Как да построим графика, обратна на тази. Обратна функция
Цели на урока:
Образователни:
- гради знания върху нова темав съответствие с програмния материал;
- изучават свойството обратимост на функция и учат как да намират обратната функция на дадена;
Развитие:
- развиват умения за самоконтрол, съдържателна реч;
- овладеят концепцията за обратна функция и научат методи за намиране на обратната функция;
Образователни: развиване на комуникативна компетентност.
Оборудване:компютър, проектор, екран, интерактивна дъска SMART Board, раздавателни материали ( самостоятелна работа) за групова работа.
По време на часовете.
1. Организационен момент.
Мишена – подготовка на учениците за работа в клас:
Определение за отсъстващи,
Настройване на учениците за работа, организиране на вниманието;
Посочете темата и целта на урока.
2. Актуализиране на основните знания на учениците.Фронтално проучване.
Мишена - установяване на правилността и осъзнаването на изучения теоретичен материал, повторение на преминатия материал.<Приложение 1 >
На интерактивната дъска за учениците е показана графика на функция. Учителят формулира задача - разгледайте графиката на функция и избройте изучените свойства на функцията. Учениците изброяват свойствата на функция в съответствие с дизайна на изследването. Учителят вдясно от графиката на функцията записва посочените свойства с маркер на интерактивната дъска.
Свойства на функцията:
В края на изследването учителят съобщава, че днес в урока те ще се запознаят с още едно свойство на функцията - обратимостта. За смислено изучаване на нов материал учителят кани децата да се запознаят с основните въпроси, на които учениците трябва да отговорят в края на урока. Въпросите са написани на обикновена дъска и всеки ученик ги има като листчета (раздават се преди урока)
- Коя функция се нарича обратима?
- Някоя функция обратима ли е?
- Коя функция се нарича обратна на дадена дата?
- Как са свързани областта на дефиниция и множеството от стойности на функция и нейната обратна?
- Ако една функция е дадена аналитично, как може да се дефинира обратната функция чрез формула?
- Ако една функция е дадена графично, как да изобразим графика на нейната обратна функция?
3. Обяснение на нов материал.
Мишена - генерират знания по нова тема в съответствие с програмния материал; изучават свойството обратимост на функция и учат как да намират обратната функция на дадена; развиват съдържателна реч.
Учителят представя материала в съответствие с материала в параграфа. На интерактивната дъска учителят сравнява графиките на две функции, чиито домейни на дефиниция и набори от стойности са еднакви, но една от функциите е монотонна, а другата не е, като по този начин запознава учениците с концепцията за обратима функция .
След това учителят формулира дефиницията на обратима функция и провежда доказателство на теоремата за обратимата функция, използвайки графиката на монотонна функция на интерактивната дъска.
Определение 1: Извиква се функцията y=f(x), x X обратими, ако приема някоя от стойностите си само в една точка от множеството X.
Теорема: Ако функция y=f(x) е монотонна върху множество X, тогава тя е обратима.
Доказателство:
- Нека функцията y=f(x)се увеличава с хостави x 1 ≠x 2- две точки от сета х.
- За да бъдем конкретни, нека х 1<
х 2.
Тогава от факта, че х 1< х 2следва това f(x 1) < f(x 2). - По този начин различните стойности на аргумента съответстват на различни стойности на функцията, т.е. функцията е обратима.
(С напредването на доказателството на теоремата учителят използва маркер, за да направи всички необходими обяснения върху чертежа)
Преди да формулира определението за обратна функция, учителят кара учениците да определят коя от предложените функции е обратима? Интерактивната дъска показва графики на функции и записва няколко аналитично дефинирани функции:
Б)
G) y = 2x + 5
Д) y = -x 2 + 7
Учителят въвежда определението за обратна функция.
Определение 2: Нека обратимата функция y=f(x)определени на снимачната площадка хИ E(f)=Y. Нека съпоставим всеки един гот YЧе едно значение х, при което f(x)=y.След това получаваме функция, която е дефинирана на Y, А х– функционален диапазон
Тази функция е обозначена x=f -1 (y)и се нарича обратна на функцията y=f(x).
Студентите са помолени да направят заключение за връзката между областта на дефиницията и набора от стойности на обратни функции.
За да разгледа въпроса как да се намери обратната на дадена функция, учителят привлече двама ученици. Предния ден децата получиха задача от учителя самостоятелно да анализират аналитичния и графичния метод за намиране на обратната функция на дадена функция. Учителят действаше като консултант при подготовката на учениците за урока.
