Täiendava õppe õppeasutuste näidismäärused. Uus kord laste lisaõppe korraldamiseks
Fermat' põhimõte
Geomeetrilist optikat saab konstrueerida erinevatel põhimõtetel. Ühelt poolt saame kasutada peegelduse ja murdumise seadusi, teiselt poolt Fermat’ või Huygensi põhimõtet. Oleme peegelduse ja murdumise seadustega töötanud üsna pikka aega ja nüüd räägime Fermat’ põhimõttest.
Vaatleme optilist keskkonda, milles valguse kiirus erineb punktides, sellist keskkonda nimetatakse ebahomogeenseks.
Riis. 1. Valguse kiirus sõltub punktist
Võime öelda, et valguse kiirus oleneb punktist, kuid võib öelda, et murdumisnäitaja oleneb punktist
. See on sama asi, sest need on seotud suhtega
, kus konstant - valguse kiirus vaakumis.
Ebahomogeenses keskkonnas valguskiired ei liigu sirgjooneliselt, vaid on kõverad.
Reisi aeg. Oletame, et meil on mingi võimalus
, mis ühendab punkte Ja , võib see olla valguskiir või mitte. Küll aga saame arvutada mingi tingimusliku aja – aja, mille valguskiir kulutaks, kui ta seda rada järgiks , millel on igas punktis
kiirust
. Selle aja saab ligikaudselt välja arvutada, jagades kogu tee väikesteks osadeks
ja iga segmendi sees kindla punkti valimine. Seejärel saab väikese lõigu läbimiseks kuluvat aega hinnata järgmiselt
ja kogu reisiaeg võrdub nende aegade summaga
.
See võrdsus on muidugi ligikaudne, kuid parem osa on integraalsumma järgmise teekonna kõvera integraali jaoks, mis annab juba täpse tulemuse
.
Me nimetame seda integraaliks reisi aeg viise Valguskiire puhul langeb see aeg kokku ajaga, mis tegelikult kulub reisimiseks punktist kuni. Nüüd saame sõnastada Fermat' põhimõtte.
P
Talu põhimõte. Parandame kaks punkti ja . Laskem välja valguskiiri ühest punktist kõigis võimalikes suundades. Ütleme nii, et üks neist tabab asja.
Riis. 2. Üks punktist väljuvatest kiirtest , tabab kohapeal
P
jälgime kõiki võimalikke teid punktist punkti, sealhulgas valguskiirt ennast.
Riis. 3. Kõik teed alates kuni , nende hulgas on valguskiir tähistatud punasega
Fermat' põhimõte räägib sellest, kuidas tõeline valguskiir erineb kõigist teistest neid punkte ühendavatest teedest,
Ühest punktist teise liikuva valguskiire liikumisaeg on kõigi teiste neid punkte ühendavate teedega võrreldes kõige lühem.
Miks näiteks valguskiir ei pruugi minna mööda punkte ühendavat lõiku, vaid läheb mööda kõverat rada. Fermat' põhimõtte kohaselt juhtub see siis, kui valguse kiirus lõigu punktides on suurem kui kõvera tee punktides.
Sageli töötavad nad transiidiaja asemel optiline pikkus viise
.
Sest optiline pikkus ja ülekandeaeg on üksteisega võrdelised
(proportsionaalsuskoefitsient on valguse kiirus vaakumis), võib Fermat’ põhimõtte sõnastada järgmiselt
ühest punktist teise liikuva valguskiire optiline pikkus on kõigi teiste neid punkte ühendavate teedega võrreldes kõige lühem.
Tegelikult nõuavad mõlemad meie poolt antud Fermat’ printsiibi sõnastused – sõna asemel – mõningast täpsustust vähemalt need peavad sisaldama sõna paigal, kuid me ei peatu sellel praegu.
Nüüd näitame, et kõik põhiseadused tulenevad Fermat’ põhimõttest geomeetriline optika.
Valguskiirte sirgus homogeenses keskkonnas. Kui sööde on homogeenne, s.t. valguse kiirus selles on konstantne,
, siis mööda mis tahes teed on reisiaeg võrdeline selle tee pikkusega
.
Siin paremal pool
tähistab tee pikkust. Sellest järeldub kõige vähem aega kõige lühema pikkusega raja läbimine, s.o. sirgel lõigul. See tähendab, et Fermat’ põhimõtte kohaselt liigub valgus sirgjooneliselt.
P
Talu põhimõte
peegelduse seadus. Laske valguskiirel punktist lahkuda ja pärast peegeldumist tabage punkti. Fermat' põhimõttel tõestame, et langemisnurk võrdne nurgaga peegeldused.
Riis. 4. Kõigi kahe lüliga katkendlike joonte hulgast peate valima lühima
Siin on vaja veidi selgitada Fermat' põhimõtet. Peegelduse arvesse võtmiseks ei pea me võrdlema mitte kõiki teid alates ja , vaid ainult neid, mis on peegliga kokku puutunud. Sest usume, et valgus levib homogeenses keskkonnas, kus valgus liigub sirgjooneliselt, on vaja võrrelda kahelülilisi teid omavahel
, mis koosneb kahest segmendist
Ja
ülaosaga lamades peeglil ja vali nende hulgast lühima pikkusega katkendlik joon.
See valik tehakse järgmise geomeetrilise tehnika abil. Peegeldame punkti peeglis
. Geomeetriline põhilause on järgmine: mis tahes punkti jaoks peeglil katkendlike joonte pikkus ja
on võrdsed.
Riis. 5. Katkeste joonte pikkused
Ja
võrdne, katkendlik joon
- kõige lühem
See tuleneb võrdhaarsest kolmnurgast
. Seetõttu võite minimaalse katkendjoone asemel otsida minimaalset katkendjoont, kuid selline katkendjoon on vaid lõik
. Tähistame selle lõikepunkti peegliga . Kolme nurga võrdsus tipuga tuleneb sellest, et kaks neist on vertikaalsed ja teise paari jaoks tuleneb võrdsus sellest, et võrdhaarses kolmnurgas
kõrgus on poolitaja. Ja nüüd on langemis- ja peegeldusnurgad võrdsed 90°-ga kahe teise võrdse nurga suhtes. Peegelduse seadus on tõestatud.
Fermat' murdumisseadus. Seekord tuleb valguskiir välja punktist, mis asub keskkonnas, kus on valguse kiirus , ja pärast murdumist tabab see punkti, mis on valguse kiirusega keskkonnas . Lähtudes Fermat' põhimõttest, tuleb valguskiire trajektoori määramiseks leida selline punkt, mis asub meediumite vahelisel piiril, nii et katkendjoone läbimiseks kuluv aeg on minimaalne.
Tutvustame koordinaatide süsteemi, milles telg kulgeb piki meediumi ja telje vahelist liidest läbib punkti. Me eeldame seda
,
Ja
.
Riis. 6. Segment
on pikkust
, segmendi pikkus
võrdne
Peame minimeerima kahelülilise tee läbimiseks kuluvat aega, valides sobiva punkti, s.t. selle koordinaadi määramine
.
Miinimumi leidmiseks arvutame tuletise
ja võrdsusta see nulliga
.
Niisiis
.
Aga teine tegur vasakult on
, ja teine tegur paremal on
, nii meil on
.
Pärast valguse kiirusega korrutamist saame
.
Võrdsust arvesse võttes saame murdumise seaduse
,
Kus
on esimese keskkonna murdumisnäitaja ja
– teise keskkonna murdumisnäitaja.
Objektiiv kui seade, mis kogub kõik ühest punktist teise tulevad kiired. Esiteks väljendagem kahtlust sellise seadme olemasolus. Vaatleme kõiki seda läbivaid kiiri. Need kiired ühendavad kahte punkti. Valige nende hulgast see tala, mis nõuab kõige vähem reisimiseks aega. Fermat' põhimõtte kohaselt liigub valgus ainult mööda seda kiirt, kuid mitte mööda teisi - ilmne vastuolu.
Tegelikult on selle vastuolu kõrvaldamiseks vaid üks võimalus – eeldada, et kõigi nende kiirte liikumisaeg on sama ja pealegi on see minimaalne võrreldes kõigi teiste neid kahte punkti ühendavate radade liikumisajaga.
