1 nukleotiidi kodeerib 3 aminohapet. Sõnasta geneetilise koodi põhiomadused
Loteriidest
See mäng on pikka aega laialt levinud ja muutunud selle lahutamatuks osaks kaasaegne elu. Ja kuigi loterii avardab üha enam oma võimalusi, näevad paljud inimesed seda siiski vaid rikkaks saamise võimalusena. See ei pruugi olla tasuta ega usaldusväärne. Teisest küljest, nagu märkis üks Jack Londoni kangelasi, ei saa õnnemängus fakte ignoreerida – inimestel läheb vahel õnne.
Juhuse matemaatika. Tõenäosusteooria ajalugu
Aleksander Bufetov
Füüsika-matemaatikadoktori, Steklovi matemaatikainstituudi juhtivteaduri, Venemaa Teaduste Akadeemia Rakendusfüüsika Instituudi juhtivteaduri, matemaatikateaduskonna professori loengu stenogramm ja videosalvestus Keskkool majandusteadus, teadusdirektor Rahvuskeskus teaduslikud uuringud Prantsusmaal (CNRS), autor Alexander Bufetov, peetud sarja “Avalikud loengud “Polit.ru”” raames 6. veebruaril 2014. aastal.
Regulaarsuse illusioon: miks juhuslikkus tundub ebaloomulik
Meie ettekujutused juhuslikust, loomulikust ja võimatust on sageli vastuolus statistika ja tõenäosusteooria andmetega. Raamatus „Ebatäiuslik juhus. Kuidas juhus meie elu valitseb,” räägib Ameerika füüsik ja teaduse populariseerija Leonard Mlodinow, miks juhuslikud algoritmid nii kummalised välja näevad, mis on iPodis lugude “juhuslikult” segamise konks ja millest sõltub aktsiaanalüütiku õnn. “Teooriad ja praktikad” avaldab katkendi raamatust.
Determinism
Determinism on üldteaduslik mõiste ja filosoofiline õpetus kõigi maailmas toimuvate nähtuste ja protsesside põhjuslikkuse, mustrite, geneetiliste seoste, vastastikmõju ja tingimuslikkuse kohta.
Jumal on statistika
California Berkeley ülikooli statistikaprofessor Deborah Nolan palub oma õpilastel täita esmapilgul väga kummaline ülesanne. Esimene rühm peab sada korda münti viskama ja tulemuse kirja panema: pead või sabad. Teine peab ette kujutama, et ta viskab münti – ja koostama ka loendi sadadest „kujuteldavatest” tulemustest.
Mis on determinism
Kui teada esialgsed tingimused süsteemi, on loodusseadusi kasutades võimalik ennustada selle lõplikku olekut.
Valiva pruudi probleem
Huseyn-Zade S.M.
Zenoni paradoks
Kas on võimalik pääseda ühest ruumipunktist teise? Vana-Kreeka filosoof Zenon Eleast uskus, et liikumist ei saa üldse teostada, kuid kuidas ta seda vaidles? Colm Keller räägib, kuidas lahendada kuulsa Zenoni paradoksi.
Lõpmatute hulkade paradoksid
Kujutage ette hotelli, kus on lõpmatu arv tube. Saabub buss lõputu hulga tulevaste külalistega. Kuid nende kõigi paigutamine pole nii lihtne. See on lõputu vaev ja külalised on lõputult väsinud. Ja kui te ülesandega hakkama ei saa, võite kaotada lõputult palju raha! Mida teha?
Lapse kasvu sõltuvus vanemate pikkusest
Noored vanemad tahavad muidugi teada, kui pikk on nende laps täiskasvanuna. Matemaatiline statistika võib pakkuda lihtsat lineaarset seost laste pikkuse ligikaudseks määramiseks ainult isa ja ema pikkuse põhjal ning näitab ka sellise hinnangu täpsust.
Monty Halli paradoks on tõenäoliselt kõige kuulsam tõenäosusteooria paradoks. Selle variatsioone on palju, näiteks kolme vangi paradoks. Ja sellele paradoksile on palju tõlgendusi ja seletusi. Kuid siinkohal tahaksin anda mitte ainult formaalse seletuse, vaid näidata Monty Halli paradoksis ja muus sarnases toimuva “füüsilist” alust.
Klassikaline koostis on järgmine:
"Sa oled mängus osaleja. Teie ees on kolm ust. Ühele neist on auhind. Saatejuht kutsub proovima ära arvata, kus auhind on. Näitate ühele uksele (juhuslikult).
Monty Halli paradoksi sõnastus
Saatejuht teab, kus auhind tegelikult asub. Ta ei ava veel ust, millele te osutasite. Kuid see avab teile veel ühe ülejäänud ukse, mille taga pole auhinda. Küsimus on selles, kas peaksite oma valikut muutma või jääma eelmise otsuse juurde?
Selgub, et kui muudad lihtsalt oma valikuid, suureneb sinu võiduvõimalus!
Olukorra paradoks on ilmne. Tundub, et kõik, mis juhtub, on juhuslik. Pole vahet, kas mõtled ümber või mitte. Aga see pole tõsi.
Selle paradoksi olemuse "füüsiline" seletus
Ärgem esmalt laskugem matemaatilisse peensusse, vaid vaadakem olukorda lihtsalt avatud meelega.
Selles mängus teete kõigepealt juhusliku valiku. Siis saatejuht ütleb teile Lisainformatsioon , mis võimaldab teil suurendada oma võiduvõimalusi.
Kuidas saatejuht teile lisateavet annab? Väga lihtne. Pange tähele, et see avaneb ei mingeid uks.
