Оси на симетрия. Фигури с ос на симетрия
Днес ще говорим за едно явление, с което всеки от нас постоянно се сблъсква в живота си: за симетрията. Какво е симетрия?
Приблизително всички ние разбираме значението на този термин. Речникът казва: симетрията е пропорционалността и пълното съответствие на разположението на части от нещо спрямо линия или точка. Има два вида симетрия: аксиална и радиална. Нека първо да разгледаме оста. Това е, да кажем, "огледална" симетрия, когато едната половина на обекта е напълно идентична с втората, но я повтаря като отражение. Погледнете половинките на листа. Те са огледално симетрични. симетричен и половин човешкото тяло(анфас) - същите ръце и крака, същите очи. Но нека не се лъжем, всъщност в органичния (живия) свят не може да се намери абсолютна симетрия! Половинките на листа не се копират перфектно една друга, същото важи и за човешкото тяло (вижте го сами); същото важи и за други организми! Между другото, струва си да добавим, че всяко симетрично тяло е симетрично спрямо зрителя само в една позиция. Необходимо е, да речем, да обърнете листа или да вдигнете една ръка и какво? - вижте сами.
Хората постигат истинска симетрия в продуктите на своя труд (вещи) – дрехи, коли... В природата тя е характерна за неорганичните образувания, например кристалите.
Но да преминем към практиката. Не си струва да започваме със сложни обекти като хора и животни, нека се опитаме да завършим огледалната половина на листа като първо упражнение в нова област.
Начертайте симетричен обект - урок 1
Нека се опитаме да го направим възможно най-сходен. За да направим това, ние буквално ще изградим нашата сродна душа. Не си мислете, че е толкова лесно, особено първия път, да начертаете огледално съответстваща линия с един удар!
Нека маркираме няколко референтни точки за бъдещата симетрична линия. Ние действаме така: рисуваме с молив без натиск няколко перпендикуляра към оста на симетрия - средната вена на листа. Четири-пет са достатъчни. И на тези перпендикуляри измерваме вдясно същото разстояние като на лявата половина до линията на ръба на листа. Съветвам ви да използвате линийката, не разчитайте наистина на окото. Като правило сме склонни да намалим рисунката - забелязано е от опита. Не препоръчваме да измервате разстояния с пръсти: грешката е твърде голяма.
Свържете получените точки с линия с молив:
Сега гледаме щателно - наистина ли половинките са еднакви. Ако всичко е правилно, ще го оградим с флумастер, изясняваме нашата линия:
Тополовият лист е завършен, сега можете да замахнете към дъбовия.
Да нарисуваме симетрична фигура - урок 2
В този случай трудността се състои в това, че вените са маркирани и не са перпендикулярни на оста на симетрия и трябва да се спазват не само размерите, но и ъгълът на наклона. Е, нека тренираме окото:
Така че беше нарисуван симетричен дъбов лист, или по-скоро го построихме според всички правила:
Как да нарисуваме симетричен обект - урок 3
И ще поправим темата - ще завършим рисуването на симетричен лист от люляк.
Той също има интересна форма- с форма на сърце и с уши в основата, които трябва да издуете:
Ето какво нарисуваха:
Погледнете получената работа от разстояние и преценете колко точно успяхме да предадем необходимото сходство. Ето един съвет за вас: погледнете образа си в огледалото и то ще ви каже дали има грешки. Друг начин: огънете изображението точно по оста (вече се научихме как да огъваме правилно) и изрежете листа по оригиналната линия. Погледнете самата фигура и изрязаната хартия.
От древни времена човекът е развил идеи за красотата. Всички творения на природата са красиви. Хората са красиви по свой собствен начин, животните и растенията са възхитителни. Спектакълът е приятен за окото скъпоценен камъкили солен кристал, трудно е да не се възхитите на снежинка или пеперуда. Но защо се случва това? Струва ни се, че външният вид на обектите е правилен и пълен, правилен и лява половинакоето изглежда същото като в огледален образ.
Очевидно хората на изкуството бяха първите, които се замислиха за същността на красотата. Древни скулптори, които изучават структурата на човешкото тяло, още през 5 век пр.н.е. започва да използва понятието "симетрия". Тази дума е от гръцки произход и означава хармония, пропорционалност и сходство в подреждането на съставните части. Платон твърди, че само това, което е симетрично и пропорционално, може да бъде красиво.
В геометрията и математиката се разглеждат три вида симетрия: аксиална симетрия(спрямо права линия), централен (спрямо точка) и огледален (спрямо равнина).
Ако всяка от точките на обекта има собствено точно картографиране спрямо центъра си в него, тогава централна симетрия. Неговите примери са такива геометрични тела като цилиндър, топка, дясна призмаи т.н.
Аксиалната симетрия на точките спрямо права линия предвижда, че тази права линия пресича средата на сегмента, свързващ точките, и е перпендикулярна на нея. Примери за ъглополовяща на неразгънат ъгъл на равнобедрен триъгълник, всяка права, прекарана през центъра на окръжност и др. Ако аксиалната симетрия е характерна, дефинирането на огледални точки може да се визуализира просто чрез огъване по оста и сгъване на равни половини "лице в лице". Желаните точки ще се допират една до друга.
При огледалната симетрия точките на обекта са разположени еднакво спрямо равнината, която минава през неговия център.
Природата е мъдра и разумна, затова почти всички нейни творения имат хармонична структура. Това се отнася както за живи същества, така и за неодушевени обекти. Структурата на повечето форми на живот се характеризира с един от трите вида симетрия: двустранна, радиална или сферична.
Най-често аксиален може да се наблюдава при растения, които се развиват перпендикулярно на повърхността на почвата. В този случай симетрията е резултат от въртене на еднакви елементи около обща ос, разположена в центъра. Ъгълът и честотата на тяхното местоположение могат да бъдат различни. Дърветата са пример: смърч, клен и други. При някои животни се среща и аксиална симетрия, но това е по-рядко. Разбира се, математическата точност рядко е присъща на природата, но сходството на елементите на един организъм все още е поразително.
