Rööptasandid, tasandite paralleelsuse märk ja tingimused. Paralleelsete tasandite omadused
Selles õppetükis vaatleme paralleelsete tasandite kolme omadust: kahe paralleelse tasandi lõikekoht kolmanda tasandiga; paralleelsete tasandite vahele jäävate paralleelsete segmentide kohta; ja nurga külgede lõikamise kohta paralleelsete tasanditega. Järgmisena lahendame neid omadusi kasutades mitmeid probleeme.
Teema: Sirgete ja tasandite paralleelsus
Õppetund: Paralleeltasandite omadused
Kui kahte paralleelset tasandit lõikab kolmas, siis on nende lõikejooned paralleelsed.
Tõestus
Olgu paralleelsed tasapinnad ja antud ning tasapind, mis lõikab tasapindu ja piki sirgeid A Ja b vastavalt (joon. 1.).
Otsene A Ja b asuvad samal tasapinnal, nimelt γ-tasandil. Tõestame, et sirgjooned A Ja bära ristu.
Kui sirge A Ja b lõikuvad, see tähendab, et neil oleks ühine punkt, siis see ühine punkt kuuluks kahele tasapinnale ja , ja , mis on võimatu, kuna need on tingimuselt paralleelsed.
Niisiis, otse A Ja b on paralleelsed, mida oli vaja tõestada.
Paralleelsete tasandite vahel olevad paralleelsete sirgete lõigud on võrdsed.
Tõestus
Olgu antud paralleelsed tasapinnad ja paralleelsed sirged AB Ja KOOSD mis lõikuvad neid tasapindu (joonis 2.). Tõestame, et segmendid AB Ja KOOSD on võrdsed.
Kaks paralleelset joont AB Ja KOOSD moodustavad ühtse tasapinna γ, γ = ABDKOOS. Tasapind γ lõikab paralleelseid tasapindu ja mööda paralleelseid sirgeid (vastavalt esimesele omadusele). Nii et see on sirge AC Ja IND paralleelselt.
Otsene AB Ja KOOSD on ka paralleelsed (tingimuse järgi). Nii et see on nelinurk ABDKOOS- rööpkülik, kuna selle vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.
Rööpküliku omadustest järeldub, et lõigud AB Ja KOOSD on võrdsed, nagu on vaja tõestada.
Rööptasandid lõikavad nurga küljed proportsionaalseteks osadeks.
Tõestus
Olgu meile antud paralleelsed tasapinnad, mis lõikavad nurga külgi A(Joonis 3.). Seda on vaja tõestada.
Paralleelsed tasapinnad ja lõigatud nurktasandiga A. Nimetame nurktasandi lõikejoont A ja lennukid - päike, ja nurktasandi lõikejoon A ja lennukid - B 1 C 1. Esimese omaduse järgi ristumisjooned Päike Ja B 1 C 1 paralleelselt.
Seega kolmnurgad ABC Ja AB 1 C 1 sarnased. Saame:
3. Vitali Stanislavovitš Tsegelnõi matemaatiline veebisait ()
4. Festival pedagoogilised ideed"Avalik õppetund" ()
1. Punkt KOHTA- iga lõigu ühine keskpunkt AA 1, BB 1, SS 1, mis ei asu samas tasapinnas. Tõesta, et lennukid ABC Ja A 1 B 1 C 1 paralleelselt.
2. Tõesta, et läbi kahe kaldjoone saab tõmmata paralleelseid tasapindu.
3. Tõesta, et sirge, mis lõikab ühte kahest paralleelsest tasapinnast, lõikub ka teisega.
4. Geomeetria. 10.-11. klass: õpik õpilastele õppeasutused(põhi- ja profiili tasemed) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. trükk, parandatud ja täiendatud - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill.
Ülesanded 6, 8, 9 lk 29
Selles õppetükis määratleme paralleelsed tasapinnad ja tuletame meelde aksioomi kahe tasandi ristumiskoha kohta. Järgmisena tõestame teoreemi - tasandite paralleelsuse märki ja sellele toetudes lahendame mitmeid tasandite paralleelsuse ülesandeid.
Teema: Sirgete ja tasandite paralleelsus
Õppetund: Paralleelsed tasapinnad
Selles õppetükis määratleme paralleelsed tasapinnad ja tuletame meelde aksioomi kahe tasandi ristumiskoha kohta.
Definitsioon. Kaht tasapinda nimetatakse paralleelseks, kui nad ei ristu.
Määramine: .
Paralleelsete tasandite illustratsioon(Joonis 1.)
1. Milliseid tasapindu nimetatakse paralleelseteks?
2. Kas mitteparalleelseid sirgeid läbivad tasapinnad võivad olla paralleelsed?
3. Mis see võiks olla vastastikune kokkulepe kaks sirget, millest igaüks asub ühel kahest erinevast paralleelsest tasapinnast?
4. Geomeetria. 10.-11. klass: õpik üldharidusasutuste õpilastele (põhi- ja erialatase) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. trükk, parandatud ja täiendatud - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill.
Ülesanded 1, 2, 5 lk 29
Kaks ruumitasandit võivad olla paralleelsed või lõikuda, nagu on näidatud järgmises tabelis.
Kaks ristuvat tasapinda |
Definitsioon: |
Kaks paralleelset tasapinda |
Definitsioon: |
Kahe tasandi paralleelsuse märgid
Kahe tasandi paralleelsuse esimene märk. Kui kaks ristuvad joonedristuvad jooned, mis asub vastavalt samas tasapinnas paralleelseltparalleelselt kaks sirget, mis asuvad teises tasapinnas, siis on sellised tasapinnad paralleelsed.
Tõestus . Vaatleme joonist 1, mis näitab tasapindu α ja β
Sirged a ja b asuvad tasapinnal α ja lõikuvad punktis K. Sirged c ja d asuvad β-tasandil ja on paralleelsed vastavalt joontega a ja b.
Tõestame kahe tasandi paralleelsuse esimest märki "vastuolu" meetodil. Selleks eeldame, et tasapinnad α ja β ei ole paralleelsed. Järelikult peavad tasapinnad α ja β lõikuma ning ristuma mööda mingit sirget. Tähistame sirget, mida mööda tasapinnad α ja β ristuvad tähega l (joonis 2) ning kasutame sirge ja tasandi paralleelsuse märki.
Tasapind α läbib sirgega c paralleelset sirget a ja lõikub tasapinnaga β piki sirget l. Siit järeldame, et sirged a ja l on paralleelsed. Samal ajal läbib tasapind α sirget b paralleelselt sirgega d ja lõikub tasapinnaga β piki sirget l. Siit järeldame sirge ja tasandi paralleelsuse tunnuse tõttu, et sirged b ja l on paralleelsed. Seega oleme saanud, et tasapinnal α läbib punkti K kaks sirget, nimelt sirged a ja b , mis on paralleelsed sirgega l. Sellest tulenev vastuolu paralleelsete sirgete aksioom võimaldab väita, et eeldus, et tasapinnad α ja β ristuvad, on vale. Kahe tasandi paralleelsuse esimese märgi tõestus on lõpetatud.
Kahe tasandi paralleelsuse teine märk. Kui kaks ühes tasapinnas asuvat ristuvat sirget on paralleelsed teise tasapinnaga, siis on sellised tasapinnad paralleelsed.
