Примерна наредба за образователна институция за допълнително образование. Нов ред за организиране на допълнително обучение на деца
Принцип на Ферма
Геометричната оптика може да бъде конструирана въз основа на различни принципи. От една страна, можем да използваме законите на отражението и пречупването, от друга страна, можем да използваме принципа на Ферма или принципа на Хюйгенс. От доста време работим със законите на отражението и пречупването, а сега ще обсъдим принципа на Ферма.
Помислете за оптична среда, в която скоростта на светлината варира от точка до точка, такава среда се нарича нехомогенна.
Ориз. 1. Скоростта на светлината зависи от точката
Можем да кажем, че скоростта на светлината зависи от точката, но можем да кажем, че индексът на пречупване зависи от точката
. Това е едно и също нещо, защото те са свързани с
, където е константата е скоростта на светлината във вакуум.
В нехомогенна среда светлинните лъчи не се движат праволинейно, те са извити.
Време за пътуване. Нека имаме някакъв начин
свързващи точки И , може или не може да бъде светлинен лъч. Можем обаче да изчислим някакво условно време - времето, което би отнело светлинният лъч, ако мине по този път , като във всяка точка
скорост
. Приблизително това време може да се изчисли чрез разделяне на целия път на малки сегменти с дължина
и избиране на някаква точка във всеки сегмент. Тогава времето за преминаване на малък сегмент може да се оцени като
, а общото транзитно време ще бъде равно на сумата от тези времена
.
Равенството, разбира се, е приблизително, но дясна часте интегралната сума за следния криволинеен интеграл по пътя, който вече дава точния резултат
.
Ще наричаме това интеграл транзитно временачин . За светлинен лъч това време е същото като времето, необходимо за пътуване от до . Сега можем да формулираме принципа на Ферма.
П
фермен принцип. Фиксирайте две точки и . От една точка да пуснем светлинни лъчи във всички възможни посоки. Нека, да кажем, един от тях да уцели точката.
Ориз. 2. Един от лъчите, излизащи от точката , улучва целта
П
Нека начертаем всички възможни пътища от точка до точка, включително самия светлинен лъч.
Ориз. 3. Всички пътища от до , сред които светлинният лъч е маркиран в червено
Принципът на Ферма казва как истинският светлинен лъч се различава от всички други пътища, свързващи тези точки,
времето за пътуване на светлинен лъч, преминаващ от една точка до друга, е най-малкото в сравнение с всички други пътища, свързващи тези точки.
Защо, да речем, светлинен лъч може да не минава по отсечката, свързваща точките, а да минава по извита траектория. Според принципа на Ферма това ще се случи, ако скоростта на светлината в точките на сегмента е по-голяма от тази в точките на кривия път.
Често вместо с транзитното време се работи с оптична дължинаначин
.
защото оптичната дължина и времето за преминаване са пропорционални едно на друго
(коефициентът на пропорционалност е скоростта на светлината във вакуум), принципът на Ферма може да се формулира и по следния начин
оптичната дължина на светлинния лъч, преминаващ от една точка до друга, е най-малката в сравнение с всички други пътища, свързващи тези точки.
Всъщност и двете формулировки на принципа на Ферма, дадени от нас, изискват известно пояснение - вместо думата най-малкоте трябва да съдържат думата стационарен, но сега няма да се спираме на това.
И сега ще покажем, че всички основни закони следват от принципа на Ферма геометрична оптика.
Праволинейност на светлинните лъчи в хомогенни среди. Ако средата е хомогенна, т.е. скоростта на светлината в него е постоянна,
, тогава по произволен път времето за пътуване е пропорционално на дължината на този път
.
Тук от дясната страна
обозначава дължината на пътя. Оттук следва, че най-малко времепреминаване по пътя с най-малка дължина, т.е. в сегмента на линията. Така че, според принципа на Ферма, светлината ще се движи по права линия.
П
фермен принцип
закон за отражение. Оставете светлинния лъч да напусне точката и след отражение да удари точката. Въз основа на принципа на Ферма ние доказваме, че ъгълът на падане равен на ъгълаотражения.
