Kuidas konstrueerida sellele vastupidine graafik. Pöördfunktsioon
Tunni eesmärgid:
Hariduslik:
- teadmisi edasi ehitada uus teema vastavalt programmi materjalile;
- uurida funktsiooni pöörduvuse omadust ja õpetada, kuidas leida antud funktsiooni pöördfunktsiooni;
Arenguline:
- arendada enesekontrollioskust, sisulist kõnet;
- valdama pöördfunktsiooni mõistet ja õppima meetodeid pöördfunktsiooni leidmiseks;
Hariduslik: arendada suhtlemisoskust.
Varustus: arvuti, projektor, ekraan, interaktiivne tahvel SMART Board, jaotusmaterjalid ( iseseisev töö) rühmatöö jaoks.
Tundide ajal.
1. Organisatsioonimoment.
Sihtmärk – õpilaste ettevalmistamine tunnis tööks:
Puudujate määratlus,
Õpilaste töötuju tekitamine, tähelepanu organiseerimine;
Märkige tunni teema ja eesmärk.
2. Õpilaste algteadmiste uuendamine. Frontaalne uuring.
Sihtmärk - tuvastada uuritud teoreetilise materjali õigsus ja teadlikkus, käsitletud materjali kordamine.<Приложение 1 >
Interaktiivsel tahvlil kuvatakse õpilaste jaoks funktsiooni graafik. Õpetaja sõnastab ülesande – vaatleme funktsiooni graafikut ja loetleb funktsiooni uuritud omadused. Õpilased loetlevad funktsiooni omadused vastavalt uurimistöö kavandile. Funktsiooni graafikust paremal olev õpetaja kirjutab interaktiivsele tahvlile markeriga üles nimetatud omadused.
Funktsiooni omadused:
Õppetöö lõpus teatab õpetaja, et tänases tunnis tutvutakse funktsiooni teise omadusega - pöörduvusega. Uue materjali sisukaks õppimiseks kutsub õpetaja lapsi tutvuma peamiste küsimustega, millele õpilased peavad tunni lõpus vastama. Küsimused on kirjutatud tavalisele tahvlile ja igal õpilasel on need jaotusmaterjalina (jagatakse enne tundi)
- Millist funktsiooni nimetatakse inverteeritavaks?
- Kas mõni funktsioon on ümberpööratav?
- Millist funktsiooni nimetatakse nullpunkti pöördväärtuseks?
- Kuidas on funktsiooni määratluspiirkond ja väärtuste hulk ning selle pöördvõrdeline seotud?
- Kui funktsioon on antud analüütiliselt, kuidas saab pöördfunktsiooni valemiga defineerida?
- Kui funktsioon on antud graafiliselt, siis kuidas selle pöördfunktsiooni graafiliselt kujutada?
3. Uue materjali selgitus.
Sihtmärk - genereerida teadmisi uuel teemal vastavalt programmi materjalile; uurida funktsiooni pöörduvuse omadust ja õpetada, kuidas leida antud funktsiooni pöördfunktsiooni; arendada sisulist kõnet.
Õpetaja esitab materjali vastavalt lõikes olevale materjalile. Interaktiivsel tahvlil võrdleb õpetaja kahe funktsiooni graafikuid, mille definitsioonipiirkonnad ja väärtushulgad on samad, kuid üks funktsioonidest on monotoonne ja teine mitte, tutvustades sellega õpilastele pööratava funktsiooni mõistet. .
Seejärel sõnastab õpetaja inverteeritava funktsiooni definitsiooni ja viib läbi pöördfunktsiooni teoreemi tõestuse, kasutades interaktiivsel tahvlil oleva monotoonse funktsiooni graafikut.
Definitsioon 1: kutsutakse välja funktsioon y=f(x), x X pööratav, kui see võtab mõne selle väärtustest ainult komplekti X ühes punktis.
Teoreem: Kui funktsioon y=f(x) on hulgal X monotoonne, siis on see inverteeritav.
Tõestus:
- Laske funktsioonil y=f(x) võrra suureneb X lase sel minna x 1 ≠ x 2- komplekti kaks punkti X.
- Täpsemalt, las x 1<
x 2.
Siis sellest, et x 1< x 2 järgib seda f(x 1) < f(x 2). - Seega vastavad argumendi erinevad väärtused funktsiooni erinevatele väärtustele, st. funktsioon on inverteeritav.
(Teoreemi tõestamise edenedes teeb õpetaja markeri abil joonisele kõik vajalikud selgitused)
Enne pöördfunktsiooni definitsiooni sõnastamist palub õpetaja õpilastel kindlaks teha, milline pakutud funktsioonidest on inverteeritav? Interaktiivne tahvel näitab funktsioonide graafikuid ja kirjutab mitu analüütiliselt määratletud funktsiooni:
B)
G) y = 2x + 5
D) y = -x 2 + 7
Õpetaja tutvustab pöördfunktsiooni definitsiooni.
Definitsioon 2: Laske pööratav funktsioon y=f(x) komplektis määratletud X Ja E(f)=Y. Panime igaüks kokku y alates Y See üks tähendus X, mille juures f(x)=y. Seejärel saame funktsiooni, mis on defineeritud Y, A X- funktsioonide vahemik
See funktsioon on määratud x=f -1 (y) ja seda nimetatakse funktsiooni pöördväärtuseks y=f(x).
