Облицовка на самолета. Паркети - многоъгълна равнинна мозайка
Защо някои човешки органи идват по двойки (например бели дробове, бъбреци), докато други идват в едно копие?
Каустиците са повсеместни оптични повърхности и криви, създадени от отражението и пречупването на светлината. Каустиците могат да бъдат описани като линии или повърхности, по които се концентрират светлинните лъчи.
Шабат Г.Б.
Сега знаем приблизително толкова за структурата на Вселената, колкото древните хора са знаели за повърхността на Земята. По-точно, знаем, че малката част от Вселената, достъпна за нашите наблюдения, е структурирана по същия начин като малка част от триизмерното евклидово пространство. С други думи, ние живеем на триизмерно многообразие (3-многообразие).
Виктор Лаврус
Човек различава предметите около себе си по тяхната форма. Интересът към формата на даден обект може да бъде продиктуван от жизнена необходимост или може да бъде причинен от красотата на формата. Формата, която се основава на комбинация от симетрия и златно сечение, допринася най-добре визуално възприеманеи възникване на усещане за красота и хармония. Цялото винаги се състои от части, в които има части с различни размери по определен начинедин към друг и към цялото. Принципът на златното сечение - най-висше проявлениеструктурно и функционално съвършенство на цялото и неговите части в изкуството, науката, техниката и природата.
Документалният филм "Измерения" е два часа математика, която постепенно ви пренася в четвъртото измерение.
Сергей Стафеев
Най-значимата задача на древните хора е била ориентацията в пространството и времето. За тази цел от незапомнени времена човечеството е издигнало множество мегалитни съоръжения – кромлехи, дромоси, долмени и менхири. Изобретени са невероятно гениални устройства, които позволяват да се брои времето с точност до минути или да се визуализират посоки с грешка не повече от половин градус. Ще покажем как на всички континенти хората създаваха капани за слънчевите лъчи, строяха храмове, сякаш „нанизани“ на астрономически дирекции, прокопаваха наклонени тунели за наблюдение на звездите през деня или издигаха обелиски на гномони. Невероятно, но нашите далечни предци например са успели да проследят не само слънчевите или лунните сенки, но дори и сянката на Венера.
За да изследват и опишат обема, хората използват метода за проектиране на обемно тяло върху равнина. Изглежда нещо подобно:
Знаейки как изглеждат проекциите, можете да разпознаете, изследвате и конструирате истински триизмерен обект.
Това е изследователски метод, често срещан в класическата кристалография. Изследователите първо изучават една проекция или равнина, като я „настилат“ с изчислени елементи плътно като паркет и в същото време изучават симетрията и други характеристики в павираната равнина.
Тогава целият триизмерен обем се запълва с тези плоскости, точно както книгите запълват кубична опаковъчна кутия. Този метод се нарича метод на подреждане.
Интересът към облицовката възниква във връзка с изграждането на мозайки, орнаменти и други модели, базирани на правилни полиедри: триъгълници, квадрати и хексаедри.
Никога не е било възможно да се облицова самолет от правилен петоъгълник или петоъгълник. Оставя празнини — незапълнени пукнатини. И затова в класическата кристалография петоъгълната симетрия се счита за забранена и до днес.
И най-накрая такъв метод беше намерен.
През 1976 г. английският математик Роджър Пенроуз, активно работещ в различни области на математиката, общата теория на относителността и квантовата теория, дава математическо описание на „мозайката на Пенроуз“, наречена на негово име.
Тя направи възможно само с помощта на две плочки с много проста форма да се павира безкрайна равнина с неповтарящ се модел.
За да разберем математическата същност на „диамантите на Пенроуз“, нека се обърнем към пентаграмата.
В най-простата си форма „плочките на Пенроуз“ са набор от два вида диамантени форми, някои с вътрешен ъгъл 36°, други с вътрешен ъгъл 72°. Всеки се състои от два триъгълника, които запълват съответния модел на пентаграма.
Съотношенията на елементите на пентаграмата напълно отразяват златната пропорция на Фибоначи. Основата му е ирационалното число = 1,6180339...
Идеята на Пенроуз за плътно запълване на равнина с помощта на „златни“ ромби се трансформира в триизмерно пространство.
В този случай ролята на "ромби на Пенроуз" в новите пространствени структури могат да играят икосаедри и додекаедри.
Това беше красива находка, само едно от многото изобретения на яркия и упорит ум на Роджър Пенроуз, който е очарован от пространствените парадокси. Тук присъства безупречното му разбиране на златното сечение на Фибоначи, което доближава изследванията му до изкуството.
И именно това послужи като основа за по-нататъшни изследвания и откриването на квазикристали в химическите лаборатории и ново, по-креативно разбиране на триизмерното пространство, както за науката, така и за изкуството.
Един от поразителните примери за творческо изследване, който привлече вниманието ми, беше младата словенска художничка Матюшка Тея Крашек.
Получава бакалавърска степен по живопис от Колежа по визуални изкуства (Любляна, Словения). Нейната теоретична и практическа работа се фокусира върху симетрията като мост между изкуството и науката.
Нейни произведения са представяни на много международни изложби и са публикувани в международни списания .
М.Т. Крашек на неговата изложба „Калейдоскопични аромати“, Любляна, 2005 г
Художественото творчество на майка Тея Крашек е свързано с различни видове симетрия, плочки и ромби на Пенроуз, квазикристали, златното сечение като основен елемент на симетрията, числата на Фибоначи и др.
С помощта на рефлексия, въображение и интуиция, то се опитва да намери нови отношения, нови нива на структура, нови и различни видове ред в тези елементи и структури.
В своята работа тя широко използва компютърната графика като много полезен инструмент за създаване на произведения на изкуството, което е връзката между науката, математиката и изкуството.
Ако изберем едно от числата на Фибоначи (например 21 см) за дължина на страната на диаманта Пенроуз в тази осезаемо нестабилна композиция, можем да наблюдаваме как дължините на някои от сегментите в композицията образуват редица на Фибоначи.
Голям брой от художествените композиции на художника са посветени на квазикристалите на Шехтман и решетките на Пенроуз.
В тези удивителни композиции могат да се наблюдават прояви на кръгова симетрия в отношенията между ромбовете на Пенроуз:
Всеки два съседни диаманта на Пенроуз образуват петоъгълна звезда. Можете да видите Декагона, образуван от ръбовете на 10 съседни ромба на Пенроуз, създавайки нов правилен полиедър.
И в последната картина има безкрайно взаимодействие на ромби на Пенроуз - пентаграми, петоъгълници, намаляващи към централната точка на композицията. Съотношенията на златното сечение са представени по много различни начини в различни мащаби.
Художествените композиции на майка Тея Крашек привлякоха голямо внимание от представители на науката и изкуството.
Мозайката на Penrose е чудесен пример за това как една красива конструкция, разположена на пресечната точка на различни дисциплини, задължително намира своето приложение.
Ще говорим за облицовката на самолета. Теселацията е покриване на цяла равнина с неприпокриващи се форми. Вероятно интересът към настилката е възникнал за първи път във връзка с изграждането на мозайки, орнаменти и други модели. Има много известни орнаменти, съставени от повтарящи се мотиви. Едно от най-простите плочки е показано на фигура 1.
Равнината е покрита с успоредници и всички успоредници са еднакви. Всеки успоредник от това подреждане може да се получи от розовия успоредник чрез преместване на последния с вектор (векторите и се определят от ръбовете на избрания успоредник, n и m са цели числа). Трябва да се отбележи, че цялото подреждане като цяло се трансформира в себе си, когато се измести от вектор (или). Това свойство може да се приеме като дефиниция: а именно, периодично подреждане с периоди е подреждане, което се трансформира в себе си, когато се измести от вектор и от вектор. Периодичните облицовки могат да бъдат доста сложни, някои от тях са много красиви.