Биолозите често разглеждат не аксиалната симетрия, а двустранната (двустранна). Неговите примери са крила на пеперуда или водно конче, листа от растения, цветни венчелистчета и др. Във всеки случай дясната и лявата част на живия обект са равни и са огледални изображения една на друга.
Сферичната симетрия е характерна за плодовете на много растения, някои риби, мекотели и вируси. И примери лъчева симетрияса някои видове червеи, бодлокожи.
В очите на човек асиметрията най-често се свързва с неправилност или непълноценност. Следователно в повечето творения на човешките ръце може да се проследи симетрия и хармония.
В този урок ще разгледаме още една характеристика на някои фигури - аксиална и централна симетрия. Ние се сблъскваме с аксиалната симетрия всеки ден, когато се погледнем в огледалото. Централната симетрия е много често срещана в дивата природа. В същото време фигурите, които имат симетрия, имат редица свойства. Освен това по-късно ще научим, че аксиалната и централната симетрия са видове движения, с помощта на които се решава цял клас проблеми.
Този урокпосветен на аксиалната и централната симетрия.
Определение
Двете точки и се наричат симетриченспрямо права линия, ако:
На фиг. 1 показва примери за точки, симетрични по отношение на права линия и , и .
Ориз. 1
Отбелязваме също факта, че всяка точка от права е симетрична на себе си по отношение на тази права.
Фигурите също могат да бъдат симетрични по отношение на права линия.
Нека формулираме строго определение.
Определение
Фигурата се нарича симетричен спрямо права линия, ако за всяка точка от фигурата точката, симетрична на нея спрямо тази права, също принадлежи на фигурата. В този случай линията се извиква ос на симетрия. Фигурата има аксиална симетрия.
Разгледайте няколко примера за фигури с аксиална симетрия и техните оси на симетрия.
Пример 1
Ъгълът е аксиално симетричен. Оста на симетрия на ъгъла е ъглополовящата. Наистина: нека спуснем перпендикуляра към ъглополовящата от която и да е точка на ъгъла и да го удължим, докато се пресече с другата страна на ъгъла (виж фиг. 2).
Ориз. 2
(защото - обща страна, (свойство на ъглополовящата), а триъгълниците са правоъгълни). Означава,. Следователно точките и са симетрични спрямо ъглополовящата на ъгъла.
От това следва, че равнобедреният триъгълник също има аксиална симетрия по отношение на ъглополовящата (височина, медиана), начертана към основата.
Пример 2
Равностранен триъгълник има три оси на симетрия (ъглополовящи / медиани / височини на всеки от трите ъгъла (виж фиг. 3).
Ориз. 3
Пример 3
Правоъгълникът има две оси на симетрия, всяка от които минава през средните точки на двете му противоположни страни (виж фиг. 4).
Ориз. 4
Пример 4
Ромбът също има две оси на симетрия: прави линии, които съдържат неговите диагонали (виж фиг. 5).
Ориз. 5
Пример 5
Квадратът, който е едновременно ромб и правоъгълник, има 4 оси на симетрия (виж фиг. 6).
Ориз. 6
Пример 6
За кръг оста на симетрия е всяка права линия, минаваща през неговия център (тоест, съдържаща диаметъра на кръга). Следователно кръгът има безкрайно много оси на симетрия (виж фиг. 7).
Ориз. 7
Помислете сега за концепцията централна симетрия.
Определение
Точките и се наричат симетриченспрямо точката , ако: - средата на отсечката .
Нека да разгледаме няколко примера: на фиг. Фигура 8 показва точките и , както и и , които са симетрични спрямо точката , докато точките и не са симетрични спрямо тази точка.
Ориз. 8
Някои фигури са симетрични спрямо дадена точка. Нека формулираме строго определение.
Определение
Фигурата се нарича симетричен спрямо точка, ако за която и да е точка от фигурата симетричната й точка също принадлежи на тази фигура. Точката се нарича център на симетрия, а фигурата има централна симетрия.
Разгледайте примери за фигури с централна симетрия.
Пример 7
За окръжност центърът на симетрия е центърът на окръжността (това е лесно да се докаже, като си спомним свойствата на диаметъра и радиуса на окръжността) (виж фиг. 9).
Ориз. 9
Пример 8
За успоредник центърът на симетрия е пресечната точка на диагоналите (виж фиг. 10).
Ориз. 10
Нека да решим няколко задачи за аксиална и централна симетрия.
Задача 1.
Колко оси на симетрия има отсечката?
Отсечката има две оси на симетрия. Първата от тях е права, съдържаща сегмент (тъй като всяка точка от правата е симетрична на себе си по отношение на тази линия). Вторият е средният перпендикуляр на сегмента, тоест права линия, перпендикулярна на сегмента и минаваща през средата му.
Отговор: 2 оси на симетрия.
Задача 2.
Колко оси на симетрия има една линия?
Една права линия има безкрайно много оси на симетрия. Една от тях е самата права (тъй като всяка точка от правата е симетрична на себе си по отношение на тази права). Освен това осите на симетрия са всички прави, перпендикулярни на дадена права.
Отговор: има безкрайно много оси на симетрия.
Задача 3.
Колко оси на симетрия има един лъч?
Лъчът има една ос на симетрия, която съвпада с правата, съдържаща лъча (тъй като всяка точка от правата е симетрична на себе си по отношение на тази права).
Отговор: една ос на симетрия.
Задача 4.
Докажете, че правите, съдържащи диагоналите на ромба, са неговите оси на симетрия.
