Тогава ъглите са равни. Елементарна геометрия - Sholaster N.N.
Признаци за успоредност на две прави
Теорема 1. Ако, когато две прави се пресичат със секанс:
кръстосаните ъгли са равни, или
съответните ъгли са равни, или
сборът от едностранните ъгли е 180°, тогава
линиите са успоредни(Фиг. 1).
Доказателство. Ограничаваме се до доказване на случай 1.
Нека пресичащите се прави a и b са напречни и ъглите AB са равни. Например ∠ 4 = ∠ 6. Нека докажем, че a || b.
Да предположим, че правите a и b не са успоредни. Тогава те се пресичат в някаква точка M и следователно един от ъглите 4 или 6 ще бъде външният ъгъл на триъгълник ABM. За категоричност нека ∠ 4 е външният ъгъл на триъгълника ABM, а ∠ 6 вътрешният. От теоремата за външния ъгъл на триъгълник следва, че ∠ 4 е по-голямо от ∠ 6, а това противоречи на условието, което означава, че правите a и 6 не могат да се пресичат, следователно са успоредни.
Следствие 1. Две различни прави в равнина, перпендикулярна на една и съща права, са успоредни(фиг. 2).
Коментирайте. Начинът, по който току-що доказахме случай 1 от теорема 1, се нарича метод на доказателство чрез противоречие или свеждане до абсурд. Този метод получи първото си име, защото в началото на аргумента се прави предположение, което е в противоречие (противоположно) на това, което трябва да се докаже. Нарича се довеждане до абсурд поради факта, че разсъждавайки на базата на направеното предположение, стигаме до абсурдно заключение (до абсурда). Получаването на такова заключение ни принуждава да отхвърлим предположението, направено в началото, и да приемем това, което трябваше да бъде доказано.
Задача 1.Да се построи права, минаваща през дадена точка M и успоредна на дадена права a, която не минава през точка M.
Решение. Начертаваме права p през точка M, перпендикулярна на правата a (фиг. 3).
След това начертаваме права b през точка M, перпендикулярна на правата p. Правата b е успоредна на правата a съгласно следствието от теорема 1.
От разглеждания проблем следва важен извод:
през точка, която не лежи на дадена права, винаги е възможно да се начертае права, успоредна на дадената.
Основното свойство на успоредните прави е следното.
Аксиома за успоредни прави. През дадена точка, която не лежи на дадена права, минава само една права, успоредна на дадената.
Нека разгледаме някои свойства на успоредните прави, които следват от тази аксиома.
1) Ако една права пресича една от две успоредни прави, то тя пресича и другата (фиг. 4).
2) Ако две различни прави са успоредни на трета права, то те са успоредни (фиг. 5).
Следващата теорема също е вярна.
Теорема 2. Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, тогава:
напречните ъгли са равни;
съответните ъгли са равни;
сборът от едностранните ъгли е 180°.
Следствие 2. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата(виж фиг. 2).
Коментирайте. Теорема 2 се нарича обратна на теорема 1. Заключението на теорема 1 е условието на теорема 2. А условието на теорема 1 е заключението на теорема 2. Не всяка теорема има обратна, т.е. ако дадена теорема е вярно, тогава обратната теорема може да е невярна.
Нека обясним това с помощта на примера на теоремата за вертикалните ъгли. Тази теорема може да се формулира по следния начин: ако два ъгъла са вертикални, те са равни. Обратната теорема би била: ако два ъгъла са равни, тогава те са вертикални. И това, разбира се, не е вярно. две равни ъглиизобщо не трябва да са вертикални.
Пример 1.Две успоредни прави се пресичат от трета. Известно е, че разликата между два вътрешни едностранни ъгъла е 30°. Намерете тези ъгли.
Решение. Нека фигура 6 отговаря на условието.
Въпрос 1.Какви ъгли се наричат съседни?
Отговор.Два ъгъла се наричат съседни, ако едната им страна е обща, а другите страни на тези ъгли са допълващи се полуправи.
На фигура 31 ъглите (a 1 b) и (a 2 b) са съседни. Те имат обща страна b, а страните a 1 и a 2 са допълнителни полуправи.
Въпрос 2.Докажете, че сборът от съседните ъгли е 180°.
Отговор. Теорема 2.1.Сборът на съседните ъгли е 180°.