Vaatleme lihtsuse huvides (kuigi selles on pettuse elementi) tõenäolisemat olukorda: osutasite uksele, mille taga pole auhinda. Siis on ühe järelejäänud ukse taga auhind Seal on. See tähendab, et saatejuhil pole valikut. Ta avab väga konkreetse ukse. (Näitasite ühele, teise taga on auhind, jäänud on ainult üks uks, mille juht saab avada.)
Just sel tähendusliku valiku hetkel annab ta teile teavet, mida saate kasutada.
IN sel juhul, teabe kasutamine seisneb selles, et muudate oma otsust.
Muide, teie teine valik on juba ka mitte juhuslik(või õigemini, mitte nii juhuslik kui esimene valik). Valitakse ju suletud uste hulgast, aga üks on juba avatud ja see mitte meelevaldne.
Tegelikult võib pärast neid kaalutlusi tekkida tunne, et parem on oma otsust muuta. See on tõsi. Näitame seda ametlikumalt.
Monty Halli paradoksi ametlikum seletus
Tegelikult jagab teie esimene juhuslik valik kõik uksed kahte rühma. Teie valitud ukse taga on auhind tõenäosusega 1/3, ülejäänud kahe taga - tõenäosusega 2/3. Nüüd teeb juht muudatuse: avab teises rühmas ühe ukse. Ja nüüd kehtib kogu 2/3 tõenäosus ainult suletud uksele kahe ukse rühmast.
On selge, et nüüd on sul kasulikum oma otsust muuta.
Kuigi loomulikult on sul veel võimalus kaotada.
Valiku muutmine suurendab aga võiduvõimalusi.
Monty Halli paradoks
Monty Halli paradoks on tõenäosusprobleem, mille lahendamine (mõnede arvates) on vastuolus terve mõistusega. Probleemi sõnastus:
Kujutage ette, et olete mängus osaleja, kus peate valima ühe kolmest uksest. Ühe ukse taga on auto, kahe teise ukse taga kitsed.
Valite ühe uksest, näiteks number 1, mille järel juht, kes teab, kus on auto ja kus on kitsed, avab ühe ülejäänud uksest, näiteks number 3, mille taga on kits.Monty Halli paradoks. Kõige ebatäpsem matemaatika
Seejärel küsib ta, kas soovite oma valikut muuta ja valida ukse number 2.
Kas teie võimalus võita auto suureneb, kui võtate saatejuhi pakkumise vastu ja muudate oma valikut?
Probleemi lahendamisel eeldatakse sageli ekslikult, et need kaks valikut on sõltumatud ja seetõttu tõenäosus valiku muutmisel ei muutu. Tegelikult see nii ei ole, nagu näete Bayesi valemit meeles pidades või allolevaid simulatsioonitulemusi vaadates:
Siin: "strateegia 1" - ärge muutke valikut, "strateegia 2" - muutke valikut. Teoreetiliselt on 3 uksega juhtumi puhul tõenäosusjaotus 33.(3)% ja 66.(6)%. Numbrilised simulatsioonid peaksid andma sarnaseid tulemusi.
Lingid
Monty Halli paradoks– probleem tõenäosusteooria osast, mille lahendamine läheb vastuollu terve mõistusega.
Ajalugu[redigeeri | muuda wiki teksti]
1963. aasta lõpus jõudis eetrisse uus vestlussaade "Teeme kokkuleppe". Viktoriini stsenaariumi kohaselt said publiku hulgast vaatajad õigete vastuste eest auhindu, kellel oli võimalus neid suurendada tehes uusi panuseid, kuid riskides olemasolevate võitudega. Saate asutajad olid Stefan Hatosu ja Monty Hall, kellest viimasest sai paljudeks aastateks selle pidev saatejuht.
Osalejate üheks ülesandeks oli peaauhinna loosimine, mis asus ühe kolmest ukse taga. Ülejäänud kahe taga olid ergutusauhinnad ja saatejuht teadis omakorda nende paigutuse järjekorda. Võistleja pidi välja selgitama võiduukse, panustades kogu oma saate võidule.
Kui arvaja numbri üle otsustas, avas saatejuht ühe allesjäänud uksest, mille taga oli ergutusauhind, ja kutsus mängijat algselt valitud ust muutma.
Sõnastus[redigeeri | muuda wiki teksti]
Konkreetse probleemina sõnastas paradoksi esmakordselt Steve Selvin 1975. aastal, kui ta esitas ajakirjale The American Statistician ja saatejuht Monty Hallile küsimuse: kas võistleja võimalused võita peaauhind muutuksid, kui ta pärast stiimuliga ukse avamist muutuks. muuta oma valikut? Pärast seda juhtumit ilmus "Monty Halli paradoksi" kontseptsioon.
1990. aastal avaldati Parade Magazine'is kõige levinum versioon paradoksist koos näitega:
„Kujutage end mängusaatesse, kus peate valima ühe kolmest uksest: kaks neist on kitsed ja kolmas on auto. Kui teete valiku, eeldades näiteks, et võiduuks on number üks, avab juht ühe kahest ülejäänud uksest, näiteks number kolm, mille taga on kits. Siis antakse teile võimalus muuta valik mõne teise ukse vastu? Kas saate suurendada oma võimalust võita auto, kui muudate oma valiku ukse number üks asemel ukse number kaks?
See sõnastus on lihtsustatud versioon, kuna Alles jääb saatejuhi mõjutegur, kes teab täpselt, kus auto on, ja on huvitatud osaleja kaotusest.
Ülesande puhtmatemaatiliseks muutumiseks on vaja elimineerida inimfaktor, tuues lahutamatute tingimustena sisse ergutusauhinnaga ukse avamise ja võimaluse muuta esialgset valikut.
