Trigonomeetria on lihtne ja selge. Trigonomeetria - ettevalmistus ühtseks riigieksamiks
Tagasi ette
Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.
1. Sissejuhatus.
Koolile lähenedes kuulen jõusaalist kuttide hääli, liigun edasi - nad laulavad, joonistavad... emotsioonid ja tunded on igal pool. Minu kontor, algebratund, kümnenda klassi õpilased. Siin on meie õpik, milles trigonomeetria kursus moodustab poole oma mahust ja selles on kaks järjehoidjat - need on kohad, kust ma leidsin sõnad, mis pole trigonomeetria teooriaga seotud.
Väheste seas on õpilasi, kes armastavad matemaatikat, tunnetavad selle ilu ega küsi, miks on vaja trigonomeetriat õppida, kus õpitud materjali rakendatakse? Suurem osa on neid, kes lihtsalt täidavad ülesandeid, et mitte halba hinnet saada. Ja me usume kindlalt, et matemaatika rakendusväärtus on piisavate teadmiste saamine edukas lõpetamineÜhtne riigieksam ja vastuvõtt ülikooli (sisene ja unusta).
Esitletava tunni põhieesmärk on näidata trigonomeetria rakenduslikku väärtust erinevates inimtegevuse valdkondades. Toodud näited aitavad õpilastel näha seost selle matemaatika osa ja teiste koolis õpitavate ainete vahel. Selle tunni sisu on õpilaste erialase koolituse element.
Rääkige midagi uut sellest, mis tundub olevat ammu teadaolev fakt. Näidake loogilist seost selle vahel, mida me juba teame, ja selle vahel, mida veel õppida. Avage uks veidi ja vaadake välja kooli õppekava. Ebatavalised ülesanded, seosed tänaste sündmustega – need on võtted, mida kasutan oma eesmärkide saavutamiseks. Koolimatemaatika kui õppeaine ei panusta ju niivõrd õppimisse, kuivõrd indiviidi, tema mõtlemise ja kultuuri arengusse.
2. Tunni kokkuvõte algebrast ja analüüsi põhimõtetest (10. klass).
Korraldamise aeg: Paiguta kuus tabelit poolringi (protraktori mudel), laudadele töölehed õpilastele (1. lisa).
Tunni teema väljakuulutamine: "Trigonomeetria on lihtne ja selge."
Algebra ja elementaaranalüüsi käigus hakkame õppima trigonomeetriat, tahaksin rääkida selle matemaatika lõigu rakenduslikust tähendusest.
Tunni lõputöö:
"Suurt loodusraamatut saavad lugeda ainult need, kes teavad keelt, milles see on kirjutatud, ja see keel on matemaatika."
(G. Galileo).
Tunni lõpus mõtleme koos, kas suutsime sellesse raamatusse sisse vaadata ja aru saada keelest, milles see on kirjutatud.
Trigonomeetria teravnurk.
Trigonomeetria on kreeka sõna ja tõlkes tähendab "kolmnurkade mõõtmist". Trigonomeetria tekkimist seostatakse maapealsete mõõtmiste, ehituse ja astronoomiaga. Ja teie esimene tutvus sellega juhtus siis, kui võtsite kätte kraadiklaasi. Kas olete märganud, kuidas lauad on paigutatud? Mõelge sellele oma mõtetes: kui me võtame ühe tabeli akordina, siis milline on selle kaare aste, mida see allutab?
Meenutagem nurkade mõõtmist: 1 ° = 1/360 ringi osa (“kraad” – ladinakeelsest sõnast grad – samm). Kas tead, miks ring jagunes 360 osaks, miks mitte 10, 100 või 1000 osaks, nagu juhtub näiteks pikkuste mõõtmisel? Ma ütlen teile ühe versiooni.
Varem uskusid inimesed, et Maa on universumi keskpunkt ja see on liikumatu ning Päike teeb päevas ühe tiiru ümber Maa, maailma geotsentrilise süsteemi, “geo” - Maa ( Joonis nr 1). Astronoomilisi vaatlusi teinud Babüloonia preestrid avastasid, et pööripäeva päeval kirjeldab Päike päikesetõusust päikeseloojanguni taevavõlvis poolringi, millesse Päikese nähtav läbimõõt (läbimõõt) mahub täpselt 180 korda, 1 ° - Päikese jälg. ( Joonis nr 2).
Trigonomeetria oli pikka aega puhtalt geomeetriline. Jätkate trigonomeetria sissejuhatust täisnurksete kolmnurkade lahendamisega. Õpid, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on suhe vastasjalg hüpotenuusile, koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe, puutuja on vastasjala ja külgneva jala suhe ja kotangent on külgneva jala suhe vastandisse. Ja pidage meeles, et antud nurgaga täisnurkses kolmnurgas ei sõltu külgede suhe kolmnurga suurusest. Õppige siinuse ja koosinuse teoreeme suvaliste kolmnurkade lahendamiseks.
2010. aastal sai Moskva metroo 75-aastaseks. Iga päev läheme metroosse ega märka, et...
Ülesanne nr 1. Kõigi Moskva metroo eskalaatorite kaldenurk on 30 kraadi. Teades seda, eskalaatori lampide arvu ja lampide ligikaudset kaugust, saate arvutada jaama ligikaudse sügavuse. Jaamas Tsvetnoy Boulevard on eskalaatoril 15 lampi ja Pražskaja jaamas 2 lampi. Arvutage nende jaamade sügavus, kui laternate vahelised kaugused eskalaatori sissepääsust esimese laternani ja viimasest laternast eskalaatori väljapääsuni on 6 m ( Joonis nr 3). Vastus: 48 m ja 9 m
Kodutöö. Moskva metroo sügavaim jaam on Võidu park. Mis on selle sügavus? Soovitan teil iseseisvalt leida puuduvad andmed, et lahendada oma kodutöö.
minu käes laserkursor, ta on ka kaugusmõõtja. Mõõdame näiteks kaugust tahvlist.