Tõestus . Vaatleme joonist 3, mis näitab tasapindu α ja β.
Sellel joonisel on näidatud ka sirged a ja b, mis asuvad tasapinnal α ja lõikuvad punktis K. Tingimuse kohaselt on sirged a ja b paralleelsed tasapinnaga β. Peame tõestama, et tasapinnad α ja β on paralleelsed.
Selle väite tõestus sarnaneb kahe tasandi paralleelsuse esimese kriteeriumi tõestusega ja jätame selle lugejale kasulikuks harjutuseks.
Meie kodulehel saate tutvuda ka väljatöötatud õpetajatega treenimiskeskus"Resolventa" õppematerjalid matemaatika ühtseks riigieksamiks valmistumiseks.
individuaalsed seansid matemaatika ja vene keele juhendajategaVaadeldakse tasapindade paralleelsuse seost, selle omadusi ja rakendusi.
Nende kahe asukoha visuaalne kujutis
tasapinnad annab modelleerimise, kasutades ruumi külgnevate seinte, lae ja põranda pindade tasapindu, narid, kaks paberilehte kinnitatud
mustkunstnikud jne (joon. 242–244).
Kuigi erinevate tasandite suhtelise asukoha määramiseks on lõpmatult palju võimalusi, siis edaspidi kasutatavate nurkade ja kauguste mõõtmiste kindlakstegemiseks ja iseloomustamiseks keskendume esmalt neile, kus klassifikatsioon (aga ka tasapinnaga sirged jooned) ) põhineb nende ühiste punktide arvul.
1. Kahel tasapinnal on vähemalt kolm ühist punkti, mis ei asu samal sirgel. Sellised tasapinnad langevad kokku (aksioom C 2, §7).
2. Kahe tasandi ühispunktid asuvad ühel sirgel, mis on nende tasandite lõikejoon (aksioom C 3, §7). Sellised tasapinnad ristuvad.
3. Kahel tasapinnal pole ühiseid punkte.
IN sel juhul nimetatakse neid paralleelne-
Kaht tasapinda nimetatakse paralleelseks, kui neil pole ühiseid punkte.
Tasapindade paralleelsust näitab märk ||: α || β.
Nagu ikka, tutvustamisel geomeetrilised mõisted tekkis
Nende olemasoluga pole probleemi. ristuvate -
Xia lennukid on iseloomulik tunnus ruum,
ja oleme seda juba mitu korda kasutanud. Vähem ilmne on
Selgub paralleelsete tasandite olemasolu. Seal ei ole
kahtleb, et näiteks vastassuunaliste graafikute tasapinnad
Kuubikud on paralleelsed, see tähendab, et nad ei ristu. Aga otse
Tõepoolest, definitsiooni järgi ei saa seda kindlaks teha. Lahendamiseks
püstitatud küsimuse mõistmine, samuti muud sellega seotud küsimused
tasandite paralleelsus, on vaja paralleelsuse märki.
Märgi otsimiseks on soovitatav kaaluda lennukit,
"kootud" sirgetest joontest. On ilmne, et iga sirge on üks
paralleelsed tasapinnad peavad olema üksteisega paralleelsed.
Vastasel juhul on lennukitel ühine punkt. Piisav
Kas tasapind β on täpselt paralleelne sama sirgega α
et tasapinnad α ja β oleksid paralleelsed? Absoluutselt
aga ei (põhjendage seda!). Praktiline kogemus näitab seda
piisab kahest sellisest ristuvast sirgest. Kindlustama
masti küljes on maapinnaga paralleelne platvorm, lihtsalt asetage see
kahel masti külge kinnitatud talal paralleelselt |
||
maise (joon. 245). Neid on palju rohkem |
||
näiteid selle sätte tehnika kasutamisest |
||
päris tasaste pindade paralleelsus |
||
objektid (proovige seda!). |
||
Ülaltoodud kaalutlused võimaldavad meil sõnastada |
||
lüürige järgmine väide. |
||
(paralleelsete tasandite märk). |
||
ühe tasapinna ristuvad sirged |
Kui tasapinnad on paralleelsed teise tasapinnaga, siis on need tasapinnad paralleelsed.
Olgu tasapinna α lõikejooned a ja b paralleelsed tasapinnaga β. Tõestame, et tasandid α ja β on paralleelsed. Selleks oletame, et tasapinnad α ja β lõikuvad piki sirget
t (joonis 246). Sirged a ja b ei saa vastavalt tingimusele sirgeid ristuda. Kuid siis tasapinnal α tõmmatakse läbi ühe punkti kaks sirget, mis ei ristu sirgega, st on sellega paralleelsed. See on vastuolu
ja lõpetab teoreemi tõestuse.
Tasapindade paralleelsuse märki kasutatakse tasapinnaliste konstruktsioonide (betoonplaadid, põrandad, goniomeetriseadmete ketas jne) horisontaalsel paigutamisel, kasutades kahte tasandit, mis on paigutatud konstruktsiooni tasapinnale ristuvatele sirgjoontele. Selle tunnuse põhjal on võimalik konstrueerida sellega paralleelne tasapind.
Ülesanne 1. Joonistage antud tasapinnast väljapoole jääva punkti kaudu antud tasapinnaga paralleelne tasapind.
Olgu antud tasand β ja punkt M väljaspool tasapinda (joon. 247, a). Tõmbame läbi punkti M kaks tasandiga β paralleelset lõikuvat sirget a ja b. Selleks tuleb β tasapinnal võtta kaks ristuvat sirget c ja d (joonis 247, b). Seejärel tõmmake punkti M kaudu sirged a ja b, mis on paralleelsed sirgetega c ja d.
kuid (joon. 247, c).
Lõikuvad sirged a ja b paralleelselt tasapinnaga β, lähtudes sirge ja tasandi paralleelsusest (Teoreem 1 §11). Need määratlevad üheselt tasapinna α. Tõestatud kriteeriumi kohaselt on α || β.
Näide 1. Antud kuubik ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on punktid M , N , P vastavalt servade BC , B 1 C 1 , A 1 D 1 keskpunktid. Määrake tasandite suhteline asukoht: 1) ABB 1 ja PNM; 2) NMA ja A1C1C; 3) A 1 NM
ja PC 1 C; 4) MAD 1 ja DB 1 C.
1) Tasapinnad ABB 1 ja РNM (joonis 248) on paralleelsed, lähtudes tasandite paralleelsusest (Teoreem 1). Tõepoolest, sirged PN ja NM lõikuvad ja on paralleelsed tasapinnaga ABB 1, lähtudes sirge ja tasandi paralleelsusest (Teoreem 1 §11), sest lõigud PN ja NM ühendavad ruutude vastaskülgede keskpunkte. , nii et need on paralleelsed ruutude külgedega:
РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.
2) Tasapinnad NMA ja A 1 C 1 C lõikuvad piki sirget AA 1 (joonis 249). Tõepoolest, sirged AA 1 ja CC 1 on paralleelsed, lähtudes sirgete paralleelsusest (AA 1 ||ВB 1,ВB 1 ||СC 1). Seetõttu asub sirgjoon AA 1 tasapinnal A 1 C 1 C. Sarnaselt on põhjendatud sirge AA 1 kuulumine tasapinnale NMA.
