Vastaskülje ja hüpotenuusi suhet nimetatakse. Täisnurkne kolmnurk: siinus, koosinus, puutuja, nurga kotangens
Vastaskülje ja hüpotenuusi suhet nimetatakse siinus teravnurk täisnurkne kolmnurk.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus
Külgneva jala ja hüpotenuusi suhet nimetatakse teravnurga koosinus täisnurkne kolmnurk.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja
Nimetatakse vastaskülje ja külgneva külje suhet teravnurga puutuja täisnurkne kolmnurk.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Täisnurkse kolmnurga teravnurga kotangens
Nimetatakse külgneva külje ja vastaskülje suhet teravnurga kotangents täisnurkne kolmnurk.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Suvalise nurga siinus
Nimetatakse ühikringi punkti ordinaat, millele vastab nurk \alpha suvalise nurga siinus pöörlemine \alpha .
\sin \alpha=y
Suvalise nurga koosinus
Nimetatakse ühikringi punkti abstsiss, millele vastab nurk \alpha suvalise nurga koosinus pöörlemine \alpha .
\cos \alpha=x
Suvalise nurga puutuja
Nimetatakse suvalise pöördenurga \alpha siinuse suhet selle koosinusesse suvalise nurga puutuja pöörlemine \alpha .
tan \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Suvalise nurga kotangens
Nimetatakse suvalise pöördenurga \alpha koosinuse suhet selle siinusesse suvalise nurga kotangent pöörlemine \alpha .
ctg\alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Näide suvalise nurga leidmisest
Kui \alpha on mingi nurk AOM, kus M on ühikringi punkt, siis
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Näiteks kui \angle AOM = -\frac(\pi)(4), siis: punkti M ordinaat on võrdne -\frac(\sqrt(2))(2), abstsiss on võrdne \frac(\sqrt(2))(2) ja sellepärast
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.
Kootangentide puutujate koosinuste väärtuste tabel
Peamiste sageli esinevate nurkade väärtused on toodud tabelis:
0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right) | 45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right) | 60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right) | 90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right) | 180^(\circ)\left(\pi\right) | 270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right) | 360^(\circ)\left(2\pi\right) | |
\sin\alpha | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
\cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
tg\alpha | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Mis on nurga siinus, koosinus, puutuja, kotangens, aitab teil mõista täisnurkset kolmnurka.
Kuidas nimetatakse täisnurkse kolmnurga külgi? See on õige, hüpotenuus ja jalad: hüpotenuus on külg, mis asub täisnurga vastas (meie näites on see külg \(AC\)); jalad on kaks ülejäänud külge \(AB\) ja \(BC\) (need, mis külgnevad täisnurgaga) ja kui arvestada jalgu nurga \(BC\) suhtes, siis jalg \(AB\) on külgnev jalg ja jalg \(BC\) on vastas. Niisiis, vastame nüüd küsimusele: mis on nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens?
Nurga siinus– see on vastupidise (kauge) jala ja hüpotenuusi suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Nurga koosinus– see on külgneva (lähedase) jala ja hüpotenuusi suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Nurga puutuja– see on vastaskülje (kauge) ja külgneva (lähedase) suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Nurga kotangents– see on külgneva (lähedase) jala ja vastupidise (kauge) suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Need määratlused on vajalikud mäleta! Et oleks lihtsam meeles pidada, milline jalg milleks jagada, peate sellest selgelt aru saama puutuja Ja kotangent istuvad ainult jalad ja hüpotenuus ilmub ainult sisse sinus Ja koosinus. Ja siis saab välja mõelda assotsiatsioonide ahela. Näiteks see:
Koosinus→puudutus→puudutus→külgnev;
Kotangent → puudutus → puudutus → külgnev.
Kõigepealt tuleb meeles pidada, et siinus, koosinus, puutuja ja kotangens kui kolmnurga külgede suhted ei sõltu nende külgede pikkustest (sama nurga all). Ei usu? Seejärel veenduge pilti vaadates:
Vaatleme näiteks nurga \(\beta \) koosinust. Definitsiooni järgi kolmnurgast \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), kuid nurga \(\beta \) koosinuse saame arvutada kolmnurgast \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Näete, külgede pikkused on erinevad, kuid ühe nurga koosinuse väärtus on sama. Seega sõltuvad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused ainult nurga suurusest.
Kui saate definitsioonidest aru, siis jätkake ja kinnitage need!
Alloleval joonisel näidatud kolmnurga \(ABC \) jaoks leiame \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(massiiv)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(massiivi) \)
No kas sa said aru? Seejärel proovige ise: arvutage sama nurga \(\beta \) jaoks.
Vastused: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Ühik (trigonomeetriline) ring
Mõistes kraadide ja radiaanide mõisteid, käsitlesime ringi, mille raadius on võrdne \(1\) . Sellist ringi nimetatakse vallaline. See on trigonomeetria õppimisel väga kasulik. Seetõttu vaatame seda veidi üksikasjalikumalt.
Nagu näete, on see ring konstrueeritud Descartes'i koordinaatsüsteemis. Ringi raadius võrdne ühega, kuigi ringi keskpunkt asub lähtepunktis, on raadiusvektori algpositsioon fikseeritud piki \(x\) telje positiivset suunda (meie näites on see raadius \(AB\)).
Iga punkt ringil vastab kahele numbrile: koordinaat piki telge \(x\) ja koordinaat piki telge \(y\). Mis need koordinaatide numbrid on? Ja üleüldse, mis on neil selle teemaga pistmist? Selleks peame meeles pidama vaadeldavat täisnurkset kolmnurka. Ülaltoodud joonisel näete kahte tervet täisnurkset kolmnurka. Vaatleme kolmnurka \(ACG\) . See on ristkülikukujuline, kuna \(CG\) on risti teljega \(x\).
Mis on \(\cos \ \alpha \) kolmnurgast \(ACG \)? See on õige \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Lisaks teame, et \(AC\) on ühikuringi raadius, mis tähendab \(AC=1\) . Asendame selle väärtuse koosinuse valemis. See juhtub järgmiselt.