Hiina disainer Huan Qiaokun arvas, et ühendab kaks laserkaugusmõõtjat ja kraadiklaasi üheks seadmeks ning hankis tööriista, mis võimaldab teil määrata kahe tasapinna punkti vahelise kauguse ( Joonis nr 4). Mis teoreem teie arvates selle probleemi lahendab? Pidage meeles koosinusteoreemi sõnastust. Kas olete minuga nõus, et teie teadmised on sellise leiutise tegemiseks juba piisavad? Lahendage geomeetriaülesandeid ja tehke iga päev väikseid avastusi!
Sfääriline trigonomeetria.
Lisaks Eukleidese tasasele geomeetriale (planimeetria) võib olla ka teisi geomeetriaid, kus kujundite omadusi ei käsitleta mitte tasapinnal, vaid muudel pindadel, näiteks kuuli pinnal ( Joonis nr 5). Esimene matemaatik, kes pani aluse mitteeukleidiliste geomeetriate arendamisele, oli N.I. Lobatševski – “Geomeetria Kopernik”. Alates 1827. aastast oli ta 19 aastat Kaasani ülikooli rektor.
Sfääriline trigonomeetria, mis on osa sfäärilisest geomeetriast, võtab arvesse kolmnurkade külgede ja nurkade vahelisi seoseid sfääril, mille moodustavad sfääril paiknevad suurte ringide kaared ( Joonis nr 6).
Ajalooliselt tekkis sfääriline trigonomeetria ja geomeetria astronoomia, geodeesia, navigatsiooni ja kartograafia vajadustest. Mõelge, milline neist suundadest viimased aastad on saanud nii kiire arengu, et selle tulemust kasutatakse juba kaasaegsetes kommunikaatorites. ... Kaasaegne rakendus navigatsioon on satelliitnavigatsioonisüsteem, mis võimaldab määrata objekti asukohta ja kiirust selle vastuvõtja signaali põhjal.
Globaalne navigatsioonisüsteem (GPS). Vastuvõtja pikkus- ja laiuskraadi määramiseks on vaja signaale vastu võtta vähemalt kolmelt satelliidilt. Neljanda satelliidi signaali vastuvõtmine võimaldab määrata objekti kõrguse pinnast ( Joonis nr 7).
Vastuvõtjaarvuti lahendab neli võrrandit neljas tundmatus, kuni leitakse lahendus, mis tõmbab kõik ringid läbi ühe punkti ( Joonis nr 8).
Teravnurga trigonomeetria tundmine osutus keerukamate praktiliste ülesannete lahendamiseks ebapiisavaks. Pöörlemis- ja ringliikumise uurimisel ei ole nurga ja ringkaare väärtus piiratud. Tekkis vajadus liikuda üldistatud argumendi trigonomeetriale.
Üldistatud argumendi trigonomeetria.
Ring ( Joonis nr 9). Positiivsed nurgad joonistatakse vastupäeva, negatiivsed päripäeva. Kas olete sellise lepingu ajalooga kursis?
Nagu teada, mehaanilised ja päikesekell on konstrueeritud nii, et nende käed pöörlevad “mööda päikest”, st. samas suunas, milles näeme Päikese näilist liikumist ümber Maa. (Pidage meeles tunni algust - maailma geotsentriline süsteem). Kuid kuna Kopernik avastas Maa tõelise (positiivse) liikumise ümber Päikese, on Päikese liikumine ümber Maa, mida me näeme (st näiline), fiktiivne (negatiivne). Maailma heliotsentriline süsteem (helio - päike) ( Joonis nr 10).
Soojendama.
- Välja tõmbama parem käsi enda ees paralleelselt laua pinnaga ja sooritage 720-kraadine ringpööre.
- Välja tõmbama vasak käsi enda ees paralleelselt lauapinnaga ja sooritage (–1080) kraadi ringikujuline pööre.
- Asetage käed õlgadele ja tehke 4 ringikujulist liigutust edasi-tagasi. Mis on pöördenurkade summa?
Talimängud toimusid 2010. aastal olümpiamängud Vancouveris õpime probleemi lahendamise kaudu uisutaja sooritatud harjutuse hindamise kriteeriume.
Ülesanne nr 2. Kui uisutaja teeb harjutust “kruvi” sooritades 12 sekundiga 10 800-kraadise pöörde, saab ta hinde “suurepärane”. Määrake, mitu pööret uisutaja selle aja jooksul teeb ja tema pöörlemiskiirus (pööret sekundis). Vastus: 2,5 pööret/sek.
Kodutöö. Millise nurga all pöörab "mitterahuldava" hinnangu saanud uisutaja, kui tema kiirus oli samal pöörlemisajal 2 pööret sekundis.
Pöörlemisliigutustega seotud kaare ja nurkade kõige mugavamaks mõõtmiseks osutus radiaan (raadius) kui nurga või kaare suurem mõõtühik ( Joonis nr 11). See nurkade mõõtmise mõõt jõudis teadusesse Leonhard Euleri tähelepanuväärsete tööde kaudu. Sünnilt šveitslane, elas 30 aastat Venemaal ja oli Peterburi Teaduste Akadeemia liige. Just temale võlgneme kogu trigonomeetria "analüütilise" tõlgenduse, ta tuletas valemid, mida praegu uurite, tutvustas ühtseid märke: patt x, cos x, tg x,ctg x.
