Какво е остър ъгъл. Видове ъгли
Тази статия ще разгледа една от основните геометрични форми - ъгълът. След общо въведение в тази концепция ще се съсредоточим върху отделни видоветакава фигура. Правият ъгъл е важна концепция в геометрията и ще бъде фокусът на тази статия.
Запознаване с понятието геометричен ъгъл
В геометрията има редица обекти, които формират основата на цялата наука. Ъгълът просто се отнася за тях и се определя с помощта на концепцията за лъч, така че нека започнем с него.
Освен това, преди да пристъпите към дефинирането на самия ъгъл, трябва да запомните няколко еднакво важни обекта в геометрията - това е точка, права линия в равнина и самата равнина. Правата линия е най-простата геометрична фигура, която няма начало и край. Равнината е повърхност, която има две измерения. Е, лъч (или полуправа) в геометрията е част от права линия, която има начало, но няма край.
Използвайки тези понятия, можем да направим твърдение, че ъгълът е геометрична фигура, който лежи изцяло в някаква равнина и се състои от два несъвпадащи лъча с общ произход. Такива лъчи се наричат страни на ъгъла, а общото начало на страните е неговият връх.
Видове ъгли и геометрия
Знаем, че ъглите могат да бъдат доста различни. И затова по-долу ще бъде дадена малка класификация, която ще помогне да се разберат по-добре видовете ъгли и техните основни характеристики. И така, в геометрията има няколко вида ъгли:
- Прав ъгъл. Характеризира се със стойност от 90 градуса, което означава, че страните му винаги са перпендикулярни една на друга.
- Остър ъгъл. Тези ъгли включват всички техни представители, имащи размер по-малък от 90 градуса.
- Тъп ъгъл. Всички ъгли със стойност от 90 до 180 градуса също могат да бъдат тук.
- Разширен ъгъл. Той има размер строго 180 градуса и външно страните му образуват една права линия.
Концепцията за прав ъгъл
Сега нека разгледаме развития ъгъл по-подробно. Това е случаят, когато двете страни лежат на една и съща права линия, което може да се види ясно на фигурата по-долу. Това означава, че можем да кажем с увереност, че едната му страна всъщност е продължение на другата.
Струва си да запомните факта, че такъв ъгъл винаги може да бъде разделен с помощта на лъч, който излиза от неговия връх. В резултат на това получаваме два ъгъла, които в геометрията се наричат съседни.
Също така, развитият ъгъл има няколко характеристики. За да говорите за първия от тях, трябва да запомните понятието "ъглополовяща". Спомнете си, че това е лъч, който разделя всеки ъгъл строго наполовина. Що се отнася до правия ъгъл, неговата ъглополовяща го разделя по такъв начин, че се образуват два прави ъгъла от 90 градуса. Това е много лесно за изчисляване математически: 180˚ (градус на изправен ъгъл): 2 = 90˚.
Ако обаче разделим развития ъгъл на напълно произволен лъч, тогава в резултат винаги получаваме два ъгъла, единият от които ще бъде остър, а другият тъп.
Имоти с плосък ъгъл
Ще бъде удобно да разгледаме този ъгъл, обединявайки всички негови основни свойства, които направихме в този списък:
- Страните на прав ъгъл са антиуспоредни и образуват права линия.
- Стойността на развития ъгъл винаги е 180˚.
- Два съседни ъгъла заедно винаги образуват прав ъгъл.
- Пълният ъгъл, който е 360˚, се състои от два разгънати и е равен на сбора им.
- Половината изправен ъгъл е прав ъгъл.
И така, знаейки всички тези характеристики на този тип ъгъл, можем да ги използваме за решаване на редица геометрични проблеми.
Проблеми с прави ъгли
За да разберете дали сте усвоили концепцията за прав ъгъл, опитайте се да отговорите на няколко от следните въпроси.
- Какво е прав ъгъл, ако страните му образуват вертикална линия?
- Ще бъдат ли два ъгъла съседни, ако големината на първия е 72˚, а на другия е 118˚?
- Ако пълен ъгъл се състои от два прави ъгъла, колко прави ъгъла има?
