В какви случаи не дава плюс. Правила за знак за умножение и събиране
Разбираме ли умножението правилно?
„- А и Б седяха на тръбата. А падна, Б изчезна, какво остана на тръбата?
„Вашето писмо I остава“.(От филма "Младежи във Вселената")
Защо умножаването на число по нула води до нула?
7 * 0 = 0
Защо, когато умножите две отрицателни числа, получавате положително число?
7 * (-3) = + 21
Какво просто не измислят учителите, за да дадат отговори на тези два въпроса.
Но никой няма смелостта да признае, че във формулировката на умножението има три смислови грешки!
Има ли грешки в основите на аритметиката? В крайна сметка математиката се позиционира като точна наука ...
Училищните учебници по математика не дават отговори на тези въпроси, замествайки обясненията с набор от правила, които трябва да се запомнят. Може би им е трудно да обяснят тази тема в средното училище? Нека се опитаме да разберем тези проблеми.
7 - множител. 3 е множител. 21 - работа.
Според официалната формулировка:
- да умножите едно число с друго число означава да добавите толкова умножени, колкото умножителят предписва.
Според приетата формулировка факторът 3 ни казва, че трябва да има три седмици от дясната страна на равенството.
7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21
Но тази формулировка на умножението не може да обясни поставените по-горе въпроси.
Нека поправим формулировката на умножението
Обикновено в математиката много се има предвид, но не се казва и не се записва.
Това се отнася за знака плюс пред първите седем от дясната страна на равенството. Нека запишем това.
7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21
Но към какво се добавят първите седем. Това означава, че до нула, разбира се. Да напишем нула.
7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21
Ами ако умножим по три минус седем?
7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21
Пишем добавянето на умножаващото -7, всъщност извършваме многократно изваждане от нула. Нека разширим скобите.
7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21
Сега можем да дадем усъвършенствана формулировка на умножението.
- Умножението е повтарящо се добавяне към нула (или изваждане от нула) на умножаващото (-7) толкова пъти, колкото показва умножителят. Факторът (3) и неговият знак (+ или -) показват броя на операциите за добавяне към нула или изваждане от нула.
Съгласно тази усъвършенствана и донякъде модифицирана формулировка на умножението, "правилата за знаци" за умножение, когато множителят е отрицателен, са лесно обяснени.
7 * (-3) - трябва да има три знака минус след нула = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21
7 * (-3) - отново трябва да има три знака минус след нула =
0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21
Умножение по нула
7 * 0 = 0 + ... няма операции за добавяне към нула.
Ако умножението е добавяне към нула и множителят показва броя на операциите, добавящи към нула, тогава множителят нула показва, че нищо не е добавено към нула. Следователно остава нула.
И така, в съществуващата формулировка на умножението открихме три семантични грешки, които блокират разбирането на двете „правила на знаците“ (когато множителят е отрицателен) и умножението на число по нула.
- Необходимо е не да добавяте множителя, а да го добавите към нула.
- Умножението е не само добавяне към нула, но и изваждане от нула.
- Множителят и неговият знак не показват броя на членовете, а броя на знаците плюс или минус при разлагане на умножението на членове (или извадени).
След като изяснихме донякъде формулировката, успяхме да обясним правилата на знаците при умножение и умножението на число по нула без помощта на комутативния закон на умножението, без закона за разпределение, без да използваме аналогии с числовата линия, без уравнения, без доказателства за противното и т.н.
Правилата на знаците според изтънчената формулировка на умножението се извеждат много просто.
7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)
7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)
7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)
7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)
Множителят и неговият знак (+3 или -3) показват броя на знаците "+" или "-" от дясната страна на уравнението.
Модифицираната формулировка на умножението съответства на операцията за повишаване на число на степен.
2^3 = 1*2*2*2 = 8
2^0 = 1 (едно не се умножава или дели по нищо, така че остава едно)
2^-1 = 1: 2 = 1/2
2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4
2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8
Математиците са съгласни, че повишаването на число на положителна степен е многократно умножение на едно. И повдигането на число на отрицателна степен е многократно деление на едно.
Операцията за умножение трябва да е подобна на операцията за степенуване.
2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6
2*2 = 0 + 2 + 2 = 4
2*0 = 0 (нищо не се добавя към нула и нищо не се изважда от нула)
2*-1 = 0 - 2 = -2
2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4
2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6
Променената формулировка на умножението не променя нищо в математиката, но връща първоначалния смисъл на операцията умножение, обяснява "правилата на знаците", умножението на число по нула и съгласува умножението с степенуването.
