Функцията с корен се извиква. Корен квадратен
Дадени са основните свойства степенна функция, включително формули и свойства на корените. Представени са производна, интеграл, разширение в степенни редове и комплексно числово представяне на степенна функция.
Определение
Определение
Степенна функция с показател pе функцията f (x) = xp, чиято стойност в точка x е равна на стойността на експоненциалната функция с основа x в точка p.
В допълнение, f (0) = 0 p = 0за p > 0
.
За естествени стойности на степента степенната функция е произведението на n числа, равни на x:
.
Дефинира се за всички валидни .
За положителни рационални стойности на експонента, степенната функция е произведението на n корени от степен m на числото x:
.
За нечетно m то е определено за всички реални x. За четни m, степенната функция е дефинирана за неотрицателни.
За отрицателна степенната функция се определя по формулата:
.
Следователно не е дефиниран в точката.
За ирационални стойности на експонента p, степенната функция се определя по формулата:
,
където a е произволно положително число, а не равно на едно: .
Когато , то е определено за .
Когато , мощностната функция е дефинирана за .
Приемственост. Степенната функция е непрекъсната в своята област на дефиниция.
Свойства и формули на степенни функции при x ≥ 0
Тук ще разгледаме свойствата на степенната функция за неотрицателни стойности на аргумента x. Както беше посочено по-горе, за определени стойности на експонента p, степенната функция също е дефинирана за отрицателни стойности на x. В този случай неговите свойства могат да бъдат получени от свойствата на , като се използват четни или нечетни. Тези случаи са обсъдени и илюстрирани подробно на страницата "".
Степенна функция, y = x p, с показател p има следните свойства:
(1.1)
определени и непрекъснати на множеството
в ,
в ;
(1.2)
има много значения
в ,
в ;
(1.3)
стриктно нараства с ,
стриктно намалява като ;
(1.4)
в ;
в ;
(1.5)
;
(1.5*)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.7*)
;
(1.8)
;
(1.9)
.
Доказателство за свойства е дадено на страницата „Степенна функция (доказателство за непрекъснатост и свойства)“
Корени - определение, формули, свойства
Определение
Корен на число x от степен nе числото, което, когато се повдигне на степен n, дава x:
.
Тук n = 2, 3, 4, ...
- естествено число, по-голямо от едно.
Можете също така да кажете, че коренът на число x от степен n е коренът (т.е. решението) на уравнението
.
Обърнете внимание, че функцията е обратна на функцията.
Корен квадратенот числото хе корен от степен 2: .
Корен кубичен от xе корен от степен 3: .
Дори степен
За четни степени n = 2 м, коренът е дефиниран за x ≥ 0
. Една често използвана формула е валидна както за положителен, така и за отрицателен x:
.
За корен квадратен:
.
Редът, в който се извършват операциите, е важен тук - тоест първо се извършва квадратът, което води до неотрицателно число, а след това се взема корен от него (квадратният корен може да се вземе от неотрицателно число ). Ако променим реда: , тогава за отрицателно x коренът ще бъде недефиниран, а с него и целият израз ще бъде недефиниран.
Странна степен
За нечетни степени коренът е дефиниран за всички x:
;
.
Свойства и формули на корените
Коренът на x е степенна функция:
.
Когато x ≥ 0
се прилагат следните формули:
;
;
,
;
.
Тези формули могат да се прилагат и за отрицателни стойности на променливи. Просто трябва да се уверите, че радикалният израз на четните степени не е отрицателен.
Частни ценности
Коренът на 0 е 0: .
Корен 1 е равен на 1: .
Корен квадратен от 0 е 0: .
Корен квадратен от 1 е 1: .
Пример. Корен на корените
Нека да разгледаме пример за квадратен корен от корени:
.
Нека трансформираме вътрешния квадратен корен, използвайки формулите по-горе:
.
Сега нека трансформираме оригиналния корен:
.
Така,
.
y = x p за различни стойности на експонента p.