Доказателство.Нека ъгъл (a 1 b) и ъгъл (a 2 b) са дадени съседни ъгли (виж Фиг. 31). Лъч b минава между страни a 1 и a 2 на прав ъгъл. Следователно сумата от ъглите (a 1 b) и (a 2 b) е равна на разгънатия ъгъл, т.е. 180°. Q.E.D.
Въпрос 3.Докажете, че ако два ъгъла са равни, то съседните им ъгли също са равни.
Отговор.
От теоремата 2.1
От това следва, че ако два ъгъла са равни, то и съседните им ъгли са равни.
Да кажем, че ъглите (a 1 b) и (c 1 d) са равни. Трябва да докажем, че ъглите (a 2 b) и (c 2 d) също са равни.
Сумата от съседните ъгли е 180°. От това следва, че a 1 b + a 2 b = 180° и c 1 d + c 2 d = 180°. Следователно, a 2 b = 180° - a 1 b и c 2 d = 180° - c 1 d. Тъй като ъглите (a 1 b) и (c 1 d) са равни, получаваме, че a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. От свойството за транзитивност на знака за равенство следва, че a 2 b = c 2 d. Q.E.D.
Въпрос 4.Какъв ъгъл се нарича прав (остър, тъп)?
Отговор.Ъгъл, равен на 90°, се нарича прав ъгъл.
Ъгъл, по-малък от 90°, се нарича остър ъгъл.
Ъгъл, по-голям от 90° и по-малък от 180°, се нарича тъп.
Въпрос 5.Докажете, че ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл.
Отговор.От теоремата за сумата от съседните ъгли следва, че ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.
Въпрос 6.Какви ъгли се наричат вертикални?
Отговор.Два ъгъла се наричат вертикални, ако страните на единия ъгъл са допълващи се полуправи на страните на другия.
Въпрос 7.Докажи това вертикални ъглиса равни.
Отговор. Теорема 2.2. Вертикалните ъгли са равни.
Доказателство.Нека (a 1 b 1) и (a 2 b 2) са дадените вертикални ъгли (фиг. 34). Ъгъл (a 1 b 2) е съседен на ъгъл (a 1 b 1) и на ъгъл (a 2 b 2). От тук, използвайки теоремата за сумата от съседни ъгли, заключаваме, че всеки от ъглите (a 1 b 1) и (a 2 b 2) допълва ъгъла (a 1 b 2) до 180°, т.е. ъгли (a 1 b 1) и (a 2 b 2) са равни. Q.E.D.
Въпрос 8.Докажете, че ако при пресичане на две прави един от ъглите е прав, то и останалите три ъгъла са прави.
Отговор.Да предположим, че правите AB и CD се пресичат една друга в точка O. Да предположим, че ъгъл AOD е 90°. Тъй като сумата от съседните ъгли е 180°, получаваме, че AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Ъгъл COB е вертикален на ъгъл AOD, така че те са равни. Тоест ъгъл COB = 90°. Ъгъл COA е вертикален на ъгъл BOD, така че те са равни. Тоест ъгъл BOD = 90°. Така всички ъгли са равни на 90°, тоест всички са прави ъгли. Q.E.D.
Въпрос 9.Кои прави се наричат перпендикулярни? Какъв знак се използва за обозначаване на перпендикулярността на линиите?
Отговор.Две прави се наричат перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл.
Перпендикулярността на линиите се обозначава със знака \(\perp\). Записът \(a\perp b\) гласи: „Линията a е перпендикулярна на правата b.“
Въпрос 10.Докажете, че през всяка точка от права можете да прекарате права, перпендикулярна на нея, и то само една.
Отговор. Теорема 2.3.През всяка линия можете да начертаете линия, перпендикулярна на нея, и само една.
Доказателство.Нека a е дадена права и A е дадена точка върху нея. Нека означим с 1 една от полуправите на правата a с начална точка A (фиг. 38). Нека извадим ъгъл (a 1 b 1), равен на 90° от полуправата a 1. Тогава правата линия, съдържаща лъча b 1, ще бъде перпендикулярна на правата линия a.
Да приемем, че има друга права, също минаваща през точка A и перпендикулярна на правата a. Нека означим с c 1 полуправата на тази права, лежаща в една и съща полуравнина с лъча b 1 .
Ъгли (a 1 b 1) и (a 1 c 1), всеки равен на 90°, са разположени в една полуравнина от полуправата a 1. Но от полуправата a 1 само един ъгъл, равен на 90°, може да бъде поставен в дадена полуравнина. Следователно не може да има друга права, минаваща през точка A и перпендикулярна на права a. Теоремата е доказана.
