Kolmnurkse prisma ruumala leidmise valem. Sirge prisma ruumala
Erinevad prismad on üksteisest erinevad. Samas on neil palju ühist. Prisma aluse pindala leidmiseks peate mõistma, mis tüüpi see on.
Üldine teooria
Prisma on iga hulktahukas, mille külgedel on rööpküliku kuju. Veelgi enam, selle alus võib olla mis tahes hulktahukas - kolmnurgast n-nurgani. Pealegi on prisma alused alati võrdsed üksteist. Külgpindade kohta ei kehti see, et nende suurus võib oluliselt erineda.
Probleemide lahendamisel ei puututa kokku mitte ainult prisma aluse pindalaga. See võib nõuda teadmisi külgpinnast, st kõigist tahkudest, mis ei ole alused. Kogu pind on kõigi prisma moodustavate tahkude liit.
Mõnikord on probleemid seotud kõrgusega. See on alustega risti. Hulktahuka diagonaal on segment, mis ühendab paarikaupa mis tahes kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku.
Tuleb märkida, et sirge või kaldprisma aluspind ei sõltu nende ja külgpindade vahelisest nurgast. Kui nende ülemisel ja alumisel küljel on samad arvud, on nende alad võrdsed.
Kolmnurkne prisma
Selle põhjas on kolme tipuga kujund, see tähendab kolmnurk. Nagu teate, võib see olla erinev. Kui jah, siis piisab, kui meeles pidada, et selle pindala määrab pool jalgade tootest.
Matemaatiline tähistus näeb välja selline: S = ½ keskm.
Baasi pindala väljaselgitamiseks üldine vaade, on kasulikud valemid: Heron ja see, milles pool külge on võetud selle külge tõmmatud kõrgusele.
Esimene valem tuleks kirjutada järgmiselt: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). See märge sisaldab poolperimeetrit (p), see tähendab kolme külje summa jagatud kahega.
Teiseks: S = ½ n a * a.
Kui soovite välja selgitada kolmnurkse prisma aluse pindala, mis on korrapärane, osutub kolmnurk võrdkülgseks. Selle jaoks on valem: S = ¼ a 2 * √3.
Nelinurkne prisma
Selle alus on mis tahes tuntud nelinurk. See võib olla ristkülik või ruut, rööptahukas või romb. Igal juhul vajate prisma aluse pindala arvutamiseks oma valemit.
Kui alus on ristkülik, siis määratakse selle pindala järgmiselt: S = ab, kus a, b on ristküliku küljed.
Millal me räägime nelinurkse prisma kohta, siis arvutatakse tavalise prisma aluse pindala ruudu valemi abil. Sest see on tema, kes asub vundamendil. S = a 2.
Juhul, kui alus on rööptahukas, on vaja järgmist võrdsust: S = a * n a. Juhtub, et on antud rööptahuka külg ja üks nurkadest. Seejärel peate kõrguse arvutamiseks kasutama täiendavat valemit: n a = b * sin A. Veelgi enam, nurk A külgneb küljega "b" ja kõrgus n on selle nurga vastas.
Kui prisma põhjas on romb, siis selle pindala määramiseks vajate sama valemit nagu rööpküliku puhul (kuna see on selle erijuhtum). Kuid võite kasutada ka seda: S = ½ d 1 d 2. Siin on d 1 ja d 2 rombi kaks diagonaali.
Regulaarne viisnurkne prisma
See juhtum hõlmab hulknurga jagamist kolmnurkadeks, mille pindalasid on lihtsam välja selgitada. Kuigi juhtub, et kujunditel võib olla erinev arv tippe.
Kuna prisma põhi on korrapärane viisnurk, saab selle jagada viieks võrdkülgseks kolmnurgaks. Siis võrdub prisma aluse pindala ühe sellise kolmnurga pindalaga (valemit näete ülal), korrutatuna viiega.
Regulaarne kuusnurkne prisma
Kasutades viisnurkse prisma puhul kirjeldatud põhimõtet, on võimalik aluse kuusnurk jagada 6 võrdkülgseks kolmnurgaks. Sellise prisma aluspinna valem on sarnane eelmisele. Ainult see tuleks korrutada kuuega.
