Как да станете бизнесмен. Бизнес жена: лични качества и образ на успешна жена
Интегрално смятане.
примитивна функция.
определение: Извиква се функцията F(x). противопроизводна функцияфункции f(x) на отсечката , ако във всяка точка от тази отсечка равенството е вярно:
Трябва да се отбележи, че може да има безкрайно много антипроизводни за една и съща функция. Те ще се различават един от друг с някакво постоянно число.
F 1 (x) = F 2 (x) + C.
Неопределен интеграл.
определение: Неопределен интегралфункции f(x) е набор от първообразни функции, които се определят от връзката:
Записвам:
Условието за съществуването на неопределен интеграл върху определен сегмент е непрекъснатостта на функцията върху този сегмент.
Имоти:
1.
2.
3.
4.
Пример:
Намирането на стойността на неопределения интеграл е свързано главно с намирането на първоизводната функция. За някои функции това е доста трудна задача. По-долу ще разгледаме методите за намиране на неопределени интеграли за основните класове функции - рационални, ирационални, тригонометрични, експоненциални и др.
За удобство стойностите на неопределените интеграли на повечето елементарни функции се събират в специални таблици с интеграли, които понякога са много обемни. Те включват различни най-често срещани комбинации от функции. Но повечето от формулите, представени в тези таблици, са следствия една от друга, така че по-долу е таблица с основни интеграли, с които можете да получите стойностите на неопределени интеграли на различни функции.
Интеграл |
Значение |
Интеграл |
Значение |
||
lnsinx+ C |
|||||
вътре |
|||||
Интеграционни методи.
Нека разгледаме три основни метода на интеграция.
Директна интеграция.
Методът на директното интегриране се основава на предположението за възможната стойност на функцията на антипроизводната с допълнителна проверка на тази стойност чрез диференциране. Като цяло отбелязваме, че диференциацията е мощен инструмент за проверка на резултатите от интеграцията.
Помислете за приложението на този метод на пример:
Изисква се да се намери стойността на интеграла . Въз основа на добре познатата формула за диференциация
можем да заключим, че търсеният интеграл е равен на
, където C е някакво постоянно число. Въпреки това, от друга страна
. Така най-накрая можем да заключим:
Обърнете внимание, че за разлика от диференцирането, където са използвани ясни техники и методи за намиране на производната, правилата за намиране на производната и накрая дефиницията на производната, такива методи не са достъпни за интегриране. Ако при намирането на производната сме използвали, така да се каже, конструктивни методи, които въз основа на определени правила са довели до резултат, то при намирането на първоизводната трябва да разчитаме главно на познаването на таблици с производни и първоизводни.
Що се отнася до метода на директното интегриране, той е приложим само за някои много ограничени класове функции. Има много малко функции, за които можете веднага да намерите антипроизводното. Ето защо в повечето случаи се използват описаните по-долу методи.
Метод на заместване (замяна на променливи).
Теорема:
Ако искате да намерите интеграла
, но е трудно да се намери първоизводната, тогава чрез замяна на x = (t) и dx = (t)dt получаваме:
Доказателство : Нека разграничим предложеното равенство:
Съгласно горното свойство № 2 на неопределения интеграл:
f(х) dx = f[ (T)] (T) дт
което, като се има предвид въведеното означение, е изходното предположение. Теоремата е доказана.
Пример.Намерете неопределения интеграл
.
Да направим замяна T = sinx, дт = cosxdt.
Пример.
Замяна
Получаваме:
По-долу ще разгледаме други примери за използване на метода на заместване за различни видовефункции.
Интеграция по части.
Методът се основава на добре известната формула за производна на продукт:
(uv) = uv + vu
където u и v са някои функции на x.
В диференциална форма: d(uv) = udv + vdu
След интегрирането получаваме:
, и в съответствие с горните свойства на неопределения интеграл:
или
;
Получихме формула за интегриране по части, която ни позволява да намерим интегралите на много елементарни функции.
Пример.
Както можете да видите, последователното прилагане на формулата за интегриране по части ви позволява постепенно да опростите функцията и да доведете интеграла до табличен.
Пример.
