Как да сравним два логаритма с различни основи. Сравнение на числа
В раздела относно въпроса как да сравняваме логаритми, когато....(+)? дадено от автора пресейтенай-добрият отговор е Или не можете да го намалите до една база, но да използвате свойствата логаритмична функция.
Ако основата на логаритмична функция е по-голяма от 1, тогава функцията нараства и за x > 1, колкото по-малка е основата, толкова по-високо е разположена графиката,
за 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Ако основата на логаритъма е по-голяма от нула и по-малка от 1, тогава функцията е намаляваща,
Освен това, за x > 1, колкото по-малка е основата, толкова по-висока е графиката,
за 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Ще се получи така:
Отговор от кльощав[гуру]
Намалете логаритмите до една и съща основа (например до естествено число) и след това сравнете.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.
Отговор от Невропатолог[гуру]
Използвайте формулата за преместване към нова база: log(a)b=1/log(b)a.
След това сравнете знаменателите на дроби като логаритми с една и съща основа.
От две дроби с еднакви числители, дробта с по-малък знаменател е по-голяма.
Например log(7)16 и log(3)16
1/log(16)7 и 1/log(16)3
Тъй като log(16)7>log(16)3, тогава 1/log(16)7< 1/log(16)3.
Да започнем с свойства на логаритъма от едно. Неговата формулировка е следната: логаритъмът от единица е равен на нула, т.е. log a 1=0за всяко a>0, a≠1. Доказателството не е трудно: тъй като a 0 =1 за всяко a, удовлетворяващо горните условия a>0 и a≠1, тогава равенството log a 1=0, което трябва да се докаже, следва непосредствено от дефиницията на логаритъма.
Нека дадем примери за приложението на разглежданото свойство: log 3 1=0, log1=0 и .
Да преминем към следващото свойство: логаритъм на число, равно на основата равно на едно , това е, log a a=1за a>0, a≠1. Наистина, тъй като a 1 =a за всяко a, тогава по дефиниция на логаритъма log a a=1.
Примери за използване на това свойство на логаритмите са равенствата log 5 5=1, log 5.6 5.6 и lne=1.
Например log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 и .
Логаритъм от произведението на две положителни числа x и y е равно на произведението от логаритмите на тези числа: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Нека докажем свойството на логаритъма на произведение. Поради свойствата на степента a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, и тъй като чрез главното логаритмично тъждество a log a x =x и a log a y =y, тогава a log a x ·a log a y =x·y. По този начин, a log a x+log a y =x·y, от което по дефиницията на логаритъм следва доказаното равенство.
Нека покажем примери за използване на свойството на логаритъма на произведение: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 и .
Свойството на логаритъм на произведение може да се обобщи до произведението на крайно число n от положителни числа x 1 , x 2 , …, x n като log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . Това равенство може да се докаже без проблеми.
Например, естественият логаритъм на продукт може да бъде заменен със сбора от три естествени логаритмичислата 4, e и.
Логаритъм от частното на две положителни числа x и y е равно на разликата между логаритмите на тези числа. Свойството на логаритъм на частно съответства на формула от вида , където a>0, a≠1, x и y са някои положителни числа. Валидността на тази формула е доказана, както и на формулата за логаритъм на произведение: тъй като , тогава по дефиниция на логаритъм.
Ето пример за използване на това свойство на логаритъма: .
Да преминем към свойство на логаритъма на степента. Логаритъмът на степента е равен на произведението на степента и логаритъма на модула на основата на тази степен. Нека запишем това свойство на логаритъма на степен като формула: log a b p =p·log a |b|, където a>0, a≠1, b и p са такива числа, че степента b p има смисъл и b p >0.
Първо доказваме това свойство за положително b. Основната логаритмична идентичност ни позволява да представим числото b като log a b , след това b p =(a log a b) p и полученият израз, поради свойството степен, е равен на a p log a b . Така стигаме до равенството b p =a p log a b , от което по дефиницията на логаритъма заключаваме, че log a b p =p log a b .
