Облицовка на плоскости. Паркети - облицовка на многоъгълна равнина
Защо човек има някои органи - сдвоени (например бели дробове, бъбреци), докато други - в едно копие?
Каустиците са повсеместни оптични повърхности и криви, които възникват, когато светлината се отразява и пречупва. Каустиците могат да бъдат описани като линии или повърхности, по които се концентрират светлинните лъчи.
Шабат Г. Б.
Сега знаем за структурата на Вселената приблизително толкова, колкото древните хора са знаели за повърхността на Земята. По-точно, знаем, че малка част от Вселената, достъпна за нашите наблюдения, е подредена по същия начин като малка част от триизмерното евклидово пространство. С други думи, ние живеем на триизмерно многообразие (3-многообразие).
Виктор Лаврус
Човек различава предметите около себе си по форма. Интересът към формата на обект може да бъде продиктуван от жизнена необходимост или може да бъде причинен от красотата на формата. Формата, която се основава на комбинация от симетрия и златно сечение, допринася най-добре визуално възприеманеи появата на чувство за красота и хармония. Цялото винаги се състои от части, частите с различни размери са включени известно уважениеедин към друг и към цялото. Принципът на златното сечение - върховно проявлениеструктурно и функционално съвършенство на цялото и неговите части в изкуството, науката, техниката и природата.
Документалният филм "Измерения" е два часа математика, която постепенно ви пренася в четвъртото измерение.
Сергей Стафеев
Най-значимата задача на древните хора е била ориентацията в пространството и времето. Включително за това от незапомнени времена човечеството е издигало множество мегалитни структури - кромлехи, дромози, долмени и менхири. Изобретени са невероятно гениални устройства, които позволяват да се брои времето до най-близката минута или да се виждат посоките с грешка не повече от половин градус. Ще покажем как на всички континенти хората създаваха капани за слънчевите лъчи, строяха храмове, сякаш „нанизани“ на астрозначими посоки, прокопаваха наклонени тунели за дневни наблюдения на звездите или издигаха гномони-обелиски. Невероятно, но нашите далечни предци например са успели да проследят не само слънчевите или лунните сенки, но дори и сянката на Венера.
За да изследват и опишат обема, хората използват метода за проектиране на обемно тяло върху равнина. Изглежда нещо подобно:
Знаейки как изглеждат проекциите, можете да разпознаете, изследвате, конструирате истински триизмерен обект.
Това е изследователският метод, често срещан в класическата кристалография. Изследователите първо изучават една проекция или равнина, "свързвайки я" с изчислени елементи плътно като паркет, и в същото време изучават симетрията и други характеристики в равнината с плочки.
Тогава целият триизмерен обем се запълва с тези плоскости, точно както книгите запълват кубична опаковъчна кутия. Този метод се нарича метод на подреждане.
Интересът към облицовката възниква във връзка с изграждането на мозайки, орнаменти и други модели, базирани на правилни полиедри: триъгълници, квадрати и шестоъгълници.
Никога не е било възможно да се облицова самолет от правилен петоъгълник или петоъгълник. Оставя празнини - незапълнени празнини. И следователно в класическата кристалография петоъгълната симетрия все още се счита за забранена.
И накрая се намери такъв начин.
През 1976 г. английският математик Роджър Пенроуз, който активно работи в различни области на математиката, общата теория на относителността и квантовата теория, дава математическо описание на "мозайката на Пенроуз", наречена на негово име.
Това направи възможно само с помощта на две плочки с много проста форма да се павира безкрайна равнина с неповтарящ се модел.
За да разберем математическата същност на "диамантите на Пенроуз", нека се обърнем към пентаграмата.
В най-простата си форма "плочките на Пенроуз" са набор от фигури с форма на диамант от два вида, едната с вътрешен ъгъл 36°, другата с вътрешен ъгъл 72°. Всеки се състои от два триъгълника, които запълват съответния шаблон на пентаграма.
Съотношенията на елементите на пентаграмата напълно отразяват златното сечение на Фибоначи. Основата му е ирационално число = 1,6180339...
Идеята на Пенроуз за плътно запълване на равнината с помощта на "златни" ромби се трансформира в триизмерно пространство.
В този случай ролята на "ромби на Пенроуз" в новите пространствени структури могат да играят икосаедри и додекаедри.
Това беше красива находка, само една от многото идеи на яркия и упорит ум на Роджър Пенроуз, който обича пространствените парадокси. Тук е неговото безупречно разбиране на златното сечение на Фибоначи, което доближава изследванията му до изкуството.
И именно това послужи като основа за по-нататъшни изследвания и откриването на квазикристали в химическите лаборатории и ново, по-креативно разбиране на триизмерното пространство, както за науката, така и за изкуството.
Един от най-ярките примери за творческо търсене, който привлече вниманието ми, е младата словенска художничка Матюшка Тея Крашек.
Получава бакалавърска степен по живопис от Колежа по визуални изкуства (Любляна, Словения). Нейната теоретична и практическа работа се фокусира върху симетрията като свързваща концепция между изкуството и науката.
Нейни произведения са представени в много международни изложби и са публикувани в международни списания. .
М.Т. Крашек на изложбата си „Калейдоскопични аромати“, Любляна, 2005 г
Художественото творчество на Матюшка Тея Крашек е свързано с различни видове симетрия, плочки и ромби на Пенроуз, квазикристали, златното сечение като основен елемент на симетрията, числата на Фибоначи и др.
С помощта на размисъл, въображение и интуиция тя се опитва да улови нови взаимоотношения, нови нива на структура, нови и различни видове ред в тези елементи и структури.
В своите творби тя широко използва компютърната графика като много полезно средство за създаване на произведения на изкуството, което е връзката между науката, математиката и изкуството.
Ако изберем едно от числата на Фибоначи (например 21 см) за дължината на страната на диаманта на Пенроуз в тази осезаемо нестабилна композиция, можем да наблюдаваме как дължините на някои сегменти в композицията образуват редицата на Фибоначи.
Голям брой художествени композиции на художника са посветени на квазикристалите на Шехтман и решетките на Пенроуз.
В тези невероятни композиции могат да се наблюдават прояви на кръгова симетрия във връзката между ромбовете на Пенроуз:
всеки два съседни диаманта на Пенроуз образуват петоъгълна звезда. Можете да видите Декагона, образуван от ръбовете на 10 съседни диаманта на Пенроуз, създавайки нов правилен полиедър.
И на последната снимка безкрайното взаимодействие на ромби на Пенроуз - пентаграми, петоъгълници, намаляващи към централната точка на композицията. Съотношенията на златното сечение са представени по много различни начини в различни мащаби.
Художествените композиции на Матюшка Тея Крашек привлякоха голямо внимание от представители на науката и изкуството.
Мозайката на Пенроуз е чудесен пример за това как една красива сграда в пресечната точка на различни дисциплини със сигурност ще намери приложение за себе си.
Ще говорим за облицовката на самолета. Облицовката е покритие на цялата равнина с неприпокриващи се форми. Вероятно първият интерес към облицовката е възникнал във връзка с изграждането на мозайки, орнаменти и други модели. Има много орнаменти, съставени от повтарящи се мотиви. Едно от най-простите плочки е показано на фигура 1.
Равнината е покрита с успоредници и всички успоредници са еднакви. Всеки успоредник от това подреждане може да се получи от розов успоредник чрез преместване на последния с вектор (векторите и се определят от ръбовете на избрания успоредник, n и m са цели числа). Трябва да се отбележи, че цялото подреждане като цяло преминава в себе си, когато се измести с вектор (или). Това свойство може да се приеме като дефиниция: а именно, периодично подреждане с периоди е подреждане, което се трансформира в себе си, когато се измести от вектор и от вектор. Периодичните облицовки могат да бъдат доста сложни, някои от тях много красиви.
