Дефиниции на паралелепипед. Основни свойства и формули
Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на трети страни
Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
В този урок всеки ще може да изучава темата " кубоид". В началото на урока ще повторим какво е произволен и прав паралелепипед, ще си припомним свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво е кубоид и ще обсъдим основните му свойства.
Тема: Перпендикулярност на прави и равнини
Урок: Кубоид
Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се нарича паралелепипед(Фиг. 1).
Ориз. 1 паралелепипед
Тоест: имаме два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредници паралелепипед.
По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.
1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.
(фигурите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез наслагване)
Например:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (равни паралелограми по дефиниция),
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).
2. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и разполовяват тази точка.
Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O, като всеки диагонал се дели наполовина от тази точка (фиг. 2).
Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипеда се пресичат и разполовяват в пресечната точка.
3. Има три четворки от равни и успоредни ръбове на паралелепипеда: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.
Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. И следователно правоъгълниците лежат в страничните лица. А основите са произволни успоредници. Означаваме, ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.
Ориз. 3 Дясна кутия
И така, дясна кутия е кутия, в която страничните ръбове са перпендикулярни на основите на кутията.
Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.
Паралелепипедът АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:
1. AA 1 ⊥ ABCD (страничният ръб е перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).
2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.
Ориз. 4 Кубоид
Правоъгълна кутия има всички свойства на произволна кутия.Но има допълнителни свойства, които се извличат от дефиницията на кубоид.
Така, кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на кубоид е правоъгълник.
1. В кубоид всичките шест лица са правоъгълници.
ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.
2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични лица на кубоид са правоъгълници.
3. Всички двустенни ъгли на кубоид са прави ъгли.
Помислете например за двустенния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двустенния ъгъл между равнините ABB 1 и ABC.
AB е ребро, като точка A 1 лежи в едната равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двустенен ъгъл може да се означи и така: ∠А 1 АВD.
Вземете точка A на ръба AB. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABB-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Следователно ∠A 1 AD е линейният ъгъл на дадения двустенен ъгъл. ∠A 1 AD \u003d 90 °, което означава, че двустенният ъгъл при ръба AB е 90 °.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
По подобен начин се доказва, че всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Квадратът на диагонала на кубоид е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.
Забележка. Дължините на трите ръба, излизащи от един и същи връх на кубоида, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат дължина, ширина, височина.
Дадено е: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).
Докажи: .
Ориз. 5 Кубоид
Доказателство:
Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC, а оттам и на правата AC. Така че триъгълник CC 1 A е правоъгълен триъгълник. Според теоремата на Питагор:
Да разгледаме правоъгълен триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:
Но BC и AD са противоположните страни на правоъгълника. Така че BC = AD. Тогава:
защото , А
, Че. Тъй като CC 1 = AA 1, тогава това, което трябваше да бъде доказано.
Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.
Нека обозначим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (вижте фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
В геометрията се разграничават следните видове паралелепипеди: правоъгълен паралелепипед (правоъгълниците действат като лица на паралелепипеда); прав паралелепипед (страничните му повърхности действат като правоъгълници); наклонен паралелепипед (страничните му повърхности действат като перпендикуляри); кубът е паралелепипед с абсолютно същите размери, а лицата на куба са квадрати. Паралелепипедите могат да бъдат наклонени или прави.
Основните елементи на паралелепипеда са, че двете лица на представения геометрична фигура, които нямат общ ръб, са срещуположни, а тези, които имат, са съседни. Върховете на кутията, които не принадлежат на едно и също лице, са срещуположни един на друг. Паралелепипедът има измерение - това са три ръба, които имат общ връх.
Отсечка, която свързва противоположни върхове, се нарича диагонал. Четирите диагонала на паралелепипеда, пресичащи се в една точка, се разделят едновременно наполовина.