Õpilastel palutakse teha järeldus definitsioonivaldkonna ja pöördfunktsioonide väärtuste kogumi vahelise seose kohta.
Et kaaluda küsimust, kuidas leida antud funktsiooni pöördväärtust, meelitas õpetaja kaks õpilast. Päev varem said lapsed õpetajalt ülesande iseseisvalt analüüsida antud funktsiooni pöördfunktsiooni leidmise analüütilisi ja graafilisi meetodeid. Õpetaja tegutses õpilaste tunniks ettevalmistamisel konsultandina.
Sõnum esimeselt õpilaselt.
Märkus: funktsiooni monotoonsus on piisav pöördfunktsiooni olemasolu tingimus. Kuid see ei ole vajalik tingimus.
Õpilane tõi näiteid erinevatest olukordadest, mil funktsioon ei ole monotoonne, vaid pööratav, kui funktsioon ei ole monotoonne ega pööratav, millal on monotoonne ja pööratav.
Seejärel tutvustab õpilane õpilastele meetodit analüütiliselt antud pöördfunktsiooni leidmiseks.
Algoritmi leidmine
- Veenduge, et funktsioon oleks monotoonne.
- Väljendage muutuja x y-ga.
- Nimeta muutujad ümber. X=f -1 (y) asemel kirjutage y=f -1 (x)
Seejärel lahendab ta kaks näidet, et leida antud ühe pöördfunktsioon.
Näide 1: Näidake, et funktsiooni y=5x-3 jaoks on olemas pöördfunktsioon ja leidke selle analüütiline avaldis.
Lahendus. Lineaarfunktsioon y=5x-3 on defineeritud väärtusel R, suureneb R-ga ja selle väärtuste vahemik on R. See tähendab, et pöördfunktsioon on R-l olemas. Selle analüütilise avaldise leidmiseks lahendage võrrand y=5x- 3 x jaoks; saame See on nõutav pöördfunktsioon. See on määratletud ja suureneb R-ga.
Näide 2: Näidake, et funktsiooni y=x 2, x≤0 jaoks on olemas pöördfunktsioon, ja leidke selle analüütiline avaldis.
Funktsioon on pidev, oma määratlusvaldkonnas monotoonne, seega on see ümberpööratav. Olles analüüsinud funktsiooni definitsioonivaldkondi ja väärtuste komplekte, tehakse vastav järeldus pöördfunktsiooni analüütilise avaldise kohta.
Teine õpilane teeb ettekande teemal graafiline meetod pöördfunktsiooni leidmiseks. Oma selgitustöö käigus kasutab õpilane interaktiivse tahvli võimalusi.
Funktsiooni y=f -1 (x) graafiku saamiseks, mis on pöördvõrdeline funktsiooniga y=f(x), on vaja funktsiooni y=f(x) graafik sirgjoone suhtes sümmeetriliselt teisendada y=x.
Interaktiivsel tahvlil selgitamise ajal sooritatakse järgmine ülesanne:
Koostage funktsiooni graafik ja selle pöördfunktsiooni graafik samas koordinaatsüsteemis. Kirjutage üles pöördfunktsiooni analüütiline avaldis.
4. Uue materjali esmane konsolideerimine.
Sihtmärk - tuvastada õpitava materjali mõistmise õigsus ja teadlikkus, tuvastada lüngad materjali esmases arusaamises ja parandada need.
Õpilased jagatakse paaridesse. Neile antakse ülesannete lehed, milles nad teevad töid paaris. Töö valmimise aeg on piiratud (5-7 minutit). Üks õpilaspaar töötab arvutis, projektor lülitub sel ajal välja ja ülejäänud lapsed ei näe, kuidas õpilased arvutiga töötavad.
Aja lõpus (eeldatakse, et suurem osa õpilastest on töö lõpetanud) näidatakse õpilaste tööd interaktiivsel tahvlil (projektor lülitatakse uuesti sisse), kus kontrolli käigus tehakse kindlaks, kas ülesanne on täidetud. täideti õigesti paarides. Vajadusel teeb õpetaja parandus- ja selgitustööd.
