Паралелепипед и куб. Визуално ръководство (2019)
В този урок всеки ще може да изучава темата „ Правоъгълен паралелепипед" В началото на урока ще повторим какво представляват произволни и прави паралелепипеди, запомнете свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво е кубоид и ще обсъдим основните му свойства.
Тема: Перпендикулярност на прави и равнини
Урок: Кубоид
Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се нарича паралелепипед(Фиг. 1).
Ориз. 1 паралелепипед
Тоест: имаме два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредници паралелепипед.
По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.
1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.
(формите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез застъпване)
Например:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (равни успоредници по дефиниция),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).
2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка.
Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O, като всеки диагонал се дели наполовина от тази точка (фиг. 2).
Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипед се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка.
3. Има три четворки от равни и успоредни ръбове на паралелепипед: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.
Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. Това означава, че страничните лица съдържат правоъгълници. А основите съдържат произволни успоредници. Нека означим ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.
Ориз. 3 Прав паралелепипед
И така, прав паралелепипед е паралелепипед, в който страничните ръбове са перпендикулярни на основите на паралелепипеда.
Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.
Паралелепипедът ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:
1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен ръб, перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).
2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.
Ориз. 4 Правоъгълен паралелепипед
Правоъгълният паралелепипед има всички свойства на произволен паралелепипед.Но има допълнителни свойства, които се извличат от дефиницията на кубоид.
Така, кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на кубоид е правоъгълник.
1. В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.
ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.
2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.
3. Всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Да разгледаме например двустенния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двустенния ъгъл между равнините ABC 1 и ABC.
AB е ребро, като точка A 1 лежи в едната равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двустенен ъгъл може да се означи и по следния начин: ∠A 1 ABD.
Нека вземем точка А на ръба АВ. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината АВВ-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Това означава, че ∠A 1 AD е линейният ъгъл на даден двустенен ъгъл. ∠A 1 AD = 90°, което означава, че двустенният ъгъл при ръба AB е 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
По същия начин се доказва, че всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.
Забележка. Дължините на трите ръба, излизащи от един връх на кубоид, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат дължина, ширина, височина.
Дадено е: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).
Докажи: .
Ориз. 5 Правоъгълен паралелепипед
Доказателство:
Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC и следователно на правата AC. Това означава, че триъгълникът CC 1 A е правоъгълен. Според теоремата на Питагор:
Да разгледаме правоъгълния триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:
Но BC и AD са противоположните страни на правоъгълника. Така че BC = AD. Тогава:
защото , А
, Че. Тъй като CC 1 = AA 1, това трябва да се докаже.
Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.
Нека означим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (виж фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
В геометрията се разграничават следните видове паралелепипеди: правоъгълен паралелепипед (лицата на паралелепипеда са правоъгълници); прав паралелепипед (страничните му лица действат като правоъгълници); наклонен паралелепипед (страничните му повърхности действат като перпендикуляри); кубът е паралелепипед с абсолютно еднакви размери, а лицата на куба са квадрати. Паралелепипедите могат да бъдат както наклонени, така и прави.
Основните елементи на паралелепипеда са, че две лица на представената геометрична фигура, които нямат общ ръб, са противоположни, а тези, които имат, са съседни. Върховете на паралелепипеда, които не принадлежат на едно и също лице, действат един срещу друг. Паралелепипедът има измерение - това са три ръба, които имат общ връх.
Отсечката, която свързва противоположните върхове, се нарича диагонал. Четирите диагонала на паралелепипед, пресичащи се в една точка, се разделят едновременно наполовина.
За да определите диагонала на паралелепипед, трябва да определите страните и ръбовете, които са известни от условията на задачата. С три известни ребра А , IN , СЪС начертайте диагонал в паралелепипеда. Според свойството на паралелепипеда, което гласи, че всичките му ъгли са прави, се определя диагоналът. Построете диагонал от едно от лицата на паралелепипеда. Диагоналите трябва да бъдат начертани по такъв начин, че диагоналът на лицето, желаният диагонал на паралелепипеда и известният ръб да образуват триъгълник. След като се образува триъгълник, намерете дължината на този диагонал. Диагоналът в другия получен триъгълник действа като хипотенуза, така че може да се намери с помощта на Питагоровата теорема, която трябва да се вземе под корен квадратен. По този начин знаем стойността на втория диагонал. За да намерите първия диагонал на паралелепипед в образувания правоъгълен триъгълник, също така е необходимо да се намери неизвестната хипотенуза (следвайки Питагоровата теорема). Използвайки същия пример, намерете последователно останалите три диагонала, съществуващи в паралелепипеда, като извършите допълнителни конструкции на диагонали, които образуват правоъгълни триъгълници и решете с помощта на Питагоровата теорема.
Правоъгълен паралелепипед (PP) не е нищо повече от призма, чиято основа е правоъгълник. За PP всички диагонали са равни, което означава, че всеки от неговите диагонали се изчислява по формулата:
a, c - страни на основата на PP;
c е неговата височина.