Kui enne 17. sajandit kujunes välja doktriini areng trigonomeetrilised funktsioonid ehitati geomeetrilisel alusel, siis alates 17. sajandist hakati trigonomeetrilisi funktsioone kasutama mehaanika, optika, elektri probleemide lahendamiseks, võnkeprotsesside ja laine leviku kirjeldamiseks. Kus iganes peame tegelema perioodiliste protsesside ja võnkumistega, on trigonomeetrilised funktsioonid leidnud rakendust. Perioodiliste protsesside seadusi väljendavatel funktsioonidel on ainult neile omane eriline omadus: nad kordavad oma väärtusi sama argumentide muutumise intervalli kaudu. Muutused mis tahes funktsioonis on kõige selgemalt edasi antud selle graafikul ( Joonis nr 12).
Oleme juba pöördunud oma keha poole abi saamiseks rotatsiooniga seotud probleemide lahendamisel. Kuulame oma südamelööke. Süda on iseseisev organ. Aju kontrollib kõiki meie lihaseid, välja arvatud süda. Sellel on oma juhtimiskeskus - siinusõlm. Iga südame kokkutõmbumisega levib see üle kogu keha – alustades siinussõlmest (hirsitera suurus). elektrit. Seda saab registreerida elektrokardiograafi abil. Ta teeb elektrokardiogrammi (sinusoidi) ( Joonis nr 13).
Räägime nüüd muusikast. Matemaatika on muusika, see on intelligentsuse ja ilu liit.
Muusika on arvutamisel matemaatika, abstraktsioonis algebra, ilu osas trigonomeetria. Harmooniline võnkumine (harmooniline) on sinusoidne võnkumine. Graafik näitab, kuidas õhurõhk muutub per kuulmekile kuulaja: kaarekujuliselt üles ja alla, perioodiliselt. Õhk surub, nüüd tugevam, nüüd nõrgem. Löögijõud on väga väike ja vibratsioon tekib väga kiiresti: sadu ja tuhandeid lööke igas sekundis. Selliseid perioodilisi vibratsioone tajume helina. Kahe erineva harmoonilise lisamine annab võnkumise rohkem keeruline kuju. Kolme harmoonilise summa on veelgi keerulisem ning loomulikud helid ja muusikariistade helid koosnevad suurest hulgast harmoonilistest. ( Joonis nr 14.)
Iga harmoonilist iseloomustavad kolm parameetrit: amplituud, sagedus ja faas. Võnkesagedus näitab, mitu õhurõhu lööki toimub ühes sekundis. Kõrgeid sagedusi tajutakse "kõrgete", "õhukeste" helidena. Üle 10 KHz – kriuks, vile. Väikesi sagedusi tajutakse kui “madalat”, “bassi” heli, mürinat. Amplituud on vibratsiooni vahemik. Mida suurem ulatus, seda tugevam on mõju kuulmekile ja seda rohkem valjem heli mida me kuuleme ( Joonis nr 15). Faas on võnkumiste nihkumine ajas. Faasi saab mõõta kraadides või radiaanides. Sõltuvalt faasist nihkub graafiku nullpunkt. Harmooniku seadistamiseks piisab faasi määramisest vahemikus –180 kuni +180 kraadi, kuna suurte väärtuste korral kordub võnkumine. Kaks sama amplituudi ja sagedusega sinusoidset signaali, kuid erinevad faasid liida algebraliselt ( Joonis nr 16).
Tunni kokkuvõte. Kas arvate, et suutsime lugeda paar lehekülge Suurest Looduse Raamatust? Olles õppinud tundma trigonomeetria rakenduslikku tähendust, sai teile selgemaks selle roll erinevates inimtegevuse valdkondades, kas saite esitatud materjalist aru? Seejärel pidage meeles ja loetlege trigonomeetria rakendusalasid, mida täna kohtasite või teadsite varem. Loodan, et igaüks teist leidis tänasest õppetunnist midagi uut ja huvitavat. Võib-olla näitab see uus asi teile, kuidas valida tulevane elukutse, kuid olenemata sellest, kelleks te saate, aitab teie matemaatiline haridus teil saada professionaaliks ja intellektuaalselt arenenud inimeseks.
Kodutöö. Lugege tunni kokkuvõtet (
\(\blacktriangleright\) Vaatleme ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi ja selles ringjoont, mille raadius ja keskpunkt on lähtepunktis.
Nurk \(1^\circ\)- see on kesknurk, mis toetub kaarele, mille pikkus on võrdne \(\dfrac1(360)\) kogu ringi pikkusega.
\(\blacktriangleright\) Vaatleme ringjoone nurki, mille tipp on ringi keskel ja üks külg langeb alati kokku telje \(Ox\) positiivse suunaga (joonisel punasega esile tõstetud) .
Nurgad on sel viisil märgistatud \(45^\circ,\ 180^\circ,\ 240^\circ\):
Pange tähele, et nurk \(0^\circ\) on nurk, mille mõlemad küljed langevad kokku telje \(Ox\) positiivse suunaga.
Punkti, kus sellise nurga \(\alpha\) teine külg lõikub ringiga, nimetatakse \(P_(\alpha)\) .
Punkti \(P_(0)\) asukohta nimetatakse algpositsiooniks.
Seega võime öelda, et me pöörleme ringis algpositsioonist \(P_0\) asendisse \(P_(\alpha)\) nurga \(\alpha\) võrra.
\(\blacktriangleright\) Vastupäeva ringjoonel pöörlemine on positiivne. Päripäeva pöörlemine on negatiivne pöörlemine.