Iseseisev töö paaristööna<2. lisa >
5. Tunni kokkuvõte. Seoses küsimustega, mida enne loengut esitati. Tunni hinnete väljakuulutamine.
Kodutöö §10. Nr 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)
Algebra ja analüüsi algus. Hinne 10 2 osas for õppeasutused(profiilitase) / A.G. Mordkovitš, L.O. Deništševa, T.A. Koreshkova jne; toimetanud A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007
Ärakiri
1 Vastastikku pöördfunktsioonid Kahte funktsiooni f ja g nimetatakse vastastikku pöördväärtusteks, kui valemid y=f(x) ja x=g(y) väljendavad muutujate x ja y vahel samasugust seost, s.t. kui võrdus y=f(x) on tõene siis ja ainult siis, kui võrdus x=g(y) on tõene: y=f(x) x=g(y) Kui kaks funktsiooni f ja g on vastastikku pöördvõrdelised, siis g nimetatakse f-i pöördfunktsiooniks ja vastupidi, f on g pöördfunktsiooniks. Näiteks y=10 x ja x=lgy on vastastikku pöördfunktsioonid. Vastastikuse pöördfunktsiooni olemasolu tingimus Funktsioonil f on pöördfunktsioon, kui seosest y=f(x) saab muutujat x üheselt väljendada y kaudu. On funktsioone, mille argumenti pole funktsiooni antud väärtuse kaudu võimalik üheselt väljendada. Näiteks: 1. y= x. Antud positiivse arvu y korral on argumendil x kaks väärtust, nii et x = y. Näiteks kui y=2, siis x=2 või x= - 2. See tähendab, et x-i on võimatu y kaudu üheselt väljendada. Seetõttu ei ole sellel funktsioonil pöördarvu. 2. y=x 2. x=, x= - 3. y=sinx. Antud väärtuse y (y 1) korral on x-il lõpmatult palju väärtusi, nii et y=sinx. Funktsioonil y=f(x) on pöördväärtus, kui iga sirge y=y 0 lõikub funktsiooni y=f(x) graafikuga mitte rohkem kui ühes punktis (see ei pruugi graafikuga üldse ristuda, kui y 0 seda teeb ei kuulu funktsiooni f) väärtuste vahemikku. Seda tingimust saab sõnastada erinevalt: iga y 0 võrrandil f(x)=y 0 on maksimaalselt üks lahend. Tingimus, et funktsioonil on pöördfunktsioon, on kindlasti täidetud, kui funktsioon on rangelt kasvav või rangelt kahanev. Kui f on rangelt kasvav, on see argumendi kahe erineva väärtuse jaoks vajalik erinevaid tähendusi, kuna suurem argumendi väärtus vastab suuremale funktsiooni väärtusele. Järelikult on võrrandil f(x)=y rangelt monotoonse funktsiooni jaoks maksimaalselt üks lahendus. Eksponentfunktsioon y=a x on rangelt monotoonne, seega on sellel pöördlogaritmiline funktsioon. Paljudel funktsioonidel pole pöördväärtusi. Kui mõne b korral on võrrandil f(x)=b rohkem kui üks lahend, siis funktsioonil y=f(x) pole pöördväärtust. Graafikul tähendab see, et sirge y=b lõikub funktsiooni graafikuga rohkem kui ühes punktis. Näiteks y=x2; y = sinx; y=tgx.
2 Võrrandi f(x) = b lahendi mitmetähenduslikkust saab lahendada funktsiooni f definitsioonipiirkonna vähendamisega nii, et selle väärtuste vahemik ei muutu, vaid nii, et see võtab iga väärtuse üks kord. Näiteks y=x 2, x 0; y = sinx, ; y=tgx,. Üldreegel funktsiooni pöördfunktsiooni leidmine: 1. lahendades x võrrandi, leiame; 2. Muutes muutuja x tähised y-ks ja y-ks x, saame antud pöördfunktsiooni. Vastastikuselt pöördfunktsioonide omadused Identiteedid Olgu f ja g vastastikku pöördfunktsioonid. See tähendab, et võrrandid y=f(x) ja x=g(y) on ekvivalentsed: f(g(y))=y ja g(f(x))=x. Näiteks 1. Olgu f eksponentsiaalfunktsioon ja g logaritmiline funktsioon. Saame: i. 2. Funktsioonid y=x2, x0 ja y= on vastastikku pöördväärtused. Meil on kaks identiteeti: ja x 0 jaoks. Määratluspiirkond Olgu f ja g vastastikku pöördfunktsioonid. Funktsiooni f domeen langeb kokku funktsiooni g domeeniga ja, vastupidi, funktsiooni f ala kattub funktsiooni g domeeniga. Näide. Eksponentfunktsiooni määratluspiirkond on kogu arvtelg R ja selle väärtuste vahemik on kõigi positiivsete arvude kogum. Logaritmilise funktsiooni puhul on see vastupidine: määratluspiirkond on kõigi positiivsete arvude hulk ja väärtuste vahemik on kogu R. Monotoonsus Kui üks vastastikku pöördfunktsioonidest on rangelt kasvav, siis teine kasvab rangelt. Tõestus. Olgu x 1 ja x 2 kaks arvu, mis asuvad funktsiooni g definitsioonipiirkonnas ja x 1 3 Vastastikku pöördfunktsioonide graafikud Teoreem. Olgu f ja g vastastikku pöördfunktsioonid. Funktsioonide y=f(x) ja x=g(y) graafikud on üksteise suhtes sümmeetrilised nurga how poolitaja suhtes. Tõestus. Vastastikuselt pöördfunktsioonide definitsiooni järgi väljendavad valemid y=f(x) ja x=g(y) muutujate x ja y vahel sama sõltuvust, mis tähendab, et seda sõltuvust kujutab mõne kõvera C sama graafik. Kõver C on graafiku funktsioon y=f(x). Võtame suvalise punkti P(a; b) C. See tähendab, et b=f(a) ja samal ajal a=g(b). Konstrueerime punktiga P sümmeetrilise punkti Q nurga xy poolitaja suhtes. Punktil Q on koordinaadid (b; a). Kuna a=g(b), siis punkt Q kuulub funktsiooni y=g(x) graafikusse: tõepoolest, x=b korral on y=a väärtus võrdne g(x). Seega kõik punktid, mis on kõvera C punktidega sümmeetrilised näidatud sirge suhtes, asuvad funktsiooni y=g(x) graafikul. Näited funktsioonidest, mille graafikud on vastastikku pöördvõrdelised: y=e x ja y=lnx; y = x 2 (x 0) ja y = ; y = 2x4 ja y = +2. 