Квазипериодични подреждания на равнината
Има интересни и непериодични плочки на равнината. През 1974г Английският математик Роджър Пенроуз открива квазипериодичните подреждания на равнината. Свойства на тези облицовки естественообобщават свойствата на периодичните. Пример за такова подреждане е показано на фигура 2.
Цялата равнина е покрита с ромби. Между ромбовете няма празнини. Всеки ромб с плочки с помощта на смени и завъртания може да бъде получен само от два. Това е тесен ромб (36 0 , 144 0) и широк ромб (72 0 , 108 0), показани на фигура 3. Дължината на страните на всеки от ромбовете е равна на 1. Това подреждане не е периодично - то очевидно не се трансформира в себе си при никакви смени. Той обаче има някои важни свойства, които го доближават до периодичните теселации и ни принуждават да го наречем квазипериодичен. Въпросът е, че всяка крайна част от квазипериодично подреждане се среща в цялото подреждане безкраен брой пъти. Това подреждане има петкратна ос на симетрия, докато периодичните подреждания нямат такива оси.
Друго квазипериодично подреждане на равнината, конструирана от Пенроуз, е показано на фигура 4. Цялата равнина е покрита от четири полигона със специална форма. Това е звезда, ромб, правилен петоъгълник.
А) Трансформация на инфлация и дефлация
Всеки от трите примера за квазипериодично подреждане, показани по-горе, е покритие на равнина с премествания и завъртания на краен брой фигури. Това покритие не се трансформира в себе си при каквито и да било смени, всяка крайна част от покритието се среща в цялото покритие безброй пъти, освен това, еднакво често, по цялата равнина. Описаните по-горе подразделения имат някои специални свойства, които Пенроуз нарече инфлация. Изследването на това свойство дава възможност да се разбере структурата на тези покрития. Освен това инфлацията може да се използва за конструиране на модели на Пенроуз. Най-очевидният начин да се илюстрира инфлацията е чрез примера на триъгълниците на Робинзон. Триъгълниците на Робинсън са два равнобедрени триъгълника P, Q с ъгли (36 0 , 72 0 , 72 0) и (108 0 , 36 0 , 36 0) съответно и дължини на страните, както е на фигура 6. Тук φ е златното сечение:
Тези триъгълници могат да бъдат нарязани на по-малки, така че всеки от новите (по-малки) триъгълници да е подобен на един от оригиналните. Разрезът е показан на фигура 7: правата ac е ъглополовящата на ъгъла dab, а отсечките ae, ab и ac са равни. Лесно се вижда, че триъгълник acb и асо са равни и подобни на триъгълник P, а триъгълник cde е подобен на триъгълник Q. Триъгълник Q се разрязва по този начин. Дължината на отсечката gh е равна на дължината на отсечката ih (и е равна на 1). Триъгълникът igh е подобен на триъгълника P, а триъгълникът igf е подобен на триъгълника Q. Линейните размери на новите триъгълници са t пъти по-малки от тези на оригиналните. Това рязане се нарича дефлация.
Обратната трансформация - слепването - се нарича инфлация.
Фигурата ни показва, че от два P - триъгълника и един Q - триъгълник можете да залепите P - триъгълник, а от P и Q триъгълник можете да залепите Q триъгълник. За нови (слепени) триъгълници линейни размери t пъти по-големи от оригиналните триъгълници.
И така, въведохме концепцията за трансформации на инфлация и дефлация. Ясно е, че трансформацията на инфлацията може да се повтори; в този случай ще се получи двойка триъгълници, чиито размери са t 2 пъти по-големи от първоначалните. Последователно прилагайки инфлационни трансформации, можете произволно да получите двойка триъгълници голям размер. По този начин е възможно да се облицова цялата равнина.
Може да се покаже, че подреждането с триъгълници на Робинзон, описано по-горе, не е периодично.
Доказателство
Нека очертаем доказателството на това твърдение. Нека да поспорим напротив. Да приемем, че подреждането на равнината от триъгълници на Робинзон е периодично с периоди u и w. Нека покрием равнината с мрежа от успоредници със страни u, w.С p ще означим броя на Р триъгълниците, чийто долен ляв връх (спрямо нашата мрежа) се намира в защрихования успоредник; ние дефинираме числото q по подобен начин. (Избраните p + q триъгълници образуват така наречената фундаментална област на дадено периодично подреждане.) Помислете за кръг с радиус R и център O. Означете с PR (правилно QR) броя на P-триъгълниците (съответно - Q - триъгълници ), лежащи вътре в този кръг.
Нека докажем това
1) Действително, броят на триъгълниците, пресичащи окръжност с радиус R, е пропорционален на R, докато броят на триъгълниците вътре в окръжност с радиус R е пропорционален на R 2 . Следователно, в ограничението съотношението на броя на P - триъгълниците към броя на Q - триъгълниците в кръг е равно на това съотношение във фундаменталната област.
Нека сега вземем нашето подреждане и извършим дефлационни трансформации. Тогава в първоначалната фундаментална област ще има pґ = 2p + q по-малки P - триъгълници и qґ = p + q по-малки Q - триъгълници. Означаваме с pґR и qґR броя на по-малките триъгълници в кръг с радиус R. Сега е лесно да се получи противоречие. Наистина,
= = = = (правилото на L'Hopital)
Къде, решаване на уравнението
p/q=(2p+q)/(p+q),
докато p и q са цели числа! Противоречието показва, че подреждането от триъгълници на Робинзон не е периодично.
Оказва се, че това покритие от триъгълници на Робинзон не е единственото. Има безкрайно много различни квазипериодични покрития на равнината с триъгълници на Робинзон. Грубо казано, причината за това явление се крие във факта, че по време на дефлация ъглополовящата на Фигура 7 може да бъде начертана от връх b, а не от връх a. Използвайки този произвол, е възможно да се постигне, например, че покритието от триъгълници се превръща в покритие от триъгълници с ромби
Б) Трансформация на дуалност
Методът за конструиране на квазипериодични подслойки, даден по-горе, изглежда като предположение. Има обаче редовен начин за конструиране на квазипериодични покрития. Това е метод на двойствена трансформация, чиято идея принадлежи на холандския математик де Браун.
Нека обясним този метод, като използваме примера за конструиране на равнинна замяна с ромби (виж фиг. 3). Първо, нека изградим мрежа G. За да направите това, вземете правилен петоъгълник и номерирайте страните му (j = 1,2,3,4,5; фиг. 10). Помислете за страната с номер j. Нека построим безкраен набор от прави, успоредни на тази страна, така че разстоянието между двете най-близки прави да е 1.
Нека извършим подобна конструкция за всяка от страните на петоъгълника; Ще начертаем прави линии така, че да се пресичат само по двойки. Получаваме набор от прави, който не е периодичен (фиг. 9).Ливите в този набор ще бъдат обозначени с буквите l. Преномерираме редовете с два индекса: l j (n). Тук j показва посоката на линията (на коя страна на петоъгълника е успоредна). Цялото число n изброява различни успоредни линии, минава през всички цели числа (положителни и отрицателни). Този набор от линии разделя равнината на безкраен набор от многоъгълници. Тези полигони се наричат мрежести лица. Страните на полигоните ще се наричат ръбове на мрежата, а върховете на многоъгълниците ще се наричат върхове на мрежата. (По подобен начин за квазипериодично покритие Q: ромбовете са лица на Q, страните на ромбовете са ръбове на Q, върховете на ромбовете са върхове на Q)
По този начин се изгражда мрежата G . Нека сега извършим двойствената трансформация. Всяко лице на мрежата G е свързано с връх на квазипериодичното покритие Q (върхът на ромба). Върховете се означават с букви (това са вектори). Първо, сравняваме всяко лице M на мрежата с пет цели числа n j = (M), j - 1,2, ….5 съгласно следното правило. Вътрешните точки на M лежат между права l j (n) и успоредна на нея права l j (n+1).