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Millega võrdub \(\sin \ \alpha \) kolmnurgast \(ACG \)? No muidugi, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Asendage selle valemiga raadiuse väärtus \(AC\) ja saate:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Niisiis, kas saate öelda, millised koordinaadid on ringile kuuluval punktil \(C\)? No mitte kuidagi? Mis siis, kui mõistate, et \(\cos \ \alpha \) ja \(\sin \alpha \) on vaid numbrid? Millisele koordinaadile vastab \(\cos \alpha \)? Muidugi, koordinaat \(x\)! Ja millisele koordinaadile vastab \(\sin \alpha \)? Täpselt nii, koordinaat \(y\)! Nii et point \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Millega on siis \(tg \alpha \) ja \(ctg \alpha \) võrdsed? See on õige, kasutame puutuja ja kotangensi vastavaid definitsioone ja saame selle \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Mis siis, kui nurk on suurem? Näiteks nagu sellel pildil:
Mis on muutunud selles näites? Selgitame välja. Selleks pöördume uuesti täisnurkse kolmnurga poole. Vaatleme täisnurkset kolmnurka \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : nurk (külgneb nurgaga \(\beta \) ). Mis on siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtus nurga jaoks \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? See on õige, me järgime sobivaid määratlusi trigonomeetrilised funktsioonid:
\(\begin(massiivi)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\nurk ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\nurk ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(massiivi) \)
No nagu näha, siis nurga siinuse väärtus vastab ikkagi koordinaadile \(y\) ; nurga koosinuse väärtus - koordinaat \(x\) ; ning puutuja ja kotangensi väärtused vastavatele suhetele. Seega kehtivad need seosed raadiusvektori mis tahes pööramise kohta.
Juba mainitud, et raadiusvektori algpositsioon on piki telje \(x\) positiivset suunda. Siiani oleme seda vektorit pööranud vastupäeva, aga mis juhtub, kui pöörame seda päripäeva? Ei midagi erakordset, saate ka teatud väärtusega nurga, kuid ainult see on negatiivne. Seega raadiusvektorit vastupäeva pöörates saame positiivsed nurgad ja päripäeva pöörates – negatiivne.
Seega teame, et kogu raadiusvektori pööre ümber ringi on \(360()^\circ \) või \(2\pi \) . Kas raadiuse vektorit on võimalik pöörata \(390()^\circ \) või \(-1140()^\circ \) võrra? No muidugi saab! Esimesel juhul \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), seega teeb raadiuse vektor ühe täispöörde ja peatub positsioonis \(30()^\circ \) või \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Teisel juhul \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), see tähendab, et raadiuse vektor teeb kolm täispööret ja peatub asendis \(-60()^\circ \) või \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Seega võime ülaltoodud näidete põhjal järeldada, et nurgad, mis erinevad \(360()^\circ \cdot m \) või \(2\pi \cdot m \) võrra (kus \(m \) on mis tahes täisarv ), vastavad raadiusvektori samale asukohale.
Allolev joonis näitab nurka \(\beta =-60()^\circ \) . Sama pilt vastab nurgale \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) jne. Seda loetelu võib lõputult jätkata. Kõik need nurgad saab kirjutada üldvalemiga \(\beta +360()^\circ \cdot m\) või \(\beta +2\pi \cdot m \) (kus \(m \) on mis tahes täisarv)
\(\begin(massiiv)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(massiivi) \)
Nüüd, teades põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi ja kasutades ühikuringi, proovige vastata, millised on väärtused:
\(\begin(massiivi)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\tekst (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(massiiv) \)
Siin on ühikuring, mis aitab teid:
Kas teil on raskusi? Siis mõtleme välja. Nii et me teame, et:
\(\begin(massiiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(massiiv)\)
Siit määrame teatud nurgamõõtudele vastavate punktide koordinaadid. Noh, alustame järjekorras: nurk sisse \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) vastab punktile koordinaatidega \(\left(0;1 \right) \) , seega:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 90()^\circ \)- ei eksisteeri;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Lisaks saame samast loogikast kinni pidades teada, et nurgad on sees \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) vastavad koordinaatidega punktidele \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \paremal) \), vastavalt. Seda teades on lihtne määrata trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi vastavates punktides. Proovige kõigepealt ise ja seejärel kontrollige vastuseid.
Vastused:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Paremnool \text(ctg)\ \pi \)- ei eksisteeri
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 270()^\circ \)- ei eksisteeri
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(ctg)\ 2\pi \)- ei eksisteeri
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 450()^\circ \)- ei eksisteeri
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Seega saame teha järgmise tabeli:
Kõiki neid väärtusi pole vaja meeles pidada. Piisab meeles pidada vastavust ühikuringi punktide koordinaatide ja trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste vahel:
\(\left. \begin(massiiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(massiiv) \right\)\ \text(Peate seda meeles pidama või suutma seda kuvada!! \) !}
Kuid nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused ja \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) allolevas tabelis toodud, peate meeles pidama:
Ärge kartke, nüüd näitame teile ühte näidet vastavate väärtuste üsna lihtsast meeldejätmisest:
Selle meetodi kasutamiseks on oluline meeles pidada kõigi kolme nurga mõõtmise siinusväärtusi ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), samuti nurga puutuja väärtus \(30()^\circ \) . Teades neid \(4\) väärtusi, on kogu tabeli taastamine üsna lihtne - koosinusväärtused kantakse üle noolte järgi, see tähendab:
\(\begin(massiivi)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(massiiv) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), saate seda teades väärtused taastada \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Lugeja "\(1 \)" vastab \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ja nimetaja "\(\sqrt(\text(3)) \)" vastab \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentide väärtused kantakse üle vastavalt joonisel näidatud nooltele. Kui mõistate seda ja mäletate nooltega diagrammi, piisab, kui mäletate tabelist ainult \(4\) väärtusi.
Ringjoone punkti koordinaadid
Kas ringil on võimalik leida punkti (selle koordinaate), teades ringi keskpunkti koordinaate, raadiust ja pöördenurka? No muidugi saab! Võtame selle välja üldine valem punkti koordinaatide leidmiseks. Näiteks siin on meie ees ring:
See punkt on meile antud \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- ringi keskpunkt. Ringi raadius on \(1,5\) . On vaja leida punkti \(P\) koordinaadid, mis saadakse punkti \(O\) pööramisel \(\delta \) kraadi võrra.
Nagu jooniselt näha, vastab punkti \(P\) koordinaat \(x\) lõigu pikkusele \(TP=UQ=UK+KQ\) . Lõigu \(UK\) pikkus vastab ringi keskpunkti koordinaadile \(x\), see tähendab, et see on võrdne \(3\) . Lõigu \(KQ\) pikkust saab väljendada koosinuse definitsiooniga:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Paremnool KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Siis on meil see punkti \(P\) koordinaat \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Sama loogikat kasutades leiame punkti \(P\) y-koordinaadi väärtuse. Seega
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Niisiis, sisse üldine vaade Punktide koordinaadid määratakse valemitega:
\(\begin(massiiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(massiiv) \), Kus
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - ringi keskpunkti koordinaadid,
\(r\) - ringi raadius,
\(\delta \) - vektori raadiuse pöördenurk.