4 Pöördfunktsiooni tuletis Olgu f ja g vastastikku pöördfunktsioonid. Funktsioonide y=f(x) ja x=g(y) graafikud on üksteise suhtes sümmeetrilised nurga how poolitaja suhtes. Võtame punkti x=a ja arvutame selles punktis ühe funktsiooni väärtuse: f(a)=b. Seejärel pöördfunktsiooni definitsiooni järgi g(b)=a. Punktid (a; f(a))=(a; b) ja (b; g(b))=(b; a) on sirge l suhtes sümmeetrilised. Kuna kõverad on sümmeetrilised, on nende puutujad sirge l suhtes sümmeetrilised. Sümmeetria põhjal on ühe sirge nurk x-teljega võrdne teise sirge nurgaga y-teljega. Kui sirgjoon moodustab x-teljega nurga α, siis selle nurgakoefitsient on võrdne k 1 =tgα; siis teisel sirgel on nurgategur k 2 =tg(α)=ctgα=. Seega on sirge l suhtes sümmeetriliste joonte nurkkoefitsiendid vastastikku pöördvõrdelised, st. k 2 = või k 1 k 2 = 1. Liikudes edasi tuletistele ja võttes arvesse, et puutuja kalle on tuletise väärtus kokkupuutepunktis, järeldame: Vastastikku pöördfunktsioonide tuletiste väärtused vastavates punktides on vastastikku pöördväärtused, s.o Näide. 1. Tõesta, et funktsioon f(x) = x 3, pöörduv. Lahendus. y=f(x)=x 3. Pöördfunktsiooniks on funktsioon y=g(x)=. Leiame funktsiooni g tuletise:. Need. =. Ülesanne 1. Tõesta, et valemiga antud funktsioon on ümberpööratav 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 5 Näide 2. Leia funktsiooni y=2x+1 pöördfunktsioon. Lahendus. Funktsioon y=2x+1 kasvab, seega on tal pöördväärtus. Avaldame x läbi y: saame.. Liikudes edasi üldtunnustatud tähistuste juurde, Vastus: Ülesanne 2. Leidke nende funktsioonide jaoks pöördfunktsioonid 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 9. peatükk kraadid Kraad täisarvu eksponendiga. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0; >>.. >. Kui see on ühtlane, siis ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Näiteks () = > = = (), nii Mida me uurime: Õppetund teemal: Monotoonsuse funktsiooni uurimine. Funktsioonide vähenemine ja suurendamine. Funktsiooni tuletise ja monotoonsuse vaheline seos. Kaks olulist teoreemi monotoonsuse kohta. Näited. Poisid, meie 6 Tuletise Let mõiste juurde viivad ülesanded materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt ühes suunas vastavalt seadusele s f (t), kus t on aeg ja s on tee, mille punkt läbib aja t jooksul. Märgime üles teatud hetke 1 SA Lavrenchenko Loeng 12 Pöördfunktsioonid 1 Pöördfunktsiooni mõiste Definitsioon 11 Funktsiooni nimetatakse üks-ühele, kui see ei võta ühtegi väärtust rohkem kui üks kord, millest need järgnevad, kui 5. loeng Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised Kokkuvõte: Antakse ühe muutuja funktsiooni tuletise füüsikalised ja geomeetrilised tõlgendused Vaadeldakse näiteid funktsioonide diferentseerimisest ja reeglitest. Peatükk 1. Piirangud ja pidevus 1. Arvuhulgad 1 0. Reaalarvud Koolimatemaatikast tead loomulikku N täisarvu Z ratsionaalne Q ja reaalarv Naturaal- ja täisarv Arvfunktsioonid ja arvjadad D. V. Lytkina TEJ, I semester D. V. Lytkina (SibGUTI) TEJ matemaatiline analüüs, I semester 1 / 35 Sisu 1 Arvfunktsioon Funktsiooni mõiste Arvfunktsioonid. 19. loeng DERIVATIIV JA SELLE RAKENDUSED. TULETISE MÄÄRATLUS. Olgu meil mingi funktsioon y=f(x), mis on defineeritud mingil intervallil. Selle intervalli argumendi x iga väärtuse jaoks on funktsioon y=f(x) 5. peatükk Funktsioonide uurimine Taylori valemi abil Funktsiooni lokaalne ekstreemum Definitsioon Funktsioon = f (saabub punktis c kohaliku maksimumi (miinimum), kui on võimalik määrata δ > nii, et selle juurdekasv Matemaatika ja informaatika osakond Kõrgmatemaatika elemendid Õppe- ja metoodiline kompleks kaugtehnoloogiate abil õppivatele keskeriõppe üliõpilastele Moodul Diferentsiaalarvutus Koostas: Matemaatika ja arvutiteaduse osakond Matemaatiline analüüs Haridus- ja