Може да се даде друго определение, като се вземе предвид декартовата правоъгълна координатна система:
PP диагоналът е радиус-векторът на всяка точка в пространството, определена от координатите x, y и z в декартовата координатна система. Този радиус вектор към точката е изчертан от началото. И координатите на точката ще бъдат проекциите на радиус вектора (диагоналите на PP) върху координатните оси. Проекциите съвпадат с върховете на този паралелепипед.
Паралелепипед и неговите видове
Ако буквално преведем името му от старогръцки, се оказва, че това е фигура, състояща се от успоредни равнини. Съществуват следните еквивалентни определения на паралелепипед:
- призма с основа под формата на успоредник;
- многостен, всяко лице на който е успоредник.
Видовете му се разграничават в зависимост от това каква фигура лежи в основата му и как са насочени страничните ребра. Като цяло говорим за наклонен паралелепипед, чиято основа и всички лица са успоредници. Ако страничните лица на предишния изглед станат правоъгълници, тогава ще трябва да се извика директен. И правоъгълени основата също има 90º ъгли.
Освен това в геометрията те се опитват да изобразят последното по такъв начин, че да се забележи, че всички ръбове са успоредни. Тук, между другото, е основната разлика между математиците и художниците. За последното е важно да предаде тялото в съответствие със закона на перспективата. И в този случай успоредността на ребрата е напълно невидима.
За въведените означения
Във формулите по-долу са валидни обозначенията, посочени в таблицата.
Формули за наклонен паралелепипед
Първо и второ за области:
Третото е да се изчисли обемът на паралелепипед:
Тъй като основата е успоредник, за да изчислите неговата площ, ще трябва да използвате подходящите изрази.
Формули за правоъгълен паралелепипед
Подобно на първа точка - две формули за площи:
И още едно за обем:
Първа задача
Състояние. Даден е правоъгълен паралелепипед, чийто обем трябва да се намери. Известен е диагоналът - 18 см - и фактът, че той образува ъгли от 30 и 45 градуса съответно с равнината на страничната повърхност и страничния ръб.
Решение.За да отговорите на проблемния въпрос, ще трябва да знаете всички страни в три правоъгълни триъгълника. Те ще дадат необходимите стойности на ръбовете, по които трябва да изчислите обема.
Първо трябва да разберете къде е ъгълът от 30º. За да направите това, трябва да начертаете диагонал на страничната повърхност от същия връх, откъдето е изчертан основният диагонал на успоредника. Ъгълът между тях ще бъде това, което е необходимо.
Първият триъгълник, който ще даде една от стойностите на страните на основата, ще бъде следният. Съдържа търсената страна и два начертани диагонала. Тя е правоъгълна. Сега трябва да използвате съотношението на противоположния крак (страна на основата) и хипотенузата (диагонал). То е равно на синус от 30º. Тоест, неизвестната страна на основата ще бъде определена като диагонал, умножен по синуса от 30º или ½. Нека се обозначи с буквата "а".
Вторият ще бъде триъгълник, съдържащ известен диагонал и ръб, с който образува 45º. Той също е правоъгълен и можете отново да използвате отношението на катета към хипотенузата. С други думи, страничен ръб към диагонал. То е равно на косинус от 45º. Тоест, "c" се изчислява като произведение на диагонала и косинуса от 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
В същия триъгълник трябва да намерите друг крак. Това е необходимо, за да се изчисли след това третото неизвестно - „in“. Нека се обозначи с буквата "х". Може лесно да се изчисли с помощта на Питагоровата теорема:
x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).
Сега трябва да разгледаме друг правоъгълен триъгълник. Съдържа вече познатите страни “c”, “x” и тази, която трябва да се преброи, “b”:
in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).
И трите количества са известни. Можете да използвате формулата за обем и да го изчислите:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).
Отговор:обемът на паралелепипеда е 729√2 cm3.
Втора задача
Състояние. Трябва да намерите обема на паралелепипед. В него се знае, че страните на успоредника, който лежи в основата, са 3 и 6 cm, както и неговият остър ъгъл - 45º. Страничното ребро е с наклон към основата 30º и е равно на 4 cm.
Решение.За да отговорите на въпроса на проблема, трябва да вземете формулата, която е написана за обема на наклонен паралелепипед. Но и двете количества са неизвестни в него.
Площта на основата, т.е. на успоредника, ще се определи по формула, в която трябва да умножите известните страни и синуса на острия ъгъл между тях.
S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).
Второто неизвестно количество е височината. Може да се изтегли от всеки от четирите върха над основата. Може да се намери от правоъгълен триъгълник, в който височината е катет, а страничният ръб е хипотенузата. В този случай ъгъл от 30º лежи срещу неизвестната височина. Това означава, че можем да използваме отношението на катета към хипотенузата.
n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.
Сега всички стойности са известни и обемът може да бъде изчислен:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).
Отговор:обемът е 18 √2 cm 3.
Трета задача
Състояние. Намерете обема на паралелепипед, ако е известно, че е прав. Страните на основата му образуват успоредник и са равни на 2 и 3 cm. Остър ъгълима 60º между тях. По-малкият диагонал на паралелепипеда е равен на по-големия диагонал на основата.