Нека проверим дали нашата формулировка за умножение е в съответствие с операцията деление.
15: 5 = 3 (обратна операция на умножение 5 * 3 = 15)
Коефициентът (3) съответства на броя операции на събиране до нула (+3) по време на умножението.
Разделянето на числото 15 на 5 означава да намерите колко пъти трябва да извадите 5 от 15. Това се прави чрез последователно изваждане до получаване на нулев резултат.
За да намерите резултата от деленето, трябва да преброите броя на знаците минус. Те са три.
15: 5 = 3 операции за изваждане на пет от 15, докато се получи нула.
15 - 5 - 5 - 5 = 0 (деление 15:5)
0 + 5 + 5 + 5 = 15 (умножете 5 * 3)
Деление с остатък.
17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0
17:5 = 3 и 2 остатък
Щом има деление с остатък, защо да няма умножение с придатък?
2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17
Разглеждаме разликата във формулировката на калкулатора
Съществуващата формулировка на умножението (три члена).
10 + 10 + 10 = 30
Коригирана формулировка на умножението (три операции събиране до нула).
0 + 10 = = = 30
(Щракнете върху „равно“ три пъти.)
10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Коефициент 3 показва, че множителят 10 трябва да се добави към нула три пъти.
Опитайте да умножите (-10) * (-3), като добавите члена (-10) минус три пъти!
(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?
Какво означава знакът минус за три? Може би така?
(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?
Опс... Не е възможно продуктът да се разложи на сумата (или разликата) на членовете (-10).
С променената формулировка това е направено правилно.
0 - (-10) = = = +30
(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Множителят (-3) показва, че умноженото (-10) трябва да бъде извадено от нула три пъти.
Правила за знак за събиране и изваждане
По-горе беше показан прост начин за извличане на правилата за знак за умножение чрез промяна на значението на формулировката за умножение.
Но за изхода използвахме правилата за знаци при събиране и изваждане. Те са почти същите като при умножението. Нека създадем визуализация на правилата на знаците за събиране и изваждане, така че дори първокласник да може да я разбере.
Какво е "минус", "отрицателно"?
В природата няма нищо негативно. Няма отрицателна температура, няма отрицателна посока, няма отрицателна маса, няма отрицателни заряди... Дори синусът по своята същност може да бъде само положителен.
Но математиците са измислили отрицателни числа. За какво? Какво означава "минус"?
Минус означава обратната посока. Ляво, дясно. Горе долу. По часовниковата стрелка - обратно на часовниковата стрелка. Напред и назад. Студено горещо. Леко тежък. Бавно - бързо. Ако се замислите, можете да дадете много други примери, където е удобно да използвате отрицателни стойности.
В света, който познаваме, безкрайността започва от нула и отива до плюс безкрайност.
„Минус безкрайност“ не съществува в реалния свят. Това е същата математическа конвенция като понятието "минус".
И така, "минус" означава обратна посока: движение, въртене, процес, умножение, събиране. Нека анализираме различните посоки при събиране и изваждане на положителни и отрицателни (увеличаващи се в другата посока) числа.
Сложността на разбирането на правилата за знаци за събиране и изваждане се дължи на факта, че тези правила обикновено се опитват да обяснят върху числова ос. На числовата ос се смесват три различни компонента, от които се извличат правила. И поради смесването, поради изхвърлянето на различни концепции на една купчина, се създават трудности за разбиране.
За да разберем правилата, трябва да разделим:
- първият член и сумата (те ще бъдат на хоризонтална ос);
- вторият член (той ще бъде на вертикалната ос);
- посока на операциите събиране и изваждане.
Това разделение е ясно показано на фигурата. Мислено си представете, че вертикалната ос може да се върти, насложена върху хоризонталната ос.
Операцията на събиране винаги се извършва чрез завъртане на вертикалната ос по посока на часовниковата стрелка (знак плюс). Операцията на изваждане винаги се извършва чрез завъртане на вертикалната ос обратно на часовниковата стрелка (знак минус).
Пример. Диаграма в долния десен ъгъл.
Вижда се, че два съседни знака минус (знакът на операцията за изваждане и знакът на числото 3) имат различно значение. Първият минус показва посоката на изваждане. Второто минус е знакът на числото по вертикалната ос.
Намерете първия член (-2) на хоризонталната ос. Намерете втория член (-3) на вертикалната ос. Мислено завъртете вертикална особратно на часовниковата стрелка, докато се подравни (-3) с числото (+1) на хоризонталната ос. Числото (+1) е резултат от събирането.
операция изваждане
дава същия резултат като операцията събиране в диаграмата в горния десен ъгъл.