Ето графики на функцията за неотрицателни стойности на аргумента x. Графиките на степенна функция, дефинирана за отрицателни стойности на x, са дадени на страницата „Степенна функция, нейните свойства и графики“
Обратна функция
Обратната на степенна функция с показател p е степенна функция с показател 1/p.
Ако, тогава.
Производна на степенна функция
Производна от n-ти ред:
;
Извличане на формули >>>
Интеграл на степенна функция
P ≠ - 1
;
.
Разширение на степенни редове
на - 1
< x < 1
се извършва следното разлагане:
Изрази, използващи комплексни числа
Разгледайте функцията на комплексната променлива z:
f (z) = z t.
Нека изразим комплексната променлива z по отношение на модула r и аргумента φ (r = |z|):
z = r e i φ.
Представяме комплексното число t под формата на реални и имагинерни части:
t = p + i q .
Ние имаме:
След това вземаме предвид, че аргументът φ не е еднозначно дефиниран:
,
Нека разгледаме случая, когато q = 0
, тоест показателят е реално число, t = p. Тогава
.
Ако p е цяло число, тогава kp е цяло число. Тогава, поради периодичността на тригонометричните функции:
.
Това е експоненциална функцияза цяло число, за даден z, има само една стойност и следователно е недвусмислен.
Ако p е ирационално, тогава продуктите kp за всяко k не произвеждат цяло число. Тъй като k преминава през безкрайна серия от стойности k = 0, 1, 2, 3, ..., тогава функцията z p има безкрайно много стойности. Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2π(един ход), преминаваме към нов клон на функцията.
Ако p е рационално, то може да бъде представено като:
, Където м, н- цели числа, които не съдържат общи делители. Тогава
.
Първи n стойности, с k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, давам n различни значения kp:
.
Следващите стойности обаче дават стойности, които се различават от предишните с цяло число. Например, когато k = k 0+nние имаме:
.
Тригонометрични функции, чиито аргументи се различават по стойности, кратни на 2π, имат равни стойности. Следователно, с по-нататъшно увеличаване на k, получаваме същите стойности на z p, както за k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.
По този начин експоненциална функция с рационален показател е многозначна и има n стойности (клонове). Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2π(един ход), преминаваме към нов клон на функцията. След n такива оборота се връщаме към първия клон, от който е започнало обратното броене.
По-специално, корен от степен n има n стойности. Като пример, разгледайте n-тия корен на реалното положително число z = x. В този случай φ 0 = 0, z = r = |z| = х,
.
.
И така, за квадратен корен, n = 2
,
.
За дори k, (- 1) k = 1. За нечетно k, (- 1) k = - 1.
Тоест квадратният корен има две значения: + и -.
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
Основни цели:
1) формирайте представа за осъществимостта на обобщено изследване на зависимостите на реалните количества, като използвате примера на количества, свързани с връзката y=
2) да се развие способността за конструиране на графика y= и нейните свойства;
3) повторете и консолидирайте техниките на устни и писмени изчисления, квадратура, извличане на квадратни корени.
Оборудване, демонстрационни материали: раздаване.
1. Алгоритъм:
2. Пример за изпълнение на задачата в групи:
3. Образец за самопроверка на самостоятелна работа:
4. Карта за етапа на размисъл:
1) Разбрах как да начертая графика на функцията y=.
2) Мога да изброя неговите свойства с помощта на графика.
3) Не съм правил грешки в самостоятелната работа.
4) Допуснах грешки в самостоятелната си работа (избройте тези грешки и посочете причината за тях).
По време на часовете
1. Самоопределение за образователна дейност
Предназначение на етапа:
1) включва ученици в образователни дейности;
2) определяне на съдържанието на урока: продължаваме да работим с реални числа.
Организация учебен процесна етап 1:
– Какво научихме в миналия урок? (Изучихме множеството от реални числа, операции с тях, изградихме алгоритъм за описание на свойствата на функция, повторихме функциите, изучавани в 7 клас).