Квазипериодични подреждания на равнината
Има интересни и непериодични теселации на равнината. През 1974г Английският математик Роджър Пенроуз открива квазипериодичните подреждания на равнината. Свойства на тези облицовки естественообобщават свойствата на периодичните. Пример за такова подреждане е показано на фигура 2.
Цялата равнина е покрита с ромби. Между диамантите няма празнини. Всяка ромбовидна мозайка може да бъде получена само с две мозайки, използвайки отмествания и завъртания. Това е тесен ромб (36 0, 144 0) и широк ромб (72 0, 108 0), показани на фигура 3. Дължината на страните на всеки от ромбовете е 1. Това подреждане не е периодично - очевидно не се трансформира в себе си при никакви смени. Въпреки това, той има някои важни свойства, които го доближават до периодичните подреждания и го принуждават да бъде наречен квазипериодичен. Въпросът е, че всяка крайна част от квазипериодично подреждане се появява безброй пъти в цялото подреждане. Това подреждане има ос на симетрия от порядък 5, докато такива оси не съществуват за периодични подреждания.
Друго квазипериодично подреждане на равнината, конструирано от Пенроуз, е показано на фигура 4. Цялата равнина е покрита с четири полигона от специален тип. Това е звезда, ромб, правилен петоъгълник.
А) Преобразуване на инфлация и дефлация
Всеки от трите примера за квазипериодично подреждане, показани по-горе, е покритие на равнина, използващо транслации и ротации на краен брой фигури. Това покритие не се трансформира в себе си при никакви смени; всяка крайна част от покритието се среща в цялото покритие безброй пъти, освен това еднакво често в цялата равнина. Описаните по-горе подслойки имат някои специални свойства, които Пенроуз нарече инфлация. Изучаването на това свойство ни позволява да разберем структурата на тези покрития. Освен това инфлацията може да се използва за конструиране на модели на Пенроуз. Инфлацията може да бъде най-ясно илюстрирана с помощта на примера на триъгълниците на Робинзон. Триъгълниците на Робинзон са два равнобедрени триъгълника P, Q с ъгли (36 0, 72 0, 72 0) и (108 0, 36 0, 36 0) съответно и дължини на страните, както е на фигура 6. Тук φ е златното сечение:
Тези триъгълници могат да бъдат нарязани на по-малки, така че всеки от новите (по-малки) триъгълници да е подобен на един от оригиналните. Разрязването е показано на фигура 7: правата ac е ъглополовящата на ъгъла dab, а отсечките ae, ab и ac са равни. Лесно се вижда, че триъгълник acb и ace са еднакви и подобни на триъгълник P, а триъгълник cde е подобен на триъгълник Q. Триъгълник Q се разрязва по този начин. Дължината на отсечката gh е равна на дължината на отсечката ih (и е равна на 1). Триъгълникът igh е подобен на триъгълник P, а триъгълникът igf е подобен на триъгълник Q. Линейните размери на новите триъгълници са t пъти по-малки от тези на оригиналните. Това рязане се нарича дефлация.
Обратната трансформация - слепването - се нарича инфлация.
Фигурата ни показва, че от два P - триъгълника и един Q - триъгълник можем да слепим P - триъгълник, а от P и Q триъгълник можем да слепим Q триъгълник. За нови (слепени) триъгълници линейни размери t пъти по-големи от оригиналните триъгълници.
И така, въведохме концепцията за трансформации на инфлация и дефлация. Ясно е, че трансформацията на инфлацията може да се повтори; това ще доведе до двойка триъгълници, чиито размери са t 2 пъти по-големи от първоначалните. Чрез последователно прилагане на инфлационни трансформации можете да получите произволно двойка триъгълници голям размер. По този начин можете да асфалтирате цялата равнина.
Може да се покаже, че описаното по-горе подреждане с триъгълници на Робинзон не е периодично
Доказателство
Нека очертаем доказателството за това твърдение. Нека да поспорим от противоречие. Да предположим, че подреждането на равнината с триъгълници на Робинзон е периодично с периоди u и w. Нека покрием равнината с мрежа от успоредници със страни u, w. Нека означим с p броя на P - триъгълниците, чийто долен ляв връх (спрямо нашата мрежа) се намира в защрихнат успоредник; Нека дефинираме числото q по подобен начин. (Избраните p+q триъгълници образуват така наречената фундаментална област на дадено периодично подреждане.) Помислете за кръг с радиус R с център O. Нека означим с PR (всъщност QR) броя на P-триъгълниците (съответно Q- триъгълници), разположени вътре в този кръг.
Нека докажем това
1) Действително, броят на триъгълниците, пресичащи окръжност с радиус R, е пропорционален на R, докато броят на триъгълниците вътре в окръжност с радиус R е пропорционален на R2. Следователно, в ограничението съотношението на броя на P - триъгълниците към броя на Q - триъгълниците в кръг е равно на това съотношение във фундаменталната област.
Нека сега вземем нашата теселация и извършим дефлационни трансформации. Тогава в първоначалната фундаментална област ще има p´ = 2p + q по-малки P - триъгълници и q´ = p + q по-малки Q - триъгълници. Нека означим с pґR и qґR броя на по-малките триъгълници в кръг с радиус R. Сега е лесно да се получи противоречие. Наистина,
= = = = (правилото на L'Hopital)
Откъде, решаване на уравнението
p/q=(2p+q)/(p+q),
докато p и q са цели числа! Противоречието показва, че подреждането с триъгълници на Робинзон не е периодично.
Оказва се, че това покритие от триъгълници на Робинзон не е единственото. Има безкрайно много различни квазипериодични покрития на равнината с триъгълници на Робинзон. Грубо казано, причината за това явление се крие във факта, че по време на дефлация ъглополовящата на Фигура 7 може да бъде начертана от връх b, а не от връх a. Използвайки този произвол, е възможно да се постигне, например, че покритието с триъгълници се превръща в покритие от триъгълници с ромби
Б) Трансформация на дуалността
Методът за конструиране на квазипериодични подложки, даден по-горе, изглежда като предположение. Има обаче редовен начин за конструиране на квазипериодични покрития. Това е метод на двойствена трансформация, чиято идея принадлежи на холандския математик де Браун.
Нека обясним този метод, като използваме примера за конструиране на замяната на равнина с ромби (виж фиг. 3). Първо, нека изградим мрежа G. За да направите това, вземете правилен петоъгълник и номерирайте страните му (j = 1,2,3,4,5; фиг. 10). Нека погледнем страната с номер j. Нека построим безкраен набор от прави, успоредни на тази страна, така че разстоянието между двете най-близки прави да е равно на 1.
Нека извършим подобна конструкция за всяка от страните на петоъгълника; Ще начертаем прави линии така, че да се пресичат само по двойки. Резултатът е набор от прави, които не са периодични (фиг. 9).Ливите в този набор ще бъдат обозначени с буквите l. Нека преномерираме редовете с два индекса: l j (n). Тук j показва посоката на линията (на коя страна на петоъгълника е успоредна). Цялото число n номерира различни успоредни линии, минава през всички цели числа (както положителни, така и отрицателни). Този набор от линии разделя равнината на безкраен набор от многоъгълници. Тези полигони се наричат мрежести лица. Ще наричаме страните на полигоните ръбове на мрежата, а върховете на полигоните върхове на мрежата. (По подобен начин за квазипериодично покритие Q: ромбовете са лица на Q, страните на ромбовете са ръбове на Q, върховете на ромбовете са върхове на Q)
По този начин се изгражда мрежата G . Нека сега извършим трансформацията на дуалността. Всяко лице на мрежата G е сравнимо с връх на квазипериодично покритие Q (върхът на ромб). Означаваме върховете с букви (това са вектори). Първо, ние свързваме всяко лице M на мрежата с пет цели числа n j = (M), j - 1,2, ....5 съгласно следното правило. Вътрешните точки на M лежат между права l j (n) и успоредна на нея права l j (n+1).