Вижда се, че в резултат на многократното прилагане на интегриране по части, функцията не може да бъде опростена до табличен вид. Последният получен интеграл обаче не се различава от оригиналния. Затова го прехвърляме в лявата страна на равенството.
Така интегралът е намерен без изобщо да се използват таблици с интеграли.
Преди да разгледаме подробно методите за интегриране на различни класове функции, ние даваме още няколко примера за намиране на неопределени интеграли чрез свеждането им до таблични.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Интегриране на елементарни дроби.
определение: Елементарнодроби от следните четири вида се наричат:
аз
III.
II.
IV.
м, н цели числа(m 2, n 2) и b 2 - 4ac<0.
Първите два вида интеграли на елементарни дроби се свеждат съвсем просто до таблични замествания t = ax + b.
Разгледайте метод за интегриране на елементарни дроби от форма III.
Интегралът на дроб от тип III може да бъде представен като:
Тук в общи линии е показано редуцирането на интеграла на дроб от форма III до два таблични интеграла.
Разгледайте приложението на горната формула с примери.
Пример.
Най-общо казано, ако тричленът ax 2 + bx + c има израза b 2 - 4ac > 0, тогава дробта по дефиниция не е елементарна, но въпреки това може да бъде интегрирана по горния начин.
Пример.
Пример.
Нека сега разгледаме методите за интегриране на най-простите дроби от тип IV.
Първо помислете специален случайпри M = 0, N = 1.
След това интегралът на формата
може да се представи чрез подчертаване на пълния квадрат в знаменателя като
. Нека направим следната трансформация:
Вторият интеграл, включен в това равенство, ще бъде взет на части.
Означават:
За първоначалния интеграл получаваме:
Получената формула се нарича рецидивиращ.Ако го приложите n-1 пъти, ще получите табличен интеграл
.
Нека сега се върнем към интеграла на елементарна дроб от вида IV в общия случай.
В полученото равенство, първият интеграл с помощта на заместването T = u 2 + ссе свежда до табличен , а рекурентната формула, разгледана по-горе, се прилага към втория интеграл.
Въпреки привидната сложност на интегрирането на елементарна дроб от тип IV, на практика е доста лесно да се приложи към дроби с малка степен н, а универсалността и обобщеността на подхода прави възможно прилагането на този метод много просто на компютър.
Пример:
Интегриране на рационални функции.
Интегриране на рационални дроби.
За да се интегрира една рационална дроб, е необходимо тя да се разложи на елементарни дроби.
Теорема:
Ако
е правилна рационална дроб, чийто знаменател P(x) е представен като произведение на линейни и квадратни множители (обърнете внимание, че всеки полином с реални коефициенти може да бъде представен по следния начин: П(х)
= (х -
а)
…(х
-
b)
(х 2
+
px +
р)
…(х 2
+
rx +
с)
), тогава тази фракция може да се разложи на елементарни по следната схема:
където A i, B i, M i, N i, Ri, S i са някои постоянни стойности.
При интегриране на рационални дроби се прибягва до разлагане на първоначалната дроб на елементарни. За намиране на стойностите A i , B i , M i , N i , R i , S i използвайте т.нар. метод на неопределените коефициенти, чиято същност е, че за да бъдат идентично равни два полинома, е необходимо и достатъчно коефициентите при еднакви степени на x да са равни.
Ще разгледаме приложението на този метод на конкретен пример.
Пример.
Привеждайки до общ знаменател и приравнявайки съответните числители, получаваме:
Пример.
защото Ако фракцията не е правилна, първо трябва да изберете цялата част от нея:
6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6
6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3
9x3 + 8x2 - 76x - 7
9x 3 - 12x 2 - 51x +18
20x2-25x-25
Разлагаме знаменателя на получената дроб на множители. Вижда се, че при x = 3 знаменателят на дробта става нула. Тогава:
3x 3 – 4x 2 – 17x + 6x - 3
3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2
И така, 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 = (x - 3)(3x 2 + 5x - 2) = (x - 3)(x + 2)(3x - 1). Тогава:
За да се избегне при намиране на несигурни коефициенти на отваряне на скоби, групиране и решаване на система от уравнения (която в някои случаи може да се окаже доста голяма), т.нар. метод на произволна стойност. Същността на метода е, че няколко (според броя на несигурните коефициенти) произволни x стойности се заместват в получения по-горе израз. За опростяване на изчисленията е обичайно да се приемат като произволни стойности точките, в които знаменателят на фракцията е равен на нула, т.е. в нашия случай - 3, -2, 1/3. Получаваме:
Накрая получаваме:
=
Пример.