Остава да докажем това свойство за отрицателно b. Тук отбелязваме, че изразът log a b p за отрицателно b има смисъл само за четни експоненти p (тъй като стойността на степента b p трябва да е по-голяма от нула, в противен случай логаритъма няма да има смисъл), и в този случай b p =|b| стр. Тогава b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, от където log a b p =p·log a |b| .
Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Следва от предишното свойство свойство на логаритъма от корена: логаритъма на корена на n-та степен е равен на произведението на дробта 1/n и логаритъма на коренния израз, т.е. , където a>0, a≠1, n е естествено число, по-голямо от едно, b>0.
Доказателството се основава на равенството (вижте), което е валидно за всяко положително b, и свойството на логаритъма на степента: .
Ето пример за използване на това свойство: .
Сега да докажем формула за преминаване към нова основа на логаритъммил . За целта е достатъчно да се докаже валидността на равенството log c b=log a b·log c a. Основното логаритмично тъждество ни позволява да представим числото b като log a b, тогава log c b=log c a log a b. Остава да използваме свойството на логаритъма на степента: log c a log a b =log a b log c a. Това доказва равенството log c b=log a b·log c a, което означава, че е доказана и формулата за преминаване към нова основа на логаритъма.
Нека да покажем няколко примера за използване на това свойство на логаритмите: и .
Формулата за преминаване към нова база ви позволява да преминете към работа с логаритми, които имат „удобна“ база. Например, може да се използва за преминаване към естествени или десетични логаритми, така че да можете да изчислите стойността на логаритъм от таблица с логаритми. Формулата за преминаване към нова логаритъмна основа също позволява в някои случаи да се намери стойността на даден логаритъм, когато са известни стойностите на някои логаритми с други бази.
Използва се често специален случайформули за преминаване към нова основа на логаритъм с c=b на формата . Това показва, че log a b и log b a – . напр.
.
Формулата също се използва често , което е удобно за намиране на логаритмични стойности. За да потвърдим думите си, ще покажем как може да се използва за изчисляване на стойността на логаритъм от формата . Ние имаме
. За доказване на формулата
достатъчно е да използвате формулата за преход към нова основа на логаритъма a:
.
Остава да се докажат свойствата на сравнение на логаритми.
Нека докажем, че за всякакви положителни числа b 1 и b 2, b 1 log a b 2 , а при a>1 – неравенството log a b 1 Накрая остава да докажем последното от изброените свойства на логаритмите. Ограничаваме се до доказването на първата му част, тоест доказваме, че ако a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 е вярно log a 1 b>log a 2 b . Останалите твърдения на това свойство на логаритмите се доказват по подобен принцип. Нека използваме обратния метод. Да предположим, че за a 1 >1, a 2 >1 и a 1 1 е вярно log a 1 b≤log a 2 b . Въз основа на свойствата на логаритмите, тези неравенства могат да бъдат пренаписани като И
съответно и от тях следва, че log b a 1 ≤log b a 2 и съответно log b a 1 ≥log b a 2. Тогава, по свойствата на степените с еднакви основи, трябва да бъдат изпълнени равенствата b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2, тоест a 1 ≥a 2 . Така че стигнахме до противоречие с условието a 1
Библиография.
- Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в техникуми).
За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com
Надписи на слайдове:
Свойства на монотонност на логаритъма. Сравнение на логаритми. Алгебра 11 клас. Попълнено от учител по математика: Кинзябулатова Лилия Анасовна, Ноябрьск, 2014 г.