Seda põhimõtet, mis on Fermat’ printsiibi tagajärg, nimetatakse printsiibiks tautokroonia või põhimõte samaväärsust. Alustame oma seadme ehitamist. Kõige primitiivsem visand võib välja näha selline
Riis. 7. Esimene eskiis seadmest, mis kogub kõik kiired ühte punkti
I
On selge, et see on vale, sest keskmine kiir liigub läbi kõige vähema ajaga ja valgus liigub ainult mööda seda. Tautokroonsuse põhimõttest tulenevalt peame võrdsustama kõigi kiirte liikumisaega. Selleks asetame iga tala teele moderaatori - klaasitüki, kus kiirus on poolteist korda väiksem kui õhus. Lühikeste kiirte korral peaks moderaator (klaasitükk) olema paksem, pikkade kiirte puhul - õhem.
Riis. 7. Teine eskiis – primitiivne objektiiv
On selge, et saadud seade on objektiivi primitiivne prototüüp. Tegelikult pole see ideaalse objektiivi kuju täpsest arvutamisest nii kaugel.
Toome veel ühe näite tautokroonia printsiibi rakendamisest.
Optiline ellipsi tuvastamine. Seekord proovime konstrueerida peegeldusseadet, mis kogub (fokuseerib) kõik ühest punktist väljuvad kiired mõnes teises punktis. Jällegi näib, et Fermat’ põhimõte takistab sellise seadme olemasolu. Kõigist sellistest kiirtest peate valima lühima ja valgus levib ainult mööda seda, kuid mitte mööda teisi kiiri.
Kuid tautokroonia põhimõte päästab meid taas. Peame nõudma, et kõigi nende kiirte pikkused oleksid samad ja minimaalsed kõigi teiste peegelduskõverat puudutavate ja neid kahte punkti ühendavate radade pikkuste suhtes.
Tähistame punkti, kust valguskiired väljuvad , on punkt, kuhu nad pärast järelemõtlemist kogunevad . Tähistame punkti kõveral. Tautokroonia põhimõte toob kaasa asjaolu, et kahe lüli tee pikkus
peab olema konstantne väärtus, mis ei sõltu punkti valikust Seda võrrandit nimetatakse ellipsi kanooniliseks võrrandiks. Kasulik võib olla ka ellipsi parameetriline võrrand
.
Olgu lisatud ka, et kogused Ja ,
nimetatakse ellipsi pooltelgedeks – suur- ja minoorseteks.
1. Pierre Fermat (1601--1675) esitas põhimõtte, mille kohaselt valgus ühest punktist teise levides valib tee, mis vastab lühimale levimisajale. Talu lähtus teleoloogilistest kaalutlustest, mille kohaselt loodus tegutseb sihipäraselt: ta ei saa olla raiskav ja peab saavutama oma eesmärgid väikseima rahakuluga. Sellised kaalutlused on loomulikult teadusele võõrad ja ei saa olla Fermat' põhimõtte põhjenduseks. Kuid põhimõte ise (pärast mõningate selgituste tegemist) on õige ja võib osutuda kasulikuks teatud geomeetrilise optika probleemide lahendamisel. Seda näitas juba Fermat ise, kes tuletas oma põhimõtet kasutades Snelli murdumisseaduse ja sai murdumisnäitaja jaoks samasuguse avaldise nagu valguse laineteoorias. Eelkõige jõudis ta järeldusele, et valguse kiirus murdumisvõimelisemas keskkonnas on väiksem kui vähem murduvas keskkonnas.
2. Fermat’ printsiibi tõestamiseks oletame esmalt, et keskkonna murdumisnäitaja muutub ruumis pidevalt ja piisavalt aeglaselt, nii et geomeetrilise optika rakendatavuse tingimused on täidetud. Laske vormi lainel keskkonnas levida
(kus a(r), Ф(r) on tegelikud koordinaatfunktsioonid.
Laine number
näiteks punktallika poolt genereeritud. See vastab joonisel fig. 2.
Kui eikonaal Ф on koordinaatide üheväärtuslik funktsioon, siis võrrandist gradФ=ns (kus s on lainefrondi normaalvektori ühikvektor) järeldub, et vektori ns tsirkulatsioon piki mis tahes suletud kontuuri on võrdne nulli, st.
kus dl on elementaarnihke vektor piki seda kontuuri. Võtame kaks suvalist punkti A ja B, mis asuvad ühel kiirtest. Ühendame need suvalise joonega ADB. Tegelikult (3)
ASV kiirel on vektorid s ja dl suunatud võrdselt, seega (sdl) = dl. Real ADB (sdl)=dl cos (s,dl)
Võrdsusmärk kehtib ainult juhul, kui ADB kõver ise on kiir. Seega, kui murdumisnäitaja muutub ruumis pidevalt, on kiirguse optiline pikkus mis tahes kahe punkti vahel väiksem kui mis tahes muu samu punkte ühendava joone optiline pikkus. Kuid see on Fermat' põhimõtte teine sõnastus, kuna kiire optiline pikkus on võrdeline valguse levimise ajaga mööda seda.
Eeltoodud Fermat' põhimõtte sõnastus vajab täpsustamist. Mõnel juhul võib see olla vale. Vaatleme näiteks keskkonda, mille murdumisnäitaja jaotub sfääriliselt sümmeetriliselt keskpunkti O ümber (joonis 3).
Sellise keskkonna näiteks on planeedi atmosfäär. Oletame, et murdumisnäitaja muutub ruumis nii, et valguskiir, mis väljub mis tahes punktist, mis on raadiusega risti, kirjeldab ringi, mille keskpunkt on punktis O. Laske valgusel langeda punktist A punkti B mööda suurt kaare ACB see ring. Kuid see võib liikuda punktist A punkti B ja mööda sama ringi kaare ADB, kulutades levimisele vähem aega. Vähem aega kuluks ka siis, kui valgus oleks valinud mõne muu tee, lõpmatult ADB kaare lähedal. Kõik see on vastuolus Fermat' põhimõttega ülaltoodud sõnastuses.
Vastuolu põhjuseks on see, et antud näites ei ole eikonaal Φ koordinaatide üheväärtuslik funktsioon, nagu tuletuses eeldati. Tõepoolest, kui kiir kirjeldab ringjoont ümber keskpunkti O, siis naaseb ta alguspunkti eikonaali uue väärtusega: eikonaal Ф saab juurdekasvu nl, kus l on piiritletud ringi pikkus. Kui ring on ümbritsetud m korda, on eikonaali juurdekasv 2mp1. See tähendab, et funktsioon Ф on mitmetähenduslik. Selleks, et Fermat' põhimõte kehtiks, on vaja kehtestada valguse kujuteldavate leviteede valikule sellised piirangud, et eikonaal Ф käituks koordinaatide unikaalse funktsioonina. Toodud näites saab seda saavutada, asetades partitsiooni piki meridionaalset pooltasandit ODE ja piirdudes ainult nende teedega, mis seda partitsiooni ei ristu.
Sarnast tehnikat saab kasutada ka kõigil muudel juhtudel, kui eikonaal Φ osutub mitmetähenduslikuks. Ent Fermat’ printsiibi rakendustes piisab, kui piirdume ainult selliste radadega, mis läbivad lõpmatult lähedalt tegelikule valgusteele. Sel juhul pole vaheseinu sisse seada vaja.
3. Meediumite vaheliste liideste olemasolul, millel kiired võivad peegelduda või murduda, tuleb Fermat’ põhimõtte sõnastusse ja tõestusse lisada täiendusi. Laske kiir, mis väljub punktist A (joonis 4), pärast peegeldusi või murdumist punktides C, D, E jõuda punkti B. Nimetagem mis tahes sirget AC"D"E"B äärmiste punktide A ja B vahel virtuaalseks valguse teekond, mis saadakse ACDEB-st selle lõpmatult väikese külgnihke tulemusena ja erineb sellest lõpmatult väikese suunaga.Fermat' põhimõte ütleb, et valguse tegeliku teekonna optiline pikkus (või sellega võrdeline levimisaeg) See tähendab, et valguse tegeliku ja virtuaalse tee optiliste pikkuste erinevus on suuremat väiksusastet kui virtuaalse tee külgnihe tegeliku suhtes.Ainult see statsionaarsus, mitte miinimum optilise kiire pikkusest, on rakendustes oluline.