Въпрос 11.Какво е перпендикулярно на права?
Отговор.Перпендикуляр към дадена права е отсечка от права, перпендикулярна на дадена права, чийто един от краищата е в пресечната точка. Този край на сегмента се нарича базаперпендикулярен.
Въпрос 12.Обяснете в какво се състои доказателството от противно.
Отговор.Методът на доказателство, който използвахме в теорема 2.3, се нарича доказателство чрез противоречие. Този метод на доказване се състои в това първо да се направи предположение, противоположно на това, което твърди теоремата. След това, като разсъждаваме, разчитайки на аксиоми и доказани теореми, стигаме до заключение, което противоречи или на условията на теоремата, или на една от аксиомите, или на предварително доказана теорема. На тази основа заключаваме, че нашето предположение е неправилно и следователно твърдението на теоремата е вярно.
Въпрос 13.Какво е ъглополовяща на ъгъл?
Отговор.Симетралата на ъгъл е лъч, който излиза от върха на ъгъла, минава между страните му и разделя ъгъла наполовина.
Под редакцията на Иваницкая В.П. - М.: Държавно образователно и педагогическо издателство на Министерството на образованието на RSFSR, 1959. - 272 с.
Изтегли(пряка връзка) :
egnnsholaster1959.djvu Предишен 1 .. 11 > .. >> Следващ
Ако съседните ъгли са равни, тогава всеки от тях се нарича прав ъгъл. Техен обща странасе нарича перпендикуляр на правата, образувана от другите две страни. Можем също да кажем, че ъглополовящата на обратен ъгъл е перпендикулярна на правата, образувана от неговите страни.
Теорема. Ако ъглите са равни, то и съседните ъгли са равни.
Нека (h, k) = ^. (I, m) и нека ^ (h!, k) и ^ (/", t) са съответните съседни ъгли (фиг. 20). Нека освен това / е движението, при което ^ (h, k) е показан в (I, tri). С това движение разширеният ^ (h, K) ще бъде картографиран в разширения (I, /"). От това следва, че ^(h", k) ще бъде картографирано в ^(V, m), т.е. ^(h!, k) = ^(V, m).
Теорема. Има ъглополовяща на всеки ъгъл и освен това уникален.
Нека ^(A, k) е различен от разширения и нека неговата вътрешна област е изпъкнала. Нека начертаем равни отсечки OA и OB на неговите страни от върха O (чертеж 21, a) и свържем точките A и B. В равнобедрения триъгълник AOB A = ^B (§ 8). Като свържем средата C на отсечката AB с точката O, получаваме равни по първия признак триъгълници L OS и BOC.Следователно AOC = BOC и следователно лъчът OS е ъглополовяща (h, k).
Ако (h, k) не е изпъкнал (на чертежа вътрешната му област не е защрихована), тогава съгласно предходния
6}
t^
/
Съгласно теоремата неговата ъглополовяща е лъчът m, комплементарен на лъча /.
От равенството на триъгълниците ACO и BCO следва също, че ^ ACO = BCO1 т.е. лъч CO е ъглополовяща на обърнат ъгъл със страни CA и CB.
Нека сега ни е дадено разширено ^(p,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый
ACB се показва в
(p, q). Лъчът CO се преобразува в t лъча. Тъй като ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO и ^ACO= = (q, t), тогава (p, t) = = ^(q, t), т.е. t -ъглополовяща (p, q ).
Нека / е ъглополовящата
(A, A), а Г е произволен лъч, излизащ от върха на ъгъла и лежащ във вътрешната му област. Ако Γ лежи във вътрешната област ^(A, /), тогава ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Следователно ^(A, G)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.
Следствие 1. Има един и само един перпендикуляр на дадена права, излизащ от дадена точка върху нея и лежащ в дадена полуравнина, ограничена от тази права.
Следствие 2. Половинките на равни ъгли са равни една на друга.
Наистина, ако ^(A, A) = ^(A", A"), тогава има движение /, при което единият от тях се преобразува в другия. Съгласно доказаната теорема, техните ъглополовящи / и Γ за дадено движение също трябва да се преобразуват една в друга. Следователно ^(A, /) = ^(A", Г).
Тъй като всички прави ъгли са равни, специален случай на следствие 2 е твърдението: всички прави ъгли са равни един на друг.