Näiteks joonisel on nurgad märgitud \(-45^\circ, -90^\circ, -160^\circ\):
\(\blacktriangleright\) Vaatleme punkti \(P_(30^\circ)\) ringil. Algasendist punkti \(P_(30^\circ)\) ringikujuliseks pööramiseks peate pöörama läbi nurga \(30^\circ\) (oranž). Kui teeme täispöörde (st \(360^\circ\) ) ja veel ühe pöörde \(30^\circ\) võrra, siis jõuame jälle siia punkti, kuigi oleme juba teinud pöörde võrra nurk \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\)(sinine). Selle punktini jõuame ka siis, kui teeme pöörde \(-330^\circ\) (roheline), \(750^\circ=360^\circ+360^\circ+30^\circ\) jne.
Seega vastab igale ringi punktile lõpmatu arv nurki ja need nurgad erinevad üksteisest täisarvu täispöörete võrra ( \(n\cdot360^\circ, n\in\mathbb(Z)\)).
Näiteks nurk \(30^\circ\) on \(360^\circ\) suurem kui nurk \(-330^\circ\) ja \(2\cdot 360^\circ\) väiksem kui nurk \(750^\circ\) .
Kõik punktis \(P_(30^\circ)\) asuvad nurgad saab kirjutada kujul: \(\alpha=30^\circ+n\cdot 360^\circ, \n\in\mathbb(Z)\).
\(\must kolmnurkparem\) Nurk \(1\) radiaanides- see on kesknurk, mis toetub kaarele, mille pikkus võrdub ringi raadiusega:
Sest kogu ringi pikkus raadiusega \(R\) on võrdne \(2\pi R\) ja kraadimõõdus - \(360^\circ\), siis on meil \(360^\circ=2\pi \cdot 1\textbf(rad)\), kus \ See on põhivalem, mille abil saate teisendada kraadid radiaanideks ja vastupidi.
Näide 1. Leidke nurga \(60^\circ\) radiaanmõõt.
Sest \(180^\circ = \pi \Paremnool 1^\circ = \dfrac(\pi)(180) \Paremnool 60^\circ=\dfrac(\pi)3\)
Näide 2. Leidke nurga \(\dfrac34 \pi\) kraadimõõt.
Sest \(\pi=180^\circ \Paremnool \dfrac34 \pi=\dfrac34 \cdot 180^\circ=135^\circ\).
Tavaliselt kirjutatakse näiteks mitte \(\dfrac(\pi)4 \text( rad)\), vaid lihtsalt \(\dfrac(\pi)4\) (st mõõtühik “rad” on välja jäetud). Pange tähele, et kraadide tähistamine nurga kirjutamisel ära langeta. Seega, kirjutades "nurk on võrdne \(1\)", peame silmas, et "nurk on võrdne \(1\) radiaaniga", mitte "nurk on võrdne \(1\) kraadiga".
Sest \(\pi \thickaprox 3.14 \Rightarrow 180^\circ \thickapprox 3.14 \textbf(rad) \Rightarrow 1 \textbf(rad) \thickapprox 57^\circ\).
Sellist ligikaudset asendust ülesannetes teha ei saa, kuid teadmine, millega \(1\) radiaan kraadides on ligikaudu võrdne, aitab sageli mõne ülesande lahendamisel. Näiteks on sel viisil lihtsam leida ringjoonel nurk \(5\) radiaanist: see on ligikaudu võrdne \(285^\circ\) .
\(\blacktriangleright\) Planimeetria (geomeetria tasapinnal) käigust teame, et nurkade puhul \(0<\alpha< 90^\circ\)
определены синус, косинус, тангенс и котангенс следующим образом:
kui antakse täisnurkne kolmnurk külgedega \(a, b, c\) ja nurgaga \(\alpha\), siis:
Sest kõik nurgad on määratletud ühikuringil \(\alpha\in(-\infty;+\infty)\), siis tuleb määrata mis tahes nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens.
Vaatleme ühikringi ja sellel nurka \(\alpha\) ja vastavat punkti \(P_(\alpha)\) :
Langetage risti \(P_(\alpha)K\) punktist \(P_(\alpha)\) teljele \(Ox\) . Saame täisnurkse kolmnurga \(\kolmnurk OP_(\alpha)K\), millest saame: \[\sin\alpha=\dfrac(P_(\alpha)K)(P_(\alpha)O) \qquad \cos \alpha=\dfrac(OK)(P_(\alpha)O)\] Pange tähele, et segment \(OK\) pole midagi muud kui punkti \(P_(\alpha)\) abstsiss \(x_(\alpha)\) ja lõik \(P_(\alpha)K\) on ordinaat \(y_(\alpha)\) . Pange tähele ka seda, et alates võtsime ühikuringi, siis \(P_(\alpha)O=1\) on selle raadius.
Seega \[\sin\alpha=y_(\alpha), \qquad \cos \alpha=x_(\alpha)\]
Seega, kui punktil \(P_(\alpha)\) on koordinaadid \((x_(\alpha)\,;y_(\alpha))\), siis läbi vastava nurga saab selle koordinaadid ümber kirjutada kujule \(( \ cos\alpha\,;\sin\alpha)\) .
Definitsioon: 1. Nurga \(\alpha\) siinus on sellele nurgale vastava punkti \(P_(\alpha)\) ordinaat ühikringjoonel.
2. Nurga \(\alpha\) koosinus on ühikringjoonel sellele nurgale vastava punkti \(P_(\alpha)\) abstsiss.
Seetõttu nimetatakse telge \(Oy\) siinuste teljeks, telge \(Ox\) koosinuste teljeks.