Lahendus[redigeeri | muuda wiki teksti]
Võimaluste võrdlemisel ei anna uksenumbri muutmine esmapilgul mingeid eeliseid, sest kõigil kolmel variandil on võiduvõimalus 1/3 (umbes 33,33% iga kolme ukse puhul). Sel juhul ei mõjuta ühe ukse avamine mingil moel ülejäänud kahe ukse võimalusi, kelle tõenäosus muutub 1/2 kuni 1/2 (50% mõlemast ülejäänud uksest). See otsus põhineb eeldusel, et mängija uksevalik ja juhi uksevalik on kaks sõltumatut sündmust, mis üksteist ei mõjuta. Tegelikkuses on vaja käsitleda kogu sündmuste jada tervikuna. Tõenäosusteooria kohaselt on esimeseks valitud ukse võimalused mängu algusest lõpuni alati 1/3 (ca 33,33%) ja kahel ülejäänud on kokku 1/3+1 /3 = 2/3 (ligikaudu 66,66%). Kahest allesjäänud uksest ühe avanemisel muutub selle tõenäosus 0% (selle taga on peidus ergutusauhind) ning sellest tulenevalt on võimalus valimata ukse sulgemiseks 66,66%, s.o. kaks korda rohkem kui algselt valitud.
Valiku tulemuste mõistmise hõlbustamiseks võite kaaluda alternatiivset olukorda, kus valikute arv on suurem, näiteks tuhat. Võiduvariandi valimise tõenäosus on 1/1000 (0,1%). Arvestades, et ülejäänud üheksasaja üheksakümne üheksast valikust avatakse seejärel üheksasada üheksakümmend kaheksa valet, saab selgeks, et üheksasaja üheksakümne üheksast valimata jäänud ukse tõenäosus on suurem kui see ainuke, kes alguses valiti.
Mainib[redigeeri | muuda wiki teksti]
Viiteid Monty Halli paradoksile leiate filmist "Kakskümmend üks" (film, autor Robert Luketic), "Klutz" (Sergei Lukjanenko romaan), teleseriaalist "4isla" (telesari), "Saladuslik mõrv". koer ööajal” (Mark Haddoni lugu), “XKCD” (koomiks), “Müüdimurdjad” (telesaade).
Vaata ka[redigeeri | muuda wiki teksti]
Pilt näitab kolme algselt pakutud ukse vahel kahe maetud ukse vahel valimist
Näiteid kombinatoorika ülesannete lahendustest
Kombinatoorika on teadus, millega kõik kokku puutuvad Igapäevane elu: mitu võimalust valida 3 saatjat klassi koristamiseks või mitu võimalust etteantud tähtedest sõna moodustada.
Üldjuhul võimaldab kombinatoorika arvutada, mitu erinevat kombinatsiooni saab vastavalt teatud tingimustele antud objektidest (samadest või erinevatest) teha.
Teadusena tekkis kombinatoorika 16. sajandil ja nüüd õpib seda iga üliõpilane (sageli isegi koolilaps). Nad alustavad õppimist permutatsioonide, paigutuste, kombinatsioonide (kordustega või ilma) mõistetega; allpool leiate nende teemade probleeme. Tuntumad kombinatoorika reeglid on summa- ja korrutisreeglid, mida kasutatakse kõige sagedamini tüüpilistes kombinatoorsetes ülesannetes.
Altpoolt leiate mitmeid näiteid probleemidest, mille lahendamiseks kasutatakse kombinatoorseid mõisteid ja reegleid, mis aitavad teil mõista tüüpilisi ülesandeid. Kui teil on ülesannetega raskusi, tellige kombinatoorika test.
Kombinatoorika probleemid võrgulahendustega
Ülesanne 1. Emal on 2 õuna ja 3 pirni. Ta annab 5 päeva järjest iga päev ühe puuvilja. Kui mitmel viisil saab seda teha?
Kombinatoorika ülesande 1 lahendus (pdf, 35 Kb)
2. ülesanne. Ettevõte võib ühel erialal pakkuda tööd 4 naisele, teisele 6 mehele ja kolmandale 3 töötajale olenemata soost. Kui mitmel viisil saab vabu kohti täita, kui soovijaid on 14: 6 naist ja 8 meest?
Ülesande lahendus kombinatoorikas 2 (pdf, 39 Kb)
3. ülesanne. Reisirongis on 9 vagunit. Mitmel viisil saab rongis istuda 4 inimest, kui nad kõik sõidavad erinevates vagunis?
Kombinatoorika ülesande 3 lahendus (pdf, 33 Kb)
4. ülesanne. Grupis on 9 inimest. Mitu erinevat alagruppi saab moodustada eeldusel, et alagruppi kuulub vähemalt 2 inimest?
Kombinatoorika ülesande 4 lahendus (pdf, 34 Kb)
5. ülesanne. 20 õpilasest koosnev rühm tuleb jagada 3 võistkonda ning esimesse võistkonda peaks kuuluma 3 inimest, teise - 5 ja kolmandasse - 12. Kui mitmel viisil saab seda teha?
Ülesande lahendus kombinatoorikas 5 (pdf, 37 Kb)
6. ülesanne. Treener valib võistkonda 5 poissi 10-st.Kui mitmel viisil saab ta võistkonna moodustada, kui võistkonda tuleb 2 konkreetset poissi?
Kombinatoorika ülesanne lahendusega 6 (pdf, 33 Kb)
Ülesanne 7. Maleturniiril osales 15 maletajat, kellest igaüks mängis teistega vaid ühe partii. Mitu mängu sellel turniiril mängiti?
Kombinatoorika ülesanne lahendusega 7 (pdf, 37 Kb)
Ülesanne 8. Mitu erinevat murdu saab arvudest 3, 5, 7, 11, 13, 17 teha nii, et iga murd sisaldab 2 erinevat arvu? Kui paljud neist on õiged murded?
Kombinatoorika ülesanne lahendusega 8 (pdf, 32 Kb)
Ülesanne 9. Kui palju sõnu saate sõna Mägi ja Instituut tähti ümber paigutades?