Tõestuses piisab, kui piirdume murdumisega ühel piiril. Samamoodi uuritakse refleksiooni juhtumit. Olgu MN meediumite 1 ja 2 vaheline liides ja ASV tegelik kiir, mis ühendab punkti A punktiga B (joonis 5). Kujutagem ette kaht lõpmata kitsast kiirtekiirt: üks esimeses keskkonnas, mis väljub punktist A, teine teises keskkonnas, koonduvad punktis B. Võtame suunad punktist A punkti B kiirte positiivsete suundadena. valime nendes kiirtes kaks kiirt AC" ja C"B, mis ristuvad liideses punktis C." AC"B kõverat võib pidada valguse virtuaalseks teekonnaks, kuna kiir C"B üldiselt ei tekivad kiirte AC murdumise tagajärjel". Tähistame vaadeldavate kiirtekiirte eikonaalide ja eikonaalidega, mõõdetuna vastavalt punktidest A ja B. Siis
Integraali variatsioon, kui punkt C nihutatakse liidese suvalise lõpmatult lähedale punkti C" on
Kui on nihkevektor, siis samamoodi, nii
Snelli murdumisseaduse tõttu on vektor langemispunktis kandjate vahelise liidese suhtes risti ja seega lõpmata väikese nihkega piki piiri. Seega on esimeses suurusjärgus vektori optilise pikkuse kõikumine. ASV tala kaob. Tõestuses eeldati, et virtuaalne tee koosneb kiirte segmentidest AC" ja CB". Asendage aga segmentide tulemus meelevaldsete joontega neile lõpmatult lähedal, ühendades samu punkte A ja C", C" ja B. Tegelikult, kuna AC" ja C" B on esimeses ja teises kandjas reaalsed kiired, nende optilised pikkused on ülalpool tõestatud minimaalsed. Sel põhjusel ei muuda tegelike kiirte AC" ja C"B asendamine neile lõpmatult lähedal asuvate joontega, mis ühendavad samu äärmuslikke punkte, vastavate radade optilisi pikkusi esimesse järku. Järelikult jääb ASV kiire optilise pikkuse kõikumine nulliks, olenemata valguse virtuaalsest teekonnast. Ja sellele taandub vaadeldaval juhul Fermat’ põhimõtte sisu.
4. Rakendustes on mõnikord mugav järgmine teoreem, mis on Fermat' põhimõtte otsene tagajärg. Olgu A ja B ASV kiire suvalised punktid (joonis 6).
Joonestame läbi punkti B suvalise sileda pinna BE, mis on ristsuunas kiirga ACB punktis B. Olgu BD lõpmata väike nihe piki seda pinda. Ühendagem kiire A alguspunkt punktiga D suvalise sirge AHD abil, mis erineb suunalt lõpmatult kiirest ACB. Siis on optilise pikkuse kõikumine tegelikust valgusteest ASV virtuaalsele AHD-le üleminekul null. Selle tõestamiseks võtame punktist A lähtuva kiirte kiirte. Kõik need kiired A on lainefrondiga BF ortogonaalsed ja nende optilised pikkused punktist A lainefrondini on samad. Eelkõige (ASV) = (AMK). Kuid Fermat' printsiibi järgi kuni lõpmatute suurusjärkudeni (AMC) = (AHK). Lisaks, kuna pinnad BDE ja BKF puudutavad teineteist punktis B, on kiire KD pikkus BD-ga võrreldes lõpmatult kõrgem. Seetõttu erineb optiline pikkus AHD optilisest pikkusest ASV ka suurema väiksuse võrra, võrreldes külgnihkega BD. See oli see, mida oli vaja tõestada.
5. Kui omavahel, siis igas keskkonnas on valguse tee sirgjooneline. Sel juhul taandub ülesanne ainult meediumi liideste punktide leidmisele, kus toimub valguskiire peegeldus ja murdumine. Seetõttu ei ole vaja kasutusele võtta kõveraid virtuaalseid valgusteid. Piisab piirduda sirgjoonelistest segmentidest koosnevate katkiste virtuaalsete radadega ja selliste radade katkestused peaksid toimuma vaadeldavate meediumite liidestes. Isegi selliste piirangute korral võib tegeliku valguse tee optiline pikkus olla mitte ainult minimaalne, vaid ka maksimaalne või statsionaarne.
Selle näitamiseks valguse peegelduse korral võtame ellipsoidse peegli, mis saadakse ellipsi pööramisel ümber oma peatelje (joonis 7). Olgu ellipsoidi fookused ja Kui A on punkt tema pinnal, siis
kus 2a on ellipsoidi peatelje pikkus. Peegli pind jagab kogu ruumi kaheks osaks: sisemine, iga punkti kauguste summa fookusest ja on väiksem kui 2a, ja välispind, mille puhul see summa on suurem kui 2a. valguskiir lahkub fookusest. Seejärel, pärast peegeldumist ellipsoidpeeglist punktis A, läbib see teise fookuse F 2, kuna ellipsi tuntud omaduse kohaselt moodustuvad sirged A ja F 2 A normaalsega võrdsed nurgad peegli pinna suhtes. Piki peegli pinda nihutades ei muutu summa A+ F 2 A ja koos sellega valguse levimise aeg alates F 2. Levikuaja kõikumine sellise nihke korral on null. See aeg pole aga ei minimaalne ega maksimaalne – see on konstantne. Just sel põhjusel läbib iga F l-st väljuv kiir kindlasti F 2, olenemata sellest, millises peegli punktis see peegeldub. Saate seda kontrollida, kasutades sama põhjendust, mis on toodud lõikes 3.
Kujutagem nüüd ette peeglit S, mis puudutab ellipsoidi punktis A ja on suunatud selle nõgususega ellipsoidiga samas suunas, kuid millel on suurem kumerus. Valguskiir A tabab pärast sellelt peeglist peegeldumist uuesti punkti F 2. Kui aga punkt A nihutatakse piki peegli S pinda, väheneb katkendjoone AF 2 pikkus. Järelikult on valguse levimise aeg F 2-st mööda tegelikku rada maksimaalselt.
Vastupidi, kui võtta peegel S", mis on kokkupuutepunktis väiksema kumerusega kui ellipsoidil või on nõgusalt suunatud vastassuunas, siis on valguse levimise aeg mööda tegelikku rada minimaalne. Eelkõige tasapinnaliselt peeglist peegeldudes on see minimaalne. Oletame lõpuks, et SAS-i peeglil on käändepunkt punktis A. Seejärel, kui kiire langemispunkt liigub piki selle peegli pinda, siis sõltuvalt nihke suunast levimisaeg kas suureneb, väheneb või jääb muutumatuks.
6. Murdumise juhtumi analüüsimiseks tutvustame aberratsioonipinna mõistet. Olgu punkt P homogeenses keskkonnas murdumisnäitajaga n ja punkt P" homogeenses keskkonnas murdumisnäitajaga n" (joonis 8). Pinda AA", mida mööda meediumid üksteisega piirnevad, nimetatakse anaberratsiooniks, kui selle pinna mõni punkt A vastab tingimusele
n*RA + n"* AR" = C = konst. (9)
Murdumise korral on aberratsioonipinnal nn Descartes'i ovaali kuju. See on suunatud nõgususele murdumisvõimelisema keskkonna suunas (n" > n). Anaberratsioonipind jagab ruumi kaheks osaks, millel on järgmine omadus. Kui punkt M asub vähem murduvas keskkonnas, siis summa n*PM + n"* MP" on suurem kui C; kui see asub murdumisvõimelisemas keskkonnas, on see kogus väiksem kui C.