Съобщение от първия ученик.
Забележка: монотонността на функцията е достатъчноусловие за съществуване на обратната функция. Но не енеобходимо условие.
Ученикът даде примери за различни ситуации, когато функцията не е монотонна, а обратима, когато функцията не е монотонна и не е обратима, когато е монотонна и обратима
След това ученикът запознава учениците с метод за намиране на обратната функция, дадена аналитично.
Алгоритъм за намиране
- Уверете се, че функцията е монотонна.
- Изразете променливата x чрез y.
- Преименуване на променливи. Вместо x=f -1 (y) напишете y=f -1 (x)
След това решава два примера, за да намери обратната функция на даден.
Пример 1:Покажете, че за функцията y=5x-3 съществува обратна функция и намерете нейния аналитичен израз.
Решение. Линейната функция y=5x-3 е дефинирана върху R, нараства върху R и нейният диапазон от стойности е R. Това означава, че обратната функция съществува върху R. За да намерите нейния аналитичен израз, решете уравнението y=5x- 3 за x; получаваме Това е търсената обратна функция. Той е дефиниран и нараства върху R.
Пример 2:Покажете, че за функцията y=x 2, x≤0 съществува обратна функция и намерете нейния аналитичен израз.
Функцията е непрекъсната, монотонна в своята област на дефиниция, следователно е обратима. След като се анализират областите на дефиниция и наборите от стойности на функцията, се прави съответното заключение за аналитичния израз за обратната функция.
Вторият ученик прави презентация за графикаметод за намиране на обратната функция. По време на своето обяснение ученикът използва възможностите на интерактивната дъска.
За да се получи графика на функцията y=f -1 (x), обратна на функцията y=f(x), е необходимо да се преобразува графиката на функцията y=f(x) симетрично по отношение на правата y=x.
По време на обяснението на интерактивната дъска се изпълнява следната задача:
Построете графика на функция и графика на нейната обратна функция в една и съща координатна система. Запишете аналитичния израз за обратната функция.
4. Първично затвърдяване на нов материал.
Мишена - установете правилността и осъзнаването на разбирането на изучения материал, идентифицирайте пропуски в първичното разбиране на материала и ги коригирайте.
Учениците се разделят на двойки. Раздават им се листове със задачи, в които те работят по двойки. Времето за изпълнение на работата е ограничено (5-7 минути). Една двойка ученици работи на компютъра, през това време проекторът се изключва и останалите деца не виждат как учениците работят на компютъра.
В края на времето (приема се, че по-голямата част от учениците са свършили работата) работата на учениците се показва на интерактивната дъска (проекторът се включва отново), където по време на проверката се установява дали задачата е попълнено правилно по двойки. При необходимост учителят провежда коригираща и разяснителна работа.
Самостоятелна работа по двойки<Приложение 2 >
5. Обобщение на урока.Относно въпросите, които бяха зададени преди лекцията. Обявяване на оценките за урока.
Домашна работа §10. № 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12 (b)
Алгебра и началото на анализа. 10 клас В 2 части за образователни институции(ниво на профил) / А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова и др.; редактиран от А. Г. Мордкович, M: Mnemosyne, 2007
Препис
1 Взаимно обратни функцииДве функции f и g се наричат взаимно обратни, ако формулите y=f(x) и x=g(y) изразяват една и съща връзка между променливите x и y, т.е. ако равенството y=f(x) е вярно тогава и само ако равенството x=g(y) е вярно: y=f(x) x=g(y) Ако две функции f и g са взаимно обратни, тогава g се нарича обратна функция за f и, обратно, f е обратна функция за g. Например y=10 x и x=lgy са взаимно обратни функции. Условие за съществуване на взаимно обратна функция Функция f има обратна функция, ако от връзката y=f(x) променливата x може да бъде уникално изразена чрез y. Има функции, за които е невъзможно аргументът да се изрази еднозначно чрез дадената стойност на функцията. Например: 1. y= x. За дадено положително число y има две стойности на аргумента x, така че x = y. Например, ако y=2, тогава x=2 или x= - 2. Това означава, че е невъзможно да се изрази x недвусмислено чрез y. Следователно тази функция няма реципрочна стойност. 2. y=x 2. x=, x= - 3. y=sinx. За дадена стойност на y (y 1) има безкрайно много стойности на x, така че y=sinx. Функцията y=f(x) има обратна, ако всяка права линия y=y 0 пресича графиката на функцията y=f(x) в не повече от една точка (тя може изобщо да не пресича графиката, ако y 0 пресича графиката не принадлежат към диапазона от стойности на функцията f) . Това условие може да се формулира по различен начин: уравнението f(x)=y 0 за всяко y 0 има най-много едно решение. Условието, че функцията има обратна функция, със сигурност е изпълнено, ако функцията е строго нарастваща или строго намаляваща. Ако f е строго нарастващ, тогава за две различни стойности на аргумента, който приема различни значения, тъй като по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията. Следователно уравнението f(x)=y за строго монотонна функция има най-много едно решение. Експоненциалната функция y=a x е строго монотонна, така че има обратна логаритмична функция. Много функции нямат обратни. Ако за някое b уравнението f(x)=b има повече от едно решение, тогава функцията y=f(x) няма обратно. На графика това означава, че правата y=b пресича графиката на функцията в повече от една точка. Например, y=x 2 ; y=sinx; y=tgx.