Kombinatoorika ülesanne lahendusega 9 (pdf, 32 Kb)
Probleem 10. Millised arvud vahemikus 1 kuni 1 000 000 on suuremad: need, milles ühik esineb, või need, milles seda ei esine?
Kombinatoorika ülesanne lahendusega 10 (pdf, 39 Kb)
Valmis näited
Kas vajate lahendatud kombinatoorika probleeme? Leia töövihikust:
Teised probleemide lahendused tõenäosusteoorias
Detsembris 1963 Ameerika telekanalil NBC programm ilmus esimest korda Teeme diili(“Teeme kokkuleppe!”), milles stuudiopublikust valitud osalejad omavahel ja saatejuhiga kauplesid, väikseid mänge mängisid või lihtsalt küsimusele vastust arvasid. Saate lõpus said osalejad mängida "päeva pakkumist". Nende ees oli kolm ust, mille kohta oli teada, et ühe taga oli Peaauhind (näiteks auto), kahe teise taga aga vähemväärtuslikud või täiesti absurdsed kingitused (näiteks eluskitsed). Pärast mängija valiku tegemist avab saatejuht Monty Hall ühe kahest allesjäänud uksest, näidates, et selle taga pole auhinda, ja andes osalejale rahulolu, et tal on veel võimalus võita.
1975. aastal mõtles California ülikooli teadlane Steve Selvin, mis juhtuks, kui sel hetkel, pärast seda, kui uks avanes ilma auhinnata, palutakse osalejal oma valikut muuta. Kas sel juhul muutub mängija võimalus auhinda saada ja kui jah, siis mis suunas? Vastava küsimuse esitas ta ajakirjale ülesandena Ameerika statistik(“American Statistician”), aga ka Monty Hall ise, kes andis sellele üsna huvitava vastuse. Vaatamata sellele vastusele (või võib-olla just selle tõttu) sai probleem populaarseks nime all "Monty Halli probleem".
Ülesanne
Leidsite end Monty Halli saates osalejana - ja viimasel hetkel, kitsega ust avades, kutsus saatejuht teid oma valikut muutma. Kas teie otsus – kas nõustuda või mitte – mõjutab võidu tõenäosust?
Vihje
Püüdke arvestada inimestega, kes valisid samal juhul erinevaid uksi (st kui Auhind on näiteks ukse nr 1 taga). Kellele on oma valikute muutmisest kasu ja kellele mitte?
Lahendus
Nagu viipas soovitati, vaatame inimesi, kes tegid teistsuguseid valikuid. Oletame, et auhind on ukse nr 1 taga ning uste nr 2 ja 3 taga on kitsed. Olgu meil kuus inimest ja kaks inimest valisid iga ukse ja igast paarist üks muutis hiljem oma otsust ja teine mitte.
Pange tähele, et neile, kes valivad ukse nr 1, avab saatejuht oma maitse järgi ühe kahest uksest ja sellest hoolimata saavad Auto kätte need, kes oma valikut ei muuda, samas kui need, kes muudavad oma esialgset valikut jääb auhinnata. Nüüd vaatame neid, kes valisid uksed nr 2 ja nr 3. Kuna ukse nr 1 taga on Auto, ei saa Juht seda avada, mis ei jäta talle valikut - ta avab neile vastavalt uksed nr 3 ja nr 2. Sel juhul valib lõpuks Auhinna see, kes igas paaris otsust muutis, ja see, kes ei muutnud, ei jäeta midagi. Seega kolmest otsust muutnud inimesest saavad auhinna kaks ja kitse üks, kolmest, kes jätsid oma esialgse valiku muutmata, saab auhinna vaid üks.
Olgu öeldud, et kui Auto oleks sattunud ukse nr 2 või nr 3 taha, oleks tulemus olnud sama, oleks muutunud vaid konkreetsed võitjad. Seega, eeldades, et algselt valitakse iga uks võrdse tõenäosusega, leiame, et need, kes oma valikut muudavad, võidavad Auhinna kaks korda sagedamini, st võitmise tõenäosus on sel juhul suurem.
Vaatame seda probleemi matemaatilise tõenäosusteooria vaatenurgast. Eeldame, et tõenäosus, et iga uks valitakse algselt, on sama, samuti tõenäosus leida iga ukse tagant auto. Lisaks on kasulik teha hoiatus, et GM, kui ta suudab kaks ust avada, valib need mõlemad võrdse tõenäosusega. Siis selgub, et pärast esimese otsuse langetamist on tõenäosus, et Auhind on valitud ukse taga, 1/3, samas kui tõenäosus, et see on mõne teise kahe ukse taga, on 2/3. Pealegi, pärast seda, kui juht on avanud ühe kahest “valimata” uksest, langeb kogu 2/3 tõenäosus ainult ühele ülejäänud uksest, luues sellega aluse otsuse muutmiseks, mis suurendab võidu tõenäosust 2 korda. . Mis muidugi ei taga seda ühel konkreetsel juhul sugugi, kuid toob juhtumi puhul kaasa edukamate tulemusteni kordamine katse.
Järelsõna
Monty Halli probleem ei ole selle probleemi esimene teadaolev sõnastus. Eelkõige avaldas 1959. aastal ajakirjas Martin Gardner Teaduslik ameeriklane sarnane probleem "umbes kolm vangi" (Kolme vangi probleem) järgmise sõnastusega: " Kolmest vangist tuleks ühele armu anda ja kaks hukata. Vang A veenab valvurit ütlema talle kahest teisest hukatavast ühe nime (ükskõik kumbki, kui mõlemad hukatakse), misjärel, olles saanud nime B, usub ta, et tema enda pääsemise tõenäosus on saada mitte 1/3, vaid 1/2. Samal ajal väidab vang C, et tema pääsemise tõenäosus on muutunud 2/3, kuid A jaoks pole midagi muutunud. Kumb on õige?»