Следователно два съседни знака "минус" могат да бъдат заменени с един знак "плюс".
Всички сме свикнали да използваме готови аритметични правила, без да мислим за тяхното значение. Затова често дори не забелязваме как правилата за знаци при събиране (изваждане) се различават от правилата за знаци при умножение (деление). Изглеждат ли еднакви? Почти... Можете да видите малка разлика на следващата илюстрация.
Сега имаме всичко необходимо, за да изведем знаковите правила за умножение. Последователността на изхода е както следва.
- Нагледно показваме как се получават правилата за знаци за събиране и изваждане.
- Правим семантични промени в съществуващата формулировка на умножението.
- Въз основа на модифицираната формулировка на умножението и правилата за знаци за събиране, извеждаме правилата за знаци за умножение.
Забележка.
По-долу са написани правило за знаци за събиране и изважданеполучени от визуализацията. И в червено, за сравнение, същите правила за знаци от учебник по математика. Сивият плюс в скоби е невидимият плюс, който не се изписва за положително число.
Между термините винаги има два знака: знакът на операцията и знакът на числото (не пишем плюса, а го имаме предвид). Правилата на знаците предписват замяната на една двойка знаци с друга двойка, без да се променя резултатът от събирането (изваждането). Всъщност има само две правила.
Правила 1 и 3 (за визуализация) - дублиране на правила 4 и 2 .. Правила 1 и 3 в училищната интерпретация не съвпадат с визуалната схема, следователно те не се прилагат към правилата на знаците в допълнение. Това са други правила...
1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???
2. +- = -(+).......... + - = - (+) добре
3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???
4. -- = +(+) ......... - - = + (+) добре
Училищно правило 1. (червено) ви позволява да замените два плюса подред с един плюс. Правилото не важи за заместване на знаци при събиране и изваждане.
Училищно правило 3. (червен цвят) ви позволява да не пишете знак плюс за положително число след операция за изваждане. Правилото не важи за заместване на знаци при събиране и изваждане.
Значението на правилата за добавяне на знаци е замяната на една ДВОЙКА знаци с друга ДВОЙКА знаци, без да се променя резултатът от събирането.
Училищните методисти смесват две правила в едно правило:
Правила за два знака за събиране и изваждане на положителни и отрицателни числа (замяна на една двойка знаци с друга двойка знаци);
Две правила, по които не можете да пишете знак плюс за положително число.
Две различни правила, смесени в едно, са подобни на правилата за знаците при умножение, където трето следва от два знака. Изглеждайте като едно към едно.
Добре объркан! Направете същото отново, за по-добро разплитане. Нека подчертаем знаците на операциите в червено, за да ги различим от знаците на числата.
1. Събиране и изваждане. Две правила за знаци, чрез които се разменят двойки знаци между термините. Знак за операция и знак за число.
+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)
+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)
2. Две правила, по които е разрешено знакът плюс на положително число да не се изписва. Това са правилата на формата за участие. Не се отнася за добавяне. При положително число се записва само знакът на операцията.
- + = - |||||||||| - (+2) = - 2
+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2
3. Четири правила за знаци при умножение. Когато третият знак на произведението следва от два знака за множител. В правилата на знаците за умножение само знаци на числата.
+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2
+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2
- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2
- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2
Сега, след като разделихме правилата за нотиране, трябва да е ясно, че правилата за знаци за събиране и изваждане изобщо не са като правилата за знаци за умножение.
В.Козаренко
Минус и плюс са знаци за отрицателни и положителни числа в математиката. Те взаимодействат със себе си по различни начини, следователно, когато извършвате каквито и да е действия с числа, например деление, умножение, изваждане, събиране и т.н., е необходимо да се вземе предвид подписвайте правила. Без тези правила никога няма да можете да решите дори най-простата алгебрична или геометрична задача. Без познаване на тези правила няма да можете да изучавате не само математика, но и физика, химия, биология и дори география.
Нека разгледаме по-подробно основните правила на знаците.
дивизия.
Ако разделим "плюс" на "минус", винаги получаваме "минус". Ако разделим "минус" на "плюс", винаги получаваме също "минус". Ако разделим "плюс" на "плюс", получаваме "плюс". Ако разделим „минус“ на „минус“, тогава, колкото и да е странно, също получаваме „плюс“.
Умножение.
Ако умножим "минус" по "плюс", винаги получаваме "минус". Ако умножим "плюс" по "минус", винаги получаваме и "минус". Ако умножим "плюс" по "плюс", тогава получаваме положително число, тоест "плюс". Същото важи и за две отрицателни числа. Ако умножим "минус" по "минус", получаваме "плюс".