За да се определи диагоналът на паралелепипед, е необходимо да се определят страните и ръбовете, които са известни от условието на задачата. С известни три ръба А , IN , СЪС начертайте диагонал в паралелепипеда. Според свойството на паралелепипеда, което гласи, че всичките му ъгли са прави, се определя диагоналът. Построете диагонал от едно от лицата на паралелепипеда. Диагоналите трябва да бъдат начертани по такъв начин, че диагоналът на лицето, желаният диагонал на паралелепипеда и известният ръб да образуват триъгълник. След като триъгълникът е образуван, намерете дължината на този диагонал. Диагоналът в друг получен триъгълник действа като хипотенуза, така че може да се намери с помощта на Питагоровата теорема, която трябва да се вземе под квадратния корен. Така научаваме стойността на втория диагонал. За да се намери първият диагонал на паралелепипеда в образувания правоъгълен триъгълник, е необходимо да се намери и неизвестната хипотенуза (зад Питагоровата теорема). Използвайки същия пример, последователно намерете останалите три диагонала, съществуващи в паралелепипеда, като извършите допълнителни конструкции на диагоналите, които образуват правоъгълни триъгълниции решете с помощта на Питагоровата теорема.
Правоъгълен паралелепипед (PP) не е нищо повече от призма, чиято основа е правоъгълник. В PP всички диагонали са равни, което означава, че всеки от неговите диагонали се изчислява по формулата:
a, c - страни на PP основата;
c е неговата височина.
Може да се даде друго определение, като се има предвид декартовата правоъгълна координатна система:
Диагоналът на PP е радиус-векторът на всяка точка в пространството, зададен от координатите x, y и z в декартовата координатна система. Този радиус вектор към точката е изчертан от началото. И координатите на точката ще бъдат проекциите на радиус вектора (диагонал PP) върху координатните оси. Проекциите съвпадат с върховете на дадения паралелепипед.
Паралелепипед и неговите видове
Ако буквално преведем името му от старогръцки, се оказва, че това е фигура, състояща се от успоредни равнини. Има такива еквивалентни дефиниции на паралелепипед:
- призма с основа под формата на успоредник;
- многостен, всяко лице на който е успоредник.
Видовете му се разграничават в зависимост от това коя фигура лежи в основата му и как са насочени страничните ребра. Като цяло се говори за наклонен паралелепипедчиято основа и всички лица са успоредници. Ако страничните повърхности на предишния изглед станат правоъгълници, тогава ще трябва вече да се извика директен. И при правоъгълени основата също има 90º ъгли.
Освен това в геометрията те се опитват да изобразят последното по такъв начин, че да се забележи, че всички ръбове са успоредни. Тук, между другото, се наблюдава основната разлика между математици и художници. За последното е важно да предаде тялото в съответствие със закона на перспективата. И в този случай успоредността на ръбовете е напълно невидима.
За въведената нотация
Във формулите по-долу са валидни обозначенията, посочени в таблицата.
Формули за наклонена кутия
Първият и вторият за области:
Третият е за изчисляване на обема на кутията:
Тъй като основата е успоредник, за да изчислите неговата площ, ще трябва да използвате подходящите изрази.
Формули за паралелепипед
Подобно на първия параграф - две формули за площи:
И още едно за обем:
Първа задача
Състояние. Даден е правоъгълен паралелепипед, чийто обем трябва да се намери. Известен е диагоналът - 18 см - и фактът, че той образува ъгли от 30 и 45 градуса съответно с равнината на страничната повърхност и страничния ръб.
Решение.За да отговорите на въпроса на проблема, трябва да намерите всички страни в три правоъгълни триъгълника. Те ще дадат необходимите стойности на ръба, за които трябва да изчислите обема.
Първо трябва да разберете къде е ъгълът от 30º. За да направите това, трябва да начертаете диагонал на страничната повърхност от същия връх, от който е изчертан основният диагонал на успоредника. Ъгълът между тях ще бъде това, от което се нуждаете.
