Kuidas saada äriinimeseks. Ärinaine: isikuomadused ja eduka naise kuvand
Integraalarvutus.
Antiderivatiivne funktsioon.
Definitsioon: Kutsutakse funktsioon F(x). antiderivatiivne funktsioon funktsioon f(x) segmendil, kui võrdsus on tõene selle lõigu mis tahes punktis:
Tuleb märkida, et sama funktsiooni jaoks võib olla lõpmatu arv antiderivaate. Need erinevad üksteisest mingi konstantse arvu poolest.
F 1 (x) = F 2 (x) + C.
Määramatu integraal.
Definitsioon: Määramatu integraal funktsioon f(x) on tuletisvastaste funktsioonide kogum, mis on määratletud seosega:
Kirjuta üles:
Määramatu integraali olemasolu tingimus teatud lõigul on funktsiooni järjepidevus sellel lõigul.
Omadused:
1.
2.
3.
4.
Näide:
Määramatu integraali väärtuse leidmine on peamiselt seotud funktsiooni antituletise leidmisega. Mõne funktsiooni jaoks on see üsna keeruline ülesanne. Allpool käsitleme meetodeid määramata integraalide leidmiseks funktsioonide põhiklasside jaoks - ratsionaalne, irratsionaalne, trigonomeetriline, eksponentsiaalne jne.
Mugavuse huvides on enamiku elementaarfunktsioonide määramata integraalide väärtused kogutud spetsiaalsetesse integraalitabelitesse, mis on mõnikord üsna mahukad. Need hõlmavad mitmesuguseid sageli kasutatavaid funktsioonide kombinatsioone. Kuid enamik nendes tabelites esitatud valemeid on üksteise tagajärjed, nii et allpool esitame põhiintegraalide tabeli, mille abil saate erinevate funktsioonide määramata integraalide väärtused.
Integraalne |
Tähendus |
Integraalne |
Tähendus |
||
lnsinx+ C |
|||||
ln |
|||||
Integratsioonimeetodid.
Vaatleme kolme peamist integratsioonimeetodit.
Otsene integratsioon.
Otsese integreerimise meetod põhineb antiderivatiivse funktsiooni võimaliku väärtuse eeldusel koos selle väärtuse edasise kontrollimisega diferentseerimise teel. Üldiselt märgime, et diferentseerimine on võimas vahend integratsiooni tulemuste kontrollimiseks.
Vaatame selle meetodi rakendamist näite abil:
Peame leidma integraali väärtuse . Põhineb tuntud diferentseerimisvalemil
võime järeldada, et otsitav integraal on võrdne
, kus C on mingi konstantne arv. Samas teisest küljest
. Seega võime lõpuks järeldada:
Pange tähele, et erinevalt diferentseerimisest, kus tuletise leidmiseks kasutati selgeid tehnikaid ja meetodeid, tuletise leidmise reegleid ja lõpuks tuletise määratlust, ei ole sellised meetodid integreerimiseks saadaval. Kui tuletise leidmisel kasutasime nii-öelda konstruktiivseid meetodeid, mis teatud reeglitest lähtudes tulemuseni viisid, siis antiderivaadi leidmisel peame tuginema peamiselt tuletise ja antiderivaatide tabelite teadmistele.
Mis puudutab otsese integreerimise meetodit, siis see on rakendatav ainult mõne väga piiratud funktsiooniklassi puhul. Väga vähe on funktsioone, mille jaoks leiaks kohe antiderivaadi. Seetõttu kasutatakse enamikul juhtudel allpool kirjeldatud meetodeid.
Asendusmeetod (muutujate asendamine).
Teoreem:
Kui teil on vaja leida integraal
, kuid antiderivaati on raske leida, siis kasutades asendust x = (t) ja dx = (t)dt saame:
Tõestus : Eristagem pakutud võrdsust:
Eespool käsitletud määramatu integraali omaduse nr 2 järgi:
f(x) dx = f[ (t)] (t) dt
mis kasutusele võetud tähistust arvesse võttes on esialgne eeldus. Teoreem on tõestatud.
Näide. Leidke määramatu integraal
.
Teeme asendus t = sinx, dt = cosxdt.
Näide.
Asendamine
Saame:
Allpool käsitleme muid näiteid asendusmeetodi kasutamise kohta erinevat tüüpi funktsioonid.
Integreerimine osade kaupa.