Решение.За да намерим обема на паралелепипед, използваме формулата с основната площ и височината. И двете величини са неизвестни, но са лесни за изчисляване. Първият е височината.
Тъй като по-малкият диагонал на паралелепипеда съвпада по размер с по-голямата основа, те могат да бъдат обозначени със същата буква d. Най-големият ъгъл на успоредник е 120º, тъй като той образува 180º с острия. Нека вторият диагонал на основата е обозначен с буквата "x". Сега за двата диагонала на основата можем да напишем косинусовите теореми:
d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.
Няма смисъл да се намират стойности без квадрати, тъй като по-късно те отново ще бъдат повдигнати на втора мощност. След като заместим данните, получаваме:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Сега височината, която е и страничният ръб на паралелепипеда, ще се окаже катет в триъгълника. Хипотенузата ще бъде известният диагонал на тялото, а вторият катет ще бъде "x". Можем да напишем Питагоровата теорема:
n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.
Следователно: n = √12 = 2√3 (cm).
Сега второто неизвестно количество е площта на основата. Може да се изчисли с помощта на формулата, спомената във втората задача.
S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).
Комбинирайки всичко във формулата за обем, получаваме:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Отговор: V = 18 см 3.
Четвърта задача
Състояние. Необходимо е да се намери обемът на паралелепипед, който отговаря на следните условия: основата е квадрат със страна 5 cm; страничните лица са ромби; един от върховете, разположени над основата, е на еднакво разстояние от всички върхове, лежащи в основата.
Решение.Първо трябва да се справите със състоянието. Няма въпроси по първа точка за площада. Второто, за ромбовете, показва, че паралелепипедът е наклонен. Освен това всичките му ръбове са равни на 5 см, тъй като страните на ромба са еднакви. А от третия става ясно, че трите диагонала, изведени от него, са равни. Това са две, които лежат на страничните стени, а последната е вътре в паралелепипеда. И тези диагонали са равни на ръба, тоест те също имат дължина 5 см.
За да определите обема, ще ви е необходима формула, написана за наклонен паралелепипед. В него отново няма известни количества. Площта на основата обаче е лесна за изчисляване, тъй като е квадрат.
S o = 5 2 = 25 (cm 2).
Ситуацията с височината е малко по-сложна. Ще бъде така в три фигури: паралелепипед, четириъгълна пирамида и равнобедрен триъгълник. От последното обстоятелство трябва да се възползваме.
Тъй като това е височината, това е катет в правоъгълен триъгълник. Хипотенузата в него ще бъде известен ръб, а вторият крак е равен на половината от диагонала на квадрата (височината също е медианата). И диагоналът на основата е лесен за намиране:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).
Отговор: 62,5 √2 (cm 3).
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Паралелепипед е геометрична фигура, всичките 6 лица на който са успоредници.
В зависимост от вида на тези успоредници има следните видовепаралелепипед:
- прав;
- наклонен;
- правоъгълен.
Правият паралелепипед е четириъгълна призма, чиито ръбове сключват ъгъл от 90° с равнината на основата.
Правоъгълният паралелепипед е четириъгълна призма, чиито лица са правоъгълници. Cube е разнообразие четириъгълна призма, в която всички лица и ръбове са равни помежду си.
Характеристиките на фигурата предопределят нейните свойства. Те включват следните 4 твърдения:
![](https://i1.wp.com/karate-ege.ru/wp-content/uploads/2017/10/1-svojstvo-parallelepipeda.png)
Лесно е да запомните всички горни свойства, те са лесни за разбиране и се извеждат логически въз основа на вида и характеристиките на геометричното тяло. Въпреки това, простите изрази могат да бъдат изключително полезни при решаване на типични USE задачи и ще спестят времето, необходимо за преминаване на теста.
Формули за паралелепипед
За да намерите отговори на проблема, не е достатъчно да знаете само свойствата на фигурата. Може да се нуждаете и от някои формули за намиране на площ и обем на геометрично тяло.
Площта на основите се намира по същия начин като съответния индикатор на успоредник или правоъгълник. Можете сами да изберете основата на успоредника. По правило при решаване на задачи е по-лесно да се работи с призма, чиято основа е правоъгълник.
Формулата за намиране на страничната повърхност на паралелепипед може да е необходима и в тестови задачи.
Примери за решаване на типични задачи за единен държавен изпит
Упражнение 1.
дадени: правоъгълен паралелепипед с размери 3, 4 и 12 см.
Необходимонамерете дължината на един от главните диагонали на фигурата.
Решение: Всяко решение геометрична задачатрябва да започне с изграждането на правилен и ясен чертеж, на който ще бъдат посочени „дадено“ и желаната стойност. Картината по-долу показва пример правилен дизайнусловия на задачата.
След като разгледахме направения чертеж и запомнихме всички свойства на геометричното тяло, стигаме до единственото правилният начинрешения. Прилагайки 4-то свойство на паралелепипед, получаваме следния израз:
След прости изчисления получаваме израза b2=169, следователно b=13. Отговорът на задачата е намерен, трябва да отделите не повече от 5 минути, за да го потърсите и нарисувате.