Как да докажа, че ъглите са равни. Задачи за доказване на геометрични факти от GIA
От древни времена до днес се разглежда търсенето на знаци за равенство на фигурите основна задача, което е в основата на основите на геометрията; стотици теореми са доказани с помощта на тестове за равенство. Способността да се докаже равенството и сходството на фигурите е важна задача във всички области на строителството.
Във връзка с
Прилагане на умението на практика
Да предположим, че имаме фигура, нарисувана на лист хартия. В същото време разполагаме с линийка и транспортир, с които можем да измерваме дължините на отсечките и ъглите между тях. Как да прехвърлите фигура със същия размер на втори лист хартия или да удвоите нейния мащаб.
Знаем, че триъгълникът е фигура, съставена от три сегмента, наречени страни, които образуват ъглите. По този начин има шест параметъра - три страни и три ъгъла - които определят тази фигура.
Въпреки това, след измерване на размера на трите страни и ъгли, прехвърлянето на тази фигура на друга повърхност ще бъде трудна задача. Освен това има смисъл да си зададем въпроса: няма ли да е достатъчно да знаете параметрите на две страни и един ъгъл или само на три страни?
След като измерим дължината на двете страни и между тях, ще поставим този ъгъл върху нов лист хартия, за да можем напълно да пресъздадем триъгълника. Нека да разберем как да направим това, да научим как да докажем знаците, чрез които те могат да се считат за еднакви, и да решим какъв минимален брой параметри е достатъчно да знаем, за да сме сигурни, че триъгълниците са еднакви.
важно!Фигурите се наричат идентични, ако сегментите, образуващи техните страни и ъгли, са равни един на друг. Подобни фигури са тези, чиито страни и ъгли са пропорционални. Следователно равенството е подобие с коефициент на пропорционалност 1.
Какви са признаците за равенство на триъгълниците? Нека дадем тяхната дефиниция:
- първият знак за равенство: два триъгълника могат да се считат за еднакви, ако двете им страни са равни, както и ъгълът между тях.
- вторият знак за равенство на триъгълниците: два триъгълника ще бъдат еднакви, ако два ъгъла са еднакви, както и съответната страна между тях.
- трети знак за равенство на триъгълници : Триъгълниците могат да се считат за еднакви, когато всичките им страни са с еднаква дължина.
Как да докажем, че триъгълниците са еднакви. Нека дадем доказателство за равенството на триъгълниците.
Доказателство за 1 знак
Дълго време сред първите математици този знаксе смяташе за аксиома, но както се оказа, може да се докаже геометрично въз основа на по-основни аксиоми.
Да разгледаме два триъгълника - KMN и K 1 M 1 N 1 . Страната KM има същата дължина като K 1 M 1 и KN = K 1 N 1. А ъгълът MKN е равен на ъглите KMN и M 1 K 1 N 1.
Ако разгледаме KM и K 1 M 1, KN и K 1 N 1 като два лъча, които излизат от една и съща точка, тогава можем да кажем, че ъглите между тези двойки лъчи са еднакви (това се определя от условието на теоремата). Нека извършим паралелно прехвърляне на лъчи K 1 M 1 и K 1 N 1 от точка K 1 до точка K. В резултат на това прехвърляне лъчите K 1 M 1 и K 1 N 1 ще съвпаднат напълно. Нека начертаем върху лъча K 1 M 1 сегмент с дължина KM, започващ в точка K. Тъй като по условие полученият сегмент ще бъде равен на сегмента K 1 M 1, тогава точките M и M 1 съвпадат. По същия начин с сегментите KN и K 1 N 1. Така, прехвърляйки K 1 M 1 N 1 така, че точките K 1 и K да съвпадат и двете страни да се припокриват, получаваме пълно съвпадение на самите фигури.
важно!В интернет има доказателства за равенството на триъгълниците по две страни и ъгъл, използвайки алгебрични и тригонометрични идентичности с числени стойности на страните и ъглите. Въпреки това, исторически и математически, тази теорема е формулирана много преди алгебрата и по-рано от тригонометрията. За доказване на тази характеристика на теоремата е неправилно да се използва нещо различно от основните аксиоми.
Доказателство 2 знака
Нека докажем втория знак за равенство в два ъгъла и страна, базирайки се на първия.
Доказателство 2 знака
Нека разгледаме KMN и PRS. K е равно на P, N е равно на S. Страната KN има същата дължина като PS. Необходимо е да се докаже, че KMN и PRS са еднакви.