metoodiline kompleks kaugtehnoloogiat kasutavatele kõrgkooliõpilastele Moodul 4 Tuletisrakendused Koostanud: Dotsent Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks. Leia funktsiooni 6x domeen. Leia funktsiooni graafiku punkti M (;) läbiva puutuja x-telje kaldenurga puutuja. Leia nurga puutuja Teema Piiride teooria Praktiline tund Numbrijadad Numbrijada definitsioon Piiratud ja piiramata jadad Monotoonsed jadad Lõpmatu väike 44 Näide Leia kogutuletis keeruline funktsioon= sin v cos w kus v = ln + 1 w= 1 Kasutades valemit (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Nüüd leidke kompleksfunktsiooni f summaarne diferentsiaal MOODUL “Järjepidevuse ja tuletise rakendamine. Tuletise rakendamine funktsioonide uurimisel." Järjepidevuse rakendamine.. Intervallmeetod.. Graafi puutuja. Lagrange'i valem. 4. Tuletise rakendamine Moskva Füüsika ja Tehnoloogia Instituut Eksponent-, logaritmvõrrandid ja võrratused, potentseerimismeetod ja logaritm ülesannete lahendamisel. Olümpiaadideks valmistumise metoodiline juhend. 8. peatükk Funktsioonid ja graafikud Muutujad ja nendevahelised sõltuvused. Kahte suurust nimetatakse otse proportsionaalseks, kui nende suhe on konstantne, st kui =, kus on konstantne arv, mis muutustega ei muutu Valgevene Vabariigi Haridusministeerium HARIDUSASUTUS "GRODNO RIIKÜLIKOOLI NIME JANKA KUPALA JÄRGI" Yu.Yu. Gnezdovski, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EKSPONENTAARILINE JA LOGARITMILINE Teema Arvfunktsioon, selle omadused ja graafik Arvfunktsiooni kontseptsioon Funktsiooni definitsioonipiirkond ja väärtuste hulk Olgu antud arvuline hulk X Reegel, mis seostab iga arvu X kordumatuga I Mitme muutuja funktsiooni definitsioon Määratlusvaldkond Paljude nähtuste uurimisel tuleb tegeleda kahe või enama sõltumatu muutuja funktsioonidega, näiteks kehatemperatuur antud hetkel 1. Määratud integraal 1.1. Olgu f piiratud funktsioon, mis on defineeritud lõigul [, b] R. Lõigu [, b] partitsioon on punktide hulk τ = (x, x 1,..., x n 1, x n) [, b ] nii, et = x< x 1 < < x n 1 Loeng Funktsiooni uurimine ja selle graafiku konstrueerimine Kokkuvõte: Funktsiooni uuritakse monotoonsuse, ekstreemumi, kumeruse-nõgususe, asümptootide olemasolu kohta Antakse näide funktsiooni uurimisest, konstruktsioon Teema. Funktsioon. Ülesandmise meetodid. Kaudne funktsioon. Pöördfunktsioon. Funktsioonide klassifikatsioon Hulgateooria elemendid. Põhimõisted Kaasaegse matemaatika üks põhimõisteid on hulga mõiste. Teema 2.1 Arvfunktsioonid. Funktsioon, selle omadused ja graafik Olgu X ja Y mingid arvulised hulgad Kui igaühele on mingi reegli F kohaselt määratud üks element, siis öeldakse, et antud Algebra ja analüüsi alged, XI ALGEBRA JA ANALÜÜSI ALGUSED Üldõppeasutuste XI (XII) klasside lõpetajate riikliku (lõpliku) atesteerimise eeskirja järgi. Venemaa Föderatsioonõpilased võtavad L.A. Strauss, I.V. Barinova Probleemid parameetriga ühtses riigieksamil Metoodilised soovitused y=-x 0 -a- -a x -5 Uljanovsk 05 Strauss L.A. Probleemid ühtse riigieksami parameetriga [tekst]: juhised/ L.A. Strauss, I.V. Peatükk 3. Funktsioonide uurimine tuletisi kasutades 3.1. Ekstreemsus ja monotoonsus Vaatleme funktsiooni y = f (), mis on defineeritud teatud intervallil I R. Öeldakse, et sellel on punktis lokaalne maksimum Teema. Logaritmilised võrrandid, võrratused ja võrrandisüsteemid I. Üldised juhised 1. Teemaga töötades, näiteid analüüsides ja pakutud ülesandeid iseseisvalt lahendades proovige igal konkreetsel juhul Mida me uurime: Õppetund teemal: Funktsioonide äärmuspunktide leidmine. 1. Sissejuhatus. 2) Miinimum- ja maksimumpunktid. 3) Funktsiooni ekstreemum. 4) Kuidas arvutada äärmusi? 5) Näited Poisid, vaatame 1 SA Lavrenchenko loeng 13 Eksponent- ja logaritmfunktsioonid 1 Eksponentfunktsiooni mõiste Definitsioon 11 Eksponentfunktsioon on vormi funktsioon, mille alus on positiivne konstant, kus Funktsioon Veebiseminar 5 Teema: kordamine Ühtse riigieksamiks valmistumine (ülesanne 8) Ülesanne 8 Leia kõik parameetri a väärtused, millest igaühe jaoks on võrrandil a a 0 kas seitse või kaheksa lahendit Olgu, siis t t Algvõrrand Moskva Riiklik Tehnikaülikool sai nime N.E. Baumani teaduskond" Põhiteadused» Osakond « Matemaatika modelleerimine» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî Üldine informatsioon Probleemid parameetritega Mooduliülesannete tüüpi ülesanded võrrandid C 5 1 Ettevalmistus