- Правият ъгъл е разделен от лъч на два такива ъгъла, че градусните им мерки са свързани като 1:4. Изчислете получените ъгли.
Решения и отговори:
- Без значение как е разположен правият ъгъл, той винаги по дефиниция е равен на 180˚.
- Съседните ъгли имат по един обща страна. Следователно, за да изчислите размера на ъгъла, който те събират, просто трябва да добавите стойността на техните градуси. И така, 72 +118 = 190. Но по дефиниция правият ъгъл е 180˚, което означава, че два дадени ъгъла не могат да бъдат съседни.
- Правият ъгъл съдържа два прави ъгъла. И тъй като в пълната има две разгърнати, това означава, че в нея ще има 4 прави линии.
- Ако наречем желаните ъгли a и b, тогава нека x е коефициентът на пропорционалност за тях, което означава, че a \u003d x и съответно b \u003d 4x. Правият ъгъл в градуси е 180˚. И според неговите свойства, че градусната мярка на ъгъл винаги е равна на сбора от градусните мерки на тези ъгли, на които той е разделен от всеки произволен лъч, който минава между страните му, можем да заключим, че x + 4x = 180 ˚, което означава 5x = 180˚. От тук намираме: x=a=36˚ и b = 4x = 144˚. Отговор: 36˚ и 144˚.
Ако сте успели да отговорите на всички тези въпроси без подкани и без да надникнете в отговорите, значи сте готови да преминете към следващия урок по геометрия.
Ъглова мярка
Ъгълът в се измерва в градуси (градус, минута, секунда), в обороти - съотношението на дължината на дъгата s към обиколката L, в радиани - съотношението на дължината на дъгата s към радиуса r; исторически мярката за градушка също е била използвана за измерване на ъгли; в момента тя почти не се използва.
1 оборот = 2π радиана = 360° = 400 градуса.
В морската терминология ъглите се обозначават с точки.
Видове ъгли
Съседните ъгли са остри (а) и тъпи (б). Обърнат ъгъл (c)
Освен това се взема предвид ъгълът между гладките криви в допирателната точка: по дефиниция неговата стойност е равна на ъгъла между допирателните към кривите.
Фондация Уикимедия. 2010 г.
Вижте какво е "остър ъгъл" в други речници:
Ъгъл по-малък от прав ъгъл... Голям енциклопедичен речник
ОСТЪР, о, о; остър и остър, остър, остър и остър. РечникОжегов. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 ... Обяснителен речник на Ожегов
остър ъгъл- [Отдел за лингвистични услуги на Организационния комитет на Сочи 2014 г. Речник на термините] EN лош ъгъл Друг термин за остър ъгъл. [Отдел за лингвистични услуги на Организационния комитет на Сочи 2014 г. Речник на термините] Теми за хокей на ... ... Наръчник за технически преводач
Ъгъл, по-малък от прав ъгъл. * * * ОСТЪР ЪГЪЛ ОСТЪР ЪГЪЛ, ъгъл, по-малък от права линия ... енциклопедичен речник
Ъгъл по-малък от прав ъгъл... Естествени науки. енциклопедичен речник
Остър ъгъл- Експресно. Предмет на спорове, кавги, разногласия между някого. Неговото добро отношение, грижа, искреност, безпокойство ме стоплиха. Нямахме остри ъгли като младите. Всички наши дела, дори и най-важните, се опитвахме да решаваме на шега и с ... ... Фразеологичен речник на руския литературен език
Специално проектирана глава на статив ви позволява да завъртите камерата до ъгъла, необходим за творческата идея ... Wikipedia
Остър, остър; остър и (разговорно) остър, остър, остър. 1. Има тънко острие, реже добре, шлифовано. Остър нож. Ножът е много остър. Остър меч. "Малка мишка, но остър зъб." поговорка. Sharp (adv.) за наточване на нож. || Стеснява се към…… Обяснителен речник на Ушаков
ЪГЛОВ- (1) ъгълът на атака между посоката на въздушния поток върху крилото на самолета и хордата на сечението на крилото. Стойността на повдигащата сила зависи от този ъгъл. Ъгълът, при който повдигащата сила е максимална, се нарича критичен ъгъл на атака. ти…… Голяма политехническа енциклопедия
Ъгъл, около ъгъл, на (в) ъгъл и (мат.) в ъгъл, м. 1. Част от равнината между две прави линии, излизащи от една точка (мат.). Горната част на ъгъла. Страните на ъгъла. Измерване на ъгъл в градуси. Прав ъгъл. (90°). Остър ъгъл. (по-малко от 90°). Тъп ъгъл.... Обяснителен речник на Ушаков
Книги
- Остър ъгъл на живота. Мисли на вокалиста, Юрий Шкляр, Тази уникална книга на оперния певец и преподавател Юрий Шкляр очертава ясна система за вокално образование, базирана на италианската школа, и дава практически съвети за работа на сцена. Тя… Категория: Вокално изкуство. Хореология. Църковно пеенеИздател:
В тази статия ще анализираме изчерпателно една от основните геометрични форми - ъгълът. Нека започнем с помощни понятия и определения, които ще ни доведат до дефиницията на ъгъл. След това даваме приетите методи за обозначаване на ъгли. След това ще разгледаме подробно процеса на измерване на ъгли. В заключение ще покажем как можете да маркирате ъглите в чертежа. Предоставихме цялата теория с необходимите рисунки и графични илюстрации за по-добро запомняне на материала.