Meetod põhineb toote derivaadi üldtuntud valemil:
(uv) = uv + vu
kus u ja v on mõned x-i funktsioonid.
Diferentsiaalkujul: d(uv) = udv + vdu
Integreerides saame:
, ja kooskõlas määramata integraali ülaltoodud omadustega:
või
;
Oleme saanud osade kaupa integreerimise valemi, mis võimaldab leida paljude elementaarfunktsioonide integraale.
Näide.
Nagu näete, võimaldab osade järgi integreerimise järjepidev rakendamine funktsiooni järk-järgult lihtsustada ja integraali tabeliks viia.
Näide.
On näha, et osade kaupa integreerimise korduva rakendamise tulemusena ei saanud funktsiooni lihtsustada tabelikujuliseks. Viimane saadud integraal ei erine aga algsest. Seetõttu nihutame selle võrdsuse vasakule küljele.
Seega leiti integraal ilma integraalitabeleid üldse kasutamata.
Enne erinevate funktsiooniklasside integreerimise meetodite üksikasjalikku käsitlemist toome veel mitu näidet määramata integraalide leidmiseks, taandades need tabeliteks.
Näide.
Näide.
Näide.
Näide.
Näide.
Näide.
Näide.
Näide.
Näide.
Näide.
Elementaarmurdude integreerimine.
Definitsioon: Elementaarne Nimetatakse järgmisi nelja tüüpi murde:
I.
III.
II.
IV.
m, n – täisarvud(m 2, n 2) ja b 2 – 4ac<0.
Esimesed kaks elementaarmurdude integraalitüüpi saab üsna lihtsalt tabelisse tuua asendusega t = ax + b.
Vaatleme III tüüpi elementaarmurdude integreerimise meetodit.
III tüüpi murdosa integraali võib esitada järgmiselt:
Siin on üldkujul näidatud III tüüpi murdosa integraali taandamine kaheks tabeliintegraaliks.
Vaatame näidete abil ülaltoodud valemi rakendamist.
Näide.
Üldiselt võib öelda, et kui kolmiktelg 2 + bx + c on avaldisega b 2 – 4ac >0, siis murd ei ole definitsiooni järgi elementaarne, kuid selle saab siiski integreerida ülaltoodud viisil.
Näide.
Näide.
Vaatleme nüüd IV tüüpi lihtmurdude integreerimise meetodeid.
Esmalt kaalume erijuhtum kui M = 0, N = 1.
Siis vormi integraal
saab esitada kujul, valides nimetajast täieliku ruudu
. Teeme järgmise teisenduse:
Sellesse võrdsusse kaasatud teise integraali võtame osade kaupa.
Tähistame:
Algse integraali jaoks saame:
Saadud valemit nimetatakse korduv. Kui rakendate seda n-1 korda, saate tabeliintegraali
.
Tuleme nüüd tagasi üldjuhul IV tüübi elementaarmurru integraali juurde.
Saadud võrdsuses esimene integraal, mis kasutab asendust t = u 2 + s vähendatud tabeliks , ja teisele integraalile rakendatakse ülalkirjeldatud kordusvalemit.
Vaatamata IV tüüpi elementaarfraktsiooni integreerimise näilisele keerukusele, on seda praktikas üsna lihtne kasutada väikese astmega murdude puhul. n, ning lähenemisviisi universaalsus ja üldistus võimaldab selle meetodi väga lihtsat rakendamist arvutis.
Näide:
Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine.
Ratsionaalsete murdude integreerimine.
Ratsionaalse murru integreerimiseks on vaja see lagundada elementaarmurdudeks.
Teoreem:
Kui
- õige ratsionaalne murd, mille nimetaja P(x) on esitatud lineaar- ja ruuttegurite korrutisena (pange tähele, et mis tahes reaalkoefitsientidega polünoomi saab esitada sellisel kujul: P(x)
= (x -
a)
…(x
-
b)
(x 2
+
px +
q)
…(x 2
+
rx +
s)
), siis saab selle murdosa jagada elementaarseteks vastavalt järgmisele skeemile:
kus A i, B i, M i, N i, R i, S i on mingid konstantsed suurused.
Ratsionaalsete murdude integreerimisel kasutavad nad algse murru lagundamist elementaarseteks murdudeks. Suuruste A i, B i, M i, N i, R i, S i leidmiseks kasutatakse nn. määramatute koefitsientide meetod, mille olemus seisneb selles, et selleks, et kaks polünoomi oleks identselt võrdsed, on vajalik ja piisav, et x samadel astmetel olevad koefitsiendid oleksid võrdsed.