3) Tasapinnad A 1 NM ja РС 1 C (joon. 250) on paralleelsed, lähtudes tasandite paralleelsusest. Tõepoolest, NM ||С 1 C . Seetõttu on sirge NM paralleelne tasapinnaga PC 1 C. Lõigud PC 1 ja A 1 N on samuti paralleelsed, kuna nelinurk PC 1 NA 1 on rööpkülik (A 1 P ||NC 1, A 1 P = NC 1). Seega on sirge A 1 N paralleelne tasapinnaga PC 1 C. Sirged A 1 N ja NM lõikuvad.
4) Tasapinnad MAD 1 ja DB 1 C lõikuvad (joonis 251). Kuigi nende ristumisjoont ei ole lihtne konstrueerida, ei ole raske näidata selle sirge üht punkti. Tõepoolest, sirged A 1 D ja B 1 C on paralleelsed, kuna nelinurk A 1 B 1 CD on rööpkülik (A 1 B 1 = AB = CD , A 1 B 1 || AB , AB || CD ). Seetõttu kuulub sirge A 1 D tasapinnale DB 1 C. Sirged A 1 D ja AD 1 ristuvad punktis, mis on ühine tasapindadele MAD 1 ja DB 1 C.
Tasapindade paralleelsuse antud märk |
||
mõnikord on mugavam kasutada veidi teistsuguses |
||
1′ (paralleelsete tasandite märk). |
Kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandi kahe sirgega, siis on need tasapinnad paralleelsed.
Kasutades sirge ja tasandi paralleelsuse kriteeriumi (Teoreem 1 §11), on lihtne kindlaks teha, et teoreemi 1 tingimus tuleneb teoreemi 1 tingimustest. Teoreemi rakendamine pöördvõrdeliselt paralleelsuse kriteeriumile. joon ja tasapind (Teoreem 2 §11) lõpetab teoreemide 1 ja 1 ′ tingimuste samaväärsuse põhjenduse.
Loomulikult tekib küsimus ülesandes 1 toodud konstruktsiooni unikaalsuse kohta. Kuna me peame seda omadust kasutama rohkem kui üks kord, tõstame selle esile eraldi teoreemina. Siiski vaatame kõigepealt üht teist väidet.
Teoreem 2 (kahe paralleelse tasandi lõikumise kohta kolmandaga).
Kui kahte paralleelset tasandit lõikab kolmas tasapind, siis on tasandite lõikejooned paralleelsed.
Olgu antud paralleelsed tasandid α, β ja neid lõikuva tasapind γ (joonis 252). Tähistame ristumisjooned
läbi a ja b. Need sirged asuvad γ-tasandil ega ristu, kuna α- ja β-tasanditel ei ole ühiseid punkte. Seetõttu otse
a ja b on paralleelsed.
Teoreem 3 (sellega paralleelse tasandi olemasolu ja kordumatuse kohta).
Antud tasapinnast väljaspool asuva punkti kaudu saab joonistada ühe tasandi, mis on paralleelne antud tasapinnaga.
Sellise tasapinna ehitamine viidi läbi ülesandes 1. Tõestame konstruktsiooni unikaalsust vastuoluga. Oletame, et läbi punkti M on tõmmatud kaks erinevat tasandit α ja γ, pa-
paralleeltasandid β (joonis 253) ja sirgjoon t on nende lõikejoon. Joonistagem tasapind δ läbi punkti M, mis lõikub sirgega
m ja β tasapind (kuidas seda teha?). Tähistame a ja b-ga
tasapinna δ lõikejoon tasapindadega α ja γ ning läbi c - tasandite δ ja β lõikejoon (joonis 253). Vastavalt teoreemile 2,a ||c
ja b ||s. See tähendab, et δ tasapinnal läbi
kaks sirgjoontega paralleelset sirget läbivad punkti M. Vastuolu näitab, et eeldus on vale.
Tasapindade paralleelsuse seosel on mitmeid omadusi, millel on planimeetrias analooge.
Teoreem 4 (paralleelsete tasandite vaheliste paralleelsete sirgete lõikude kohta).
Paralleelsete tasandite poolt ära lõigatud paralleelsete joonte lõigud on üksteisega võrdsed.
Olgu antud kaks paralleelset tasandit α ja β ning lõigud AB
ja nende tasanditega ära lõigatud paralleelsete sirgjoonte a ja d CD (joon. 254, a). Joonestame tasapinna γ läbi sirgete a ja d (joon. 254, b). See lõikab tasapindu α ja β mööda sirgeid AC ja BD, mis vastavalt teoreemile 2 on paralleelsed. Seetõttu on nelinurk ABCD rööpkülik, mille vastasküljed AC ja BD on võrdsed.
Ülaltoodud omadusest järeldub, et kui joonistame graafiku kõigist tasapinna punktidest
Tasapinna ühel küljel on sama pikkusega paralleelsed segmendid, siis nende segmentide otsad moodustavad kaks paralleelset tasapinda. Sellel omadusel põhineb rööptahuka konstrueerimine segmentide sadestamist kasutades (joonis 255).
Teoreem 5 (tasapindade paralleelsuse seose transitiivsuse kohta).
Kui mõlemad tasapinnad on paralleelsed kolmandaga, siis on need kaks tasapinda paralleelsed.
Olgu tasapinnad α ja β paralleelsed tasapinnaga γ. Oletame, et
α ja β ei ole paralleelsed. Siis on tasapindadel α ja β ühine punkt ning läbi selle punkti läbivad kaks erinevat tasapinnaga γ paralleelset tasandit, mis on vastuolus teoreemiga 3. Seetõttu ei ole tasapindadel α ja β ühiseid punkte, st nad on paralleelsed. .
Teoreem 5 on veel üks tasandite paralleelsuse märk. Seda kasutatakse laialdaselt nii geomeetrias kui ka praktilistes tegevustes. Näiteks mitmekorruselises majas tagab põranda- ja laetasapindade paralleelsus igal korrusel nende paralleelsuse erinevatel korrustel.
Ülesanne 2. Tõesta, et kui sirge lõikub tasapinnaga α, siis ta lõikab ka kõiki tasapinnaga α paralleelseid tasapindu.
Olgu tasapinnad α ja β paralleelsed ning sirgjoon a lõikab tasandit α punktis A. Tõestame, et see lõikub ka tasapinnaga
β. Oletame, et see pole nii. Siis on sirge a paralleelne tasapinnaga β. Joonistame tasapinna γ läbi sirgjoone ja tasandi β suvalise punkti (joonis 256).
See tasand lõikab paralleelseid tasapindu α ja β piki sirgeid b is. kaas-
vastavalt teoreemile 2, b || c, st tasapinnal γ läbivad punkti A paralleelselt sirgega c kaks sirget a ja b . See vastuolu kinnitab väidet.
Proovige omal jõul tõestada, et kui tasapind α lõikub tasapinnaga β, siis lõikub ka iga tasapinnaga β paralleelset tasapinda.
Näide 2. Tetraeedris ABCD on punktid K, F, E servade DA, DC, DB, aM ja P keskpunktid - vastavalt tahkude ABD ja ВСD massikeskmed.
1) Määrake tasandite KEF ja ABC suhteline asukoht;
DEF ja ABC.
