Rööptahuka mõisted. Põhiomadused ja valemid
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni valitsusasutuste avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Selles õppetükis saavad kõik uurida teemat " Ristkülikukujuline rööptahukas" Tunni alguses kordame üle, mis on suvalised ja sirged rööptahukad, pidage meeles nende vastaskülgede ja rööptahuka diagonaalide omadusi. Seejärel vaatame, mis on risttahukas, ja arutame selle põhiomadusi.
Teema: Sirgete ja tasandite risti
Õppetund: risttahukas
Pinda, mis koosneb kahest võrdsest rööpkülikust ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 ning neljast rööpkülikust ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 nimetatakse rööptahukas(Joonis 1).
Riis. 1 Parallelepiped
See tähendab: meil on kaks võrdset rööpkülikut ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 (alused), need asuvad paralleelsetes tasapindades nii, et külgservad AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 on paralleelsed. Seega nimetatakse rööpkülikutest koosnevat pinda rööptahukas.
Seega on rööptahuka pind kõigi rööptahuku moodustavate rööptahukate summa.
1. Rööptahuka vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed.
(kujud on võrdsed, st neid saab kattudes kombineerida)
Näiteks:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (määratluse järgi võrdsed rööpkülikud),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (kuna AA 1 B 1 B ja DD 1 C 1 C on rööptahuka vastasküljed),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (kuna AA 1 D 1 D ja BB 1 C 1 C on rööptahuka vastasküljed).
2. Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja on selle punktiga poolitatud.
Rööptahuka diagonaalid AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B lõikuvad ühes punktis O ja iga diagonaal jagatakse selle punktiga pooleks (joonis 2).
Riis. 2 Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ja jagatakse lõikepunktiga pooleks.
3. Rööptahukas on kolm võrdsete ja paralleelsete servade neljakordset: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Definitsioon. Rööptahukat nimetatakse sirgeks, kui selle külgmised servad on alustega risti.
Külgserv AA 1 olgu aluse suhtes risti (joonis 3). See tähendab, et sirge AA 1 on risti sirgetega AD ja AB, mis asuvad aluse tasapinnal. See tähendab, et külgpinnad sisaldavad ristkülikuid. Ja alused sisaldavad suvalisi rööpkülikuid. Tähistame ∠BAD = φ, nurk φ võib olla mis tahes.
Riis. 3 Parempoolne rööptahukas
Niisiis, parempoolne rööptahukas on rööptahukas, mille külgmised servad on rööptahuka põhjaga risti.
Definitsioon. Rööptahukat nimetatakse ristkülikukujuliseks, kui selle külgmised servad on alusega risti. Alused on ristkülikud.
Rööptahukas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on ristkülikukujuline (joonis 4), kui:
1. AA 1 ⊥ ABCD (aluse tasapinnaga risti asetsev külgserv ehk sirge rööptahukas).
2. ∠BAD = 90°, st alus on ristkülik.
Riis. 4 Ristkülikukujuline rööptahukas
Ristkülikukujulisel rööptahukal on kõik suvalise rööptahuka omadused. Kuid on ka täiendavaid omadusi, mis on tuletatud risttahuka definitsioonist.
Niisiis, risttahukas on rööptahukas, mille külgservad on põhjaga risti. Risttahuka alus on ristkülik.
1. Ristkülikukujulise rööptahuka puhul on kõik kuus tahku ristkülikud.
ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 on definitsiooni järgi ristkülikud.
2. Külgmised ribid on aluse suhtes risti. See tähendab, et ristkülikukujulise rööptahuka kõik külgpinnad on ristkülikud.
3. Kõik ristkülikukujulise rööptahuka kahetahulised nurgad on õiged.
Vaatleme näiteks ristkülikukujulise rööptahuka servaga AB kahetahulist nurka, st tasandite ABC 1 ja ABC vahelist kahetahulist nurka.
AB on serv, punkt A 1 asub ühel tasapinnal - tasapinnal ABB 1 ja punkt D teisel - tasapinnal A 1 B 1 C 1 D 1. Siis võib vaadeldava kahetahulise nurga tähistada ka järgmiselt: ∠A 1 ABD.