Първият триъгълник, който ще даде една от страните на основата, ще бъде следният. Той съдържа желаната страна и два начертани диагонала. Тя е правоъгълна. Сега трябва да използвате съотношението на противоположния крак (основната страна) и хипотенузата (диагонал). То е равно на синус от 30º. Тоест, неизвестната страна на основата ще бъде определена като диагонал, умножен по синуса от 30º или ½. Нека е отбелязано с буквата "а".
Вторият ще бъде триъгълник, съдържащ известен диагонал и ръб, с който образува 45º. Той също е правоъгълен и можете отново да използвате отношението на катета към хипотенузата. С други думи, страничният ръб към диагонала. То е равно на косинус от 45º. Тоест, "c" се изчислява като произведение на диагонала и косинуса от 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
В същия триъгълник трябва да намерите друг крак. Това е необходимо, за да се изчисли след това третото неизвестно - "in". Нека бъде отбелязано с буквата "х". Лесно е да се изчисли с помощта на Питагоровата теорема:
x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).
Сега трябва да разгледаме друг правоъгълен триъгълник. Той съдържа вече познатите страни "c", "x" и тази, която трябва да се преброи, "c":
c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).
И трите количества са известни. Можете да използвате формулата за обем и да го изчислите:
V \u003d 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).
Отговор:обемът на паралелепипеда е 729√2 cm 3 .
Втора задача
Състояние. Намерете обема на паралелепипеда. Познава страните на лежащия в основата успоредник 3 и 6 см, както и острия му ъгъл - 45º. Страничното ребро е с наклон към основата 30º и е равно на 4 cm.
Решение.За да отговорите на въпроса на проблема, трябва да вземете формулата, която е написана за обема на наклонен паралелепипед. Но и двете количества са неизвестни в него.
Площта на основата, тоест успоредникът, ще се определя от формулата, в която трябва да умножите известните страни и синуса на острия ъгъл между тях.
S o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).
Второто неизвестно е височината. Може да се изтегли от всеки от четирите върха над основата. Може да се намери от правоъгълен триъгълник, в който височината е катет, а страничният ръб е хипотенузата. В този случай ъгъл от 30º лежи срещу неизвестната височина. И така, можете да използвате отношението на катета към хипотенузата.
n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.
Сега всички стойности са известни и можете да изчислите обема:
V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).
Отговор:обемът е 18 √2 cm 3 .
Трета задача
Състояние. Намерете обема на паралелепипеда, ако е известно, че е права линия. Страните на основата му образуват успоредник и са равни на 2 и 3 cm. Остър ъгълмежду тях 60º. По-малкият диагонал на паралелепипеда е равен на по-големия диагонал на основата.
Решение.За да намерим обема на паралелепипед, използваме формулата с основната площ и височината. И двете величини са неизвестни, но са лесни за изчисляване. Първият е височината.
Тъй като по-малкият диагонал на паралелепипеда е със същия размер като по-голямата основа, те могат да бъдат обозначени със същата буква d. Най-големият ъгъл на успоредник е 120º, тъй като той образува 180º с остър. Нека вторият диагонал на основата се обозначи с буквата "x". Сега, за двата диагонала на основата, можем да напишем косинусовите теореми:
d 2 \u003d a 2 + in 2 - 2av cos 120º,
x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2av cos 60º.
Намирането на стойности без квадрати няма смисъл, тъй като тогава те отново ще бъдат повдигнати до втората степен. След заместване на данните се оказва:
d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,
x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2av cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.
Сега височината, която също е страничният ръб на паралелепипеда, ще бъде катетът в триъгълника. Хипотенузата ще бъде известният диагонал на тялото, а вторият катет ще бъде "x". Можете да напишете Питагоровата теорема:
n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.
Следователно: n = √12 = 2√3 (cm).
Сега второто неизвестно количество е площта на основата. Може да се изчисли с помощта на формулата, спомената във втората задача.
S o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).
Комбинирайки всичко във формула за обем, получаваме:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Отговор: V \u003d 18 cm 3.