\(\blacktriangleright\) Ringi saab jagada \(4\) neljandikku, nagu on näidatud joonisel.
Sest veerandil \(I\) on positiivsed nii kõigi punktide abstsissid kui ka ordinaadid, siis on positiivsed ka kõigi nurkade koosinused ja siinused sellest veerandist lähtudes.
Sest veerandil \(II\) on kõigi punktide ordinaadid positiivsed ja abstsissid negatiivsed, siis kõigi nurkade koosinused sellest veerandist on negatiivsed ja siinused positiivsed.
Samamoodi saate ülejäänud veerandi jaoks määrata siinuse ja koosinuse märgi.
Näide 3. Kuna näiteks punktid \(P_(\frac(\pi)(6))\) ja \(P_(-\frac(11\pi)6)\) langevad kokku, siis on nende koordinaadid võrdsed, st. \(\sin\dfrac(\pi)6=\sin \left(-\dfrac(11\pi)6\right),\ \cos \dfrac(\pi)6=\cos \left(-\dfrac( 11\pi)6\parem)\).
Näide 4. Vaatleme punkte \(P_(\alpha)\) ja \(P_(\pi-\alpha)\) . Laske mugavuse huvides \(0<\alpha<\dfrac{\pi}2\) .
Joonistame ristid teljega \(Ox\) : \(OK\) ja \(OK_1\) . Kolmnurgad \(OKP_(\alpha)\) ja \(OK_1P_(\pi-\alpha)\) on hüpotenuusis ja nurgas ( \(\angle P_(\alpha)OK=\angle P_(\pi-\alpha)OK_1=\alpha\)). Seega \(OK=OK_1, KP_(\alpha)=K_1P_(\pi-\alpha)\). Sest punkti koordinaadid \(P_(\alpha)=(OK;KP_(\alpha))=(\cos\alpha\,;\sin\alpha)\) ja punktid \(P_(\pi-\alpha)=(-OK_1;K_1P_(\pi-\alpha))=(\cos(\pi-\alpha)\,;\sin(\pi-\alpha))\), seega, \[\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\]
Sel viisil nimetatakse teisi valemeid redutseerimisvalemid: \[(\large(\begin(massiiv)(l|r) \hline \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha & \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha & \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha & \cos (2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha\\ \sin \left(\dfrac(\pi)2\pm\alpha\right)=\cos\alpha & \cos\left(\dfrac (\pi)2\pm\alpha\right)=\pm\sin\alpha\\ \hline \end(massiiv)))\]
Nende valemite abil saate leida mis tahes nurga siinuse või koosinuse, vähendades selle väärtuse nurga siinuse või koosinuse võrra veerandist \(I\).
Nurkade siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide tabel esimesest kvartalist:
\[(\large(\begin(massiiv)(|c|c|c|c|c|c|) \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac(\pi)6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac(\pi)4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac(\pi)3 \quad (60^\circ )& \quad \dfrac(\pi)2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac(\sqrt2)2&\frac(\sqrt3) 2&1\\ \hline \cos &1&\frac(\sqrt3)2&\frac(\sqrt2)2&\frac12&0\\ \hline \mathrm(tg) &0 &\frac(\sqrt3)3&1&\sqrt3&\infty\\ \hline \mathrm(ctg) &\infty &\sqrt3&1&\frac(\sqrt3)3&0\\ \hline \end(massiiv)))\]
Pange tähele, et need väärtused kuvati jaotises "Geomeetria tasapinnal (planimeetria). II osa“ teemas „Esialgne teave siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi kohta“.
Näide 5. Otsige üles \(\sin(\dfrac(3\pi)4)\) .
Teisendame nurga: \(\dfrac(3\pi)4=\dfrac(4\pi-\pi)(4)=\pi-\dfrac(\pi)4\)
Seega \(\sin(\dfrac(3\pi)4)=\sin\left(\pi-\dfrac(\pi)4\right)=\sin\dfrac(\pi)4=\dfrac(\sqrt2) 2\).
\(\blacktriangleright\) Vähendamisvalemite meeldejätmise ja kasutamise hõlbustamiseks võite järgida järgmist reeglit.
Juhtum 1.\(n\cdot \pi\pm \alpha\) \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\]
Nurga märgi saab leida, määrates, millises kvadrandis see asub. Seda reeglit kasutades eeldame, et nurk \(\alpha\) on \(I\) kvadrandis.
Juhtum 2. Kui nurka saab esitada kujul , kus \(n\in\mathbb(N)\) , siis \[\sin(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\] kus \(\bigodot\) asemel on nurga \(n\cdot \pi\pm \alpha\) siinuse märk. \[\cos(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] kus \(\bigodot\) asemel on nurga koosinuse märk \(n\cdot \pi\pm \alpha\) .
Märk määratakse samamoodi nagu \(1\) puhul.
Pange tähele, et esimesel juhul jääb funktsioon muutumatuks ja teisel juhul muutub (nad ütlevad, et funktsioon muutub kaasfunktsiooniks).
Näide 6. Otsige üles \(\sin \dfrac(13\pi)(3)\) .
Teisendame nurga: \(\dfrac(13\pi)(3)=\dfrac(12\pi+\pi)(3)=4\pi+\dfrac(\pi)3\), seega, \(\sin \dfrac(13\pi)(3)=\sin \left(4\pi+\dfrac(\pi)3\right)=\sin\dfrac(\pi)3=\dfrac(\sqrt3) 2\)
Näide 7. Otsige üles \(\cos \dfrac(17\pi)(6)\) .