y= log a x, където a>0; a≠1. a) Ако a> 1, тогава y= log a x – нарастване b) Ако 0 Методи за сравняване на логаритми. ① Свойство за монотонност Сравнете log a b log a c базите са a Ако a> 1, тогава y= log a t нараства, тогава от b> c = > log a b > log a c ; Ако 0 c => log a b log 1/3 8; Методи за сравняване на логаритми. ② Графичен методСравнете log a b log с b различни основи, числа, равни на b 1) Ако a> 1; с > 1, тогава y=log a t, y=log с t – възраст. a) Ако a> c, b>1, тогава log a b log c b Методи за сравняване на логаритми. ② Графичен метод Сравнете log a b log с b основите са различни, числата са равни на b 2) Ако 0 c, b>1, тогава log a b > log c b b) Ако a Методи за сравняване на логаритми. ② Графичен метод Сравнете log a b log с b основите са различни, числата са равни на b Примери log 2 3 > log 4 3 2 1 Log 3 1/4 0,25; 3>1 Log 0,3 0,6 Методи за сравняване на логаритми. ③ Функции с различна монотонност a>1 y=log a x – увеличава 0 1, тогава log a c > log b d b) Ако 0 1) Log 0,5 1/3 > log 5 1/2 Методи за сравняване на логаритми. ⑤ Метод на оценка log 3 5 log 4 17 1 > > > > Методи за сравняване на логаритми. ⑦ Сравнение със средата на сегмента log 2 3 log 5 8 1 3/2 log 5 8 2* 3/2 2*log 5 8 2 log 5 64 log 2 8 log 5 64
основни свойства.
- logax + logay = log(x y);
- logax − logay = log(x: y).
идентични основания
log6 4 + log6 9.
Сега нека усложним малко задачата.
Примери за решаване на логаритми
Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:
Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x >
Задача. Намерете стойността на израза:
Преход към нова основа
Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:
Задача. Намерете стойността на израза:
Вижте също:
Основни свойства на логаритъма
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е равен на 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Николаевич Толстой.
Основни свойства на логаритмите
Познавайки това правило, вие ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.
Примери за логаритми
Вземете логаритъм на изразите
Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0, c>0).
Използвайки свойства 3.5, изчисляваме
2.
3.
4. Където
.
Пример 2. Намерете x if
Пример 3. Нека е дадена стойността на логаритмите
Изчислете log(x), ако
Основни свойства на логаритмите
Логаритмите, като всички числа, могат да се събират, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.
Определено трябва да знаете тези правила - без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - всичко може да се научи за един ден. Така че да започваме.
Събиране и изваждане на логаритми
Помислете за два логаритма с една и съща основа: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:
- logax + logay = log(x y);
- logax − logay = log(x: y).
И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Забележка: ключов моментТук - идентични основания. Ако причините са различни, тези правила не работят!
Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израздори когато отделните му части не се броят (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:
Тъй като логаритмите имат еднакви основи, ние използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.
Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.
Отново, основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават съвсем нормални числа. Въз основа на този факт мн тестови работи. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.
Премахване на експонентата от логаритъма
Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.
Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно , т.е. можете да въведете числата преди знака на логаритъма в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.
Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.
Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Задача. Намерете стойността на израза:
Обърнете внимание, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:
Мисля, че последният пример има нужда от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До самото последен моментработим само със знаменателя.
Логаритмични формули. Логаритми примерни решения.
Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.
Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log2 7. Тъй като log2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.
Преход към нова основа
Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?
Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:
Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:
По-специално, ако зададем c = x, получаваме:
От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.
Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.
Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека разгледаме няколко от тях:
Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.
Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма са точни показатели. Нека извадим индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Сега нека обърнем втория логаритъм:
Тъй като продуктът не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се справихме с логаритмите.
Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.
Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:
Сега нека се отървем от десетичен логаритъм, преместване в нова база:
Основно логаритмично тъждество
Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:
В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само логаритъм.
Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Така се казва: .
Всъщност, какво се случва, ако числото b се повдигне на такава степен, че числото b на тази степен дава числото a? Точно така: резултатът е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.
Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.
Задача. Намерете стойността на израза:
Обърнете внимание, че log25 64 = log5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като се имат предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:
Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от Единния държавен изпит 🙂
Логаритмична единица и логаритмична нула
В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.
- logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а на самата тази основа е равен на едно.
- log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.
Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.
Вижте също:
Логаритъмът от b при основа а означава израза. Да се изчисли логаритъм означава да се намери степен x (), при която равенството е изпълнено
Основни свойства на логаритъма
Необходимо е да се знаят горните свойства, тъй като почти всички задачи и примери, свързани с логаритми, се решават на тяхна основа. Останалите екзотични свойства могат да бъдат извлечени чрез математически манипулации с тези формули
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Когато изчислявате формулата за сбора и разликата на логаритмите (3.4), срещате доста често. Останалите са малко сложни, но в редица задачи са незаменими за опростяване на сложни изрази и изчисляване на техните стойности.
