Права. Паралелни линии
Те не се пресичат, независимо колко дълго са продължени. Успоредността на правите линии в писмена форма се означава по следния начин: AB|| СЪСд
Възможността за съществуването на такива линии се доказва от теоремата.
Теорема.
През всяка точка, взета извън дадена права, може да се начертае точка, успоредна на тази права.
Позволявам ABтази права линия и СЪСнякаква точка, взета извън него. Изисква се да се докаже, че чрез СЪСможете да начертаете права линия паралеленAB. Нека го намалим до ABот точка СЪС перпендикуляренСЪСди тогава ще дирижираме СЪСд^ СЪСд, какво е възможно. Направо н.е.паралелен AB.
За да докажем това, нека приемем обратното, т.е н.е.пресича ABв някакъв момент М. След това от точката Мкъм права линия СЪСдще имаме два различни перпендикуляра МдИ Г-ЦА, което е невъзможно. означава, н.е.не може да премине с AB, т.е. СЪСдпаралелен AB.
Последица.
Два перпендикуляра (CдИД.Б.) до една права линия (Cд) са успоредни.
Аксиома за успоредни прави.
През една и съща точка е невъзможно да се начертаят две различни прави, успоредни на една и съща права.
Така че, ако направо СЪСд, прекаран през точката СЪСуспоредна на правата AB, след това всеки друг ред СЪСд, прекаран през същата точка СЪС, не могат да бъдат успоредни AB, т.е. тя е на продължение ще се пресичатс AB.
Доказването на тази не съвсем очевидна истина се оказва невъзможно. Приема се без доказателство, като необходимо предположение (постулат).
Последствия.
1. Ако прав(СЪСд) се пресича с един от паралелен(NE), след което се пресича с друг ( AB), защото в противен случай през същата точка СЪСще има две различни линии, минаващи успоредно AB, което е невъзможно.
2. Ако всяко от двете директен (АИб) са успоредни на същата трета права ( СЪС) , тогава те паралеленпомежду си.
Наистина, ако приемем, че АИ бсе пресичат в някаква точка М, тогава ще минават две различни прави, успоредни на тази точка СЪС, което е невъзможно.
Теорема.
Ако линията е перпендикулярнакъм една от успоредните прави, то тя е перпендикулярна на другата паралелен.
Позволявам AB || СЪСдИ Е.Ф. ^ AB.Изисква се да се докаже това Е.Ф. ^ СЪСд.
ПерпендикулярендЕ, пресичаща се с AB, със сигурност ще пресече и СЪСд. Нека пресечната точка е з.
Нека сега приемем това СЪСдне е перпендикулярно на Е.Х.. След това някоя друга права линия, например Х.К., ще бъде перпендикулярна на Е.Х.и следователно през същата точка зще има две прав паралел AB: един СЪСд, по условие и другото Х.К.както е доказано по-рано. Тъй като това е невъзможно, не може да се приеме, че NEне беше перпендикулярна на Е.Х..
Признаци за успоредност на две прави
Теорема 1. Ако, когато две прави се пресичат със секанс:
кръстосаните ъгли са равни, или
съответните ъгли са равни, или
сборът от едностранните ъгли е 180°, тогава
линиите са успоредни(Фиг. 1).
Доказателство. Ограничаваме се до доказване на случай 1.
Нека пресичащите се прави a и b са напречни и ъглите AB са равни. Например ∠ 4 = ∠ 6. Нека докажем, че a || b.
Да предположим, че правите a и b не са успоредни. Тогава те се пресичат в някаква точка M и следователно един от ъглите 4 или 6 ще бъде външният ъгъл на триъгълник ABM. За категоричност нека ∠ 4 е външният ъгъл на триъгълника ABM, а ∠ 6 вътрешният. От теоремата за външния ъгъл на триъгълник следва, че ∠ 4 е по-голямо от ∠ 6, а това противоречи на условието, което означава, че правите a и 6 не могат да се пресичат, следователно са успоредни.