2 Неяснотата на решението на уравнението f(x) = b може да се преодолее чрез намаляване на областта на дефиниране на функцията f, така че нейният диапазон от стойности да не се променя, но така че да приема всяка стойност веднъж. Например y=x 2, x 0; y=sinx, ; y=tgx,. Общо правилонамиране на обратната функция за функция: 1. решаване на уравнението за x, намираме; 2. Променяйки обозначенията на променливата x на y и y на x, получаваме обратната функция на дадената. Свойства на взаимно обратни функции Тъждества Нека f и g са взаимно обратни функции. Това означава, че равенствата y=f(x) и x=g(y) са еквивалентни: f(g(y))=y и g(f(x))=x. Например, 1. Нека f е експоненциална функция и g е логаритмична функция. Получаваме: i. 2. Функциите y=x2, x0 и y= са взаимно обратни. Имаме две идентичности: и за x 0. Област на дефиниция Нека f и g са взаимно обратни функции. Областта на функцията f съвпада с областта на функцията g и, обратно, областта на функцията f съвпада с областта на функцията g. Пример. Домейнът на дефиниция на експоненциалната функция е цялата числена ос R, а диапазонът от стойности е множеството от всички положителни числа. За логаритмична функция е обратното: домейнът на дефиниция е множеството от всички положителни числа, а диапазонът от стойности е целият набор от R. Монотонност Ако една от взаимно обратните функции е строго нарастваща, тогава другата стриктно нараства. Доказателство. Нека x 1 и x 2 са две числа, лежащи в областта на дефиниция на функцията g, и x 1 3 Графики на взаимно обратни функции Теорема. Нека f и g са взаимно обратни функции. Графиките на функциите y=f(x) и x=g(y) са симетрични една на друга спрямо ъглополовящата на ъгъла how. Доказателство. По дефиницията на взаимно обратни функции, формулите y=f(x) и x=g(y) изразяват една и съща зависимост между променливите x и y, което означава, че тази зависимост се изобразява от една и съща графика на някаква крива C. Кривата C е графика на функциите y=f(x). Да вземем произволна точка P(a; b) C. Това означава, че b=f(a) и в същото време a=g(b). Нека построим точка Q, симетрична на точката P спрямо ъглополовящата на ъгъла xy. Точка Q ще има координати (b; a). Тъй като a=g(b), тогава точка Q принадлежи на графиката на функцията y=g(x): наистина, за x=b, стойността на y=a е равна на g(x). Така всички точки, симетрични на точките на кривата C спрямо посочената права, лежат на графиката на функцията y=g(x). Примери за функции, чиито графики са взаимно обратни: y=e x и y=lnx; y=x 2 (x 0) и y= ; y=2x 4 и y= +2. 4 Производна на обратна функция Нека f и g са взаимно обратни функции. Графиките на функциите y=f(x) и x=g(y) са симетрични една на друга спрямо ъглополовящата на ъгъла how. Нека вземем точката x=a и изчислим стойността на една от функциите в тази точка: f(a)=b. Тогава, по дефиниция на обратната функция, g(b)=a. Точките (a; f(a))=(a; b) и (b; g(b))=(b; a) са симетрични спрямо правата l. Тъй като кривите са симетрични, допирателните към тях са симетрични спрямо правата l. От симетрията ъгълът на едната права с оста x е равен на ъгъла на другата права с оста y. Ако права линия сключва ъгъл α с оста x, тогава нейният ъглов коефициент е равен на k 1 =tgα; тогава втората права има ъглов коефициент k 2 =tg(α)=ctgα=. По този начин ъгловите коефициенти на линиите, симетрични по отношение на правата линия l, са взаимно обратни, т.е. k 2 =, или k 1 k 2 =1. Преминавайки към производни и като вземем предвид, че наклонът на допирателната е стойността на производната в точката на контакт, заключаваме: Стойностите на производните на взаимно обратни функции в съответните точки са взаимно обратни, т.е. Пример 1. Докажете, че функцията f(x) = x 3, обратима. Решение. y=f(x)=x 3. Обратната функция ще бъде функцията y=g(x)=. Нека намерим производната на функцията g:. Тези. =. Задача 1. Докажете, че функцията, дадена с формулата, е обратима 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 5 Пример 2. Намерете обратната функция на функцията y=2x+1. Решение. Функцията y=2x+1 е нарастваща, следователно има обратна. Нека изразим x през y: получаваме.. Преминавайки към общоприетите обозначения, Отговор: Задача 2. Намерете обратни функции за тези функции 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Глава 9 Степени Степен с цяло число. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0; > >.. >. Ако е четно, тогава ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Например () = > = = (), така че Какво ще учим: Урок на тема: Изследване на функция за монотонност. Намаляващи и нарастващи функции. Връзка между производна и монотонност на функция. Две важни теореми за монотонността. Примери. Момчета, ние 6 Проблеми, водещи до концепцията за производна Let материална точкасе движи по права линия в една посока съгласно закона s f (t), където t е времето, а s е пътят, изминат от точка за време t. Нека отбележим определен момент 1 SA Lavrenchenko Лекция 12 Обратни функции 1 Концепцията за обратна функция Определение 11 Функцията се нарича едно-към-едно, ако не приема никаква стойност повече от веднъж, тези от които следват, когато Лекция 5 Производни на основни елементарни функции Анотация: Дадени са физически и геометрични интерпретации на производната на функция на една променлива, разгледани са примери за диференциране на функции и правила. Глава 1. Граници и непрекъснатост 1. Набори от числа 1 0. Реални числа От училищната математика знаете естествени N цели Z рационални Q и реални R числа Естествени и цели числа Числени функции и числови последователности D. V. Lytkina NPP, I семестър D. V. Lytkina (SibGUTI) математически анализ на NPP, I семестър 1 / 35 Съдържание 1 Числова функция Понятие за функция Числени функции. Лекция 19 ПРОИЗВОДНА И НЕГОВИТЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ДЕФИНИЦИЯ ЗА ПРОИЗВОДНА. Нека имаме някаква функция y=f(x), дефинирана на някакъв интервал. За всяка стойност на аргумента x от този интервал функцията y=f(x) Глава 5 Изследване на функции с помощта на формулата на Тейлър Локален екстремум на функция Определение Функция = f (достига локален максимум (минимум) в точка c, ако е възможно да се определи δ > така, че нейното увеличение Катедра Математика и компютърни науки Елементи на висшата математика Учебно-методически комплекс за ученици от средното професионално образование, обучаващи се с дистанционни технологии Модул Диференциално смятане Съставител: Катедра "Математика и компютърни науки" Математически анализ Учебно-методически комплекс за студенти, обучаващи се с дистанционни технологии Модул 4 Производни приложения Съставител: ст.н.с. Задачи за самостоятелно решаване. Намерете домейна на функцията 6x. Намерете тангенса на ъгъла на наклон към оста x на тангентата, минаваща през точка M (;) от графиката на функцията. Намерете тангенса на ъгъла Тема Теория на границите Практически урокЧислови последователности Дефиниция на числова последователност Ограничени и неограничени последователности Монотонни последователности Безкрайно малки 44 Пример Намерете общата производна сложна функция= sin v cos w където v = ln + 1 w= 1 Използвайки формула (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Сега намерете общия диференциал на комплексната функция f МОДУЛ „Приложение на непрекъснатост и производна. Приложение на производната към изследването на функциите." Приложение на непрекъснатостта.. Интервален метод.. Допирателна към графиката. Формула на Лагранж. 4. Приложение на производна Москва Институт по физика и технологииПоказателни, логаритмични уравнения и неравенства, метод на потенциране и логаритъм при решаване на задачи. Методическо ръководство за подготовка за олимпиади. Глава 8 Функции и графики Променливи и зависимости между тях. Две количества се наричат правопропорционални, ако съотношението им е постоянно, т.е. ако =, където е постоянно число, което не се променя с промени Министерство на образованието на Република Беларус ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ "ГРОДНЕНСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ НА ИМЕТО НА ЯНКА КУПАЛА" Ю.Ю. Гнездовски, В. Н. Горбузов, П. Ф. Проневич ЕКСПОНЕНЦИАЛЕН И ЛОГАРИТМИЧЕН Тема Числова функция, нейните свойства и графика Концепция на числова функция Домейн на дефиниция и набор от стойности на функция Нека е дадено числово множество X Правило, което свързва всяко число X с уникален I Дефиниция на функция на няколко променливи Област на дефиниция Когато изучаваме много явления, човек трябва да се занимава с функции на две или повече независими променливи.