Правите a и A, които при пресичане образуват прави ъгли, се наричат перпендикулярни (a ± b).
Отражение от права линия. Нека права линия a лежи в равнина a. Образуваните в този случай полуравнини ще бъдат означени с X и p. (Фигура 22). Нека вземем лъч А на права линия
излизаща от точка O. По свойството на 6 движения (§ 7), има уникално движение, преобразуващо лъча h в себе си и полуравнината X в полуравнината jx. Всички точки на този лъч, според свойството на 5 движения, се преобразуват в себе си. Всички точки на лъча k, комплементарни на прекия лъч h, също се нанасят върху себе си.
И така, по време на разглежданото движение, всички точки от линията a се преобразуват върху себе си. Освен това е лесно да се види това
Нека сега вземем точка извън права а.
Теорема. През всяка точка, която не лежи на права, минава една права, перпендикулярна на дадената права.
Доказателство. Нека M е точка, лежаща извън права a (фиг. 23). Права a разделя равнината, определена от тази права и
точка M, на две полуравнини: полуравнината X, съдържаща точката M, и полуравнината jx. Когато се отрази от права линия a, точка M се преобразува в точка M" от полуравнината jx. Тъй като точките M и M" лежат в различни полуравнини,
а, тогава направо ММ" и по дяволите 23
пресичат се в някои
точка M0, която при отражение се нанася върху себе си. От това следва, че правата MM" се преобразува върху себе си и следователно образуваните от нея ъгли / и 2 с правата а (виж фиг. 23) се преобразуват един в друг.
Полуравнината jx се преобразува в полуравнината X.
Разглежданото движение се нарича отражение от права линия a.
От съществуването на ъглополовяща на обратен ъгъл следва, че през всяка точка, лежаща на права a, винаги е възможно да се начертае права b, перпендикулярна на правата a.
Това означава, че тези ъгли са равни и тъй като те освен това са съседни, тогава MM" ± a. Сега нека друга права линия бъде начертана през M, пресичаща права a в някаква точка Af0. Тя ще бъде преобразувана в правата M "N0, a ^ MN0M0 ще бъдат картографирани в M"N0M0. Така че, ^ 3 = ^i4. Но по силата на аксиома 1 (§ 2), точките M1 N0 и M" не лежат на една и съща права и следователно сумата от ъглите 3 и 4, т.е. ^ MN0M", не е обърнат ъгъл. От това следва, че ъглите 3 и 4 са различни от правия ъгъл и правата линия MN0 няма да бъде перпендикулярна на правата линия a. Правата линията MM" е единствената права линия, перпендикулярна на a и минаваща през точката M.
Всеки ъгъл, в зависимост от размера си, има свое име:
Тип ъгъл | Размер в градуси | Пример |
---|---|---|
Пикантен | По-малко от 90° | |
Направо | Равен на 90°. На чертежа прав ъгъл обикновено се обозначава със символ, начертан от едната страна на ъгъла към другата. |
![]() |
Тъп | Повече от 90°, но по-малко от 180° | ![]() |
Разширено | Равен на 180° Правият ъгъл е равен на сбора от два прави ъгъла, а правият ъгъл е половината от прав ъгъл. |
![]() |
Изпъкнал | Повече от 180°, но по-малко от 360° | ![]() |
Пълна | Равен на 360° | ![]() |
Двата ъгъла се наричат съседен, ако едната им страна е обща, а другите две страни образуват права линия:
Ъгли МОПИ PONсъседен, тъй като гредата OP- общата страна, а другите две страни - ОМИ НАобразуват права линия.
Общата страна на съседните ъгли се нарича косо към право, върху която лежат другите две страни, само в случай, че съседните ъгли не са равни. Ако съседните ъгли са равни, тогава тяхната обща страна ще бъде перпендикулярен.
Сборът на съседните ъгли е 180°.
Двата ъгъла се наричат вертикален, ако страните на единия ъгъл допълват страните на другия ъгъл до прави линии:
Ъгли 1 и 3, както и ъгли 2 и 4 са вертикални.
Вертикалните ъгли са равни.
Нека докажем, че вертикалните ъгли са равни:
Сборът от ∠1 и ∠2 е прав ъгъл. И сумата от ∠3 и ∠2 е прав ъгъл. Така че тези две суми са равни:
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.
В това равенство отляво и отдясно има еднакъв член - ∠2. Равенството няма да бъде нарушено, ако този член отляво и отдясно бъде пропуснат. Тогава го разбираме.