Следствие 1. Две различни прави в равнина, перпендикулярна на една и съща права, са успоредни(фиг. 2).
Коментирайте. Начинът, по който току-що доказахме случай 1 от теорема 1, се нарича метод на доказателство чрез противоречие или свеждане до абсурд. Този метод получи първото си име, защото в началото на аргумента се прави предположение, което е в противоречие (противоположно) на това, което трябва да се докаже. Нарича се довеждане до абсурд поради факта, че разсъждавайки на базата на направеното предположение, стигаме до абсурдно заключение (до абсурда). Получаването на такова заключение ни принуждава да отхвърлим предположението, направено в началото, и да приемем това, което трябваше да бъде доказано.
Задача 1.Да се построи права, минаваща през дадена точка M и успоредна на дадена права a, която не минава през точка M.
Решение. Начертаваме права p през точка M, перпендикулярна на правата a (фиг. 3).
След това начертаваме права b през точка M, перпендикулярна на правата p. Правата b е успоредна на правата a съгласно следствието от теорема 1.
От разглеждания проблем следва важен извод:
през точка, която не лежи на дадена права, винаги е възможно да се начертае права, успоредна на дадената.
Основното свойство на успоредните прави е следното.
Аксиома за успоредни прави. През дадена точка, която не лежи на дадена права, минава само една права, успоредна на дадената.
Нека разгледаме някои свойства на успоредните прави, които следват от тази аксиома.
1) Ако една права пресича една от две успоредни прави, то тя пресича и другата (фиг. 4).
2) Ако две различни прави са успоредни на трета права, то те са успоредни (фиг. 5).
Следващата теорема също е вярна.
Теорема 2. Ако две успоредни прави се пресичат от напречна, тогава:
напречните ъгли са равни;
съответните ъгли са равни;
сборът от едностранните ъгли е 180°.
Следствие 2. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата(виж фиг. 2).
Коментирайте. Теорема 2 се нарича обратна на теорема 1. Заключението на теорема 1 е условието на теорема 2. А условието на теорема 1 е заключението на теорема 2. Не всяка теорема има обратна, т.е. ако дадена теорема е вярно, тогава обратната теорема може да е невярна.
Нека обясним това с примера на теоремата за вертикални ъгли. Тази теорема може да се формулира по следния начин: ако два ъгъла са вертикални, те са равни. Обратната теорема би била: ако два ъгъла са равни, тогава те са вертикални. И това, разбира се, не е вярно. две равни ъглиизобщо не трябва да са вертикални.
Пример 1.Две успоредни прави се пресичат от трета. Известно е, че разликата между два вътрешни едностранни ъгъла е 30°. Намерете тези ъгли.
Решение. Нека фигура 6 отговаря на условието.
Към въпрос 1. Дайте определението за успоредни прави. Кои два сегмента се наричат успоредни? дадено от автора Саша Нижевясовнай-добрият отговор е които никога няма да се пресекат в равнина
Отговор от Адаптация[гуру]
Успоредните прави са прави, които лежат в една равнина и или съвпадат, или не се пресичат.
Отговор от Науменко[гуру]
сегменти. принадлежащи на успоредни прави. са успоредни.
правите в равнината се наричат паралелен. ако не се пресичат или съвпадат.
Отговор от Невропатолог[новак]
Две прави, които лежат в една равнина и нямат нито една обща точка, се наричат успоредни
Отговор от Добавете[майстор]
Отговор от Варвара Ламекина[новак]
две прави в една равнина се наричат успоредни, ако не се пресичат)
Отговор от Максим Иванов[новак]
Които няма да се пресичат в самолета.