Ориз. 4. Сред всички прекъснати линии с две връзки трябва да изберете най-късата
Тук имаме нужда от малко пояснение на принципа на Ферма. За да вземем предвид отражението, ще трябва да сравним не всички пътища от и един към друг, а само тези, които са в контакт с огледалото. защото ние вярваме, че светлината се разпространява в хомогенна среда, където светлината се движи по прави линии, ще бъде необходимо да се сравняват пътищата на две връзки една с друга
, състоящ се от два сегмента
И
Горна част лежащи върху огледалото и изберете сред тях прекъсната линия с най-малка дължина.
Този избор се прави с помощта на следния геометричен метод. Отразете точка в огледалото
. Основното геометрично твърдение е следното: за всяка точка върху огледалото на дължините на начупени линии и
са равни.
Ориз. 5. Дължини на прекъснати линии
И
равна, прекъсната линия
- най-късият
Това следва от равнобедрения триъгълник
. Следователно, вместо минималната полилиния, можете да търсите минималната полилиния, но такава полилиния ще бъде просто сегмент
. Означете пресечната му точка с огледалото . Равенството на три ъгъла с връх следва от това, че два от тях са вертикални, а за другата двойка равенството следва от факта, че в равнобедрен триъгълник
височината е ъглополовяща. И сега ъглите на падане и отражение са равни като допълнение към 90° към другите два равни ъгъла. Законът за отражението е доказан.
Принципният закон на Ферма за пречупването. Този път светлинният лъч излиза от точка в средата, където е скоростта на светлината , и след пречупване удря точката , която е в средата, където скоростта на светлината . Въз основа на принципа на Ферма, за да определим траекторията на светлинен лъч, трябва да намерим такава точка, разположена на границата между медиите, така че времето на преминаване на полилинията да е най-малко.
Въвеждаме координатна система, в която ос върви по интерфейса между средата и оста минава през точката. Ще приемем, че
,
И
.
Ориз. 6. Изрежете
има дължина
, дължина на сегмента
е равно на
Трябва да минимизираме времето за пътуване на път с две връзки, като изберем подходяща точка, т.е. определяне на неговата координата
.
За да намерим минимума, изчисляваме производната
и го приравнете към нула
.
Така
.
Но вторият фактор отляво е
, а вторият фактор отдясно е
, така че имаме
.
След като умножим по скоростта на светлината, получаваме
.
Като вземем предвид равенството, получаваме закона за пречупване
,
Където
е индексът на пречупване на първата среда, и
е индексът на пречупване на втората среда.
Леща като устройство, което събира всички лъчи, идващи от една точка в друга точка. Първо, изразяваме съмнения относно съществуването на такова устройство. Помислете за всички лъчи, преминаващи през него. Тези лъчи свързват две точки. Сред тях избираме лъча, който изисква най-малко време за преминаването си. Според принципа на Ферма светлината ще се движи само по този лъч, но не и по останалите – явно противоречие.
Всъщност има само един начин да се премахне това противоречие - да се приеме, че времето за пътуване на всички тези лъчи е еднакво и освен това е минимално по отношение на времето за пътуване на всички други пътища, свързващи тези две точки.
Този принцип, който е следствие от принципа на Ферма, се нарича принцип тавтохронизъмили принцип еднаквост. Нека започнем да изграждаме нашето устройство. Най-примитивната скица може да изглежда така
Ориз. 7. Първата скица на устройство, което събира всички лъчи в една точка
аз
ясно е, че това е неправилно, т.к средният лъч се преминава за най-кратко време и светлината ще върви само по него. По силата на принципа на тавтохронизма трябва да изравним времето на преминаване на всички лъчи. За да направим това, поставяме модератор на пътя на всеки лъч - парче стъкло, където скоростта е един път и половина по-малка, отколкото във въздуха. За къси греди модераторът (парче стъкло) трябва да е по-дебел, за дълги греди - по-тънък.
Ориз. 7. Втора скица - примитивна леща
Ясно е, че полученото устройство е примитивен прототип на леща. Всъщност не е толкова далеч от точното изчисляване на формата на една идеална леща.
Ето още един пример за приложението на принципа на тавтохронизма.
Оптична дефиниция на елипса. Този път ще се опитаме да проектираме отразяващо устройство, което събира (фокусира) всички лъчи, идващи от една точка в друга точка. Отново принципът на Ферма изглежда предотвратява съществуването на такова устройство. Сред всички такива лъчи трябва да изберете най-късия и светлината ще се разпространява само по него, но не и по останалите лъчи.