ühtseks riigieksamiks Dikhtyar M.B. 1. Absoluutne väärtus, ehk arvu x moodul on arv x ise, kui x 0; number x, I. V. Yakovlev Matemaatika materjalid MathUs.ru Logaritm Selles artiklis anname logaritmi määratluse, tuletame põhilised logaritmivalemid, toome näiteid logaritmidega arvutustest ja kaalume ka 13. Kõrgemat järku osatuletised Olgu = omavad ja on defineeritud D O. Funktsioone ja nimetatakse ka funktsiooni esimest järku osatuletisteks või funktsiooni esimesteks osatuletisteks. ja üldiselt Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarve haridusasutus kõrgharidus"NIŽNI NOVGORODI RIIKLIK TEHNIKAÜLIKOOL IM R E SISU ALGEBRA JA FUNKTSIOONI ANALÜÜSI ALGUSED...10 Funktsioonide põhiomadused...11 Paaris- ja paaritu...11 Perioodilisus...12 Funktsiooni nullkohad...12 Monotoonsus (kasvab, väheneb)...13 Ekstreemsus (maksimaalselt MATEMAATILISSE ANALÜÜSI SISSEJUHATUS Loeng. Komplekti mõiste. Funktsiooni põhiomaduste definitsioon. Põhilised elementaarfunktsioonid SISUKORD: Hulgateooria elemendid Reaalarvude hulk Arv Teema 36 “Funktsioonide omadused” Analüüsime funktsiooni omadusi suvalise funktsiooni y = f(x) graafiku näitel: 1. Funktsiooni määratluspiirkond on funktsiooni kõigi väärtuste hulk. muutuja x, millel on vastav Asümptoodid Funktsiooni graafik Descartes'i koordinaatsüsteem Murdlineaarfunktsioon Ruuttrinoom Lineaarfunktsioon Kohalik ekstreemum Ruuttrinoomi väärtuste hulk Funktsiooni väärtuste hulk Uurali föderaalülikool, matemaatika ja arvutiteaduse instituut, algebra ja diskreetse matemaatika osakond Sissejuhatavad märkused See loeng on pühendatud lennuki uurimisele. Selles esitatud materjal DIFERENTSIAALVÕRDENDID 1. Põhimõisted Teatud funktsiooni diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis ühendab selle funktsiooni selle sõltumatute muutujate ja tuletistega. MATEMAATIKA Ühtsed riigieksamite ülesanded C5 7 Võrratused (domeenimeetod) Suunad ja lahendused Võrdlusmaterjal Allikad Koryanov A G Brjansk Saada kommentaarid ja ettepanekud aadressile: korynov@milru PARAMEETRITEGA ÜLESANDED Teema 41 “Ülesanded parameetriga” Põhilised parameetriga ülesannete sõnastused: 1) Leidke parameetri kõik väärtused, millest igaühe jaoks on teatud tingimus täidetud.) Lahendage võrrand või võrratus Teema 39. “Funktsioonide tuletised” Funktsioon Funktsiooni tuletis punktis x 0 on funktsiooni juurdekasvu ja muutuja juurdekasvu suhte piir, st = lim = lim + () Tabel of tuletised: Tuletis Matemaatika ja informaatika osakond Kõrgmatemaatika elemendid Haridus- ja metoodiline kompleks kaugtehnoloogiate abil õppivatele keskeriõppe üliõpilastele Piiriteooria moodul Koostanud: dotsent Funktsiooni tuletis Selle geomeetriline ja füüsikaline tähendus Diferentseerimistehnika Põhimääratlused Olgu f () defineeritud (,) a, b mingis fikseeritud punktis, argumendi juurdekasv punktis, Kaudselt antud funktsiooni diferentseerimine Vaatleme funktsiooni (,) = C (C = const) See võrrand defineerib kaudse funktsiooni () Oletame, et lahendasime selle võrrandi ja leidsime eksplitsiitse avaldise = () Nüüd saame Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Jaroslavski Riiklik Ülikool nimega PG Demidova Diskreetanalüüsi osakond PROBLEEMIDE KOGUMINE ISESEISVAKS LAHENDUSEKS TEEMA FUNKTSIOONIPIIRI Piirkondlik teaduslik-praktiline konverents haridusuuringud ja projekteerimistööd klasside õpilased “Matemaatika rakendus- ja põhiküsimused” Matemaatika õppimise metoodilised aspektid Kasutamine Piirid ja järjepidevus. Funktsiooni piirmäär Olgu funktsioon = f) defineeritud punkti = a mõnes naabruses. Pealegi ei ole punktis a funktsioon tingimata määratletud. Definitsioon. Arvu b nimetatakse piiriks Matemaatika ühtne riigieksam, 7. aasta demoversioon A osa Leia avaldise 6p p väärtus p = Lahendus Kasutame kraadi omadust: Asenda saadud avaldisesse Õige 0.5 Logaritmvõrrandid ja võrratused. Kasutatud raamatud:. Algebra ja analüüsi põhimõtted 0 - toimetanud A.N. Kolmogorov. Sõltumatu ja proovipaberid algebras 0 - toimetanud E. P. Ershov Ülesannete süsteem teemal “Puutuja võrrand” Määrake funktsiooni y f () graafikule tõmmatud puutuja tõusu märk punktides abstsissidega a, b, c a) b) Märkige punktid, kus tuletis Ebavõrdsused parameetriga ühtsel riigieksamil VV Silvestrov Ühtse riigieksami (USE) ülesannetes on kindlasti probleeme parameetritega Eksamitööplaan 008 Algebralised võrrandid kus Definitsioon. Võrrandit kujul 0, P () 0, mõnda reaalarvu nimetatakse algebraliseks. 