2) Ehitage AFB ja KEC tasandite lõikejoon.
3) Leidke tetraeedri ristlõike pindala tasapinnaga ABD paralleelse ja punkti P läbiva tasapinna järgi, kui tetraeedri kõik servad on võrdsed.
Konstrueerime tingimusele vastava joonise (joonis 257, a). 1) Tasapinnad KEF ja ABC on paralleelsed, lähtudes tasandite paralleelsusest (teoreem 1'): KEF tasandi lõikejooned KE ja KF on paralleelsed ABC tasandi lõikejoontega AB ja AC (keskjooned vastav
olemasolevad kolmnurgad).
Tasapinnad DEF ja ABC lõikuvad piki sirget BC, kuna sirge BC kuulub mõlemale tasapinnale ja need ei saa kokku langeda - punktid A, B, C, D ei asu samal tasapinnal.
2) Tasapind AFB lõikub tasapinnaga KEC piki sirget, mis sisaldab punkti P, kuna neil tasapindadel asuvad sirged CE ja BF on tasapinnal BCD ja lõikuvad punktis P. Teine punkt on tasapinnal ACD sirgete AF ja CK lõikepunkt Q (joon. 257, b). Ilmselgelt on see punkt ACD näo massikese. Nõutav ristmik on joon PQ.
3) Konstrueerida tingimuses määratud lõik, kasutades tasandite paralleelsuse märki. Tõmbame sirged läbi punktide P ja Q, mis on paralleelsed vastavalt sirgetega DB ja DA (joon. 257, c). Need sirged lõikuvad lõigu CD punktis L. Viimane tuleneb kolmnurga massikeskme omadusest - see jagab kolmnurga mediaanid suhtega 2: 1, lugedes tipust. Jääb üle rakendada Thalese teoreemi. Seega on PLQ ja BDA tasapinnad paralleelsed. Vajalik osa on kolmnurk LSN.
Konstruktsiooni järgi on kolmnurgad BCD ja SCL sarnased sarnasuskoefitsiendiga CE CP = 3 2. Seetõttu LS = 3 2 BD . Sarnaselt väljakujunenud
lisatakse järgmised võrdsused: LN =3 2 AD,NS =3 2 AB. Sellest järeldub, et kolmnurgad LSN ja ABD on sarnased sarnasuskoefitsiendiga 3 2. Vastavalt sarnaste kolmnurkade pindalade omadustele
S LNS =4 9 S ABD . Jääb leida kolmnurga ABD pindala. Kõrval-
kuna tingimuse järgi on tetraeedri kõik servad võrdsed a-ga, siis S ABD =4 3 a 2.
Nõutav pindala on 3 1 3 a 2 .
On asjakohane märkida, et vastus sõltub ainult näopiirkonnast ABD. Seetõttu on kõigi servade võrdsus vaid vahend selle ala leidmiseks. Seega võib seda probleemi oluliselt üldistada.
Vastus. 1)KEF ||ABC ; 3) 3 1 3 a 2 .
Testi küsimused
1. Kas on tõsi, et kaks tasapinda on paralleelsed, kui iga ühel tasapinnal paiknev sirge on paralleelne teise tasapinnaga?
2. Tasapinnad α ja β on paralleelsed. Kas nendel tasapindadel on viltuseid jooni?
3. Kolmnurga kaks külge on paralleelsed mingi tasapinnaga. Kas kolmnurga kolmas külg on selle tasapinnaga paralleelne?
4. Rööpküliku kaks külge on paralleelsed teatud tasapinnaga. Kas vastab tõele, et rööpküliku tasand on paralleelne antud tasandiga?
5. Kas kahe paralleelse tasapinnaga lõigatud sirge lõigud võivad olla ebavõrdsed?
6. Kas kuubi ristlõige võib olla võrdhaarne trapets? Kas kuubi ristlõige võib olla tavaline viisnurk? Kas vastab tõele, et kaks sama sirgega paralleelset tasapinda on paralleelsed?
Tasapindade α ja β lõikejooned tasapinnaga γ on üksteisega paralleelsed. Kas tasapinnad α ja β on paralleelsed?
Kas kuubi kolm tahku võivad olla paralleelsed sama tasapinnaga?
Graafilised harjutused
1. Joonisel 258 on kujutatud kuup ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, punktid M, N, K, L, P on vastavate servade keskpunktid. Täitke tabel vastavalt toodud näitele, valides α ja β tasandite vajaliku asukoha.
Vastastikune
asukoht
α || β α = β
α × β α || β α = β
A1 B1 C1 | D 1 KP |
||
ja ADC | ja BB1 D | ja MNP | ja BMN |
B 1 KP | A1 DC1 | A1 C1 C |
|
ja PLN | ja DMN | ja AB1 C | ja MKP |
2. Joonisel fig. 259 kujutab tetraeedrit ABCD, punktid K, F, M, N, Q on vastavate servade keskpunktid. Palun märkige:
1) tasapinnaga ABC paralleelne punkti K läbiv tasapind;
2) tasapinnaga MNQ paralleelset sirget BD läbiv tasapind.
3. Määrake, milline on joonise läbilõige tasandist, mis läbib joonisel näidatud kolme punkti.
kah 260, a)–e) ja 261, a)–d).
4. Ehitage etteantud andmete põhjal joonis.
1) Rööpküliku ABCD tippudest, mis asuvad ühel kahest paralleelsest tasapinnast, tõmmatakse paralleelsed sirged, mis lõikuvad teise tasandiga vastavalt punktides A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .
2) Kolmnurk A 1 B 1 C 1 on kolmnurga ABC projektsioon sellega paralleelsele tasapinnale α. Punkt M on päikese keskpaik, M 1 on punkti M projektsioon tasapinnale α.
207. Kuubis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 punktid O, O 1 on vastavalt tahkude ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 keskpunktid, M serva AB keskpunkt.
1°) Määrake tasandite MO 1 O suhteline asukoht
ja ADD 1, ABD 1 ja CO 1 C 1.
2°) Koostage tasapinna DCC 1 ja sirge MO 1 lõikepunkt ning tasandite MCC 1 ja A 1 D 1 C 1 lõikepunkt.
3) Leidke kuubi ristlõikepindala tasapinnaga AD 1 C 1 paralleelselt ja läbib punkti O 1, kui kuubi serv on võrdne a-ga.
208. Tetraeedris ABCD on punktid K, L, P vastavalt tahkude ABD, BDC, ABC massikeskmed ja aM serva AD keskpunkt.
1°) Määrake ACD tasandite suhteline asukoht
ning KLP ja ABC .
2°) Koostage tasapinna ABC ja sirge ML lõikepunkt ning tasandite MKL ja ABC lõikepunkt.
3) Leidke tetraeedri ristlõike pindala tasapinnaga, mis läbib punkte K, L ja M paralleelselt sirgjoonega AD, kui tetraeedri kõik servad on võrdsed.
209. Antud on kuup ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Punktid L, M, M 1 on vastavalt servade AB, AD ja A 1 D 1 keskpunktid.
1°) Määrake tasapindade B 1 D 1 D suhteline asukoht
ja LMM1.
2) Koostage punkti M läbiv tasapind paralleelselt tasapinnaga ACC 1.
3) Ehitage kuubist lõige punkti M 1 läbiva tasapinnaga paralleelselt tasapinnaga CDD 1.