– Днес ще продължим да работим с набор от реални числа, функция.
2. Актуализиране на знанията и записване на затруднения в дейностите
Предназначение на етапа:
1) актуализирайте учебното съдържание, което е необходимо и достатъчно за възприемането на нов материал: функция, независима променлива, зависима променлива, графики
y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2,
2) актуализиране на умствени операции, необходими и достатъчни за възприемане на нов материал: сравнение, анализ, обобщение;
3) запишете всички повтарящи се концепции и алгоритми под формата на диаграми и символи;
4) запишете индивидуална трудност в дейността, демонстрираща на лично значимо ниво недостатъчността на съществуващите знания.
Организация на учебния процес на етап 2:
1. Нека си припомним как можете да зададете зависимости между количествата? (Използване на текст, формула, таблица, графика)
2. Какво се нарича функция? (Връзка между две величини, където всяка стойност на една променлива съответства на една стойност на друга променлива y = f(x)).
Какво е името на x? (Независима променлива - аргумент)
Какво е името на y? (Зависима променлива).
3. В 7 клас изучавахме функции? (y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2,).
Индивидуална задача:
Каква е графиката на функциите y = kx + m, y = x 2, y =?
3. Идентифициране на причините за трудностите и поставяне на цели на дейностите
Предназначение на етапа:
1) организира комуникативно взаимодействие, по време на което се идентифицира и записва отличителното свойство на задачата, което е причинило затруднения в учебните дейности;
2) съгласувайте целта и темата на урока.
Организация на учебния процес на етап 3:
- Какво е особеното на тази задача? (Зависимостта се дава от формулата y =, която все още не сме срещали.)
– Каква е целта на урока? (Запознайте се с функцията y =, нейните свойства и графика. Използвайте функцията в таблицата, за да определите вида на зависимостта, построете формула и графика.)
– Можете ли да формулирате темата на урока? (Функция y=, нейните свойства и графика).
– Запишете темата в тетрадката си.
4. Изграждане на проект за излизане от затруднение
Предназначение на етапа:
1) организира комуникативно взаимодействие за изграждане на нов метод на действие, който елиминира причината за идентифицираната трудност;
2) поправи нов начиндействия в символна, словесна форма и с помощта на стандарт.
Организация на учебния процес на етап 4:
Работата на този етап може да бъде организирана в групи, като ги помолите да построят графика y =, след което да анализират резултатите. Групите също могат да бъдат помолени да опишат свойствата на дадена функция с помощта на алгоритъм.
5. Първично затвърдяване във външна реч
Целта на етапа: запис на изучаваното учебно съдържание във външна реч.
Организация на учебния процес на етап 5:
Постройте графика на y= - и опишете нейните свойства.
Свойства y= - .
1. Област на дефиниране на функция.
2. Диапазон от стойности на функцията.
3. y = 0, y> 0, y<0.
y =0, ако x = 0.
г<0, если х(0;+)
4.Нарастващи, намаляващи функции.
Функцията намалява като x.
Нека изградим графика на y=.
Нека изберем неговата част от отсечката. Имайте предвид, че имаме = 1 за x = 1 и y макс. =3 при x = 9.
Отговор: на наше име. = 1, y макс. =3
6. Самостоятелна работа със самопроверка по стандарт
Целта на етапа: да проверите способността си да прилагате ново учебно съдържание в стандартни условия въз основа на сравняване на вашето решение със стандарт за самопроверка.
Организация на учебния процес на етап 6:
Учениците изпълняват задачата самостоятелно, провеждат самопроверка спрямо стандарта, анализират и коригират грешки.
Нека изградим графика на y=.
С помощта на графика намерете най-малката и най-голямата стойност на функцията на сегмента.
7. Включване в системата от знания и повторение
Целта на етапа: да се обучат уменията за използване на ново съдържание заедно с предварително изучено: 2) повторете учебното съдържание, което ще се изисква в следващите уроци.
Организация на учебния процес на етап 7:
Решете графично уравнението: = x – 6.