Võtame punkti A serval AB. AA 1 on risti servaga AB tasapinnal АВВ-1, AD on risti servaga AB tasapinnal ABC. See tähendab, et ∠A 1 AD on antud kahetahulise nurga lineaarnurk. ∠A 1 AD = 90°, mis tähendab, et kahetahuline nurk serval AB on 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Samamoodi on tõestatud, et ristkülikukujulise rööptahuka kõik kahetahulised nurgad on õiged.
Ristkülikukujulise rööptahuka diagonaali ruut on võrdne selle kolme mõõtme ruutude summaga.
Märge. Ruudukujulise ühest tipust lähtuva kolme serva pikkused on risttahuka mõõtmed. Neid nimetatakse mõnikord pikkuseks, laiuseks, kõrguseks.
Antud: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ristkülikukujuline rööptahukas (joon. 5).
Tõesta: .
Riis. 5 Ristkülikukujuline rööptahukas
Tõestus:
Sirge CC 1 on risti tasapinnaga ABC ja seega sirgjoonega AC. See tähendab, et kolmnurk CC 1 A on täisnurkne. Pythagorase teoreemi järgi:
Vaatleme täisnurkset kolmnurka ABC. Pythagorase teoreemi järgi:
Kuid BC ja AD on ristküliku vastasküljed. Nii et eKr = AD. Seejärel:
Sest , A
, See. Kuna CC 1 = AA 1, tuli see tõestada.
Ristkülikukujulise rööptahuka diagonaalid on võrdsed.
Tähistame rööptahuka ABC mõõtmed a, b, c (vt joonis 6), siis AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Geomeetrias eristatakse järgmisi rööptahukaid: ristkülikukujuline rööptahukas (rööptahu tahud on ristkülikud); parempoolne rööptahukas (selle külgpinnad toimivad ristkülikuna); kaldus rööptahukas (selle külgpinnad toimivad risti); kuup on absoluutselt identsete mõõtmetega rööptahukas ja kuubiku küljed on ruudud. Rööptorud võivad olla kas kaldu või sirged.
Rööptahuka põhielemendid on kujutatava kaks tahku geomeetriline kujund, millel pole ühist serva, on vastas ja need, millel on, on kõrvuti. Rööptahuka tipud, mis ei kuulu samasse tahku, toimivad üksteisele vastandlikult. Rööptahukal on mõõde – need on kolm serva, millel on ühine tipp.
Lõike, mis ühendab vastandlikke tippe, nimetatakse diagonaaliks. Rööptahuka neli diagonaali, mis ristuvad ühes punktis, jagatakse samaaegselt pooleks.
Rööptahuka diagonaali määramiseks tuleb määrata küljed ja servad, mis on ülesande tingimustest teada. Kolme teadaoleva ribiga A , IN , KOOS tõmmake rööptahukasse diagonaal. Vastavalt rööptahuka omadusele, mis ütleb, et kõik selle nurgad on õiged, määratakse diagonaal. Koostage rööptahuka ühest tahust diagonaal. Diagonaalid tuleb tõmmata nii, et näo diagonaal, rööptahuka soovitud diagonaal ja teadaolev serv moodustaksid kolmnurga. Pärast kolmnurga moodustamist leidke selle diagonaali pikkus. Teise tulemuseks oleva kolmnurga diagonaal toimib hüpotenuusina, nii et selle saab leida Pythagorase teoreemi abil, mis tuleb võtta ruutjuure all. Nii saame teada teise diagonaali väärtuse. Moodustatud täisnurkses kolmnurgas rööptahuka esimese diagonaali leidmiseks on vaja leida ka tundmatu hüpotenuus (kasutades Pythagorase teoreemi). Kasutades sama näidet, leidke järjestikku ülejäänud kolm rööptahukas eksisteerivat diagonaali, tehes täiendavaid diagonaalide konstruktsioone, mis moodustavad täisnurksed kolmnurgad ja lahendage Pythagorase teoreemi abil.