Навигация в страницата.
Определение на ъгъл.
Ъгълът е една от най-важните фигури в геометрията. Дефиницията на ъгъл се дава чрез дефиницията на лъч. От своя страна идеята за лъч не може да се получи без познаване на такива геометрични фигури като точка, права линия и равнина. Ето защо, преди да се запознаете с дефиницията на ъгъла, препоръчваме да опресните теорията от раздели и.
И така, ще започнем от понятията точка, права линия в равнина и равнина.
Нека първо дадем определението за лъч.
Нека ни бъде дадена някаква права линия на равнината. Нека го обозначим с буквата а. Нека O е някаква точка от правата a . Точката O разделя правата a на две части. Всяка от тези части заедно с точката O се нарича лъч, а точката O се нарича началото на лъча. Можете също да чуете, че лъчът се нарича полудиректен.
За краткост и удобство е въведено следното обозначение за лъчите: лъчът се обозначава или с малка латинска буква (например лъч p или лъч k), или с две големи латински букви, първата от които съответства на началото на лъча, а втората обозначава някаква точка от този лъч (например лъч OA или лъч CD). Нека покажем изображението и обозначението на лъчите на чертежа.
Сега можем да дадем първото определение на ъгъл.
Определение.
Ъгъл- това е плоска геометрична фигура (т.е. лежаща изцяло в определена равнина), която се състои от два несъответстващи лъча с общ произход. Всеки от лъчите се нарича ъглова страна, общото начало на страните на ъгъла се нарича горен ъгъл.
Възможно е страните на ъгъл да образуват права линия. Този ъгъл има свое име.
Определение.
Ако двете страни на ъгъл лежат на една права, тогава ъгълът се нарича разгърнати.
Предлагаме на вашето внимание графична илюстрация на развит ъгъл.
Символът за ъгъл се използва за обозначаване на ъгъл. Ако страните на ъгъла са посочени с малки латински букви (например, едната страна на ъгъла е k, а другата е h), тогава за обозначаване на този ъгъл след знака на ъгъла се изписват букви, съответстващи на страните ред, като редът на записване няма значение (тоест или). Ако страните на ъгъла са означени с две големи латински букви (например едната страна на ъгъла OA и втората страна на ъгъла OB), тогава ъгълът се обозначава по следния начин: след иконата на ъгъла има три букви написани, които участват в обозначаването на страните на ъгъла, и буквата, съответстваща на върха на ъгъла, разположен в средата (в нашия случай ъгълът ще бъде обозначен като или ). Ако върхът на даден ъгъл не е върхът на друг ъгъл, тогава такъв ъгъл може да бъде обозначен с буквата, съответстваща на върха на ъгъла (например ). Понякога можете да видите, че ъглите в чертежите са маркирани с цифри (1, 2 и т.н.), тези ъгли са обозначени като и т.н. За по-голяма яснота представяме фигура, на която са показани и обозначени ъглите.