Един ученик е на дъската, останалите са в тетрадките.
8. Отражение на дейността
Предназначение на етапа:
1) запишете ново съдържание, научено в урока;
2) оценявайте собствените си дейности в урока;
3) благодарете на съучениците си, които помогнаха да получите резултата от урока;
4) запишете неразрешените трудности като насоки за бъдещи образователни дейности;
5) обсъдете и запишете домашното си.
Организация на учебния процес на етап 8:
- Момчета, каква беше нашата цел днес? (Разучете функцията y=, нейните свойства и графика).
– Какви знания ни помогнаха да постигнем целта си? (Способност за търсене на модели, способност за четене на графики.)
– Анализирайте дейностите си в клас. (Карти с отражение)
Домашна работа
параграф 13 (преди пример 2) № 13.3, 13.4
Решете уравнението графично:
Постройте графика на функцията и опишете нейните свойства.
N-та степен от реално число, те отбелязаха, че от всяко неотрицателно число можете да извлечете корена на всяка степен (втора, трета, четвърта и т.н.), а от отрицателно число можете да извлечете корена на всяка нечетна степен. Но тогава трябва да помислите за функция на формата, за нейната графика, за нейните свойства. Това ще направим в този параграф. Първо нека поговорим за функцията в случай на неотрицателни стойности аргумент.
Да започнем със случая, който знаете, когато n = 2, т.е. от функцията На фиг. 166 е показана графиката на функцията и графиката на функцията y = x 2, x>0. И двете графики представляват една и съща крива - разклонение на парабола, само разположено по различен начин в координатната равнина. Нека изясним: тези графики са симетрични спрямо правата линия y = x, тъй като се състоят от точки, които са симетрични една на друга спрямо посочената права линия. Вижте: на разглеждания клон на параболата y = x 2 има точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), а на функцията на графиката има точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).
Точките (2; 4) и (4; 2), (3; 9) и (9; 3), (4; 16) и (16; 4) са симетрични спрямо правата y = x, (и точките (0 ; 0 ) и (1; 1) лежат на тази права). И като цяло, за всяка точка (a; a 2) на функционална графика y = x 2 е точка (a 2 ; a), симетрична на нея спрямо правата y = x върху графиката на функцията и обратно. Следната теорема е вярна.
Доказателство.За категоричност приемаме, че a и b са положителни числа. Разгледайте триъгълниците OAM и OVR (фиг. 167). Те са равни, което означава OP = OM и . Но след това тъй като правата y = x е ъглополовяща на ъгъла AOB. И така, триъгълникът ROM е равнобедрен, OH е неговата ъглополовяща и следователно оста на симетрия. Точките M и P са симетрични спрямо правата OH, което трябваше да се докаже.
И така, графиката на функцията може да се получи от графиката на функцията y = x 2, x>0, като се използва трансформация на симетрия спрямо правата линия y = x. По същия начин, графиката на функция може да бъде получена от графиката на функцията y = x 3, x> 0, като се използва трансформация на симетрия спрямо правата линия y = x; графиката на функция може да се получи от графиката на функция с помощта на трансформация на симетрия относно правата линия y = x и т.н. Нека си припомним, че графиката на функцията наподобява на външен вид клона на парабола.Колкото по-голямо е n, толкова по-стръмно това разклонение се втурва нагоре в интервала и толкова по-близо се доближава до оста x в близост до точката x = 0 (фиг. 168).
Нека формулираме общо заключение: графиката на функцията е симетрична на графиката на функцията спрямо правата линия y = x (фиг. 169).
Функционални свойства
1)
2) функцията не е нито четна, нито нечетна;
3) се увеличава с
4) неограничен отгоре, ограничен отдолу;
5) няма най-голямо значение;
6) непрекъснато;
7)
Обърнете внимание на едно любопитно обстоятелство. Нека разгледаме две функции, чиито графики са показани на фиг. 169: Току-що изброихме седем свойства за първата функция, но втората функция има абсолютно същите свойства. Вербалните „портрети” на две различни функции са еднакви. Но нека изясним, те все още са същите.