Kuid Gardner ei olnud esimene, kuna juba 1889. aastal pakkus prantsuse matemaatik Joseph Bertrand (mitte segi ajada inglase Bertrand Russelliga!) oma "Tõenäosuste arvutuses" sarnase probleemi (vt Bertrandi kasti paradoksi): " Seal on kolm karpi, millest igaühes on kaks münti: esimeses kaks kuldset, teises kaks hõbedast ja kolmandas kaks erinevat. Juhuslikult valitud karbist tõmmati juhuslikult välja münt, mis osutus kuldseks. Kui suur on tõenäosus, et kasti allesjäänud münt on kuldne?»
Kui mõistate kõigi kolme probleemi lahendusi, on lihtne märgata nende ideede sarnasust; matemaatiliselt ühendab neid kõiki tingimusliku tõenäosuse mõiste, st sündmuse A tõenäosus, kui on teada, et sündmus B toimus. Lihtsaim näide: tõenäosus, et tavaline täring viskab ühe, on 1/6; kui aga on teada, et loositud arv on paaritu, siis tõenäosus, et see on üks, on juba 1/3. Monty Halli probleem, nagu ka kaks muud ülaltoodud probleemi, näitavad, et tingimuslikke tõenäosusi tuleb käsitleda ettevaatlikult.
Neid probleeme nimetatakse sageli ka paradoksideks: Monty Halli paradoksiks, Bertrandi kasti paradoksiks (viimast ei tohiks segi ajada samas raamatus toodud tõelise Bertrandi paradoksiga, mis tõestas tollal eksisteerinud tõenäosusmõiste mitmetähenduslikkust) – mis tähendab mõningast vastuolu (näiteks "Valetaja paradoksis" on fraas "see väide on vale" vastuolus välistatud keskpaiga seadusega). Sel juhul pole aga vastuolu rangete väidetega. Kuid siin on selge vastuolu "avaliku arvamusega" või lihtsalt probleemi "ilmselge lahendusega". Tõepoolest, enamik inimesi, vaadates probleemi, usub, et pärast ühe ukse avamist on tõenäosus, et leitakse Auhind ükskõik millisele kahest suletuks jäänud uksest, 1/2. Seega väidavad nad, et pole vahet, kas nõustute oma otsuse muutmisega või mitte. Pealegi on paljudel inimestel raskusi muu vastuse mõistmisega, isegi kui neile on öeldud üksikasjalik lahendus.
19. september 2013Kujutage ette, et pankur pakub teile valida ühe kolmest suletud kastist. Ühes neist on 50 senti, teises - üks dollar, kolmandas - 10 tuhat dollarit. Ükskõik millise valite, saate selle auhinnaks.
Valite juhuslikult, ütleme, kasti nr 1. Ja siis avab pankur (kes loomulikult teab, kus kõik on) otse teie silme all ühe dollariga kasti (oletame, et see on nr 2), misjärel kutsub teid esialgselt valitud kasti nr 1 kasti vastu vahetama. nr 3.
Kas peaksite meelt muutma? Kas see suurendab teie võimalusi saada 10 tuhat?
See on Monty Halli paradoks – tõenäosusteooria probleem, mille lahendamine on esmapilgul vastuolus terve mõistusega. Inimesed on selle probleemi üle pead murdnud alates 1975. aastast.
Paradoks sai nime populaarse Ameerika telesaate "Teeme kokkuleppe" saatejuhi järgi. Selles telesaates kehtisid sarnased reeglid, ainult osalejad valisid uksed, millest kahe taga peidusid kitsed, kolmanda taga - Cadillac.
Enamik mängijaid põhjendas, et pärast seda, kui kaks suletud ust oli ja ühe taga oli Cadillac, oli võimalus seda saada 50-50. Ilmselgelt, kui peremees avab ühe ukse ja kutsub teid oma otsust muutma, käivitab ta uus mäng. Olenemata sellest, kas muudate oma otsust või mitte, on teie võimalused endiselt 50 protsenti. eks?
Tuleb välja, et mitte. Tegelikult võite oma meelt muutes oma eduvõimalusi kahekordistada. Miks?
Selle vastuse lihtsaim selgitus on järgmine kaalutlus. Auto võitmiseks valikut muutmata peab mängija kohe ära arvama ukse, mille taga auto asub. Selle tõenäosus on 1/3. Kui mängija maandub esialgu uksele, mille taga on kits (ja selle sündmuse tõenäosus on 2/3, kuna seal on kaks kitse ja ainult üks auto), siis võib ta oma otsust muutes kindlasti auto võita, kuna auto ja üks kits jäävad alles ning saatejuht oli juba koos kitsega ukse lahti teinud.
Seega jääb mängija valikut muutmata oma esialgse võidutõenäosusega 1/3 ning esialgse valiku muutmisel saab mängija kasu kahekordsest järelejäänud tõenäosusest, mille ta alguses valesti arvas.
Intuitiivse selgituse saab anda ka kahe sündmuse vahetamisega. Esimene sündmus on mängija otsustamine ukse vahetamise kohta, teine sündmus on lisaukse avamine. See on vastuvõetav, kuna lisaukse avamine ei anna mängijale midagi uut teavet(dokumentatsiooni leiate sellest artiklist). Seejärel saab probleemi taandada järgmisele sõnastusele. Esimesel ajahetkel jagab mängija uksed kahte rühma: esimeses rühmas on üks uks (see, mille ta valis), teises rühmas on kaks ülejäänud ust. Järgmisel ajahetkel teeb mängija valiku rühmade vahel. Ilmselgelt on esimese grupi võidu tõenäosus 1/3, teise grupi puhul 2/3. Mängija valib teise rühma. Teises rühmas saab ta avada mõlemad uksed. Ühe avab saatejuht ja teise mängija ise.