Vaatleme selle meetodi kasutamist konkreetse näite abil.
Näide.
Vähendades ühisnimetajale ja võrdsustades vastavad lugejad, saame:
Näide.
Sest Kui murdosa on vale, peate esmalt valima selle kogu osa:
6x 5 – 8 x 4 – 25 x 3 + 20 x 2 – 76 x – 7 3 x 3 – 4 x 2 – 17 x + 6
6 x 5 – 8 x 4 – 34 x 3 + 12 x 2 2 x 2 + 3
9x 3 + 8x 2 – 76x - 7
9x 3 - 12x 2 - 51x +18
20x 2 - 25x - 25
Faktoriseerime saadud murdosa nimetaja. On näha, et x = 3 korral muutub murdosa nimetaja nulliks. Seejärel:
3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 x - 3
3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2
Seega 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 = (x - 3) (3x 2 + 5x - 2) = (x - 3) (x + 2) (3x - 1). Seejärel:
Vältimaks sulgude avamist, võrrandisüsteemi (mis mõnel juhul võib osutuda päris suureks) rühmitamist ja lahendamist ebakindlate kordajate leidmisel nn. suvaline väärtusmeetod. Meetodi olemus seisneb selles, et ülaltoodud avaldisesse asendatakse mitu (vastavalt määramata koefitsientide arvule) suvalised x väärtused. Arvutuste lihtsustamiseks on tavaks võtta suvaliste väärtustena punkte, mille korral murdosa nimetaja on võrdne nulliga, s.o. meie puhul – 3, -2, 1/3. Saame:
Lõpuks saame:
=
Näide.
Leiame määramata koefitsiendid:
Seejärel antud integraali väärtus:
Mõne trigonomeetria integreerimine
funktsioonid.
Integraalid alates trigonomeetrilised funktsioonid neid võib olla lõpmatult palju. Enamikku neist integraalidest ei saa üldse analüütiliselt arvutada, seega vaatleme mõnda peamised tüübid funktsioone, mida saab alati integreerida.
Vormi integraal
.
Siin R on muutujate sinx ja cosx mõne ratsionaalse funktsiooni tähistus.
Seda tüüpi integraalid arvutatakse asenduste abil
. See asendus võimaldab teil teisendada trigonomeetrilise funktsiooni ratsionaalseks.
,
Siis
Seega:
Ülalkirjeldatud teisendust nimetatakse universaalne trigonomeetriline asendus.
Näide.
Selle asendamise vaieldamatu eelis on see, et selle abil saate alati muuta trigonomeetrilise funktsiooni ratsionaalseks ja arvutada vastava integraali. Puudusteks on asjaolu, et teisenduse tulemuseks võib olla üsna keeruline ratsionaalne funktsioon, mille integreerimine võtab palju aega ja vaeva.
Kui aga muutuja ratsionaalsemat asendamist pole võimalik rakendada, on see meetod ainus tõhus.
Näide.
Vormi integraal
Kui
funktsiooniRcosx.
Vaatamata võimalusele arvutada selline integraal universaalse trigonomeetrilise asendusega, on ratsionaalsem kasutada asendust t = sinx.
Funktsioon
võib sisaldada cosx-i ainult paarisastmetes ja seetõttu saab selle teisendada sinxi suhtes ratsionaalseks funktsiooniks.
Näide.
Üldiselt on selle meetodi rakendamiseks vajalik ainult funktsiooni veidrus koosinuse suhtes ja funktsioonis sisalduva siinuse aste võib olla mis tahes, nii täis- kui ka murdosa.
Vormi integraal
Kui
funktsiooniRon paaritusinx.
Analoogiliselt ülaltoodud juhtumiga tehakse asendus t = cosx.
Näide.
Vormi integraal
funktsiooniRisegi suhteliseltsinxJacosx.
Funktsiooni R muutmiseks ratsionaalseks kasutage asendust
t = tgx.
Näide.
Siinuste ja koosinuste korrutise integraal
erinevaid argumente.
Sõltuvalt töö tüübist rakendatakse ühte kolmest valemist:
Näide.
Näide.