Нека намерим неопределени коефициенти:
Тогава стойността на дадения интеграл:
Интегриране на някои тригонометрични
функции.
Интеграли от тригонометрични функцииможе да има безкраен брой. Повечето от тези интеграли изобщо не могат да бъдат изчислени аналитично, така че помислете за някои основни видовефункции, които винаги могат да бъдат интегрирани.
Интеграл на формата
.
Тук R е обозначението на някаква рационална функция на променливите sinx и cosx.
Интеграли от този тип се изчисляват с помощта на заместването
. Това заместване ви позволява да преобразувате тригонометрична функция в рационална.
,
Тогава
По този начин:
Описаната по-горе трансформация се нарича универсално тригонометрично заместване.
Пример.
Безспорното предимство на това заместване е, че винаги може да се използва за трансформиране на тригонометрична функция в рационална и за изчисляване на съответния интеграл. Недостатъците включват факта, че трансформацията може да доведе до доста сложна рационална функция, чието интегриране ще отнеме много време и усилия.
Въпреки това, ако е невъзможно да се приложи по-рационална промяна на променливата, този метод е единственият ефективен.
Пример.
Интеграл на формата
Ако
функцияРcosx.
Въпреки възможността за изчисляване на такъв интеграл с помощта на универсалното тригонометрично заместване, по-рационално е да се приложи заместването T = sinx.
функция
може да съдържа cosx само до четни степени и следователно може да бъде преобразувано в рационална функция по отношение на sinx.
Пример.
Най-общо казано, за да се приложи този метод, е необходима само нечетността на функцията по отношение на косинуса, а степента на синуса, включена във функцията, може да бъде всяка, както цяло число, така и дробна.
Интеграл на формата
Ако
функцияРе странно по отношение наsinx.
По аналогия с разгледания по-горе случай заместването T = cosx.
Пример.
Интеграл на формата
функцияРдори относителноsinxИcosx.
За преобразуване на функцията R в рационална се използва заместването
t = tgx.
Пример.
Интеграл на произведението от синуси и косинуси
различни аргументи.
В зависимост от вида на работата ще се прилага една от трите формули:
Пример.
Пример.
Понякога, когато интегрирате тригонометрични функции, е удобно да използвате добре известни тригонометрични формули, за да намалите реда на функциите.
Пример.
Пример.
Понякога се използват някои нестандартни трикове.
Пример.
Интегриране на някои ирационални функции.
Не всяка ирационална функция може да има интеграл, изразен чрез елементарни функции. За да се намери интегралът на ирационална функция, трябва да се приложи заместване, което ще позволи да се превърне функцията в рационална, чийто интеграл винаги може да бъде намерен, както е известно, винаги.
Помислете за някои техники за интегриране на различни видове ирационални функции.
Интеграл на формата
Къдетон- естествено число.
С помощта на заместване
функцията е рационализирана.
Пример.
Ако ирационалната функция включва корени от различни степени, тогава е рационално да се вземе като нова променлива коренът на степента, равен на най-малкото общо кратно на степените на корените, включени в израза.
Нека илюстрираме това с пример.
Пример.
Интегриране на биномни диференциали.
Процесът на решаване на интеграли в науката, наречен "математика", се нарича интегриране. С помощта на интеграцията можете да намерите някои физически величини: площ, обем, маса на телата и много други.
Интегралите са неопределени и определени. Разгледайте формата на определен интеграл и се опитайте да разберете неговото физическо значение. Изглежда по следния начин: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Отличителна чертаписане на определен интеграл на неопределен, тъй като има граници на интегриране a и b. Сега ще разберем за какво служат и какво означава определен интеграл. В геометричен смисъл такъв интеграл равна на площфигура, ограничена от кривата f(x), прави a и b и оста Ox.