Това цяло число n ще съпоставим с лицата на M. Тъй като мрежата има прави линии в пет посоки, тогава по този начин ще съпоставим пет цели числа n j (M) от всяко M на мрежата G. Върхът на квазипериодичното покритие Q, съответстващ на дадено лице M на мрежата G, се конструира, както следва:
(M) = n 1 (M) + + … +
Ето вектор с единична дължина, насочен от центъра на правилен петоъгълник към средата на страната номер j. Така свързахме покриващ връх с всяко лице на мрежата. По този начин можем да конструираме всички върхове на Q.
Сега нека свържем някои върхове с прави сегменти. Това ще бъдат ръбовете на покритието Q (страните на ромбовете). За да направите това, разгледайте двойка лица M1 и M2, които имат общ ръб. Ще свържем върховете на покритието, съответстващи на тези лица и с сегменти.
Тогава се оказва, че разликата
Може би равно на само един от десет вектора.
По този начин, всеки ръб на мрежата е свързан с покривна повърхност Q. Всеки връх на мрежата е свързан с покривна повърхност Q (ромб).В действителност, всеки връх на мрежата е съседен на четири лица M R (R = 1,2,3,4). Нека разгледаме съответстващите им четири покриващи върха (M R). От свойството на разликата (2) следва, че ръбовете на покритието, минаващи през тези върхове, образуват границата на ромба. Построено е квазипериодично покритие на равнината с ромби.
Ние илюстрирахме метода на двойствената трансформация. Това общ методконструиране на метод на квазипериодичните покрития. В тази конструкция правилният петоъгълник може да бъде заменен с всеки правилен многоъгълник. Резултатът ще бъде ново квазипериодично покритие. Методът на двойствената трансформация е приложим и за конструиране на квазипериодични структури в пространството.
Б) Квазипериодично запълване на тримерното пространство
Има триизмерно обобщение на моделите на Пенроуз. Триизмерното пространство може да бъде запълнено с паралелепипеди от специален тип. Паралелепипедите нямат общи вътрешни точки и между тях няма празнини. Всеки паралелепипед от този пълнеж може да бъде получен само от два паралелепипеда чрез изместване и завъртане. Това са така наречените паралелепипеди Аман-Макай. За да се дефинира паралелепипед, е достатъчно да се зададат три ръба, излизащи от един връх. За първия паралелепипед на Аман-Макай тези вектори имат формата:
= (0; 1; φ), = (-φ; 0; -1)
И за втория паралелепипед:
= (0; -1;f), = (f; 0;1), = (0;1; f)
Пълнежът с тези паралелепипеди не се трансформира в себе си при никакви смени, но всяка крайна част от него се появява в целия пълнеж безброй пъти. Запълването на пространството с тези паралелепипеди е свързано със симетриите на икосаедъра. Икосаедърът е Платоново тяло. Всяко негово лице е правилен триъгълник. Икосаедърът има 12 върха, 20 лица и 30 ръба
Приложение
Оказа се, че бързо охладената алуминиево-манганова стопилка (открита през 1984 г.) има точно тези симетрии.Така моделите на Пенроуз помогнаха да се разбере структурата на новооткритата субстанция. И не само това вещество, открити са и други реални квазикристали, чието експериментално и теоретично изследване е в челните редици на съвременната наука.
Лесно е да павирате равнината с паркет, направен от правилни триъгълници, квадрати или шестоъгълници (под облицовкаРазбираме тази подредба, при която върховете на всяка фигура се прилагат само към върховете на съседни фигури и няма ситуация, когато връх се прилага отстрани). Примери за такива облицовки са показани на фиг. 1.
Няма друго правилно н-няма да е възможно да се покрие равнина с ъгли без пропуски и припокривания. Ето как да го обясним. Както е известно, сумата от вътрешните ъгли на всеки н-gon е равно на ( н– 2) 180°. Защото всички ъгли са прави н-gons са идентични, тогава градусната мярка на всеки ъгъл е . Ако равнината може да бъде покрита с такива фигури, тогава във всеки връх тя се събира кмногоъгълници (за някои к). Сумата от ъглите в този връх трябва да бъде 360°, следователно . След няколко прости трансформации това равенство се превръща в следното: . Но, както е лесно да се провери, последното уравнение има само три двойки решения, ако приемем това нИ к цели числа: к = 3, н = 6; к = 4, н= 4 или к = 6, н= 3. Тези двойки числа отговарят точно на показаните на фиг. 1 облицовка.
Какви други полигони могат да се използват за подреждане на равнина без празнини или припокривания?
Задача
а) Докажете, че всеки триъгълник може да се използва за плочка на равнина.
b) Докажете, че всеки четириъгълник (както изпъкнал, така и неизпъкнал) може да се използва за подреждане на равнина.
в) Дайте пример за петоъгълник, който може да се използва за плочки на равнина.
г) Дайте пример за шестоъгълник, който не може да се използва за облицовка на равнина.
д) Дайте пример н-квадрат за всякакви н> 6, които могат да се използват за асфалтиране на самолета.
Подсказка 1
В точки a), c), e) можете да опитате да направите „ивици“ от еднакви фигури, които след това лесно да се използват за павиране на цялата равнина.
Стъпка b): Сгънете два еднакви четириъгълника в шестоъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. Много лесно е да облицовате самолет с тези шестоъгълници.
Точка d): използвайте факта, че сборът от ъглите във всеки връх трябва да бъде равен на 360°.
Подсказка 2
В точка д) можете да опитате да действате по различен начин: леко променете съществуващите фигури, така че да се получат нови теселации.
Решение
Примерни отговори са показани на снимките.
в) Петоъгълник във формата на къща ще направи:
г) Няма да е възможно да се павира равнина с такива шестоъгълници: просто нито една част от такъв шестоъгълник няма да се побере напълно в „изрязания“ ъгъл. Това ясно се вижда в клетките:
Можете да измислите много други шестоъгълници, които не могат да се използват за облицоване на равнина.
д) Ето пример за дванадесетоъгълник, който може да се използва за подреждане на равнина. Този метод на облицовка е получен като модификация на обичайната квадратна решетка (виж Фиг. 1, iiот условието):
Послеслов
Проблемът за облицоване на равнина с еднакви фигури без пропуски или припокривания е известен от древни времена. Един от частните му случаи е въпросът какви могат да бъдат паркети (тоест облицовка на плоскост правилни многоъгълници, и не непременно еднакви) и по-специално правилни паркети. Правилният паркет има следното свойство: с помощта на паралелни трансфери (премествания без завъртания), които прехвърлят паркета в себе си, можете да комбинирате предварително избран възел с всеки друг паркетен възел. На фиг. 1 от условията показва точно подходящия паркет.
Не е много трудно да се докаже, че има само 11 различни видовеправилни паркети (виж Списък на еднообразните облицовки). Това се доказва приблизително по същия начин, както доказахме в постановката на задачата, че има само три вида паркет от еднакви правилни многоъгълници - градусните мерки на ъглите на всеки правилен многоъгълник са известни, просто трябва да ги изберете така, че total е 360° и това се прави просто чрез малко изброяване на опции. Има много древни мозайки, базирани на тези паркети.