Proovime anda "kõige arusaadavama" seletuse. Sõnastame probleemi ümber: aus saatejuht teatab mängijale, et ühe kolmest uksest on auto, ja kutsub teda esmalt ühele uksele osutama ja seejärel valima ühe kahest toimingust: avage näidatud uks (s. vana sõnastus seda nimetatakse "ära muuda oma valikut") või avage ülejäänud kaks (vanas sõnastuses oleks see lihtsalt "muuda valikut". Mõelge, siin peitub mõistmise võti!). On selge, et mängija valib kahest toimingust teise, kuna auto saamise tõenäosus on sel juhul kaks korda suurem. Ja see pisiasi, mida saatejuht juba enne toimingu valimist “kitsele näitas” ei aita ega takista valikut, sest kahest uksest ühe taga on alati kits ja saatejuht näitab seda kindlasti igal mängupöördel , et mängija saaks seda kitse kasutada ära vaata. Kui mängija valis teise toimingu, peab ta juhile "aitäh" ütlema, et ta päästis ta vaevast avada üks kahest uksest ja avada teine. Noh, või veelgi lihtsam. Kujutagem seda olukorda ette saatejuhi vaatenurgast, kes teeb samalaadset protseduuri kümnete mängijatega. Kuna ta teab suurepäraselt, mis on uste taga, siis keskmiselt kahel juhul kolmest näeb ta ette, et mängija on valinud “vale” ukse. Seetõttu pole tema jaoks kindlasti paradoksi selles, et õige strateegia on pärast esimese ukse avamist valikut muuta: ju siis kahel juhul kolmest lahkub mängija stuudiost uue autoga.
Lõpuks kõige "naiivsem" tõend. Seda, kes jääb oma valiku juurde, kutsutagu „kangekaelseks“ ja seda, kes järgib juhi juhiseid, „tähelepanelikuks“. Siis võidab Kangekaelne, kui ta algselt arvas auto ära (1/3), ja Tähelepanelik, kui ta algselt eksis ja tabas kitse (2/3). Lõppude lõpuks näitab ta ainult sel juhul autoga ukse poole.
Monty Hall, produtsent ja saatejuht Teeme diili 1963-1991.
1990. aastal avaldati see probleem ja selle lahendus Ameerika ajakirjas Parade. Väljaanne tekitas lugejate seas nördinud arvustusi, kellest paljudel oli teaduskraad.
Peamine etteheide seisnes selles, et kõiki ülesande tingimusi ei täpsustatud ja iga nüanss võib tulemust mõjutada. Näiteks võib saatejuht pakkuda otsuse muutmist ainult siis, kui mängija valis esimese käiguna auto. Ilmselgelt toob esialgse valiku muutmine sellises olukorras kaasa garanteeritud kaotuse.
Kuid kogu Monty Halli telesaate jooksul võitsid meelt muutnud inimesed kaks korda sagedamini:
30 mängijast, kes oma algset otsust muutsid, võitis Cadillac 18 ehk 60%.
30 mängijast, kes jäid oma valiku juurde, võitis Cadillac 11 – see tähendab ligikaudu 36%.
Nii et otsuses toodud põhjendus, ükskõik kui ebaloogiline see ka ei tunduks, leiab praktika kinnitust.
Uste arvu suurendamine
Toimuva olemuse lihtsamaks mõistmiseks võime kaaluda juhtumit, kui mängija ei näe enda ees mitte kolme ust, vaid näiteks sadat. Pealegi on ühe ukse taga auto ja teise 99 taga on kitsed. Mängija valib ühe ustest ja 99% juhtudest valib ta ukse koos kitsega ning võimalus kohe autoga ust valida on väga väike - need on 1%. Pärast seda avab saatejuht kitsedega 98 ust ja kutsub mängijat valima ülejäänud ukse. Kuid 99% juhtudest jääb auto selle allesjäänud ukse taha, kuna võimalus, et mängija valis kohe õige ukse, on väga väike. On selge, et antud olukorras peaks ratsionaalselt mõtlev mängija alati juhi pakkumise vastu võtma.
Suurenenud uste arvu kaalumisel tekib sageli küsimus: kui algülesandes avab juht ühe ukse kolmest (st 1/3 uksest koguarv uksed), siis miks peaksime eeldama, et 100 ukse puhul avab saatejuht kitsedega 98 ust, mitte 33? See kaalutlus on tavaliselt üks olulisi põhjusi, miks Monty Halli paradoks on vastuolus olukorra intuitiivse tajumisega. Õige oleks eeldada 98 ukse avanemist, sest probleemi oluline tingimus on ainult ühe ukse olemasolu alternatiivne variant mängija valik, mida saatejuht pakub. Seega, et ülesanded oleksid sarnased, peab juht 4 ukse puhul avama 2 ust, 5 ukse puhul - 3 jne, et alati oleks üks avamata uks peale selle, mis mängija algselt valis. Kui saatejuht avab vähem uksi, ei sarnane ülesanne enam algse Monty Halli ülesandega.
Tuleb märkida, et paljude uste puhul, isegi kui saatejuht jätab suletuks mitte ühe ukse, vaid mitu ning kutsub mängijat neist ühe valima, siis esialgse valiku muutmisel muutub mängija võimalus auto võita. suurenevad, kuigi mitte nii märkimisväärselt. Mõelge näiteks olukorrale, kus mängija valib ühe ukse sajast ja seejärel avab võõrustaja ainult ühe ülejäänud uksest, kutsudes mängijat oma valikut muutma. Samal ajal jääb samaks tõenäosus, et auto on mängija poolt algselt valitud ukse taga - 1/100 ja ülejäänud uste puhul muutuvad võimalused: summaarne tõenäosus, et auto on mõne ülejäänud ukse taga ( 99/100) on nüüd jaotatud mitte üle Uksi on 99, vaid 98. Seetõttu on tõenäosus leida iga nende uste tagant auto mitte 1/100, vaid 99/9800. Tõenäosuse kasv on ligikaudu 1%.