Ristkülikukujuline rööptahukas (PP) pole midagi muud kui prisma, mille alus on ristkülik. PP puhul on kõik diagonaalid võrdsed, mis tähendab, et mis tahes selle diagonaalid arvutatakse järgmise valemi abil:
a, c - PP aluse küljed;
c on selle kõrgus.
Teise määratluse saab anda, võttes arvesse Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi:
PP diagonaal on mis tahes ruumipunkti raadiuse vektor, mis on määratud x, y ja z koordinaatidega Descartes'i koordinaatsüsteemis. See punkti raadiuse vektor tõmmatakse lähtepunktist. Ja punkti koordinaadid on raadiusvektori projektsioonid (PP diagonaalid) koordinaatide telgedele. Projektsioonid langevad kokku selle rööptahuka tippudega.
Parallelepiped ja selle liigid
Kui tõlgime selle nime sõna otseses mõttes vanakreeka keelest, selgub, et see on kujund, mis koosneb paralleelsed tasapinnad. Rööptahukale on olemas järgmised samaväärsed määratlused:
- rööpkülikukujulise alusega prisma;
- hulktahukas, mille iga tahk on rööpkülik.
Selle tüüpe eristatakse sõltuvalt sellest, milline figuur asub selle aluses ja kuidas külgmised ribid on suunatud. Üldiselt räägime sellest kaldu rööptahukas, mille põhi ja kõik tahud on rööpkülikukujulised. Kui eelmise vaate külgpinnad muutuvad ristkülikuteks, tuleb see välja kutsuda otsene. Ja ristkülikukujuline ja alusel on ka 90º nurgad.
Veelgi enam, geomeetrias püütakse viimast kujutada nii, et oleks märgata, et kõik servad on paralleelsed. Siin on muide peamine erinevus matemaatikute ja kunstnike vahel. Viimaste jaoks on oluline keha edasi anda vastavalt perspektiiviseadusele. Ja sel juhul on ribide paralleelsus täiesti nähtamatu.
Kasutusele võetud tähistuste kohta
Allolevates valemites kehtivad tabelis näidatud märgid.
Kaldu rööptahuka valemid
Esimene ja teine valdkondade jaoks:
Kolmas on rööptahuka ruumala arvutamine:
Kuna alus on rööpkülik, peate selle pindala arvutamiseks kasutama sobivaid avaldisi.
Ristkülikukujulise rööptahuka valemid
Sarnaselt esimese punktiga - alade jaoks kaks valemit:
Ja veel üks helitugevuse jaoks:
Esimene ülesanne
Seisund. Antud on ristkülikukujuline rööptahukas, mille maht on vaja leida. Teada on diagonaal - 18 cm - ja asjaolu, et see moodustab külgpinna ja külgserva tasapinnaga vastavalt 30 ja 45 kraadised nurgad.
Lahendus. Probleemiküsimusele vastamiseks peate teadma kolme täisnurkse kolmnurga kõiki külgi. Need annavad servadele vajalikud väärtused, mille järgi peate helitugevust arvutama.
Kõigepealt peate välja selgitama, kus on 30º nurk. Selleks tuleb tõmmata külgpinna diagonaal samast tipust, kust rööpküliku põhidiagonaal tõmmati. Nende vaheline nurk on vajalik.
Esimene kolmnurk, mis annab ühe aluse külgede väärtustest, on järgmine. See sisaldab vajalikku külge ja kahte tõmmatud diagonaali. See on ristkülikukujuline. Nüüd peate kasutama vastasjala (aluse külg) ja hüpotenuusi (diagonaal) suhet. See võrdub siinusega 30º. See tähendab, et aluse tundmatu külg määratakse diagonaalina, mis on korrutatud siinuse 30º või ½-ga. Olgu see tähistatud tähega "a".