Tõestame järgmise teoreemi. Punktist P väljuv valguskiir pärast murdumist anaberratsioonipinnal läbib tingimata punkti P." Tõepoolest, olgu RA langev kiir, nagu ka seda mööda suunatud ühikvektor. Ühendage punkt A punktiga P " ja tähistage seda s "ühikvektoriga, mis on suunatud piki sirget AP". Aberratsioonipinna definitsiooni kohaselt on katkendjoone PAR" optilise pikkuse varieerumine punkti A nihutamisel piki aberratsioonipinda võrdne nulliga. Seetõttu leiame, kasutades sama põhjendust nagu punktis 2. et vektor ns - n"s" on risti anaberratsioonipinnaga punktis A. Sellest järeldub, et AP" annab murdunud kiire suuna.
Tõestatud teoreemile võib anda ka järgmise sõnastuse. Kui AA" on punktide P ja P" paari suhtes anaberratsioonipind, on kõik need punktid teise optiline kujutis, kui kiired sellel aberratsioonipinnal murduvad. Sel juhul ei sea piiranguid kiirte kiire nurga laiusele.
Tuleme tagasi valguskiire optilise pikkuse ekstreemumi olemuse uurimise juurde murdumise ajal. Meie arutluskäik ei erine mingil moel ülaltoodud arutluskäigust ellipsoidse peegli kohta. Oletame näiteks, et kandjad piirnevad üksteisega piki pinda S (joonis 8), puudutades anaberratsioonipinda punktis A. Seejärel läbib langev kiir pärast murdumist punktis A uuesti punkti P. Olgu pind S samas suunas nõgus, mis on sama mis anaberratsioonipind ja millel on kokkupuutepunktis suurem kumerus. Siis, kui langemispunkti nihutatakse piki S, jääb see väiksemaks. murdumisaine. Järelikult on nihutatud tee optilise pikkusega tegelikust lühem: valguse levimise aeg mööda tegelikku rada on maksimaalne. Vastupidi, , kui pinna S kõverus kokkupuutepunktis A on väiksem kui anaberratsioonipinna kumerus ja ka siis, kui pind S on vastassuunas nõgus, siis on tegelikul teel levimise aeg minimaalne.Eelkõige on see minimaalne murdumiseks tasasel pinnal.
Homogeenses keskkonnas liigub valgus sirgjooneliselt. Ebahomogeenses keskkonnas on valguskiired painutatud. Tee, mida mööda valgus liigub ebahomogeenses keskkonnas, saab leida kasutades põhimõtet, mille kehtestas prantsuse matemaatik Fermat 1679. aastal. Fermat' põhimõte ütleb, et Valgus liigub mööda teed, mille liikumiseks kulub minimaalselt aega.
Teelõigu läbimiseks dS(joon. 1.3) valgus vajab aega dt = dS/v Kus v- valguse kiirus keskkonna antud punktis.
DS Joon. 1.3. Fermat’ printsiibi tuletamiseni.
Asendamine v läbi Koos Ja P valemi (1.3) järgi saame selle . Seetõttu aeg t, mille valgus kulutab punktist 1 punkti 2 liikumiseks, saab arvutada valemi abil
Fermat’ põhimõtte järgi t peaks olema minimaalne. Kuna Koos - konstantne, peab olema minimaalne väärtus
mida nimetatakse optilise tee pikkus . Homogeenses keskkonnas on optilise tee pikkus võrdne geomeetrilise tee pikkuse S ja keskkonna murdumisnäitaja korrutisega P:
L = nS. (1.5)
Fermat' põhimõtte saab sõnastada järgmiselt: valgus levib mööda teed, mille optiline pikkus on minimaalne.
Optika põhiseadused. Täielik peegeldus
Juba enne valguse olemuse kindlakstegemist olid teada järgmised optika põhiseadused: valguse sirgjoonelise levimise seadus optiliselt homogeenses keskkonnas; valguskiirte sõltumatuse seadus (kehtib ainult lineaaroptikas); valguse peegelduse seadus; valguse murdumise seadus.
Valguse sirgjoonelise levimise seadus: valgus levib optiliselt homogeenses keskkonnas sirgjooneliselt.
Selle seaduse tõestuseks on teravate piiridega varjude olemasolu läbipaistmatutelt objektidelt, kui neid valgustatakse punktvalgusallikatega (allikad, mille mõõtmed on oluliselt väiksemad kui valgustatud objekt ja kaugus selleni). Hoolikad katsed on aga näidanud, et seda seadust rikutakse, kui valgus läbib väga väikeseid auke ja hälve levimise sirgusest on seda suurem, mida väiksemad on augud.
Valguskiirte sõltumatuse seadus: Ühe kiire mõju ei sõltu sellest, kas teised kiired toimivad samaaegselt või on need kõrvaldatud. Jagades valgusvoo eraldi valguskiirteks (näiteks diafragmasid kasutades), saab näidata, et valitud valguskiirte toime on sõltumatu.
Kui valgus langeb kahe meediumi (kahe läbipaistva aine) vahelisele liidesele, siis langev kiir I (joon. 1.4) jaguneb kaheks - peegeldunud II ja murdunud III, mille suunad on määratud peegelduse ja murdumise seadustega.
Riis. 1.4. Valguse peegelduse ja murdumise seadustele.
Peegelduse seadus: peegeldunud kiir asub langeva kiire ja langemispunktis kahe keskkonna vahelise liidese suhtes tõmmatud ristiga samal tasapinnal; peegeldusnurk i ` 1 võrdub langemisnurgaga i 1:
Murdumise seadus: langev kiir, murdunud kiir ja kokkupuutepunktis piirpinnaga tõmmatud rist asetsevad samal tasapinnal; langemisnurga siinuse ja murdumisnurga siinuse suhe on nende keskkondade jaoks konstantne väärtus:
kus n 12 on teise keskkonna suhteline murdumisnäitaja esimese suhtes. Nurkade tähistustes olevad indeksid i 1, i ` 1, i 2 näitavad, millises keskkonnas (esimeses või teises) kiir liigub.
Kahe keskkonna suhteline murdumisnäitaja on võrdne nende absoluutsete murdumisnäitajate suhtega:
Söötme absoluutne murdumisnäitaja on väärtus "n", mis võrdub elektromagnetlainete kiiruse "c" vaakumis ja nende faasikiiruse "v" suhtega keskkonnas:
Tuletame veel kord meelde, mis, kus e Ja m- vastavalt kandja elektriline ja magnetiline läbilaskvus.
Võttes arvesse (1.6), saab murdumisseaduse (1.2) kirjutada kujule
millest võib saada võrrandi, mis mitte ainult ei kirjelda valguskiire käitumist kihiliste meediumite vahelisel liidesel, vaid võib olla ka nn. tala pöörduvuse seadus:
n 1 × sini 1 = n 2 × sini 2 = n 3 × sini 3 =… (1,7)
Avaldise sümmeetriast (1.7) tuleneb valguskiirte pöörduvus. Kui pöörate kiirt III (joonis 1.4) tagasi, põhjustades selle langemise liidesele nurga i 2 all, siis murdunud kiir esimeses keskkonnas levib nurga i 1 all, st läheb mööda vastupidises suunas. kiir I.
Valguse murdumise seaduse põhiline tagajärg on täieliku sisemise peegelduse seadus.
Kui valgus levib kõrgema murdumisnäitajaga n 1 (optiliselt tihedam) keskkonnast madalama murdumisnäitajaga n 2 (optiliselt vähemtihedasse) (n 1 >n 2) keskkonda, näiteks klaasist vette, siis , vastavalt (31.7) ,
Sellest järeldub, et murdunud kiir eemaldub normaalsest ja murdumisnurk i 2 on suurem kui langemisnurk i 1 (joon. 31.5, a). Langemisnurga kasvades murdumisnurk suureneb (joon. 31.5, b, c), kuni teatud langemisnurga (i = i in) korral on murdumisnurk võrdne lk/2. Nurka i nimetatakse piirnurgaks. Langemisnurkade i > i pr korral peegeldub kogu langev valgus täielikult (joon. 31.5, d).
|
Riis. 1.5. Täieliku sisemise peegelduse fenomeni vaatlemine.