Свързваме това цяло число n с лицата на M. Тъй като в мрежата има линии с пет посоки, по този начин ще свържем пет цели числа n j (M) с всяко M от мрежата G. Върхът на квазипериодичното покритие Q, съответстващ на даденото лице M на мрежата G, се конструира, както следва:
(M) = n 1 (M) + + … +
Тук е вектор с единична дължина, насочен от центъра на правилен петоъгълник към средата на страната с номер j. Така към всяко лице на мрежата сме свързали връх на покритието. Така че можете да изградите всички върхове на Q.
Сега ще свържем някои върхове един с друг чрез сегменти от прави линии. Това ще бъдат ръбовете на корицата Q (страни на ромбовете). За да направите това, разгледайте двойка лица M1 и M2, които имат общ ръб. Върховете на корицата, съответстващи на тези лица и, ще свържем един с друг чрез сегменти.
Тогава се оказва, че разликата
Може би равно на само един от десетте вектора.
По този начин, всеки ръб на мрежата е свързан с лице на покритието Q. Всеки връх на мрежата е свързан с лице на покритието Q (ромб). Наистина, четири лица M R (R = 1,2,3,4) граничат с всеки връх на мрежата. Разгледайте съответстващите им четири върха на покритието (M R). От свойството на разликата (2) следва, че ръбовете на покритието, минаващи през тези върхове, образуват границата на ромба. Построено е квазипериодично покритие на равнината с ромби.
Ние илюстрирахме метода на двойствената трансформация. Това общ начинконструиране на метод за квазипериодични покрития. В тази конструкция правилният петоъгълник може да бъде заменен с всеки правилен многоъгълник. Ще се получи ново квазипериодично покритие. Методът на двойствената трансформация е приложим и за изграждането на квазипериодични структури в пространството.
В) Квазипериодично запълване на тримерното пространство
Има триизмерно обобщение на моделите на Пенроуз. Триизмерното пространство може да бъде запълнено с кутии от специален вид. Паралелепипедите нямат общи вътрешни точки и между тях няма празнини. Всяка кутия от този пълнеж с помощта на смени и ротации може да се получи само от две кутии. Това са така наречените паралелепипеди на Аман-МакКей. За да дефинирате кутия, е достатъчно да дефинирате три ръба, излизащи от един и същи връх. За първия паралелепипед на Amman-McKay тези вектори изглеждат така:
= (0; 1; f), = (-f; 0; -1)
И за втория паралелепипед:
= (0; -1; f), = (f; 0; 1), = (0; 1; f)
Пълнежът с тези паралелепипеди не се трансформира в себе си при никакви смени, но всяка крайна част от него се среща в целия пълнеж безброй пъти. Запълването на пространството с тези паралелепипеди е свързано със симетриите на икосаедъра. Икосаедърът е Платоновото тяло. Всяко негово лице е правилен триъгълник. Икосаедърът има 12 върха, 20 лица и 30 ръба.
Приложение
Оказа се, че бързо охладената алуминиево-манганова стопилка (открита през 1984 г.) притежава точно такива симетрии.Така моделите на Пенроуз помогнаха да се разбере структурата на новооткритата субстанция. И не само това вещество, открити са и други реални квазикристали, чието експериментално и теоретично изследване е в авангарда на съвременната наука.
Лесно е да павирате равнината с паркет от правилни триъгълници, квадрати или шестоъгълници (под облицовкаразбираме такова подреждане, при което върховете на всяка фигура се прилагат само към върховете на съседни фигури и няма ситуация, когато върхът е прикрепен към страната). Примери за такива облицовки са показани на фиг. 1.
Няма друго правилно н-гоновете покриват равнината без пропуски и припокривания няма да работят. Ето как да го обясним. Както знаете, сумата от вътрешните ъгли на всеки н-gon е равно на ( н– 2) 180°. Тъй като всички ъгли са прави н-gons са еднакви, тогава градусната мярка на всеки ъгъл е . Ако равнината може да бъде покрита с такива фигури, тогава всеки връх се сближава кмногоъгълници (за някои к). Сумата от ъглите в този връх трябва да бъде 360°, така че . След няколко прости трансформации това равенство се превръща в следното: . Но, както е лесно да се провери, последното уравнение има само три двойки решения, ако приемем това нИ к цели числа: к = 3, н = 6; к = 4, н= 4 или к = 6, н= 3. Тези двойки числа отговарят точно на показаните на фиг. 1 облицовка.
И какви други многоъгълници могат да се използват за плочки на равнина без празнини и припокривания?
Задача
а) Докажете, че всеки триъгълник може да плочи равнина.
б) Докажете, че всеки четириъгълник (както изпъкнал, така и неизпъкнал) може да облицова равнина.
в) Дайте пример за петоъгълник, който може да се използва за плочки на равнина.
г) Дайте пример за шестоъгълник, който не може да облицова равнина.
д) Дайте пример н-гон за всякакви н> 6, които могат да се използват за облицовка на самолета.
Подсказка 1
В параграфи а), в), д), можете да опитате да направите „ивици“ от същите фигури, с които след това е лесно да павирате цялата равнина.
Точка б): сгънете шестоъгълник от два еднакви четириъгълника, в които противоположните страни са по двойки успоредни. Вече е доста лесно да облицовате самолет с такива шестоъгълници.
Елемент d): използвайте факта, че сумата от ъглите във всеки връх трябва да бъде 360°.
Подсказка 2
В точка д) можете да опитате да действате по различен начин: леко променете съществуващите фигури, за да получите нови теселации.
Решение
Примери за отговори са показани на фигурите.
в) Подходящ е петоъгълник във формата на къща:
г) Няма да е възможно да облицовате равнината с такива шестоъгълници: нито една част от такъв шестоъгълник няма просто да се побере в „изрязания“ ъгъл. Това ясно се вижда в клетките:
Можете да измислите много други шестоъгълници, които не могат да бъдат подредени с равнина.
д) Ето пример за дванадесетоъгълник, който може да се използва за подреждане на равнина. Този метод на облицовка е получен като модификация на обичайната квадратна решетка (виж Фиг. 1, iiот условието):
Послеслов
Проблемът за облицоване на равнина с еднакви фигури без пропуски или припокривания е известен от древни времена. Един от неговите частни случаи е въпросът какви могат да бъдат паркети (тоест облицовки на плоскостта правилни многоъгълници, и не непременно идентични) и по-специално обикновените паркети. Обикновеният паркет има следното свойство: с помощта на паралелни транслации (премествания без завъртания), които преместват паркета в себе си, можете да комбинирате предварително избран възел с всеки друг възел на паркета. На фиг. 1 от условието са изобразени точно правилните паркети.
Не е много трудно да се докаже, че има само 11 различни видовередовни паркети (виж Списък на еднообразни облицовки). Това се доказва почти по същия начин, както доказахме в условието на задачата, че има само три вида паркет от еднакви правилни многоъгълници - градусните мерки на ъглите на всеки правилен многоъгълник са известни, просто трябва да ги изберете така че общата сума е 360 ° и това е просто направено малко изброяване на опциите. Има много древни мозайки, базирани на тези паркети.