Изваждане и събиране.
Те се основават на други принципи. Ако отрицателно число е по-голямо по абсолютна стойност от нашето положително, тогава резултатът, разбира се, ще бъде отрицателен. Със сигурност се чудите какво е модул и защо изобщо е тук. Всичко е много просто. Модулът е стойността на число, но без знак. Например -7 и 3. Модул -7 ще бъде просто 7, а 3 ще остане 3. В резултат на това виждаме, че 7 е по-голямо, тоест се оказва, че нашето отрицателно число е по-голямо. Така че ще излезе -7 + 3 \u003d -4. Може да се направи още по-лесно. Просто поставете положително число на първо място и ще излезе 3-7 = -4, може би е по-разбираемо за някой. Изваждането работи по абсолютно същия начин.
Две отрицания правят утвърдително- това е правило, което научихме в училище и прилагаме цял живот. Кой от нас се чудеше защо? Разбира се, че е по-лесно без ненужни въпросизапомнете това твърдение и не навлизайте дълбоко в същността на въпроса. Сега вече има достатъчно информация, която трябва да бъде „усвоена“. Но за тези, които все още се интересуват от този въпрос, ще се опитаме да обясним този математически феномен.
От древни времена хората са използвали положителни естествени числа: 1, 2, 3, 4, 5, ... Говедата, посевите, враговете и т.н. бяха преброени с помощта на числа. При събирането и умножаването на две положителни числа винаги се получаваше положително число, при разделянето на едни количества на други не винаги се получаваха естествени числа - така се появиха дробните числа. Какво ще кажете за изваждането? От детството знаем, че е по-добре да добавим по-малкото към по-голямото и да извадим по-малкото от по-голямото, като отново не използваме отрицателни числа. Оказва се, че ако имам 10 ябълки, мога да дам на някого само под 10 или 10. Няма как да дам 13 ябълки, защото нямам. Отдавна нямаше нужда от отрицателни числа.
Едва от 7 век сл.н.е.отрицателните числа бяха използвани в някои системи за броене като помощни стойности, което направи възможно получаването на положително число в отговора.
Помислете за пример, 6x - 30 \u003d 3x - 9. За да намерите отговора, е необходимо да оставите условията с неизвестни от лявата страна, а останалите отдясно: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. При решаването на това уравнение дори няма отрицателни числа. Можем да преместим членове с неизвестни към правилната страна, и без неизвестни - вляво: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Когато разделяме отрицателно число на отрицателно, получаваме положителен отговор: x \u003d 7.
какво виждаме
Действията с отрицателни числа трябва да ни доведат до същия отговор като действията само с положителни числа. Вече не можем да мислим за практическата непригодност и смисъл на действията - те ни помагат да решим проблема много по-бързо, без да свеждаме уравнението до формата само с положителни числа. В нашия пример не използвахме сложни изчисления, а с в големи количестваусловия, изчисленията с отрицателни числа могат да улеснят работата ни.
С течение на времето, след продължителни експерименти и изчисления, беше възможно да се идентифицират правилата, на които се подчиняват всички числа и действия върху тях (в математиката те се наричат аксиоми). Оттам дойде аксиома, която гласи, че когато умножите две отрицателни числа, получавате положително число.
www.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.
Когато слушат учител по математика, повечето ученици възприемат материала като аксиома. В същото време малко хора се опитват да стигнат до дъното и да разберат защо "минус" към "плюс" дава знак "минус", а при умножаване на две отрицателни числа излиза положително.
Закони на математиката
Повечето възрастни не са в състояние да обяснят на себе си или на децата си защо се случва това. Те бяха научили добре този материал в училище, но дори не се опитаха да разберат откъде идват тези правила. Но напразно. Често съвременните деца не са толкова лековерни, те трябва да стигнат до дъното на въпроса и да разберат, да речем, защо „плюс“ на „минус“ дава „минус“. И понякога момчетата умишлено задават сложни въпроси, за да се насладят на момента, когато възрастните не могат да дадат разбираем отговор. И наистина е катастрофа, ако млад учител изпадне в беда ...
Между другото, трябва да се отбележи, че правилото, споменато по-горе, е валидно както за умножение, така и за деление. Произведението на отрицателно и положително число ще даде само минус. Ако говорим сиоколо две цифри със знак "-", тогава резултатът ще бъде положително число. Същото важи и за разделението. Ако едно от числата е отрицателно, частното също ще бъде със знак "-".