Kui langemisnurk läheneb piirile, siis murdunud kiire intensiivsus väheneb ja peegeldunud kiir suureneb (joon. 1.5, a-c). Kui i = i pr, siis murdunud kiire intensiivsus muutub nulliks ja peegeldunud kiire intensiivsus võrdub langeva kiire intensiivsusega (joon. 1.5, d). Seega langemisnurkade korral vahemikus i pr, kuni lk/2 kiir ei murdu, vaid peegeldub täielikult esimesse keskkonda ning peegeldunud ja langeva kiire intensiivsus on sama. Seda nähtust nimetatakse täielik peegeldus.
Piirnurk ipr määratakse valemist (1.7), asendades sellesse i 2 = lk/2.
Siis
(1.8)
Võrrand (1.8) rahuldab nurga i pr väärtused n 2 £ n 1 korral. Järelikult toimub täieliku peegelduse nähtus ainult kui valgus langeb optiliselt tihedamast keskkonnast optiliselt vähemtihedasse keskkonda.
Täieliku peegelduse nähtust kasutatakse valgusjuhistes (valgusjuhtides), mis on optiliselt läbipaistvast materjalist valmistatud õhukesed juhuslikult kaarduvad niidid (kiud). Kiudude osades kasutatakse klaaskiudu, mille valgust juhtiv südamik (südamik) on ümbritsetud klaasiga - teisest madalama murdumisnäitajaga klaasist kest. Valgusjuhi otsale piirangust suurema nurga all langev valgus peegeldub täielikult südamiku ja katte vahelisel liidesel ning levib ainult mööda valgusjuhisüdamikku.
Seega saab valgusjuhiste abil painutada valgusvihu teed endale meelepäraselt. Valgust juhtivate südamike läbimõõt ulatub mitmest mikromeetrist mitme millimeetrini. Kujutiste edastamiseks kasutatakse tavaliselt mitmetuumalisi valgusjuhte. Valguslainete ja kujutiste edastamise küsimusi uuritakse optika eriosas - fiiberoptikas, mis tekkis 20. sajandi 50ndatel. Valgusjuhte kasutatakse elektronkiiretorudes, elektroonilistes loendusmasinates, teabe kodeerimiseks, meditsiinis (näiteks diagnostikas siseorganid), et kaitsta sidet ülivõimsate elektromagnetimpulsside mõju eest, mis tekivad aatomi- ja termotuumarelvade plahvatusest jne.
Optika– füüsika haru, mis uurib valguse olemust, levimise ja ainega vastasmõju seadusi.
Valgus- See elektromagnetiline kiirgus lainepikkuste vahemikus kuni (f 0,4-0,79 µm cr).
Nähtav valgus on kiirgus lainepikkuste vahemikus: . Geomeetriline optika - füüsika haru, mis uurib valguse levimise seaduspärasusi ja kujutiste saamist optilistes instrumentides. Geomeetriline optika põhineb kontseptsioonil valguskiir(see on joon, mis näitab valguse levimise suunda) ja valguskiir(see on ruumi piirkond, milles valgus liigub). Valguskiired on sõltumatud: iga valguskiir, lõikudes, käitub iseseisvalt, teistest kiirtest sõltumatult ega avalda teistele valguskiirtele mingit mõju. Linna alus. Fermat’ põhimõte põhineb.
Fermat' põhimõte (esimene formulatsioon): Valgus liigub mööda teed, mille liikumiseks kulub minimaalselt aega. Laske valgusel levida punktist 1 punkti 2. Valguse läbimine elementaarlõike dS võtab aega. Söötme absoluutne murdumisnäitaja, kus c on valguse kiirus, on valguse kiirus keskkonnas, siis . Teine koostis: suurust nimetatakse optilise tee pikkuseks. Kui keskkond on homogeenne ( n=const), See L = nS, st optilise tee pikkus võrdub keskkonna murdumisnäitaja ja punktide vahelise geomeetrilise kauguse korrutisega. Kui asendada , st vms. Truss: valgus levib mööda sellist rada, mille pikkus on minimaalne, kus s on tee geomeetriline pikkus.
Aine optilisi omadusi iseloomustab suurus, mida nimetatakse absoluutseks murdumisnäitajaks n.
Absoluutne murdumisnäitaja näitab, mitu korda on valguse kiirus vaakumis c suurem valguse kiirusest aines v
Suhteline murdumisnäitaja on võrdne absoluutsete murdumisnäitajate suhtega kahes keskkonnas:
n21 = n2/n1; n 21 = v 1 / v 2 .
kus v 1 ja v 2 on vastavalt valguse kiirus esimeses ja teises keskkonnas.
2. Geomeetrilise optika põhiseadused.
1) Zn sirgjooneline valguse levik: homogeenses läbipaistvas keskkonnas levib valgus sirgjooneliselt.
2) Valguskiire tee pööratavus.(valguskiirte sõltumatuse seadus;)
3) Zn peegeldused Sveta:
a) langev kiir, peegeldunud kiir ja kiirte langemispunktis rekonstrueeritud perpendikulaar kahe keskkonna liideses asuvad samal tasapinnal.
b) langemisnurk = peegeldusnurk.
4) valguskiirte sõltumatuse seadus. · ( üksiku tala tekitatud efekt ei sõltu sellest, kas,kas teised kimbud toimivad samaaegselt või kas need elimineeritakse.
Jagades valgusvoo eraldi valguskiirteks (näiteks diafragmade abil), saab näidata, et valitud valguskiirte toime on sõltumatu.
5) Valguse murdumise Z-n:
a) langev kiir, murduv kiir ja kiirte langemispunktis rekonstrueeritud perpendikulaar asuvad kahe keskkonna liideses samal tasapinnal.
b) patu langemisnurga ja patu murdumisnurga suhe on konstantne väärtus, mis on võrdne kahe keskkonna suhtelise indeksiga , kus on suhteline murdumisnäitaja, – absoluutne näitaja Sveta.
Peegelduse seadus (joonis 7.3):
· peegeldunud kiir asub langeva kiirga ja risti samal tasapinnal,tõmmatud kahe meediumi vahelisele liidesele löögipunktis;
· langemisnurkα võrdne peegeldusnurgagaγ: α = γ
Tuletada peegelduse seadus Kasutame Huygensi põhimõtet. Oletame, et tasapinnaline laine (lainefront AB Koos, langeb kahe meediumi vahelisele liidesele (joonis 7.4). Kui lainefront AB jõuab punktis peegeldavale pinnale A, see punkt hakkab kiirgama sekundaarne laine .
Et laine läbiks vahemaa Päike vajalik aeg Δ t= eKr/v. Samal ajal jõuab sekundaarlaine esiosa poolkera, raadiuse punktideni AD mis on võrdne: υ Δ t = päike. Peegeldunud lainefrondi asukoha antud ajahetkel Huygensi põhimõtte kohaselt annab tasapind DC, ja selle laine levimise suund on kiir II. Kolmnurkade võrdsusest ABC Ja ADC voolab välja peegelduse seadus: langemisnurkα võrdne peegeldusnurgaga γ .
Murdumise seadus (Snelli seadus ) (Joonis 7.5):
· langev kiir, murdunud kiir ja kokkupuutepunktis piirpinnaga tõmmatud rist asetsevad samal tasapinnal;
· langemisnurga siinuse ja murdumisnurga siinuse suhe on nende keskkondade jaoks konstantne väärtus.
Murdumise seaduse tuletamine. Oletame, et tasapinnaline laine (lainefront AB), levib vaakumis kiirusega mööda suunda I Koos, langeb liidesele keskkonnaga, milles selle levimiskiirus on võrdne u(joonis 7.6).