Мозайките от глина, камък и стъкло (и паркетите от дърво и плочки) са най-известното и разбираемо приложение на тази теория в живота. Много от нас могат да се уверят в това, като влязат в нашата кухня или баня. Бъдещите дизайнери специално изучават математическите паркети, защото те и техните вариации често се използват в архитектурата и декорацията.
Теселациите се срещат и в природата. В допълнение към добре познатите пчелни пити, най-ярките примери са геоложките образувания на нос Столбчати (остров Кунашир, големият хребет на Курилските острови) и „Пътят на великаните“ в Северна Ирландия.
Обобщение на нашия проблем - подреждането на пространството - съвременен важен клон на кристалографията, играещ важна роляв интегралната оптика и лазерната физика.
Колкото и да е странно, до сравнително скорошни времена бяха известни само периодични теселации (които са напълно съвместими със себе си след известно преместване и неговите повторения). Въпреки това, през 1974 г. английският учен Роджър Пенроуз излезе с непериодични подложки, които сега се наричат подложки на Пенроуз след него. По-късно (през 1984 г.) подобни непериодични структури са открити в
Общинско учебно заведение
"Средно училище № 28."
Облицовка на равнина в космоса.
Резюме на изследването
Математика
Ученици от 10 клас
Комарчева Анна
Ръководител:
учител по математика Овсянкина О.А.
Митищи
Въведение……………………………………………………………………………………3
Дефиниция на плоскостно облицоване………………………………………………..4
Историята на появата на облицовката………………………………………………………………..5
Паркети…………………………………………………………………………………...7
Непериодично подреждане от Х. Фодерберг………………………………...10
Най-простата облицовка………………………………………………………….11
Мозайка от Роджър Пенроуз………………………………………………………………..12
Свойства на мозайката на Пенроуз………………………………………………………………..13
Сензационно откритие………………………………………………………….14
Квазикристали…………………………………………………………………….17
Структура на квазикристалите……………………………………………………….19
Свойства на квазикристалите……………………………………………………….21
Фулерени и квазикристали……………………………………………………………...24
Морис Ешер……………………………………………………………………...26
Средновековни орнаменти………………………………………………………28
Структура на гирихите………………………………………………………………..31
Заключение…………………………………………………………………………………..34
Въведение
Уместността на резюмето се крие във факта, че плоскостното облицоване се изучава активно в кристалната физика, геометрията и се среща и в ежедневието.
Дори древните художници създават невероятни геометрични модели. За да създадат своите модели, те не са използвали прости, произволно измислени контури, а фигури, които са подредени в определен ред. И най-удивителното е, че по-късно хората ги срещнаха отново. Древните модели не са нищо повече от това, което векове по-късно ще бъде наречено решетка на Пенроуз и намерено в структурата на квазикристалите!
А известният холандски художник Морис Ешер (1898-1972), създал прочути гравюри и мозайки и никога не разбирал от математика, заявява: „Всички мои творби са игри. Сериозни игри." В тези игри обаче математиците от цял свят от няколко десетилетия търсят абсолютно сериозни материални доказателства за идеи, създадени с помощта на изключително математически апарат.
Най-сериозно внимание на проблема за подреждането на равнината в космоса започна да се обръща през последните петдесет години, след открития във физиката на кристалите - твърди метални сплави. В кристалографията ротационната симетрия от 5-ти ред е най-ефективно представена в растителния свят и в най-простите живи организми, по-специално в някои видове вируси и в някои морски обитатели.
Дефиниране на равнинна теселация
Теселацията е покриване на цяла равнина с неприпокриващи се форми.
Облицовка - преграждане самолетили интервал върху фигурибез общи вътрешни точки или покриващи цялата равнина с неприпокриващи се форми.
Облицовката на равнина може да бъде представена като набор от фигури, залепени заедно по границите. Един от най-простите примери е така нареченото шестоъгълно облицоване, когато една равнина, подобно на пчелна пита, се състои от шестоъгълници, свързани отстрани. Подреждането се нарича периодично, ако при изместване от определен вектор се трансформира в себе си. В хексагоналния случай това е например вектор, свързващ центровете на съседни шестоъгълни клетки.
Историята на облицовката
Вероятно интересът към настилката е възникнал за първи път във връзка с изграждането на мозайки, орнаменти и други модели. Има много известни орнаменти, съставени от повтарящи се мотиви.
Още питагорейците са знаели, че има само три вида правилни многоъгълници, с които една равнина може да бъде изцяло облицована без пропуски или застъпвания - триъгълник, квадрат и шестоъгълник.
Математическият проблем за непериодично подреждане на равнина съществува от около половин век. Най-известното решение на този проблем е Мозайка Пенроуз, който се появява през седемдесетте години на миналия век и който използва само две различни фигури.
А първият набор от плочки, състоящ се от 20 426 фигури, е представен през 1966 г. от математика Робърт Бергер. След известно време обаче той успя да намали броя на необходимите плочки до 104.
За автора на въпросната творба една фигура беше достатъчна, за да реши задачата - правилен шестоъгълник. При полагане на такива плочки черните линии не трябва да се прекъсват, а флагчетата по върховете на шестоъгълниците, които са разположени на разстояние, равно на дължината на едната страна на плочката (на фигурата е отбелязано със стрелки), трябва да изглеждат в същата посока.
Паркети
Във всяка от теселациите, които използват квадрат, правилен триъгълник и правилен шестоъгълник, всеки два многоъгълника или имат обща страна, само общ връх, или изобщо нямат общи точки. Теселациите на равнината с полигони, които отговарят на това изискване, се наричат паркетини.
Съвсем лесно е да се уверите, че няма друг правилен многоъгълник, който да образува паркета. И тук ни трябва формулата за сумата от ъглите на многоъгълник.
Ако паркетът е от н-gons, тогава във всеки връх на паркета ще има конвергенция к= 360°/ а н полигони, където н- правилен ъгъл н-гон. Лесно е да го намерите а 3 = 60°, а 4 = 90°, а 5 = 108°, а 6 = 120° и 120° а нП > 7. Следователно 360° се дели на а нсамо когато П = 3; 4; 6.
Паркетите, направени от правилни многоъгълници, сами по себе си са правилни в смисъл, че са „еднакво структурирани“ спрямо всичките им върхове и всички многоъгълни части, които изграждат паркета. (Тези парчета се наричат повърхности на плочки или просто плочки.) С други думи, за всеки два върха на обикновен паркет, може да се определи неговото самоподравняване, така че единият от върховете да пада върху другия. Същото важи и за всеки два паркета.
Можете да изисквате паркетът да е правилен само във върховете, но да разрешите използването на различни видове правилни многоъгълници. След това към първоначалните три ще бъдат добавени още осем паркета.