0 0 Samal ajal muutuv kogus nimetatakse tundmatuks ja numbreid 0 koefitsientideks Sirge ja tasandi võrrandid Tasapinna sirge võrrand.. Sirge üldvõrrand. Sirgede paralleelsuse ja perpendikulaarsuse märk. Descartes'i koordinaatides on iga Oxy-tasandi sirgjoon määratletud Funktsiooni tuletise graafik Funktsiooni monotoonsuse intervallid Näide 1. Joonisel on toodud intervallil (1;13) defineeritud funktsiooni f (x) tuletise y =f (x) graafik. Leia funktsiooni suurenemise intervallid Näidised põhiülesanded ja MA semestri küsimused Jada limiit Lihtsaim Arvutage jada piirmäär l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Arvutage jada piir Ülesanded analüütilises geomeetrias, mehaanika ja matemaatika, Moskva Riiklik Ülikool Ülesanne Antud tetraeeder O Avaldage vektorites O O O vektor EF, mille algus on serva O keskel E ja lõpp mediaanide lõikepunktis F kolmnurgast Lahendus Olgu Ülesande pooljaotusmeetod Akordi meetod (proportsionaalsete osade meetod 4 Newtoni meetod (tangensi meetod 5 iteratsioonimeetod (järjestikune lähendusmeetod)) Ülesanne Olgu antud 1. Avaldised ja teisendused 1.1 Astmejuur n Astmejuure mõiste n astme juure n astme juure omadused: Korrutise juur ja juurte korrutis: avaldise lihtsustamine; leida jagatise juure väärtused LOENG N4. Esimese ja kõrgema järgu funktsiooni diferentsiaal. Diferentsiaali kuju muutumatus. Kõrgemate tellimuste tuletisväärtpaberid. Diferentsiaali rakendamine ligikaudsetes arvutustes. 1. Diferentsiaali mõiste.... MOODUL 7 “Eksponent- ja logaritmfunktsioonid”. Kraadi mõiste üldistamine. astme juur ja selle omadused.. Irratsionaalvõrrandid.. Ratsionaalse astendajaga aste.. Eksponentfunktsioon.. 13. Eksponent ja logaritm Lause 12.8 tõestuse lõpuleviimiseks peame andma ainult ühe definitsiooni ja tõestama ühe väite. Definitsioon 13.1. Seeria a i on absoluutselt konvergentne, kui VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM NOVOSIBIRSK RIIKÜLIKOOLI SPETSIAALNE HARIDUS- JA TEADUSKESKUS Matemaatika 10. klass FUNKTSIOONIDE UURING Novosibirsk Kontrollimiseks LOENG N. Skalaarväli. Suunatuletis. Gradient. Puutetasand ja pinnaga normaalne. Mitme muutuja funktsiooni äärmus. Tingimuslik ekstreemum. Skalaarväli. Tuletis seoses VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM NOVOSIBIRSK RIIKÜLIKOOL ERIHAIDUS- JA TEADUSKESKUS Matemaatika klass 0 JÄRJEPIIRID Novosibirsk Intuitiivne Oletame, et meil on teatud funktsioon y = f (x), mis on rangelt monotoonne (kahanev või kasvav) ja pidev definitsioonipiirkonnas x ∈ a; b ; selle väärtusvahemik y ∈ c ; d ja intervallil c; d sel juhul on meil defineeritud funktsioon x = g (y) väärtusvahemikuga a ; b. Teine funktsioon on samuti pidev ja rangelt monotoonne. Seoses y = f (x) on see pöördfunktsioon. See tähendab, et saame rääkida pöördfunktsioonist x = g (y), kui y = f (x) antud intervalli jooksul kas väheneb või suureneb. Need kaks funktsiooni f ja g on vastastikku pöördvõrdelised. Yandex.RTB R-A-339285-1 Miks me üldse vajame pöördfunktsioonide mõistet? Seda vajame võrrandite y = f (x) lahendamiseks, mis on kirjutatud täpselt nende avaldiste abil. Oletame, et peame leidma lahenduse võrrandile cos (x) = 1 3 . Selle lahendid on kaks punkti: x = ± a r c o c s 1 3 + 2 π · k, k ∈ Z Näiteks pöördkoosinus ja koosinusfunktsioonid on üksteise suhtes pöördvõrdelised. Vaatame mitmeid probleeme, et leida funktsioone, mis on antud funktsioonidega pöördvõrdelised. Näide 1 Seisukord: mis on pöördfunktsioon y = 3 x + 2 jaoks? Lahendus
Tingimuses määratud funktsiooni definitsioonide domeen ja väärtuste vahemik on kõigi reaalarvude hulk. Proovime seda võrrandit lahendada x kaudu, st väljendades x läbi y. Saame x = 1 3 y - 2 3 . See on pöördfunktsioon, mida me vajame, kuid y on siin argument ja x on funktsioon. Korraldame need ümber, et saada rohkem tuttav vorm sissekanded: Vastus: funktsioon y = 1 3 x - 2 3 on pöördväärtus y = 3 x + 2. Mõlemat vastastikku pöördfunktsiooni saab joonistada järgmiselt: Näeme mõlema graafiku sümmeetriat y = x suhtes. See joon on esimese ja kolmanda kvadrandi poolitaja. Tulemuseks on vastastikku pöördfunktsioonide ühe omaduse tõestus, mida käsitleme hiljem. Võtame näite, milles peame leidma logaritmilise funktsiooni, mis on antud eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon. Näide 2 Seisukord: määrake, milline funktsioon on pöördväärtus y = 2 x korral. Lahendus