Laske aega, mis lainel kulub tee läbimiseks Päike, võrdne D-ga t. Siis eKr = s D t. Samal ajal laine esiosa ergastab punkti A kiirusega keskkonnas sina, jõuab selle poolkera punktideni, mille raadius AD = u D t. Murdunud lainefrondi asukoha antud ajahetkel vastavalt Huygensi põhimõttele annab tasapind DC, ja selle levimise suund - kiire III abil . Jooniselt fig. 7.6 on selge, et
see tähendab Snelli seadus :
3. Fermat' printsiibi rakendamine peegeldumis- ja murdumisseaduste tõestamisel.
Fermat' põhimõte- põhiprintsiip geomeetriline optika. Lihtsaim vorm Fermat' põhimõte on väide, et valguskiir ulatub alati kuni ruumi kahe punkti vahel teekonnal, mille läbimise aeg on lühem kui kõigil teistel neid punkte ühendavatel radadel. Aeg valguse läbimine vahemaad l, täidetud keskmisega murdumisnäitaja n, proportsionaalne optilise tee pikkus S; S = ln homogeense söötme ja muutuva keskkonna jaoks n
S = ∫ndl,
Seetõttu võime öelda, et Fermat' põhimõte on lühima optilise tee pikkuse põhimõte. P. Fermat’ enda algses sõnastuses (umbes 1660) oli põhimõttel kõige üldisema tähendus. valguse levimise seadus, millest lähtusid kõik (selleks ajaks juba teadaolevad) seadused geomeetriline optika: homogeense keskkonna puhul viib see valguskiire sirguse seadus(vastavalt geomeetrilisele väitele, et sirge on lühim vahemaa kahe punkti vahel) ja juhul, kui kiir langeb piir erinevad keskkonnad Fermat' põhimõttest võib saada valguse peegelduse ja valguse murdumise seadused. Rangemas sõnastuses on Fermat' põhimõte variatsioonipõhimõte, mis väidab, et tõeline valguskiir liigub ühest punktist teise piki joont, mida mööda selle liikumisaeg on äärmuslik või võrdne võrreldes liikumisaegadega mööda kõiki teisi neid punkte ühendavaid jooni. See tähendab, et kiire optilise tee pikkus võib olla mitte ainult minimaalne, vaid ka maksimaalne või võrdne kõigi teistega võimalikud viisid näidatud punktide ühendamine. Minimaalse tee näited on ülalmainitud valguse levimine homogeenses keskkonnas ja valguse läbimine läbi kahe keskkonna piiri. erinevad näitajad murdumine n. Kõiki kolme juhtumit (minimaalne, maksimaalne ja statsionaarne tee) saab illustreerida, analüüsides valguskiire peegeldust nõguspeeglist (joonis 1).
Valguse tegelik teekond vastab äärmuslikele levimisaegadele
Kui peegel on pöördeellipsoidi kujuga ja valgus levib ühest fookusest P teise Q (ja peegelduseta teekond on võimatu), siis on kiire optilise tee pikkus PO" + O"Q ellipsoidi omadused on võrdsed näiteks kõigi teiste võimalike omadustega PO"" + O"" Q; kui samade punktide vahelisel teel peegeldub valgus peeglist, mille kõverus on väiksem kui ellipsoidil ( MM), rakendatakse minimaalne tee, kuid kui suurem (peegel NN) – maksimaalne. Optilise tee pikkuse äärmuse tingimust vähendatakse nõudeni, et see oleks võrdne nulliga variatsioon integraalist
kus A ja B on punktid, mille vahel valgus levib. See avaldis on Fermat' printsiibi matemaatiline sõnastus.
Valguse laineteoorias on Fermat' põhimõte piirav juhtum Huygensi-Fresneli põhimõte ja on rakendatav, kui valguse difraktsiooni saab tähelepanuta jätta (kui valguse lainepikkus on probleemile iseloomulike mõõtmetega võrreldes piisavalt väike): võttes arvesse kiiri kui lainepindade normaalväärtusi, on lihtne näidata, et valguse igasuguse levimise korral nende teede optilistel pikkustel on äärmuslikud väärtused. Kõikidel juhtudel, kui on vaja arvestada difraktsioon, Fermat' põhimõte lakkab kehtimast.
4. Valguse murdumine tasasel liidesel 2 kandja vahel. Täielik sisemine peegeldus
Kui valguskiir langeb pinnale, mis eraldab kaks erineva optilise tihedusega läbipaistvat keskkonda, näiteks õhku ja vett, siis osa valgusest peegeldub sellelt pinnalt ja teine osa tungib teise keskkonda. Ühest keskkonnast teise üleminekul muudab valguskiir suunda nende keskkonna piiridel. Seda nähtust nimetatakse valguse murdumiseks.
Valguse murdumise seadused.
Kõigest öeldust järeldame:
1 . Kahe erineva optilise tihedusega meediumi vahelisel liidesel muudab valguskiir ühest keskkonnast teise üleminekul oma suunda.
2. Kui valguskiir läheb suurema optilise tihedusega keskkonda, on murdumisnurk väiksem kui langemisnurk; Kui valguskiir liigub optiliselt tihedamast keskkonnast vähem tihedasse keskkonda, on murdumisnurk suurem kui langemisnurk.
Valguse murdumisega kaasneb peegeldus ja langemisnurga suurenemisega peegeldunud kiire heledus suureneb ja murdunud kiir nõrgeneb. Seda saab näha joonisel näidatud katset tehes. Järelikult kannab peegeldunud kiir endaga rohkem valgusenergiat, seda suurem on langemisnurk.
Lase MN- liides kahe läbipaistva kandja, näiteks õhu ja vee, vahel, JSC- langev kiir, OB- murdunud kiir, - langemisnurk, - murdumisnurk, - valguse levimise kiirus esimeses keskkonnas, - valguse levimise kiirus teises keskkonnas.
Esimene murdumisseadus kõlab järgmiselt: langemisnurga siinuse ja murdumisnurga siinuse suhe on nende kahe keskkonna konstantne väärtus:
, kus on suhteline murdumisnäitaja (teise keskkonna murdumisnäitaja esimese suhtes).
Teine valguse murdumise seadus on väga sarnane valguse peegelduse teise seadusega:
langev kiir, murdunud kiir ja kiirte langemispunktiga tõmmatud rist asetsevad samal tasapinnal.
Täielik sisemine peegeldus
Täheldatud elektromagnetilise või helilained kahe keskkonna vahelisel liidesel, kui laine langeb madalama levimiskiirusega keskkonnast (valguskiirte puhul vastab see suuremale murdumisnäitajale).
Langemisnurga suurenemisega suureneb ka murdumisnurk, samal ajal kui peegeldunud kiire intensiivsus suureneb ja murdunud kiire väheneb (nende summa võrdub langeva kiire intensiivsusega). Teatud kriitilise väärtuse juures muutub murdunud kiire intensiivsus nulliks ja toimub valguse täielik peegeldumine. Kriitilise langemisnurga väärtuse saab leida, kui määrate murdumisseaduses murdumisnurgaks 90°:
5. Prismad
Prisma- läbipaistvast materjalist (näiteks optilisest klaasist) valmistatud optiline element geomeetrilise keha kujuga - prisma, millel on lamedad poleeritud servad, mille kaudu valgus siseneb ja väljub. Valgus prismas murdub. Kõige olulisem omadus Prisma on selle materjali murdumisnäitaja, millest see on valmistatud. Prismade tüübid : Dispersiooniprismad. Peegeldavad prismad. Polariseerivad prismad.
Dispersiooniprismad Dispersiivseid prismasid kasutatakse spektriinstrumentides erineva lainepikkusega kiirguse ruumiliseks eraldamiseks.
Peegeldavad prismad Peegeldavaid prismasid kasutatakse kiirte teekonna muutmiseks, optilise telje suuna muutmiseks, vaatesuuna suuna muutmiseks ja seadmete üldmõõtmete vähendamiseks. Peegeldavad prismad klassifitseeritakse mitme kriteeriumi järgi:
peegelduste arv prismas
"katuse" olemasolu või puudumine
prisma kujunduse olemus
optilise telje paindenurk
Abbe prisma
Abbe-Porro prisma
6. Õhukesed läätsed. Õhuke läätse valem
Objektiiv on läbipaistev keha, mis on piiratud kahe sfäärilise pinnaga. Kui läätse enda paksus on sfääriliste pindade kõverusraadiustega võrreldes väike, siis läätse nn. õhuke. Objektiivid on osa peaaegu kõigist optilistest instrumentidest. Objektiivid on olemas kogumine Ja hajumine. Keskel asuv koonduv lääts on paksem kui äärtes, lahknev lääts, vastupidi, keskelt õhem.Läätsed on osa peaaegu kõigist optilised seadmed. Objektiivid (joonis 3) jagunevad koonduvateks ja lahknevateks
Õhuke objektiivi diagramm
Joonis 3, koonduvad (a) ja lahknevad (b) läätsed ja nende sümbolid.