Например телесната температура в даден момент 1. Определен интеграл 1.1. Нека f е ограничена функция, дефинирана на сегмента [, b] R. Разделение на сегмента [, b] е набор от точки τ = (x, x 1,..., x n 1, x n) [, b ] така че = x< x 1 < < x n 1 Лекция Изследване на функция и конструиране на нейната графика Резюме: Функцията се изучава за монотонност, екстремум, изпъкналост-вдлъбнатост, наличие на асимптоти Даден е пример за изследване на функция, конструкция Предмет. функция. Методи за възлагане. Неявна функция. Обратна функция. Класификация на функциите. Елементи на теорията на множествата. Основни понятия Едно от основните понятия на съвременната математика е понятието за множество. Тема 2.1 Числови функции. Функция, нейните свойства и графика. Нека X и Y са някои числови набори. Ако на всеки, според някакво правило F, се присвои един елемент, тогава те казват, че Дадено Алгебра и начало на анализа, XI АЛГЕБРА И НАЧАЛО НА АНАЛИЗ Съгласно Правилника за държавното (окончателно) сертифициране на завършилите XI (XII) класове на общообразователните институции Руска федерацияучениците вземат Ел Ей Щраус, И.В. Баринова Проблеми с параметър в Единния държавен изпит Методически препоръки y=-x 0 -a- -a x -5 Уляновск 05 Strauss L.A. Проблеми с параметър в Единния държавен изпит [Текст]: насоки/ Л.А. Щраус, И.В. Глава 3. Изследване на функции с помощта на производни 3.1. Екстремуми и монотонност Да разгледаме функцията y = f (), дефинирана на определен интервал I R. Казва се, че тя има локален максимум в точката Предмет. Логаритмични уравнения, неравенства и системи от уравнения I. Общи указания 1. Докато работите по темата, анализирате примери и самостоятелно решавате предложените задачи, опитайте във всеки случай Какво ще учим: Урок на тема: Намиране на екстремуми на функции. 1. Въведение. 2) Минимални и максимални точки. 3) Екстремум на функцията. 4) Как да изчислим екстремуми? 5) Примери Момчета, да видим 1 SA Lavrenchenko Лекция 13 Експоненциални и логаритмични функции 1 Концепцията за експоненциална функция Определение 11 Експоненциална функция е функция на формата база е положителна константа, където Функция Уебинар 5 Тема: Повторение Подготовка за Единния държавен изпит (задача 8) Задача 8 Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които уравнението a a 0 има седем или осем решения Нека, тогава t t Оригинално уравнение Московски държавен технически университет на името на N.E. Факултет Бауман" Основни науки» отдел « Математическо моделиране» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî Главна информацияЗадачи с параметри Уравнения с модулни задачи тип задачи C 5 1 Подготовка за Единния държавен изпит Dikhtyar M.B. 1. Абсолютна стойност, или модулът на число x, е самото число x, ако x 0; число x, I. V. Yakovlev Материали по математика MathUs.ru Логаритъм В тази статия ние даваме дефиницията на логаритъм, извличаме основни логаритмични формули, даваме примери за изчисления с логаритми и също така разглеждаме 13. Частични производни от по-високи разряди Нека = имат и са дефинирани на D O. Функциите и се наричат също частни производни от първи ред на функция или първи частни производни на функция. и изобщо Федерален държавен бюджет на Министерството на образованието и науката на Руската федерация образователна институция висше образование„НИЖНИ НОВГОРОДСКИ ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ IM R E СЪДЪРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА НА ФУНКЦИОНАЛНИЯ АНАЛИЗ...10 Основни свойства на функциите...11 Четни и нечетни...11 Периодичност...12 Нули на функция...12 Монотонност (нарастваща, намаляваща)...13 Екстремуми (максимум ВЪВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЯ АНАЛИЗ Лекция. Концепцията за набор. Дефиниране на основните свойства на функцията. Основни елементарни функции СЪДЪРЖАНИЕ: Елементи от теорията на множествата Множество от реални числа Числен Тема 36 „Свойства на функциите“ Ще анализираме свойствата на функция, като използваме примера на графиката на произволна функция y = f(x): 1. Областта на дефиниране на функция е множеството от всички стойности на променливата x, която има съответния Асимптоти Графика на функция Декартова координатна система Дробна линейна функция Квадратичен трином Линейна функция Локален екстремум Набор от стойности на квадратичен трином