Всеки ъгъл разделя равнината на две части. Освен това, ако ъгълът не е развит, тогава се нарича една част от равнината зона на вътрешния ъгъл, и другият външна ъглова зона. Следното изображение обяснява коя част от равнината съответства на вътрешната страна на ъгъла и коя на външната.
Всяка от двете части, на които сплесканият ъгъл разделя равнина, може да се счита за вътрешна област на сплескания ъгъл.
Дефиницията на вътрешността на ъгъл ни води до второто определение на ъгъл.
Определение.
Ъгъл- това е геометрична фигура, която е съставена от два несъответстващи лъча с общ произход и съответната вътрешна област на ъгъла.
Трябва да се отбележи, че втората дефиниция на ъгъла е по-строга от първата, тъй като съдържа повече условия. Въпреки това, не трябва да се отхвърля първото определение на ъгъла, нито трябва да се разглеждат отделно първото и второто определение на ъгъла. Нека обясним тази точка. Кога говорим сиза ъгъла като геометрична фигура, то под ъгъл се разбира фигура, съставена от два лъча с общ произход. Ако стане необходимо да се извършват някакви действия с този ъгъл (например измерване на ъгъл), тогава ъгълът вече трябва да се разбира като два лъча с общ произход и вътрешна област (в противен случай би възникнала двойна ситуация поради наличието на вътрешна и външна област на ъгъла).
Нека дадем повече дефиниции на съседни и вертикални ъгли.
Определение.
Съседни ъгли- това са два ъгъла, в които едната страна е обща, а другите две образуват прав ъгъл.
От определението следва, че съседните ъгли се допълват до прав ъгъл.
Определение.
Вертикални ъглиса два ъгъла, в които страните на единия ъгъл са продължение на страните на другия.
Фигурата показва вертикални ъгли.
Очевидно две пресичащи се прави образуват четири двойки съседни ъгли и две двойки вертикални ъгли.
Сравнение на ъгли.
В този параграф на статията ще разгледаме определенията за равни и неравни ъгли, а също и в случай на неравни ъгли ще обясним кой ъгъл се счита за голям и кой за по-малък.
Спомнете си, че две геометрични фигури се наричат равни, ако могат да бъдат насложени.
Нека са ни дадени два ъгъла. Нека дадем разсъждения, които ще ни помогнат да получим отговор на въпроса: „Равни ли са тези два ъгъла или не“?
Очевидно винаги можем да съпоставим върховете на два ъгъла, както и едната страна на първия ъгъл с която и да е от страните на втория ъгъл. Нека комбинираме страната на първия ъгъл с тази страна на втория ъгъл, така че останалите страни на ъглите да са от същата страна на правата линия, на която лежат комбинираните страни на ъглите. След това, ако другите две страни на ъглите са подравнени, тогава ъглите се извикват равен.
Ако другите две страни на ъглите не съвпадат, тогава се наричат ъглите неравен, и по-малъкъгълът се счита за част от друг ( голяме ъгълът, който напълно съдържа друг ъгъл).
Очевидно двата прави ъгъла са равни. Също така е очевидно, че развитият ъгъл е по-голям от всеки неразвит ъгъл.
Измерване на ъгъл.
Измерването на ъгъл се основава на сравняване на измерения ъгъл с ъгъла, взет за мерна единица. Процесът на измерване на ъгли изглежда така: започвайки от една от страните на измерения ъгъл, вътрешната му област се запълва последователно с единични ъгли, плътно подредени един до друг. В същото време се запомня броят на подредените ъгли, което дава мярка за измерения ъгъл.
Всъщност всеки ъгъл може да се приеме като мерна единица за ъгли. Има обаче много общоприети единици за измерване на ъгли, свързани с различни области на науката и технологиите, те са получили специални имена.
Една от единиците за измерване на ъгли е степен.
Определение.
една степене ъгъл, равен на сто и осемдесети от изправения ъгъл.
Една степен се обозначава със символа "", следователно една степен се обозначава като.