Teine on kolmnurk, mis sisaldab teadaolevat diagonaali ja serva, millega see moodustab 45º. See on ka ristkülikukujuline ja saate jälle kasutada jala ja hüpotenuusi suhet. Teisisõnu, külgserv diagonaaliks. See võrdub 45º koosinusega. See tähendab, et “c” arvutatakse diagonaali ja 45º koosinuse korrutisena.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
Samas kolmnurgas peate leidma teise jala. See on vajalik kolmanda tundmatu - “in” arvutamiseks. Olgu see tähistatud tähega “x”. Seda saab hõlpsasti arvutada Pythagorase teoreemi abil:
x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).
Nüüd peame kaaluma teist täisnurkset kolmnurka. See sisaldab juba teadaolevaid külgi "c", "x" ja loendamist vajavat külge "b":
in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).
Kõik kolm kogust on teada. Saate kasutada mahu valemit ja arvutada see:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).
Vastus: rööptahuka ruumala on 729√2 cm 3.
Teine ülesanne
Seisund. Peate leidma rööptahuka helitugevuse. Selles on teadaolevalt põhjas asuva rööpküliku küljed 3 ja 6 cm, samuti selle teravnurk - 45º. Külgribi kalle põhja suhtes on 30º ja on võrdne 4 cm.
Lahendus.Ülesande küsimusele vastamiseks peate võtma valemi, mis on kirjutatud kaldsuunalise rööptahuka ruumala jaoks. Kuid mõlemad kogused on selles tundmatud.
Aluse, see tähendab rööpküliku pindala, määratakse valemiga, milles peate korrutama teadaolevad küljed ja nendevahelise teravnurga siinus.
S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).
Teine teadmata suurus on kõrgus. Seda saab joonistada ükskõik millisest neljast aluse kohal olevast tipust. Selle võib leida täisnurksest kolmnurgast, mille kõrgus on jalg ja külgserv on hüpotenuus. Sel juhul on teadmata kõrguse vastas 30º nurk. See tähendab, et saame kasutada jala ja hüpotenuusi suhet.
n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.
Nüüd on kõik väärtused teada ja mahu saab arvutada:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).
Vastus: maht on 18 √2 cm 3.
Kolmas ülesanne
Seisund. Leidke rööptahuka ruumala, kui on teada, et see on sirge. Selle aluse küljed moodustavad rööpküliku ja on 2 ja 3 cm. Terav nurk nende vahel on 60º. Rööptahuka väiksem diagonaal on võrdne aluse suurema diagonaaliga.
Lahendus. Rööptahuka ruumala väljaselgitamiseks kasutame valemit aluse pindala ja kõrgusega. Mõlemad suurused on teadmata, kuid neid on lihtne arvutada. Esimene on kõrgus.
Kuna rööptahuka väiksem diagonaal langeb suuruselt kokku suurema põhjaga, saab neid tähistada sama tähega d. Rööpküliku suurim nurk on 120º, kuna see moodustab terava nurgaga 180º. Olgu aluse teine diagonaal tähistatud tähega “x”. Nüüd saame aluse kahe diagonaali jaoks kirjutada koosinusteoreemid:
d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.
Pole mõtet leida väärtusi ilma ruutudeta, kuna hiljem tõstetakse need uuesti teise astmeni. Pärast andmete asendamist saame:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Nüüd osutub kõrgus, mis on ka rööptahuka külgserv, kolmnurgas olevaks jalaks. Hüpotenuus on keha teadaolev diagonaal ja teine jalg on "x". Võime kirjutada Pythagorase teoreemi:
n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.
Seega: n = √12 = 2√3 (cm).
Nüüd on teine tundmatu suurus aluse pindala. Seda saab arvutada teises ülesandes mainitud valemi abil.
S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).
Kombineerides kõik mahu valemisse, saame:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Vastus: V = 18 cm 3.
Neljas ülesanne
Seisund. On vaja välja selgitada rööptahuka maht, mis vastab järgmistele tingimustele: alus on ruut, mille külg on 5 cm; külgpinnad on rombid; üks aluse kohal asuvatest tippudest on võrdsel kaugusel kõigist põhjas asuvatest tippudest.