4) Määrake tasandite MA 1 B 1 suhteline asukoht
ja CDM1.
5) Koostage tasapinnaga CDM 1 paralleelset sirget C 1 D 1 läbiv tasapind.
210. Korrapärase nelinurkse püramiidi SABCD kõik servad on üksteisega võrdsed. Punktid L, M ja N on vastavalt servade AS, BS, CS keskpunktid.
1°) Määrake: sirgete LM ja BC suhteline asukoht; sirgjoon LN ja tasapind ABD; lennukid LMN ja BDC.
2°) Tõesta, et kolmnurgad ABC ja LMN on sarnased.
3) Konstrueerida püramiidi lõik, kasutades tasandit AMN; lennuk LMN; lennukLBC.
4*) Millise tippu S läbivatest püramiidi lõikudest on suurim pindala?
Sirgete ja tasandite paralleelsus
SABC tetraeedris on kõik tahud korrapärased kolmnurgad. Punktid L, M ja N on vastavalt servade AS, BS, CS keskpunktid. 1°) Määrake sirgete LM ja BC suhteline asukoht. 2°) Määrake sirge LN ja tasandi ABC suhteline asukoht.
3) Tõesta, et kolmnurgad LMN ja ABC on sarnased.
Rööpküliku ABCD tippudest, mis asuvad ühes |
|||
kaks paralleelset tasapinda, mis on tõmmatud paarikaupa paralleelselt |
|||
lineaarsed sirgjooned, mis lõikuvad teist tasandit vastavad |
|||
täpsemalt punktides A 1, B 1, C 1, D 1. | |||
1°) Tõesta, et nelinurk A 1 B 1 C 1 D 1 on paralleelne |
|||
2°) Tõesta, et rööpkülikud ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 |
|||
on üksteisega võrdsed. | |||
3°) Määrake tasandite ABC 1 suhteline asukoht |
|||
ja DD1 C1. | |||
4) Joonistage tasapind 1 läbi lõigu AA keskosa nii |
|||
nii et see lõikab neid sirgeid punktides, mis on |
|||
rööpkülikuga võrdsed tipud |
|||
mu ABCD. | |||
Antud on kaks paralleelset tasapinda ja punkt O, mis ei kuulu |
|||
surudes vastu mõnda neist tasapindadest ja mitte lamades nende vahel |
|||
neid. Punktist O | joonistatakse kolm kiirt, mis lõikuvad tasapinnaga |
||
luud vastavalt punktides A, B, C ja A 1, B 1, C 1 ja ei lama |
|||
lamades samas tasapinnas. | |||
1°) Määrake nende tasandite suhteline asukoht |
|||
ja tasapind, mis läbib lõikude AA 1, BB 1, CC 1 keskpunkte. |
|||
2) Leidke kolmnurga A 1 B 1 C 1 ümbermõõt, kui OA = m, |
|||
AA 1 = n, AB = c, AC = b, BC = a. | |||
Kolmnurk A 1 B 1 C 1 on kolmnurga ABC projektsioon |
|||
sellega paralleelsele tasapinnale α. Punkt M – saja keskpaik |
|||
rons BC ;M 1 - punkti M projektsioon | α tasapinnale. Punkt N |
||
jagab poole AB | vahekorras 1:2. | tasapind M 1 MN ja sirge |
|
1) Koostage ristumispunkt N 1 |
|||
minu A 1 B 1 . | |||
2) Määrake nelinurga M 1 N 1 NM kuju. |
|||
M asub trapetsi ABCB tasandist väljaspool baasi- |
|||
mi AD | ja B.C. Koostage tasandite lõikejoon: |
||
1°) ABM ja CDM; | 2) CBM ja ADM. |
Koostage kuubist lõik, mis on: 1°) võrdkülgne kolmnurk; 2) viisnurk.
217. Koostage tetraeedri lõik, mis on rööpkülik.
218°. Tõesta, et rööptahuka vastasküljed on paralleelsed.
219. Tõesta, et kõigi antud punkti läbivate ja antud tasapinnaga paralleelsete sirgete hulk moodustab antud punktiga paralleelse tasandi.
220. Antud on neli punkti A, B, C, D, mis ei asu samas tasapinnas. Tõesta, et iga sirgetega AB ja CD paralleelne tasapind lõikab rööpküliku tippudes sirgeid AC, AD, BD, BC.
221. Tõesta, et tasapind ja sellele tasapinnale mittekuuluv sirge on üksteisega paralleelsed, kui mõlemad on paralleelsed sama tasandiga.
222. Kuubi ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 diagonaalide lõikepunkti O kaudu tõmmatakse tasapinnaga ABCD paralleelne tasapind. See tasapind lõikab servi BB 1 ja CC 1 vastavalt punktides M ja N. Tõesta, et nurk MON on täisnurk.
223. Tõesta, et kaks tasandit on üksteisega paralleelsed siis ja ainult siis, kui iga tasapinda lõikuv sirge lõikub ka teisega.
224*. Kolmnurkses püramiidis SABC tõmmake läbi segmentide AD ja CE, kus D on keskpunkt SB ja E on keskpunkt SA, püramiidi lõigud üksteisega paralleelselt.
225. Leia geomeetrilisi kohti:
1) kõikide lõikude keskpunktid, mille otsad on kahel etteantud paralleelsel tasapinnal; 2*) lõikude keskpunktid, mille otsad on kahel etteantud lõikuval sirgel.
226*. Tasapinnal α paikneva kolmnurga ABC külg AB on paralleelne tasapinnaga β. Võrdkülgne kolmnurk 1 B 1 C 1 on kolmnurga ABC paralleelprojektsioon tasapinnale β AB = 5, BC = 6, AC = 9;
1) Määrake sirgjoonte AB ja A 1 B 1 suhteline asukoht,
BC ja B1 C1, A1 C1 ja AC.
2) Leidke kolmnurga A 1 B 1 C 1 pindala.
227*. Antud kaks ristuvat joont. Märkige kõigi ruumipunktide kogum, mille kaudu saab tõmmata sirge, mis lõikub iga kahe etteantud sirgega.
Põhimääratlus
Neid kahte lennukit nimetatakse
on paralleelsed,
kui neil pole ühiseid punkte.
Peamised väited
Paralleelmärk – kui tasandi ühe tasapinna kaks lõikuvat sirget on vastavalt paralleelsed teise tasandi kahe sirgega, siis need tasapinnad
luud on paralleelsed.
Lõikumise teoreem Kui kahte paralleelselt lõikuvat kahte mitteparalleelset tasandit lõikub kolmas tasapind, siis tasandi kolmanda lõike sirged
need on paralleelsed.
a α,b α,a ×b ,c β,d β,a ||c ,b ||d α || β
α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b
M α
β: α || β, Mβ
Teemateks valmistumine
hindamiseks teemal “Sirgete ja tasandite paralleelsus”
Enesekontrolli ülesanded
1. Neli punkti ei kuulu samale tasapinnale. Kas kolm neist võivad asuda samal sirgel?
2. Kas kolmel erineval tasapinnal võib olla täpselt kaks ühist punkti?
3. Kas kaks kaldjoont võivad olla paralleelsed kolmanda sirgega?
4. Kas see on tõsi, et otse a ja b ei ole paralleelsed, kui a ja b-ga paralleelset sirget c pole?
5. Kas võrdsetel lõikudel võivad olla ebavõrdsed projektsioonid?
6. Kas kiir võib olla sirge paralleelprojektsioon?
7. Kas ruut võib olla kuubi kujutis?
8. Kas vastab tõele, et antud ruumipunkti kaudu saab antud sirgega paralleelselt tõmmata ainult ühe tasapinna?
9. Kas alati on võimalik joont läbi antud punkti tõmmata paralleelselt kahe etteantud tasapinnaga, mis seda punkti ei sisalda?