Отговор от Sem2805[активен]
две прави в една равнина се наричат успоредни, ако не се пресичат (7 клас)
Отговор от Саша Ключников[новак]
Паралелните прави в евклидовата геометрия са прави, които лежат в една и съща равнина и не се пресичат. В абсолютната геометрия през точка, която не лежи на дадена права, минава поне една права, която не пресича дадената. В евклидовата геометрия има само една такава линия. Този факт е еквивалентен на V постулата на Евклид (за паралелите). В геометрията на Лобачевски (вижте геометрията на Лобачевски) в равнината през точка C (вижте фигурата) извън дадена права линия AB преминава безкраен брой прави, които не пресичат AB. От тях само две се наричат успоредни на AB. Правата CE се нарича успоредна на правата AB в посока от A към B, ако: 1) точките B и E лежат от една и съща страна на правата AC; 2) правата CE не пресича правата AB; всеки лъч, минаващ в ъгъла ACE, се пресича лъч AB Правата CF, успоредна на AB в посока от B към A, се определя по подобен начин.
Отговор от Анатолий Мишин[новак]
Две прави в пространството се наричат успоредни, ако лежат в една равнина и не се пресичат.
Отговор от Олия[активен]
Успоредните прави са прави, които не се пресичат
Отговор от каза Чаръков[новак]
Успоредните прави са две прави, които лежат в една равнина и нямат общи точки.
През точка можете да начертаете само една права линия, успоредна на дадена равнина.
Отговор от Олия Немтирева[новак]
Успоредните прави са прави, които лежат в една равнина и или съвпадат, или не се пресичат. ..геометрия на Лобачевски) в равнината през точка C (виж фигурата) извън дадена права AB минава безкраен брой прави, които не пресичат AB. От тях само две се наричат успоредни на AB
Отговор от Оксана Тищенко[новак]
Успоредните прави са две прави в една равнина, които не се пресичат. Две отсечки се наричат успоредни, ако лежат на успоредни прави.
В тази статия ще говорим за успоредни прави, ще дадем дефиниции и ще очертаем признаците и условията на паралелизма. За да направим теоретичния материал по-ясен, ще използваме илюстрации и решения на типични примери.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1
Успоредни прави на равнина– две прави в равнина, които нямат общи точки.
Определение 2
Паралелни линии в триизмерното пространство– две прави в тримерното пространство, лежащи в една равнина и нямащи общи точки.
Необходимо е да се отбележи, че за определяне на успоредни прави в пространството е изключително важно уточнението „лежат в една и съща равнина“: две прави в триизмерното пространство, които нямат общи точки и не лежат в една и съща равнина, не са успоредни , но пресичащи се.
За обозначаване на успоредни прави е обичайно да се използва символът ∥. Тоест, ако дадените прави a и b са успоредни, това условие трябва да се запише накратко, както следва: a ‖ b. Вербално успоредността на правите се означава по следния начин: правите a и b са успоредни, или правата a е успоредна на правата b, или правата b е успоредна на правата a.
Нека формулираме твърдение, което играе важна роляв изучаваната тема.
Аксиома
През точка, която не принадлежи на дадена права, минава единствената права, успоредна на дадената. Това твърдение не може да бъде доказано въз основа на известните аксиоми на планиметрията.
В случай ние говорим заза пространството теоремата е вярна:
Теорема 1
През всяка точка от пространството, която не принадлежи на дадена права, ще има една права, успоредна на дадената.
Тази теорема е лесна за доказване въз основа на горната аксиома (програма по геометрия за 10 - 11 клас).
Критерият за успоредност е достатъчно условие, чието изпълнение гарантира успоредност на правите. С други думи, изпълнението на това условие е достатъчно, за да потвърди факта на паралелизма.
По-специално, съществуват необходими и достатъчни условия за паралелност на линиите в равнината и в пространството. Нека обясним: необходимо означава условието, чието изпълнение е необходимо за успоредни прави; ако не е изпълнено, правите не са успоредни.
В обобщение, необходимо и достатъчно условие за успоредност на правите е условие, чието спазване е необходимо и достатъчно, за да бъдат правата успоредни една на друга. От една страна, това е знак за успоредност, от друга страна, това е свойство, присъщо на успоредните прави.
Преди да дадем точната формулировка на необходимо и достатъчно условие, нека си припомним няколко допълнителни понятия.
Определение 3
Секуща права– права, пресичаща всяка от две дадени несъвпадащи прави.