Друго обобщение също се разглежда - паркети, направени от копия на произволен многоъгълник, правилни "по ръбовете" (т.е. позволяващи самоподравнявания, които трансформират всяка дадена плочка във всяка друга). Броят на тези паркети е 46, включително първите три. Многоъгълниците, които могат да бъдат плочки в тези паркети се наричат планигони. Ясно е, че една равнина може да бъде очертана с копия на произволен триъгълник, но е по-малко очевидно, че произволен четириъгълник е планигон. Същото важи за всеки шестоъгълник, чиито противоположни страни са равни и успоредни. |
|
Всички разгледани по-горе паркети са периодични, тоест във всеки от тях е възможно да се избере (и дори по много начини) зона, съставена от няколко плочки, от които чрез паралелни смени се получава целият паркет. Интересът на учените към такива структури се обяснява с факта, че периодичните подреждания, особено пространствените подреждания, моделират кристални структури. Непериодично подреждане от Х. Фодерберг Има и непериодични теселации, например много красива спирална мозайка на равнината с шестоъгълници, изобретена през 1936 г. от немския математик Х. Фодерберг. Въпреки това, като комбинирате тези плочки по двойки в централно симетрични осмоъгълници, можете периодично да облицовате равнината с тях. Дълго време се предполагаше, че няма плочки или дори комплекти от няколко различни плочки, чиито копия могат да покриват една равнина само непериодично. Въпреки това, в средата на 60-те години. ХХ век тази хипотеза беше опровергана, което изискваше набор от повече от 20 000 различни видовеплочки Стъпка по стъпка броят на плочките беше намален и накрая, десет години по-късно, английският математик Роджър Пенроуз успя да се справи само с две много прости фигури. |
Най-простата облицовка
Едно от най-простите облицовки може да бъде описано по следния начин. Равнината е покрита с успоредници и всички успоредници са еднакви. Всеки успоредник на това подреждане може да бъде получен от оригиналния успоредник чрез изместването му с вектора nU ± mV (векторите U и V се определят от ръбовете на избрания успоредник, n и m са цели числа). Трябва да се отбележи, че цялото подреждане като цяло се трансформира в себе си, когато се измести от вектора U (или V). Това свойство може да се приеме като дефиниция: а именно, периодично подреждане с периоди U и V е подреждане, което се трансформира в себе си, когато се измести от вектор U и вектор V.
Мозайка от Роджър Пенроуз
Дълго време се предполагаше, че няма плочки или дори комплекти от няколко различни плочки, чиито копия могат да покриват една равнина само непериодично. Въпреки това, в средата на 60-те години. През 20 век тази хипотеза е опровергана, което изисква набор от повече от 20 000 различни вида плочки. Стъпка по стъпка броят на плочките беше намален и накрая, десет години по-късно, английският математик Роджър Пенроуз успя да се справи само с две много прости фигури.
Английският математик Роджър Пенроуз измисли такова нещо през 1973 г. - специална мозайка от геометрични форми. Съответно тя стана известна като мозайката на Пенроуз. Какво му е толкова специфичното? Мозайката на Penrose е модел, сглобен от многоъгълни плочки с две специфични форми (малко различни ромби). Те могат да проправят безкрайна равнина без пропуски.
Полученото изображение изглежда като някакъв "ритмичен" орнамент - картина с транслационна симетрия. Този тип симетрия означава, че можете да изберете конкретно парче в шаблон, който може да бъде „копиран“ в равнина, и след това да комбинирате тези „дубликати“ един с друг чрез паралелен трансфер (с други думи, без ротация и без уголемяване).
Въпреки това, ако се вгледате внимателно, можете да видите, че моделът на Пенроуз няма такива повтарящи се структури - той е апериодичен. Но въпросът не е оптична илюзия, а фактът, че мозайката не е хаотична: тя има ротационна симетрия от пети ред. Това означава, че изображението може да се завърти на минимален ъгъл от 360/ нстепени, където н– ред на симетрия, в този случай н= 5. Следователно ъгълът на завъртане, който не променя нищо, трябва да бъде кратен на 360 / 5 = 72 градуса.
Мозайката Penrose има следните свойства:
1. Съотношението на броя на тънките ромби към броя на дебелите винаги е равно на така нареченото „златно” число 1,618...
2. Не се трансформира в себе си при никакви смени, т.е. не периодично
3.Има ротационна симетрия от пети ред. Ъгълът на завъртане е кратен на 360° / 5 = 72. Получените модели имат квазикристаленформа, която има аксиална симетрия 5-ти ред. Структурата на мозайката е свързана с Ред на Фибоначи.
Сензационно откритие
За около десетилетие фантастиката на Роджър Пенроуз не се смяташе за нищо повече от симпатична математическа абстракция.
По-късно учени от САЩ и Израел - Д. Шехтман, И. Блех, Д. Гратиас и Дж. Кан - направиха сензационно откритие, като откриха непериодичната структура на бързо охладена сплав от манган и алуминий. Преди това се смяташе, че кристалите имат аксиална симетрия само от 1-ви, 2-ри, 3-ти, 4-ти и 6-ти ред. С други думи, кристалите с аксиална симетрия от 5-ти ред са в състояние на плавен преход между аморфни тела и периодични кристали.
Предишните идеи, които съществуваха във физиката на твърдото тяло, изключваха тази възможност: структурата на дифракционната картина има симетрия от пети ред.
Неговите части не могат да се комбинират чрез паралелен трансфер, което означава, че той изобщо не е кристал. Но дифракцията е характерна за кристална решетка!
Как можем да сме тук? Въпросът не е лесен, затова учените се съгласиха, че този вариант ще се нарича квазикристали - нещо подобно специално условиевещества. Така математическото любопитство се превърна в модел, описващ вътрешната структура на квазикристалите.
Е, красотата на откритието е, че отдавна е готов математически модел за него. Мозайката на Penrose е чудесен пример за това как една красива конструкция, разположена на пресечната точка на различни дисциплини, задължително намира своето приложение. Ако възловите точки се заменят с атоми, подредбата на Пенроуз става добър аналогдвумерен квазикристал, тъй като има много свойства, характерни за такъв
състояние на материята. И ето защо:
Първо, изграждането на мозайката се изпълнява по определен алгоритъм, в резултат на което се оказва не произволна, а подредена структура. Всяка крайна част от него се среща безброй пъти в цялата мозайка.
Второ, в мозайката могат да се разграничат много правилни десетоъгълници, които имат абсолютно еднакви ориентации. Те създават далечен ориентационен ред, наречен квазипериодичен. Това означава, че има взаимодействие между отдалечени мозаечни структури, което координира местоположението и относителната ориентация на диамантите по много специфичен, макар и двусмислен начин.
Трето, ако последователно нарисувате всички ромби със страни, успоредни на всяка избрана посока, те ще образуват поредица от начупени линии.
По тези прекъснати линии можете да начертаете прави успоредни линии, разположени една от друга на приблизително еднакво разстояние. Благодарение на това свойство можем да говорим за известна транслационна симетрия в мозайката на Пенроуз.
Четвърто, последователно оцветените диаманти образуват пет семейства от подобни успоредни линии, пресичащи се под ъгли, кратни на 72°. Посоките на тези прекъснати линии съответстват на посоките на страните на правилен петоъгълник. Следователно мозайката на Пенроуз има до известна степен ротационна симетрия от 5-ти ред и в този смисъл е подобна на квазикристал.
Квазикристали
От древни времена, когато науката за твърдите тела едва се зараждаше, беше забелязано, че всички тела в природата могат да бъдат разделени на два диаметрално противоположни класа: неподредени аморфни тела, в които няма закономерност във взаимното разположение на атомите, и кристални тела , характеризиращи се с подреденото им разположение . Това разделение на структурата на твърдите тела продължи почти до края на ХХ век, когато бяха открити не съвсем „правилни“ кристални тела - квазикристали. Те започват да се разглеждат като междинни форми между аморфните и кристалните тела.
Квази (лат. quasi - сякаш, сякаш) е префикс за различни думи, съответстващи по смисъл на думите "въображаем", "фалшив", "уж".