Мозайките от глина, камък и стъкло (и паркети от дърво и плочки) са най-известното и разбрано приложение на тази теория в живота. Много от нас могат да се уверят в това, като влязат в нашата кухня или баня. Бъдещите дизайнери специално изучават математическите паркети, защото те и техните вариации често се използват в архитектурата и декорацията.
Настилките се срещат и в природата. В допълнение към добре познатите пчелни пити, най-ярките примери са геоложките образувания на нос Столбчати (остров Кунашир, голям хребет на Курилските острови) и „Пътят на гигантите“ в Северна Ирландия.
Обобщението на нашия проблем - подреждането на пространството - е съвременен важен раздел на кристалографията, който играе важна роляпо интегрална оптика и лазерна физика.
Колкото и да е странно, до относително скорошни времена бяха известни само периодични теселации (които са напълно комбинирани със себе си при някаква промяна и нейните повторения). Въпреки това, през 1974 г. английският учен Роджър Пенроуз излезе с непериодични подложки, които сега се наричат подложки на Пенроуз след него. По-късно (през 1984 г.) подобни непериодични структури са открити в
Общинско учебно заведение
„СОУ No28”.
Облицовка на равнина в космоса.
Резюме на изследването
Математика
Ученици от 10 клас
Комарчева Анна
Ръководител:
учител по математика Овсянкина О.А.
Митищи
Въведение…………………………………………………………………………………3
Дефиниция на плоскостно облицоване…………………………………………………..4
Историята на появата на облицовката……………………………………………………..5
Паркети………………………………………………………………………..7
Непериодично подреждане от Х. Фодерберг………………………………...10
Най-простата облицовка…………………………………………………………….11
Мозайка от Роджър Пенроуз………………………………………………………..12
Свойства на облицовката на Пенроуз……………………………………………………..13
Сензационно откритие………………………………………………………….14
Квазикристали……………………………………………………………………….17
Структурата на квазикристалите………………………………………………………….19
Свойства на квазикристалите………………………………………………………….21
Фулерени и квазикристали………………………………………………...24
Морис Ешер………………………………………………………………………..26
Средновековни орнаменти………………………………………………………28
Girih структура…………………………………………………………………..31
Заключение………………………………………………………………………..34
Въведение
Уместността на резюмето се крие във факта, че облицовката на равнината се изучава активно във физиката на кристалите, геометрията и се среща и в ежедневието.
Дори древните художници създават невероятни геометрични орнаменти. За да създадат своите модели, те не използваха прости, произволно измислени контури, а фигури, които бяха подредени в определен ред. И най-удивителното е, че по-късно хората отново се срещнаха с тях. Древните модели не са нищо друго освен това, което векове по-късно ще бъде наречено решетка на Пенроуз и намерено в структурата на квазикристалите!
А известният холандски художник Морис Ешер (1898-1972), създал прочутите гравюри и мозайки и който никога не е разбирал математиката, заявява: „Всички мои творби са игри. Сериозни игри. Но в тези игри математиците по света вече няколко десетилетия разглеждат абсолютно сериозни материални доказателства за идеи, създадени с помощта на изключително математически апарат.
Най-сериозно внимание на проблема за подреждането на равнината в космоса започна да се отделя през последните петдесет години, след открития във физиката на кристалите - твърди метални сплави. В кристалографията ротационната симетрия от 5-ти ред е най-ефективно представена в света на растенията и в най-простите живи организми, по-специално в някои разновидности на вируси, в някои обитатели на моретата.
Дефиниция на плоскостно облицоване
Облицовката е покритие на цялата равнина с неприпокриващи се форми.
Облицовка - преграждане самолетили интервали върху фигурибез общи вътрешни точки или покриващи цялата равнина с неприпокриващи се форми.
Облицовката на равнина може да бъде представена като набор от фигури, залепени по границите. Един от най-простите примери е така нареченото шестоъгълно облицоване, когато една равнина, подобно на пчелна пита, е съставена от шестоъгълници, свързани по протежение на страните. Подреждането се нарича периодично, ако при изместване от някакъв вектор се трансформира в себе си. В хексагоналния случай това е например вектор, свързващ центровете на съседни шестоъгълни клетки.
Историята на облицовката
Вероятно първият интерес към облицовката е възникнал във връзка с изграждането на мозайки, орнаменти и други модели. Има много орнаменти, съставени от повтарящи се мотиви.
Още питагорейците са знаели, че има само три вида правилни многоъгълници, които могат напълно да облицоват една равнина без пропуски и припокривания - триъгълник, квадрат и шестоъгълник.
Математическият проблем за непериодичното подреждане на равнината съществува от около половин век. Най-известното решение на този проблем е Облицовка на Пенроуз, който се появява през седемдесетте години на миналия век и в който се използват само две различни фигури.
А първият набор от плочки, състоящ се от 20 426 парчета, е представен през 1966 г. от математика Робърт Бергер. След известно време обаче той успя да намали необходимия брой плочки до 104.
Авторът на разглежданата работа се нуждаеше от една фигура - правилен шестоъгълник - за решаване на проблема. При полагане на такива плочки черните линии не трябва да се прекъсват, а флагчетата във върховете на шестоъгълниците, които са на разстояние, равно на дължината на едната страна на плочката (отбелязана със стрелки на фигурата), трябва да изглеждат в същата посока.
Паркети
Във всяка от теселациите, където се използват квадрат, правилен триъгълник и правилен шестоъгълник, всеки два многоъгълника или имат обща страна, или само общ връх, или изобщо нямат общи точки. Наричат се полигонални подложки на равнината, които отговарят на това изискване паркет.
Съвсем лесно е да се уверите, че не се образува друг правилен паркетен многоъгълник. И тук ни трябва формулата за сумата от ъглите на многоъгълник.
Ако паркетът е съставен от н-gons, след това на всеки връх на паркета к= 360°/ а н полигони, където н- правилен ъгъл н-гон. Лесно е да го намерите а 3 = 60°, а 4 = 90°, а 5 = 108°, а 6 = 120° и 120° а нП > 7. Следователно 360 ° се разделя на а нсамо когато П = 3; 4; 6.
Паркетите от правилни многоъгълници сами по себе си са правилни в смисъл, че са "подобно конструирани" по отношение на всички техни върхове и всички многоъгълни части, които изграждат паркета. (Тези парчета се наричат повърхности на плочки или просто плочки.) С други думи, за всеки два върха на обикновен паркет, може да се определи неговото самоподравняване, така че единият от върховете да пада върху другия. Същото важи и за всеки два паркета.
Възможно е да се изисква паркетът да е правилен само "от гледна точка на върховете", но позволява използването на различни видове правилни многоъгълници. Тогава към трите оригинални паркета ще бъдат добавени още осем.