Mõnikord on trigonomeetriliste funktsioonide integreerimisel mugav kasutada funktsioonide järjestuse vähendamiseks tuntud trigonomeetrilisi valemeid.
Näide.
Näide.
Mõnikord kasutatakse mõnda mittestandardset tehnikat.
Näide.
Mõnede irratsionaalsete funktsioonide integreerimine.
Igal irratsionaalsel funktsioonil ei saa olla elementaarfunktsioonidega väljendatud integraali. Irratsionaalse funktsiooni integraali leidmiseks peaksite kasutama asendust, mis võimaldab teil muuta funktsiooni ratsionaalseks, mille integraali saab alati leida, nagu alati teada.
Vaatame mõningaid tehnikaid erinevat tüüpi irratsionaalsete funktsioonide integreerimiseks.
Vormi integraal
Kusn- naturaalarv.
Asenduse kasutamine
funktsioon on ratsionaliseeritud.
Näide.
Kui irratsionaalse funktsiooni koostis sisaldab erineva astmega juuri, siis uue muutujana on ratsionaalne võtta avaldises sisalduvate juurte astmete vähima ühiskordsega võrdne astme juur.
Illustreerime seda näitega.
Näide.
Binoomdiferentsiaalide integreerimine.
Integraalide lahendamise protsessi teaduses, mida nimetatakse matemaatikaks, nimetatakse integreerimiseks. Integratsiooni abil saate leida mõned füüsikalised suurused: pindala, ruumala, kehade mass ja palju muud.
Integraalid võivad olla määramata või kindlad. Vaatleme kindla integraali vormi ja proovime mõista selle füüsilist tähendust. See on esitatud järgmisel kujul: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Iseloomulik omadus määramata integraali kindla integraali kirjutamine on see, et a ja b integreerimisel on piirid. Nüüd saame teada, miks neid vaja on ja mida kindel integraal tegelikult tähendab. Geomeetrilises mõttes selline integraal võrdne pindalaga joonis, mida piiravad kõver f(x), sirged a ja b ning Ox telg.
Jooniselt 1 on näha, et kindel integraal on sama ala, mis on varjutatud hall. Kontrollime seda lihtsa näitega. Leiame integratsiooni abil alloleval pildil oleva joonise pindala ja seejärel arvutame selle tavalisel viisil korrutades pikkuse laiusega.
Jooniselt 2 on selge, et $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Nüüd asendame need integraali definitsioonis, saame, et $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(ühikud)^2 $$ Teeme kontrolli tavapärasel viisil. Meie puhul pikkus = 3, joonise laius = 1. $$ S = \tekst(pikkus) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(ühikut)^2 $$ Nagu saate vaata, kõik sobib ideaalselt.
Tekib küsimus: kuidas lahendada ebamääraseid integraale ja mis on nende tähendus? Selliste integraalide lahendamine on antiderivatiivsete funktsioonide leidmine. See protsess on vastupidine tuletise leidmisele. Antituletise leidmiseks võite kasutada meie abi matemaatika ülesannete lahendamisel või peate iseseisvalt meelde jätma integraalide omadused ja kõige lihtsamate elementaarfunktsioonide integreerimise tabeli. Leid näeb välja selline: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(kus) F(x) $ on $ f(x) antiderivaat, C = const $.
Integraali lahendamiseks tuleb integreerida funktsioon $ f(x) $ üle muutuja. Kui funktsioon on tabel, kirjutatakse vastus sobival kujul. Kui ei, siis protsess taandub tabelifunktsiooni hankimisele funktsioonist $ f(x) $ keeruliste matemaatiliste teisenduste abil. Selle jaoks on olemas erinevaid meetodeid ja omadused, mida me edasi kaalume.
Niisiis, loome nüüd algoritmi mannekeenide integraalide lahendamiseks?
Integraalide arvutamise algoritm
- Uurime välja kindla integraali või mitte.
- Kui see pole määratletud, peate leidma integrandi $ f(x) $ antiderivatiivfunktsiooni $ F(x) $, kasutades matemaatilisi teisendusi, mis viivad funktsiooni $ f(x) $ tabelivormini.
- Kui see on määratletud, peate sooritama sammu 2 ja seejärel asendama piirangud $ a $ ja $ b $ antiderivatiivfunktsiooniga $ F(x) $. Millist valemit selleks kasutada, saate teada artiklist “Newtoni-Leibnizi valem”.