От фиг. 1 може да се види, че определеният интеграл е същата област, която е защрихована в сиво. Нека го проверим с прост пример. Намерете площта на фигурата в изображението по-долу с помощта на интегриране и след това я изчислете по обичайния начинумножавайки дължината по ширината.
Фигура 2 показва, че $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Сега ги заместваме в дефиницията на интеграла, получаваме, че $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2=(3 \cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(unit)^2 $$ Нека проверим по обичайния начин. В нашия случай дължина = 3, ширина на формата = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ Както можете да видите, всичко съвпадна идеално.
Възниква въпросът: как се решават неопределени интеграли и какъв е смисълът им? Решението на такива интеграли е намирането на първообразни функции. Този процес е обратен на намирането на производната. За да намерите първоизводната, можете да използвате нашата помощ при решаване на задачи по математика или трябва сами да запомните точно свойствата на интегралите и таблицата за интегриране на най-простите елементарни функции. Намирането изглежда така $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(където) F(x) $ е първоизводната на $ f(x), C = const $.
За да решите интеграла, трябва да интегрирате функцията $ f(x) $ по отношение на променливата. Ако функцията е таблична, тогава отговорът се записва в подходящата форма. Ако не, тогава процесът се свежда до получаване на таблична функция от функцията $ f(x) $ чрез трудни математически трансформации. За това има различни методии свойства, които ще обсъдим по-нататък.
И така, нека сега направим алгоритъм за решаване на интеграли за манекени?
Алгоритъм за изчисляване на интеграли
- Намерете определения интеграл или не.
- Ако не е дефинирано, тогава трябва да намерите функцията за производна $ F(x) $ на интегранта $ f(x) $ с помощта на математически трансформации, които привеждат функцията $ f(x) $ в таблична форма.
- Ако е дефинирана, тогава трябва да се изпълни стъпка 2 и след това да се заменят границите на $a$ и $b$ в антипроизводната функция $F(x)$. По каква формула да направите това, ще научите в статията "Формулата на Нютон Лайбниц".
Примери за решения
И така, научихте как да решавате интеграли за манекени, примерите за решаване на интеграли са подредени по рафтовете. Научиха тяхното физическо и геометрично значение. Методите за решение ще бъдат обсъдени в други статии.
Неопределен интеграл.
Подробни примери за решения
В този урок ще започнем изучаването на темата Неопределен интеграл, а също така анализирайте подробно примери за решения на най-простите (и не съвсем) интеграли. В тази статия ще се огранича до минимум теория и сега нашата задача е да се научим как да решаваме интеграли.
Какво трябва да знаете, за да усвоите успешно материала? За да се справите с интегралното смятане, трябва да можете да намирате производни, поне на средно ниво. Ето защо, ако материалът бъде пуснат, препоръчвам ви първо да прочетете внимателно уроците. Как да намерим производната?И Производна на сложна функция. Няма да е излишен опит, ако зад гърба си имате няколко десетки (за предпочитане сто) независимо намерени производни. Най-малкото не трябва да се обърквате от задачи за разграничаване на най-простите и често срещани функции. Изглежда, какво общо имат производните, ако статията се фокусира върху интеграли?! И тук е работата. Факт е, че намирането на производни и намирането на неопределени интеграли (диференциране и интегриране) са две взаимно обратни действия, като събиране / изваждане или умножение / деление. По този начин, без умение (+ някакъв вид опит) за намиране на производни, за съжаление, човек не може да напредне по-нататък.
В тази връзка се нуждаем от следното учебни материали: Производна таблицаИ Таблица на интегралите. Помощните ръководства могат да се отварят, изтеглят или отпечатват на страницата Математически формули и таблици.
Каква е трудността при изучаването на неопределени интеграли? Ако в производните има строго 5 правила за диференциране, таблица с производни и доста ясен алгоритъм на действия, тогава в интегралите всичко е различно. Има десетки методи и техники за интегриране. И ако методът на интегриране първоначално е избран неправилно (т.е. не знаете как да го решите), тогава интегралът може буквално да бъде „убоден“ буквално дни, като истински ребус, опитвайки се да забележите различни триковеи трикове. Някои дори го харесват. Между другото, това не е шега, доста често съм чувал от студенти мнение като „Никога не съм имал интерес към решаването на границата или производната, но интегралите са съвсем различен въпрос, това е вълнуващо, винаги има желание да „разбием“ сложен интеграл.“ Спри се. Стига черен хумор, да преминем към тези много неопределени интеграли.