10. Kas on võimalik tõmmata paralleelseid tasapindu läbi kahe ristuva sirge?
Enesekontrolli ülesannete vastused
Katseproov
Kaks rööpkülikut ABCD ja ABC 1 D 1 asuvad erinevatel tasapindadel.
1°) Määrake sirgjoonte CD ja C 1 D 1 suhteline asukoht.
2°) Määrake sirge C 1 D 1 ja tasapinna suhteline asukoht
3°) Koostage tasapindade DD 1 C 1 ja ВСС 1 lõikejoon.
4°) Määrake tasandite ADD 1 ja BCC 1 suhteline asukoht.
5) Läbi punkti M, jagades lõigu AB vahekorras 2:1, lugedes punktist A, tõmmake tasapinnaga C 1 BC paralleelne tasapind α. 6) Koostage sirge AC lõikepunkt tasapinnaga α ja leidke suhe, milles see punkt jagab lõigu AC.
Sirgete ja tasandite paralleelsus |
|||
Joonte suhteline asukoht ruumis |
|||
Tabel 21 |
|||
Ühiste punktide arv | |||
Vähemalt kaks | |||
valeta ühes | ära valeta ühes |
||
lennuk | lennuk |
Sirgete ja tasandite suhteline asend ruumis
Tabel 22 |
||||
Ühiste punktide arv | ||||
Vähemalt kaks | Mitte ühtegi |
|||
a asub α-s | ja lõikub α | ja i α - paralleelne |
(a α) | (a × α) | ny (a || α) |
Tasapindade vastastikune paigutus ruumis |
||
Tabel 23 |
||
Ühiste punktide arv | ||
Vähemalt kolm | Vähemalt üks, aga | Mitte ühtegi |
ei lama | puuduvad ühised punktid, pole le- |
|
üks sirgjoon | vajutades ühele sirgjoonele |
Trigonomeetriline
Trigonomeetriliste funktsioonidega olete juba geomeetria tundides tegelenud. Seni piirdusid nende rakendused peamiselt kolmnurkade lahendamisega ehk siis räägiti mõne kolmnurga elemendi leidmisest teistest. Matemaatika ajaloost on teada, et trigonomeetria tekkimine on seotud pikkuste ja nurkade mõõtmisega. Nüüd aga sfäär
teda rakendused on palju laiemad kui iidsetel aegadel.
Sõna "trigonomeetria" pärineb kreeka sõnast τριγωνον
(trigonon) – kolmnurk ja µετρεω (metreo) – mõõt, mõõta-
ma haugun. Sõna otseses mõttes tähendab see kolmnurkade mõõtmist.
IN See peatükk süstematiseerib teile geomeetria kursusest juba teadaoleva materjali ja jätkab uurimist trigonomeetrilised funktsioonid ja nende rakendused, eelkõige partiiprotsesside iseloomustamiseks pöörlev liikumine, võnkeprotsessid jne.
Enamik trigonomeetria rakendusi on spetsiifiliselt seotud perioodiliste protsessidega, st protsessidega, mis korduvad korrapäraste ajavahemike järel. Päikesetõus ja loojang, aastaaegade muutused, ratta pöörlemine – need on selliste protsesside lihtsaimad näited. Perioodiliste protsesside olulised näited on ka mehaanilised ja elektromagnetilised vibratsioonid. Seetõttu on perioodiliste protsesside uurimine oluline ülesanne. Ja matemaatika roll selle lahendamisel on määrav.
valmistume õppima teemat "Trigonomeetrilised funktsioonid"
Teema “Trigonomeetrilised funktsioonid” uurimist on soovitatav alustada kolmnurkade nurkade trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonide ja omadustega ning nende rakendustega nii täis- kui ka suvaliste kolmnurkade lahendamisel.
Ristkülikunurkade siinus, koosinus, puutuja, kotangens
kolmnurk
Tabel 24
Teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe:
sin α = a c .
Terava nurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe:
cosα = b c .
Teravnurga puutuja on vastaskülje ja külgneva külje suhe:
tg α =a b .
Teravnurga kotangens on külgneva külje ja vastaskülje suhe:
ctgα = a b .
Siinus, koosinus, puutuja, nurkade 0° kuni 180° kotangens
Tabel 25
sin α = R y ; cosα = Rx;
tg α = x y; cotgα = x y.
(X;juures) - punkti koordinaadid A asub ülemisel poolringil, α - raadiuse moodustatud nurk OA ring teljega X.
Siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensi väärtused
mõned nurgad
Tabel 26
Nurk t
0° | 90° | 180° |
||||||||||
patt t | ||||||||||||
cos t | ||||||||||||
tg t | ||||||||||||
ctg t | ||||||||||||
Trigonomeetrilised funktsioonid |
Suvaliste kolmnurkade lahendamine
Tabel 27
Siinuste teoreem
Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega:
patt aα = patt bβ = patt cγ .
Koosinusteoreem
Kolmnurga suvalise külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, ilma nende külgede kahekordse korrutuseta nendevahelise nurga koosinusega:
c2 = a2 + b2 − 2 ab cos γ ,b2 = a2 + c2 − 2 ac cos β , a2 = b2 + c2 − 2 eKr cos α .
Kolmnurga pindala on võrdne poolega selle kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest:
S=1 2 abpattγ = 1 2 acpattβ = 1 2 eKrpattα .
Põhilised trigonomeetrilised identiteedid
Tabel 28 |
||||||||||||||||
0 ° ≤ α ≤ 180° | patt 2 α + cos 2 α = 1 |
|||||||||||||||
0 ° ≤ α ≤ 180°, α ≠ 90° | ||||||||||||||||
1 +tgα = cos2 α |
||||||||||||||||
0 ° < α < 180° | 1 + ctg 2 α = | |||||||||||||||
patt 2 α |
||||||||||||||||
Antud kolmnurk ABC,KOOS= 90°, Päike=3 ,AB= 2. Millega on võrdne |
||||||||||||||||
IN ? | B. 45 °. | IN. 60 °. | ||||||||||||||
A. 30 °. | ||||||||||||||||
G. Ilma arvutusvahenditeta on võimatu arvutada. |
||||||||||||||||
Antud kolmnurk | ABC , KOOS | Päike= 3, | IN= 60°. Mis on võrdne |
|||||||||||||
AB ? | ||||||||||||||||
A. 3 | B. 6. | 3 . |
||||||||||||||
Nende osapoolte sõnul täisnurkne kolmnurk leida |
||||||||||||||||
selle väiksema nurga koosinus: A= 3,b= 4,c | ||||||||||||||||
A. 0,8. | ||||||||||||||||
Milline antud väärtustest ei saa kalduda |
||||||||||||||||
nus teravnurga? | ||||||||||||||||
7 − 1 | 7 2 | |||||||||||||||
A. | ||||||||||||||||
5. Võrrelge siinuste summat teravad nurgad suvaline täisnurkne kolmnurk (tähistame sedaA) ühega.
< 1. B.A= 1.