Näited lahendustest
Niisiis, olete õppinud mannekeenide integraale lahendama, on välja sorteeritud integraalide lahendamise näited. Õppisime nende füüsilist ja geomeetrilist tähendust. Lahendusmeetodeid kirjeldatakse teistes artiklites.
Määramatu integraal.
Üksikasjalikud näidislahendused
Selles õppetükis hakkame teemat uurima Määramatu integraal, ja analüüsime üksikasjalikult ka kõige lihtsamate (ja mitte nii lihtsate) integraalide lahendusnäiteid. Selles artiklis piirdun minimaalse teooriaga ja nüüd on meie ülesandeks õppida integraalide lahendamist.
Mida on vaja materjali edukaks valdamiseks teada? Integraalarvutusega toimetulemiseks peate suutma leida tuletisi vähemalt keskmisel tasemel. Seega, kui materjal on käivitatud, soovitan teil esmalt õppetunnid hoolikalt läbi lugeda Kuidas tuletist leida? Ja Kompleksfunktsiooni tuletis. See pole kogemuste raiskamine, kui teie vöö all on mitukümmend (soovitavalt sada) iseseisvalt leitud tuletist. Vähemalt ei tohiks teid segadusse ajada ülesanded, mis eristavad lihtsamaid ja levinumaid funktsioone. Näib, mis pistmist on tuletistega, kui artikkel räägib integraalidest?! Siin on asi. Fakt on see, et tuletiste leidmine ja määramata integraalide leidmine (diferentseerimine ja integreerimine) on kaks vastastikku vastupidist tegevust, nagu liitmine/lahutamine või korrutamine/jagamine. Seega ilma tuletiste leidmise oskuseta (+ mõningase kogemuseta) ei saa te kahjuks edasi liikuda.
Sellega seoses vajame järgmist õppematerjalid: Tuletisinstrumentide tabel Ja Integraalide tabel. Teatmejuhendeid saab lehel avada, alla laadida või printida Matemaatilised valemid ja tabelid.
Mis raskust on määramata integraalide õppimisel? Kui tuletistes on rangelt 5 diferentseerimisreeglit, tuletiste tabel ja üsna selge toimingute algoritm, siis integraalides on kõik teisiti. Integreerimismeetodeid ja tehnikaid on kümneid. Ja kui integreerimismeetod valiti algselt valesti (st te ei tea, kuidas seda lahendada), võib integraali "torkida" sõna otseses mõttes päevade kaupa, nagu tõelist pusle, püüdes aru saada. erinevaid tehnikaid ja trikke. Mõnele isegi meeldib. Muide, see pole nali, üsna sageli kuulsin õpilastelt arvamust stiilis “Mul pole kunagi olnud huvi mingi piiri või tuletise lahendamise vastu, aga integraalid on hoopis teine asi, see on põnev, alati on soov "häkkida" keeruline integraal. Peatus. Aitab mustast huumorist, liigume edasi nende väga ebamääraste integraalide juurde.
Kuna selle lahendamiseks on nii palju võimalusi, siis kust alustada teekannu määramatute integraalide uurimist? Integraalarvutuses on minu arvates kolm sammast ehk mingi “telg”, mille ümber kõik muu pöörleb. Esiteks peaksite hästi aru saama kõige lihtsamatest integraalidest (see artikkel). Seejärel peate õppetunni üksikasjalikult läbi töötama. SEE KÕIGE OLULISEM TEHNIKA! Võib-olla isegi kõige olulisem artikkel kõigist minu integraali käsitlevatest artiklitest. Ja kolmandaks peaksite kindlasti tutvuma osade kaupa integreerimise meetodiga, kuna seda saab kasutada paljude funktsioonide integreerimiseks. Kui omandate vähemalt need kolm õppetundi, pole teil enam kahte. Sulle võidakse andeks anda see, et sa ei tea integraale trigonomeetrilistest funktsioonidest, integraale murdarvudest, integraale murd-ratsionaalfunktsioonidest, integraale irratsionaalfunktsioonidest (juurtest), kuid kui jääd asendusmeetodi või osade kaupa integreerimise meetodi juurde kinni, siis saab olema väga-väga halb.