Често срещани случаи на логаритми
Някои от често срещаните логаритми са тези, при които основата е дори десет, експоненциална или две.
Логаритъмът по основа десет обикновено се нарича десетичен логаритъм и се означава просто с lg(x).
От записа става ясно, че основното не е написано в записа. Например
Натурален логаритъм е логаритъм, чиято основа е показател (обозначен с ln(x)).
Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е равен на 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Николаевич Толстой. Познавайки това правило, вие ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.
И друг важен логаритъм при основа две е означен с
Производната на логаритъма на функция е равна на единица, разделена на променливата
Интегралният или противопроизводният логаритъм се определя от връзката
Даденият материал е достатъчен, за да решите широк клас задачи, свързани с логаритми и логаритми. За да ви помогна да разберете материала, ще дам само няколко общи примера от училищна програмаи университети.
Примери за логаритми
Вземете логаритъм на изразите
Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0, c>0).
Използвайки свойства 3.5, изчисляваме
2.
По свойството разлика на логаритмите имаме
3.
Използвайки свойства 3.5 намираме
4. Където
.
Привидно сложен израз се опростява, за да се формира с помощта на редица правила
Намиране на логаритмични стойности
Пример 2. Намерете x if
Решение. За изчисление прилагаме към последния термин 5 и 13 свойства
Записваме го и скърбим
Тъй като основите са равни, приравняваме изразите
Логаритми. Първо ниво.
Нека е дадена стойността на логаритмите
Изчислете log(x), ако
Решение: Нека вземем логаритъм на променливата, за да запишем логаритъма чрез сумата от нейните членове
Това е само началото на запознаването с логаритмите и техните свойства. Практикувайте изчисления, обогатете практическите си умения - скоро ще имате нужда от знанията, които придобивате, за решаване на логаритмични уравнения. След като изучихме основните методи за решаване на такива уравнения, ще разширим знанията ви към друга също толкова важна тема - логаритмичните неравенства...
Основни свойства на логаритмите
Логаритмите, като всички числа, могат да се събират, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.
Определено трябва да знаете тези правила - без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - всичко може да се научи за един ден. Така че да започваме.
Събиране и изваждане на логаритми
Помислете за два логаритма с една и съща основа: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:
- logax + logay = log(x y);
- logax − logay = log(x: y).
И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е - идентични основания. Ако причините са различни, тези правила не работят!
Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:
Задача. Намерете стойността на израза: log6 4 + log6 9.
Тъй като логаритмите имат еднакви основи, ние използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.
Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.
Отново, основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават съвсем нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.
Премахване на експонентата от логаритъма
Сега нека усложним малко задачата. Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:
Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.
Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно , т.е. можете да въведете числата преди знака на логаритъма в самия логаритъм.
Как се решават логаритми
Това е, което най-често се изисква.
Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.
Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Задача. Намерете стойността на израза:
Обърнете внимание, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:
Мисля, че последният пример има нужда от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.
Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log2 7. Тъй като log2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.
Преход към нова основа
Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?
Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:
Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:
По-специално, ако зададем c = x, получаваме:
От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.
Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.
Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека разгледаме няколко от тях:
Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.
Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма са точни показатели. Нека извадим индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Сега нека обърнем втория логаритъм:
Тъй като продуктът не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се справихме с логаритмите.
Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.
Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:
Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:
Основно логаритмично тъждество
Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:
В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само логаритъм.
Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Така се казва: .
Всъщност, какво се случва, ако числото b се повдигне на такава степен, че числото b на тази степен дава числото a? Точно така: резултатът е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.
Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.
Задача. Намерете стойността на израза:
Обърнете внимание, че log25 64 = log5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като се имат предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:
Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от Единния държавен изпит 🙂
Логаритмична единица и логаритмична нула
В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.
- logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а на самата тази основа е равен на едно.
- log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.
Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.