Ако под вашия знак за модул има неизвестно \(x\) (или друго неизвестно), например \(|x|\) , за което не знаем дали е положително, нула или отрицателно, тогава се отървете на модула не можем. В този случай този израз остава същият: \(|x|\) . \(\bullet\) Важат следните формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \текст( предоставен) a\geqslant 0\]Много често се допуска следната грешка: казват, че \(\sqrt(a^2)\) и \((\sqrt a)^2\) са едно и също. Това е вярно само ако \(a\) – положително числоили нула. Но ако \(a\) е отрицателно число, тогава това е невярно. Достатъчно е да разгледаме този пример. Нека вземем вместо \(a\) числото \(-1\) . Тогава \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , но изразът \((\sqrt (-1))^2\) изобщо не съществува (в края на краищата, невъзможно е да се използва знакът за корен с отрицателни числа!).
Затова насочваме вниманието ви към факта, че \(\sqrt(a^2)\) не е равно на \((\sqrt a)^2\) !Пример: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), защото \(-\sqrt2<0\)
;
\(\фантом(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Тъй като \(\sqrt(a^2)=|a|\) , тогава \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразът \(2n\) означава четно число)
Тоест, когато вземем корена на число, което е на някаква степен, тази степен се намалява наполовина.
Пример:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (имайте предвид, че ако модулът не е доставен, се оказва, че коренът на числото е равен на \(-25\ ) ; но помним, че по дефиниция на корен това не може да се случи: когато извличаме корен, винаги трябва да получаваме положително число или нула)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (тъй като всяко число на четна степен е неотрицателно)
Факт 6.
Как да сравним два квадратни корена?
\(\bullet\) За квадратни корени е вярно: ако \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(aПример:
1) сравнете \(\sqrt(50)\) и \(6\sqrt2\) . Първо, нека трансформираме втория израз в \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Така, тъй като \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Между какви цели числа се намира \(\sqrt(50)\)?
Тъй като \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) и \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Нека сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Да приемем, че \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((добавете по едно към двете страни))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((квадратиране на двете страни))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(подравнено)\]Виждаме, че сме получили неправилно неравенство. Следователно нашето предположение беше неправилно и \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Обърнете внимание, че добавянето на определено число към двете страни на неравенството не влияе на неговия знак. Умножаването/делението на двете страни на неравенство с положително число също не влияе на неговия знак, но умножението/делението на отрицателно число обръща знака на неравенството!
Можете да поставите на квадрат двете страни на уравнение/неравенство САМО АКО двете страни са неотрицателни. Например, в неравенството от предишния пример можете да поставите на квадрат двете страни, в неравенството \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Трябва да се помни, че \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\]Познаването на приблизителното значение на тези числа ще ви помогне, когато сравнявате числа! \(\bullet\) За да извлечете корена (ако може да се извлече) от някакво голямо число, което не е в таблицата с квадрати, първо трябва да определите между кои „стотици“ се намира, след това – между кои „ десетки” и след това определете последната цифра на това число. Нека покажем как работи това с пример.
Нека вземем \(\sqrt(28224)\) . Знаем, че \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) и т.н. Обърнете внимание, че \(28224\) е между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) е между \(100\) и \(200\) .
Сега нека определим между кои „десетки“ се намира нашето число (това е например между \(120\) и \(130\)). Също така от таблицата с квадрати знаем, че \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.н., след това \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Така че виждаме, че \(28224\) е между \(160^2\) и \(170^2\) . Следователно числото \(\sqrt(28224)\) е между \(160\) и \(170\) .
Нека се опитаме да определим последната цифра. Нека си спомним какви едноцифрени числа, когато се повдигнат на квадрат, дават \(4\) в края? Това са \(2^2\) и \(8^2\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) ще завършва или на 2, или на 8. Нека проверим това. Нека намерим \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следователно \(\sqrt(28224)=168\) . Ето!