Набор от стойности на функция Уралски федерален университет, Институт по математика и компютърни науки, Катедра по алгебра и дискретна математика Уводни бележки Тази лекция е посветена на изучаването на равнината. Материалът, представен в него ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ 1. Основни понятия Диференциално уравнение за определена функция е уравнение, което свързва тази функция с нейните независими променливи и нейните производни. МАТЕМАТИКА Задачи за единен държавен изпит C5 7 Неравенства (метод на домейн) Указания и решения Материал за справкаИзточници Koryanov A G Bryansk Изпращайте коментари и предложения на: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРИ Тема 41 „Задачи с параметър” Основни формулировки на задачи с параметър: 1) Намерете всички стойности на параметъра, за всяка от които е изпълнено определено условие.) Решете уравнение или неравенство с Тема 39. „Производни на функции“ Функция Производната на функция в точката x 0 е границата на съотношението на нарастването на функция към увеличението на променлива, т.е. = lim = lim + () Таблица на производни: Производна Катедра "Математика и компютърни науки" Елементи на висшата математика Учебно-методически комплекс за ученици от средното професионално образование, обучаващи се с дистанционни технологии Модул Теория на границите Съставител: ст.н.с. Производна на функция Нейното геометрично и физическо значение Техника на диференциране Основни дефиниции Нека f () е дефинирано върху (,) a, b някаква фиксирана точка, нарастването на аргумента в точката, Диференциране на имплицитно дадена функция Да разгледаме функцията (,) = C (C = const) Това уравнение дефинира неявната функция () Да предположим, че решихме това уравнение и намерихме експлицитния израз = () Сега можем Министерството на образованието и науката на Руската федерация Ярославски Държавен университетна името на П. Г. Демидова Катедра Дискретен анализ СБОРНИК ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНО РЕШЕНИЕ ПО ТЕМАТА ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ Регионален научно-практическа конференцияобразователни изследвания и проектантска работаученици от 6-11 клас „Приложни и фундаментални въпроси на математиката“ Методически аспекти на изучаването на математика Използване Граници и приемственост. Граница на функция Нека функцията = f) е дефинирана в някаква околност на точка = a. Освен това в самата точка а функцията не е непременно дефинирана. Определение. Числото b се нарича граница Единен държавен изпит по математика, демо версия 7 година Част А Намерете стойността на израза 6p p с p = Решение Използваме свойството на степените: Заместете в получения израз Правилно 0.5 Логаритмични уравнения и неравенства. Използвани книги:. Алгебра и принципи на анализа 0 - под редакцията на А. Н. Колмогоров. Независими и тестови работипо алгебра 0 - под редакцията на Е. П. Ершов Система от задачи по темата „Уравнение на допирателната“ Определете знака на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията y f (), в точки с абсцисите a, b, c a) b) Посочете точките, в които производната Неравенства с параметър на единния държавен изпит VV Silvestrov Задачите на единния държавен изпит (USE) със сигурност съдържат проблеми с параметри Изпитен работен план 008 Алгебрични уравнения, където Определение. Уравнение от формата 0, P () 0, някои реални числа се нарича алгебрично. 0 0 В същото време променливо количествосе нарича неизвестно, а числата 0, коефициенти Уравнения на права и равнина Уравнение на права на равнина.. Общо уравнение на права. Знак за паралелност и перпендикулярност на линиите. В декартови координати всяка права линия в равнината Oxy е дефинирана Графика на производната на функция Интервали на монотонност на функция Пример 1. На фигурата е показана графика на y =f (x) на производната на функцията f (x), определена на интервала (1;13). Намерете интервалите на нарастваща функция Мостри основни задачии въпроси по МА за семестъра Граница на редицата Най-проста Изчислете границата на редицата l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Изчислете границата на редицата Задачи по аналитична геометрия, механика и математика, Московски държавен университет Задача За даден тетраедър O Изразете чрез вектори O O