Peamine optiline telg Arvatakse, et läätsel on telg, mis läbib selle pindade kõveruskeskmeid. Õhukeses läätses ühinevad optilise peatelje lõikepunktid läätse mõlema pinnaga üheks punktiks O. (Kuna väga suured kõverusraadiused lähenevad tasapindadele, siis sfäärilised pinnad ühinevad teoreetiliselt üheks tasapinnaks). Seda punkti nimetatakse läätse optiliseks keskpunktiks. Õhukesel läätsel on üks põhitasapind, mis on ühine kahele sfäärilisele pinnale ja läbib prisma keskpunkti ning on risti optilise põhiteljega. Kõiki objektiivi optilist keskpunkti läbivaid sirgjooni nimetatakse objektiivi sekundaarseteks optilisteks telgedeks. Oluline on see, et kõik läätse optilist keskpunkti läbivad kiired ei murduks.
Monokromaatiliste paralleelsete kiirte või kiirte voogu, mille kitsaste koonuste teljed on sfäärilise liidese suhtes (põhitasapinna suhtes), nimetatakse parksiaalseteks (priaksiaalseteks) kiirteks. Peale selle koonduvad läätsed selle läbimisel põhifookuses kokku. F 2. Läätse põhifookused asuvad läätse optilisel peateljel Punktid, mis asuvad objektiivi optilisel peateljel mõlemal pool optilist keskpunkti võrdsel kaugusel f 2 . , kutsutakse objektiivi peamised fookuspunktid. Põhikoldeid läbivad lennukid f 2 läätsed ja sellega risti optiline põhitelg, kutsutakse objektiivi fookustasandid .
Õhuke läätse valem.
Õhuke läätse valem ühendab; on kolm suurust: kaugus objektist objektiivini d, kaugus objektiivist pildile f ja objektiivi fookuskaugus F:
Õhukese läätse valemis fookuskaugus ОF tähistatakse tähega F. Kui lääts on lähenev, siis > 0, kui lääts on lahknev, siis asetatakse selle ette miinusmärk. Kui pilt on reaalne, siis > 0; kui pilt on imaginaarne, siis pannakse selle ette miinusmärk. Kõik objektiivi valemis olevad väärtused on asendatud meetrites.
7. Piltide konstrueerimine objektiivides
Kogemused näitavad, et ühest valguspunktist väljuvad paraksiaalsed valguskiired pärast läätse läbimist koonduvad samuti ühte punkti, mis on pilt helendav punkt. Seetõttu piisab punkti kujutise konstrueerimiseks võtta suvalised kaks kiirt, kuid eelistatavalt need, mille suund pärast murdumist on ette teada: 1 - optilist keskpunkti läbiv kiir; 2 - valgusvihk paralleelselt optilise põhiteljega; 3 - kiir, mis läbib kogumisläätse eesmist fookust (või kiire 3 jätk läbib lahkneva läätse tagumist fookust) (joon. 16.41).
Tegeliku objekti kujutise asukoht ja selle mõõtmed sõltuvad objekti asendist objektiivi suhtes. Lase d- kaugus objektist objektiivini, f- kaugus objektiivist pildini. Ehitame tasapinnalise objekti kujutise AB, mis asuvad erinevatel vahemaadel d objektiivist. Kui objektiiv läheneb, siis millal d>2F(joon. 16.42) reaalne pilt, ümberpööratud, vähendatud, F
Kell F (joonis 16.43) reaalne pilt, ümberpööratud, suurendatud, f>2F.
Riis. 16.43
Kell d (joon. 16.44) pilt on virtuaalne, otsene, suurendatud, paikneb objektiga samal pool objektiivi, kuid objektist kaugemal (f>d).
Riis. 16.44
Lahknevas objektiivis (joonis 16.45) on reaalse objekti kujutis alati virtuaalne, otsene, vähendatud, paikneb objektiivi ja selle fookuse vahel pildistatava objekti küljel.
8.Silm kui optiline seade. Suurendusklaas, mikroskoop, kaamera.
Silm. Peamine nägemise allikas on silmamuna, pupilli taga on lääts ja võrkkesta taga. Optilist rolli silmas täidab kujuline element kaksikkumer lääts ja kutsus objektiivi. Läätse servadele on kinnitatud lihased, mis suruvad või venitavad läätse, mille tulemusena muutuvad sfäärilise läätse kõverusraadiused. objektiivi pind ja vastavalt fookuskaugused. Kui kaugus d vaadeldava objektini muutub, jääb kaugus f läätse ja võrkkesta vahel muutumatuks, kuid fookuskaugus muutub. Nägemishäired - lühinägelikkus ja kaugnägelikkus.
Suurendusklaas nimetatakse kogumiseks õhuke objektiiv vähesega fookuskaugus(5-10 cm).suurendussuurendus: , parima nägemise kaugus.
17. sajandit iseloomustas Euroopas füüsika eriharu – optika – kiire areng. Valguse jaoks avastati peegelduse ja murdumise seadused ning Fermat' printsiip näitas, miks neil on vastav matemaatiline kuju. Vaatame lähemalt, mis see põhimõte on.
Murdumise ja peegelduse nähtused
Peegelduse all mõistetakse nähtust, mille puhul valgus, levides talle läbipaistvas aines, satub oma teel takistusse ja muudab järsult oma trajektoori. Takistuseks võib olla ükskõik milline: vedel või tahke, läbipaistev ja läbipaistmatu.
Peegelduse fenomen on tuntud juba iidsetest aegadest. Ajalooliste tõendite kohaselt olid peegelduse seadused sõnastatud juba enne meie ajastut. Ja esimesel sajandil pKr väljendas Egiptuse filosoof Aleksandria Heron valguse trajektoori ideed, mida hiljem kasutas prantslane Pierre Fermat oma põhimõtte sõnastamisel.
Murdumisnähtus seisneb sirgjoone katkemises, mida mööda valgus liigub, kui see ületab kahte läbipaistvat materjali eraldavat pinda. Pange tähele, et peegelduse korral liigub kiir ühes läbipaistvas materjalis või, nagu öeldakse, ühes keskkonnas.
Murdumisseaduste esimene sõnastus omistatakse 10. sajandi Pärsia matemaatikule, teatud Ibn Sahlile, kes oma töödes toetus Claudius Ptolemaiose (1.–2. sajand pKr) töödele. 16. sajandi lõpu - 17. sajandi alguse vahetusel sõnastas Hollandi teadlane Snell paljude valgusega tehtud katsete tulemusi kokku võttes matemaatilisel kujul 2. murdumisseaduse, mis praegu kannab tema nime. Snell andis oma sõnastuse kauguste, mitte nurkade järgi, nagu praegu kombeks. Moodne välimus Murdumise seaduse andis juba Rene Descartes.
Valguse levimise seadused läbipaistvas keskkonnas
Enne Fermat' põhimõtte käsitlemist tuleks sõnastada valguse murdumise ja peegelduse seadused. Iga sellise nähtuse puhul on tavaks eristada kahte seadust. Allpool on need paarikaupa ühendatud:
- Kiire trajektoor, kui see läbib kahe meediumi vahelist liidest, asub alati samal tasapinnal selle piiri tasapinnale tõmmatud normaaltasandiga. Kiirte võimalik trajektoor moodustatakse üldiselt kolmest osast: langevast kiirest, murdunud kiirest ja peegeldunud kiirest.
- Kui langeva valguskiire ja normaalväärtuse vahelist nurka nimetatakse θ 1, kirjutatakse samasugune nurk, kuid peegeldunud kiire jaoks, θ 2 ja murdunud kiir - θ 3, siis näeb 2. seadus välja järgmine:
Nendes valemites on n 1 ja n 2 murdumisnäitajad läbipaistvas keskkonnas 1 ja 2. Definitsiooni kohaselt arvutatakse murdumisnäitaja järgmiselt:
Siin on v ja c valguskiire kiirused keskkonnas ja vaakumis.