По този начин, в развит ъгъл, можем да поберем 180 ъгъла в един градус. Ще изглежда като половин кръгъл пай, нарязан на 180 еднакви парчета. Много важно: „парчетата от пая“ прилягат плътно едно към друго (т.е. страните на ъглите са подравнени), като страната на първия ъгъл е подравнена с едната страна на сплескания ъгъл, а страната на последния ъгъл на единица съвпадна с другата страна на сплеснатия ъгъл.
При измерване на ъгли се установява колко пъти градус (или друга единица за измерване на ъгли) се вписва в измерения ъгъл, докато вътрешната област на измерения ъгъл бъде напълно покрита. Както вече видяхме, в развит ъгъл градусът пасва точно 180 пъти. По-долу са дадени примери за ъгли, в които ъгъл от един градус се вписва точно 30 пъти (такъв ъгъл е една шеста от изправен ъгъл) и точно 90 пъти (половин изправен ъгъл).
За измерване на ъгли, по-малки от един градус (или друга мерна единица за ъгли) и в случаите, когато ъгълът не може да бъде измерен в цяло число градуси (взети единици), трябва да използвате части от градус (части от взети единици от измерване). Някои части от степента получиха специални имена. Най-често срещаните са така наречените минути и секунди.
Определение.
минутае една шестдесета от градуса.
Определение.
Второе една шестдесета от минутата.
С други думи, има шестдесет секунди в минута и шестдесет минути (3600 секунди) в градус. Символът "" се използва за обозначаване на минути, а символът "" се използва за обозначаване на секунди (не бъркайте със знаците на производната и втората производна). След това, с въведените дефиниции и нотация, имаме , а ъгълът, в който се побират 17 градуса 3 минути и 59 секунди, може да бъде означен като .
Определение.
Градусна мярка на ъгълНаречен положително число, което показва колко пъти даден градус и неговите части се вписват в даден ъгъл.
Например градусната мярка на изправен ъгъл е сто и осемдесет, а градусната мярка на ъгъл е .
За измерване на ъгли има специални измервателни уреди, най-известният от които е транспортир.
Ако са известни както обозначението на ъгъла (например,), така и неговата градусна мярка (нека 110), тогава използвайте кратка нотация на формата и кажете: "Ъгълът AOB е сто и десет градуса."
От дефинициите на ъгъла и градусната мярка на ъгъла следва, че в геометрията мярката на ъгъла в градуси се изразява с реално число от интервала (0, 180] (в тригонометрията ъгли с произволна градусна мярка се считат, те се наричат) Ъгъл от деветдесет градуса има специално име, нарича се прав ъгъл. Ъгъл, по-малък от 90 градуса, се нарича остър ъгъл. Ъгъл, по-голям от деветдесет градуса, се нарича тъп ъгъл. И така, мярката на остър ъгъл в градуси се изразява с число от интервала (0, 90), мярката на тъп ъгъл - с число от интервала (90, 180), прав ъгъл е равен на деветдесет степени. Ето илюстрации на остър ъгъл, тъп ъгъл и прав ъгъл.
От принципа за измерване на ъгли следва, че градусните мерки на равни ъгли са еднакви, градусната мярка на по-голям ъгъл е по-голяма от градусната мярка на по-малък, а градусната мярка на ъгъл, който се състои от няколко ъгъла, е равна на сумата от градусните мерки на компонентните ъгли. Фигурата по-долу показва ъгъла AOB, който се състои от ъглите AOC, COD и DOB, докато .
По този начин, сумата от съседните ъгли е сто и осемдесет градуса, тъй като образуват прав ъгъл.
От това твърдение следва, че. Действително, ако ъглите AOB и COD са вертикални, то ъглите AOB и BOC са съседни и ъглите COD и BOC също са съседни, следователно са в сила равенствата и , от които следва равенството.
Заедно с градуса се нарича удобна единица за измерване на ъгли радиан. Мярката за радиан се използва широко в тригонометрията. Нека дефинираме радиан.
Определение.
Един радиан ъгъл- Това централен ъгъл, което съответства на дължината на дъгата, равна на дължината на радиуса на съответната окръжност.
Нека да дадем графична илюстрация на ъгъл от един радиан. На чертежа дължината на радиуса OA (както и радиуса OB ) е равна на дължината на дъгата AB , следователно по дефиниция ъгълът AOB е равен на един радиан.