Нека отразим точката M спрямо лъча KN. Нека наречем получената точка L. В този случай дължината на страната KM = KL. NKL е равно на PRS. KNL е равно на RSP.
Тъй като сборът от ъглите е равен на 180 градуса, тогава KLN е равно на PRS, което означава, че PRS и KLN са еднакви (сходни) от двете страни и ъгъла, според първия знак.
Но тъй като KNL е равно на KMN, тогава KMN и PRS са две еднакви фигури.
Доказателство 3 знака
Как да определите, че триъгълниците са еднакви. Това следва пряко от доказателството на втората характеристика.
Дължина KN = PS. Тъй като K = P, N = S, KL=KM и KN = KS, MN=ML, тогава:
Това означава, че и двете фигури са подобни една на друга. Но тъй като страните им са еднакви, те също са равни.
От знаците за равенство и подобие произтичат много последствия. Едно от тях е, че за да се определи дали два триъгълника са равни или не, е необходимо да се знаят свойствата им, дали са еднакви:
- и трите страни;
- двете страни и ъгъла между тях;
- двата ъгъла и страната между тях.
Използване на теста за равенство на триъгълник за решаване на задачи
Последици от първия знак
В хода на доказателството може да се стигне до редица интересни и полезни следствия.
- . Фактът, че точката на пресичане на диагоналите на успоредника ги разделя на две еднакви части, е следствие от признаците на равенство и е доста податлив на доказателство.Страните на допълнителния триъгълник (с огледална конструкция, както в доказателствата които изпълнихме) са страните на основната (страните на успоредника).
- Ако има два правоъгълни триъгълника, които имат еднакви остри ъгли, тогава те са подобни. Ако катетът на първия е равен на катета на втория, тогава те са равни. Това е доста лесно за разбиране - за всеки правоъгълни триъгълнициима прав ъгъл. Следователно знаците за равенство са по-прости за тях.
- Два триъгълника с прави ъгли, в които двата крака имат еднаква дължина, могат да се считат за еднакви. Това се дължи на факта, че ъгълът между двата крака винаги е 90 градуса. Следователно, според първия критерий (по двете страни и ъгъла между тях), всички триъгълници с прави ъгли и еднакви катети са равни.
- Ако има два правоъгълни триъгълника и единият им катет и хипотенуза са равни, тогава триъгълниците са еднакви.
Нека докажем тази проста теорема.
Има два правоъгълни триъгълника. Едната има страни a, b, c, където c е хипотенузата; a, b - крака. Вторият има страни n, m, l, където l е хипотенузата; m, n - крака.
Според Питагоровата теорема единият катет е равен на:
;
.
Така, ако n = a, l = c (равенство на катети и хипотенузи), съответно, вторите катети ще бъдат равни. Цифрите, съответно, ще бъдат равни според третата характеристика (от три страни).
Нека отбележим още една важна последица. Ако има два равни триъгълника и те са подобни с коефициент на подобие k, тоест съотношенията по двойки на всичките им страни са равни на k, тогава съотношението на техните страни е равно на k2.
Първият знак за равенство на триъгълниците. Видео урок по геометрия 7 клас
Геометрия 7 Първи признак за равенство на триъгълниците
Заключение
Темата, която обсъдихме, ще помогне на всеки ученик да разбере по-добре основното геометрични понятияи подобрете уменията си в най-интересния святматематика.
Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, от които се нуждаете успешно завършванеЕдинен държавен изпит по математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 Профил Единен държавен изпитматематика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!
Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.
Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.
Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.
Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, материал за справка, анализ на всички видове задачи за единен държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.
Геометрията като отделен предмет започва за учениците от 7 клас. До този момент те се занимават доста с геометрични проблеми лека формаи главно това, което може да се види с помощта на илюстративни примери: площта на стаята, поземлен имот, дължина и височина на стени в помещения, плоски предмети и др. В началото на самото изучаване на геометрията се появяват първите трудности, като например концепцията за права линия, тъй като не е възможно да докоснете тази права линия с ръцете си. Що се отнася до триъгълниците, това е най-простият тип многоъгълник, съдържащ само три ъгъла и три страни.
Във връзка с
Съученици
Темата за триъгълниците е една от основните важнои големи теми училищна програмапо геометрия 7-9 клас. След като го усвоите добре, е възможно да се решават много сложни проблеми. В този случай можете първоначално да разгледате напълно различна геометрична фигура и след това да я разделите за удобство на подходящи триъгълни части.