През 1984 г. е открита алуминиева сплав с манган Al0.86Mn0.14, проба от която, подложена на специален метод за бързо охлаждане, разпръсква електронен лъч, така че да се получи ясно изразена дифракционна картина със симетрия от пети ред в мястото на дифракция максимуми (симетрия на икосаедър) се формира върху фотографската плака. Наличието на остри дифракционни максимуми показва наличието в структурата на далечен ред в подреждането на атомите, характерен за кристалите, тъй като това означава, че атомите в различни областипробите еднакво отразяват електронния лъч. Въпреки това, симетрията на наблюдаваната дифракционна картина противоречи на основните концепции на класическата кристалография: такава симетрия е физически невъзможна за каквито и да е кристални вещества.
Допълнителни изследвания показаха, че новият материал прилага нов типред, некристален и неаморфен (аморфното вещество се характеризира с наличието на късообхватен атомен ред - кристален ред само в рамките на няколко междуатомни разстояния). Поради това това вещество беше наречено квазикристал.
Известно време по-късно са открити други метални сплави с далечен ред, но с оси на симетрия седма, осма, десета, дванадесета и т.н. забранени поръчки за кристали. Във връзка с това концепцията за квазикристалите също се разшири: в момента квазикристалите обикновено се разбират като твърди метални сплави с далечен ред, дифракционните пикове на които са разположени с некристалографска симетрия.
Структура на квазикристалите
Важен проблем във физиката на квазикристалите е тяхната атомна структура. Тяхната структура може да бъде разбрана с помощта на математическата теория на подреждането. Обикновеният кристал е периодична структура от атоми или молекули. Всяка кристална структура има определена симетрия. Кристалите имат два вида ред на дълги разстояния, ориентационен и транслационен. Транслационният ред означава способността да се конструира кристална структура чрез транслиране на елементарния градивен елемент на структурата с определено разположение на атомите върху определен вектор на елементарната клетка на кристала. В този случай те говорят за наличието на далечен ред в кристала. Ориентационният ред означава, че въртенето на кристала около определена ос подравнява позициите на атомите със самите тях. Кристалите могат да имат ротационна симетрия от трети, четвърти или шести ред.
Например, ако кристалът има ос на симетрия от трети ред, тогава неговата кристална решетка няма да се промени след завъртане с една трета от кръга. Структурата на единичната клетка на повечето кристали се основава на прости геометрични тела като куб, тетраедър и октаедър. Структурата на квазикристалите, като сплав от алуминий и манган, се основава на друго геометрично тяло - икосаедър. Икосаедърът е многостен с 20 лица, всяко от които е равностранен триъгълник, 12 върха и 30 ръба. Икосаедърът има симетрия от пети ред: пет лица са свързани във всеки връх. Икосаедрите не могат да бъдат опаковани така, че да запълнят цялото пространство плътно, без празнини, така че не могат да служат като елементарни кристални клетки.
Елементи на структурата на квазикристал от пет тетраедъра: фрагмент от икосаедър (а), 32 - връх на триаконтаедър (6)
Икосаедър(от Гръцкиεικοσάς – двадесет; -εδρον - лице, лице, основа) - правилен изпъкнал многостен, двадесетстранен многостен, един от Платонови тела. Всяко от 20-те лица е равностранно триъгълник. Броят на ръбовете е 30, броят на върховете е 12.
Тетраедър(на гръцки τετραεδρον - тетраедър) - многостен с четири триъгълни стени, във всеки връх на който се срещат 3 стени.
Триаконтаедър- (гръцки, от триаконта тридесет и основа на хедра). Тридесетоъгълник, т.е. тяло, ограничено от 30 равни ромбични равнини.
Свойства на квазикристалите
Квазикристалите обикновено са сплави от метални елементи. Но физическите свойства на квазикристалите се различават от свойствата на другите метални системи. Електрическото съпротивление на металите се увеличава с повишаване на температурата, концентрацията на примеси и структурни дефекти. Квазикристалите не са изолатори или полупроводници, но за разлика от металите тяхното електрическо съпротивление при ниски температури е необичайно високо, намалява с повишаване на температурата и се увеличава с увеличаване на структурния ред и отгряване на дефекти (продължително нагряване, което елиминира дефектите). Интересен модел се наблюдава в декагоналните квазикристали. Това са слоести обекти: квазикристалните равнини са опаковани по протежение на ос от десети ред с краен период. По дължината на оста на опаковката проводимостта се държи като в нормален метал, но в квазикристалните равнини се държи по различен начин.
Почти всички квазикристални сплави са диамагнитни. Изключение правят сплавите с манган, които са парамагнитни.
Теорията на твърдото състояние обяснява идеално електронните свойства на нормалните метали и техните сплави. Отправната точка е периодичността на кристалната структура. Теорията обаче все още не е в състояние да обясни защо квазипериодичността е източникът на специфичното поведение на свойствата. За да се отговори на този въпрос, е необходима повече експериментална и теоретична информация за електронната структура (електронен спектър) на квазикристалите.
В момента са открити повече от 200 квазикристални сплави, чиито свойства се изучават активно. Всяка година се появяват съобщения за квазикристали с нов състав и нови варианти на структури, чието съществуване не можеше дори да се предполага преди.
В момента в повечето синтезирани квазикристали са открити оси на симетрия от 5-ти, 7-ми, 8-ми, 10-ти, 12-ти и дори по-високи порядъци, които са забранени за идеални кристали. Тези обекти все още не са намерили практическо приложение, но тяхното изследване разширява разбирането ни за структурата на материята. Въпросът за квазикристалното състояние не се ограничава до физиката на твърдото тяло. Свойствата на симетрия на квазикристалите са универсални. Това означава, че ако някакъв метод за опаковане на клетки с определена форма се намери в твърдо тяло, тогава същият метод за опаковане на „течни клетки“ може да бъде намерен в хидродинамичните потоци, проблемът с хаоса (в структурата на фазовата равнина на динамична система) и т.н. Следователно в изследването на квазикристалите участват физици, математици, кристалографи и учени по материали. Въпреки това, въпросът за природата на квазикристалното състояние на материята и обяснението на свойствата на квазикристалите все още остава загадка, която природата представени ни.
Ето един интересен факт, забелязан от изследователите. Ротационната симетрия от 5-ти ред, строго забранена в кристалографията, е най-ефективно представена в растителния свят и в най-простите живи организми, по-специално в някои разновидности на вируси, в някои морски обитатели (морски звезди, морски таралежи, колонии от зелени водорасли, и т.н.), а в други обекти, които „изграждат живота“. Ротационната симетрия от 5-ти ред е характерна за много диви цветя (жълт кантарион, незабравка, камбанка и др.), За цветя на овощни и ягодоплодни растения (малини, калина, офика, шипка и др.), за цветя плодови дървета(череша, круша, ябълка, мандарина и др.). Люспите на шишарката на ела, зърната на слънчогледа или клетките на ананаса също образуват някакъв вид квазиправилно повърхностно покритие, в което съседните клетки са организирани в ясно видими спирали и образуват структура, близка до квазикристалите.
Както виждаме, ротационната симетрия от 5-ти ред, която играе важна роля в квазикристалите, се проявява най-ясно сякаш в преходната област между статично неодушевения и гъвкаво гъвкав жив свят на природата. Изследването на квазикристални обекти доведе до редица открития и приложни разработки. Структурното съвършенство на термодинамично стабилните квазикристали ги поставя наравно с най-добрите образци на обикновени кристали. Въз основа на тях се получават леки и много здрави стъкла. Тънките филми и покрития от квазикристали имат много нисък коефициент на триене. С помощта на квазикристали се създават композитни материали, например устойчива на триене гума. Особено привлекателни са тяхната ниска електро- и топлопроводимост, висока твърдост, устойчивост на корозия и окисление, химическа инертност и нетоксичност. Днес вече са получени много обещаващи квазикристали, за които дори не са мечтали преди няколко десетилетия. Една от приоритетните задачи е разработването на методи за синтез по зададени параметри, което би позволило предварително „програмиране“ на физическите свойства на създаваните материали.