Nagu näete, on vaadeldava ühikuringi puhul need valemid märkimisväärselt vähenenud, kuna keskpunkti koordinaadid on võrdsed nulliga ja raadius on võrdne ühega:
\(\begin(massiiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(massiivi) \)
Javascript on teie brauseris keelatud.Arvutuste tegemiseks peate lubama ActiveX-juhtelemendid!
Selles artiklis näitame, kuidas anda nurga ja arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid trigonomeetrias. Siin räägime märgetest, toome kirjete näiteid ja toome graafilisi illustratsioone. Kokkuvõtteks toome paralleeli siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide vahel trigonomeetrias ja geomeetrias.
Leheküljel navigeerimine.
Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon
Vaatame, kuidas moodustub siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi idee koolikursus matemaatika. Geomeetria tundides antakse täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon. Ja hiljem õpitakse trigonomeetriat, mis räägib pöördenurga ja arvu siinusest, koosinusest, puutujast ja kotangensist. Esitagem kõik need määratlused, tooge näiteid ja tehkem vajalikud kommentaarid.
Täisnurkse kolmnurga teravnurk
Geomeetria kursusest teame täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioone. Need on antud täisnurkse kolmnurga külgede suhtena. Anname nende sõnastused.
Definitsioon.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe.
Definitsioon.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
Definitsioon.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja– see on vastaskülje ja külgneva külje suhe.
Definitsioon.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga kotangens- see on külgneva külje ja vastaskülje suhe.
Seal tutvustatakse ka siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tähistusi - vastavalt sin, cos, tg ja ctg.
Näiteks kui ABC on täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C, siis on teravnurga A siinus võrdne vastaskülje BC ja hüpotenuusi AB suhtega, st sin∠A=BC/AB.
Need määratlused võimaldavad teil arvutada teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused täisnurkse kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste, aga ka siinuse, koosinuse, puutuja, kotangent ja ühe külje pikkus, et leida teiste külgede pikkusi. Näiteks kui me teaksime, et täisnurkses kolmnurgas on jalg AC võrdne 3-ga ja hüpotenuus AB on võrdne 7-ga, siis saaksime välja arvutada teravnurga A koosinuse väärtuse definitsiooni järgi: cos∠A=AC/ AB = 3/7.
Pöörlemisnurk
Trigonomeetrias hakkavad nad nurka laiemalt vaatama – tutvustavad pöördenurga mõistet. Pöördenurga suurus, erinevalt teravnurgast, ei ole piiratud 0 kuni 90 kraadiga, pöördenurka kraadides (ja radiaanides) saab väljendada mis tahes reaalarvuga vahemikus −∞ kuni +∞.
Selles valguses on siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid antud mitte teravnurga, vaid suvalise suurusega nurga - pöördenurga - kohta. Need on antud punkti A 1 x ja y koordinaatide kaudu, kuhu läheb nn alguspunkt A(1, 0) pärast selle pööramist nurga α võrra ümber punkti O – ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi algus. ja ühikuringi keskpunkt.
Definitsioon.
Pöörlemisnurga siinusα on punkti A 1 ordinaat, st sinα=y.
Definitsioon.
Pöörlemisnurga koosinusα nimetatakse punkti A 1 abstsissiks, st cosα=x.
Definitsioon.
Pöörlemisnurga puutujaα on punkti A 1 ordinaadi ja selle abstsissi suhe, st tanα=y/x.
Definitsioon.
Pöörlemisnurga kotangentsα on punkti A 1 abstsissi ja selle ordinaadi suhe, see tähendab ctgα=x/y.
Siinus ja koosinus on defineeritud mis tahes nurga α jaoks, kuna me saame alati määrata punkti abstsissi ja ordinaadi, mis saadakse lähtepunkti pööramisel nurga α võrra. Kuid puutuja ja kotangent pole ühegi nurga jaoks määratletud. Puutujat ei määratleta nurkade α puhul, mille juures lähtepunkt läheb null-abstsissiga (0, 1) või (0, −1) punkti, ja see toimub nurkade 90°+180° k, k∈Z (π) korral /2+π·k rad). Tõepoolest, selliste pöördenurkade korral pole avaldisel tgα=y/x mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Mis puutub kotangenti, siis see ei ole defineeritud nurkade α puhul, mille juures lähtepunkt läheb nullordinaadiga punkti (1, 0) või (−1, 0), ja see juhtub nurkade 180° k, k ∈Z korral. (π·k rad).
Seega on siinus ja koosinus defineeritud mis tahes pöördenurkade jaoks, puutuja on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) ja kotangens on defineeritud kõikide nurkade jaoks, välja arvatud 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Definitsioonid hõlmavad meile juba teadaolevaid tähiseid sin, cos, tg ja ctg, neid kasutatakse ka pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tähistamiseks (mõnikord võib leida tangensile ja kotangensile vastavad tähised tan ja cot) . Seega võib 30-kraadise pöördenurga siinuse kirjutada sin30°, kirjed tg(−24°17′) ja ctgα vastavad pöördenurga puutujale −24 kraadi 17 minutit ja pöördenurga α kotangensile. . Tuletage meelde, et nurga radiaani mõõtmise kirjutamisel jäetakse tähis "rad" sageli välja. Näiteks kolme pi rad suuruse pöördenurga koosinust tähistatakse tavaliselt cos3·π.
Selle punkti kokkuvõtteks väärib märkimist, et pöördenurga siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensist rääkides jäetakse sageli välja fraas “pöördenurk” või sõna “pööramine”. See tähendab, et fraasi "pöörlemisnurga siinus alfa" asemel kasutatakse tavaliselt fraasi "alfa nurga siinus" või veelgi lühemalt "siinus alfa". Sama kehtib koosinuse, puutuja ja kotangensi kohta.
Samuti ütleme, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas 0 kuni 90 kraadise pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega. Me põhjendame seda.
Numbrid
Definitsioon.
Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t on arv, mis võrdub vastavalt pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga t radiaanides.
Näiteks arvu 8·π koosinus on definitsiooni järgi arv, mis võrdub nurga 8·π rad koosinusega. Ja nurga 8·π rad koosinus on võrdne ühega, seetõttu on arvu 8·π koosinus võrdne 1-ga.
Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määramiseks on veel üks lähenemisviis. See seisneb selles, et iga reaalarv t on seotud ühikringi punktiga, mille keskpunkt on ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi alguspunktis, ning siinus, koosinus, puutuja ja kotangens määratakse selle punkti koordinaatide kaudu. Vaatame seda üksikasjalikumalt.
Näitame, kuidas luuakse vastavus reaalarvude ja ringi punktide vahel:
- arvule 0 omistatakse alguspunkt A(1, 0);
- positiivne arv t seostatakse ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume mööda ringjoont alguspunktist vastupäeva ja kõnnime tee pikkusega t;
- negatiivne arv t seostatakse ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume mööda ringjoont alguspunktist päripäeva ja kõnnime tee pikkusega |t| .
Nüüd liigume edasi arvu t siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide juurde. Oletame, et arv t vastab punktile ringil A 1 (x, y) (näiteks arv &pi/2; vastab punktile A 1 (0, 1) ).
Definitsioon.
Arvu siinus t on arvule t vastava ühikringjoone punkti ordinaat, st sint=y.
Definitsioon.
Arvu koosinus t nimetatakse arvule t vastava ühikringi punkti abstsissiks, st kulu=x.
Definitsioon.
Arvu puutuja t on arvule t vastava ühikringjoone punkti ordinaadi ja abstsissi suhe, st tgt=y/x. Teises samaväärses sõnastuses on arvu t puutuja selle arvu siinuse ja koosinuse suhe, st tgt=sint/kulu.
Definitsioon.
Arvu kotangents t on arvule t vastava ühikringjoone punkti abstsissi ja ordinaadi suhe, st ctgt=x/y. Teine sõnastus on järgmine: arvu t puutuja on arvu t koosinuse ja arvu t siinuse suhe: ctgt=kulu/sint.
Siinkohal märgime, et just antud määratlused on kooskõlas selle lõigu alguses antud määratlusega. Tõepoolest, arvule t vastav ühikringi punkt langeb kokku punktiga, mis saadakse lähtepunkti pööramisel t radiaani nurga võrra.
Seda punkti tasub veel täpsustada. Oletame, et meil on kirje sin3. Kuidas aru saada, kas me räägime arvu 3 siinusest või 3 radiaani pöördenurga siinusest? Tavaliselt on see kontekstist selge, vastasel juhul pole see tõenäoliselt põhimõttelise tähtsusega.
Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid
Eelmises lõigus toodud definitsioonide kohaselt vastab iga pöördenurk α täielikult konkreetne väärtus sinα on sama, mis cosα väärtus. Lisaks vastavad kõik pöördenurgad peale 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) tgα väärtustele ja väärtused, mis ei ole 180°k, k∈Z (πk rad ) – väärtused of ctgα . Seetõttu on sinα, cosα, tanα ja ctgα nurga α funktsioonid. Teisisõnu, need on nurgaargumendi funktsioonid.
Sarnaselt võime rääkida arvulise argumendi funktsioonidest siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Tõepoolest, iga reaalarv t vastab väga konkreetsele väärtusele sint ja ka kulule. Lisaks vastavad kõik arvud peale π/2+π·k, k∈Z väärtustele tgt ja numbrid π·k, k∈Z - väärtused ctgt.
Nimetatakse funktsioone siinus, koosinus, puutuja ja kotangens trigonomeetrilised põhifunktsioonid.
Tavaliselt selgub kontekstist, kas tegemist on nurkargumendi või numbrilise argumendi trigonomeetriliste funktsioonidega. Vastasel juhul võime pidada sõltumatut muutujat nii nurga mõõtmiseks (nurkargumendiks) kui ka arvuliseks argumendiks.
Koolis õpime aga põhiliselt arvfunktsioone ehk funktsioone, mille argumendid ja ka neile vastavad funktsiooniväärtused on arvud. Seega, kui me räägime konkreetselt funktsioonide osas on soovitatav käsitleda trigonomeetrilisi funktsioone kui numbriliste argumentide funktsioone.
Geomeetria ja trigonomeetria definitsioonide seos
Kui arvestada pöördenurga α vahemikus 0 kuni 90 kraadi, siis on pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määratlused trigonomeetria kontekstis täielikult kooskõlas siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega. teravnurk täisnurkses kolmnurgas, mis on antud geomeetria kursusel. Põhjendame seda.
Kujutagem ühikringi ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis Oxy. Märgime alguspunktiks A(1, 0) . Pöörame seda nurga α võrra vahemikus 0 kuni 90 kraadi, saame punkti A 1 (x, y). Kukkugem risti A 1 H punktist A 1 Ox-teljele.
Lihtne on näha, et täisnurkses kolmnurga nurgas A 1 OH võrdne nurgaga pöörde α korral on selle nurgaga külgneva jala OH pikkus võrdne punkti A 1 abstsissiga, st |OH|=x, nurga vastas oleva jala A 1 H pikkus võrdub nurga ordinaadiga. punkt A 1, st |A 1 H|=y ja hüpotenuusi OA 1 pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikringi raadius. Siis on geomeetria definitsiooni järgi täisnurkse kolmnurga A 1 OH teravnurga α siinus võrdne vastasharu ja hüpotenuusi suhtega, st sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ja trigonomeetria definitsiooni järgi on pöördenurga α siinus võrdne punkti A 1 ordinaadiga, see tähendab sinα=y. See näitab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse määramine on samaväärne pöördenurga α siinuse määramisega, kui α on 0 kuni 90 kraadi.
Samamoodi saab näidata, et teravnurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas pöördenurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega.
Bibliograafia.
- Geomeetria. 7-9 klassid: õpik üldhariduse jaoks institutsioonid / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev jne]. - 20. väljaanne M.: Haridus, 2010. - 384 lk.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geomeetria: õpik. 7-9 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. V. Pogorelov. - 2. trükk - M.: Haridus, 2001. - 224 lk.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra ja elementaarfunktsioonid: Õpetus keskkooli 9. klassi õpilastele / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Toimetanud füüsika- ja matemaatikateaduste doktor O. N. Golovin – 4. väljaanne. M.: Haridus, 1969.
- Algebra:Õpik 9. klassi jaoks. keskm. kool/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Haridus, 1990. - 272 lk.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
- Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. väljaanne - M.: Haridus, 2004. - 384 lk: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovitš A.G. Algebra ja analüüsi algus. 10. klass. Kell 14. 1. osa: õpetus õppeasutused (profiili tase)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. väljaanne, lisa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra ja alustas matemaatiline analüüs. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toimetanud A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - I.: Haridus, 2010.- 368 lk.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M. I. Algebra ja analüüsi algus: Õpik. 10-11 klassile. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Haridus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.