Antud funktsiooni puhul on definitsioonipiirkonnaks kõik reaalarvud. Väärtuste vahemik asub vahemikus 0; + ∞ . Nüüd peame x väljendama y-ga, st lahendama määratud võrrandi x-iga. Saame x = log 2 y. Järjestame muutujad ümber ja saame y = log 2 x. Selle tulemusena oleme saanud eksponentsiaalsed ja logaritmilised funktsioonid, mis on kogu definitsioonipiirkonnas üksteise suhtes pöördvõrdelised. Vastus: y = log 2 x . Graafikul näevad mõlemad funktsioonid välja järgmised: Selles lõigus loetleme funktsioonide y = f (x) ja x = g (y) peamised omadused, mis on vastastikku pöördvõrdelised. Definitsioon 1 Soovitame pöörata suurt tähelepanu funktsioonide definitsioonipiirkonna ja tähendusvaldkonna mõistetele ning mitte kunagi neid segi ajada. Oletame, et meil on kaks vastastikku pöördfunktsiooni y = f (x) = a x ja x = g (y) = log a y. Esimese omaduse järgi y = f (g (y)) = a log a y. See võrdsus kehtib ainult y positiivsete väärtuste korral ja negatiivsete väärtuste puhul pole logaritmi määratletud, seega ärge kiirustage üles kirjutama, et log a y = y. Kontrollige kindlasti ja lisage, et see kehtib ainult siis, kui y on positiivne. Kuid võrdus x = f (g (x)) = log a a x = x on tõene kõigi x reaalväärtuste korral. Ärge unustage seda punkti, eriti kui peate töötama trigonomeetrilise ja pöördväärtusega trigonomeetrilised funktsioonid. Niisiis, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, sest arcsinuse vahemik on π 2; π 2 ja 7 π 3 ei sisaldu selles. Õige sissekanne saab olema a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = a r c sin sin π 3 = π 3 Aga sin a r c sin 1 3 = 1 3 on õige võrdsus, st. sin (a r c sin x) = x x ∈ - 1 korral; 1 ja a r c sin (sin x) = x x ∈ - π 2 korral; π 2. Olge pöördfunktsioonide ulatuse ja ulatusega alati ettevaatlik! Kui meil on toitefunktsioon y = x a , siis x > 0 korral on võimsusfunktsioon x = y 1 a samuti selle pöördfunktsioon. Asendame tähed ja saame vastavalt y = x a ja x = y 1 a. Graafikul näevad need välja järgmised (juhtumid positiivse ja negatiivse koefitsiendiga a): Võtame a, mis saab olema positiivne arv, ei võrdu 1-ga. Funktsioonide graafikud, mille a > 1 ja a< 1 будут выглядеть так: Kui joonistaksime põhiharu siinuse ja arcsinuse, näeks see välja selline (näidatud esiletõstetud valgusalana). Oleme juba kokku puutunud probleemiga, kus antud funktsiooni f ja selle argumendi etteantud väärtuse korral oli vaja arvutada funktsiooni väärtus selles punktis. Kuid mõnikord tuleb silmitsi seista pöördprobleemiga: teadaoleva funktsiooni f ja selle kindla väärtuse y korral leida argumendi väärtus, milles funktsioon saab antud väärtuse y. Nimetatakse funktsiooni, mis võtab kõik selle väärtused oma määratluspiirkonna ühes punktis ümberpööratav funktsioon. Näiteks lineaarne funktsioon oleks ümberpööratav funktsioon. Kuid ruutfunktsioon või siinusfunktsioon ei ole inverteeritavad funktsioonid. Kuna funktsioon võib erinevate argumentidega võtta sama väärtuse. Oletame, et f on mingi suvaline pööratav funktsioon. Iga arv oma väärtuste y0 domeenist vastab ainult ühele numbrile definitsiooni domeenist x0, nii et f(x0) = y0. Kui nüüd seostame iga väärtuse x0 väärtusega y0, saame uue funktsiooni. Näiteks lineaarse funktsiooni f(x) = k * x + b korral on funktsioon g(x) = (x - b)/k selle pöördväärtus. Kui mõni funktsioon g igas punktis X inverteeritava funktsiooni f väärtuste vahemik võtab sellise väärtuse, et f(y) = x, siis ütleme, et funktsioon g- f-le on pöördfunktsioon. Kui meile on antud mingi pöördfunktsiooni f graafik, siis pöördfunktsiooni graafiku koostamiseks saame kasutada järgmist väidet: funktsiooni f graafik ja selle pöördfunktsioon g on sirge suhtes sümmeetrilised. võrrandiga y = x määratud sirge. Kui funktsioon g on funktsiooni f pöördfunktsioon, siis funktsioon g on inverteeritav funktsioon. Ja funktsioon f on funktsiooni g pöördväärtus. Tavaliselt öeldakse, et kaks funktsiooni f ja g on üksteise suhtes pöördvõrdelised. Järgmisel joonisel on üksteisega pöördväärtuste funktsioonide f ja g graafikud. Tuletame järgmise teoreemi: kui funktsioon f suureneb (või väheneb) mingil intervallil A, siis on see inverteeritav. Funktsiooni f väärtuste vahemikus defineeritud pöördfunktsioon g on samuti kasvav (või vastavalt kahanev) funktsioon. Seda teoreemi nimetatakse pöördfunktsiooni teoreem.
Vastastikku pöördfunktsioonide põhiomadused
Pöördfunktsioon