> 1. G. Seda on võimatu võrrelda. Järjesta numbrid kasvavas järjekorras: A= sin 30°, b= cos 30°,
= tg 30°.
<
b<c.B.a<c<b Trigonomeetrilised funktsioonid Milliste teravnurkade korral on siinus väiksem kui koosinus? Kõigi jaoks. Väiksematele 45°. Suurtele 45°. G. Mitte kellelegi. Millega on cos võrdne? α, kui α on ristkülikukujulise kolmnurga teravnurk ruut ja pattα = 12
.
Puu varju pikkus on 15 m Päikesekiired moodustavad nurga 30° Maa pinnaga. Mis on ligikaudne kõrgus? puu? Valige kõige täpsem tulemus. B. 13 m. IN. 7 m. Mis on avaldise väärtus 1 −
x2
juures X= – 0,8? B. –0,6. G.≈ 1,34. Valemist a2
+b2
=4
väljendada b< 0 черезa. A.b=4
−a2
. B.b=a2
−4
. b= −a2
− 4
. b= −4
−a2
. Punkt A asub kolmandas kvartalis teljest 3 kaugusel X Ja distantsil 10
päritolust. Mis on koordinaadid? on mõtet A?
B.(−1; 3). IN.(−1; −3). G.(−3; −1). järgmised punktid kuulub ring x 2+
y 2 =
1? B.(0,5; 0,5). . G. 15.
Määrake punkti koordinaadidA, lamades raadiusega 1 ringil (vt joonist). (−1; 0).B.(1; 0). (0; − 1). G.(0; 1).A.IN.
( Ihästi)
PU nr 3 matemaatikaõpetaja
Tuaeva Z.S.
2015. aasta
Tunni teema: “Tasapinna paralleelsus”
Tunni tüüp: õppetund uue materjali õppimisel.
Esmane eesmärk:
Tutvustage paralleelsete tasandite mõistet.
Tõesta märk, et kaks tasapinda on paralleelsed.
Mõelge paralleelsete tasandite omadustele.
Ülesanded:
Hariduslik :
Arendada kahe tasandi paralleelsuse märgi ja paralleeltasandite uuritavate omaduste kasutamise oskust ülesannete lahendamisel.
Arendav :
Õpilaste ruumilise kujutlusvõime arendamine,
Õpilaste vaimse tegevuse arendamine.
Õpilaste loogilise, ratsionaalse, kriitilise, loova mõtlemise ja kognitiivsete võimete arendamine.
Hariduslik :
Täpsuse ja graafilise kirjaoskuse kasvatamine.
Uute haridustehnoloogiate kasutamine: probleemõppe tehnoloogia kasutamine.
Tunniplaan
II. Uue materjali uurimine interaktiivsel tahvlil mudeliga:Paralleeltasandite definitsioon.
Kahe tasandi paralleelsuse märk.
Paralleelsete tasandite omadused.
Vestlus õpilastega teemadel, milles õpetaja, luues süstemaatiliselt probleemsituatsioone ja korraldades õpilaste tegevust haridusprobleemide lahendamiseks, tagab nende iseseisva otsingutegevuse optimaalse kombinatsiooni valmis teaduslike järelduste assimilatsiooniga.
III. Oskuste ja vilumuste kujunemine
Õpilased lahendavad rakendusprobleemekahe tasandi paralleelsuse märk ja paralleelsete tasandite omadused. Iseseisev töö õpitu kontrollimiseks ja materjali esmase kinnistamise läbiviimiseks
IV. Kodutöö
Õpetaja kommentaarid kodutööde kohta
Tundide ajal:
1. Tunni teema ja eesmärgi väljaütlemine. Tunniplaani sõnum.
2. Teadmiste uuendamise etapp.
Küsimused õpilastele:
1. Milliseid sirgeid ruumis nimetatakse paralleelseteks?
(Kahte ruumijoont nimetatakse paralleelseks, kui need asuvad samal tasapinnal ja neil pole ühiseid punkte)
2. Sõnasta sirge ja tasandi paralleelsuse definitsioon?
(Sirget ja tasapinda nimetatakse paralleelseks, kui neil pole ühiseid punkte)
3. Sõnasta stereomeetria kolmas aksioom?
(Kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis on neil ühine sirge, millel asuvad kõik nende tasandite ühised punktid)
4. Kuidas saab ruumis paikneda kaks tasapinda?
(Kaks tasapinda kas lõikuvad sirgjooneliselt (joonis 1, a) või ei lõiku (joonis 1, b))
Joon.1, a Joon.1, b
3. Uue materjali õppimine.
1. Haridusprobleem : anda paralleeltasandite definitsioon.
Õpetamise olukord :
Küsimused õpilastele:
1. Mitu ühispunkti on kahel mitteühendatud tasapinnal?
(Pole ühtki ühist punkti)
2. Kuidas nimetatakse tasapindu, millel pole ühte ühist punkti?
(Paralleeltasandid)
3. Sõnasta paralleeltasandite definitsioon, võttes arvesse nende ühispunktide arvu?
Kaht tasapinda nimetatakse paralleelseks, kui neil pole ühiseid punkte.
4. Märkige klassiruumi objektidel paralleeltasandite mudelid?
(Büroo põrand ja lagi, kaks vastasseina, laua pind ja põranda tasapind)
2. Haridusprobleem : sõnastada ja tõestada kahe tasandi paralleelsuse märk.
Õpetamise olukord :
Õpilased on varustatud rööptahuka mudeliga.
Küsimused õpilastele:
1. Mis on tasapindade suhteline asend? Ja ?
(lennukid Ja paralleelselt)
2. Nimetage suvalised kaks ristuvat sirget tasapinda
(sirge AB, sirge BC)
3. Nimeta sirged tasapinnad , paralleelsed sirgjoontegaAB Ja Päike ?
(
║
║
4. Mis on sirge suhteline asendAB ja lennukid ? Põhjenda oma vastust.
(AB║
põhineb sirge ja tasandi paralleelsusel: kui sirge ei asu antud tasapinnal (
), paralleelne mõne sellel tasapinnal asuva sirgega (
║
Kui õpilastel on raske oma vastust põhjendada, siis juhtige nende tähelepanu sirge ja tasandi paralleelsuse märgile.