Puu võimalikud lahendused mängija ja saatejuht, näidates iga tulemuse tõenäosust. Formaalsemalt saab mängustsenaariumi kirjeldada otsustuspuu abil. Kahel esimesel juhul, kui mängija valis esmalt ukse, mille taga kits asub, toob valiku muutmine kaasa võidu. Kahel viimasel juhul, kui mängija valis koos autoga esmalt ukse, toob valiku muutmine kaasa kaotuse.
Kui see teile niikuinii selge pole, sülitage valemitele ja lihtsaltkontrollige kõike statistiliselt. Teine võimalik seletus:
- Mängija, kelle strateegia oleks valitud ust iga kord vahetada, kaotaks ainult siis, kui ta valiks algselt selle ukse, mille taga oli auto.
- Kuna esimesel katsel auto valimise tõenäosus on üks kolmest (ehk 33%), on ka võimalus, et mängija oma valikut muudab, üks kolmest (ehk 33%) autot mitte valida.
- See tähendab, et mängija, kes kasutas ukse vahetamise strateegiat, võidaks tõenäosusega 66% ehk kaks kuni kolm.
- See kahekordistab võiduvõimalusi mängijal, kelle strateegia ei ole oma valikut iga kord muuta.
Kas ikka ei usu mind? Oletame, et valisite ukse nr 1. Siin on kõik võimalikud võimalused, mis sel juhul juhtuda võiks.
"Valed on kolme tüüpi: valed, neetud valed ja statistika." See fraas, mille Mark Twain omistas Briti peaministrile Benjamin Disraelile, peegeldab õiglaselt enamuse suhtumist matemaatilistesse seadustesse. Tõepoolest, tõenäosusteooria lööb mõnikord vastu hämmastavad faktid, mida on esmapilgul raske uskuda – ja mida teadus siiski kinnitab. “Teooriad ja praktikad” meenutasid kuulsamaid paradokse.
Monty Halli probleem
Just seda probleemi esitas kaval MIT-i professor tudengitele filmis Twenty-one. Olles andnud õige vastuse, peategelane satub säravate noorte matemaatikute meeskonnale, kes lööb Las Vegase kasiinosid.
Klassikaline sõnastus kõlab järgmiselt: „Oletame, et teatud mängijale pakutakse osaleda kuulsas Ameerika telesaates Let’s Make a Deal, mida juhib Monty Hall, ja ta peab valima ühe kolmest uksest. Kahe ukse taga on kitsed, ühe taga peaauhind, auto, auhindade asukoht teab saatejuht. Pärast seda, kui mängija on oma valiku teinud, avab peremees ühe ülejäänud uksest, mille taga on kits, ja kutsub mängijat oma otsust muutma. Kas mängija peaks nõustuma või on parem jätta oma algne valik?
Siin on tüüpiline mõttekäik: pärast seda, kui peremees on ühe ukse avanud ja kitse näidanud, peab mängija valima kahe ukse vahel. Auto asub neist ühe taga, mis tähendab, et selle äraarvamise tõenäosus on ½. Seega pole vahet, kas muuta oma valikut või mitte. Ja siiski, tõenäosusteooria ütleb, et saate oma võiduvõimalusi suurendada, muutes oma otsust. Mõelgem välja, miks see nii on.
Selleks astume sammu tagasi. Hetkel, kui tegime oma esialgse valiku, jagasime uksed kaheks osaks: meie valitud ja ülejäänud kaks. Ilmselgelt on tõenäosus, et auto peidab end “meie” ukse taha, ⅓ – vastavalt on auto kahest allesjäänud uksest ühe taga tõenäosusega ⅔. Kui saatejuht näitab, et ühe sellise ukse taga on kits, selgub, et see ⅔ võimalus langeb teisele uksele. Ja see vähendab mängija valikut kahele uksele, millest ühe taga (algselt valitud) asub auto tõenäosusega ⅓ ja teise taga - tõenäosusega ⅔. Valik muutub ilmseks. Mis muidugi ei muuda tõsiasja, et mängija sai kohe alguses koos autoga ust valida.
Kolme vangi probleem
Kolme vangi paradoks sarnaneb Monty Halli probleemiga, kuigi see leiab aset dramaatilisemas keskkonnas. Kolm vangi (A, B ja C) mõistetakse karistuseks surmanuhtlus ja paigutati üksikkongi. Kuberner valib neist juhuslikult ühe ja annab talle armu. Korrapidaja teab, kes neist kolmest on armu saanud, kuid tal kästakse see saladuses hoida. Vang A palub valvuril öelda talle teise vangi nimi (peale tema enda), kes kindlasti hukatakse: "Kui B-le armu antakse, öelge, et C hukatakse. Kui B-le armu antakse, siis öelge, et B hukatakse . Kui nad mõlemad hukatakse ja mulle on armu antud, visake münt ja öelge mõni neist kahest nimest. Korraldaja ütleb, et vang B hukatakse. Kas vang A peaks õnnelik olema?
Tundub nii. Lõppude lõpuks oli enne selle teabe saamist vangi A surma tõenäosus ⅔ ja nüüd teab ta, et üks kahest teisest vangist hukatakse - mis tähendab, et tema hukkamise tõenäosus on vähenenud ½-ni. Kuid tegelikult ei õppinud vang A midagi uut: kui talle armu ei anta, öeldi talle teise vangi nimi ja ta teadis juba ette, et üks kahest allesjäänust hukatakse. Kui tal veab ja hukkamine tühistatakse, kuuleb ta juhuslikku nime B või C. Seetõttu pole tema pääsemisvõimalused kuidagi muutunud.