Доказателство:
Помислете за ромб. Нека докажем например, че една права линия е нейната ос на симетрия. Очевидно точките и са симетрични на себе си, тъй като лежат на тази права. В допълнение, точките и са симетрични по отношение на тази линия, тъй като . Нека сега изберем произволна точка и докажем, че симетричната спрямо нея точка също принадлежи на ромба (виж фиг. 11).
Ориз. единадесет
Начертайте перпендикуляр на правата през точката и го разширете до пресечната точка с . Помислете за триъгълници и . Тези триъгълници са правоъгълни (по конструкция), освен това в тях: - общ крак и (тъй като диагоналите на ромба са неговите ъглополовящи). Така че тези триъгълници са равни: . Това означава, че всичките им съответстващи елементи също са равни, следователно: . От равенството на тези сегменти следва, че точките и са симетрични спрямо правата. Това означава, че това е оста на симетрия на ромба. Този факт може да се докаже по подобен начин за втория диагонал.
Доказано.
Задача 5.
Докажете, че пресечната точка на диагоналите на успоредник е неговият център на симетрия.
Доказателство:
Помислете за успоредник. Нека докажем, че точката е неговият център на симетрия. Очевидно е, че точките и , и са по двойки симетрични по отношение на точката , тъй като диагоналите на успоредника са разделени от пресечната точка наполовина. Нека сега изберем произволна точка и докажем, че симетричната спрямо нея точка също принадлежи на успоредника (виж фиг. 12).
Симетрия аз
Симетрия (от гръцки symmetria - пропорционалност)
по математика 1) симетрия (в тесен смисъл) или отражение (огледало) спрямо равнината α в пространството (спрямо правата линия Ана равнината), е трансформацията на пространството (равнината), в което всяка точка Мотива към точката М"така че сегментът ММ"перпендикулярна на равнината α (права линия А) и го нарежете наполовина. Равнина α (права А) се нарича равнина (ос) C. Отражението е пример за ортогонална трансформация (вижте ортогонална трансформация), която променя ориентацията (вижте ориентация) (за разлика от правилното движение). Всяка ортогонална трансформация може да се извърши чрез последователно изпълнение на краен брой отражения - този факт играе съществена роля в изследването на S. геометрични форми. 2) Симетрия (в широк смисъл) - свойство на геометрична фигура Е, което характеризира някаква закономерност на формата Е, неговата неизменност под действието на движения и отражения. По-точно фигурата Еима S. (симетричен), ако съществува неидентична ортогонална трансформация, която преобразува тази фигура в себе си. Наборът от всички ортогонални трансформации, които комбинират фигура Есъс себе си, е група (виж група), наречена група на симетрия на тази фигура (понякога самите тези трансформации се наричат симетрии). И така, плоска фигура, която се трансформира в себе си при отражение, е симетрична по отношение на правата линия - оста C. ( ориз. 1
); тук групата на симетрия се състои от два елемента. Ако фигурата Ена равнината е такава, че завъртанията около всяка точка O под ъгъл от 360 ° / н, н- цяло число ≥ 2, преведете го в себе си, след това Еима С. н-ти ред по отношение на точката ОТНОСНО- център C. Пример за такива фигури са правилните многоъгълници ( ориз. 2
); група S. тук – т.нар. циклична група н-та поръчка. Кръгът има S. от безкраен ред (тъй като се комбинира със себе си чрез завъртане през произволен ъгъл). Най-простите видове пространствени S., в допълнение към S., генерирани от отражения, са централен S., аксиален S. и S. на трансфер. а) При централна симетрия (инверсия) спрямо точката О фигурата Ф се съчетава със себе си след последователни отражения от три взаимно перпендикулярни равнини, с други думи точката О е средата на отсечката, свързваща симетричните точки Ф ( ориз. 3
). б) В случай на аксиална симетрия или S. спрямо права линия нти ред, фигурата се наслагва върху себе си чрез завъртане около някаква права линия (N-ос) под ъгъл от 360 ° / н. Например кубът има линия ABос C. от трети ред и права линия CD- C. ос от четвърти ред ( ориз. 3
); като цяло правилните и полуправилните полиедри са симетрични по отношение на серия от линии. Местоположението, броят и редът на осите на кристализация играят важна роля в кристалографията (виж Кристална симетрия), c) Фигура, насложена върху себе си чрез последователно завъртане под ъгъл от 360 коколо права линия ABи отражение в равнина, перпендикулярна на него, има огледално-аксиална C. Права линия AB, се нарича огледално-въртяща се ос C. от порядък 2 к, е оста С на поръчката к (ориз. 4
). Огледално-аксиална линия от ред 2 е еквивалентна на централна линия d) В случай на транслационна симетрия, фигурата се наслагва върху себе си чрез транслация по права линия (трансферна ос) върху някакъв сегмент. Например, фигура с една транслационна ос има безкраен брой S. равнини (тъй като всяка транслация може да бъде извършена чрез две последователни отражения от равнини, перпендикулярни на транслационната ос) ( ориз. 5
). Фигурите с няколко трансферни оси играят важна роля в изследването на кристалните решетки. С. е широко разпространен в изкуството като един от видовете хармонична композиция (виж композиция). Той е характерен за произведенията на архитектурата (като незаменимо качество, ако не на цялата конструкция като цяло, то на нейните части и детайли - план, фасада, колони, капители и др.) и изкуствата и занаятите. S. се използва и като основна техника за конструиране на граници и орнаменти (съответно плоски фигури, имащи един или повече S. трансфер в комбинация с отражения) ( ориз. 6
, 7
). S. комбинации, генерирани от отражения и ротации (изчерпващи всички видове S. геометрични фигури), както и трансфери, представляват интерес и са обект на изследване в различни области на естествените науки. Например спираловидна S., извършена чрез завъртане под определен ъгъл около ос, допълнена от прехвърляне по същата ос, се наблюдава при подреждането на листата в растенията ( ориз. 8