Неочакваната поява на златната пропорция в структурата на квазикристалите показва наличието на жив „мотив“ в тяхната симетрия, тъй като, за разлика от неодушевените кристали, само живият свят позволява забележителни взаимоотношения на златната пропорция. Много за природата на квазикристалите все още не е ясно. Освен това няма окончателно формирани физически представи за особеностите на тяхната структура и не е получена физическа обосновка за техните якостни, пластични, еластични, електрически, магнитни и други свойства. Въпреки тези трудности повишеният интерес на учените към мистерията, която природата им е представила под формата на квазикристали, не отслабва и в бъдеще несъмнено ще се получават неочаквани резултати повече от веднъж.
Фулерени и квазикристали
Пряко свързани със структурата на квазикристалите са така наречените фулерени, открити в средата на 80-те години - неизвестна досега форма на комбиниране на въглеродни атоми в почти сферични молекули C n ( н = 28, 54, 60, 70, 84, 120...). Фулерените са клас въглеродни молекули, съдържащи повече от 20 атома. Тяхното откритие утежни "кристалографската катастрофа", причинена от откриването на квазикристали. Най-изследваният въглероден нанообект е C 60 фулеренът. Преди това се смяташе, че в свободно състояние въглеродът може да се намери под формата на две модификации - диамант и графит , Структурата на молекулата C 60 е нещо друго.Това е икосаедър с пресечен връх, тоест един от 14-те неправилни (или полуправилни) многостени на Архимед, в които шестоъгълниците са свързани помежду си с петоъгълници.Без да навлизаме в подробно разглеждане на тази фигура, отбелязваме, че такава структура прилича на футболна топка, традиционно ушита от черни петоъгълници и бели шестоъгълници. Не е изненадващо, че такава молекула има икосаедрична симетрия. Запознаването с фулерените е незабавно завладяващо; човек е поразен по своята красота и пропорционалност.Фулерените, подобно на квазикристалите, говорят за удивителната хармония на света, за непрекъснатото единство във всичките му проявления.Интересът към фулерените възниква преди всичко поради тяхната уникална структура и симетрия, както и поради способността да се създават материали на тяхна основа, които се използват в различни високи технологии. На първо място, те се считат за обещаващи материали за електронно оборудване. Освен това на базата на фулерени са създадени свръхниско- и свръхвисокотемпературни смазки и съединения със свръхпроводимост и са получени вещества, които са по-твърди от диаманта (вж. Наука и живот, No 10, 1995 г.).
Името "фулерени" е дадено на нов клас въглеродни модификации в чест на американския архитект Бъкминстър Фулър, който разработи дизайна на сферични куполи. Една от тези сгради е построена на международното изложение EXPO-67 в Монреал. Основният мотив на конструкцията е повтарящи се шестоъгълни фрагменти, между които на определени места са въведени петоъгълни, даващи необходимото
кривина на обемна структура.
Първите фулерени са изолирани от кондензирани пари графитполучени чрез лазерно облъчване на твърди графитни проби. Всъщност това бяха следи от веществото. Следващата важна стъпка беше направена 1990 г В. Кречмер, Lamb, D. Huffman и други, които разработиха метод за производство на грамови количества фулерени чрез изгаряне на графитни електроди в електрическа дъга в атмосферата хелийпри ниско налягане. В процес на ерозия анодПо стените на камерата се утаяват сажди, съдържащи определено количество фулерени. Впоследствие беше възможно да се изберат оптималните параметри за изпаряване на електродите (налягане, атмосферен състав, ток, диаметър на електродите), при които се постига най-висок добив на фулерени, средно 3-12% от анодния материал, което в крайна сметка определя високата цена на фулерените.
Морис Ешер
Нека разгледаме по-подробно трудовете на Морис Ешер за описаните по-горе математически модели. Ешер се интересуваше от всички видове мозайки - редовни и неправилни (периодични и квазипериодични) - и също така въведе свой собствен тип, който той нарече „метаморфози“, където фигурите се променят и взаимодействат помежду си, а понякога променят и самата равнина. Този тип мозайка беше описан в предишната глава. Ешер започва да се интересува от мозайки през 1936 г., докато пътува в Испания. Той прекара много време в Алхамбра, скицирайки арабски мозайки и по-късно каза, че това е за него " най-богатият източниквдъхновение." По-късно Ешер пише в своето есе за мозайките:
„В математическите работи правилното разделяне на равнината се разглежда теоретично... Това означава ли, че този въпросчисто математическо ли е? Математиците отвориха вратата, водеща към друг свят, но самите те не посмяха да влязат в този свят. Те се интересуват повече от пътеката, на която стои вратата, отколкото от градината, която се намира зад нея.
След като сме разбрали как да създаваме периодични и квазипериодични подреждания, можем да предположим как Морис Ешерсъздава собствени мозайки. При подробно разглеждане и изучаване на мозайките на Ешер може да се предположи, че художникът е използвал следния много интересен, но в същото време прост метод. Очертах правилен шестоъгълник (известно е, че тази фигура може да се използва за създаване на периодични мозайки). След това той изкриви трите съседни страни на шестоъгълника, като им придаде необходимия контур и, използвайки паралелен превод, картографира тези страни към противоположните.
Така майсторът се уверил, че мозайката все още може да бъде направена от получената фигура. След това той промени фигурата отвътре. Художникът го разделя на шест равни триъгълника. Във всеки триъгълник страничните ребра бяха модифицирани по такъв начин, че в комбинация с модифицираната страна на шестоъгълника (основата на триъгълника) те образуваха контура на необходимото животно. В нашия случай имаме „риба“. Използвайки описания по-горе метод, той получи изображение, готово за печат. Като доказателство за валидността на горния метод могат да се цитират размитите линии от предварителни маркировки, запазени върху някои отпечатъци от гравюрите на майстора. Тези линии точно повтарят шаблона, който трябва да се получи при изпълнение на първите етапи на метода, който предлагаме.
Водени от горните съображения, можем да разделим целия масив от „мозаечни” произведения на два основни класа. Първата е периодична работа, а втората е квазипериодична.
себе си Морис Ешер, като много гении преди и след него, заявява: „Всичките ми творби са игри. Сериозни игри." В тези игри обаче математиците от цял свят от няколко десетилетия търсят абсолютно сериозни материални доказателства за идеи, създадени с помощта на изключително математически апарат. Периодичните облицовки могат да бъдат доста сложни, някои от тях са много красиви. Пример за това е периодичното подреждане, изобретено от Морис Ешер (The Riders).
Средновековни орнаменти
През 2007 г. Питър Лу, физик от Харвард, заедно с друг физик - Пол Стайнхард, но от Принстън - публикуванив Science статия за мозайките на Penrose. Изглежда, че тук няма нищо неочаквано: откриването на квазикристали привлече силен интерес към тази тема, което доведе до появата на куп публикации в научната преса. Въпреки това, акцентът на работата е, че тя е посветена далеч от съвременна наука. И като цяло - не наука. Лу обърна внимание на шарките, покриващи джамиите в Азия, построени през Средновековието. Тези лесно разпознаваеми дизайни са направени от мозаечни плочки. Те се наричат гирихи. Гирих е геометричен модел под формата на комбинация от многоъгълни и звездообразни фигури, характерни за средновековното изкуство на Централна и Централна Азия. Girikh - преведено от персийски като възел, сложен геометричен модел, изграден с линии в различни геометрични фигури (звезди, правоъгълници, ромби и др.).