O вектора EF с начало в средата E на ръба O и край в точката F на пресичане на медианите на триъгълника Решение Нека Постановка на проблема Метод на разделяне на половина Метод на хордата (метод на пропорционалните части 4 Метод на Нютон (метод на тангенса 5 Метод на итерация (метод на последователно приближение) Постановка на проблема Нека дадено 1. Изрази и трансформации 1.1 Корен от степен n Концепцията за корен от степен n Свойства на корен от степен n: Корен от произведение и произведение от корени: опростете израза; намерете стойностите на корена на частното ЛЕКЦИЯ N4. Диференциал на функция от първи и по-горни редове. Инвариантност на формата на диференциала. Производни от по-високи разряди. Приложение на диференциала в приближените изчисления. 1. Концепцията за диференциала.... МОДУЛ 7 „Експоненциални и логаритмични функции.“ Обобщение на понятието степен. Корен от степен и неговите свойства.. Ирационални уравнения.. Степен с рационален показател.. Показателна функция.. 13. Експонента и логаритъм За да завършим доказателството на твърдение 12.8, трябва да дадем само едно определение и да докажем едно твърдение. Определение 13.1. За серия a i се казва, че е абсолютно сходяща, ако МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ НОВОСИБИРСК ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРАН ОБРАЗОВАТЕЛЕН И ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИ ЦЕНТЪР Математика 10 клас ИЗУЧАВАНЕ НА ФУНКЦИИ Новосибирск За проверка ЛЕКЦИЯ N. Скаларно поле. Производна по посока. Градиент. Допирателна равнина и нормала към повърхността. Екстремуми на функция на няколко променливи. Условен екстремум Скаларно поле. Производна по отношение на МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ НОВОСИБИРСК ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРАН ОБРАЗОВАТЕЛЕН И ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИ ЦЕНТЪР Математика клас 0 ГРАНИЦИ ЗА ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ Новосибирск Интуитивен Да приемем, че имаме определена функция y = f (x), която е строго монотонна (намаляваща или нарастваща) и непрекъсната в областта на дефиниция x ∈ a; b ; неговия диапазон от стойности y ∈ c ; d и на интервала c; d в този случай ще имаме дефинирана функция x = g (y) с диапазон от стойности a ; b. Втората функция също ще бъде непрекъсната и строго монотонна. По отношение на y = f (x) това ще бъде обратна функция. Тоест, можем да говорим за обратната функция x = g (y), когато y = f (x) или ще намалява, или ще се увеличава за даден интервал. Тези две функции, f и g, ще бъдат взаимно обратни. Yandex.RTB R-A-339285-1 Защо изобщо се нуждаем от концепцията за обратни функции? Имаме нужда от това, за да решим уравненията y = f (x), които са написани точно с помощта на тези изрази. Да кажем, че трябва да намерим решение на уравнението cos (x) = 1 3 . Неговите решения ще бъдат две точки: x = ± a r c o c s 1 3 + 2 π · k, k ∈ Z Например функциите обратен косинус и косинус ще бъдат обратни една на друга. Нека разгледаме няколко задачи, за да намерим функции, които са обратни на дадени. Пример 1 Състояние:каква е обратната функция за y = 3 x + 2? Решение
Домейнът на дефинициите и диапазонът от стойности на функцията, посочена в условието, е множеството от всички реални числа. Нека се опитаме да решим това уравнение чрез x, тоест като изразим x чрез y. Получаваме x = 1 3 y - 2 3 . Това е обратната функция, от която се нуждаем, но у ще бъде аргументът тук, а х ще е функцията. Нека ги пренаредим, за да получим повече позната формазаписи: Отговор:функцията y = 1 3 x - 2 3 ще бъде обратната на y = 3 x + 2. И двете взаимно обратни функции могат да бъдат начертани по следния начин: Виждаме симетрията на двете графики по отношение на y = x. Тази права е ъглополовящата на първия и третия квадрант. Резултатът е доказателство за едно от свойствата на взаимно обратни функции, което ще обсъдим по-късно. Нека вземем пример, в който трябва да намерим логаритмичната функция, която е обратна на дадена експоненциална функция. Пример 2 Състояние:определете коя функция ще бъде обратната за y = 2 x. Решение