Математиците не можеха да понесат такава несправедливост, когато различни функции с различни графики се описват вербално по един и същи начин и въведоха концепциите за изпъкналост нагоре и изпъкналост надолу. Графиката на функцията е изпъкнала нагоре, докато графиката на функцията y = x n е изпъкнала надолу.
Обикновено се казва, че една непрекъсната функция е изпъкнала надолу, ако чрез свързване на произволни две точки от нейната графика с прав сегмент се установи, че съответната част от графиката лежи под начертания сегмент (фиг. 170); непрекъсната функция е изпъкнала нагоре, ако чрез свързване на произволни две точки от нейната графика с прав сегмент се установи, че съответната част от графиката лежи над начертания сегмент (фиг. 171).
Освен това ще включим свойството за изпъкналост в процедурата за четене на графика. Нека го отбележим" (продължавайки номерирането на свойствата, описани по-рано) за разглежданата функция:
8) функцията е изпъкнала нагоре върху лъча
В предишната глава се запознахме с друго свойство на функцията - диференцируемостта; видяхме, че функцията y = x n е диференцируема във всяка точка, нейната производна е равна на nx n-1. Геометрично това означава, че във всяка точка от графиката на функцията y = x n към нея може да бъде начертана допирателна. Графиката на функция също има същото свойство: във всяка точка е възможно да се начертае допирателна към графиката. Така можем да отбележим още едно свойство на функцията
9) функцията е диференцируема във всяка точка x > 0.
Моля, обърнете внимание: не говорим за диференцируемостта на функцията в точката x = 0 - в тази точка допирателната към графиката на функцията съвпада с оста y, т.е. перпендикулярно на оста x.
Пример 1. Графика на функция
Решение. 1) Да преминем към спомагателна системакоординати с начало в точка (-1; -4) - пунктирани линии x = -1 и y = -4 на фиг. 172.
2) „Свържете“ функцията към нова системакоординати Това ще бъде необходимият график.
Пример 2.Решете уравнението
Решение. Първи начин. 1) Нека въведем две функции
2) Нека начертаем функцията
3) Да построим графика на линейната функция y=2-x (виж фиг. 173).
4) Построените графики се пресичат в една точка А, като от графиката можем да направим предположението, че координатите на точка А са както следва: (1; 1). Проверката показва, че всъщност точката (1; 1) принадлежи както на графиката на функцията, така и на графиката на функцията y=2-x. Това означава, че нашето уравнение има един корен: x = 1 - абсцисата на точка A.
Втори начин.
Геометричният модел, представен на фиг. 173, е ясно илюстрирано от следното твърдение, което понякога ви позволява да решите уравнението много елегантно (и което вече използвахме в § 35 при решаването на Пример 2):
Ако функцията y=f(x) нараства, а функцията y=g(x) намалява и ако уравнението f(x)=g(x) има корен, тогава има само един.
Ето как, въз основа на това твърдение, можем да решим даденото уравнение:
1) отбележете, че за x = 1 равенството е в сила, което означава, че x = 1 е коренът на уравнението (познахме този корен);
2) функцията y=2-x намалява, а функцията нараства; Това означава, че даденото уравнение има само един корен и този корен е стойността x = 1, намерена по-горе.
Отговор: x = 1.
Досега говорихме за функцията само за неотрицателни стойности на аргумент. Но ако n е нечетно число, изразът също има смисъл за x<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.
В интерес на истината само едно свойство ще бъде добавено към изброените:
ако n е нечетно число (n = 3,5, 7,...), тогава това е нечетна функция.
Всъщност нека такива трансформации са верни за нечетен показател n. И така, f(-x) = -f(x) и това означава, че функцията е странна.