Demotivaatorid on nüüd RuNetis väga levinud. Integraalide uurimise kontekstis on see vastupidi lihtsalt vajalik MOTIVAATOR. Nagu selles naljas Vassili Ivanovitši kohta, kes motiveeris nii Petkat kui Ankat. Kallid laisad inimesed, vabakoorijad ja teised normaalsed õpilased, lugege kindlasti järgmist. Teadmised ja oskused määramatu integraali kohta on vajalikud edasistes õpingutes, eriti kindla integraali, valeintegraali ja diferentsiaalvõrrandi õppimisel 2. kursusel. Integraali võtmise vajadus tekib isegi tõenäosusteoorias! Seega ilma integraalideta, tee suvesessioonile ja 2. kursusele ON TÕESTI SULETUD. Ma olen tõsine. Järeldus on selline. Mida rohkem eri tüüpi integraale lahendate, seda lihtsam on teie edasine elu.. Jah, see võtab üsna palju aega, jah, mõnikord sa ei taha, jah, mõnikord "pagan, selle integraaliga, võib-olla ma ei saa sellest aru." Kuid järgmine mõte peaks inspireerima ja soojendama teie hinge; teie pingutused tasuvad end täielikult ära! Saate murda diferentsiaalvõrrandeid nagu pähkleid ja hõlpsasti toime tulla integraalidega, mida kohtate kõrgema matemaatika teistes osades. Olles määramata integraali põhjalikult mõistnud, VALITATE TEGELIKULT VEEL MITU TORNI LÕIGU.
Ja nii ma lihtsalt ei saanud jätta looma intensiivkursus lõimimise tehnika kohta, mis osutus üllatavalt lühikeseks - soovijad saavad kasutada pdf raamatut ja valmistuda VÄGA kiiresti. Kuid saidil olevad materjalid pole sugugi halvemad!
Niisiis, alustame lihtsast. Vaatame integraalide tabelit. Sarnaselt tuletistega märkame mitmeid integreerimisreegleid ja mõnede elementaarfunktsioonide integraalide tabelit. On lihtne näha, et igal tabeliintegraalil (ja tõepoolest igal määramatul integraalil) on vorm:
Saame kohe aru märgetest ja mõistetest:
- integreeritud ikoon.
– integrandi funktsioon (kirjutatakse tähega “s”).
- diferentsiaali ikoon. Integraali kirjutamisel ja lahendamise ajal on oluline seda ikooni mitte kaotada. Tekib märgatav viga.
– integraali avaldis ehk integraali “täitmine”.
– antiderivatiivne funktsioon.
- palju originaalseid funktsioone. Pole vaja end terminitega koormata, kõige tähtsam on see, et igas määramatus integraalis lisatakse vastusele konstant.
Integraali lahendamine tähendab leidmist spetsiifiline funktsioon, kasutades mõningaid reegleid, tehnikaid ja tabelit.
Vaatame uuesti sissekannet:
Vaatame integraalide tabelit.
Mis toimub? Meil on vasakpoolsed osad muunduma teistele funktsioonidele: .
Lihtsustame oma määratlust.
Määratlemata integraali lahendamine tähendab selle MUUNDAMIST kindlaks funktsiooniks, kasutades selleks mõningaid reegleid, tehnikaid ja tabelit.
Võtame näiteks tabeliintegraali . Mis juhtus? muutunud funktsiooniks.
Nagu tuletisinstrumentide puhul, ei pea integraalide leidmise õppimiseks olema teadlik mis on integraal, antiderivatiivne funktsioon teoreetilisest vaatenurgast. Piisab lihtsalt muudatuste tegemisest teatud formaalsete reeglite järgi. Nii et juhuks Pole üldse vaja aru saada, miks integraalist saab . Praegu võime seda ja teisi valemeid pidada iseenesestmõistetavaks. Kõik kasutavad elektrit, kuid vähesed inimesed mõtlevad sellele, kuidas elektronid läbi juhtmete liiguvad.
Kuna diferentseerimine ja integreerimine on vastandlikud operatsioonid, siis iga leitud antiderivaadi puhul Õige, alljärgnev on tõsi:
Teisisõnu, kui eristate õiget vastust, peate saama algse integrandi funktsiooni.
Pöördume tagasi sama tabeliintegraali juurde .
Kontrollime selle valemi kehtivust. Võtame parempoolse külje tuletise:
on algne integrandi funktsioon.
Muide, on saanud selgemaks, miks on funktsioonile alati määratud konstant. Diferentseerimisel muutub konstant alati nulliks.