Съкращението "рад" се използва за обозначаване на радиани. Например писането на 5 rad означава 5 radians. В писмена форма обаче обозначението "рад" често се пропуска. Например, когато е написано, че ъгълът е равен на pi, това означава pi rad.
Отделно трябва да се отбележи, че стойността на ъгъла, изразена в радиани, не зависи от дължината на радиуса на окръжността. Това се дължи на факта, че фигурите, ограничени от даден ъгъл и дъга от окръжност с център във върха на даден ъгъл, са подобни една на друга.
Измерването на ъгли в радиани може да се извърши по същия начин като измерването на ъгли в градуси: разберете колко пъти ъгъл от един радиан (и неговите части) се вписват в даден ъгъл. И можете да изчислите дължината на дъгата на съответния централен ъгъл и след това да я разделите на дължината на радиуса.
За нуждите на практиката е полезно да се знае как мерките за градус и радиан се отнасят една към друга, тъй като значителна част трябва да се изпълни. В тази статия се установява връзка между градуса и радианната мярка на ъгъл и са дадени примери за преобразуване на градуси в радиани и обратно.
Обозначаване на ъглите в чертежа.
На чертежите, за удобство и яснота, ъглите могат да бъдат маркирани с дъги, които обикновено се изчертават във вътрешната област на ъгъла от едната страна на ъгъла до другата. Равни ъглимаркирайте същия брой дъги, неравни ъгли - различен брой дъги. Правите ъгли на чертежа се обозначават със символ под формата "", който е изобразен във вътрешната област на правия ъгъл от едната страна на ъгъла до другата.
Ако чертежът трябва да маркира много различни ъгли (обикновено повече от три), тогава при обозначаването на ъглите, в допълнение към обикновените дъги, е допустимо да се използват дъги от някакъв специален тип. Например, можете да изобразите назъбени дъги или нещо подобно.
Трябва да се отбележи, че не трябва да се увличате с обозначаването на ъгли в чертежите и не претрупвайте чертежите. Препоръчваме да маркирате само онези ъгли, които са необходими в процеса на решаване или доказване.
Библиография.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 - 9 клас: учебник за образователни институции.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на средното училище.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник за 7-11 клас на учебните заведения.
Ъгълът е геометрична фигура, която се състои от два различни лъча, излизащи от една точка. IN този случай, тези лъчи се наричат страни на ъгъла. Точката, която е началото на лъчите, се нарича връх на ъгъла. На снимката можете да видите ъгъла с върха в точката ОТНОСНО, и страните кИ м.
Отстрани на ъгъла са отбелязани точките A и C. Този ъгъл може да се обозначи като ъгъл AOC. В средата трябва да има името на точката, в която се намира ъгловият връх. Има и други обозначения, ъгълът O или ъгълът km. В геометрията вместо думата ъгъл често се изписва специална икона.
Завъртян и незавъртян ъгъл
Ако двете страни на ъгъл лежат на една и съща права линия, тогава такъв ъгъл се нарича разгърнатиъгъл. Тоест, едната страна на ъгъла е продължение на другата страна на ъгъла. Фигурата по-долу показва ъгъла O.
Трябва да се отбележи, че всеки ъгъл разделя равнината на две части. Ако ъгълът не е разширен, тогава една от частите се нарича вътрешна област на ъгъла, а другата е външната област на този ъгъл. Фигурата по-долу показва несплескан ъгъл и маркира външната и вътрешната зона на този ъгъл.
В случай на развит ъгъл всяка от двете части, на които той разделя равнината, може да се счита за външна област на ъгъла. Можем да говорим за позицията на точка спрямо ъгъл. Точката може да е извън ъгъла (във външната област), може да е от едната му страна или може да лежи вътре в ъгъла (във вътрешната област).
На фигурата по-долу точка A лежи извън ъгъл O, точка B лежи от едната страна на ъгъла, а точка C лежи вътре в ъгъла.
Измерване на ъгъл
За измерване на ъгли има устройство, наречено транспортир. Единицата за ъгъл е степен. Трябва да се отбележи, че всеки ъгъл има определена градусна мярка, която е по-голяма от нула.
В зависимост от градусната мярка ъглите се делят на няколко групи.