Valem näeb välja selline: S = 3/2 a 2 * √3.
Ülesanded
Nr 1. Arvestades korrapärast sirget, on selle diagonaal 22 cm, hulktahuka kõrgus on 14 cm. Arvutage prisma aluse ja kogu pinna pindala.
Lahendus. Prisma põhi on ruut, kuid selle külg on teadmata. Selle väärtuse leiate ruudu diagonaalist (x), mis on seotud prisma diagonaaliga (d) ja selle kõrgusega (h). x 2 = d 2 - n 2. Teisest küljest on see segment “x” hüpotenuus kolmnurgas, mille jalad on võrdsed ruudu küljega. See tähendab, et x 2 = a 2 + a 2. Seega selgub, et a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Asendage d asemel arv 22 ja asendage "n" selle väärtusega - 14, selgub, et ruudu külg on 12 cm. Nüüd saate lihtsalt teada aluse pindala: 12 * 12 = 144 cm 2.
Kogu pinna pindala väljaselgitamiseks peate lisama kahekordse aluspinna ja neljakordistama külgpinna. Viimast saab hõlpsasti leida, kasutades ristküliku valemit: korrutage hulktahuka kõrgus ja aluse külg. See tähendab, et 14 ja 12 on see arv 168 cm 2. Prisma kogupindalaks osutub 960 cm2.
Vastus. Prisma aluse pindala on 144 cm2. Kogu pind on 960 cm2.
Nr 2. Antud Alusel on kolmnurk, mille külg on 6 cm. Sel juhul on külgpinna diagonaal 10 cm Arvutage pindalad: alus ja külgpind.
Lahendus. Kuna prisma on korrapärane, on selle alus võrdkülgne kolmnurk. Seetõttu osutub selle pindala võrdseks 6 ruuduga, korrutatuna ¼-ga ja ruutjuurega 3. Lihtne arvutus annab tulemuse: 9√3 cm 2. See on prisma ühe aluse pindala.
Kõik külgpinnad on ühesugused ja on ristkülikud, mille küljed on 6 ja 10 cm. Nende pindala arvutamiseks lihtsalt korrutage need arvud. Seejärel korrutage need kolmega, sest prismal on täpselt nii palju külgi. Siis osutub haava külgpinna pindalaks 180 cm 2.
Vastus. Pindalad: alus - 9√3 cm 2, prisma külgpind - 180 cm 2.
Prisma maht. Probleemi lahendamine
Geomeetria on kõige võimsam vahend meie vaimsete võimete teravdamiseks ning võimaldab meil õigesti mõelda ja arutleda.
G. Galileo
Tunni eesmärk:
- õpetada lahendama prismade ruumala arvutamise ülesandeid, võtma kokku ja süstematiseerima õpilastel olevat teavet prisma ja selle elementide kohta, arendama kõrgendatud keerukusega ülesannete lahendamise oskust;
- arendada loogilist mõtlemist, iseseisva töö oskust, vastastikuse kontrolli ja enesekontrolli oskusi, kõne- ja kuulamisoskust;
- arendada harjumust pidevalt töötada mõnes kasulikus tegevuses, soodustades reageerimisvõimet, töökust ja täpsust.
Tunni tüüp: teadmiste, oskuste ja võimete rakendamise tund.
Varustus: kontrollkaardid, meediaprojektor, esitlus “Õppetund. Prism Volume”, arvutid.
Tundide ajal
- Prisma külgmised ribid (joon. 2).
- Prisma külgpind (joonis 2, joonis 5).
- Prisma kõrgus (joon. 3, joon. 4).
- Sirge prisma (joonis 2,3,4).
- Kaldprisma (joonis 5).
- Õige prisma (joon. 2, joon. 3).
- Prisma diagonaallõige (joonis 2).
- Prisma diagonaal (joonis 2).
- Prisma ristilõige (joon. 3, joon. 4).
- Prisma külgpindala.