Как изглежда графиката на функция в случай на нечетен показател n? Когато, както е показано на фиг. 169, е клон на желаната графика. Като добавим към него клон, който е симетричен към него спрямо началото на координатите (което, припомнете си, е типично за всяка нечетна функция), получаваме графика на функцията (фиг. 174). Обърнете внимание, че оста y е допирателна към графиката при x = 0.
Така че нека го повторим отново:
ако n е четно число, тогава графиката на функцията има формата, показана на фиг. 169;
ако n е нечетно число, тогава графиката на функцията има формата, показана на фиг. 174.
Пример 3.Постройте и прочетете графика на функцията y = f(x), където
Решение.Първо, нека изградим графика на функцията и да маркираме част от нея върху лъча (фиг. 175).
След това ще построим графика на функцията и ще изберем нейната част върху отворения лъч (фиг. 176). Накрая ще изобразим и двете „парчета“ в една и съща координатна система - това ще бъде графиката на функцията y = f(x) (фиг. 177).
Нека изброим (въз основа на начертаната графика) свойствата на функцията y = f(x):
1)
2) нито четно, нито нечетно;
3) намалява на лъча, увеличава се на лъча
4) неограничен отдолу, ограничен отгоре;
5) няма минимална стойност, a (постигната в точка x = 1);
6) непрекъснато;
7)
8) изпъкнал надолу при , изпъкнал нагоре на сегмента , изпъкнал надолу при
9) функцията е диференцируема навсякъде с изключение на точките x = 0 и x = 1.
10) графиката на функцията има хоризонтална асимптота, което означава, припомнете си това
Пример 4.Намерете домейна на функция:
Решение,а) Под знака на корена на четната степен трябва да има неотрицателно число, което означава, че задачата се свежда до решаване на неравенството
б) Всяко число може да бъде под знака на нечетен корен, което означава, че тук не се налагат ограничения върху x, т.е. D(f) = R.
в) Изразът има смисъл, при условие че изразът означава, че две неравенства трябва да бъдат изпълнени едновременно: тези. задачата се свежда до решаване на системата от неравенства:
Решаване на неравенство
Нека решим неравенството. Нека разложим лявата страна на неравенството на множители: Лявата страна на неравенството се превръща в 0 в точки -4 и 4. Нека отбележим тези точки на числовата права (фиг. 178). Числовата линия е разделена от посочените точки на три интервала, като във всеки интервал изразът p(x) = (4-x)(4 + x) запазва постоянен знак (знаците са посочени на фиг. 178). Интервалът, в който е валидно неравенството p(x)>0, е защрихован на фиг. 178. Съгласно условията на задачата ни интересуват и тези точки x, в които е изпълнено равенството p(x) = 0. Има две такива точки: x = -4, x = 4 - те са отбелязани на фиг. . 178 тъмни кръгове. Така на фиг. 178 е представен геометричен модел за решаване на второто неравенство на системата.
Нека отбележим намерените решения на първото и второто неравенство на системата на една и съща координатна права, като използваме горната щриховка за първото и долната щриховка за второто (фиг. 179). Решението на системата от неравенства ще бъде пресечната точка на решенията на неравенствата на системата, т.е. интервалът, в който двете щриховки съвпадат. Такава празнина е сегментът [-1, 4].
Отговор. D(f) = [-1,4].
А.Г. Мордкович алгебра 10 клас
Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище
Урок и презентация на тема: "Графика на функцията корен квадратен. Област на дефиниране и построяване на графиката"
Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, желания. Всички материали са проверени с антивирусна програма.
Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина Интеграл за 8 клас
Електронен учебник към учебника на Mordkovich A.G.