5. Mis on joone suhteline asukohtPäike ja lennukid ? Põhjenda oma vastust.
(VS║
põhineb sirge ja tasandi paralleelsusel: kui sirge ei asu antud tasapinnal(
), paralleelne mõne sellel tasapinnal asuva sirgega (
║
), siis on see tasapinnaga paralleelne)
6. Oletame, et lennukid Ja mitte paralleelne. Kuidas nad siis paiknevad?
(tasapinnad lõikuvad mööda mingit sirget c)
7. Kuidas sel juhul sirgjooned asetsevad?AB JaKoos ?
(Koos
║AB vastavalt varale
), paralleelselt teise tasapinnaga (AB║
║АВ))
8. Kuidas sel juhul sirgjooned asetsevad?Päike JaKoos ?
(Koos
║ВС, vastavalt varale : kui tasapind läbib antud sirget (
), paralleelselt teise tasapinnaga (BC║
) ja lõikub selle tasapinnaga (
), siis on tasandite lõikejoon paralleelne selle sirgjoonega (koos
║VS))
9. Mitu sirget on sirgega paralleelsed?Koos , läbib punktiIN ?
(Kaks sirget: sirge AB, sirge BC)
10. Kas see on võimalik?
(See pole võimalik, kuna paralleelsete sirgete teoreemi järgi: läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei asu antud sirgel, läbib antud sirgega paralleelne sirge ja ainult üks)
11. Millise järelduse saab teha? Kas meie oletus on õige?
(Meie oletus ei ole õige, tuleb seda tunnistada ║)
12. Mitu sirget on tasapinnas vaja lennukisse Ja kas need olid paralleelsed?
(kaks sirget)
13. Millised peaksid need sirged olema?
(kattuv)
14. Mitme sirgega peavad need olema tasapinnaga paralleelsed? ?
(kaks)
15. Sõnasta kahe tasandi paralleelsuse märk, võttes arvesse ühe tasandi sirgete arvu, mis on paralleelsed teise tasandi sirgetega?
Õpilaste järelduse tulemus:
Kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandi kahe sirgega, siis on need tasapinnad paralleelsed.
3. Haridusprobleem : sõnastada ja tõestada paralleelsete tasandite omadusi.
Õpetamise olukord :
Küsimused õpilastele:
Ja ?
(tasandid on paralleelsed)
lennukite suhtes Ja ?
(lennuk ristub tasapindadega Ja )
3. Mida saab öelda tasandite lõikejoonte kohta?
(tasapindade lõikejooned on üksteisega paralleelsed)
4. Põhjendage oma vastust paralleelsete joonte definitsiooniga ruumis.
(sirged a ja b asuvad samal tasapinnal ja ei lõiku, sest kui sirged lõikuvad, siis tasapinnad Ja neil oleks ühine punkt, mis on võimatu, kuna need tasapinnad on paralleelsed)
5. Sõnasta paralleelsete tasandite esimene omadus, võttes arvesse lõikejoonte suhtelisi asukohtiA Ja V ?
Õpilaste järelduse tulemus:
Kui kahte paralleelset tasandit lõikab kolmas, siis on nende lõikejooned paralleelsed.
Õpetamise olukord :
Õpilastele esitatakse paralleelsete tasandite mudel, mida lõikab kolmas tasapind.
Küsimused õpilastele:
1. Mis on tasapindade suhteline asend? Ja ?
(tasandid on paralleelsed)
2. Kuidas lennuk on paigutatud lennukite suhtes Ja ?
(lennuk ristub tasapindadega Ja )
3. Mida saab öelda segmentide kohtaAB Ja KOOS D ?
(segmendid AB ja KOOS D üksteisega paralleelselt)
4. Mida saab öelda segmentide kohtaAC Ja IN D ?
(segmendid AC ja IN D üksteisega paralleelsed vastavalt omadusele 1 )
5. Kuidas nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed?
(paralleelogramm)
6. Milliseid rööpküliku omadusi sa tead?
Rööpkülikul on vastasküljed ja nurgad võrdsed
Rööpküliku diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks
7. Mida saab öelda segmentide kohtaAB Ja KOOS D kasutades rööpküliku esimest omadust?
(segmendid AB ja KOOS D üksteisega võrdsed)
8. Esitage paralleelsete tasandite teine omadus, kasutades lõikude võrdsustAB Ja KOOS D ?
Õpilaste järelduse tulemus:
Paralleelsete tasandite vahele jäävate paralleeljoonte lõigud on võrdsed.
4. Oskuste ja vilumuste kujunemine.
Probleemi lahendamine
Ülesanne nr 1. (Nr 54) (Kahe tasapinna paralleelsuse märgi harjutamiseks)
Antud :
Tõesta :
║
Otsi :
Tõestus:
1.
- keskmine joon
MN
║
A.C.
.
2.
N.P.
- keskmine joon
N.P.
║
CD
.
MN
║
A.C.
(
MNP
)║(
ADC
)
paralleelsuse alusel 2 pl.
N.P. ║ CD
4.
sarnased
kolmnurkade sarnasuse kolmanda kriteeriumi järgi (kui ühe kolmnurga kolm külge on võrdelised teise kolmnurga kolme küljega, siis on sellised kolmnurgad sarnased)
(kuna kahe sarnase kolmnurga pindalade suhe on võrdne sarnasuskoefitsiendi ruuduga)
Vastus :
.
Ülesanne nr 2. (Nr 63(a)) (Rööptasandite 1 omaduse harjutamiseks)
Arvestades:
║
Leia:
Lahendus:
1. Tõestame seda
║
.
Sest
║(tingimuse järgi)
║
.(1 paralleelsete tasandite omadus)
2. Tõestame seda
sarnased
.
, mis vastab
║
.ja sekant
, mis vastab
║
.ja sekant
Tähendab,
sarnased
2 nurgas.
3. Leiame
.
Tingimuste järgi
4. Leiame
.
Teeme proportsiooni:
Vastus :
Ülesanne nr 3. (Nr 65) (Rööptasandite 2 omaduse harjutamiseks)
Antud :
║
║
║
Defineeri :
nelinurkade tüüp
Tõesta:
Lahendus:
1. Vaatleme nelinurka
.
║
(tingimuse järgi)
=
nelinurkne
2. Vaatleme nelinurka
.
║
(tingimuse järgi)
=
(paralleelsete tasandite vahel olevate paralleelsete joonte lõikudena, omadus 2)
nelinurkne
on rööpkülik (vastavalt 1 rööpküliku kriteeriumile: kui nelinurga kaks külge on võrdsed ja paralleelsed, siis see nelinurk on rööpkülik)
3. Vaatleme nelinurka
.
║
(tingimuse järgi)
=
(paralleelsete tasandite vahel olevate paralleelsete joonte lõikudena, omadus 2)
nelinurkne
lõikab kolmnurgast ära antud kolmnurga. : ║ Kodutöö.
§ 10 (p 10-11) lk (20-21)
nr 53, nr 63(b).
Õpik: L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, L. S. Kiseleva, E. G. Poznyak. Geomeetria 10, 11. Moskva“ Haridus ” , 2002.
6. Tunni kokkuvõte.
Täna tunnis tutvustasime paralleelsete tasandite mõistet, tõestasime iseseisvalt kahe tasandi paralleelsuse märki ja uurisime paralleelsete tasandite omadusi. Õppisime lahendama tõestusülesandeid kasutades kahe tasandi paralleelsuse märki ning rakendama paralleeltasandite uuritud omadusi ülesannete lahendamisel.
- Palved hooruse vastu Kellele perekonnas hooruse vastu palvetada
- Kirjandusõhtu "Marina Ivanovna Tsvejeva elu ja looming" Tsvetajevale pühendatud kirjandusõhtu raamatukogus
- Kehtetuks tunnistatud tegevuslubadega kindlustusseltsid Kas kindlustusseltsil on tegevusluba?
- Hai või krokodilli hambast valmistatud amuleti jõud Millest on valmistatud kihva ripats?