- Ruut täispind prismad.
- Prisma maht.
- KODUTÖÖ KONTROLL (8 min)
- Õpetaja ja klassi koostöö (2-3 min.).
- FÜÜSILINE MINUT (3 min)
- PROBLEEMIDE LAHENDAMINE (10 min)
- Iseseisev tööõpilased töötavad arvuti taga kontrolltööga
Vahetage märkmikud, kontrollige slaididelt lahendust ja märkige see (märkige 10, kui ülesanne on koostatud)
Koostage pildi põhjal probleem ja lahendage see. Õpilane kaitseb tahvli juures enda koostatud ülesannet. Joonis 6 ja joonis 7.
2. peatüki §3
Probleem.2. Korrapärase kolmnurkse prisma kõigi servade pikkused on üksteisega võrdsed. Arvutage prisma ruumala, kui selle pindala on cm 2 (joonis 8)
2. peatüki §3
Ülesanne 5. Sirge prisma ABCA 1B 1C1 alus on täisnurkne kolmnurk ABC (nurk ABC=90°), AB=4cm. Arvutage prisma ruumala, kui kolmnurga ABC ümber ümbritsetud ringi raadius on 2,5 cm ja prisma kõrgus on 10 cm. (Joonis 9).
Peatükk2,§3
Ülesanne 29. Korrapärase nelinurkse prisma aluse külje pikkus on 3 cm. Prisma diagonaal moodustab külgpinna tasapinnaga 30° nurga. Arvutage prisma ruumala (joonis 10).
Eesmärk: teoreetilise soojenduse tulemuste summeerimine (õpilased hindavad üksteist), õppige teemakohaseid ülesandeid lahendama.
Peal selles etapisÕpetaja korraldab frontaalset tööd planimeetriliste ülesannete ja planimeetriliste valemite lahendamise meetodite kordamisel. Klass on jagatud kahte rühma, ühed lahendavad ülesandeid, teised töötavad arvuti taga. Siis nad muutuvad. Õpilastel palutakse lahendada kõik nr 8 (suuliselt), nr 9 (suuliselt). Seejärel jagunevad nad rühmadesse ja lahendavad ülesandeid nr 14, nr 30, nr 32.
2. peatükk, §3, lk 66-67
Ülesanne 8. Korrapärase kolmnurkse prisma kõik servad on üksteisega võrdsed. Leidke prisma ruumala, kui alumise aluse serva ja ülemise aluse külje keskosa läbiva tasapinna ristlõikepindala on võrdne cm-ga (joonis 11).
2. peatükk,§3, lk 66-67
Ülesanne 9. Sirge prisma alus on ruut ja selle külgservad on kaks korda suuremad kui aluse külg. Arvutage prisma ruumala, kui prisma ristlõike lähedal aluse külge ja vastaskülje serva keskosa läbiva tasapinna poolt kirjeldatud ringi raadius on võrdne cm-ga (joon. 12)
2. peatükk,§3, lk 66-67
Probleem 14 Sirge prisma alus on romb, mille üks diagonaal on võrdne selle küljega. Arvutage lõigu ümbermõõt tasapinnaga, mis läbib alumise aluse suurt diagonaali, kui prisma ruumala on võrdne ja kõik külgpinnad on ruudukujulised (joonis 13).
2. peatükk,§3, lk 66-67
Ülesanne 30 ABCA 1 B 1 C 1 on korrapärane kolmnurkne prisma, mille kõik servad on üksteisega võrdsed, punkt on serva BB 1 keskkoht. Arvutage AOS-tasandi poolt prisma lõiku kantud ringi raadius, kui prisma ruumala on võrdne (joon. 14).
2. peatükk,§3, lk 66-67
Probleem 32.Korrapärase nelinurkse prisma korral on aluste pindalade summa võrdne külgpinna pindalaga. Arvutage prisma ruumala, kui prisma ristlõike lähedal alumise aluse kahte tippu ja ülemise aluse vastastippu läbiva tasapinnaga kirjeldatud ringi läbimõõt on 6 cm (joonis 15).
