Нарича се наклонена проекция върху равнина. Свойства на наклонени
Тема на урока
- Перпендикулярни и наклонени.
Цели на урока
- Запознайте се с нови дефиниции и си припомнете някои вече изучени.
- Научете се да прилагате свойствата на формите при решаване на задачи.
- Разберете някои на пръв поглед прости понятия и определения.
- Развитие - развива вниманието, постоянството, постоянството, логическото мислене, математическата реч на учениците.
- Образователни - чрез урока култивирайте внимателно отношение един към друг, внушавайте способността да слушате другарите, взаимопомощта и независимостта.
Цели на урока
- Проверете уменията на учениците за решаване на проблеми.
- Научете се да възприемате правилно информацията.
- Прегледайте основите на перпендикуляра и наклона.
План на урока
- Въведение.
- Повторение на предварително изучен материал.
- Перпендикулярни и наклонени.
- Примери за решаване на проблеми.
Въведение
Не е тайна, че всички елементарна геометриядойде при нас главно от Египет и Гърция. В далечни и древни времена геометрията е била използвана като наука за измерване на земята, а също и много тясно в строителството. Всички теореми, закони и аксиоми са извлечени и доказани, за да улеснят измерването или строителни работи. Днешната тема беше много важна за хората от онова време, тъй като перпендикулярът и наклонът са основните насоки за този вид работа.
Има много хипотези относно строителните техники Египетски пирамиди. Очевидно е, че тази техника се е променила във времето, т.е. по-късните пирамиди са построени по различен начин от по-ранните. Голяма част от хипотезите идват от факта, че блоковете са сечени в кариери с помощта на щанци, секачи, длета, тесла и др., като основният материал за изработката им е била медта. Съответно добитият материал трябваше по някакъв начин да бъде транспортиран до строителната площадка и инсталиран. Несъответствията между различните хипотези се отнасят основно до методите на доставка и монтаж на блоковете, както и прогнозите за времето за строителство и необходимостта от труд.
Техника на строеж на Великите пирамиди според Херодот
Нашите единственият писмен източник, който описва процеса на изграждане на пирамидите, служи като книга II от „Историята“ на Херодот, който посети Египет ок. 450 пр.н.е ъъъ. Без да говоря езика на египтяните, Херодоттрябваше да си води бележки от думите на гръцките заселници, живели в страната, както и - чрез преводачи - от думите на представители на египетското жречество. Определено му беше трудно да разбере как са построени Великите пирамиди преди две хиляди години преди него, тъй като е малко вероятно това да е известно на самите египтяни.
Някои били задължени да влачат огромни каменни блокове от кариери в Арабските планини до Нил (камъните били пренасяни през реката на кораби), докато на други било наредено да ги влачат по-нататък до така наречените Либийски планини. Сто хиляди души извършваха тази работа непрекъснато, сменяйки се на всеки три месеца. Отне десет години на изтощените хора да построят пътя, по който бяха влачени тези каменни блокове - работата, според мен, беше почти толкова огромна, колкото и изграждането на самата пирамида. Строежът на самата пирамида е продължил двадесет години.
Други теории за изработка и монтаж на блокове
Има и теория, че самите блокове, които изграждат пирамидата, са направени с кофраж. На предишния слой е монтиран правоъгълен кофраж, в който след това е излят състав, подобен на хоросан. Самият замръзнал блок служи като кофраж за следващите блокове от нарастващия слой. Компонентите на решението могат да бъдат доставени сравнително лесно от множество роби без използването на сложно оборудване.
Тази теория добре обяснява идеалното прилягане на стените на отделните блокове.
Алтернативни хипотези
Редица автори изказват хипотези, че пирамидите са построени от други развити цивилизации, било то земни, които по-късно изчезнали, или извънземни. Също така, едно от обществата на любителите египтолози изложи теория, според която огромни каменни блокове се преместват с помощта на хвърчила. Египтолозите не разглеждат подобни хипотези сериозно.