Но принципът на тавтохронизма отново ни спасява. Трябва да изискваме дължините на всички тези лъчи да бъдат еднакви и минимални по отношение на дължините на всички други пътища, които докосват отразяващата крива и свързват тези две точки.
Означена е точката, от която излизат светлинните лъчи , точката, в която се събират след отражение, - . Нека означим точка на кривата. Принципът на тавтохронизма води до факта, че дължината на пътя с две връзки
трябва да бъде константа, независима от избора на точка.Това уравнение се нарича канонично уравнение на елипсата. Параметричното уравнение на елипса също е полезно
.
Нека добавим, че количествата И ,
се наричат полуосите на елипсата – голяма и малка.
1. Пиер Ферма (1601--1675) излага принципа, че светлината, когато се разпространява от една точка до друга, избира пътя, който съответства на най-краткото време на разпространение. Фермата се ръководеше от телеологични съображения, според които природата действа целенасочено: тя не може да бъде разточителна и трябва да постигне целите си с най-малко изразходвани средства. Такива съображения, разбира се, са чужди на науката и не могат да служат като оправдание за принципа на Ферма. Но самият принцип (след въвеждане на някои пояснения) е правилен и може да бъде полезен при решаването на някои проблеми на геометричната оптика. Това вече беше демонстрирано от самия Ферма, който, използвайки своя принцип, изведе закона за пречупване на Снел и получи същия израз за индекса на пречупване, както във вълновата теория на светлината. По-специално той стигна до заключението, че скоростта на светлината в по-пречупваща среда е по-малка, отколкото в по-малко пречупваща.
2. За да докажем принципа на Ферма, първо приемаме, че индексът на пречупване на средата се променя в пространството непрекъснато и доста бавно, така че условията за приложимост на геометричната оптика са изпълнени. Нека вълна от формата се разпространява в средата
(където a(r) , Ф(r) са реални функции на координатите.
вълново число
например генерирани от точков източник. Тя съответства на системата от лъчи, показана на фиг. 2.
Ако ейконалът Ф е еднозначна функция от координати, тогава от уравнението gradФ=ns (където s е единичният вектор на нормалата към фронта на вълната) следва, че циркулацията на вектора ns по всеки затворен контур е равна до нула, т.е.
където dl е елементарният вектор на преместване по този контур. Вземете две произволни точки A и B, лежащи на един от лъчите. Нека ги свържем с произволна ADB линия. Поради (3)
На лъча ASV векторите s и dl са насочени по един и същи начин, следователно (sdl)=dl. На линията ADB (sdl)=dl cos (s,dl)
Знакът за равенство се прилага само в случай, когато ADB кривата сама по себе си е лъч. По този начин, ако индексът на пречупване варира непрекъснато в пространството, тогава оптичната дължина на лъча между всеки две точки е по-малка от оптичната дължина на всяка друга линия, свързваща същите точки. Но това е друга формулировка на принципа на Ферма, тъй като оптичната дължина на лъча е пропорционална на времето на разпространение на светлината по него.
Горната формулировка на принципа на Ферма трябва да бъде изяснена. В някои случаи може да е неправилно. Да разгледаме например среда със сферично симетрично разпределение на индекса на пречупване около центъра O (фиг. 3).
Пример за такава среда е планетарната атмосфера. Да предположим, че индексът на пречупване се променя в пространството, така че светлинният лъч, напускайки всяка точка, перпендикулярна на радиуса, описва окръжност с център в точка O. Нека светлината навлезе от точка A до точка B по голямата дъга DAB на тази окръжност. Но може да премине от A до B и по дъгата ADB на същата окръжност, като изразходва по-малко време за разпространение. По-малко време също би било необходимо, ако светлината избере някакъв друг път, безкрайно близо до ADB дъгата. Всичко това противоречи на принципа на Ферма в горната формулировка.