Електронна учебна тетрадка по алгебра за 8 клас
Графика на функцията квадратен корен
Момчета, вече сме се срещали с изграждането на графики на функции и то повече от веднъж. Конструирахме много линейни функции и параболи. По принцип е удобно да напишете всяка функция като $y=f(x)$. Това е уравнение с две променливи - за всяка стойност на x получаваме y. След като извършим дадена операция f, ние преобразуваме множеството от всички възможни x към множеството y. Можем да напишем почти всяка математическа операция като функция f.Обикновено, когато чертаем функции, използваме таблица, в която записваме стойностите на x и y. Например за функцията $y=5x^2$ е удобно да използвате следната таблица: Маркирайте получените точки върху декартовата координатна система и внимателно ги свържете с гладка крива. Нашата функция не е ограничена. Само с тези точки можем да заместим абсолютно всяка стойност x от дадената област на дефиниране, тоест тези x, за които изразът има смисъл.
В един от предишните уроци, които изучавахме нова операцияизвличане на корен квадратен. Възниква въпросът: можем ли, използвайки тази операция, да дефинираме някаква функция и да построим нейната графика? Да се възползваме общ изгледфункции $y=f(x)$. Нека оставим y и x на мястото им и вместо f въведем операцията за квадратен корен: $y=\sqrt(x)$.
Познавайки математическата операция, успяхме да дефинираме функцията.
Графика на функцията за квадратен корен
Нека начертаем графика на тази функция. Въз основа на определението за корен квадратен, можем да го изчислим само от неотрицателни числа, тоест $x≥0$.Нека направим таблица:
Нека отбележим нашите точки на координатната равнина.
Всичко, което трябва да направим, е внимателно да свържем получените точки.
Момчета, обърнете внимание: ако обърнем графиката на нашата функция настрани, ще се получи ляв клонпараболи. Всъщност, ако редовете в таблицата със стойности са разменени (горния ред с долния), тогава получаваме стойности само за параболата.
Домейн на функцията $y=\sqrt(x)$
С помощта на графиката на функция е доста лесно да се опишат свойствата.1. Обхват на дефиницията: $$.
б) $$.
Решение.
Можем да решим нашия пример по два начина. Във всяко писмо ще опишем различни методи.
А) Да се върнем към построената по-горе графика на функцията и да отбележим търсените точки от отсечката. Ясно се вижда, че за $x=9$ функцията е по-голяма от всички други стойности. Това означава най-висока стойностдостига до тази точка. При $х=4$ стойността на функцията е по-ниска от всички други точки, което означава, че има най-малка стойност.
$y_(най-много)=\sqrt(9)=3$, $y_(най-много)=\sqrt(4)=2$.
Б) Знаем, че нашата функция се увеличава. Това означава, че всяка по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията. Най-високите и най-ниските стойности се постигат в края на сегмента:
$y_(най-много)=\sqrt(11)$, $y_(най-много)=\sqrt(2)$.
Пример 2.
Решете уравнението:
$\sqrt(x)=12-x$.
Решение.
Най-лесният начин е да построите две графики на функция и да намерите тяхната пресечна точка.
Пресечната точка с координати $(9;3)$ е ясно видима на графиката. Това означава, че $x=9$ е решението на нашето уравнение.
Отговор: $x=9$.
Момчета, можем ли да сме сигурни, че този пример няма повече решения? Една от функциите се увеличава, другата намалява. Като цяло те или нямат общи точки, или се пресичат само в една.
Пример 3.
Постройте и прочетете графиката на функцията:
$\начало (случаи) -x, x 9. \край (случаи)$
Трябва да построим три частични графики на функцията, всяка на свой собствен интервал.
Нека опишем свойствата на нашата функция:
1. Област на дефиниция: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ за $x=0$ и $x=12$; $у>0$ за $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Функцията намалява на интервалите $(-∞;0)U(9;+∞)$. Функцията нараства на интервала $(0;9)$.
4. Функцията е непрекъсната в цялата област на дефиниция.
5. Няма максимална или минимална стойност.
6. Диапазон от стойности: $(-∞;+∞)$.
Проблеми за самостоятелно решаване
1. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията квадратен корен върху отсечката:а) $$;
б) $$.
2. Решете уравнението: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Постройте и прочетете графиката на функцията: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Постройте и прочетете графиката на функцията: $y=\sqrt(-x)$.
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.