След като има много начини за решаване, тогава откъде един чайник започва да изучава неопределени интеграли? В интегралното смятане според мен има три стълба или нещо като "ос", около която се върти всичко останало. На първо място, трябва да имате добро разбиране на най-простите интеграли (тази статия). След това трябва да разработите подробно урока. ТОВА НАЙ-ВАЖНИЯТ ПРИЕМ! Може би дори най-важната статия от всички мои статии за интегралите. И трето, определено трябва да се запознаете с метода на интегриране по части, тъй като с него се интегрира обширен клас функции. Ако усвоите поне тези три урока, тогава вече има „не два“. Те могат да ви „простят“, че не знаете интегралите на тригонометрични функции, интеграли на дроби, интеграли на дробни рационални функции, интеграли на ирационални функции (корени), но ако „седнете в локва“ на метода на заместване или метода на интегриране по части, тогава ще бъде много, много лошо.
В Runet демотиваторите вече са много разпространени. В контекста на изучаването на интеграли, напротив, просто е необходимо МОТИВАТОР. Като в онзи виц за Василий Иванович, който мотивирал и Петка, и Анка. Уважаеми мързеливци, бездарници и други нормални студенти, не пропускайте да прочетете следното. Знания и умения в областта на неопределения интеграл ще се изискват при по-нататъшно обучение, по-специално при изучаване на определен интеграл, неправилни интеграли, диференциални уравнения през 2-ра година. Необходимостта от вземане на интеграла възниква дори в теорията на вероятностите! По този начин, без интеграли пътят към лятната сесия и 2-ри курс НАИСТИНА ЩЕ БЪДЕ ЗАТВОРЕН. Сериозен съм. Изводът е следният. Колкото повече интеграли от различни типове решите, толкова по-лесно ще бъде по-нататък животът.. Да, ще отнеме доста време, да, понякога не ви се иска, да, понякога „да, смокини с него, с този интеграл, може би няма да ви хванат“. Но следващата мисъл трябва да вдъхнови и стопли душата, вашите усилия ще се изплатят напълно! Ще разбивате диференциалните уравнения като орехи и лесно ще се справяте с интеграли, които ще срещнете в други раздели на висшата математика. След като се справите качествено с неопределения интеграл, ВИЕ ВСЪЩНОСТ ОВЛАДЯВАТЕ ОЩЕ НЯКОЛКО СЕКЦИИ ОТ КУЛАТА.
И така просто не можех да не творя интензивен курспо техниката на интегриране, която се оказа изненадващо кратка - желаещите могат да използват pdf-книгата и да се подготвят МНОГО бързо. Но материалите на сайта в никакъв случай не са по-лоши!
И така, нека започнем просто. Нека да разгледаме таблицата на интегралите. Както при производните, забелязваме няколко правила за интегриране и таблица с интеграли на някои елементарни функции. Лесно е да се види, че всеки табличен интеграл (и наистина всеки неопределен интеграл) има формата:
Нека да преминем направо към нотацията и термините:
- интегрална икона.
- функция интегранд (изписва се с буквата "s").
– диференциална икона. Когато пишете интеграла и по време на решението, е важно да не загубите тази икона. Ще има забележим недостатък.
е подинтегралната функция или "пълнеж" на интеграла.
– противопроизводна функция.
е набор от антипроизводни функции. Не е нужно да се натоварвате много с термини, най-важното е, че във всеки неопределен интеграл към отговора се добавя константа.
Да се реши интеграл означава да се намери определена функция, използвайки някои правила, техники и таблица.
Нека да разгледаме записа отново:
Нека да разгледаме таблицата на интегралите.
Какво се случва? Нашите леви части се обръщаткъм други функции: .
Нека опростим нашето определение.
Да решиш неопределен интеграл означава да го ПРЕВЪРНЕШ в определена функция, използвайки някои правила, техники и таблица.
Вземете например табличния интеграл . Какво стана? превърнат във функция.