Причината за противоречието е, че в дадения пример ейконалът Φ не е еднозначна функция от координати, както беше прието при извеждането. Действително, ако лъчът описва окръжност около центъра O, тогава той ще се върне в началната точка с нова стойност на ейконала: ейконалът Ф ще получи увеличение nl, където l е дължината на описаната окръжност. Ако окръжността е описана m пъти, тогава нарастването на ейконала ще бъде 2mp1. Това означава, че функцията Φ е многозначна. За валидността на принципа на Ферма е необходимо да се наложат такива ограничения върху избора на въображаеми пътища на разпространение на светлината, че ейконалът Φ да се държи като еднозначна функция на координатите. В дадения пример това може да бъде постигнато чрез поставяне на дял по протежение на меридионалната полуравнина ODE и ограничаване само до тези пътища, които не пресичат този дял.
Подобна техника може да се използва във всички други случаи, в които ейконалът Φ е двусмислен. Въпреки това, в приложенията на принципа на Ферма е достатъчно да се ограничим до пътища, които минават безкрайно близо до действителния път на светлината. В този случай необходимостта от въвеждане на дялове отпада.
3. При наличието на интерфейси между среди, върху които лъчите могат да изпитват отражение или пречупване, трябва да се направят допълнения към формулировката и доказателството на принципа на Ферма. Нека лъчът, напускащ точка A (фиг. 4), след отражения или пречупвания в точки C, D, E, попада в точка B. Нека наречем виртуален път на светлината всяка линия AC "D" E "B между крайните точки A и B, което се получава от ACDEB в резултат на безкрайно малко странично изместване от него и се различава от него безкрайно малко по посока.Принципът на Ферма гласи, че оптичната дължина на действителния път на светлината (или времето на разпространение, пропорционално на него) Това означава, че разликата между оптичните дължини на реалния и виртуалния път на светлината е стойност от по-висок порядък на малка стойност от страничното изместване на виртуалния път спрямо реалния.Само тази стационарност, а не минималната оптична дължина на лъча е от съществено значение в приложенията.
В доказателството е достатъчно да се ограничим до пречупване на една граница. Случаят на отражението се изучава по същия начин. Нека MN е интерфейсът между медии 1 и 2, а ASV е реален лъч, свързващ канал A с точка B (фиг. 5). Представете си два безкрайно тесни снопа лъчи: единият в първата среда, излизащ от точка А, другият във втората среда, събиращ се в точка В. За положителни посоки на лъчите приемаме посоките от А към В. Избираме два лъча AC "и C" B в тези лъчи , пресичащи се на интерфейса в точка C. Кривата AC "B може да се разглежда като виртуален път на светлината, тъй като лъчът C" B в общия случай изобщо не възниква в резултат на пречупването на лъча AC ". Означаваме с и ейконалите на разглежданите снопове лъчи, броени съответно от точките A и B. Тогава
Вариацията на интеграла, когато точката C се премести към произволна безкрайно близка точка C" на интерфейса, ще бъде
Ако е вектор на изместване, тогава по подобен начин, така че
По силата на закона за пречупване на Снел, векторът е перпендикулярен на интерфейса между медиите в точката на падане и следователно на безкрайно малко изместване по протежение на интерфейса.Така, в първия ред в изменението на оптичната дължина на DIA лъчът изчезва. В доказателството беше прието, че виртуалният път се състои от сегменти на лъчите AC" и CB". Резултатът от сегментите обаче трябва да бъде заменен с произволни линии, безкрайно близо до тях, свързващи същите точки A и C", C" и B. Действително, тъй като AC "и C" B са реални лъчи в първата и втората среда , техните оптични дължини са доказани по-горе, че са минимални. По тази причина замяната на реалните лъчи AC" и C"B с безкрайно близки до тях прави, свързващи едни и същи крайни точки, не променя оптичните дължини на съответните пътеки в първи ред. Следователно, промяната на оптичната дължина на DIA лъча ще остане равна на нула, независимо от виртуалния път на светлината. И до това се свежда съдържанието на принципа на Ферма в разглеждания случай.
4. В приложенията понякога е удобна следната теорема, която е пряко следствие от принципа на Ферма. Нека A и B са произволни точки от лъча ASV (фиг. 6).