Пресичайки две прави линии, напречната образува осем неразвити ъгъла. За да формулираме необходимо и достатъчно условие, ще използваме такива видове ъгли като кръстосани, съответстващи и едностранни. Нека ги демонстрираме на илюстрацията:
Теорема 2
Ако две прави в една равнина са пресечени от напречна, то за да са успоредни дадените прави е необходимо и достатъчно пресичащите се ъгли да са равни, или съответните ъгли да са равни, или сборът от едностранните ъгли да е равен на 180 градуса.
Нека илюстрираме графично необходимото и достатъчно условие за успоредност на прави в равнина:
Доказателството за тези условия присъства в програмата по геометрия за 7 - 9 клас.
По принцип тези условия важат и за триизмерното пространство, при условие че две прави и секуща принадлежат на една и съща равнина.
Нека посочим още няколко теореми, които често се използват за доказване на факта, че правите са успоредни.
Теорема 3
В една равнина две прави, успоредни на трета, са успоредни една на друга. Тази характеристика се доказва въз основа на посочената по-горе аксиома за паралелизъм.
Теорема 4
В триизмерното пространство две линии, успоредни на трета, са успоредни една на друга.
Доказателството на признак се изучава в учебната програма по геометрия за 10. клас.
Нека дадем илюстрация на тези теореми:
Нека посочим още една двойка теореми, които доказват успоредността на правите.
Теорема 5
В равнина две прави, перпендикулярни на трета, са успоредни една на друга.
Нека формулираме подобно нещо за триизмерното пространство.
Теорема 6
В триизмерното пространство две линии, перпендикулярни на трета, са успоредни една на друга.
Нека да илюстрираме:
Всички горни теореми, признаци и условия позволяват удобно да се докаже успоредността на линиите с помощта на методите на геометрията. Тоест, за да се докаже успоредността на правите, може да се покаже, че съответните ъгли са равни, или да се демонстрира фактът, че две дадени прави са перпендикулярни на третата и т.н. Но имайте предвид, че често е по-удобно да използвате метода на координатите, за да докажете успоредността на линиите в равнина или в триизмерно пространство.
Успоредност на прави в правоъгълна координатна система
В дадена правоъгълна координатна система права линия се определя от уравнението на права линия в равнината на една от възможни видове. По същия начин, права линия, дефинирана в правоъгълна координатна система в триизмерно пространство, съответства на някои уравнения за права линия в пространството.
Нека запишем необходимите и достатъчни условия за паралелност на прави в правоъгълна координатна система в зависимост от вида на уравнението, описващо дадените прави.
Да започнем с условието за успоредност на прави в равнина. Базира се на дефинициите на насочващия вектор на правата и нормалния вектор на правата в равнина.
Теорема 7
За да бъдат две несъвпадащи прави успоредни в една равнина, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на дадените прави да са колинеарни, или нормалните вектори на дадените прави да са колинеарни, или насочващият вектор на една права да е перпендикулярен на нормалният вектор на другата права.
Става очевидно, че условието за паралелност на прави в равнина се основава на условието за колинеарност на векторите или условието за перпендикулярност на два вектора. Тоест, ако a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) са насочващи вектори на прави a и b ;
и n b → = (n b x , n b y) са нормални вектори на прави a и b, тогава записваме горното необходимо и достатъчно условие, както следва: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , където t е някакво реално число. Координатите на направляващите или правите вектори се определят от дадените уравнения на правите линии. Нека да разгледаме основните примери.
- Права a в правоъгълна координатна система се определя от общото уравнение на правата: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; права линия b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тогава нормалните вектори на дадените прави ще имат съответно координати (A 1, B 1) и (A 2, B 2). Записваме условието за паралелност, както следва:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Права a се описва от уравнението на права с наклон от вида y = k 1 x + b 1 . Права b - y = k 2 x + b 2. Тогава нормалните вектори на дадените прави ще имат съответно координати (k 1, - 1) и (k 2, - 1), а условието за успоредност ще запишем по следния начин:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Така, ако успоредни прави на равнина в правоъгълна координатна система са дадени с уравнения с ъглови коефициенти, тогава ъгловите коефициенти на дадените прави ще бъдат равни. И обратното твърдение е вярно: ако несъвпадащите прави на равнина в правоъгълна координатна система се определят от уравненията на права с еднакви ъглови коефициенти, то тези дадени прави са успоредни.