Както в случая с производните, за да се научите как да намирате интеграли, не е необходимо да сте наясно с какво е интеграл, антипроизводната функция от теоретична гледна точка. Достатъчно е само да се извършат трансформации според някои формални правила. Така че, в случай изобщо не е необходимо да разбираме защо интегралът се превръща в точно. Въпреки че е възможно да приемете тази и други формули за даденост. Всеки използва електричество, но малко хора се замислят как електроните се движат по жиците.
Тъй като диференцирането и интегрирането са противоположни операции, тогава за всяко намерено антипроизводно вярно, вярно е следното:
С други думи, ако правилният отговор е диференциран, тогава оригиналният интегранд трябва задължително да бъде получен.
Нека се върнем към същия табличен интеграл .
Нека проверим валидността на тази формула. Вземаме производната на дясната страна:
е оригиналният интегранд.
Между другото, стана по-ясно защо константа винаги се присвоява на функция. При диференциране константата винаги се превръща в нула.
Решете неопределения интегралозначава да намериш няколко всичкоантипроизводни, а не някаква отделна функция. В разглеждания табличен пример, , , и т.н. - всички тези функции са решение на интеграла . Има безкрайно много решения, така че те пишат накратко:
По този начин всеки неопределен интеграл е доста лесен за проверка (за разлика от производните, където добра проверка на сто паунда може да се направи само с помощта на математически програми). Това е известна компенсация за голям бройинтеграли от различни видове.
Да преминем към конкретни примери. Нека започнем, както при изучаването на производната,
с две правила за интегриране, наричани още свойства на линейност
неопределен интеграл:
– постоянен множител може (и трябва) да бъде изваден от интегралния знак.
– интегралът от алгебричната сума на две функции е равен на алгебричната сума от два интеграла на всяка функция поотделно. Този имотвалидни за произволен брой условия.
Както можете да видите, правилата са основно същите като за дериватите.
Пример 1
Решение: По-удобно е да го пренапишете на хартия.
(1) Прилагане на правилото . Не забравяйте да запишете диференциалния знак под всеки интеграл. Защо под всеки? е пълен множител, ако рисувате решението много подробно, тогава първата стъпка трябва да бъде написана, както следва:
(2) Съгласно правилото , изваждаме всички константи от знаците на интегралите. Моля, имайте предвид, че в последния член е константа, ние също го изваждаме.
Освен това на тази стъпка подготвяме корените и степени за интегриране. По същия начин, както при диференцирането, корените трябва да бъдат представени във формуляра. Корени и степени, които се намират в знаменателя - преместване нагоре.
! Забележка: за разлика от производните, корените в интегралите не винаги трябва да се привеждат във формата, а степените трябва да се прехвърлят нагоре. Например, е готов табличен интеграл и всякакви китайски трикове като напълно ненужно. По същия начин: - също табличен интеграл, няма смисъл да се представя дроб във формата. Проучете внимателно таблицата!
(3) Всички интеграли са таблични. Извършваме трансформацията с помощта на таблицата, използвайки формулите: , И .
Обръщам специално внимание на интеграционната формула степенна функция , среща се много често, по-добре е да го запомните. Трябва да се отбележи, че табличният интеграл е специален случай на същата формула: .
Достатъчно е да добавите константата веднъж в края на израза (а не да ги поставяте след всеки интеграл).
(4) Записваме получения резултат в по-компактна форма, отново представяме всички степени на формата като корени, степените с отрицателен показател се връщат обратно към знаменателя.
Преглед. За да извършите проверката, е необходимо да разграничите получения отговор:
Първоначално интегрант, така че интегралът е намерен правилно. От това, което танцуваха, до това се върнаха. Знаете ли, много е хубаво, когато историята с интеграла свърши просто така.
От време на време има малко по-различен подход за проверка на неопределения интеграл, не производната, но диференциалът се взема от отговора:
Разбралите от първия семестър разбраха, но сега не ни интересуват теоретични тънкости, а важното е какво да правим с този диференциал. Трябва да се разкрие и от формална техническа гледна точка това е почти същото като намирането на производно. Разликата се разкрива по следния начин: премахваме иконата, поставяме черта вдясно над скобата, в края на израза приписваме множителя:
Получен оригинал интегрант, така че интегралът е намерен правилно.