Нека начертаем произволна гладка повърхност BE през точка B, ортогонална на лъча ACB в точка B. Нека BD е безкрайно малко преместване по тази повърхност. Нека свържем началната точка на лъча A с точката D с произволна права AHD, безкрайно различна по посока от лъча ACB. Тогава изменението на оптичната дължина по време на прехода от истинския път на светлината ASV към виртуалния AHD ще бъде равно на нула. За да докажем това, нека вземем сноп от лъчи, излизащи от точка А. Всички А от тези лъчи са ортогонални на фронта на вълната BF и техните оптични дължини от точка А до фронта на вълната са еднакви. По-специално, (ASV) = (AMK). Но според принципа на Ферма, до безкрайно малки от по-висок порядък (AMK) = (AHK). Освен това, тъй като повърхностите BDE и BKF се допират една до друга в точка B, дължината на лъча KD ще бъде безкрайно малка от по-висок порядък в сравнение с BD. Следователно, оптичната дължина AHD също ще се различава от оптичната дължина ASV с по-висок порядък на малкост в сравнение със страничното изместване BD. Това трябваше да се докаже.
5. Ако помежду си, тогава във всяка среда пътят на светлината ще бъде праволинеен. В този случай проблемът се свежда само до намиране на точки на интерфейсите на медиите, в които се случва отражението и пречупването на светлинния лъч. Следователно не е необходимо да се въвеждат криволинейни виртуални светлинни пътища. Достатъчно е да се ограничим до прекъснати виртуални пътеки, състоящи се от сегменти от прави линии, и прегъванията на такива пътеки трябва да се появят на интерфейсите на разглежданата среда. Дори при такива ограничения, оптичната дължина на действителния светлинен път може да бъде не само минимална, но и максимална или стационарна.
За да покажем това в случай на отражение на светлината, нека вземем елипсоидално огледало, получено чрез завъртане на елипса около голямата й ос (фиг. 7). Нека и са фокусите на елипсоида.Ако A е точка от повърхността му, тогава
където 2a е дължината на голямата ос на елипсоида. Повърхността на огледалото разделя цялото пространство на две части: вътрешната, сумата от разстоянията на всяка точка от фокусите и е по-малка от 2а, и външната, за която тази сума е по-голяма от 2а. Нека светлинният лъч напусне фокуса Тогава, след отражение от елипсоидното огледало в точка А, той ще премине през втория фокус е F 2, тъй като според добре известното свойство на елипсата, линиите A и F 2 A образуват същите ъгли с нормалата към огледалната повърхност. При движение по повърхността на огледалото сумата A + F 2 A, а с нея и времето на разпространение на светлината от до F 2 не се променят. Вариацията на времето на разпространение за такова изместване е нула. Това време обаче не е нито минимално, нито максимално – то е постоянно. Поради тази причина всеки лъч, излизащ от F 1, задължително ще премине през F 2, независимо в коя точка на огледалото се отразява. Можете да проверите това, като използвате същата аргументация, дадена в параграф 3.
Нека сега си представим огледало S, допирателно към елипсоида в точка А, с вдлъбнатина, обърната в същата посока като елипсоида, но с по-голяма кривина. Светлинният лъч A след отражение от това огледало отново попада в точката F 2 . Когато обаче точката А се премести по повърхността на огледалото S, дължината на начупената линия AF 2 намалява. Следователно времето за разпространение на светлината от до F 2 по действителния път е максимално.
Напротив, ако вземем огледало S, което има в точката на контакт по-малка кривина от елипсоида или е обърнато към вдлъбнатината в обратна посока, тогава времето за разпространение на светлината по реалния път ще бъде минимално. По-специално, то е минимален, когато се отразява от плоско огледало. Нека накрая приемем, че огледалото SAS" има инфлексна точка в A. След това, когато точката на падане на лъча се измести по повърхността на това огледало, времето на разпространение или ще се увеличи, или ще намалее, или ще остане непроменено, в зависимост от посоката на изместването.
6. За да анализираме случая на пречупване, въвеждаме понятието анаберационна повърхност. Нека точката P е в хомогенна среда с показател на пречупване n, а точката P" е в хомогенна среда с показател на пречупване n" (фиг. 8). Повърхност AA", по която медиите граничат една с друга, се нарича анаберална, ако всяка точка A от тази повърхност удовлетворява условието
n * RA + n "* AR" \u003d C \u003d const. (9)
За случая на пречупване анаберационната повърхност има формата на така наречения декартов овал. Той е обърнат от вдлъбнатина към по-пречупваща среда (n "\u003e n). Анабералната повърхност разделя пространството на две части със следното свойство. Ако точката M се намира в по-малко пречупваща среда, тогава сумата n * PM + n "* MP" е по-голямо от C; ако се намира в по-пречупваща среда, тогава тази сума е по-малка от C.