Fermat' põhimõtte väide
Pierre Fermat oli 17. sajandi esimesel poolel üks kuulsamaid Prantsusmaa matemaatikuid ja juriste. Tema nime kandva põhimõtte sõnastas ta 1662. aastal, st pool sajandit pärast seda, kui Snell avastas oma murdumisseaduse.
Lühidalt võib Fermat’ printsiibi sõnastada järgmiselt: valgus valib absoluutselt igasuguses läbipaistvas keskkonnas liikudes trajektoori, mille läbib kõige vähema ajaga.
Sisuliselt ei erine see sõnastus sellest, mida Aleksandria Heron poolteist tuhat aastat varem peegelduse fenomeni jaoks tegi. Sellegipoolest tegi prantslane selle üldiseks kõigi valgusega seotud nähtuste kohta ja näitas, kuidas sellest põhimõttest saab tuletada murdumise ja peegelduse seadused.
1. peegeldusseaduse tuletamine
Kasutades Fermat' printsiipi, saame peegeldusseadused matemaatiliselt. Selleks vaadake allolevat joonist.
Siin näitame, et kiir väljub punktist S, mis asub y-teljel. Seejärel peegeldub see xz-tasandilt mingis tundmatus punktis M. Pärast peegeldumist liigub kiir xy-tasandil asuvasse punkti P. Punktide S ja P valitud asukoht ei mõjuta edasise arutluskäigu üldistust, vaid ainult lihtsustab matemaatilisi arvutusi.
Niisiis, paneme kirja iga punkti koordinaadid:
Punktide S ja P asukoha koordinaadid on teada. Ülesandeks on leida punkt M, mis vastab tegelikule SMP trajektoorile, mida valguskiir läbib. Samuti eeldame, et vaadeldav ruum on homogeenne, see tähendab, et valguse kiirus mis tahes punktis on konstantne väärtus.
Fermat' põhimõtte kohaselt läbib valgus SMP trajektoori võimalikult lühikese aja jooksul. Paneme kirja selle pikkuse:
SM = √(x 2 + y S 2 + z 2); MP = √((x-x P) 2 + y P 2 + z 2);
SMP = √(x 2 + y S 2 + z 2) + √((x-x P) 2 + y P 2 + z 2).
SMP minimaalse pikkuse arvutamiseks on vaja leida osatuletised x ja z (punkti M tundmatud koordinaadid) suhtes ning määrata tulemused nulliks.
Esiteks leiame osatuletise z suhtes. Meil on:
∂(SMP)/∂z = z/√(x 2 + y S 2 + z 2) + z/√((x-x P) 2 + y P 2 + z 2) = 0.
Sellel võrdusel on üks juur, kui z = 0. Teisisõnu, punkt M asub x-teljel, st punktidega P ja S (xy tasand) samal tasapinnal. Siit järeldub, et xz-tasandi taastatud normaal, milles vastavalt ülesande tingimustele asub punkt M, asub koos SM ja MP-ga samal tasapinnal (xy). See on 1. peegelduse seadus.
2. peegeldusseaduse tuletamine
Jätkame arvutusi eelmisest punktist. Nagu mainitud, peame nüüd leidma osatuletise x suhtes. Meil on:
∂(SMP)/∂x = x/√(x 2 + y S 2 + z 2) + (x-x P)/√((x-x P) 2 + y P 2 +z 2) = 0.
Viimase võrdsuse kirjutame kujul:
x/SM + (x-x P)/MP = 0 =>
x/SM = (x P -x)/MP.
Saadud seosed igas võrdsuse osas on nurkade siinused tipuga punktides S ja P. Kui nüüd taastada xz-tasandi normaal läbi punkti M, siis vastavad märgitud nurgad langemisnurkadele ( SM ja normaalse vahel) ja peegeldus (MP ja normaalse vahel) .
Seega saime Fermat’ printsiipi järgides ka valguse peegelduse 2. seaduse.
Snelli murdumisseaduse tuletamine
Nüüd näitame, kuidas valguse murdumise seadust saab tuletada Fermat' põhimõttest. Selleks kaaluge eelmisega sarnast joonist.
Lihtsuse huvides käsitleme juhtumit xy tasapinnal. Kirjutame üles valguse allika S ja vastuvõtja P koordinaadid, mis asuvad erinevates meediumites:
Leiame punkti M tundmatu koordinaadi. Selle koordinaat y=0 on täpselt teada, kuna valguse levimiskiirus muutub just kandja piiril (x-telg). Segmentide SM ja MP pikkused on võrdsed:
SM = √(x-x S) 2 + y S 2);
MP = √(x P -x) 2 + y P 2).
SMP trajektoori läbimiseks kuluv koguaeg on võrdne:
Siin v 1, v 2 on kiire kiirused vastavas keskkonnas. Minimaalse liikumisaja leidmiseks tuleks võtta muutuja x suhtes kogutuletis ja võrdsustada see nulliga. Saame:
dt/dx = (x-x S)/(√(x-x S) 2 + y S 2)*v 1) - (x P -x)/(√(x P -x) 2 + y P 2)*v 2 ) = 0 =>
(x-x S)/(SM*v 1) = (x P -x)/(MP*v 2).
Kasutades langemisnurga θ 1 ja murdumise θ 3 siinuste funktsioone, saame:
sin(θ 1)/v 1 = sin(θ 3)/v 2.
Et tuua sellest tulenev võrdsus Snelli seadusesse mugav vorm(läbi kandja murdumisnäitajate), on vaja vasak ja parem pool korrutada valguse kiirusega c.
Seega võimaldab Fermat’ printsiibi rakendamine kergesti tuletada seaduspärasusi valguskiire liikumise põhinähtuste kohta läbipaistvates materjalides.
Valguse liikumine heterogeenses keskkonnas
Eelpool käsitletud juhtumid eeldavad, et materjal on homogeenne ja valguskiir sellest läbi liikudes säilitab oma kiiruse. Ebahomogeense meedia puhul kehtib võrdsus:
See integraal võetakse mööda valgusteed. Diferentsiaal dl on teelõik, mille jaoks meedium säilitab oma homogeensuse. Suurus n(x,y,z) on kohalik murdumisnäitaja.
Märgitud integraali nimetatakse tavaliselt optilise tee integraaliks. Fermat' optilise tee põhimõte hõlmab L jaoks äärmuste leidmist.
Vaadeldava põhimõtte üldistatud sõnastus
Valguse liikumise minimaalse aja põhimõte on spetsiifiline üldisema sõnastuse puhul. Praegu on üldistatud Fermat printsiip sõnastatud järgmiselt: valgus valib oma liikumise ajal trajektoori, mis vastab optilise tee ekstreemsusele.
Funktsiooni ekstreemumid on matemaatilise definitsiooni järgi miinimum-, maksimum- ja käändepunkt. Üldine põhimõte Sõrestik rahuldab kõiki neid väärtusi, see tähendab, et valguse tee ei pruugi olla minimaalne, see võib olla maksimaalne ja vastata optilise tee pöördepunktile.
Igapäevane analoogia vaadeldava põhimõttega
Fermat’ üldprintsiip on omakorda nn vähima tegevuse printsiibi erijuht. Siin ei anna me vastavaid definitsioone ja nende matemaatilisi formulatsioone, vaid näitame, kus saab prantslase pakutud põhimõtet rakendada.
Seda kasutatakse pealtnäha lihtsa igapäevase probleemi lahendamiseks: oletame, et inimene upub ranna lähedal merre. Kuidas peaks kaldal viibiv päästja uppuja päästmiseks liikuma? Loomulikult peab ta appi tulema võimalikult lühikese aja jooksul. Kuna vetelpäästja kiirus rannas on suurem kui vee peal, peaks ta jooksma veidi piki kallast ning alles siis vette hüppama ja ujuma. See tähendab, et ülesanne taandub Fermat’ põhimõtte rakendamisele, kus valgusvihu rolli täidab päästja.
Pange tähele, et selle ülesande lahendamine pole lihtne, kuna selle protsessis ilmnevad 4. astme võrrandid.
Seega on Fermat’ printsiip vahend valguse levimise põhiseaduste saamiseks. Siiski pole see põhimõtteline. Võib öelda, et see tuleneb Huygensi põhimõttest sekundaarsete sfääriliste lainete allikate kohta.