Вторият начин за проверка ми харесва по-малко, тъй като трябва допълнително да начертая големи скоби и да плъзна диференциалната икона до края на проверката. Въпреки че е по-правилно или "по-солидно" или нещо подобно.
Всъщност, като цяло бих могъл да премълча за втория метод на проверка. Въпросът не е в метода, а в това, че сме се научили да отваряме диференциала. Отново.
Разликата се разкрива по следния начин:
1) премахнете иконата;
2) поставете черта вдясно над скобата (обозначението на производната);
3) в края на израза приписваме фактора .
Например:
Запомни това. Съвсем скоро ще имаме нужда от разглежданата техника.
Пример 2
Намерете неопределения интеграл. Пуснете проверка.
Когато намерим неопределен интеграл, ние ВИНАГИ се опитваме да проверимОсвен това има страхотна възможност за това. Не всички видове задачи във висшата математика са подарък от тази гледна точка. Без значение колко често контролни задачипроверка не се изисква, никой и нищо не пречи да се извърши на чернова. Изключение може да се направи само когато няма достатъчно време (например на тест, изпит). Лично аз винаги проверявам интегралите и считам липсата на проверка за хак и лошо изпълнена задача.
Пример 3
Намерете неопределения интеграл. Пуснете проверка.
Решение: Анализирайки интеграла, виждаме, че имаме произведение на две функции и дори повдигане на цял израз на степен. За съжаление в областта на интегралната битка няма добри и удобни формули за интегриране на произведението и частното , .
И следователно, когато е дадено произведение или частно, винаги има смисъл да видим дали е възможно интеграндът да се трансформира в сума?
Разгледаният пример е случаят, когато е възможно. Първо ще дам пълното решение, коментарите ще бъдат отдолу.
(1) Използваме добрата стара формула на квадрата на сумата, като се отървем от степента.
(2) Поставяме в скоби, отървавайки се от продукта.
Пример 4
Намерете неопределения интеграл. Пуснете проверка.
Това е пример за самостоятелно решаване. Отговор и пълно решение в края на урока.
Пример 5
Намерете неопределения интеграл. Пуснете проверка.
IN този примеринтегрантът е дроб. Когато видим дроб в интегранта, първата мисъл трябва да бъде въпросът: Възможно ли е по някакъв начин да се отървем от тази дроб или поне да я опростим?
Забелязваме, че знаменателят съдържа самотен корен от "x". Един в полето не е воин, което означава, че можете да разделите числителя на знаменателя термин по член:
Не коментирам действия с дробни степени, тъй като те са били многократно обсъждани в статии за производната на функция. Ако все още сте объркани от такъв пример и не можете да получите правилния отговор по никакъв начин, тогава препоръчвам да се обърнете към училищните учебници. Във висшата математика дробите и операциите с тях се срещат на всяка крачка.
Също така имайте предвид, че решението пропуска една стъпка, а именно прилагане на правилата , . Обикновено, дори и с първоначалния опит в решаването на интеграли, тези свойства се приемат за даденост и не се описват подробно.
Пример 6
Намерете неопределения интеграл. Пуснете проверка.
Това е пример за самостоятелно решаване. Отговор и пълно решение в края на урока.
В общия случай с дроби в интеграли не всичко е толкова просто, допълнителен материалотносно интегрирането на дроби от някои видове можете да намерите в статията Интегриране на някои дроби.
! Но преди да преминете към горната статия, трябва да прочетете урока. Метод на заместване в неопределен интеграл. Факт е, че сумирането на функция при диференциален или метод за промяна на променлива е ключова точка в изучаването на темата, тъй като се намира не само в "чисти задания за метода на заместване", но и в много други разновидности на интеграли.
Бих искал да включа още няколко примера този урок, но сега седя, пиша този текст на Verde и забелязвам, че статията вече е нараснала до приличен размер.
И така, уводният курс на интегралите за манекени приключи.
Пожелавам ти успех!
Решения и отговори:
Пример 2: Решение:
Пример 4: Решение:
В този пример използвахме формулата за намалено умножение
Пример 6: Решение:
Проверих, а вие? ;)