Ülesandeid lahendades võrdlevad õpilased oma vastuseid õpetaja näidatutega. See on probleemi näidislahendus koos üksikasjalike kommentaaridega... Individuaalne töö“tugevate” õpilastega õpetajad (10 min.).
1. Korrapärase kolmnurkse prisma aluse külg on võrdne ja kõrgus on 5. Leidke prisma ruumala.
1) 152) 45 3) 104) 125) 18
2. Valige õige väide.
1) Täisnurkse kolmnurga alusega prisma ruumala on võrdne aluse pindala ja kõrguse korrutisega.
2) Korrapärase kolmnurkse prisma ruumala arvutatakse valemiga V = 0,25a 2 h - kus a on aluse külg, h on prisma kõrgus.
3) Sirge prisma ruumala on võrdne poolega aluse pindala ja kõrguse korrutisest.
4) Korrapärase nelinurkse prisma ruumala arvutatakse valemiga V = a 2 h-kus a on aluse külg, h on prisma kõrgus.
5) Korrapärase kuusnurkse prisma ruumala arvutatakse valemiga V = 1,5a 2 h, kus a on aluse külg, h on prisma kõrgus.
3. Korrapärase kolmnurkse prisma aluse külg on võrdne . Läbi alumise aluse külje ja ülemise aluse vastastipu tõmmatakse tasapind, mis läbib aluse suhtes 45° nurga all. Leidke prisma ruumala.
1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125
4. Parempoolse prisma alus on romb, mille külg on 13 ja üks diagonaalidest on 24. Leidke prisma ruumala, kui külgpinna diagonaal on 14.
Mis on prisma ruumala ja kuidas seda leida
Prisma ruumala on selle aluse pindala ja kõrguse korrutis.
Küll aga teame, et prisma põhjas võib olla kolmnurk, ruut või mõni muu hulktahukas.
Seetõttu peate prisma ruumala leidmiseks lihtsalt arvutama prisma aluse pindala ja korrutama selle pindala selle kõrgusega.
See tähendab, et kui prisma põhjas on kolmnurk, peate kõigepealt leidma kolmnurga pindala. Kui prisma alus on ruut või muu hulknurk, peate kõigepealt otsima ruudu või muu hulknurga pindala.
Tuleb meeles pidada, et prisma kõrgus on prisma aluste suhtes tõmmatud risti.
Mis on prisma
Nüüd meenutagem prisma määratlust.
Prisma on hulknurk, mille kaks tahku (põhja) on sees paralleelsed tasapinnad, ja kõik servad, mis asuvad väljaspool neid tahke, on paralleelsed.
Lihtsamalt öeldes:
Prisma on mis tahes geomeetriline kujund, millel on kaks võrdset alust ja lamedat tahku.
Prisma nimi sõltub selle aluse kujust. Kui prisma alus on kolmnurk, siis nimetatakse sellist prismat kolmnurkseks. Mitmetahuline prisma on geomeetriline kujund, mille alus on hulktahukas. Samuti on prisma teatud tüüpi silindrid.
Mis tüüpi prismasid on olemas?
Kui vaatame ülaltoodud pilti, näeme, et prismad on sirged, korrapärased ja kaldu.
Harjutus
1. Millist prismat nimetatakse õigeks?
2. Miks seda nii nimetatakse?
3. Kuidas nimetatakse prismat, mille alused on korrapärased hulknurgad?
4. Mis on selle kuju kõrgus?
5. Kuidas nimetatakse prismat, mille servad ei ole risti?
6. Defineeri kolmnurkne prisma.
7. Kas prisma võib olla rööptahukas?
8. Millist geomeetrilist kujundit nimetatakse poolregulaarseks hulknurgaks?
Millistest elementidest koosneb prisma?
Prisma koosneb sellistest elementidest nagu alumine ja ülemine alus, külgpinnad, servad ja tipud.
Prisma mõlemad alused asuvad tasapinnal ja on üksteisega paralleelsed.
Püramiidi külgpinnad on rööpkülikukujulised.
Püramiidi külgpind on selle külgpindade summa.