Teisendame nurga: \(\dfrac(17\pi)(6)=\dfrac(18\pi-\pi)(6)=3\pi-\dfrac(\pi)6\), seega, \(\cos \dfrac(17\pi)(6)=\cos \left(3\pi-\dfrac(\pi)6\right)=-\cos\dfrac(\pi)6=-\dfrac( \sqrt3)2\)
\(\must kolmnurkparem\) Siinus- ja koosinusväärtuste vahemik.
Sest ühikuringi mis tahes punkti \(P_(\alpha)\) koordinaadid \(x_(\alpha)\) ja \(y_(\alpha)\) on vahemikus \(-1\) kuni \ (1\) ja \(\cos\alpha\) ja \(\sin\alpha\) on vastavalt selle punkti abstsiss ja ordinaat, siis \[(\large(-1\leq \cos\alpha\leq 1 ,\qquad -1\leq\sin\alpha\leq 1))\]
Pythagorase teoreemi järgi täisnurksest kolmnurgast saame: \(x^2_(\alpha)+y^2_(\alpha)=1^2\)
Sest \(x_(\alpha)=\cos\alpha,\ y_(\alpha)=\sin\alpha \Paremnool\) \[(\large(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)) - \textbf(baastrigonomeetriline identiteet (GTT))\]
\(\must kolmnurkparem\) Tangent ja kotangent.
Sest \(\mathrm(tg)\,\alpha=\dfrac(\sin\alpha)(\cos\alpha), \cos\alpha\ne 0\)
\(\mathrm(ctg)\,\alpha=\dfrac(\cos\alpha)(\sin\alpha), \sin\alpha\ne 0\), See:
1) \((\large(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(ctg)\,\alpha=1, \cos\alpha\ne 0, \sin\alpha \ne 0))\)
2) puutuja ja kotangens on positiivsed kvartalites \(I\) ja \(III\) ning negatiivsed kvartalites \(II\) ja \(IV\).
3) puutuja ja kotangensi väärtuste vahemik - kõik reaalarvud, s.o. \(\mathrm(tg)\,\alpha\in\mathbb(R), \ \mathrm(ctg)\,\alpha\in\mathbb(R)\)
4) taandamisvalemid on määratletud ka puutuja ja kotangensi jaoks.
Juhtum 1. \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\] kus \(\bigodot\) asemel on nurga puutuja märk \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\] kus \(\bigodot\) asemel on nurga kotangensi märk \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ).
Juhtum 2. Kui nurka saab kujutada kui \(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm\alpha\), kus \(n\in\mathbb(N)\) , siis \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\] kus kohas \(\bigodot\) on nurga puutuja märk \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\] kus \(\bigodot\) asemel on nurga kotangensi märk \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ).
5) puutujatelg läbib siinusteljega paralleelset punkti \((1;0)\) ja puutuja telje positiivne suund langeb kokku siinuse telje positiivse suunaga;
kotangentne telg on läbi punkti \((0;1)\) paralleelselt koosinusteljega ja kaasinustelje positiivne suund langeb kokku koosinustelje positiivse suunaga.
Tõestame seda fakti puutujatelje näitel.
\(\kolmnurk OP_(\alpha)K \sim \kolmnurk AOB \Paremnool \dfrac(P_(\alpha)K)(OK)=\dfrac(BA)(OB) \Paremnool \dfrac(\sin\alpha)( \cos\alpha)=\dfrac(BA)1 \Rightarrow BA=\mathrm(tg)\,\alpha\).
Seega, kui punkt \(P_(\alpha)\) on sirgjoonega ühendatud ringi keskpunktiga, siis see sirge lõikub puutujaga punktis, mille väärtus on \(\mathrm(tg)\ ,\alpha\) .
6) põhitrigonomeetrilisest identiteedist tulenevad järgmised valemid: \
Esimene valem saadakse OTT parema ja vasaku külje jagamisel \(\cos^2\alpha\), teise valemi jagamisel \(\sin^2\alpha\) .
Pange tähele, et puutujat ei määratleta nurkade puhul, kus koosinus on null (see on \(\alpha=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\));
kotangenti ei määratleta nurkade puhul, kus siinus on null (see on \(\alpha=\pi+\pi n, n\in\mathbb(Z)\)).
\(\must kolmnurkparem\) Koosinuse ühtlus ja siinuse paaritus, puutuja, kotangens.
Tuletame meelde, et funktsiooni \(f(x)\) kutsutakse välja isegi siis, kui \(f(-x)=f(x)\) .
Funktsiooni nimetatakse paarituks, kui \(f(-x)=-f(x)\) .
Ringjoonest on näha, et nurga \(\alpha\) koosinus võrdub nurga \(-\alpha\) koosinusega \(\alpha\) mis tahes väärtuste korral:
Seega on koosinus paarisfunktsioon, mis tähendab, et valem \[(\Large(\cos(-x)=\cos x))\] on tõene
Ringjoonest on selge, et nurga \(\alpha\) siinus on nurga \(-\alpha\) siinuse vastas \(\alpha\) mis tahes väärtuste korral:
Seega on siinus paaritu funktsioon, mis tähendab, et valem on õige \[(\Large(\sin(-x)=-\sin x))\]
Tangent ja kotangent on ka paaritu funktsioonid: \[(\Large(\mathrm(tg)\,(-x)=-\mathrm(tg)\,x))\] \[(\Large(\mathrm(ctg)\,(-x)=-\mathrm(ctg)\,x))\]
Sest \(\mathrm(tg)\,(-x)=\dfrac(\sin (-x))(\cos(-x))=\dfrac(-\sin x)(\cos x)=-\mathrm (tg)\,x \qquad \mathrm(ctg)\,(-x)=\dfrac(\cos(-x))(\sin(-x))=-\mathrm(ctg)\,x\))
Nagu praktika näitab, on üks keerulisemaid matemaatika osi, millega koolilapsed ühtsel riigieksamil kokku puutuvad, trigonomeetria. Kolmnurkade kuvasuhte teadust hakatakse õppima 8. klassis. Seda tüüpi võrrandid sisaldavad muutujat trigonomeetriliste funktsioonide märgi all. Vaatamata sellele, et kõige lihtsamad neist: \(sin x = a\) , \(cos x = a\) , \(tg x = a\) , \(ctg x = a\) on tuttavad peaaegu kõigile koolilaps, on nende rakendamine sageli keeruline.