) (за повече подробности вижте статията Симетрия в биологията). C. конфигурацията на молекулите, която влияе върху техните физични и химични характеристики, е важна в теоретичния анализ на структурата на съединенията, техните свойства и поведение в различни реакции(виж Симетрия в химията). И накрая, във физическите науки като цяло, в допълнение към вече посочената геометрична симетрия на кристали и решетки, концепцията за симетрия в общия смисъл придобива голямо значение (виж по-долу). Така симетрията на физическото пространство-време, изразяваща се в неговата хомогенност и изотропност (вж. Теория на относителността), ни позволява да установим т.нар. закони за опазване; обобщената S. играе съществена роля при формирането на атомните спектри и в класификацията елементарни частици(виж Симетрия
във физиката). 3) Симетрия (в общ смисъл) означава инвариантност на структурата на математически (или физически) обект по отношение на неговите трансформации. Например законите на С. на теорията на относителността се определят от тяхната инвариантност по отношение на трансформациите на Лоренц (виж трансформации на Лоренц). Дефиниция на набор от трансформации, които оставят всички структурни връзки на обекта непроменени, т.е. дефиницията на група Жнеговите автоморфизми, се превърна във водещ принцип на съвременната математика и физика, позволявайки дълбоко вникване в вътрешна структураобект като цяло и неговите части. Тъй като такъв обект може да бъде представен от елементи на някакво пространство Р, надарен с подходяща за него характерна структура, доколкото трансформациите на един обект са трансформации Р. Че. вземете представителство на групата Жв група за трансформация Р(или просто в Р), а изучаването на С. на обекта се свежда до изследване на действието ЖНа Ри намиране на инварианти на това действие. По същия начин С. физични закони, които управляват изследвания обект и обикновено се описват с уравнения, които се удовлетворяват от елементите на пространството Р, се определя от действието Жкъм такива уравнения. Така, например, ако някое уравнение е линейно в линейно пространство Ри остава инвариантна при трансформации на някаква група Ж, след това всеки елемент жот Жсъответства на линейна трансформация Tg V линейно пространство Ррешения на това уравнение. Кореспонденция ж → Tgе линейно представяне Жи познаването на всички подобни представяния за него позволява да се установи различни свойстварешения, а също така помага да се намерят в много случаи (от "съображения за симетрия") самите решения. Това, по-специално, обяснява необходимостта за математиката и физиката от развита теория на линейните представяния на групите. За конкретни примери виж чл. Симетрия във физиката. Лит.:Шубников А.В., Симетрия. (Закони на симетрията и тяхното приложение в науката, техниката и приложното изкуство), М. - Л., 1940; Kokster G. S. M., Въведение в геометрията, прев. от англ., М., 1966; Weil G., Симетрия, прев. от англ., М., 1968; Вигнер Е., Етюди върху симетрията, прев. от английски, М., 1971. М. И. Войцеховски. Ориз. 3. Куб с права AB като ос на симетрия от трети ред, права CD като ос на симетрия от четвърти ред, точка O като център на симетрия. Точките M и M" на куба са симетрични както спрямо осите AB и CD, така и спрямо центъра O. по физика. Ако законите, които установяват връзки между количествата, които характеризират физическа система или определят промяната в тези количества с течение на времето, не се променят при определени операции (трансформации), на които системата може да бъде подложена, тогава се казва, че тези закони имат S. ( или са инвариантни) по отношение на трансформациите на данните. Математически трансформациите на С. представляват група (виж група). Опитът показва, че физичните закони са симетрични по отношение на следните най-общи трансформации. Непрекъснати трансформации 1) Трансфер (изместване) на системата като цяло в пространството. Тази и последващите пространствено-времеви трансформации могат да се разбират в два смисъла: като активна трансформация – реален трансфер физическа системаспрямо избраната отправна система или като пасивна трансформация - паралелен пренос на отправната система. S. физическите закони по отношение на изместванията в пространството означават еквивалентността на всички точки в пространството, т.е. липсата на избрани точки в пространството (хомогенност на пространството). 2) Въртене на системата като цяло в пространството. S. физически закони по отношение на тази трансформация означава еквивалентност на всички посоки в пространството (изотропия на пространството). 3) Промяна на произхода на времето (time shift). S. по отношение на тази трансформация означава, че физическите закони не се променят с времето. 4) Преход към отправна система, движеща се спрямо дадената система с постоянна (по посока и големина) скорост. S. по отношение на тази трансформация означава по-специално еквивалентността на всички инерциални отправни системи (виж Инерционна отправна система) (виж Теория на относителността). 5) Калибровъчни трансформации. Законите, описващи взаимодействията на частици, които имат някакъв вид заряд (електрически заряд (Вижте електрически заряд), барионен заряд (Вижте барионен заряд), лептонен заряд (Вижте лептонен заряд), хиперзаряд ohm) са симетрични по отношение на калибровъчните трансформации на 1-ви вид. Тези трансформации се състоят във факта, че вълновите функции (вижте вълновата функция) на всички частици могат да бъдат едновременно умножени по произволен фазов фактор: където ψ й- вълнова функция на частиците й, z j - заряд, съответстващ на частицата, изразен в единици елементарен заряд (например елементарен електрически заряд д), β е произволен числов фактор. А→A + степен f, , (2) Където f(х,при z T) е произволна функция от координати ( х,при,z) и време ( T), се скоростта на светлината. За да могат трансформациите (1) и (2) да се извършват едновременно в случай на електромагнитни полета, е необходимо да се обобщят калибровъчните трансформации от 1-ви вид: необходимо е да се изисква законите на взаимодействие да бъдат симетрични по отношение на трансформациите (1) със стойността β, която е произволна функция от координати и време: η - константа на Планк. Връзката между калибровъчни трансформации от 1-ви и 2-ри вид за електромагнитни взаимодействия се дължи на двойната роля на електрическия заряд: от една страна, електрическият заряд е запазена величина, а от друга страна, той действа като константа на взаимодействие което характеризира връзката електромагнитно полесъс заредени частици. Трансформациите (1) съответстват на законите за запазване на различни заряди (виж по-долу), както и на някои вътрешни симетрични взаимодействия. Ако зарядите са не само запазени величини, но и източници на полета (като електрически заряд), тогава полетата, съответстващи на тях, също трябва да бъдат калибровъчни полета (подобно на електромагнитните полета), а трансформациите (1) се обобщават за случая, когато величините β са произволни функции на координатите и времето (и дори оператори, които трансформират състоянията на вътрешната система). Такъв подход в теорията на взаимодействащите полета води до различни калибровъчни теории за силни и слаби взаимодействия (т.нар. теория на Янг-Милс). Дискретни трансформации Изброените по-горе видове S. се характеризират с параметри, които могат непрекъснато да се променят в определен диапазон от стойности (например, изместването в пространството се характеризира с три параметъра на изместване по всяка от координатните оси, завъртане с три ъгъла на завъртане около тези оси и др.). Заедно с непрекъснатото S. голямо значениевъв физиката имат дискретни S. Основните са следните. Симетрия и закони за запазване Съгласно теоремата на Ньотер (вижте теоремата на Ньотер), всяка трансформация на система, характеризираща се с един непрекъснато променящ се параметър, съответства на стойност, която се запазва (не се променя с времето) за система, която има тази система.От системата от физични закони по отношение на преместването на затворена система в пространството, превръщането й като цяло и промяната на произхода на времето следват законите за запазване на импулса, ъгловия момент и енергията, съответно. От С. по отношение на калибровъчните трансформации от първи вид - законите за запазване на зарядите (електрически, барионни и др.), От изотопната инвариантност - запазването на изотопния спин (виж Изотопен спин) в процеси на силно взаимодействие. Що се отнася до дискретните системи, те не водят до никакви закони за запазване в класическата механика. Въпреки това, в квантова механика, в които състоянието на системата се описва от вълнова функция, или за вълнови полета (например електромагнитно поле), където е валиден принципът на суперпозицията, съществуването на дискретни S. предполага закони за запазване за някои специфични величини, които имат няма аналози в класическата механика. Съществуването на такива количества може да се демонстрира чрез примера на пространствения паритет (виж Паритет), чието запазване следва от S. по отношение на пространствената инверсия. Наистина, нека ψ 1 е вълновата функция, описваща някакво състояние на системата, а ψ 2 е вълновата функция на системата, произтичаща от пространствата. инверсия (символично: ψ 2 = Рψ 1 , където Ре космическият оператор. инверсии). Тогава, ако има S. по отношение на пространствената инверсия, ψ 2 е едно от възможните състояния на системата и според принципа на суперпозицията възможните състояния на системата са суперпозиции ψ 1 и ψ 2: симетрична комбинация ψ s = ψ 1 + ψ 2 и антисиметричен ψ a = ψ 1 - ψ 2 . При трансформации на инверсия състоянието ψ 2 не се променя (тъй като Пψs = Пψ 1 + Пψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s), а състоянието ψ a променя знака ( Пψ a = Пψ 1 - Пψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ а). В първия случай се казва, че пространственият паритет на системата е положителен (+1), а във втория е отрицателен (-1). Ако вълновата функция на системата е определена с помощта на величини, които не се променят по време на пространствена инверсия (като например ъглов импулс и енергия), тогава паритетът на системата също ще има съвсем определена стойност. Системата ще бъде в състояние или с положителен, или с отрицателен паритет (освен това преходите от едно състояние в друго под действието на сили, симетрични по отношение на пространствената инверсия, са абсолютно забранени). Симетрия на квантовомеханичните системи и стационарни състояния. дегенерация Запазването на количествата, съответстващи на различни квантово-механични системи, е следствие от факта, че операторите, съответстващи на тях, комутират с хамилтониана на системата, ако той не зависи изрично от времето (вижте Квантова механика, Комутационни отношения). Това означава, че тези величини са измерими едновременно с енергията на системата, т.е. те могат да приемат съвсем определени стойности за дадена стойност на енергията. Следователно от тях можете да направите т.нар. пълен набор от величини, които определят състоянието на системата. По този начин стационарните състояния (състояния с дадена енергия) на системата се определят от количествата, съответстващи на S. на разглежданата система. Наличието на S. води до факта, че различните състояния на движение на квантово-механичната система, които се получават едно от друго чрез S. трансформация, имат същите стойностифизически величини, които не се променят при тези трансформации. По този начин S. на системата, като правило, води до дегенерация (виж дегенерация). Например, определена стойностЕнергията на системата може да съответства на няколко различни състояния, които се трансформират едно през друго по време на трансформации на C. Математически тези състояния представляват основата на нередуцируемо представяне на групата C. на системата (вижте Група). Това определя плодотворността на прилагането на методите на теорията на групите в квантовата механика. В допълнение към израждането на енергийните нива, свързано с явната S. на системата (например по отношение на ротациите на системата като цяло), в редица проблеми има допълнителна израждане, свързана с т.