Перпендикулярни и наклонени
И така, нека започнем с най-простото и нека повторим какво са перпендикуляр и наклон.
Определение.Две прави се наричат перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл.
Отговор: 13.
Машини и механизми.
Машини и механизми, механични устройства, които улесняват работата и повишават нейната производителност. Автомобилите могат да бъдат различни степенисложност - от обикновена едноколесна ръчна количка до асансьори, автомобили, печатни, текстилни и изчислителни машини. Енергийните машини преобразуват един вид енергия в друг. Например водноелектрическите генератори преобразуват механичната енергия на падащата вода в електрическа енергия. Двигателят с вътрешно горене преобразува химическата енергия на бензина в топлинна енергия и след това в механичната енергия на движението на превозното средство.
Зъбното колело е механизъм или част от механизъм, който включва зъбни колела.
Предназначение:
- излъчване въртеливо движениемежду валове, които могат да имат успоредни, пресичащи се или пресичащи се оси.
- превръщане на въртеливото движение в постъпателно движение и обратно.
В този случай силата се предава от един елемент на друг с помощта на зъби. Зъбното колело на трансмисията с по-малък брой зъби се нарича пиньон, второто зъбно колело с по-голям брой зъби се нарича колело. чифт зъбни колелаимайки същия номерзъби в този случай задвижващото зъбно колело се нарича зъбно колело, а задвижваното зъбно колело се нарича колело.
Архимедов винт, Архимедов винт- механизъм, използван в миналото за пренос на вода от ниско разположени водни тела към напоителни канали. Това е едно от няколкото изобретения и открития, традиционно приписвани на Архимед, който е живял през 3 век пр.н.е. д. Винтът на Архимед стана прототип на шнека.
Витлото обикновено се върти от вятърно колелоили ръчно. Когато долният край на тръбата се завърти, тя събира определено количество вода. Това количество вода ще се плъзне нагоре по спиралната тръба, докато валът се върти, докато накрая водата изтече от горната част на тръбата, захранвайки напоителната система.
Въпроси
- Какво е перпендикулярно?
- Коя линия се нарича наклонена?
- Разделят ли се диагоналите на квадрат наполовина от пресечната точка?
- Равни ли са диагоналите на квадрат?
- Къде на практика се използва наклонена равнина?
- Каква форма се нарича правоъгълник?
Списък на използваните източници
- „Строителите на пирамидите“ Бележки от д-р З. Хавас
- Перепелкин Ю. Я. История на Древен Египет - Санкт Петербург: “ Лятна градина“, 2000 г.
- Кобичева Марина Викторовна, учител по математика
- Мазур К. И. „Решаване на основните състезателни проблеми по математика на колекцията, редактирана от М. И. Сканави“
Работихме върху урока
Потурнак С.А.
Кобичева Марина Викторовна
Задайте въпрос за съвременно образование, изразете идея или разрешите наболял проблем, можете Образователен форум, където образователен съвет от свежи мисли и действия се събира в международен план. След като създаде блог,Вие не само ще подобрите статуса си на компетентен учител, но и ще допринесете значително за развитието на училището на бъдещето. Гилдия на образователните лидериотваря врати за високопоставени специалисти и ги кани да си сътрудничат в създаването на най-добрите училища в света.
Урок по геометрия в 10 клас
В един от предишните уроци се запознахте с понятието проекция на точка върху дадена равнина, успоредна на дадена права.
В този урок ще продължите да изучавате прави и равнини; научете какъв е ъгълът между права линия и равнина. Ще се запознаете с концепцията за ортогонална проекция върху равнина и ще разгледате нейните свойства. В урока ще бъдат дадени дефиниции на разстоянието от точка до равнина и от точка до права линия, ъгъл между права линия и равнина. Ще бъде доказана известната теорема за трите перпендикуляра.
Ортографска проекция
Ортогонална проекция на точка и фигура.
Ортогонална проекция на детайла.