- Правите a и b в правоъгълна координатна система се определят от каноничните уравнения на права върху равнина: x - x 1 a x = y - y 1 a y и x - x 2 b x = y - y 2 b y или от параметрични уравнения на права в равнина: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .
Тогава насочващите вектори на дадените прави ще бъдат съответно: a x, a y и b x, b y, а условието за успоредност ще запишем по следния начин:
a x = t b x a y = t b y
Нека да разгледаме примерите.
Пример 1
Дадени са две линии: 2 x - 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1. Необходимо е да се определи дали са успоредни.
Решение
Нека напишем уравнението на права линия в сегменти под формата на общо уравнение:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Виждаме, че n a → = (2, - 3) е нормалният вектор на правата 2 x - 3 y + 1 = 0, а n b → = 2, 1 5 е нормалният вектор на правата x 1 2 + y 5 = 1.
Получените вектори не са колинеарни, защото няма такава стойност на tat, при която равенството да е вярно:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
По този начин не е изпълнено необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите в равнина, което означава, че дадените прави не са успоредни.
Отговор:дадените прави не са успоредни.
Пример 2
Дадени са правите y = 2 x + 1 и x 1 = y - 4 2. Паралелни ли са?
Решение
Нека преобразуваме каноничното уравнение на правата x 1 = y - 4 2 в уравнението на правата с наклон:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Виждаме, че уравненията на правите y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не са еднакви (ако беше друго, правите щяха да съвпадат) и ъгловите коефициенти на правите са равни, което означава, че дадените прави са успоредни.
Нека се опитаме да решим проблема по различен начин. Първо, нека проверим дали дадените линии съвпадат. Използваме която и да е точка на правата y = 2 x + 1, например (0, 1), координатите на тази точка не съответстват на уравнението на правата x 1 = y - 4 2, което означава, че линиите не съвпадат.
Следващата стъпка е да се определи дали е изпълнено условието за успоредност на дадените прави.
Нормалният вектор на правата y = 2 x + 1 е векторът n a → = (2 , - 1) , а векторът на посоката на втората дадена права е b → = (1 , 2) . Скаларното произведение на тези вектори е равно на нула:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
По този начин векторите са перпендикулярни: това ни демонстрира изпълнението на необходимото и достатъчно условие за паралелност на оригиналните линии. Тези. дадените прави са успоредни.
Отговор:тези линии са успоредни.
За да се докаже паралелността на правите в правоъгълна координатна система на тримерно пространство, се използва следното необходимо и достатъчно условие.
Теорема 8
За да бъдат успоредни две несъвпадащи прави в тримерното пространство, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на тези прави да са колинеарни.
Тези. предвид уравненията на линиите в тримерното пространство, отговорът на въпроса: успоредни ли са или не, се намира чрез определяне на координатите на насочващите вектори на дадените линии, както и проверка на условието за тяхната колинеарност. С други думи, ако a → = (a x, a y, a z) и b → = (b x, b y, b z) са съответно насочващите вектори на правите a и b, тогава, за да бъдат успоредни, съществуването на такова реално число t е необходимо, така че да е в сила равенството:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Пример 3
Дадени са правите x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Необходимо е да се докаже успоредността на тези линии.
Решение
Условията на задачата са дадени от каноничните уравнения на една права в пространството и параметричните уравнения на друга права в пространството. Водещи вектори а → и b → дадените линии имат координати: (1, 0, - 3) и (2, 0, - 6).
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , тогава a → = 1 2 · b → .
Следователно е изпълнено необходимото и достатъчно условие за паралелност на линиите в пространството.
Отговор:успоредността на дадените прави е доказана.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.