Разгледано е и друго обобщение - паркети, направени от копия на произволен многоъгълник, правилни "по лицата" (т.е. позволяващи самокомбинации, които прехвърлят дадена плочка върху всяка друга). Броят на тези паркети е 46, включително първите три. Многоъгълниците, които могат да бъдат плочки в тези паркети се наричат планигони. Ясно е, че равнината може да бъде положена от копия на произволен триъгълник, но е по-малко очевидно, че произволен четириъгълник е планигон. Същото важи за всеки шестоъгълник, чиито противоположни страни са равни и успоредни. |
|
Всички разгледани по-горе паркети са периодични, т.е. във всеки от тях може да се отдели (и дори по много начини) област, съставена от няколко плочки, от които чрез паралелни смени се получава целият паркет. Интересът на учените към такива конструкции се обяснява с факта, че периодичните облицовки, особено космическите облицовки, моделират кристални структури. Непериодично подреждане от Х. Фодерберг Има и непериодични облицовки, например много красива спирална облицовка на равнината с нонагони, изобретена през 1936 г. от немския математик Х. Фодерберг. Въпреки това, чрез комбиниране на тези плочки по двойки в централно симетрични осмоъгълници е възможно периодично да се облицова равнината с тях. Отдавна се предполага, че няма плочки или дори комплекти от няколко различни плочки, чиито копия биха могли да покриват равнината само непериодично. Въпреки това, в средата на 60-те години. 20-ти век тази хипотеза беше опровергана, което изискваше набор от повече от 20 000 различни видовеплочки. Стъпка по стъпка броят на плочките беше намален и накрая, след десет години, английският математик Роджър Пенроуз успя да се справи само с две много прости фигури. |
Най-простата облицовка
Едно от най-простите облицовки може да бъде описано по следния начин. Равнината е покрита с успоредници и всички успоредници са еднакви. Всеки успоредник на това подреждане може да бъде получен от оригиналния успоредник чрез изместването му с вектора nU ± mV (векторите U и V се определят от ръбовете на избрания успоредник, n и m са цели числа). Трябва да се отбележи, че цялото подреждане като цяло преминава в себе си, когато се измести от вектора U (или V). Това свойство може да се приеме като дефиниция: а именно, под периодично подреждане с периоди U и V имаме предвид подреждане, което се трансформира в себе си, когато се измести от вектора U и от вектора V.
Мозайка от Роджър Пенроуз
Отдавна се предполага, че няма плочки или дори комплекти от няколко различни плочки, чиито копия биха могли да покриват равнината само непериодично. Въпреки това, в средата на 60-те години. През 20 век тази хипотеза е опровергана, което изисква набор от повече от 20 000 различни вида плочки. Стъпка по стъпка броят на плочките беше намален и накрая, след десет години, английският математик Роджър Пенроуз успя да се справи само с две много прости фигури.
Английският математик Роджър Пенроуз измисли такова нещо през 1973 г. - специална мозайка от геометрични форми. Тя става известна съответно като мозайката на Пенроуз. Какво е толкова специално за нея? Мозайката на Penrose е модел, сглобен от многоъгълни плочки с две специфични форми (малко различни ромби). Те могат да проправят безкрайна равнина без пропуски.
Полученото изображение изглежда като вид "ритмичен" орнамент - картина с транслационна симетрия. Този тип симетрия означава, че в шаблона можете да изберете определена част, която може да бъде "копирана" на равнина, и след това да комбинирате тези "дубликати" един с друг чрез паралелен превод (с други думи, без ротация и без увеличение).
Въпреки това, ако се вгледате внимателно, можете да видите, че моделът на Пенроуз няма такива повтарящи се структури - той е апериодичен. Но въпросът изобщо не е в оптическата илюзия, а във факта, че мозайката не е хаотична: тя има ротационна симетрия от пети ред. Това означава, че изображението може да се завърти на минимален ъгъл от 360 / нстепени, където не редът на симетрията, в този случай н= 5. Следователно ъгълът на въртене, който не променя нищо, трябва да бъде кратен на 360 / 5 = 72 градуса.
Мозайката Penrose има следните свойства:
1. Отношението на броя на тънките ромби към броя на дебелите винаги се оказва равно на така нареченото "златно" число 1,618...
2. Не преминава в себе си при никакви смени, т.е. не периодично
3. Притежава ротационна симетрия от пети ред. Ъгълът на въртене е кратен на 360° / 5 = 72. Получените модели имат квазикристаленформа, която има аксиална симетрия 5-ти ред. Мозаечната структура е свързана с Ред на Фибоначи.
Сензационно откритие
За около десетилетие фантастиката на Роджър Пенроуз не се смяташе за нищо повече от симпатична математическа абстракция.
По-късно учени от Съединените щати и Израел - Д. Шехтман, И. Блех, Д. Гратиас и Дж. Кан - направиха сензационно откритие, като откриха непериодичната структура на бързо охладена сплав от манган и алуминий. Преди това се смяташе, че кристалите имат аксиална симетрия само от 1-ви, 2-ри, 3-ти, 4-ти и 6-ти ред. С други думи, кристалите с аксиална симетрия от 5-ти ред са в състояние на плавен преход между аморфни тела и периодични кристали.
Предишните идеи, които съществуваха във физиката на твърдото тяло, изключваха такава възможност: структурата на дифракционната картина има симетрия от пети ред.
Неговите части не могат да се комбинират чрез паралелен трансфер, което означава, че той изобщо не е кристал. Но дифракцията е характерна само за кристална решетка!
Как да съм тук? Въпросът не е лесен, затова учените се съгласиха, че този вариант ще се нарече квазикристали - нещо подобно специално условиевещества. Така математическото любопитство се е превърнало в модел, описващ вътрешната структура на квазикристалите.
Е, цялата красота на откритието е, че отдавна е готов математически модел за него. Мозайката на Пенроуз е чудесен пример за това как една красива сграда, в пресечната точка на различни дисциплини, със сигурност ще намери приложение за себе си. Ако възловите точки се заменят с атоми, подредбата на Пенроуз става добър аналогдвумерен квазикристал, тъй като има много свойства, характерни за такъв
състояние на материята. И ето защо:
Първо, изграждането на мозайката се изпълнява по определен алгоритъм, в резултат на което се оказва не произволна, а подредена структура. Всяка крайна част от него се среща в цялата мозайка безброй пъти.
Второ, в мозайката могат да се разграничат много правилни десетоъгълници, които имат абсолютно еднаква ориентация. Те създават далечен ориентационен ред, наречен квазипериодичен. Това означава, че има взаимодействие между отдалечените структури на мозайката, което координира местоположението и относителната ориентация на ромбовете по добре дефиниран, макар и двусмислен начин.
Трето, ако последователно нарисувате всички ромби със страни, успоредни на всяка избрана посока, тогава те образуват поредица от начупени линии.
По тези прекъснати линии могат да се начертаят прави успоредни линии, разположени приблизително на еднакво разстояние една от друга. Поради това свойство може да се говори за някаква транслационна симетрия в подредбата на Пенроуз.
Четвърто, последователно запълнените диаманти образуват пет семейства от подобни успоредни линии, пресичащи се под ъгли, кратни на 72°. Посоките на тези прекъснати линии съответстват на посоките на страните на правилен петоъгълник. Следователно подредбата на Пенроуз има до известна степен ротационна симетрия от 5-ти ред и в този смисъл е подобна на квазикристал.
Квазикристали
Дълго време, когато науката за твърдите тела едва се зараждаше, беше забелязано, че всички тела в природата могат да бъдат разделени на два диаметрално противоположни класа: неподредени аморфни тела, в които няма закономерност във взаимното разположение на атомите, и кристални тела, характеризиращи се с тяхното подредено разположение. Това разделяне на структурата на твърдите тела продължи почти до края на 20 век, когато бяха открити не съвсем "правилни" кристални тела, квазикристали. Те започват да се разглеждат като междинни форми между аморфните и кристалните тела.
Квази (лат. quasi - сякаш, сякаш) - представка за различни думи, съответстващи по смисъл на думите "въображаем", "фалшив", "уж".