Ортогонална проекция на точка А върху дадена равнина се нарича проекция на точка върху тази успоредна равнина
права линия, перпендикулярна на тази равнина. Ортографска проекция
на фигура върху дадена равнина p се състои от ортогонални проекции върху равнината p на всички точки на тази фигура. Ортографската проекция често се използва за изобразяване на пространствени тела върху равнина, особено в технически чертежи. Дава по-реалистично изображение от произволната успоредна проекция, особено на кръгли тела.
Перпендикулярни и наклонени
Нека през точка A е прекарана права линия, която не принадлежи на равнината p, перпендикулярна на тази равнина и я пресича в точка B. Тогава
се нарича сегмент AB
перпендикулярен,пропуснато от точката
И към тази равнина и самата точка В е основата на този перпендикуляр. Всеки сегмент AC, където C е
произволна точка от равнината p, различна от B, се нарича наклонена към
този самолет.
Обърнете внимание, че точка B в тази дефиниция е ортогонална
проекция на точка A и сегмент AC - Перпендикулярни и наклонени.ортогонална проекция на наклонена АВ.
Ортогоналните проекции имат всички свойства на обикновените успоредни проекции, но имат и редица нови свойства.
Нека от една точка към равнината са прекарани перпендикуляр и няколко наклонени прави. Тогава следните твърдения са верни.
1. Всяка наклонена равнина е по-дълга както от перпендикуляра, така и от ортогоналната проекция на наклонената равнина върху тази равнина.
2. Равните коси имат равни ортогонални проекции и обратно, косите с равни проекции също са равни.
3. Едната наклонена е по-дълга от другата тогава и само тогава, когато ортогоналната проекция на първата наклонена е по-дълга от ортогоналната проекция на втората наклонена.
Свойства на ортографската проекция
Доказателство.
Нека от точка A към равнината p са прекарани перпендикуляр AB и два наклонени AC и AD; тогава отсечките BC и BD са ортогонални проекции на тези отсечки върху равнината p.
Нека докажем първото твърдение: всяка наклонена равнина е по-дълга както от перпендикуляра, така и от ортогоналната проекция на наклонената равнина върху тази равнина. Да разгледаме, например, наклонената AC и триъгълника ABC, образувани от перпендикуляра AB, този наклонен AC и неговата ортогонална проекция BC. Този триъгълник е правоъгълен с прав ъгъл при върха B и хипотенуза AC, която, както знаем от планиметрията, е по-дълга от всеки от катетите, т.е. и перпендикуляр AB, и проекция BC.
От точка A към равнината pi са прекарани перпендикуляр AB и два наклонени AC и AD.
Свойства на ортографската проекция
Триъгълници
ABC и ABD
равни по катет и хипотенуза.
Сега ще докажем второто твърдение, а именно: равните коси имат равни ортогонални проекции, и обратно, косите с равни проекции също са равни.
Да разгледаме правоъгълните триъгълници ABC и ABD. Те
имат общ крак AB. Ако наклонените AC и AD са равни, то правоъгълните триъгълници ABC и ABD са равни по катет и хипотенуза и тогава BC = BD. Обратно, ако проекциите BC и BD са равни, то същите тези триъгълници са равни по два катета и тогава техните хипотенузи AC и AD са равни. слънце< BD, как мы только что доказали,АС < AD, что опять противоречит условию.
Остава трета възможност: BC > BD. Теоремата е доказана.
Ако BC е по-голямо от BD,
тогава AC е по-голяма от страната
AE равно на AD.
Перпендикуляр, пуснат от дадена точка към дадена равнина, е отсечка, свързваща дадена точка с точка от равнината и лежаща на права линия, перпендикулярна на равнината. Краят на този сегмент, лежащ в равнината, се нарича основа на перпендикуляра. Разстоянието от точка до равнина е дължината на перпендикуляра, прекаран от тази точка към равнината.