За да се обясни правилността на този закон на математиката, е необходимо да се формулират аксиомите на пръстена. Но първо трябва да разберете какво е то. В математиката е обичайно да се нарича пръстен набор, в който участват две операции с два елемента. Но е по-добре да разберете това с пример.
Аксиома за пръстена
Има няколко математически закона.
- Първият от тях е изместим, според него C + V = V + C.
- Вторият се нарича асоциативен (V + C) + D = V + (C + D).
Умножението (V x C) x D \u003d V x (C x D) също им се подчинява.
Никой не е отменил правилата, по които се отварят скоби (V + C) x D = V x D + C x D, вярно е също, че C x (V + D) = C x V + C x D.
Освен това е установено, че в пръстена може да се въведе специален, неутрален по отношение на добавянето елемент, с помощта на който ще бъде вярно следното: C + 0 = C. Освен това за всеки C има противоположен елемент, който може се обозначава като (-C). В този случай C + (-C) \u003d 0.
Извеждане на аксиоми за отрицателни числа
Приемайки горните твърдения, можем да отговорим на въпроса: "Плюс" върху "минус" дава какъв знак? Познавайки аксиомата за умножението на отрицателни числа, е необходимо да се потвърди, че наистина (-C) x V = -(C x V). И също така, че е вярно следното равенство: (-(-C)) = C.
За целта първо трябва да докажем, че всеки от елементите има само един противоположен „брат“. Обмисли следващ примердоказателство. Нека се опитаме да си представим, че две числа са противоположни за C - V и D. От това следва, че C + V = 0 и C + D = 0, т.е. C + V = 0 = C + D. Припомняме си законите за изместване и относно свойствата на числото 0, можем да разгледаме сумата от трите числа: C, V и D. Нека се опитаме да разберем стойността на V. Логично е V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, тъй като стойността на C + D, както беше прието по-горе, е равна на 0. Следователно V = V + C + D.
Стойността за D се извлича по същия начин: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Въз основа на това става ясно, че V = D.
За да разберете защо въпреки това „плюсът“ на „минус“ дава „минус“, трябва да разберете следното. И така, за елемента (-C), противоположните са C и (-(-C)), тоест те са равни един на друг.
Тогава е очевидно, че 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. От това следва, че C x V е противоположно на (-) C x V , което означава (- C) x V = -(C x V).
За пълна математическа строгост е необходимо също така да се потвърди, че 0 x V = 0 за всеки елемент. Ако следвате логиката, тогава 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Това означава, че добавянето на продукта 0 x V не променя зададената сума по никакъв начин. В крайна сметка този продукт е равен на нула.
Познавайки всички тези аксиоми, е възможно да се изведе не само колко дава "плюс" по "минус", но и какво се случва, когато се умножат отрицателни числа.
Умножение и деление на две числа със знак "-".
Ако не се задълбочавате в математическите нюанси, тогава можете да опитате да обясните правилата за действие с отрицателни числа по по-прост начин.
Да предположим, че C - (-V) = D, въз основа на това C = D + (-V), т.е. C = D - V. Прехвърляме V и получаваме, че C + V = D. Тоест C + V = C - (-V). Този пример обяснява защо в израз, където има два "минуса" подред, споменатите знаци трябва да се променят на "плюс". Сега нека се заемем с умножението.
(-C) x (-V) \u003d D, два еднакви продукта могат да се добавят и изваждат към израза, което няма да промени стойността му: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.
Спомняйки си правилата за работа със скоби, получаваме:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
От това следва, че C x V \u003d (-C) x (-V).
По подобен начин можем да докажем, че резултатът от разделянето на две отрицателни числа ще бъде положителен.
Общи математически правила
Разбира се, такова обяснение не е подходящо за ученици от началното училище, които тепърва започват да учат абстрактни отрицателни числа. По-добре е да обясняват върху видими обекти, манипулирайки познатия термин през огледалото. Например, там се намират измислени, но несъществуващи играчки. Те могат да бъдат показани със знак "-". Умножението на два огледални обекта ги отвежда в друг свят, който е равен на реалния, тоест в резултат на това имаме положителни числа. И тук е умножаването на абстрактното отрицателно числона положително дава само резултат, познат на всички. В крайна сметка „плюс“, умножен по „минус“, дава „минус“. Вярно е, че децата не се опитват твърде много да се ровят във всички математически нюанси.
Въпреки че, ако погледнете истината, за много хора, дори и с висше образованиеи много от правилата остават загадка. Всеки приема за даденост това, на което го учат учителите, без да се задълбочава във всички сложности, с които е изпълнена математиката. „Минус“ на „минус“ дава „плюс“ - всеки знае за това без изключение. Това важи както за цели, така и за дробни числа.