Üldised aspektid külgpinnad pole midagi muud kui antud kujundi külgmised servad.
Püramiidi kõrgus on segment, mis ühendab aluste tasapindu ja on nendega risti.
Prisma omadused
Geomeetrilisel kujundil, nagu prismal, on mitmeid omadusi. Vaatame neid omadusi lähemalt:
Esiteks nimetatakse prisma aluseid võrdsed hulknurgad;
Teiseks esitatakse prisma külgpinnad rööpküliku kujul;
Kolmandaks, see geomeetriline kujund servad on paralleelsed ja võrdsed;
Neljandaks on prisma kogupindala:
Nüüd vaatame teoreemi, mis annab külgpinna ja tõestuse arvutamiseks kasutatava valemi.
Kas olete selle peale kunagi mõelnud huvitav fakt et prisma ei saa olla ainult geomeetriline keha, vaid ka teised meid ümbritsevad objektid. Isegi tavaline lumehelves, olenevalt temperatuuri režiim võib muutuda jääprismaks, võttes kuusnurkse kuju.
Kuid kaltsiidikristallidel on selline ainulaadne nähtus nagu purunemine kildudeks ja rööptahuka kuju võtmine. Ja mis on kõige hämmastavam, on see, et hoolimata sellest, kui väikeseks kaltsiidikristallid purustatakse, on tulemus alati sama: need muutuvad väikesteks rööptahukateks.
Selgub, et prisma on populaarsust kogunud mitte ainult matemaatikas, demonstreerides oma geomeetrilist keha, vaid ka kunstivaldkonnas, kuna see on selliste suurte kunstnike nagu P. Picasso, Braque, Grissi jt maalide aluseks.
Koolilapsed, kes valmistuvad sooritama ühtset matemaatika riigieksamit, peaksid kindlasti õppima lahendama ülesandeid sirge ja korrapärase prisma ala leidmisel. Mitu aastat praktikat kinnitab tõsiasja, et paljud õpilased peavad selliseid geomeetriaülesandeid üsna raskeks.
Samas peaksid igasuguse ettevalmistusega gümnasistid suutma leida tavalise ja sirge prisma pindala ja ruumala. Ainult sel juhul saavad nad ühtse riigieksami sooritamise tulemuste põhjal loota võistlusskooride saamisele.
Peamised punktid, mida meeles pidada
- Kui prisma külgmised servad on alusega risti, nimetatakse seda sirgjooneks. Kõik selle joonise külgpinnad on ristkülikud. Sirge prisma kõrgus langeb kokku selle servaga.
- Korrapärane prisma on prisma, mille külgservad on risti alusega, milles korrapärane hulknurk asub. Selle joonise külgpinnad on võrdsed ristkülikud. Õige prisma on alati sirge.
Ühtseks riigieksamiks valmistumine koos Shkolkovoga on teie edu võti!
Et muuta oma tunnid lihtsaks ja võimalikult tõhusaks, valige meie matemaatikaportaal. Kõik on siin esitatud vajalik materjal, mis aitab teil valmistuda sertifitseerimistesti läbimiseks.
Shkolkovo haridusprojekti spetsialistid teevad ettepaneku minna lihtsast keeruliseks: kõigepealt anname teooria, põhivalemid, teoreemid ja elementaarsed probleemid koos lahendustega ning seejärel liigume järk-järgult edasi eksperditaseme ülesannete juurde.
Põhiteave on süstematiseeritud ja selgelt esitatud jaotises „Teoreetiline teave“. Kui olete juba jõudnud vajaliku materjali üle korrata, soovitame harjutada õige prisma pindala ja ruumala leidmise ülesannete lahendamist. Jaotises "Kataloog" on suur valik erineva raskusastmega harjutusi.
Proovige arvutada sirge ja korrapärase prisma pindala või kohe. Analüüsige mis tahes ülesannet. Kui see raskusi ei tekita, võib julgelt edasi liikuda asjatundja taseme harjutuste juurde. Ja kui tekivad teatud raskused, soovitame koos Shkolkovo matemaatikaportaaliga regulaarselt valmistuda ühtseks riigieksamiks veebis ja ülesanded teemal “Sirge ja korrapärane prisma” on teile lihtsad.