Наклонът, начертан от дадена точка към дадена равнина, е всеки сегмент, който свързва дадена точка с точка от равнината и не е перпендикулярен на тази равнина. Краят на сегмент, лежащ в равнина, се нарича наклонена основа. Отсечка, свързваща основите на перпендикуляр и наклонена, изтеглени от една и съща точка, се нарича наклонена проекция.
На фигура 136 от точка A към равнината са прекарани перпендикуляр AB и наклонена AC. Точка B е основата на перпендикуляра, точка C е основата на наклонения, BC е проекцията на наклонения AC върху равнината a.
Тъй като разстоянията от точките на права до успоредна на нея равнина са еднакви, разстоянието от права до успоредна на нея равнина е разстоянието от всяка точка от нея до тази равнина.
Права линия, начертана в равнина през основата на наклонена равнина, перпендикулярна на нейната проекция, също е перпендикулярна на самата наклонена. И обратното: ако права линия в равнина е перпендикулярна на наклонена, то тя е перпендикулярна и на проекцията на наклонената (теорема за трите перпендикуляра).
На фигура 137 перпендикуляр AB и наклонена AC са начертани към равнина a. Правата o, лежаща в равнината a, е перпендикулярна на BC - проекцията на наклонената AC върху равнината a. Според T. 2.12 правата a е перпендикулярна на наклонената AC. Ако се знае, че правата a е перпендикулярна на наклонената AC, то според Т. 2.12 тя би била перпендикулярна на своята проекция - BC.
Пример. Крака правоъгълен триъгълник ABC са равни на 16 и От върха на правия ъгъл C към равнината на този триъгълник е прекаран перпендикуляр CD = 35 m (фиг. 138). Намерете разстоянието от точка D до хипотенузата AB.
Решение. Хайде да го направим. Съгласно условието DC е перпендикулярна на равнината, т.е. DE е наклонена, CE е нейната проекция, следователно от теоремата за три перпендикуляра следва от условието, че
От намираме За да намерим височината CE в намираме
От друга страна, къде
От Питагоровата теорема
46. Перпендикулярност на равнините.
Две пресичащи се равнини се наричат перпендикулярни, ако всяка равнина, перпендикулярна на линията на пресичане на тези равнини, ги пресича по перпендикулярни прави.
Фигура 139 показва две равнини, които се пресичат по права линия a. Равнината y е перпендикулярна на правата a и се пресича.В този случай равнината y пресича равнината a по правата c, а равнината пресича правата d, т.е. по дефиниция
Т. 2.13. Ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни (знак за перпендикулярност на равнините).
На фигура 140 равнината минава през права линия, т.е. равнината е перпендикулярна.
Перпендикулярни и наклонени
Теорема. Ако перпендикулярни и наклонени линии са изчертани от една точка извън равнината, тогава:
1) наклонените с равни проекции са равни;
2) от двете наклонени по-голяма е тази, чиято проекция е по-голяма;
3) равни коси имат равни проекции;
4) от двете проекции по-голяма е тази, която съответства на по-голямата наклонена.
Теорема за три перпендикуляра. За да бъде една права, лежаща в равнина, перпендикулярна на наклонена, е необходимо и достатъчно тази права да е перпендикулярна на проекцията на наклонената (фиг. 3).
Теорема за площта на ортогоналната проекция на многоъгълник върху равнина.Площта на ортогоналната проекция на многоъгълник върху равнина е равна на произведението на площта на многоъгълника и косинуса на ъгъла между равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.
Строителство.
1. В самолет апровеждаме директен А.
3. В самолет bпрез точката Анека направим директен b, успоредна на правата А.
4. Построена е права линия bуспоредна на равнината а.
Доказателство.Въз основа на успоредността на права линия и равнина, права линия bуспоредна на равнината а, тъй като е успоредна на правата А, принадлежащ на самолета а.
Проучване.Проблемът има безкраен брой решения, тъй като правата линия Ав самолета асе избира произволно.
Пример 2.Определете на какво разстояние от равнината се намира точката А, ако е прав ABпресича равнината под ъгъл 45º, разстоянието от точката Акъм основния въпрос INпринадлежаща на равнината е равна на cm?