1) Защо минус едно по минус едно е равно на плюс едно?
2) Защо минус едно по плюс едно е равно на минус едно?
Врагът на моя враг е мой приятел
Най-лесният отговор е: "Защото това са правилата за работа с отрицателни числа." Правилата, които научаваме в училище и прилагаме през целия си живот. В учебниците обаче не се обяснява защо правилата са такива, каквито са. Първо ще се опитаме да разберем това от историята на развитието на аритметиката, а след това ще отговорим на този въпрос от гледна точка на съвременната математика.
Преди много време хората знаеха само естествени числа: 1, 2, 3, ... Те се използваха за броене на прибори, плячка, врагове и т.н. Но самите числа са доста безполезни - трябва да можете да боравите с тях. Събирането е ясно и разбираемо, освен това сумата от две естествени числа също е естествено число (математик би казал, че множеството от естествени числа е затворено спрямо операцията събиране). Умножението всъщност е същото събиране, ако говорим за естествени числа. В живота често извършваме действия, свързани с тези две операции (например, когато пазаруваме, събираме и умножаваме) и е странно да мислим, че нашите предци са ги срещали по-рядко - събирането и умножението са овладени от човечеството много дълго време преди. Често е необходимо да се раздели едно количество на друго, но тук резултатът не винаги се изразява като естествено число - така се появиха дробните числа.
Изваждането, разбира се, също е незаменимо. Но на практика ние сме склонни да извадим по-малкото число от по-голямото число и няма нужда да използваме отрицателни числа. (Ако имам 5 бонбона и дам 3 на сестра ми, тогава ще имам 5 - 3 = 2 бонбона, но не мога да й дам 7 бонбона с цялото си желание.) Това може да обясни защо хората не са използвали отрицателни числа за дълго време.
Отрицателните числа се появяват в индийските документи от 7 век сл. Хр.; китайците, очевидно, са започнали да ги използват малко по-рано. Те са използвани за отчитане на дългове или в междинни изчисления за опростяване на решението на уравнения - това е само инструмент за получаване на положителен отговор. Фактът, че отрицателните числа, за разлика от положителните, не изразяват присъствието на никаква същност, буди силно недоверие. Хората буквално избягваха отрицателните числа: ако даден проблем получи отрицателен отговор, те вярваха, че изобщо няма отговор. Това недоверие се запази много дълго време и дори Декарт - един от "основателите" на съвременната математика - ги нарече "фалшиви" (през 17 век!).
Помислете например за уравнението 7x - 17 = 2x - 2. Може да се реши по следния начин: преместете членовете с неизвестното на лява страна, а останалите - надясно, се оказва 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, х=3. С това решение дори не срещнахме отрицателни числа.
Но човек може случайно да го направи по различен начин: да премести членовете с неизвестното в дясната страна и да получи 2 - 17 = 2x - 7x, (–15) = (–5)x. За да намерите неизвестното, трябва да разделите едно отрицателно число на друго: x = (–15)/(–5). Но правилният отговор е известен и остава да се заключи, че (–15)/(–5) = 3 .
Какво демонстрира този прост пример? Първо, става ясна логиката, която определя правилата за действия върху отрицателни числа: резултатите от тези действия трябва да съвпадат с отговорите, които са получени по различен начин, без отрицателни числа. Второ, позволявайки използването на отрицателни числа, ние се отърваваме от досадното (ако уравнението се окаже по-сложно, с голям брой термини) търсене на пътя на решение, в който всички действия се извършват само върху естествени числа. Освен това вече не можем да мислим всеки път за смисъла на преобразуваните величини - а това вече е стъпка към превръщането на математиката в абстрактна наука.
Правилата за действия върху отрицателни числа не се формираха веднага, а се превърнаха в обобщение на множество примери, възникнали при решаването на приложни проблеми. Като цяло развитието на математиката може условно да се раздели на етапи: всеки следващ етап се различава от предишния с ново ниво на абстракция при изучаването на обектите. И така, през 19-ти век математиците осъзнаха, че целите числа и полиномите, въпреки всичките си външни различия, имат много общи неща: и двете могат да се добавят, изваждат и умножават. Тези операции се подчиняват на едни и същи закони – както при числата, така и при полиномите. Но разделянето на цели числа едно на друго, така че резултатът отново да е цели числа, не винаги е възможно. Същото важи и за полиномите.
След това бяха открити други колекции от математически обекти, върху които могат да се извършват такива операции: формални степенни редове, непрекъснати функции ... Накрая дойде разбирането, че ако изучавате свойствата на самите операции, тогава резултатите могат да бъдат приложени към всички тези колекции от обекти (този подход е типичен за цялата съвременна математика).