Kujutage nüüd ette, et üks vangidest saab teada vangi A küsimusest ja saadud vastusest. See muudab tema seisukohti armuandmise tõenäosuse kohta.
Kui vang B seda vestlust pealt kuulas, saab ta teada, et ta kindlasti hukatakse. Ja kui vang B, siis on tema armuandmise tõenäosus ⅔. Miks see juhtus? Vang A pole teavet saanud ja tal on endiselt ⅓ võimalus armu saada. Vangile B kindlasti armu ei anta ja tema võimalused on null. See tähendab, et tõenäosus, et kolmas vang vabaneb, on ⅔.
Kahe ümbriku paradoks
See paradoks sai tuntuks tänu matemaatik Martin Gardnerile ja on sõnastatud järgmiselt: “Oletame, et sulle ja sõbrale pakuti kahte ümbrikut, millest ühes on teatud summa X ja teises on kaks korda suurem summa. Te avate iseseisvalt ümbrikud, loendate raha ja saate need vahetada. Ümbrikud on samad, seega on tõenäosus, et saate väiksema kogusega ümbriku, ½. Oletame, et avate ümbriku ja leiate sealt 10 dollarit. Seetõttu on sama tõenäoline, et teie sõbra ümbrik sisaldab 5 või 20 dollarit. Kui otsustate vahetada, saate arvutada lõppsumma matemaatilise ootuse - see tähendab selle keskmise väärtuse. See on 1/2x5$+1/2x20=12,5$. Seega on vahetus teile kasulik. Ja tõenäoliselt mõtleb teie sõber samamoodi. Kuid on ilmne, et vahetus ei saa olla kasulik teile mõlemale. Milles on viga?
Paradoks seisneb selles, et kuni ümbriku avamiseni käituvad tõenäosused hästi: tegelikult on teil 50% tõenäosus, et leiate oma ümbrikust summa X ja 50% tõenäosus, et leiate summa 2X. Ja terve mõistus ütleb, et teave teie käsutuses oleva summa kohta ei saa mõjutada teise ümbriku sisu.
Kuid niipea, kui avate ümbriku, muutub olukord dramaatiliselt (see paradoks sarnaneb mõneti Schrödingeri kassi looga, kus vaatleja kohalolek mõjutab asjade seisu). Fakt on see, et paradoksi tingimuste täitmiseks peab tõenäosus leida teisest ümbrikust teie omast suurem või väiksem summa olema sama. Kuid siis on võrdselt tõenäoline selle summa väärtus nullist lõpmatuseni. Ja kui on võrdselt tõenäoline lõpmatu arv võimalusi, siis need summeeruvad lõpmatuseni. Ja see on võimatu.
Selguse huvides võite ette kujutada, et leiate oma ümbrikust ühe sendi. Ilmselgelt ei saa teine ümbrik sisaldada pooltki summat.
On uudishimulik, et arutelud paradoksi lahendamise üle jätkuvad tänaseni. Samal ajal püütakse paradoksi nii seestpoolt selgitada kui ka arendada parim strateegia käitumine sisse sarnane olukord. Eelkõige pakkus professor Thomas Cover välja originaalse lähenemise strateegia kujundamisele – kas muuta või mitte muuta ümbrist, juhindudes mõnest intuitiivsest ootusest. Oletame, et kui avate ümbriku ja leiate sealt 10 dollarit – teie hinnangul on see väike summa –, tasub see ära vahetada. Ja kui ümbrikus on näiteks 1000 dollarit, mis ületab teie kõige metsikumad ootused, siis pole vaja vahetust. See intuitiivne strateegia, kui teil palutakse regulaarselt valida kaks ümbrikut, võimaldab suurendada koguvõitu rohkem kui strateegia alaline vahetusümbrikud.
Poisi ja tüdruku paradoks
Selle paradoksi pakkus välja ka Martin Gardner ja see on sõnastatud järgmiselt: „Härra Smithil on kaks last. Vähemalt üks laps on poiss. Kui suur on tõenäosus, et ka teine on poiss?
Näib, et ülesanne on lihtne. Kui aga asja uurima hakata, selgub kurioosne asjaolu: õige vastus erineb sellest, kuidas arvutame teise lapse soo tõenäosust.
valik 1
Vaatleme kõiki võimalikke kombinatsioone kahe lapsega peredes:
Tüdruk/tüdruk
Tüdruk poiss
Poiss/tüdruk
Poiss/poiss
Tüdruku/tüdruku variant meile ülesande tingimuste järgi ei sobi. Seetõttu on härra Smithi pere jaoks kolm võrdselt tõenäolist varianti – mis tähendab, et tõenäosus, et ka teine laps on poiss, on ⅓. Täpselt sellise vastuse andis algselt Gardner ise.
2. võimalus
Kujutagem ette, et kohtame härra Smithi tänaval, kui ta oma pojaga jalutab. Kui suur on tõenäosus, et ka teine laps on poiss? Kuna teise lapse sool pole esimese sooga mingit pistmist, on ilmne (ja õige) vastus ½.
Miks see juhtub, sest tundub, et midagi pole muutunud?
Kõik sõltub sellest, kuidas läheneme tõenäosuse arvutamise küsimusele. Esimesel juhul kaalusime Smithi perekonna kõiki võimalikke võimalusi. Teises käsitlesime kõiki allajäävaid perekondi nõutav tingimus"Üks poiss peab olema." Teise lapse soo tõenäosuse arvutamine viidi läbi selle tingimusega (tõenäosusteoorias nimetatakse seda tingimuslikuks tõenäosuseks), mis viis esimesest erineva tulemuseni.