За да решите адекватно Единния държавен изпит по математика, първо трябва да изучите теоретичен материал, който ви запознава с множество теореми, формули, алгоритми и т.н. На пръв поглед може да изглежда, че това е доста просто. Въпреки това намирането на източник, в който теорията за Единния държавен изпит по математика е представена по лесен и разбираем начин за ученици с всякакво ниво на подготовка, всъщност е доста трудна задача. Училищните учебници не винаги могат да бъдат под ръка. И намирането на основни формули за Единния държавен изпит по математика може да бъде трудно дори в Интернет.
Защо е толкова важно да се изучава теория по математика не само за тези, които полагат Единния държавен изпит?
- Защото разширява хоризонтите ви. Изучаването на теоретичен материал по математика е полезно за всеки, който иска да получи отговори на широк кръг от въпроси, свързани с познанието за света около тях. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Именно това е отразено в науката, чрез която е възможно да се разбере света.
- Защото развива интелекта. Изучавайки справочни материали за Единния държавен изпит по математика, както и решавайки различни задачи, човек се научава да мисли и разсъждава логично, да формулира мисли компетентно и ясно. Развива способността да анализира, обобщава и прави изводи.
Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход към систематизирането и представянето на учебни материали.
Коренни формули. Свойства на квадратния корен.
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
В предишния урок разбрахме какво е квадратен корен. Време е да разберем кои съществуват формули за кореникакво са свойства на корените, и какво може да се направи с всичко това.
Формули на корените, свойства на корените и правила за работа с корени- това е по същество едно и също нещо. Има изненадващо малко формули за квадратни корени. Което определено ме радва! Или по-скоро можете да напишете много различни формули, но за практична и уверена работа с корени са достатъчни само три. Всичко останало произтича от тези трите. Въпреки че много хора се объркват в трите коренни формули, да...
Да започнем с най-простия. Ето я:
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Коренът n-ти на реално число a е число b, за което е в сила равенството b^n = a. кореникорени от нечетна степен съществуват за отрицателни и положителни числа, а корени от четна степен съществуват само за положителни числа. Стойността на корена често е безкрайна десетична дроб, което затруднява точното изчисляване; затова е важно да можете да сравнявате корените.
Инструкции
1. Да кажем, че трябва да сравним две ирационални числа. Първото нещо, на което трябва да обърнете внимание, са показателите на корените на сравняваните числа. Ако индикаторите са идентични, тогава радикалните изрази се сравняват. Очевидно колкото по-голямо е радикалното число, толкова по-голяма е стойността на корена при равни показатели. Да кажем, че трябва да сравним кубичен корен от 2 и кубичен корен от осем. Индикаторите са еднакви и равни на 3, радикалните изрази са 2 и 8, и 2< 8. Следственно, и кубический корень из 2-х поменьше кубического корня из восьми.
2. В противен случай експонентите може да са различни, но радикалните изрази могат да бъдат идентични. Също така е абсолютно ясно, че при извличане на корен от по-голяма степен ще се получи по-малко число.Вземете например корен кубичен от осем и корен шести от осем. Ако означим стойността на първия корен като a, а на втория като b, тогава a^3 = 8 и b^6 = 8. Лесно е да се види, че a трябва да е по-голямо от b, така че кубичният корен от осем е по-голямо от корен шести от осем.
3. Ситуацията с различни индикатори за степента на корена и различни радикални изрази изглежда по-трудна. В този случай трябва да намерите най-малкото универсално кратно за показателите на корените и да конструирате двата израза на степен, равна на най-малкото универсално кратно. Пример: трябва да сравните 3^1/3 и 2^1/2 ( математическата нотация на корените е на фигурата). Най-малкото универсално кратно на 2 и 3 е 6. Повдигнете двата корена на шеста степен. Тук се оказва, че 3^2 = 9 и 2^3 = 8, 9 > 8. Следователно, 3^1/3 > 2^1/2.
Полезен съвет
За да се сравнят аритметични изрази, състоящи се от няколко корена, те ще трябва да бъдат сведени до общ корен. Това може да се направи с помощта на формули за съкратено умножение, биномна формула на Нютон и други техники.
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.