В резултат на това се появи нова концепция: пръстен. Това е просто куп елементи плюс действия, които могат да бъдат извършени върху тях. Фундаменталните правила тук са просто правила (те се наричат аксиоми), на които подлежат действията, а не естеството на елементите на набора (ето го, ново нивоабстракции!). Искайки да подчертаят, че е важна структурата, която възниква след въвеждането на аксиомите, математиците казват: пръстенът от цели числа, пръстенът от полиноми и т.н. Като се започне от аксиомите, могат да се изведат други свойства на пръстените.
Ще формулираме аксиомите на пръстена (които, разбира се, са подобни на правилата за операции с цели числа) и след това ще докажем, че във всеки пръстен умножаването на минус по минус води до плюс.
пръстене набор с две двоични операции (т.е. два елемента от пръстена участват във всяка операция), които традиционно се наричат събиране и умножение, и следните аксиоми:
- добавянето на пръстеновидни елементи се подчинява на комутативност ( A + B = B + Aза всякакви елементи АИ б) и асоциативни ( A + (B + C) = (A + B) + C) закони; в пръстена има специален елемент 0 (неутрален елемент чрез добавяне), така че А + 0 = А, и за всеки елемент Аима противоположен елемент (означ (–A)), Какво A + (–A) = 0;
- умножението се подчинява на закона за комбиниране: A (B C) = (A B) C;
- събирането и умножението са свързани със следните правила за разширяване в скоби: (A + B) C = A C + B CИ A (B + C) = A B + A C.
Обърнете внимание, че пръстените, в най-общата конструкция, не изискват умножението да бъде пермутабилно, нито е обратимо (т.е. не винаги е възможно да се дели), нито съществуването на единица - неутрален елемент по отношение на умножението. Ако се въведат тези аксиоми, тогава се получават други алгебрични структури, но всички теореми, доказани за пръстени, ще бъдат верни в тях.
Сега доказваме това за всякакви елементи АИ бпроизволният пръстен е верен, първо, (–A) B = –(A B), и второ (–(–A)) = A. От това лесно следват твърдения за единици: (–1) 1 = –(1 1) = –1И (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1.
За да направим това, трябва да установим някои факти. Първо доказваме, че всеки елемент може да има само една противоположност. Наистина, нека елементът Аима две противоположности: бИ СЪС. Това е A + B = 0 = A + C. Помислете за сумата A+B+C. Използвайки асоциативните и комутативните закони и свойството нула, получаваме, че от една страна сборът е равен на B:B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а от друга страна е равно на C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. означава, B=C.
Нека сега да отбележим това А, И (–(–A))са противоположни на един и същи елемент (–A), така че трябва да са равни.
Първият факт е следният: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, това е (–A) Бпротивоположност А Б, така че е равно на – (A B).
За да бъдем математически строги, нека обясним защо 0 B = 0за всеки елемент б. Наистина, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Тоест допълнението 0 Бне променя сумата. Така че този продукт е равен на нула.
А фактът, че в пръстена има точно една нула (все пак аксиомите казват, че такъв елемент съществува, но нищо не се казва за неговата уникалност!), ще оставим на читателя като просто упражнение.
Когато слушат учител по математика, повечето ученици възприемат материала като аксиома. В същото време малко хора се опитват да стигнат до дъното и да разберат защо "минус" към "плюс" дава знак "минус", а при умножаване на две отрицателни числа излиза положително.
Закони на математиката
Повечето възрастни не са в състояние да обяснят на себе си или на децата си защо се случва това. Те бяха научили добре този материал в училище, но дори не се опитаха да разберат откъде идват тези правила. Но напразно. Често съвременните деца не са толкова лековерни, те трябва да стигнат до дъното на въпроса и да разберат, да речем, защо „плюс“ на „минус“ дава „минус“. И понякога момчетата умишлено задават сложни въпроси, за да се насладят на момента, когато възрастните не могат да дадат разбираем отговор. И наистина е катастрофа, ако млад учител изпадне в беда ...
Между другото, трябва да се отбележи, че правилото, споменато по-горе, е валидно както за умножение, така и за деление. Произведението на отрицателно и положително число ще даде само минус. Ако говорим за две цифри със знак „-“, тогава резултатът ще бъде положително число. Същото важи и за разделението. Ако едно от числата е отрицателно, частното също ще бъде със знак "-".