През 1984 г. е открита алуминиева сплав с манган Al0.86Mn0.14, проба от която, подложена на специален метод на бързо охлаждане, разпръсква електронен лъч, така че върху фотографска плака с пета част се образува ясно изразена дифракционна картина. симетрия на реда в подреждането на дифракционните максимуми (икосаедрична симетрия). Наличието на остри дифракционни максимуми показва наличието в структурата на далечен ред в подреждането на атомите, което е характерно за кристалите, тъй като това означава, че атомите в различни областипробите еднакво отразяват електронния лъч. Въпреки това, симетрията на наблюдаваната дифракционна картина противоречи на основните концепции на класическата кристалография: такава симетрия е физически невъзможна за каквито и да било кристални вещества.
Допълнителни проучвания показват, че новият материал прилага нов типред, некристален и неаморфен (аморфното вещество се характеризира с наличието на късообхватен атомен ред - кристален ред само в рамките на няколко междуатомни разстояния). Поради това това вещество беше наречено квазикристал.
Известно време по-късно са открити други метални сплави с далечен ред, но с оси на симетрия на седма, осма, десета, дванадесета и т.н. забранени поръчки за кристали. В това отношение концепцията за квазикристалите също се разшири: понастоящем квазикристалите обикновено се разбират като твърди метални сплави с далечен ред, дифракционните пикове на които са разположени с некристалографска симетрия.
Структура на квазикристалите
Важен проблем във физиката на квазикристалите е тяхната атомна структура. Тяхната структура може да бъде разбрана с помощта на математическата теория на подреждането. Обикновеният кристал е периодична структура от атоми или молекули. Всяка кристална структура има определена симетрия. Кристалите имат два вида ред на дълги разстояния, ориентационен и транслационен. Транслационният ред означава способността да се изгради кристална структура чрез транслации на елементарния градивен елемент на структурата с определено разположение на атомите върху някакъв вектор на кристалната елементарна клетка. В този случай се говори за наличието на далечен ред в кристала. Ориентационният ред означава, че въртенето на кристала около определена ос изравнява позициите на атомите със самите тях. Кристалите могат да имат ротационна симетрия от трети, четвърти или шести ред.
Например, ако кристалът има ос на симетрия от трети ред, тогава неговата кристална решетка няма да се промени след завъртане с една трета от кръга. Структурата на единичната клетка на повечето кристали се основава на такива прости геометрични тела като куб, тетраедър и октаедър. Структурата на квазикристалите, като сплав от алуминий с манган, се основава на друго геометрично твърдо тяло - икосаедър. Икосаедърът е многостен с 20 лица, всяко от които е равностранен триъгълник, 12 върха и 30 ръба. Икосаедърът има симетрия от пети ред: пет лица са свързани във всеки от върховете му. Икосаедрите не могат да бъдат опаковани така, че да запълнят цялото пространство плътно, без празнини, така че не могат да служат като елементарни кристални клетки.
Елементи на структурата на квазикристал от пет тетраедъра: фрагмент от икосаедър (а), 32 - връх на триаконтаедър (6)
икосаедър(от Гръцкиεικοσάς – двадесет; -εδρον - лице, лице, основа) - правилен изпъкнал многостен, двадесетстранен, един от Платонови тела. Всяко от 20-те лица е равностранно триъгълник. Броят на ръбовете е 30, броят на върховете е 12.
Тетраедър(Гръцки τετραεδρον - тетраедър) - многостен с четири триъгълни лица, във всеки от върховете на които се събират 3 лица.
Триаконтаедър- (гръцки, от триаконта тридесет и основа на хедра). Тридесетоъгълник, т.е. тяло, ограничено от 30 равни ромбични равнини.
Свойства на квазикристалите
Квазикристалите обикновено са сплави от метални елементи. Но физическите свойства на квазикристалите се различават от тези на другите метални системи. Електрическото съпротивление на металите се увеличава с повишаване на температурата, концентрацията на примеси и структурни дефекти. Квазикристалите не са изолатори и не са полупроводници, но за разлика от металите тяхното електрическо съпротивление при ниски температури е аномално високо, намалява с повишаване на температурата и се увеличава с увеличаване на структурния ред и отгряване на дефекти (продължително нагряване, което елиминира дефектите). При декагоналните квазикристали се наблюдава интересна закономерност. Това са слоести обекти: квазикристалните равнини са опаковани по протежение на ос от десети ред с краен период. По протежение на оста на опаковката проводимостта се държи като в нормален метал, но различно в квазикристалните равнини.
Почти всички квазикристални сплави са диамагнетици. Изключение правят сплавите с манган, които са парамагнитни.
Теорията на твърдото състояние обяснява отлично електронните свойства на нормалните метали и техните сплави. Отправната точка е периодичността на кристалната структура. Теорията обаче все още не е в състояние да обясни защо квазипериодичността е източникът на специфичното поведение на свойствата. За да се отговори на този въпрос е необходимо голямо количество експериментална и теоретична информация за електронната структура (електронен спектър) на квазикристалите.
В момента са открити повече от 200 квазикристални сплави, чиито свойства се изучават активно. Всяка година се появяват съобщения за нови по състав квазикристали и за нови варианти на структури, за чието съществуване преди дори не можеше да се предполага.
В момента в повечето синтезирани квазикристали са открити оси на симетрия от 5-ти, 7-ми, 8-ми, 10-ти, 12-ти и дори по-високи порядъци, които са забранени за идеалните кристали. Тези обекти все още не са намерили практическо приложение, но тяхното изследване разширява разбирането ни за структурата на материята. Въпросът за квазикристалното състояние не се ограничава до физиката на твърдото тяло. Свойствата на симетрия на квазикристалите са универсални. Това означава, че ако в твърдо тяло се намери някакъв начин за опаковане на клетки с определена форма, тогава същият начин за опаковане на "течни клетки" може да се намери в хидродинамичните потоци, проблемът с хаоса (в структурата на фазовата равнина на динамична система) и т.н. Следователно в изследването на квазикристалите участват физици, математици, кристалографи и учени по материали. Въпреки това, въпросът за природата на квазикристалното състояние на материята и обяснението на свойствата на квазикристалите все още остава загадка, която природата ни представи.
Ето един интересен факт, забелязан от изследователите. Ротационната симетрия от 5-ти ред, която е строго забранена в кристалографията, е най-ефективно представена в света на растенията и в най-простите живи организми, по-специално в някои разновидности на вируси, в някои морски обитатели (морски звезди, морски таралежи, колонии от зелени водорасли и др.) и в др.обекти, които „изграждат живота”. Ротационната симетрия от 5-ти ред е характерна за много диви цветя (жълт кантарион, незабравка, камбанка и др.), плодови дървета(череша, круша, ябълка, мандарина и др.). Люспите на смърчовата шишарка, зърната на слънчогледа или клетките на ананаса също образуват квазиправилно повърхностно покритие, в което съседните клетки са организирани в добре дефинирани спирали и образуват структура, близка до квазикристалите.
Както можем да видим, ротационната симетрия от 5-ти порядък, която играе важна роля в квазикристалите, се проявява най-ясно, така да се каже, в преходната област между статично неодушевения и гъвкаво гъвкав жив свят на природата. Изследването на квазикристални обекти доведе до редица открития и приложни разработки. Структурното съвършенство на термодинамично стабилните квазикристали ги поставя наравно с най-добрите образци на обикновени кристали. На тяхна база се получават леки и много здрави стъкла. Тънките филми и квазикристалните покрития имат много нисък коефициент на триене. Квазикристалите се използват за създаване на композитни материали, като устойчива на триене гума. Особено привлекателни са тяхната ниска електро- и топлопроводимост, висока твърдост, устойчивост на корозия и окисляване, химическа инертност и нетоксичност. Днес вече са получени много обещаващи квазикристали, за които дори не са мечтали преди няколко десетилетия. Една от приоритетните задачи е разработването на методи за синтез по зададени параметри, които биха позволили предварително да се "програмират" физическите свойства на създаваните материали.