За дадена функция домейнът на дефиниция са всички реални числа. Диапазонът от стойности е в интервала 0; + ∞ . Сега трябва да изразим x чрез y, тоест да решим определеното уравнение чрез x. Получаваме x = log 2 y. Нека пренаредим променливите и да получим y = log 2 x. В резултат на това получихме експоненциална и логаритмична функции, които ще бъдат взаимно обратни една на друга в цялата област на дефиниране. Отговор: y = log 2 x. На графиката и двете функции ще изглеждат така: В този параграф изброяваме основните свойства на функциите y = f (x) и x = g (y), които са взаимно обратни. Определение 1 Съветваме ви да обърнете голямо внимание на понятията област на дефиниция и област на значение на функциите и никога да не ги бъркате. Да приемем, че имаме две взаимно обратни функции y = f (x) = a x и x = g (y) = log a y. Според първото свойство y = f (g (y)) = логаритъм a y. Това равенство ще бъде вярно само в случай на положителни стойности на y, а за отрицателни стойности логаритъмът не е дефиниран, така че не бързайте да записвате, че log a y = y. Не забравяйте да проверите и добавете, че това е вярно само когато y е положително. Но равенството x = f (g (x)) = log a a x = x ще бъде вярно за всякакви реални стойности на x. Не забравяйте за тази точка, особено ако трябва да работите с тригонометрични и обратни тригонометрични функции. И така, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, тъй като обхватът на арксинуса е π 2; π 2 и 7 π 3 не са включени в него. Правилният запис ще бъде a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = a r c sin sin π 3 = π 3 Но sin a r c sin 1 3 = 1 3 е правилно равенство, т.е. sin (a r c sin x) = x за x ∈ - 1; 1 и a r c sin (sin x) = x за x ∈ - π 2 ; π 2. Винаги внимавайте с диапазона и обхвата на обратните функции! Ако имаме степенна функция y = x a , тогава за x > 0 степенната функция x = y 1 a също ще бъде негова обратна. Нека заменим буквите и да получим съответно y = x a и x = y 1 a. На графиката те ще изглеждат така (случаи с положителен и отрицателен коефициент a): Да вземем, което ще бъде положително число, не е равно на 1. Графики за функции с a > 1 и a< 1 будут выглядеть так: Ако трябваше да начертаем синуса и арксинуса на главния клон, това би изглеждало така (показано като осветената светла област). Вече се сблъскахме с проблем, при който при дадена функция f и дадена стойност на нейния аргумент беше необходимо да се изчисли стойността на функцията в тази точка. Но понякога трябва да се сблъскате с обратния проблем: да намерите, дадена известна функция f и нейната определена стойност y, стойността на аргумента, в който функцията приема дадена стойност y. Извиква се функция, която приема всяка от своите стойности в една точка в своя домейн на дефиниция обратима функция. Например линейна функция би била обратима функция. Но квадратичната функция или функцията синус няма да бъдат обратими функции. Тъй като една функция може да приеме една и съща стойност с различни аргументи. Да приемем, че f е произволна обратима функция. Всяко число от областта на своите стойности y0 съответства само на едно число от областта на дефиниция x0, така че f(x0) = y0. Ако сега свържем всяка стойност x0 със стойност y0, ще получим нова функция. Например, за линейна функция f(x) = k * x + b, функцията g(x) = (x - b)/k ще бъде нейната обратна. Ако някаква функция жвъв всяка точка хдиапазон от стойности на обратимата функция f приема такава стойност, че f(y) = x, тогава казваме, че функцията ж- има обратна функция на f. Ако ни е дадена графика на някаква обратима функция f, тогава, за да построим графика на обратната функция, можем да използваме следното твърдение: графиката на функцията f и нейната обратна функция g ще бъдат симетрични по отношение на правата линия, определена от уравнението y = x. Ако функция g е обратна на функция f, тогава функцията g ще бъде обратима функция. И функцията f ще бъде обратна на функцията g. Обикновено се казва, че две функции f и g са взаимно обратни една на друга. Следващата фигура показва графики на функции f и g взаимно обратни една на друга. Нека изведем следната теорема: ако функция f нараства (или намалява) на някакъв интервал A, тогава тя е обратима. Обратната функция g, дефинирана в диапазона от стойности на функцията f, също е нарастваща (или съответно намаляваща) функция. Тази теорема се нарича теорема за обратна функция.
Основни свойства на взаимно обратните функции
Обратна функция