Решение.Нека направим чертеж (фиг. 5):
![]() |
AC– перпендикулярна на равнината а, AB– наклонен, ъгъл ABC– ъгъл между права ABи самолет а. Триъгълник ABC– правоъгълна, защото AC– перпендикулярно. Необходимото разстояние от точката Адо самолета - това е кракът ACправоъгълен триъгълник. Знаейки ъгъла и хипотенузата cm, ще намерим крака AC:
Отговор: 3 см.
Пример 3.Определете на какво разстояние от равнината на равнобедрен триъгълник е точка, разположена на 13 cm от всеки от върховете на триъгълника, ако основата и височината на триъгълника са равни на 8 cm?
Решение.Да направим чертеж (фиг. 6). Точка Сдалеч от точките А, INИ СЪСна същото разстояние. Така че, склонен S.A., С.Б.И S.C.равен, ТАКА– общият перпендикуляр на тези наклонени. По теоремата за косите и проекциите AO = VO = CO.
Точка ОТНОСНО– център на окръжност, описана около триъгълник ABC. Нека намерим неговия радиус:
Където слънце– основа;
AD– височината на даден равнобедрен триъгълник.
Намиране на страните на триъгълник ABCот правоъгълен триъгълник ABDспоред Питагоровата теорема:
Сега намираме ОВ:
Помислете за триъгълник РИДАНИЕ: С.Б.= 13 см, ОВ= = 5 см. Намерете дължината на перпендикуляра ТАКАспоред Питагоровата теорема:
Отговор: 12 см.
Пример 4.Са дадени успоредни равнини аИ b. През точката М, което не принадлежи на нито едно от тях, са начертани прави линии АИ bтози кръст апо точки А 1 и IN 1 и самолета b– по точки А 2 и IN 2. намирам А 1 IN 1, ако е известно, че MA 1 = 8 см, А 1 А 2 = 12 см, А 2 IN 2 = 25 см.
Решение.Тъй като условието не казва как е разположена точката спрямо двете равнини М, тогава са възможни два варианта: (фиг. 7, а) и (фиг. 7, б). Нека разгледаме всеки от тях. Две пресичащи се линии АИ bдефинирайте равнина. Тази равнина пресича две успоредни равнини аИ bпо успоредни линии А 1 IN 1 и А 2 IN 2 съгласно теорема 5 за успоредни прави и успоредни равнини.
![]() |
|||
![]() |
Триъгълници MA 1 IN 1 и MA 2 IN 2 са подобни (ъгли А 2 MV 2 и А 1 MV 1 – вертикални, ъгли MA 1 IN 1 и MA 2 IN 2 – вътрешна напречно разположена с успоредни линии А 1 IN 1 и А 2 IN 2 и секанс А 1 А 2). От сходството на триъгълниците следва пропорционалността на страните:
Оттук
Вариант а):
Вариант б):
Отговор: 10см и 50см.
Пример 5.През точката Асамолет жбеше начертана пряка линия AB, образувайки ъгъл с равнината а. Чрез директно ABначертана е равнина r, образувайки с равнината жъгъл b. Намерете ъгъла между проекцията на права линия ABдо самолета жи самолет r.
Решение.Да направим чертеж (фиг. 8). От точка INпуснете перпендикуляра към равнината ж. Линеен двустенен ъгъл между равнините жИ r- това е прав ъгъл AD DBC, въз основа на перпендикулярността на права и равнина, както и Въз основа на перпендикулярността на равнините, равнина rперпендикулярна на равнината на триъгълника DBC, тъй като минава през линията AD. Построяваме желания ъгъл, като спуснем перпендикуляра от точката СЪСдо самолета r, нека го обозначим Намерете синуса на този ъгъл на правоъгълен триъгълник СЕБЕ СИ. Нека въведем един спомагателен сегмент a = BC. От триъгълник ABC: От триъгълник ВМСще намерим
Свойства на наклонени прави, излизащи от една точка. 1. Перпендикулярът винаги е по-къс от наклонения, ако са изтеглени от една и съща точка. 2. Ако наклонените са равни, то проекциите им са равни и обратно. 3. По-голям наклонен кореспондира с по-голяма проекция и обратно.