Неочакваната поява на златното сечение в структурата на квазикристалите показва наличието на жив "мотив" в тяхната симетрия, тъй като, за разлика от неодушевените кристали, само живият свят позволява прекрасни съотношения на златната пропорция. В природата на квазикристалите много все още не е ясно. Освен това няма окончателно формирани физически представи за особеностите на тяхната структура, не е получена физическа обосновка за техните якостни, пластични, еластични, електрически, магнитни и други свойства. Въпреки тези трудности повишеният интерес на учените към мистерията, която природата им е представила под формата на квазикристали, не отслабва и в бъдеще несъмнено ще се получават неочаквани резултати повече от веднъж.
Фулерени и квазикристали
Така наречените фулерени, открити в средата на 80-те години на миналия век, са пряко свързани със структурата на квазикристалите - неизвестна досега форма на комбиниране на въглеродни атоми в почти сферични молекули C n ( н = 28, 54, 60, 70, 84, 120 ...) Фулерените са клас въглеродни молекули, съдържащи повече от 20 атома. Тяхното откритие изостри „кристалографската катастрофа", причинена от откриването на квазикристали. Най-изследваният въглероден нанообект е C 60 фулерен. Преди това се смяташе, че в свободно състояние въглеродът може да бъде под формата на две модификации - диамант и графит. Структурата на молекулата C 60 е нещо друго.Това е икосаедър, пресечен по върховете си, тоест един от 14-те неправилни (или полуправилни) многостени на Архимед, в които шестоъгълниците са свързани помежду си с петоъгълници.Без да навлизаме в подробно разглеждане на тази фигура, отбелязваме, че такава структура прилича на футболна топка, традиционно ушита от черни петоъгълници и бели шестоъгълници.Не е изненадващо, че такава молекула има икосаедрична симетрия.Запознаването с фулерените улавя веднага, човек е поразен от техните красота и пропорционалност. Фулерените, подобно на квазикристалите, говорят за удивителна хармония на света, за непрекъснато единство във всичките му проявления. Интересът към фулерените възникна, преди всичко поради тяхната особена структура и симетрия, а също и поради способността да се създават материали на базата върху тях, които се използват в много високи технологии. На първо място, те се считат за обещаващи материали за електронните технологии. Освен това на базата на фулерени са създадени смазочни материали при ултраниски и свръхвисоки температури и съединения със свръхпроводимост, получени са вещества, които превъзхождат диаманта по твърдост (виж Наука и живот, № 10, 1995 г.).
Името "фулерени" е дадено на нов клас въглеродни модификации в чест на американския архитект Бъкминстър Фулър, който разработи дизайна на сферични куполи. Една от тези сгради е построена на международното изложение EXPO-67 в Монреал. Основният мотив на сградата са повтарящи се шестоъгълни фрагменти, между които на определени места са въведени петоъгълни фрагменти, даващи необходимото
кривина на обемната структура.
Първите фулерени са изолирани от кондензирани пари графитполучени чрез лазерно облъчване на твърди графитни проби. Всъщност това бяха следи от веществото. Следващата важна стъпка беше направена 1990 г У. Кречмер, Lamb, D. Huffman и други, които разработиха метод за получаване на грамови количества фулерени чрез изгаряне на графитни електроди в електрическа дъга в атмосферата хелийпри ниско налягане. В процес на ерозия анодсаждите, съдържащи определено количество фулерени, се утаяват по стените на камерата. Впоследствие беше възможно да се изберат оптималните параметри на изпаряване на електрода (налягане, атмосферен състав, ток, диаметър на електрода), при които се постига най-висок добив на фулерени, средно 3–12% от анодния материал, което в крайна сметка определя високия цена на фулерени.
Морис Ешер
Нека разгледаме по-подробно трудовете на Морис Ешер по отношение на описаните по-горе математически модели. Ешер се интересуваше от всички видове мозайки - правилни и неправилни (периодични и квазипериодични) - и също така въведе свой собствен вид, който той нарече "метаморфози", където фигурите се променят и взаимодействат една с друга, а понякога променят и самата равнина . Този тип мозайка беше описан в предишната глава. Ешер започва да проявява интерес към мозайките през 1936 г., докато пътува в Испания. Той прекара много време в Алхамбра, скицирайки арабски мозайки и каза след това, че това е за него " най-богатият източниквдъхновение." По-късно в своето есе за мозайките Ешер пише:
„В математическите работи правилното разделяне на равнината се разглежда теоретично... Това означава ли, че този въпросе чисто математически? Математиците отвориха вратата, водеща към друг свят, но сами не посмяха да влязат в този свят. Те се интересуват повече от пътеката, на която стои вратата, отколкото от градината зад нея.
След като разбрахме как да създаваме периодични и квазипериодични подслойки, можем да предложим как Морис Ешерсъздава собствени мозайки. С подробно разглеждане и проучване на мозайките на Ешер може да се предположи, че художникът е използвал следното много интересно, но в същото време по прост начин. Той очерта правилен шестоъгълник (известно е, че тази фигура може да се използва за създаване на периодична мозайка). След това той изкриви три съседни страни на шестоъгълника, като им придаде необходимия контур и, използвайки паралелен превод, картографира тези страни към противоположните.
Така майсторът се уверил, че мозайката все още може да бъде направена от получената фигура. След това той промени фигурата отвътре. Художникът разделя на шест равни триъгълника. Във всеки триъгълник страничните ребра бяха променени по такъв начин, че в комбинация с променената страна на шестоъгълника (основата на триъгълника) те образуваха контура на необходимото животно. В нашия случай получихме "риба". Използвайки описания по-горе метод, той получи изображение, готово за печат. Като доказателство за валидността на горния метод могат да се цитират неясни линии от предварителна маркировка, запазени върху някои отпечатъци от гравюри от майстора. Тези линии точно повтарят шаблона, който трябва да се получи при изпълнение на първите етапи на метода, който предлагаме.
Водени от горните съображения, можем да разделим целия масив от „мозаечни” произведения на два основни класа. Първата е периодична работа, а втората е квазипериодична.
себе си Морис Ешер, като много гении преди и след него, твърди: „Всичките ми произведения са игри. Сериозни игри. Но в тези игри математиците по света вече няколко десетилетия разглеждат абсолютно сериозни материални доказателства за идеи, създадени с помощта на изключително математически апарат. Периодичните облицовки могат да бъдат доста сложни, някои от тях много красиви. Пример е периодичното облицоване, изобретено от Морис Ешер („Конници“).
средновековни орнаменти
През 2007 г. Питър Лу, физик от Харвард, заедно с друг физик - Пол Стайнхард, но от Принстън - публикуванив статия на Science за подредбите на Пенроуз. Изглежда, че тук няма голяма изненада: откриването на квазикристали привлече силен интерес към тази тема, което доведе до появата на куп публикации в научната преса. Акцентът на творбата обаче е, че тя далеч не е посветена на съвременна наука. И като цяло - не наука. Лу обърна внимание на шарките, покриващи джамиите в Азия, построени през Средновековието. Тези лесно разпознаваеми дизайни са направени от мозаечни плочки. Те се наричат гирихи. Гирих е геометричен орнамент под формата на комбинация от многоъгълни и звездовидни фигури, характерен за средновековното изкуство на Централна и Централна Азия. Girih - в превод от персийски възел, сложен геометричен модел, изграден от линии в различни геометрични фигури (звезди, правоъгълници, ромби и др.).