Lahenda määramata integraal- see tähendab leida trobikond kõik antiderivaadid, mitte ainult üks funktsioon. Vaadeldavas tabelinäites , , jne – kõik need funktsioonid on integraali lahendused. Lahendusi on lõpmata palju, seega paneme selle lühidalt kirja:
Seega on suvalist määramatut integraali üsna lihtne kontrollida (erinevalt tuletistest, kus korralikku kontrolli saab teha ainult matemaatikaprogrammide abil). See on mingi kompensatsioon suur hulk erinevat tüüpi integraalid.
Vaatleme konkreetseid näiteid. Alustame, nagu tuletise uurimisel,
kahe integratsioonireegliga, mida nimetatakse ka lineaarsuse omadused
määramata integraal:
– konstantse teguri saab (ja peaks) integraalimärgist välja võtma.
– kahe funktsiooni algebralise summa integraal on võrdne iga funktsiooni kahe integraali algebralise summaga. See vara kehtib mis tahes arvu terminite jaoks.
Nagu näete, on reeglid põhimõtteliselt samad, mis tuletisinstrumentide puhul.
Näide 1
Lahendus: mugavam on see paberile ümber kirjutada.
(1) Rakendage reeglit . Ärge unustage iga integraali alla kirjutada diferentsiaali sümbolit. Miks iga all? - see on täiskordaja, kui kirjeldame lahendust üksikasjalikult, tuleks esimene samm kirjutada järgmiselt:
(2) Vastavalt eeskirjale , võtame kõik konstandid väljaspool integraalmärke. Pange tähele, et viimane termin on konstant, võtame selle ka välja.
Lisaks valmistame selles etapis juured ja volitused integreerimiseks ette. Sarnaselt diferentseerimisega tuleb juured esitada kujul . Liigutage nimetajas asuvad juured ja astmed ülespoole.
! Märkus: erinevalt tuletistest ei tohiks integraalide juuri alati taandada kujule , vaid astmeid tuleks üle kanda ülespoole. Näiteks on see valmis tabeliintegraal ja igasugused hiina nipid nagu täiesti ebavajalik. Sarnaselt: – ka tabeliintegraal, murdu pole mõtet esitada kujul . Uurige tabelit hoolikalt!
(3) Kõik meie integraalid on tabelikujulised. Teostame teisenduse tabeli abil, kasutades valemeid: , Ja .
Erilist tähelepanu pööran integratsioonivalemile toitefunktsioon , seda esineb väga sageli, on parem seda meeles pidada. Tuleb märkida, et tabeliintegraal on sama valemi erijuhtum: .
Piisab, kui lisada konstandi üks kord avaldise lõppu (ja mitte panna neid iga integraali järele).
(4) Saadud tulemuse kirjutame kompaktsemal kujul, kõik vormi astmed esitatakse taas juurtena, negatiivse astendajaga astmed lähtestatakse nimetajale tagasi.
Läbivaatus. Kontrolli teostamiseks peate saadud vastust eristama:
Sai originaali kätte integrand, mis tähendab, et integraal leiti õigesti. See, millest nad tantsisid, on selle juurde, mille juurde nad tagasi tulid. Teate, see on väga hea, kui integraaliga lugu nii lõpeb.
Aeg-ajalt on ebamäärase integraali kontrollimisel veidi erinev lähenemine, vastusest võetakse mitte tuletis, vaid diferentsiaal:
Need, kes esimesest semestrist aru said, said aru, aga praegu pole meie jaoks olulised teoreetilised peensused, vaid oluline on see, mida selle diferentsiaaliga edasi teha. See tuleb paljastada ja formaalsest tehnilisest vaatepunktist on see peaaegu sama, mis tuletise leidmine. Diferentsiaal ilmneb järgmiselt: eemaldame ikooni, paneme paremale sulu kohale kriipsu ja lisame avaldise lõppu teguri:
Saadud originaal integrand, mis tähendab, et integraal leiti õigesti.
Teine kontrollimise meetod meeldib mulle vähem, kuna pean lisaks joonistama suuri sulgusid ja lohistama diferentsiaali ikooni kontrollimise lõpuni. Kuigi see on õigem või “auväärsem” vms.
Tegelikult oleksin võinud teisest kontrollimeetodist üldse vaikida. Asi pole meetodis, vaid selles, et oleme õppinud diferentsiaali avama. Jällegi.