За да се обясни правилността на този закон на математиката, е необходимо да се формулират аксиомите на пръстена. Но първо трябва да разберете какво е то. В математиката е обичайно да се нарича пръстен набор, в който участват две операции с два елемента. Но е по-добре да разберете това с пример.
Аксиома за пръстена
Има няколко математически закона.
- Първият от тях е изместим, според него C + V = V + C.
- Вторият се нарича асоциативен (V + C) + D = V + (C + D).
Умножението (V x C) x D \u003d V x (C x D) също им се подчинява.
Никой не е отменил правилата, по които се отварят скоби (V + C) x D = V x D + C x D, вярно е също, че C x (V + D) = C x V + C x D.
Освен това е установено, че в пръстена може да се въведе специален, неутрален по отношение на добавянето елемент, с помощта на който ще бъде вярно следното: C + 0 = C. Освен това за всеки C има противоположен елемент, който може се обозначава като (-C). В този случай C + (-C) \u003d 0.
Извеждане на аксиоми за отрицателни числа
Приемайки горните твърдения, можем да отговорим на въпроса: "Плюс" върху "минус" дава какъв знак? Познавайки аксиомата за умножението на отрицателни числа, е необходимо да се потвърди, че наистина (-C) x V = -(C x V). И също така, че е вярно следното равенство: (-(-C)) = C.
За целта първо трябва да докажем, че всеки от елементите има само един противоположен „брат“. Разгледайте следния доказателствен пример. Нека се опитаме да си представим, че две числа са противоположни за C - V и D. От това следва, че C + V = 0 и C + D = 0, т.е. C + V = 0 = C + D. Припомняме си законите за изместване и относно свойствата на числото 0, можем да разгледаме сумата от трите числа: C, V и D. Нека се опитаме да разберем стойността на V. Логично е V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, тъй като стойността на C + D, както беше прието по-горе, е равна на 0. Следователно V = V + C + D.
Стойността за D се извлича по същия начин: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Въз основа на това става ясно, че V = D.
За да разберете защо въпреки това „плюсът“ на „минус“ дава „минус“, трябва да разберете следното. И така, за елемента (-C), противоположните са C и (-(-C)), тоест те са равни един на друг.
Тогава е очевидно, че 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. От това следва, че C x V е противоположно на (-) C x V , което означава (- C) x V = -(C x V).
За пълна математическа строгост е необходимо също така да се потвърди, че 0 x V = 0 за всеки елемент. Ако следвате логиката, тогава 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Това означава, че добавянето на продукта 0 x V не променя зададената сума по никакъв начин. В крайна сметка този продукт е равен на нула.
Познавайки всички тези аксиоми, е възможно да се изведе не само колко дава "плюс" по "минус", но и какво се случва, когато се умножат отрицателни числа.
Умножение и деление на две числа със знак "-".
Ако не се задълбочавате в математическите нюанси, тогава можете да опитате повече по прост начинобяснете правилата за работа с отрицателни числа.
Да предположим, че C - (-V) = D, въз основа на това C = D + (-V), т.е. C = D - V. Прехвърляме V и получаваме, че C + V = D. Тоест C + V = C - (-V). Този пример обяснява защо в израз, където има два "минуса" подред, споменатите знаци трябва да се променят на "плюс". Сега нека се заемем с умножението.
(-C) x (-V) \u003d D, два еднакви продукта могат да се добавят и изваждат към израза, което няма да промени стойността му: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.
Спомняйки си правилата за работа със скоби, получаваме:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
От това следва, че C x V \u003d (-C) x (-V).
По подобен начин можем да докажем, че резултатът от разделянето на две отрицателни числа ще бъде положителен.
Общи математически правила
Разбира се, такова обяснение не е подходящо за ученици от началното училище, които тепърва започват да учат абстрактни отрицателни числа. По-добре е да обясняват върху видими обекти, манипулирайки познатия термин през огледалото. Например, там се намират измислени, но несъществуващи играчки. Те могат да бъдат показани със знак "-". Умножаването на два огледални обекта ги прехвърля в друг свят, който се приравнява на настоящето, тоест в резултат на това имаме положителни числа. Но умножението на абстрактно отрицателно число с положително дава само познатия на всички резултат. В крайна сметка „плюс“, умножен по „минус“, дава „минус“. Вярно е, че децата не се опитват твърде много да се ровят във всички математически нюанси.
Въпреки че, ако погледнете истината, за много хора, дори и с висше образование, много правила остават загадка. Всеки приема за даденост това, на което го учат учителите, без да се задълбочава във всички сложности, с които е изпълнена математиката. „Минус“ на „минус“ дава „плюс“ - всеки знае за това без изключение. Това важи както за цели, така и за дробни числа.