Keskmine tase
Täisnurkne kolmnurk. Täielik illustreeritud juhend (2019)
PAREM KOLMNURK. ESIMESE TASE.
Ülesannete korral pole õige nurk üldse vajalik - alumine vasak, nii et peate õppima sellel kujul täisnurkset kolmnurka ära tundma,
ja selles
ja selles
Mis on täisnurkses kolmnurgas head? Noh... esiteks on seal erilised ilusad nimed tema külgede jaoks.
Tähelepanu joonisele!
Pidage meeles ja ärge ajage segadusse: on kaks jalga ja on ainult üks hüpotenuus(üks ja ainus, ainulaadne ja pikim)!
Noh, arutasime nimesid, nüüd kõige olulisemat: Pythagorase teoreemi.
Pythagorase teoreem.
See teoreem on võti paljude täisnurkse kolmnurgaga seotud probleemide lahendamiseks. Seda tõestas Pythagoras täiesti iidsetel aegadel ja sellest ajast peale on see teadjatele palju kasu toonud. Ja parim asi selle juures on see, et see on lihtne.
Niisiis, Pythagorase teoreem:
Kas mäletate nalja: "Pythagorase püksid on igast küljest võrdsed!"?
Joonistame need samad Pythagorase püksid ja vaatame neid.
Kas see ei näe välja nagu mingid lühikesed püksid? Noh, mis pooltel ja kus nad on võrdsed? Miks ja kust nali tuli? Ja see nali on seotud just Pythagorase teoreemiga või täpsemalt sellega, kuidas Pythagoras ise oma teoreemi sõnastas. Ja ta sõnastas selle nii:
"Summa ruutude alad, ehitatud jalgadele, on võrdne ruudu pindala, mis on ehitatud hüpotenuusile."
Kas see kõlab tõesti natuke teistmoodi? Ja nii, kui Pythagoras oma teoreemi väite joonistas, tuli välja täpselt selline pilt.
Sellel pildil on väikeste ruutude pindalade summa võrdne suure ruudu pindalaga. Ja et lapsed mäletaksid paremini, et jalgade ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga, mõtles keegi vaimukas selle nalja Pythagorase pükste kohta.
Miks me nüüd Pythagorase teoreemi sõnastame?
Kas Pythagoras kannatas ja rääkis väljakutest?
Näete, iidsetel aegadel polnud... algebrat! Mingeid märke polnud ja nii edasi. Silte polnud. Kas te kujutate ette, kui kohutav oli vaestel iidsetel õpilastel kõike sõnadega meeles pidada??! Ja me võime rõõmustada, et meil on Pythagorase teoreemi lihtne sõnastus. Kordame seda uuesti, et paremini meelde jätta:
See peaks nüüd lihtne olema:
Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga. |
Noh, kõige olulisem teoreem täisnurksete kolmnurkade kohta on arutatud. Kui teid huvitab, kuidas see on tõestatud, lugege järgmisi teooriatasemeid ja nüüd läheme edasi... trigonomeetria pimedasse metsa! Kohutavatele sõnadele siinus, koosinus, puutuja ja kotangent.
Siinus, koosinus, puutuja, kootangens täisnurkses kolmnurgas.
Tegelikult pole kõik üldse nii hirmus. Muidugi tuleks artiklis vaadata siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi “päris” määratlust. Aga ma tõesti ei taha, eks? Võime rõõmustada: täisnurkse kolmnurga probleemide lahendamiseks võite lihtsalt täita järgmised lihtsad asjad:
Miks on kõik nurga taga? Kus on nurk? Selle mõistmiseks peate teadma, kuidas väiteid 1–4 sõnadega kirjutatakse. Vaata, mõista ja jäta meelde!
1.
Tegelikult kõlab see nii:
Aga nurk? Kas on jalg, mis on nurga vastas, st vastupidine (nurga jaoks) jalg? Muidugi on! See on jalg!
Aga nurk? Vaata hoolega. Milline jalg külgneb nurgaga? Muidugi, jalg. See tähendab, et nurga korral on jalg külgnev ja
Nüüd pane tähele! Vaata, mis meil on:
Vaata, kui lahe see on:
Liigume nüüd puutuja ja kotangensi juurde.
Kuidas ma saan seda nüüd sõnadega kirja panna? Mis on jalg nurga suhtes? Muidugi vastas - see "lemab" nurga vastas. Aga jalg? Kõrval nurgaga. Mis meil siis on?
Vaadake, kuidas lugeja ja nimetaja on kohad vahetanud?
Ja nüüd jälle nurgad ja vahetus tehtud:
Kokkuvõte
Paneme lühidalt kirja kõik, mida oleme õppinud.
Pythagorase teoreem: |
Põhiteoreem täisnurksete kolmnurkade kohta on Pythagorase teoreem.
Pythagorase teoreem
Muide, kas mäletate hästi, mis on jalad ja hüpotenuus? Kui mitte väga hea, siis vaata pilti – värskenda oma teadmisi
On täiesti võimalik, et olete Pythagorase teoreemi juba korduvalt kasutanud, kuid kas olete kunagi mõelnud, miks selline teoreem on tõene? Kuidas ma saan seda tõestada? Teeme nii nagu vanad kreeklased. Joonistame küljega ruudu.
Vaata, kui kavalalt me selle küljed pikkusteks jagasime ja!
Nüüd ühendame märgitud punktid
Siin märkisime aga midagi muud, kuid te ise vaatate joonist ja mõtlete, miks see nii on.
Kui suur on suurema ruudu pindala? Õige,. Aga väiksema alaga? Kindlasti,. Nelja nurga kogupindala jääb alles. Kujutage ette, et me võtsime nad kaks korraga ja toetasime nad hüpotenuusega üksteise vastu. Mis juhtus? Kaks ristkülikut. See tähendab, et "lõigete" pindala on võrdne.
Paneme nüüd kõik kokku.
Muutame:
Niisiis külastasime Pythagorast – tõestasime tema teoreemi iidsel moel.
Täisnurkne kolmnurk ja trigonomeetria
Täisnurkse kolmnurga puhul kehtivad järgmised seosed:
Teravnurga siinus võrdub vastaskülje suhtega hüpotenuusiga
Terava nurga koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega.