Слайд 10от презентацията "Перпендикулярно и наклонено към равнината". Размерът на архива с презентацията е 327 KB.Геометрия 10 клас
резюмедруги презентации“Задачи с успоредник” - Геометрия. Точки. Височина на успоредника. Квадрат. Доказателство. Допирателна към окръжност. Признаци на успоредник. Периметър на успоредник. кръг. Част. Средна линия. Центрове на кръгове. Ъгли. Успоредник. Намерете площта на успоредника. Два кръга. Свойства на успоредник. Остър ъгъл. Площ на успоредник. Диагонали на успоредник. Диагонал. Четириъгълник. Триъгълници.
„Методи за конструиране на сечения“ - Формиране на умения за конструиране на сечения. Нека разгледаме четири случая на конструиране на сечения на паралелепипед. Построете сечения на тетраедъра. Метод на вътрешен дизайн. Работа с дискове. Паралелепипедът има шест лица. Режеща равнина. Построяване на сечения от многостени. Следата е правата линия на пресичане на равнината на сечението и равнината на всяко лице на полиедъра. Метод на проследяване. Бележка.
““Правилни многостени” 10 клас” - Прогнозиран резултат. Тетраедър, описан близо до орбиталната сфера на Марс. Център O, ос a и равнина. Лица на многостен. Радиолария. Съдържание. Правилни полиедри. Правилни полиедри във философската картина на света на Платон. Феодариа. В живата природа се срещат правилни полиедри. По време на часовете. Точка (права линия, равнина) се нарича център (ос, равнина). Кое от посочените геометрични тела не е правилен многостен?
„Определяне на двустенни ъгли“ - Точка K се отстранява от всяка страна. Точките M и K лежат на различни лица. Градусна мярка за ъгъл. Свойство на тристенния ъгъл. Бележки за решаване на проблеми. Точка M е разположена върху една от страните на двустенен ъгъл, равен на 30. Построяване на линеен ъгъл. Начертайте перпендикуляр. Права линия, начертана в дадена равнина. Двустенни ъгли в пирамидите. Разрешаване на проблем. Точка K. Тази пирамида. Точката на ръба може да бъде произволна.
„Методи за конструиране на сечения на полиедри“ - Всяка равнина. Художници. Закони на геометрията. Блиц анкета. Взаимна договореностравнина и многостен. Построете сечение на многостен. Многоъгълници. Аксиоматичен метод. Задачи. Кораб. Задача. Аксиоми. Построяване на сечения от многостени. Разрези по различни равнини. Древна китайска поговорка. Самостоятелна работа. Диагонални секции. Затвърдяване на придобитите знания. Режеща равнина.
“Равностранни многоъгълници” - хексаедър (куб) Кубът е съставен от шест квадрата. Октаедър Октаедърът се състои от осем равностранни триъгълника. Тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба. Има 5 вида правилни полиедри. Правилни многоъгълници. Додекаедърът има 12 лица, 20 върха и 30 ръба. Икосаедърът има 20 лица, 12 върха и 30 ръба. Така един куб има 6 лица, 8 върха и 12 ръба. Тетраедър Тетраедърът се състои от четири равностранни триъгълника.
- Чревна дисбиоза - причини, признаци, симптоми и лечение на дисбиоза при възрастни, хранене и профилактика Как да напълним червата с полезна микрофлора
- Симптоми и лечение на валгусно плоско стъпало при възрастни: Петите на детето се търкалят навътре, какво да правя?
- Как да лекуваме халукс валгус при възрастни с масаж, когато кракът се търкаля навътре. Защо кракът отива навътре?
- Диагностика на чревни заболявания: при необходимост и методи на изследване