Четвъртата задача
Състояние. Необходимо е да се намери обемът на паралелепипед, който отговаря на следните условия: основата е квадрат със страна 5 cm; страничните лица са ромби; един от върховете над основата е на еднакво разстояние от всички върхове, лежащи в основата.
Решение.Първо трябва да се справите със състоянието. Няма въпроси с първия параграф за площада. Второто, за ромбовете, показва, че паралелепипедът е наклонен. Освен това всичките му ръбове са равни на 5 см, тъй като страните на ромба са еднакви. А от третия става ясно, че трите диагонала, изведени от него, са равни. Това са две, които лежат на страничните стени, а последната е вътре в паралелепипеда. И тези диагонали са равни на ръба, тоест те също имат дължина 5 см.
За да определите обема, ще ви е необходима формула, написана за наклонен паралелепипед. Отново в него няма известни количества. Площта на основата обаче е лесна за изчисляване, тъй като е квадрат.
S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).
Малко по-труден е случаят с височината. Тя ще бъде такава в три фигури: паралелепипед, четириъгълна пирамида и равнобедрен триъгълник. Трябва да се използва последното обстоятелство.
Тъй като е височина, това е катет в правоъгълен триъгълник. Хипотенузата в него ще бъде известен ръб, а вторият крак е равен на половината от диагонала на квадрата (височината също е медианата). И диагоналът на основата е лесен за намиране:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (cm).
V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).
Отговор: 62,5 √2 (cm 3).
Инструкция
Метод 2 Да приемем, че кубоидът е куб. Кубът е правоъгълен паралелепипед с всяко лице, представено от квадрат. Следователно всичките му страни са равни. Тогава, за да се изчисли дължината на неговия диагонал, той ще бъде изразен, както следва:
източници:
- формула за диагонал на правоъгълник
паралелепипед - специален случайпризма, в която всичките шест лица са успоредници или правоъгълници. Паралелепипед с правоъгълни лица се нарича още правоъгълен. Паралелепипедът има четири пресичащи се диагонала. Ако са дадени три ръба a, b, c, можете да намерите всички диагонали на правоъгълен паралелепипед, като извършите допълнителни конструкции.
Инструкция
Намерете диагонала на паралелепипеда m. За да направите това, в a, n, m намерете неизвестната хипотенуза: m² = n² + a². Поставете известните стойности, след което изчислете квадратния корен. Полученият резултат ще бъде първият диагонал на паралелепипеда m.
По същия начин начертайте последователно всички останали три диагонала на паралелепипеда. Също така за всеки от тях извършете допълнителна конструкция на диагоналите на съседни лица. Като се имат предвид формираните правоъгълни триъгълници и прилагайки Питагоровата теорема, намерете стойностите на останалите диагонали.
Подобни видеа
източници:
- намиране на паралелепипед
Хипотенузата е страната срещу правия ъгъл. Краката са страните на триъгълник, съседен на прав ъгъл. По отношение на триъгълниците ABC и ACD: AB и BC, AD и DC–, AC е общата хипотенуза и за двата триъгълника (желаната диагонал). Следователно AC = AB квадрат + BC квадрат, или AC B = AD квадрат + DC квадрат. Включете дължините на страните правоъгълникв горната формула и изчислете дължината на хипотенузата (диагонал правоъгълник).
Например, страни правоъгълник ABCD са равни на следните стойности: AB = 5 cm и BC = 7 cm. Квадратът на диагонала AC на дадено правоъгълникспоред питагоровата теорема: AC на квадрат \u003d AB квадрат + BC квадрат \u003d 52 + 72 \u003d 25 + 49 = 74 кв. cm. Използвайте калкулатора, за да изчислите стойността корен квадратен 74. Трябва да получите 8,6 см (закръглена стойност). Имайте предвид, че един от имотите правоъгълник, неговите диагонали са равни. И така, дължината на втория диагонал BD правоъгълник ABCD е равно на дължината на диагонала AC. За горния пример тази стойност