Teravnurga puutuja on võrdne vastaskülje ja külgneva külje suhtega.
Teravnurga kotangens on võrdne külgneva külje ja vastaskülje suhtega.
Ja seda kõike veel kord tableti kujul:
See on väga mugav!
Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid
I. Kahelt poolt
II. Jala ja hüpotenuusiga
III. Hüpotenuusi ja teravnurga järgi
IV. Mööda jalga ja teravnurka
a)
b)
Tähelepanu! Siin on väga oluline, et jalad oleksid “sobivad”. Näiteks kui see läheb nii:
SIIS EI OLE KOLMNURGAD VÕRDSED, hoolimata asjaolust, et neil on üks identne teravnurk.
Vaja mõlemas kolmnurgas oli jalg külgnev või mõlemas vastas.
Kas olete märganud, kuidas täisnurksete kolmnurkade võrdusmärgid erinevad tavalistest kolmnurkade võrdusmärkidest? Vaadake teemat "ja pöörake tähelepanu sellele, et "tavaliste" kolmnurkade võrdsuseks peavad kolm nende elementi olema võrdsed: kaks külge ja nendevaheline nurk, kaks nurka ja nendevaheline külg või kolm külge. Kuid täisnurksete kolmnurkade võrdsuse jaoks piisab ainult kahest vastavast elemendist. Suurepärane, eks?
Ligikaudu sama on olukord täisnurksete kolmnurkade sarnasusmärkidega.
Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märgid
I. Mööda teravnurka
II. Kahelt poolt
III. Jala ja hüpotenuusiga
Mediaan täisnurkses kolmnurgas
Miks see nii on?
Täisnurkse kolmnurga asemel kaaluge tervet ristkülikut.
Joonistame diagonaali ja vaatleme punkti – diagonaalide lõikepunkti. Mida teate ristküliku diagonaalide kohta?
Ja mis sellest järeldub?
Nii selgus, et
- - mediaan:
Pidage meeles seda fakti! Aitab palju!
Veelgi üllatavam on see, et tõsi on ka vastupidine.
Mida head saab sellest, et hüpotenuusile tõmmatud mediaan võrdub poolega hüpotenuusist? Vaatame pilti
Vaata hoolega. Meil on: , see tähendab, et kaugused punktist kolmnurga kõigi kolme tipuni osutusid võrdseks. Kuid kolmnurgas on ainult üks punkt, mille kaugused kolmnurga kõigist kolmest tipust on võrdsed ja see on RINGRI KESK. Mis juhtus?
Nii et alustame sellest “pealegi...”.
Vaatame ja.
Kuid sarnastel kolmnurkadel on kõik võrdsed nurgad!
Sama võib öelda ja kohta
Nüüd joonistame selle koos:
Mis kasu on sellest "kolmekordsest" sarnasusest?
No näiteks - kaks valemit täisnurkse kolmnurga kõrguse kohta.
Paneme kirja vastavate osapoolte suhted:
Kõrguse leidmiseks lahendame proportsiooni ja saame esimene valem "Kõrgus täisnurkses kolmnurgas":
Niisiis, rakendame sarnasust: .
Mis nüüd saab?
Jällegi lahendame proportsiooni ja saame teise valemi:
Peate mõlemad valemid väga hästi meeles pidama ja kasutama mugavamat. Paneme need uuesti kirja
Pythagorase teoreem:
Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga: .
Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid:
- kahelt poolt:
- jala ja hüpotenuusiga: või
- piki jalga ja sellega külgnevat teravnurka: või
- piki jalga ja vastassuunas teravnurka: või
- hüpotenuusi ja teravnurga järgi: või.
Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märgid:
- üks terav nurk: või
- kahe jala proportsionaalsusest:
- jala ja hüpotenuusi proportsionaalsusest: või.
Siinus, koosinus, puutuja, kootangens täisnurkses kolmnurgas
- Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe:
- Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe:
- Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on vastaskülje ja külgneva külje suhe:
- Täisnurkse kolmnurga teravnurga kootangens on külgneva külje ja vastaskülje suhe: .
Täisnurkse kolmnurga kõrgus: või.
Täisnurkses kolmnurgas on täisnurga tipust tõmmatud mediaan võrdne poolega hüpotenuusist: .
Täisnurkse kolmnurga pindala:
- jalgade kaudu:
Mõisted siinus (), koosinus (), puutuja (), kotangens () on lahutamatult seotud nurga mõistega. Nendest esmapilgul keerulistest mõistetest (mis tekitavad paljudes koolilastes õudustunnet) hästi aru saamiseks ja veendumaks, et "kurat pole nii kohutav, nagu teda maalitakse", alustame alguses ja mõista nurga mõistet.
Nurga mõiste: radiaan, kraad
Vaatame pilti. Vektor on punkti suhtes teatud määral "pöördunud". Seega on selle pöörde mõõt algpositsiooni suhtes nurk.
Mida veel peate nurga mõiste kohta teadma? No muidugi, nurgaühikud!
Nurka, nii geomeetrias kui ka trigonomeetrias, saab mõõta kraadides ja radiaanides.
Nurk (üks kraad) on ringjoone kesknurk, mis on ümbritsetud ringkaarega, mis on võrdne ringi osaga. Seega koosneb kogu ring ringkaare "tükkidest" või on ringiga kirjeldatud nurk võrdne.
See tähendab, et ülaltoodud joonis näitab nurka, mis on võrdne, see tähendab, et see nurk toetub ümbermõõdu suurusele ringkaarele.
Nurk radiaanides on kesknurk ringis, mis on ümbritsetud ringkaarega, mille pikkus on võrdne ringi raadiusega. Noh, kas sa said aru? Kui ei, siis mõtleme selle jooniselt välja.
Seega on joonisel nurk, mis on võrdne radiaaniga, see tähendab, et see nurk toetub ringkaarele, mille pikkus on võrdne ringi raadiusega (pikkus võrdub pikkusega või raadius võrdub kaare pikkus). Seega arvutatakse kaare pikkus järgmise valemiga:
Kus on kesknurk radiaanides.
Noh, kas saate seda teades vastata, mitu radiaani ringjoonega kirjeldatud nurgas sisaldub? Jah, selleks peate meeles pidama ümbermõõdu valemit. Siin ta on:
Noh, nüüd korreleerime need kaks valemit ja leiame, et ringiga kirjeldatud nurk on võrdne. See tähendab, et korreleerides väärtust kraadides ja radiaanides, saame selle. Vastavalt,. Nagu näete, on erinevalt "kraadidest" sõna "radiaan" välja jäetud, kuna mõõtühik on tavaliselt kontekstist selge.