нар. скрито С. взаимодействие. Такива скрити трептения съществуват например за взаимодействието на Кулон и за изотропен осцилатор. Ако система, която притежава някакво S., е в полето на сили, които нарушават това S. (но достатъчно слаби, за да могат да се разглеждат като малко смущение), изродените енергийни нива на оригиналната система се разделят: различни състояния, които , поради S. системите имаха еднаква енергия, под действието на "асиметрично" смущение, те придобиват различни енергийни измествания. В случаите, когато смущаващото поле има определена S., която е част от S. на оригиналната система, израждането на енергийните нива не се премахва напълно: някои от нивата остават изродени в съответствие с S. на взаимодействието, което “включва” смущаващото поле. Наличието на енергийно изродени състояния в системата от своя страна показва наличието на S. взаимодействие и дава възможност по принцип да се намери това S., когато не е известно предварително. Последното обстоятелство играе съществена роля, например във физиката на елементарните частици. Съществуването на групи от частици с близки маси и еднакви други характеристики, но различни електрически заряди(така наречените изотопни мултиплети) направи възможно установяването на изотопната инвариантност на силните взаимодействия, а възможността за комбиниране на частици със същите свойства в по-широки групи доведе до откритието SU(3)-° С. силно взаимодействие и взаимодействия, които нарушават тази симетрия (вижте Силни взаимодействия). Има признаци, че силното взаимодействие има още по-широка група C. Много плодотворна концепция е т.нар. динамична С. система, която възниква при разглеждане на трансформации, включително преходи между състояния на системата с различни енергии. Нередуцируемото представяне на групата на динамичните S. ще бъде целият спектър от стационарни състояния на системата. Концепцията за динамична S. може също да бъде разширена до случаи, когато хамилтонианът на системата зависи изрично от времето и в този случай всички състояния на квантово-механичната система, които не са стационарни (т.е. нямат дадена енергия), са комбинирани в едно несводимо представяне на динамичната група на S. ). Лит.:Вигнер Е., Етюди върху симетрията, прев. от английски, М., 1971. С. С. Герщейн. в химията се проявява в геометричната конфигурация на молекулите, което засяга спецификата на физичните и химични свойствамолекули в изолирано състояние, във външно поле и при взаимодействие с други атоми и молекули. Повечето прости молекули имат елементи на пространствена симетрия на равновесната конфигурация: оси на симетрия, равнини на симетрия и т.н. (вижте Симетрия в математиката). И така, молекулата на амоняка NH 3 има симетрията на правилна триъгълна пирамида, молекулата на метана CH 4 има симетрията на тетраедър. В сложните молекули симетрията на равновесната конфигурация като цяло като цяло отсъства, но симетрията на нейните отделни фрагменти е приблизително запазена (локална симетрия). Повечето Пълно описаниесиметрия както на равновесните, така и на неравновесните конфигурации на молекулите се постига на основата на представите за т.нар. динамични групи на симетрия - групи, които включват не само операциите на пространствена симетрия на ядрената конфигурация, но и операциите на пермутация на идентични ядра в различни конфигурации. Например, динамичната група на симетрия за молекулата на NH 3 също включва операцията на инверсия на тази молекула: преходът на N атома от едната страна на равнината, образувана от Н атоми, към другата й страна. Симетрията на равновесната конфигурация на ядрата в молекулата води до определена симетрия на вълновите функции (виж вълновата функция) на различните състояния на тази молекула, което позволява класифицирането на състоянията според видовете симетрия. Преходът между две състояния, свързан с абсорбцията или излъчването на светлина, в зависимост от видовете симетрия на състоянията, може или да се появи в молекулярния спектър (виж молекулни спектри), или да бъде забранен, така че линията или лентата, съответстваща на този преход ще отсъства в спектъра. Видовете симетрия на състоянията, между които са възможни преходи, влияят върху интензитета на линиите и лентите, както и върху тяхната поляризация. Например, за хомоядрени двуатомни молекули преходите между електронни състояния с еднакъв паритет са забранени и не се появяват в спектрите, чиито електронни вълнови функции се държат по същия начин по време на операцията на инверсия; за бензенови молекули и подобни съединения преходите между неизродени електронни състояния от същия тип симетрия са забранени и т.н. Правилата за избор на симетрия се допълват за преходи между различни състоянияправила за избор, свързани със Спин на тези състояния. За молекули с парамагнитни центрове, симетрията на средата на тези центрове води до определен тип анизотропия ж-фактор (фактор Ланде), който влияе върху структурата на спектрите на електронния парамагнитен резонанс (виж Електронен парамагнитен резонанс), докато за молекули, чиито атомни ядра имат ненулев спин, симетрията на отделните локални фрагменти води до определен тип енергийно разделяне на състояния с различни проекции на ядрен спин, който влияе върху структурата на спектрите на ядрено-магнитен резонанс. В приблизителните подходи на квантовата химия, които използват концепцията за молекулни орбитали, класификацията на симетрия е възможна не само за вълновата функция на молекулата като цяло, но и за отделни орбитали. Ако равновесната конфигурация на една молекула има равнина на симетрия, в която лежат ядрата, тогава всички орбитали на тази молекула се разделят на два класа: симетрични (σ) и антисиметрични (π) по отношение на операцията на отражение в тази равнина . Молекулите, чиито горни (по енергия) заети орбитали са π-орбитали, образуват специфични класове ненаситени и спрегнати съединения с техните характерни свойства. Познаването на локалната симетрия на отделните фрагменти от молекули и молекулните орбитали, локализирани върху тези фрагменти, позволява да се прецени кои фрагменти се възбуждат по-лесно и се променят по-силно в хода на химичните трансформации, например при