Дълго време се смяташе, че тези модели са създадени с помощта на линийка и компас. Въпреки това, преди няколко години, докато пътува в Узбекистан, Лу се интересува от мозаечните шарки, които украсяват местната средновековна архитектура, и забелязва нещо познато в тях. Връщайки се в Харвард, ученият започва да изследва подобни мотиви в мозайки по стените на средновековни сгради в Афганистан, Иран, Ирак и Турция.
Този пример е датиран в по-късен период - 1622 г. (индийска джамия). Гледайки го и чертежа на структурата му, човек не може да не се възхити на упоритата работа на изследователите. И, разбира се, самите майстори.
Питър Лу открива, че тези модели са почти идентични и успява да идентифицира основните елементи на гириките, използвани във всички геометрични дизайни. Освен това той намери рисунки на тези изображения в древни ръкописи, които древните художници използваха като вид мамят лист за декориране на стени.
Но всичко това, оказва се, не е толкова важно. За да създадат тези модели, те не са използвали прости, произволно измислени контури, а фигури, които са подредени в определен ред. И това не е особено изненадващо. Наистина интересното е, че след като са забравили за подобни схеми, хората ги срещат отново по-късно.
Да, да, древните модели не са нищо повече от това, което векове по-късно ще бъде наречено решетка на Пенроуз и намерено в структурата на квазикристалите!
В ислямската традиция имаше строга забрана за изобразяване на хора и животни, така че геометричните модели станаха много популярни в дизайна на сградите. Средновековните майстори някак успяха да го направят разнообразен. Но никой не знаеше каква е тайната на тяхната „стратегия“. И така, тайната се оказва в използването на специални мозайки, които могат, оставайки симетрични, да запълнят равнината, без да се повтарят. Друг „трик“ на тези изображения е, че като „копират“ такива схеми в различни храмове според рисунки, художниците неизбежно ще трябва да допуснат изкривявания. Но нарушенията от този характер са минимални. Това може да се обясни само с факта, че нямаше смисъл от мащабни рисунки: основното беше принципът, по който да се изгради картината. Гирих структура За сглобяването на гирихи са използвани пет вида плочки (десет и петоъгълни ромби и „пеперуди“), които са сглобени в мозайка една до друга без свободно пространство между тях. Мозайките, създадени от тях, могат да имат или ротационна и транслационна симетрия едновременно, или само ротационна симетрия от пети ред (т.е. това са мозайки на Пенроуз). На тези снимки са подчертани същите области, въпреки че това са снимки от много различни джамии. |
Фрагмент от орнамента на иранския мавзолей от 1304 г. Вдясно е реконструкция на гирихи. |
След като изследваха стотици снимки на средновековни мюсюлмански обекти, Лу и Щайнхард успяха да датират тенденцията до 13 век. Портал на светилището Имам Дарби в Исфахан, Иран). Тук две системи от гирихи се наслагват една върху друга. Постепенно този метод придобива все по-голяма популярност и до 15 век става широко разпространен. Изследователите смятат, че светилището на имам Дарби в иранския град Исфахан, датиращо от 1453 г., е пример за почти идеална квазикристална структура. Това откритие впечатли много хора. Американската асоциация за напредък на науката дори беше щастлива да подготви прессъобщения за този повод, посветени на изследванетоНаперсийски , арабски ИТурски езици (очевидно като „почит“ за вдъхновение). |
Вярно е, че д-р Емил Маковицки от университета в Копенхаген смята за свой дълг да смъмри изследователите, че не са обърнали достатъчно внимание на неговата статия от 1991 г., в която той изследва модела върху иранска гробница от 12-ти век. Скоро още няколко учени - от Технион и от университета Дюк - се присъединиха към тази критика, като обаче казаха, че работата на Стайнхард и Лу представлява "интересна хипотеза".
Paul Steinhardt честно контрира забележката, като каза, че той и колегата му не са работили върху една проба, а върху голямо разнообразие от материали. За щастие това не доведе до академичен спор и изследването получи поне известно признание в научния свят.
И все пак най-мистериозният въпрос - как средновековните араби са могли да измислят квазикристални структури, които са ни известни от по-малко от три десетилетия - остава без отговор.
Дали това може да е доказателство за огромната роля на математиката в средновековното ислямско изкуство или това е просто най-лесният начин за авторите да „сглобят“ своите произведения, вече е невъзможно да се знае.
„Не можем да кажем със сигурност какво означава цялото това изкуство“, призна Питър Лу. „Въпреки това изглежда невероятно изборът на такава тактика да е въпрос на обикновена случайност.“ Във всеки случай това откритие може да е доказателство, че изкуството, на което не се придава голямо значение, се е оказало много „по-напреднало“, отколкото сме могли да си представим.
Заключение
Теселацията е най-изследваната област във физиката на квазикристалите. Почти всички известни в момента квазикристали са метални сплави, но техните свойства са много различни от свойствата на основните метали. Нека да отбележим например необичайно високото електрическо съпротивление при ниски температури и спада му с повишаване на температурата. „Традиционните“ метали се държат по точно обратния начин. Ерата на масово използване на квазикристалите очевидно предстои, някои контури вече могат да бъдат очертани. Използването им в плъзгащи лагери е възможно - с нисък коефициент на триене квазикристалните сплави имат висока граница на безопасност. Високоякостните незалепващи покрития, високотемпературните свръхпроводници, високоякостните материали, ултратънките покрития, ултра фините прахове и квазикристалните абразиви изглеждат изкусително. Много свойства на този клас вещества остават да бъдат проучени. Една от приоритетните задачи е разработването на методи за синтез по зададени параметри, което би позволило предварително „програмиране“ на физическите свойства на създаваните материали. Откриването на квазикристалите разклати основите на кристалографията, много от чиито положения трябваше да бъдат преразгледани през последния четвърт век. В обобщената идея за кристал, заменяйки понятието „единична клетка“ - конвенционалната най-малка структурна единицакристал - появи се концепцията за "далечен ред" Физиците сравняват значението на откриването на квазикристалите за кристалографията с откриването на ирационалните числа в математиката. В момента с помощта на облицовка са открити повече от 200 квазикристални сплави, чиито свойства се изучават активно.
Тези обекти все още не са намерили практическо приложение, но тяхното изследване разширява разбирането ни за структурата на материята.
Въпросът за квазикристалното състояние не се ограничава до физиката на твърдото тяло. Свойствата на симетрия на квазикристалите са универсални. Това означава, че ако някакъв метод за опаковане на клетки с определена форма се намери в твърдо тяло, тогава същият метод за опаковане на „течни клетки“ може да бъде намерен в хидродинамичните потоци, проблемът с хаоса (в структурата на фазовата равнина на динамична система) и т.н. Следователно в изследването на квазикристалите участват физици, математици, кристалографи и учени по материали. Въпреки това, въпросът за природата на квазикристалното състояние на материята и обяснението на свойствата на квазикристалите все още остава загадка. разрушиха традиционната представа за непреодолимото разделение между минералния свят, в който „петоъгълната" симетрия беше забранена, и природата на живия свят, където „петоъгълната" симетрия е една от най-често срещаните. И не бива да забравяме че основната пропорция на икосаедъра е „златната пропорция". А откриването на квазикристалите е още едно научно потвърждение, че може би именно „златната пропорция" се проявява както в света на живата природа, така и в света на минералите , е основната пропорция.