Matemaatika ühtsel riigieksamil profiili tasemel hinnatakse õigesti lahendatud trigonomeetria ülesannet väga kõrgelt. Sellest jaotisest ülesande korrektse täitmise eest võib õpilane saada kuni 4 põhipunkti. Selleks on ühtse riigieksami jaoks trigonomeetria petulehtede otsimine peaaegu mõttetu. Kõige mõistlikum lahendus on eksamiks hästi valmistuda.
Kuidas seda teha?
Tagamaks, et matemaatika ühtse riigieksami trigonomeetria teid ei hirmutaks, kasutage ettevalmistamisel meie portaali. See on mugav, lihtne ja tõhus. Selles meie haridusportaali jaotises, mis on avatud nii Moskva kui ka teiste linnade õpilastele, on ühtse riigieksami teoreetiline materjal ja trigonomeetria valemid esitatud juurdepääsetaval viisil. Samuti oleme kõigi matemaatiliste definitsioonide jaoks valinud näiteid koos nende lahendamise protsessi üksikasjaliku kirjeldusega.
Pärast ühtseks riigieksamiks valmistumisel jaotises "Trigonomeetria" oleva teooria õppimist soovitame minna "Kataloogidesse", et omandatud teadmisi paremini omastada. Siin saate valida huvipakkuva teema probleeme ja vaadata nende lahendusi. Seega on trigonomeetria teooria kordamine ühtsel riigieksamil võimalikult tõhus.
Mida peate teadma?
Kõigepealt peate õppima teravnurkade \(sin\) , \(cos\) , \(tg\) , \(ctg\) väärtused vahemikus \(0°\) kuni \(90° \) . Samuti tasub Moskvas ühtseks riigieksamiks valmistudes meeles pidada trigonomeetriaülesannete lahendamise põhimeetodeid. Tuleb märkida, et ülesannete täitmisel tuleb võrrand taandada selle lihtsaimale kujule. Seda saate teha järgmiselt.
- võrrandi faktoriseerimine;
- muutuja asendamine (taandamine algebralisteks võrranditeks);
- mis viib homogeense võrrandini;
- poolnurka liikumine;
- toodete teisendamine summadeks;
- abinurga sisestamisega;
- kasutades universaalset asendusmeetodit.
Sel juhul tuleb õpilasel kõige sagedamini lahenduse käigus kasutada mitut loetletud meetodit.
Videokursus “Saada A” sisaldab kõiki teemasid, mis on vajalikud matemaatika ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks 60-65 punktiga. Täielikult kõik profiili ühtse riigieksami ülesanded 1-13 matemaatikas. Sobib ka matemaatika ühtse riigieksami põhieksami sooritamiseks. Kui soovid sooritada ühtse riigieksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!
Ettevalmistuskursus ühtseks riigieksamiks 10.-11.klassidele, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika ühtse riigieksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei 100-punktiline ega humanitaartudeng.
Kogu vajalik teooria. Ühtse riigieksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Kõik FIPI Task Banki 1. osa praegused ülesanded on analüüsitud. Kursus vastab täielikult ühtse riigieksami 2018 nõuetele.
Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.
Sajad ühtse riigieksami ülesanded. Sõnaülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad algoritmid probleemide lahendamiseks. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi ühtse riigieksami ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Tuupimise asemel mõistmine. Selged selgitused keerukatele mõistetele. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Ühtse riigieksami 2. osa keerukate ülesannete lahendamise alus.
Trigonomeetriliste teisenduste tegemisel järgige neid näpunäiteid.
- Ärge proovige näitele kohe algusest lõpuni lahendust leida.
- Ärge proovige kogu näidet korraga teisendada. Astuge väikeste sammudega edasi.
- Pidage meeles, et lisaks trigonomeetria trigonomeetrilistele valemitele saate siiski kasutada kõiki õiglasi algebralisi teisendusi (sulgud, murdude lühendamine, lühendatud korrutusvalemid jne).
- Uskuge, et kõik saab korda.
Põhilised trigonomeetrilised valemid
Enamikku trigonomeetria valemeid kasutatakse sageli nii paremalt vasakule kui ka vasakult paremale, seega peate need valemid nii hästi selgeks õppima, et saaksite teatud valemit hõlpsasti mõlemas suunas rakendada. Kõigepealt kirjutame üles trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid. Olgu täisnurkne kolmnurk:
Seejärel siinuse määratlus:
Koosinuse definitsioon:
Tangensi määratlus:
Kootangensi määratlus:
Põhiline trigonomeetriline identiteet:
Trigonomeetrilise põhiidentiteedi lihtsaimad tagajärjed:
Topeltnurga valemid. Topeltnurga siinus:
Topeltnurga koosinus:
Topeltnurga puutuja:
Topeltnurga kotangents:
Täiendavad trigonomeetrilised valemid
Trigonomeetrilised liitmisvalemid. Siinus summast:
Siinus erinevusest:
Summa koosinus:
Erinevuse koosinus:
Summa puutuja:
Erinevuse puutuja:
Summa kotangents:
Erinevuse kotangents:
Trigonomeetrilised valemid summa teisendamiseks korrutiseks. Siinuste summa:
Siinuse erinevus:
Koosinuste summa:
Koosinuste erinevus:
Puutujate summa:
Tangentne erinevus:
Kootangentide summa:
Kotangentne erinevus:
Trigonomeetrilised valemid korrutise teisendamiseks summaks. Siinuste saadus:
Siinuse ja koosinuse korrutis:
Koosinuste toode:
Kraadide vähendamise valemid.