фотохимични реакции. Концепциите за симетрия са от голямо значение в теоретичния анализ на структурата на сложните съединения, техните свойства и поведение в различни реакции. Установяват теорията на кристалното поле и теорията на полето на лиганда взаимно споразумениезаети и свободни орбитали на сложно съединение въз основа на данните за неговата симетрия, естеството и степента на разделяне на енергийните нива с промяна на симетрията на полето на лиганда. Познаването само на симетрията на комплекс много често дава възможност да се преценят качествено неговите свойства. През 1965 г. П. Удуърд и Р. Хофман излагат принципа за поддържане на орбиталната симетрия в химичните реакции, който по-късно беше потвърден от обширен експериментален материал и оказа голямо влияние върху развитието на препаративната органична химия. Този принцип (правилото на Удуърд-Хофман) гласи, че индивидуалните елементарни действия химична реакцияпреминават, като запазват симетрията на молекулярните орбитали или орбиталната симетрия. Колкото повече се нарушава симетрията на орбиталите по време на елементарен акт, толкова по-трудна е реакцията. Отчитането на симетрията на молекулите е важно при търсенето и подбора на вещества, използвани при създаването на химически лазери и молекулярни токоизправители, при конструирането на модели на органични свръхпроводници, при анализа на канцерогенни и фармакологични активни веществаи т.н. Лит.: Hochstrasser R., Молекулярни аспекти на симетрията, прев. от англ., М., 1968; Болотин А. Б., Степанов Н. Ф. Теория на групите и нейните приложения в квантовата механика на молекулите, М., 1973; Удуърд Р., Хофман Р., Запазване на орбиталната симетрия, прев. от английски, М., 1971. Н. Ф. Степанов. в биологията (биосиметрия). На феномена С. в живата природа беше обърнато внимание в Древна ГърцияПитагорейците (5 в. пр. н. е.) във връзка с развитието им на учението за хармонията. През 19 век се появяват отделни трудове върху С. растения (френски учени О. П. Декандол и О. Браво), животни (немски - Е. Хекел), биогенни молекули (френски - А. Вечан, Л. Пастьор и др.). През 20 век Биообектите са изследвани от гледна точка на общата теория на кристализацията (съветските учени Ю. В. Вулф, В. Н. Беклемишев и Б. К. Вайнщайн, холандският физикохимик Ф. М. Йегер и английските кристалографи, ръководени от Дж. Бернал) и теория на правотата и левичарството (съветските учени В. И. Вернадски, В. В. Алпатов, Г. Ф. Гаузе и др., немският учен В. Лудвиг). Тези работи доведоха до идентифицирането през 1961 г. на специална посока в теорията на С. - биосиметрия. Най-интензивно е изследвана структурната С. на биологични обекти. Изследването на С. на биоструктури - молекулярни и надмолекулни - от гледна точка на структурната С. позволява предварително да се идентифицират възможните типове С. за тях и по този начин броят и вида на възможните модификации, за да се опише строго външният форма и вътрешна структура на всякакви пространствени биологични обекти. Това доведе до широкото използване на представяния на структурни S. в зоологията, ботаниката, молекулярна биология. Структурният S. се проявява предимно под формата на едно или друго редовно повторение. В класическата теория на структурната симетрия, разработена от немския учен И. Ф. Гесел, Е. С. Федоров и други, външният вид на структурата на обекта може да бъде описан чрез набор от елементи на неговата структура, т.е. такива геометрични елементи (точки, линии, равнини), спрямо които са подредени същите части на обекта (виж Симетрия в математиката). Например изгледът на цветето S. phlox ( ориз. 1
, в) - една ос от 5-ти ред, минаваща през центъра на цветето; произведени чрез неговата работа - 5 завъртания (на 72, 144, 216, 288 и 360 °), във всяко от които цветето съвпада със себе си. Вижте C. фигура пеперуда ( ориз. 2
, б) - една равнина, разделяща го на 2 половини - лява и дясна; операцията, извършена с помощта на равнината, е огледално отражение, което "прави" лявата половина на дясната, дясната половина на лявата и фигурата на пеперудата се комбинира със себе си. Вижте C. radiolarian Lithocubus geometricus ( ориз. 3
, b), в допълнение към осите на въртене и равнините на отражение, той съдържа и центъра C. Всяка права линия, прекарана през такава единична точка вътре в радиоларията от двете й страни и на равни разстояния, среща същата (съответстваща) точки на фигурата. Операциите, извършвани с помощта на центъра на S., са отражения в точка, след което фигурата на радиолария също се комбинира със себе си. В живата природа (както и в неживата природа), поради различни ограничения, обикновено се среща значително по-малък брой видове S., отколкото е теоретично възможно. Например, на по-ниските етапи от развитието на живата природа има представители на всички класове точковидни S. - до организми, характеризиращи се с S. на правилни полиедри и топка (виж. ориз. 3
). На по-високи етапи от еволюцията обаче растенията и животните се намират предимно в т.нар. аксиален (вид н) и актиноморфен (тип н(м)СЪС. (и в двата случая нможе да приема стойности от 1 до ∞). Биообекти с аксиален С. (вж. ориз. 1
) се характеризират само със С. ос на ордена н. Биообекти на сактиноморфни С. (вж. ориз. 2
) се характеризират с една ос на ред ни равнини, пресичащи се по тази ос м. В дивата природа видовете S. са най-често срещани. н =
1 и 1․ m = м, се нарича съответно асиметрия (Виж Асиметрия) и двустранна или двустранна S. Асиметрията е характерна за листата на повечето растителни видове, двустранна S. - до известна степен за външната форма на човешкото тяло, гръбначните животни и много безгръбначни. При подвижните организми такова движение очевидно е свързано с разлики в движението им нагоре и надолу, напред и назад, докато движенията им надясно и наляво са еднакви. Нарушаването на тяхната двустранна С. неизбежно би довело до възпрепятстване на движението на една от страните и трансформацията движение напредв кръг. През 50-70-те години. 20-ти век интензивно проучване (предимно в СССР) са били подложени на т.нар. дисиметрични биообекти ( ориз. 4