Erinevus ilmneb järgmiselt:
1) eemaldage ikoon;
2) paremale suluse kohale paneme joone (tuletise tähis);
3) avaldise lõppu omistame teguri .
Näiteks:
Mäleta seda. Seda tehnikat vajame varsti.
Näide 2
Leidke määramatu integraal. Tehke kontroll.
Kui leiame ebamäärase integraali, proovime ALATI kontrollida Pealegi on selleks suurepärane võimalus. Mitte kõik kõrgema matemaatika ülesanded pole sellest vaatenurgast kingitus. See pole nii sageli oluline testülesanded ei ole vaja kontrollida, keegi ei kontrolli seda ja miski ei takista seda mustandil läbi viia. Erandi saab teha ainult siis, kui aega ei ole piisavalt (näiteks kontrolltöö või eksami ajal). Mina isiklikult kontrollin alati integraale ning kontrolli puudumist pean häkkimistööks ja halvasti sooritatud ülesandeks.
Näide 3
Leidke määramatu integraal. Tehke kontroll.
Lahendus. Integraali analüüsimisel näeme, et meil on kahe funktsiooni korrutis ja isegi terve avaldise astendamine. Kahjuks pole tervikliku lahingu valdkonnas häid ja mugavaid valemeid toote ja konkreetse integreerimiseks , .
Ja seetõttu, kui on antud korrutis või jagatis, on alati mõtet vaadata, kas integrandi on võimalik teisendada summaks?
Vaadeldav näide on juhtum, kui see on võimalik. Kõigepealt annan täieliku lahenduse, kommentaarid on allpool.
(1) Kasutame vana head summa ruudu valemit, vabanedes astmest.
(2) Panime selle sulgudesse, vabanedes tootest.
Näide 4
Leidke määramatu integraal. Tehke kontroll.
See on näide, mille saate ise lahendada. Vastus ja täielik lahendus on õppetunni lõpus.
Näide 5
Leidke määramatu integraal. Tehke kontroll.
IN selles näites integrand on murdosa. Kui näeme integrandis murdu, peaks esimene mõte olema küsimus: kas sellest murdosast on võimalik kuidagi lahti saada või seda vähemalt lihtsustada?
Märkame, et nimetaja sisaldab ühte X-i juurt. Üks selles valdkonnas ei ole sõdalane, mis tähendab, et saame jagada lugeja nimetajaga terminiga:
Ma ei kommenteeri murdarvuga toiminguid, kuna neid on funktsiooni tuletist käsitlevates artiklites korduvalt käsitletud. Kui olete endiselt hämmingus sellisest näitest nagu , kuid te ei saa ikkagi õiget vastust, siis soovitan pöörduda kooliõpikute poole. Kõrgemas matemaatikas kohtab murde ja nendega tehteid igal sammul.
Pange tähele ka seda, et lahendusest on puudu üks samm, nimelt reeglite rakendamine , . Tavaliselt peetakse neid omadusi isegi integraalide lahendamise esmasel kogemusel iseenesestmõistetavaks ja neid ei kirjeldata üksikasjalikult.
Näide 6
Leidke määramatu integraal. Tehke kontroll.
See on näide, mille saate ise lahendada. Vastus ja täielik lahendus on õppetunni lõpus.
Üldiselt pole integraalides murdudega asjad nii lihtsad, lisamaterjal teatud tüüpi murdude integreerimise kohta leiate artiklist Mõnede murdude integreerimine.
! Kuid enne ülaltoodud artikli juurde liikumist peate õppetunniga tutvuma Asendusmeetod määramata integraalis. Asi on selles, et funktsiooni liitmine diferentsiaal- või muutujaasendusmeetodi alla on võtmepunkt teema uurimisel, kuna seda ei leidu mitte ainult "puhas asendusmeetodi ülesannetes", vaid ka paljudes muudes integraalitüüpides.
Tahtsin tõesti lisada veel mõned näited see õppetund, aga ma istun praegu siin, kirjutan seda teksti Verde keeles ja märkan, et artikkel on juba korraliku suuruseni kasvanud.
Ja seetõttu on mannekeenide integraalide sissejuhatav kursus lõppenud.
Soovin teile edu!
Lahendused ja vastused:
Näide 2: Lahendus:
Näide 4: Lahendus:
Selles näites kasutasime lühendatud korrutamisvalemit
Näide 6: Lahendus:
Ma täitsin kontrolli ja sina? ;)