Да работим върху доказателството за равенство ∆ ABCИ ∆A1B1C1Трябва да разберете добре знаците за равенство на фигурите и да можете да ги използвате. Преди да изучавате знаците, трябва да научите определят равенствотострани и ъгли на най-простите многоъгълници.
За да докажете, че ъглите на триъгълниците са равни, ще ви помогнат следните опции:
- ∠ α = ∠ β въз основа на конструкцията на фигурите.
- Дадени в условията на задачата.
- При две успоредни прави и наличие на секуща могат да се образуват както вътрешни кръстосани, така и съответни ∠ α = ∠ β.
- Чрез добавяне (изваждане) към (от) ∠ α = ∠ β равни ъгли.
- Вертикалните ∠ α и ∠ β винаги са подобни
- Общи ∠ α, едновременно принадлежащи на ∆MNKИ ∆MNH .
- Симетралата разделя ∠ α на две равни.
- Съседен на ∠ 90°- ъгъл, равен на първоначалния.
- Съседните равни ъгли са равни.
- Височината образува две съседни ∠ 90° .
- В равнобедрен ∆MNKв основата ∠ α = ∠ β.
- Равен ∆MNKИ ∆SDHсъответстващи ∠ α = ∠ β.
- Предишно доказано равенство ∆MNKИ ∆SDH .
Това е интересно: Как да намерите периметъра на триъгълник.
3 признака, че триъгълниците са равни
Доказателство за равенство ∆ ABCИ ∆A1B1C1много удобен за производство, базиран на осн знациидентичността на тези най-прости многоъгълници. Има три такива знака. Те са много важни при решаването на много геометрични задачи. Всеки един си струва да бъде разгледан.
Изброените по-горе характеристики са теореми и се доказват чрез метода на наслагване на една фигура върху друга, свързвайки върховете на съответните ъгли и началото на лъчите. Доказателствата за равенството на триъгълниците в 7 клас са описани в много достъпна форма, но са трудни за изучаване от учениците на практика, тъй като съдържат голям бройелементи, обозначени с главни латински букви. Това не е съвсем познато на много студенти, когато започнат да изучават предмета. Тийнейджърите се объркват относно имената на страни, лъчи и ъгли.
Малко по-късно се появява друга важна тема „Подобие на триъгълници“. Самото определение за „сходство“ в геометрията означава сходство на форматас различни размери. Например можете да вземете два квадрата, първият със страна 4 см, а вторият 10 см. Тези видове четириъгълници ще бъдат подобни и в същото време ще имат разлика, тъй като вторият ще бъде по-голям, с всяка страна се увеличи с еднакъв брой пъти.
При разглеждането на темата за сходството се дават и 3 знака:
- Първият е за двата съответно еднакви ъгъла на въпросните две триъгълни фигури.
- Второто е за ъгъла и страните, които го образуват ∆MNK, които са равни на съответните елементи ∆SDH .
- Третият показва пропорционалността на всички съответстващи страни на двете желани фигури.
Как можете да докажете, че триъгълниците са подобни? Достатъчно е да използвате един от горните знаци и да опишете правилно целия процес на доказване на задачата. Тема за сходството ∆MNKИ ∆SDHе по-лесен за възприемане от ученици въз основа на факта, че по време на изучаването му учениците вече свободно използват обозначенията на елементи в геометрични конструкции, не се объркват в огромен брой имена и знаят как да четат чертежи.
Завършване на преминаването на обширната тема за триъгълника геометрични форми, учениците вече трябва да знаят перфектно как да докажат равенство ∆MNK = ∆SDHот двете страни, задайте двата триъгълника да бъдат равни или не. Като се има предвид, че многоъгълник с точно три ъгъла е една от най-важните геометрични фигури, трябва да вземете материала сериозно, като обърнете специално внимание дори на най-малките факти от теорията.
Инструкции
Ако триъгълниците ABC и DEF имат страна AB, равна на страната DE, и ъглите, съседни на страната AB, са равни на ъглите, съседни на страната DE, тогава тези триъгълници се считат за еднакви.
Ако триъгълниците ABC имат страни AB, BC и CD, равни на съответните им страни на триъгълник DEF, тогава тези триъгълници са еднакви.
Забележка
Ако трябва да докажете равенството на два правоъгълни триъгълника, това може да стане с помощта на следните знациравенства на правоъгълни триъгълници:
Един от краката и хипотенузата;
- на две известни страни;
- по протежение на един от краката и острия ъгъл, прилежащ към него;
- по хипотенузата и един от острите ъгли.