). Последният може да съществува най-малко в две модификации - под формата на оригинала и неговия огледален образ (антипод). При това една от тези форми (без значение коя) се нарича дясна или D (от лат. dextro), другата - лява или L (от лат. laevo). При изучаване на формата и структурата на D- и L-биологични обекти е разработена теорията на дисиметризиращите фактори, доказваща възможността за всеки D- или L-обект на две или повече (до безкраен брой) модификации (виж също ориз. 5
); същевременно съдържаше и формули за определяне на броя и вида на последните. Тази теория доведе до откриването на т.нар. биологична изомерия (Вж. Изомерия) (различни биологични обекти с еднакъв състав; на ориз. 5
Показани са 16 изомера на листата на липа). При изучаване на появата на биологични обекти беше установено, че в някои случаи преобладават D-формите, в други L-формите, в трети те са еднакво често срещани. Бешан и Пастьор (40-те години на 19 век), а през 30-те години. 20-ти век Съветските учени G.F.Gause и други показаха, че клетките на организмите са изградени само или главно от L-аминокиселини, L-протеини, D-дезоксирибонуклеинови киселини, D-захари, L-алкалоиди, D- и L-терпени и др. , Толкова фундаментално и Характеристикана живите клетки, наречена от Пастьор дисиметрия на протоплазмата, осигурява на клетката, както е установено през 20 век, по-активен метаболизъм и се поддържа чрез сложни биологични и физико-химични механизми, възникнали в процеса на еволюцията. Бухали. През 1952 г. ученият В. В. Алпатов установява върху 204 вида съдови растения, че 93,2% от видовете растения принадлежат към типа с L-, 1,5% - с D-хода на спираловидни удебеления на стените на кръвоносните съдове, 5,3% от видовете - към рацемичен тип (броят на D-съдовете е приблизително равен на броя на L-съдовете). При изследване на D- и L-биологични обекти е установено, че равенството между D и L формив някои случаи се нарушава поради разликата в техните физиологични, биохимични и други свойства. Тази особеност на живата природа беше наречена дисиметрия на живота. По този начин възбуждащият ефект на L-аминокиселините върху движението на плазмата в растителните клетки е десетки и стотици пъти по-голям от същия ефект на техните D-форми. Много антибиотици (пеницилин, грамицидин и др.), съдържащи D-аминокиселини, са по-бактерицидни от техните форми с L-аминокиселини. По-често срещаното спираловидно цвекло L-kop е с 8-44% (в зависимост от сорта) по-тежко и съдържа 0,5-1% повече захар от цвеклото D-kop.
Концепцията за движение
Нека първо разгледаме такова понятие като движение.
Определение 1
Равнинното картографиране се нарича равнинно движение, ако картографирането запазва разстояния.
Има няколко теореми, свързани с тази концепция.
Теорема 2
Триъгълникът при движение преминава в равен триъгълник.
Теорема 3
Всяка фигура, когато се движи, преминава в равна на нея фигура.
Аксиалната и централната симетрия са примери за движение. Нека ги разгледаме по-подробно.
Аксиална симетрия
Определение 2
Точките $A$ и $A_1$ се наричат симетрични спрямо правата $a$, ако тази права е перпендикулярна на отсечката $(AA)_1$ и минава през центъра й (фиг. 1).
Снимка 1.
Помислете за аксиалната симетрия, като използвате проблема като пример.
Пример 1
Да се построи симетричен триъгълник за дадения триъгълник спрямо някоя от страните му.
Решение.
Нека ни е даден триъгълник $ABC$. Ще построим неговата симетрия спрямо страната $BC$. Страната $BC$ в случай на аксиална симетрия ще влезе в себе си (следва от определението). Точката $A$ ще отиде до точката $A_1$ както следва: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Триъгълник $ABC$ ще се превърне в триъгълник $A_1BC$ (фиг. 2).
Фигура 2.
Определение 3
Една фигура се нарича симетрична спрямо правата $a$, ако всяка симетрична точка на тази фигура се съдържа в една и съща фигура (фиг. 3).
Фигура 3
Фигура $3$ показва правоъгълник. Той има аксиална симетрия по отношение на всеки от диаметрите си, както и по отношение на две прави, които минават през центровете на противоположните страни на дадения правоъгълник.
Централна симетрия
Определение 4
Точките $X$ и $X_1$ се наричат симетрични по отношение на точката $O$, ако точката $O$ е центърът на отсечката $(XX)_1$ (фиг. 4).
Фигура 4
Нека разгледаме централната симетрия на примера на проблема.
Пример 2
Построете симетричен триъгълник за дадения триъгълник в който и да е от върховете му.
Решение.
Нека ни е даден триъгълник $ABC$. Ще построим неговата симетрия спрямо върха $A$. Върхът $A$ при централна симетрия ще влезе в себе си (следва от определението). Точката $B$ ще отиде до точката $B_1$ както следва $(BA=AB)_1$, а точката $C$ ще отиде до точката $C_1$ както следва: $(CA=AC)_1$. Триъгълник $ABC$ преминава в триъгълник $(AB)_1C_1$ (фиг. 5).
Фигура 5
Определение 5
Една фигура е симетрична спрямо точката $O$, ако всяка симетрична точка на тази фигура се съдържа в една и съща фигура (фиг. 6).
Фигура 6
Фигура $6$ показва успоредник. Той има централна симетрия спрямо точката на пресичане на неговите диагонали.
Примерна задача.
Пример 3
Нека ни е дадена отсечка $AB$. Да се построи неговата симетрия спрямо правата $l$, която не пресича дадената отсечка, и спрямо точката $C$, лежаща на правата $l$.
Решение.
Нека изобразим схематично състоянието на задачата.
Фигура 7
Нека първо изобразим аксиалната симетрия по отношение на правата $l$. Тъй като аксиалната симетрия е движение, тогава по теорема $1$ отсечката $AB$ ще бъде нанесена върху равна на нея отсечка $A"B"$. За да го построим, правим следното: през точките $A\ и\ B$ прекарваме правите $m\ и\ n$, перпендикулярни на правата $l$. Нека $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. След това начертайте отсечките $A"X=AX$ и $B"Y=BY$.
Фигура 8
Нека сега изобразим централната симетрия спрямо точката $C$. Тъй като централната симетрия е движение, тогава по теорема $1$ отсечката $AB$ ще бъде преобразувана в отсечката $A""B""$, равна на нея. За да го конструираме, ще направим следното: начертайте правите $AC\ и\ BC$. След това начертайте отсечките $A^("")C=AC$ и $B^("")C=BC$.
Фигура 9