Mitu radiaani seal on? See on õige!
Sain aru? Seejärel jätkake ja parandage see:
Kas teil on raskusi? Siis vaata vastuseid:
Täisnurkne kolmnurk: siinus, koosinus, puutuja, nurga kotangens
Niisiis, me mõtlesime välja nurga mõiste. Mis on aga nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens? Selgitame välja. Selleks aitab meid täisnurkne kolmnurk.
Kuidas nimetatakse täisnurkse kolmnurga külgi? See on õige, hüpotenuus ja jalad: hüpotenuus on külg, mis asub täisnurga vastas (meie näites on see külg); jalad on kaks ülejäänud külge ja (need, mis külgnevad täisnurgaga) ja kui arvestada jalgu nurga suhtes, siis on jalg külgnev jalg ja jalg on vastupidine. Niisiis, vastame nüüd küsimusele: mis on nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens?
Nurga siinus- see on vastupidise (kaugema) jala ja hüpotenuusi suhe.
Meie kolmnurgas.
Nurga koosinus- see on külgneva (lähedase) jala ja hüpotenuusi suhe.
Meie kolmnurgas.
Nurga puutuja- see on vastaskülje (kauge) ja külgneva (lähedase) suhe.
Meie kolmnurgas.
Nurga kotangents- see on külgneva (lähedase) jala ja vastupidise (kauge) suhe.
Meie kolmnurgas.
Need määratlused on vajalikud mäleta! Et oleks lihtsam meeles pidada, milline jalg milleks jagada, peate sellest selgelt aru saama puutuja Ja kotangent istuvad ainult jalad ja hüpotenuus ilmub ainult sisse sinus Ja koosinus. Ja siis saab välja mõelda assotsiatsioonide ahela. Näiteks see:
Koosinus→puudutus→puudutus→külgnev;
Kotangent → puudutus → puudutus → külgnev.
Kõigepealt tuleb meeles pidada, et siinus, koosinus, puutuja ja kotangens kui kolmnurga külgede suhted ei sõltu nende külgede pikkustest (sama nurga all). Ei usu? Seejärel veenduge pilti vaadates:
Vaatleme näiteks nurga koosinust. Definitsiooni järgi kolmnurgast: , aga nurga koosinuse saame arvutada kolmnurgast: . Näete, külgede pikkused on erinevad, kuid ühe nurga koosinuse väärtus on sama. Seega sõltuvad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused ainult nurga suurusest.
Kui saate definitsioonidest aru, siis jätkake ja kinnitage need!
Alloleval joonisel kujutatud kolmnurga jaoks leiame.
No kas sa said aru? Seejärel proovige seda ise: arvutage sama nurga jaoks.
Ühik (trigonomeetriline) ring
Mõistes kraadide ja radiaanide mõisteid, käsitlesime ringi, mille raadius on võrdne. Sellist ringi nimetatakse vallaline. See on trigonomeetria õppimisel väga kasulik. Seetõttu vaatame seda veidi üksikasjalikumalt.
Nagu näete, on see ring konstrueeritud Descartes'i koordinaatsüsteemis. Ringjoone raadius on võrdne ühega, samal ajal kui ringi keskpunkt asub koordinaatide alguspunktis, on raadiuse vektori algpositsioon fikseeritud piki telje positiivset suunda (meie näites on see raadius).
Iga punkt ringil vastab kahele numbrile: telje koordinaadile ja telje koordinaadile. Mis need koordinaatide numbrid on? Ja üleüldse, mis on neil selle teemaga pistmist? Selleks peame meeles pidama vaadeldavat täisnurkset kolmnurka. Ülaltoodud joonisel näete kahte tervet täisnurkset kolmnurka. Kaaluge kolmnurka. See on ristkülikukujuline, kuna see on teljega risti.
Millega võrdub kolmnurk? See on õige. Lisaks teame, et see on ühiku ringi raadius, mis tähendab . Asendame selle väärtuse koosinuse valemis. See juhtub järgmiselt.
Millega võrdub kolmnurk? No muidugi,! Asendage raadiuse väärtus sellesse valemisse ja saate:
Niisiis, kas saate öelda, millised koordinaadid on ringile kuuluval punktil? No mitte kuidagi? Mis siis, kui sa sellest aru saad ja oled vaid numbrid? Millisele koordinaadile see vastab? No muidugi koordinaadid! Ja mis koordinaadile see vastab? Täpselt nii, koordinaadid! Seega punkt.
Mis siis on ja millega võrdsed? Täpselt nii, kasutame vastavaid puutuja ja kotangensi definitsioone ja saame, et a.
Mis siis, kui nurk on suurem? Näiteks nagu sellel pildil:
Mis on selles näites muutunud? Selgitame välja. Selleks pöördume uuesti täisnurkse kolmnurga poole. Vaatleme täisnurkset kolmnurka: nurk (nurgaga külgnevana). Millised on nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused? See on õige, me järgime vastavaid trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi:
No nagu näha, siis nurga siinuse väärtus vastab ikkagi koordinaadile; nurga koosinuse väärtus - koordinaat; ning puutuja ja kotangensi väärtused vastavatele suhetele. Seega kehtivad need seosed raadiusvektori mis tahes pööramise kohta.
Juba mainitud, et raadiusvektori algpositsioon on piki telje positiivset suunda. Siiani oleme seda vektorit pööranud vastupäeva, aga mis juhtub, kui pöörame seda päripäeva? Ei midagi erakordset, saate ka teatud väärtusega nurga, kuid ainult see on negatiivne. Seega raadiusvektorit vastupäeva pöörates saame positiivsed nurgad ja päripäeva pöörates - negatiivne.
Niisiis, me teame, et raadiusvektori terve pööre ümber ringi on või. Kas raadiusvektorit on võimalik pöörata või poole? No muidugi saab! Seetõttu teeb esimesel juhul raadiuse vektor ühe täispöörde ja peatub asendis või.
Teisel juhul, see tähendab, et raadiuse vektor teeb kolm täispööret ja peatub asendis või.
Seega võime ülaltoodud näidete põhjal järeldada, et nurgad, mis erinevad või (kus on mis tahes täisarv), vastavad raadiusvektori samale asukohale.