Дълго време се смяташе, че тези модели са създадени с помощта на линийка и компас. Въпреки това, преди няколко години, докато пътуваше в Узбекистан, Лу се заинтересува от моделите на мозайки, които украсяваха местната средновековна архитектура, и забеляза нещо познато в тях. Връщайки се в Харвард, ученият започва да разглежда подобни мотиви в мозайките по стените на средновековни сгради в Афганистан, Иран, Ирак и Турция.
Тази проба е датирана в по-късен период - 1622 г. (индийска джамия). Гледайки го и рисувайки структурата му, човек не може да не се възхищава на усърдието на изследователите. И, разбира се, самите майстори.
Питър Лу установи, че тези схеми са почти еднакви и успя да идентифицира основните елементи на girih, използвани във всички геометрични дизайни. Освен това той намери рисунки на тези изображения в древни ръкописи, които древните художници използваха като вид мамят лист за декориране на стени.
Но всичко това, оказва се, не е толкова важно. За да създадат тези модели, те не са използвали прости, произволно измислени контури, а фигури, които са подредени в определен ред. И това не е особено изненадващо. Наистина интересното е, че след като са забравили за подобни схеми, хората се срещат с тях отново по-късно.
Да, да, древните модели не са нищо друго освен това, което векове по-късно ще бъде наречено решетки на Пенроуз и ще бъде открито в структурата на квазикристалите!
В ислямската традиция имаше строга забрана върху изображението на хора и животни, така че геометричните орнаменти станаха много популярни в дизайна на сградите. Средновековните майстори успяха по някакъв начин да го направят разнообразен. Но каква беше тайната на тяхната "стратегия" - никой не знаеше. И така, тайната просто се оказва в използването на специални мозайки, които могат, оставайки симетрични, да запълнят равнината, без да се повтарят. Друг "трик" на тези изображения е, че "копирайки" такива схеми в различни храмове според рисунките, художниците неизбежно ще трябва да допуснат изкривявания. Но тези нарушения са минимални. Това се обяснява само с факта, че нямаше смисъл от мащабни рисунки: основното е принципът, по който да се изгради картина. Girih структура За сглобяване на гирихи са използвани плочки от пет вида (десетоъгълни и петоъгълни ромби и "пеперуди"), които в мозайката са подредени една до друга без свободно пространство между тях. Мозайките, създадени от тях, могат да имат както ротационна, така и транслационна симетрия едновременно или само ротационна симетрия от пети ред (тоест това са мозайки на Пенроуз). Тези снимки подчертават едни и същи области, въпреки че това са снимки от различни джамии. |
Фрагмент от орнамента на иранския мавзолей от 1304 г. Вдясно е реконструкция на гирихи. |
Чрез изследване на стотици снимки на средновековни мюсюлмански обекти, Лу и Щайнхард успяха да датират появата на подобна тенденция през 13 век. Портал на светилището на Имам Дарби в Исфахан Иран). Тук две системи от гирихи се наслагват една върху друга наведнъж. Постепенно този метод придобива все по-голяма популярност и до 15 век става широко разпространен. Изследователите считат светилището на Имам Дарби в иранския град Исфахан, датиращо от 1453 г., като пример за почти идеална квазикристална структура. Това откритие впечатли много хора. Американската асоциация за напредък на науката, за да отпразнува повода, дори подготви прессъобщения за изследванетоНаперсийски , арабски ИТурски езици (очевидно като „почит“ за вдъхновение). |
Вярно е, че д-р Емил Маковицки от университета в Копенхаген смята за свой дълг да смъмри изследователите, че не са обърнали достатъчно внимание на неговата статия от 1991 г., в която той изследва модел върху иранска гробница от 12-ти век. Скоро още няколко учени от Технион и от университета Дюк се присъединиха към тази критика, като обаче казаха, че работата на Стайнхард и Лу е „интересна хипотеза“.
Пол Щайнхард откровено отвърна на забележката, като каза, че той и колегата му не са работили върху една проба, а върху голямо разнообразие от материали. За щастие въпросът не стигна до академичен спор и изследването получи поне известно признание в научния свят.
И все пак най-мистериозният въпрос - как средновековните араби са могли да се сетят за квазикристални структури, които познаваме от по-малко от три десетилетия - остава без отговор.
Дали това може да е доказателство за огромната роля на математиката в средновековното ислямско изкуство, или това е просто най-лесният начин за авторите да „сглобят“ произведенията си, сега е невъзможно да се знае.
„Не можем да кажем със сигурност какво означава цялото това изкуство“, призна Питър Лу. „Въпреки това изглежда невероятно, че изборът на такава тактика е въпрос на чиста случайност.“ Във всеки случай това откритие може да е доказателство, че изкуството, на което не се придава голямо значение, се е оказало много „по-напреднало“, отколкото сме си представяли.
Заключение
Облицовката е най-изследваната област във физиката на квазикристалите. Почти всички известни в момента квазикристали са метални сплави, но техните свойства се различават значително от тези на основните метали. Обърнете внимание например на необичайно високото електрическо съпротивление при ниски температури и неговия спад с повишаване на температурата. "Традиционните" метали се държат по точно обратния начин. Ерата на масово използване на квазикристали очевидно предстои, не някои контури вече могат да бъдат идентифицирани. Възможно е да се използват в плъзгащи лагери - с нисък коефициент на триене, квазикристалните сплави имат висока граница на безопасност. Високоякостните незалепващи покрития, високотемпературните свръхпроводници, високоякостните материали, ултратънките покрития, ултра фините прахове и квазикристалните абразиви изглеждат изкусително. Много свойства на този клас вещества предстои да бъдат изследвани. Една от приоритетните задачи е разработването на методи за синтез по зададени параметри, които биха позволили предварително да се "програмират" физическите свойства на създаваните материали. Откриването на квазикристалите разклати основите на кристалографията, много от чиито разпоредби трябваше да бъдат преразгледани през последния четвърт век. В обобщената идея за кристал, за да замените понятието "елементарна клетка" - условно най-малката структурна единицакристал - дойде концепцията за "далечен ред" Физиците сравняват значението на откриването на квазикристалите за кристалографията с откриването на ирационалните числа в математиката. Вече са открити повече от 200 квазикристални сплави, не без помощта на плочки, и техните свойства се изучават активно.
Тези обекти все още не са намерили практическо приложение, но тяхното изследване разширява разбирането ни за структурата на материята.
Въпросът за квазикристалното състояние не се ограничава до физиката на твърдото тяло. Свойствата на симетрия на квазикристалите са универсални. Това означава, че ако в твърдо тяло се намери някакъв начин за опаковане на клетки с определена форма, тогава същият начин за опаковане на "течни клетки" може да се намери в хидродинамичните потоци, проблемът с хаоса (в структурата на фазовата равнина на динамична система) и т.н. Следователно в изследването на квазикристалите участват физици, математици, кристалографи и учени по материали. Въпреки това, въпросът за естеството на квазикристалното състояние на материята и обяснението на свойствата на квазикристалите все още остава загадка. Квазикристали унищожи традиционната представа за непреодолимото разделение между света на минералите, в който „петоъгълната" симетрия беше забранена, и живата природа, където „петоъгълната" симетрия е една от най-разпространените. И не бива да забравяме, че основната пропорция на икосаедъра е „златното сечение". А откриването на квазикристалите е още едно научно потвърждение, че може би именно „златната пропорция", проявяваща се както в света на дивата природа, така и в света на минералите, е основната пропорция.