Poolnurga valemid.
Trigonomeetrilised redutseerimisvalemid
Koosinusfunktsiooni nimetatakse ühisfunktsioon siinusfunktsioonid ja vastupidi. Samamoodi on puutuja- ja kotangentfunktsioonid kaasfunktsioonid. Vähendamise valemeid saab koostada järgmise reeglina:
- Kui redutseerimisvalemis lahutatakse (liidetakse) nurk 90 kraadist või 270 kraadist, siis redutseeritud funktsioon muutub kaasfunktsiooniks;
- Kui taandamise valemis lahutatakse (liidetakse) nurk 180 kraadist või 360 kraadist, siis taandatud funktsiooni nimi jääb alles;
- Sel juhul asetatakse redutseeritud (s.o. algse) funktsiooni vastavas kvadrandis olev märk redutseeritud funktsiooni ette, kui lahutatud (liidetud) nurka pidada teravaks.
Vähendamise valemid on esitatud tabeli kujul:
Kõrval trigonomeetriline ring lihtne määrata trigonomeetriliste funktsioonide tabeliväärtusi:
Trigonomeetrilised võrrandid
Teatud trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks tuleb see taandada üheks lihtsamaks trigonomeetriliseks võrrandiks, millest tuleb juttu allpool. Selle jaoks:
- Võite kasutada ülaltoodud trigonomeetrilisi valemeid. Samal ajal ei pea te proovima kogu näidet korraga ümber kujundada, vaid peate liikuma edasi väikeste sammudega.
- Ei tohi unustada võimalust mõne avaldise teisendamiseks algebraliste meetodite abil, s.t. näiteks võtta sulgudest midagi välja või vastupidi avada sulud, vähendada murdu, rakendada lühendatud korrutusvalemit, viia murded ühise nimetajani jne.
- Trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel saate kasutada rühmitamise meetod. Tuleb meeles pidada, et selleks, et mitme teguri korrutis oleks võrdne nulliga, piisab, kui mõni neist on võrdne nulliga ja ülejäänud olid olemas.
- Kandideerimine muutuv asendusmeetod, nagu tavaliselt, peaks võrrand pärast asendamise sisseviimist muutuma lihtsamaks ega sisaldama algset muutujat. Peate meeles pidama ka vastupidise asendamise tegemist.
- Pidage meeles, et trigonomeetrias esinevad sageli homogeensed võrrandid.
- Moodulite avamisel või trigonomeetriliste funktsioonidega irratsionaalsete võrrandite lahendamisel tuleb meeles pidada ja arvestada kõiki vastavate võrrandite tavafunktsioonidega lahendamise peensusi.
- Pidage meeles ODZ-d (trigonomeetrilistes võrrandites taanduvad ODZ-i piirangud peamiselt asjaolule, et te ei saa nulliga jagada, kuid ärge unustage ka muid piiranguid, eriti avaldiste positiivsust ratsionaalsetes võimsustes ja paarisastmete juurte all). Samuti pidage meeles, et siinuse ja koosinuse väärtused võivad olla ainult vahemikus miinus üks kuni pluss üks, kaasa arvatud.
Peaasi, et kui te ei tea, mida teha, tehke vähemalt midagi ja peamine on trigonomeetriliste valemite õige kasutamine. Kui see, mida saate, läheb paremaks ja paremaks, jätkake lahendust ja kui see halveneb, siis minge tagasi algusesse ja proovige rakendada muid valemeid, tehke seda seni, kuni leiate õige lahenduse.
Lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahenduste valemid. Siinuse jaoks on lahenduse kirjutamiseks kaks samaväärset vormi:
Teiste trigonomeetriliste funktsioonide puhul on tähistus üheselt mõistetav. Koosinuse jaoks:
Tangensi jaoks:
Kotangensi jaoks:
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine mõnel erijuhul:
Nende kolme punkti edukas, hoolas ja vastutustundlik rakendamine võimaldab teil näidata CT-s suurepärast tulemust, maksimaalset, milleks olete võimeline.
Leidsid vea?
Kui arvate, et olete leidnud koolitusmaterjalidest vea, kirjutage sellest meili teel. Veast saate teatada ka sotsiaalvõrgustikus (). Kirjas märkige õppeaine (füüsika või matemaatika), teema või testi nimetus või number, ülesande number või koht tekstis (leheküljel), kus teie arvates on viga. Samuti kirjeldage, mis on kahtlustatav viga. Teie kiri ei jää märkamata, viga kas parandatakse või teile selgitatakse, miks see viga pole.
- Mõelge välja märgid sümbolid ajalugu geograafia bioloogia
- Kuidas õigesti kirjutada ja vormistada uurimistööd (T&A): struktuur, nõuded, näpunäited Järeldus uurimistöö käigus
- Sõpruse juur sõnas ja morfeemiline analüüs kompositsiooni järgi Kaashäälikute positsioonimuutused vene keeles
- Kiirus pideva kiirendusega liikumisel