Füüsikas kasutatakse spektri uurimiseks sageli klaasist kolmnurkset prismat valge valgus, kuna see on võimeline selle üksikuteks komponentideks lagundama. Selles artiklis käsitleme mahu valemit
Mis on kolmnurkne prisma?
Enne mahuvalemi andmist kaalume selle joonise omadusi.
Selle saamiseks peate võtma mis tahes kujuga kolmnurga ja viima selle endaga paralleelselt teatud kaugusele. Kolmnurga tipud alg- ja lõppasendis peaksid olema ühendatud sirgete segmentidega. Saadud mahulist figuuri nimetatakse kolmnurkseks prismaks. See koosneb viiest küljest. Kahte neist nimetatakse alusteks: need on paralleelsed ja üksteisega võrdsed. Kõnealuse prisma alused on kolmnurgad. Ülejäänud kolm külge on rööpkülikukujulised.
Kõnealust prismat iseloomustavad lisaks külgedele kuus tippu (iga aluse kohta kolm) ja üheksa serva (6 serva asetsevad aluste tasandites ja 3 serva moodustuvad külgede lõikumisel). Kui külgservad on alustega risti, siis nimetatakse sellist prismat ristkülikukujuliseks.
Kolmnurkse prisma erinevus kõigist teistest selle klassi kujunditest seisneb selles, et see on alati kumer (nelja-, viie-, ...-, n-nurksed prismad võivad olla ka nõgusad).
See on ristkülikukujuline kujund, mille põhjas on võrdkülgne kolmnurk.
Üldise kolmnurkse prisma ruumala
Kuidas leida kolmnurkse prisma ruumala? Valem on üldiselt sarnane mis tahes tüüpi prisma omaga. Sellel on järgmine matemaatiline tähistus:
Siin h on joonise kõrgus, see tähendab selle aluste vaheline kaugus, S o on kolmnurga pindala.
S o väärtuse saab leida, kui on teada kolmnurga mõned parameetrid, näiteks üks külg ja kaks nurka või kaks külge ja üks nurk. Kolmnurga pindala on võrdne poolega selle kõrgusest ja selle külje pikkusest, mille võrra see kõrgus on langetatud.
Mis puutub joonise kõrgusesse h, siis seda on kõige lihtsam leida ristkülikukujuline prisma. Viimasel juhul langeb h kokku külgserva pikkusega.
Korrapärase kolmnurkse prisma ruumala
Üldvalem Kolmnurkse prisma ruumala, mis on toodud artikli eelmises osas, saab kasutada tavalise kolmnurkse prisma vastava väärtuse arvutamiseks. Kuna selle alus on võrdkülgne kolmnurk, on selle pindala võrdne:
Selle valemi saab igaüks, kui ta mäletab, et võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on üksteisega võrdsed ja moodustavad 60 o. Siin on sümbol a kolmnurga külje pikkus.
Kõrgus h on serva pikkus. See ei ole kuidagi seotud tavalise prisma alusega ja võib võtta suvalisi väärtusi. Selle tulemusel näeb õiget tüüpi kolmnurkse prisma ruumala valem välja järgmine:
Pärast juure arvutamist saate selle valemi ümber kirjutada järgmiselt:
Seega on kolmnurkse alusega tavalise prisma ruumala leidmiseks vaja aluse külg ruudukujuliseks muuta, see väärtus korrutada kõrgusega ja saadud väärtus korrutada 0,433-ga.
- Mõelge välja märgid sümbolid ajalugu geograafia bioloogia
- Kuidas õigesti kirjutada ja vormistada uurimistööd (T&A): struktuur, nõuded, näpunäited Järeldus uurimistöö käigus
- Sõpruse juur sõnas ja morfeemiline analüüs kompositsiooni järgi Kaashäälikute positsioonimuutused vene keeles
- Kiirus pideva kiirendusega liikumisel