Триъгълниците биват остри (ако всичките му ъгли са по-малки от 90 градуса), тъпи (ако един от ъглите му е повече от 90 градуса), равностранен и равнобедрен (ако две от страните му са равни).
Освен че триъгълниците са еднакви, еднаквите триъгълници са и подобни. Подобни триъгълници са тези, чиито ъгли са равни един на друг, а страните на единия триъгълник са пропорционални на страните на другия. Струва си да се отбележи, че ако два триъгълника са подобни един на друг, това не гарантира тяхното равенство. При разделяне на еднакви страни на триъгълници една на друга се изчислява така нареченият коефициент на подобие. Този коефициент може да се получи и чрез разделяне на площите на подобни триъгълници.
източници:
- докажете равенството на площите на триъгълниците
Два триъгълника са равни, ако всички елементи на единия са равни на елементите на другия. Но не е необходимо да знаете всички размери на триъгълниците, за да направите извод за тяхното равенство. Достатъчно е да имате определени набори от параметри за дадени фигури.
Инструкции
Ако е известно, че две страни на един триъгълник са равни на другия и ъглите между тези страни са равни, тогава въпросните триъгълници са еднакви. За да го докажете, подравнете върховете на еднакви ъгли на две фигури. Продължете с наслояването. От получената точка, обща за двата триъгълника, насочете едната страна на ъгъла на припокриващия се триъгълник по протежение на съответната страна на долната фигура. По условие тези две страни са равни. Това означава, че краищата на сегментите ще съвпаднат. Следователно друга двойка върхове в дадените триъгълници е съвпаднала. Посоките на вторите страни на ъгъла, от който започва, ще съвпадат поради равенството на тези ъгли. И тъй като тези страни са равни, последният връх ще се припокрива. Между две точки може да се начертае една права линия. Следователно третите страни на двата триъгълника ще съвпадат. Получихте две напълно съвпадащи фигури и доказан първи признак за равенство на триъгълници.
Ако една страна и два съседни ъгъла в един триъгълник са равни на съответните ъгли в друг триъгълник, тогава тези два триъгълника са еднакви. За да докажете правилността на това твърдение, насложете две фигури, подравнявайки върховете на еднакви ъгли с еднакви страни. Поради равенството на ъглите посоките на втората и третата страна ще съвпадат и мястото на тяхното пресичане ще бъде недвусмислено определено, т.е. третият връх на първия от триъгълниците задължително ще съвпадне с подобна точка на второ. Вторият критерий за равенство на триъгълниците е доказан.
Триъгълникът е най-простият тип многоъгълник, който има три ъгъла и три страни. Страните са оформени от сегменти, които са свързани помежду си с три точки в равнината, като по този начин образуват твърда форма. Равенство 2 триъгълнициможе да се потвърди по няколко метода.
Инструкции
1. Ако триъгълници ABC и DEF двете страни са равни, а ъгълът?, този, който е поставен между двете страни на триъгълника ABC, равен на ъгъл?, този, който е поставен между съответните страни на триъгълника DEF, тогава тези два триъгълника са равни един на друг.
2. Ако триъгълници ABC и DEF Страната AB е равна на страната DE, а ъглите, съседни на страната AB, са равни на ъглите, съседни на страната DE, тогава тези триъгълници се считат за равни.
3. Ако триъгълници ABC страните AB, BC и CD са равни на съответните им страни на триъгълник DEF, тогава тези триъгълници са еднакви.
Забележка!
Ако трябва да потвърдите равенството на 2 правоъгълни триъгълника, това може да стане с помощта на следните знаци за равенство на правоъгълни триъгълници: - един от краката и хипотенузата; - два известни крака; - един от краката и прилежащия остър ъгъл ;- по хипотенузата и един от острите ъгли Триъгълниците биват остри (ако всичките му ъгли са по-малки от 90 градуса), тъпи (ако един от ъглите му е по-голям от 90 градуса), равностранен и равнобедрен (ако двете му страни са равен).
Полезен съвет
Освен че триъгълниците са еднакви, еднаквите триъгълници са и подобни. Подобни триъгълници са тези, чиито ъгли са равни един на друг, а страните на един триъгълник са пропорционални на страните на друг. Струва си да се отбележи, че ако два триъгълника са подобни един на друг, това не гарантира тяхното равенство. Когато подобни страни на триъгълници се разделят една на друга, се изчислява така нареченият индекс на подобие. Също този показателможе да се получи чрез разделяне на площите на подобни триъгълници.