Allolev joonis näitab nurka. Sama pilt vastab nurgale jne. Seda loetelu võib lõputult jätkata. Kõik need nurgad saab kirjutada üldvalemiga või (kus on mis tahes täisarv)
Nüüd, teades põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi ja kasutades ühikuringi, proovige vastata, millised on väärtused:
Siin on ühikuring, mis aitab teid:
Kas teil on raskusi? Siis mõtleme välja. Nii et me teame, et:
Siit määrame teatud nurgamõõtudele vastavate punktide koordinaadid. Noh, alustame järjekorras: nurk vastab koordinaatidega punktile, seega:
Ei eksisteeri;
Edasi, järgides sama loogikat, saame teada, et nurgad vastavad vastavalt koordinaatidega punktidele. Seda teades on lihtne määrata trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi vastavates punktides. Proovige kõigepealt ise ja seejärel kontrollige vastuseid.
Vastused:
Ei eksisteeri
Ei eksisteeri
Ei eksisteeri
Ei eksisteeri
Seega saame teha järgmise tabeli:
Kõiki neid väärtusi pole vaja meeles pidada. Piisab meeles pidada vastavust ühikuringi punktide koordinaatide ja trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste vahel:
Kuid allolevas tabelis toodud nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused ja tuleb meeles pidada:
Ärge kartke, nüüd näitame teile ühte näidet vastavaid väärtusi on üsna lihtne meeles pidada:
Selle meetodi kasutamiseks on oluline meeles pidada siinuse väärtusi kõigi kolme nurga mõõtmise jaoks (), samuti nurga puutuja väärtust. Neid väärtusi teades on kogu tabeli taastamine üsna lihtne - koosinusväärtused kantakse üle noolte järgi, see tähendab:
Seda teades saate väärtused taastada. Lugeja " " ühtib ja nimetaja " " ühtib. Kotangentide väärtused kantakse üle vastavalt joonisel näidatud nooltele. Kui saate sellest aru ja mäletate nooltega diagrammi, piisab, kui mäletate kõiki tabelis olevaid väärtusi.
Ringjoone punkti koordinaadid
Kas ringilt on võimalik leida punkti (selle koordinaate), teades ringi keskpunkti koordinaate, selle raadiust ja pöördenurka?
No muidugi saab! Võtame selle välja üldvalem punkti koordinaatide leidmiseks.
Näiteks siin on meie ees ring:
Meile antakse, et punkt on ringi keskpunkt. Ringi raadius on võrdne. On vaja leida punkti koordinaadid, mis on saadud punkti kraadide kaupa pööramisel.
Nagu jooniselt näha, vastab punkti koordinaat lõigu pikkusele. Lõigu pikkus vastab ringi keskpunkti koordinaadile, see tähendab, et see on võrdne. Lõigu pikkust saab väljendada koosinuse definitsiooni abil:
Siis on see punkti koordinaat.
Sama loogikat kasutades leiame punkti y-koordinaadi väärtuse. Seega
Nii et üldiselt määratakse punktide koordinaadid valemitega:
Ringi keskpunkti koordinaadid,
Ringi raadius,
Vektori raadiuse pöördenurk.
Nagu näete, on vaadeldava ühikuringi puhul need valemid märkimisväärselt vähenenud, kuna keskpunkti koordinaadid on võrdsed nulliga ja raadius on võrdne ühega:
Noh, proovime neid valemeid, harjutades ringilt punktide leidmist?
1. Leidke ühikringkonna punkti koordinaadid, mis on saadud punkti pööramisel.
2. Leia ühikringkonna punkti koordinaadid, mis on saadud punkti pööramisel.
3. Leidke ühikringkonna punkti koordinaadid, mis on saadud punkti pööramisel.
4. Punkt on ringi keskpunkt. Ringi raadius on võrdne. On vaja leida punkti koordinaadid, mis on saadud esialgse raadiuse vektori võrra pööramisel.
5. Punkt on ringi keskpunkt. Ringi raadius on võrdne. On vaja leida punkti koordinaadid, mis on saadud esialgse raadiuse vektori võrra pööramisel.
Kas teil on raskusi ringi punkti koordinaatide leidmisega?
Lahenda need viis näidet (või õpi neid hästi lahendama) ja õpid neid leidma!
1.
Saate seda märgata. Kuid me teame, mis vastab lähtepunkti täielikule pöördele. Seega on soovitud punkt samas asendis kui poole pööramisel. Seda teades leiame punkti vajalikud koordinaadid:
2. Ühikuring on tsentreeritud punktis, mis tähendab, et saame kasutada lihtsustatud valemeid:
Saate seda märgata. Me teame, mis vastab lähtepunkti kahele täispöördele. Seega on soovitud punkt samas asendis kui poole pööramisel. Seda teades leiame punkti vajalikud koordinaadid:
Siinus ja koosinus on tabeli väärtused. Meenutame nende tähendusi ja saame:
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
3. Ühikuring on tsentreeritud punktis, mis tähendab, et saame kasutada lihtsustatud valemeid:
Saate seda märgata. Kujutame kõnealust näidet joonisel:
Raadius moodustab teljega võrdsed nurgad. Teades, et koosinuse ja siinuse tabeliväärtused on võrdsed, ning olles teinud kindlaks, et siinusel on negatiivne väärtus ja siinusel positiivne väärtus, saame:
Selliseid näiteid käsitletakse üksikasjalikumalt teemas trigonomeetriliste funktsioonide vähendamise valemeid uurides.
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
4.
Vektori raadiuse pöördenurk (tingimuse järgi)
Siinuse ja koosinuse vastavate märkide määramiseks konstrueerime ühikulise ringi ja nurga:
Nagu näete, on väärtus, see tähendab, positiivne ja väärtus, see tähendab, on negatiivne. Teades vastavate trigonomeetriliste funktsioonide tabeliväärtusi, saame, et:
Asendame saadud väärtused oma valemiga ja leiame koordinaadid:
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
5. Selle ülesande lahendamiseks kasutame valemeid üldkujul, kus
Ringi keskpunkti koordinaadid (meie näites
Ringi raadius (tingimuse järgi)
Vektori raadiuse pöördenurk (tingimuse järgi).
Asendame kõik väärtused valemis ja saame:
ja - tabeliväärtused. Pidagem meeles ja asendame need valemiga:
Seega on soovitud punktil koordinaadid.
KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEMID
Nurga siinus on vastupidise (kaugema) jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga koosinus on külgneva (lähedase) jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga puutuja on vastaskülje (kaug-) ja külgneva (lähedase) külje suhe.
Nurga kootangens on külgneva (lähedase) külje ja vastaskülje (kaugema) suhe.