Lahendus. Kõigepealt peate olukorraga tegelema. Esimese punktiga väljaku kohta küsimusi ei teki. Teine, rombide kohta, teeb selgeks, et rööptahukas on kaldu. Pealegi on kõik selle servad 5 cm, kuna rombi küljed on samad. Ja kolmandast saab selgeks, et sellest tõmmatud kolm diagonaali on võrdsed. Need on kaks, mis asuvad külgpindadel ja viimane on rööptahuka sees. Ja need diagonaalid on servaga võrdsed, see tähendab, et nende pikkus on ka 5 cm.
Helitugevuse määramiseks vajate valemit, mis on kirjutatud kaldus rööptahuka jaoks. Selles pole jällegi teadaolevaid koguseid. Aluse pindala on aga lihtne arvutada, kuna see on ruut.
S o = 5 2 = 25 (cm 2).
Kõrgusega on olukord veidi keerulisem. See saab olema selline kolmel joonisel: rööptahukas, nelinurkne püramiid ja võrdhaarne kolmnurk. Seda viimast asjaolu tuleks ära kasutada.
Kuna see on kõrgus, on see täisnurkse kolmnurga jalg. Selles olev hüpotenuus on teadaolev serv ja teine jalg on võrdne poole ruudu diagonaaliga (kõrgus on ka mediaan). Ja aluse diagonaali on lihtne leida:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (cm).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).
Vastus: 62,5 √2 (cm 3).
Juhised
Meetod 2. Oletame, et ristkülikukujuline rööptahukas on kuup. Kuup on ristkülikukujuline rööptahukas, iga tahku tähistab ruut. Seetõttu on selle kõik küljed võrdsed. Seejärel väljendatakse selle diagonaali pikkuse arvutamiseks järgmiselt:
Allikad:
- ristküliku diagonaalvalem
Parallelelepped - erijuhtum prisma, mille kõik kuus tahku on rööpkülikud või ristkülikud. Ristkülikukujuliste tahkudega rööptahukat nimetatakse ka ristkülikukujuliseks. Rööptahukal on neli ristuvat diagonaali. Kui on antud kolm serva a, b, c, leiad lisakonstruktsioonide sooritamise teel ristkülikukujulise rööptahuka kõik diagonaalid.
Juhised
Leia rööptahuka diagonaal m. Selleks leidke tundmatu hüpotenuus punktides a, n, m: m² = n² + a². Ühendage teadaolevad väärtused ja arvutage ruutjuur. Saadud tulemuseks on rööptahuka m esimene diagonaal.
Samamoodi tõmmake järjestikku rööptahuka kõik ülejäänud kolm diagonaali. Samuti tehke igaühe jaoks külgnevate tahkude diagonaalide täiendav konstruktsioon. Arvestades moodustatud täisnurkseid kolmnurki ja rakendades Pythagorase teoreemi, leidke ülejäänud diagonaalide väärtused.
Video teemal
Allikad:
- rööptahuka leidmine
Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg. Jalad on kolmnurga küljed, mis külgnevad täisnurgaga. Seoses kolmnurkadega ABC ja ACD: AB ja BC, AD ja DC–, AC on mõlema kolmnurga ühine hüpotenuus (soovitav diagonaal). Seetõttu AC = ruut AB + ruut BC või AC b = ruut AD + ruut DC. Asendage küljepikkused ristkülikülaltoodud valemisse ja arvutage hüpotenuusi pikkus (diagonaal ristkülik).
Näiteks küljed ristkülik ABCD on võrdsed järgmiste väärtustega: AB = 5 cm ja BC = 7 cm. Antud diagonaali AC ruut ristkülik Pythagorase teoreemi järgi: AC ruut = ruut AB + ruut BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 sq.cm. Kasutage väärtuse arvutamiseks kalkulaatorit ruutjuur 74. Sa peaksid saama 8,6 cm (ümardatud väärtus). Pange tähele, et vastavalt ühele omadustest ristkülik, on selle diagonaalid võrdsed. Seega teise diagonaali BD pikkus ristkülik ABCD on võrdne diagonaali AC pikkusega. Ülaltoodud näite puhul see väärtus