Нека докажем следната теорема. Светлинен лъч, излизащ от точка P, след пречупване върху анаберационната повърхност, задължително ще премине през точката P. Действително, нека RA е падащият лъч, като единичен вектор, насочен по него. Нека свържем точката A с точката P" и означаваме с s "единичен вектор, насочен по правата AP". Съгласно дефиницията на анаберационната повърхност, промяната на оптичната дължина на прекъснатата линия PAP, "когато точката А е изместена по анаберационната повърхност, ще бъде равна на нула. Следователно, използвайки същите разсъждения като в параграф 2, намираме че векторът ns -- n"s" е перпендикулярен на анаберационната повърхност в точка А. От това следва, че AP" дава посоката на пречупения лъч.
Доказаната теорема може да се формулира и по следния начин. Ако AA" е анаберационна повърхност по отношение на двойка точки P и P", тогава всяка от тези точки ще бъде оптичен образ на другата, когато лъчите се пречупват върху тази анаберационна повърхност. В този случай не се налагат ограничения върху ъгловата ширина на снопа от лъчи.
Нека се върнем към изследването на природата на екстремума на оптичната дължина на лъча при пречупване. Нашето разсъждение няма да се различава от разсъждението, проведено по-горе за елипсоидално огледало. Да предположим, например, че медиите граничат една с друга по протежение на повърхността S (фиг. 8), докосвайки анаберационната повърхност в точка А. Тогава падащият лъч, след пречупване в точка А, отново ще премине през точка Р. Нека повърхността S е вдлъбната в същата посока като анаберационната повърхност и има голяма кривина в точката на контакт. Тогава, когато точката на падане се измести по S, тя ще бъде в по-малко пречупваща среда. Следователно, изместеният път ще има по-малка оптична дължина от реалната: времето за разпространение на светлината по реалния път е максимално.Напротив, когато кривината на повърхността S в точката на контакт A е по-малка от кривината на анаберационна повърхност, а също и когато повърхността S е вдлъбната в обратна посока, тогава времето за разпространение по реалния път е минимално.
В хомогенна среда светлината се разпространява по права линия. В нехомогенна среда светлинните лъчи се огъват. Пътят, по който се движи светлината в нехомогенна среда, може да се намери с помощта на принципа, установен от френския математик Ферма през 1679 г. Принципът на Ферма гласи, че Светлината се движи по пътя, който отнема най-малко време за пътуване.
Да минеш участък от пътя dS(фиг. 1.3) светлината се нуждае от време дт = dS/vКъдето v-скоростта на светлината в дадена точка от средата.
DS Фиг. 1.3. Към извеждането на принципа на Ферма.
Замяна vпрез сИ Ппо формула (1.3) получаваме това . Следователно времето T, изразходвана от светлината по пътя от точка 1 до точка 2, може да се изчисли по формулата
Според принципа на Ферма Tтрябва да бъде минимален. Тъй като с -константа, трябва да бъде минималната стойност
Наречен дължина на оптичния път . В хомогенна среда оптичната дължина на пътя е равна на произведението на геометричната дължина на пътя S и индекса на пречупване на средата П:
Л = nS. (1.5)
Принципът на Ферма може да се формулира по следния начин: Светлината се движи по път с най-къса оптична дължина.
Основни закони на оптиката. пълно отражение
Още преди да бъде установена природата на светлината, са били известни следните основни закони на оптиката: законът за праволинейното разпространение на светлината в оптически хомогенна среда; законът за независимостта на светлинните лъчи (валиден само в линейната оптика); закон за отразяване на светлината; закон за пречупване на светлината.
Законът за праволинейното разпространение на светлината:Светлината се разпространява по права линия в оптически хомогенна среда.
Доказателство за този закон е наличието на сянка с резки граници от непрозрачни обекти, когато са осветени от точкови източници на светлина (източници, чиито размери са много по-малки от осветения обект и разстоянието до него). Внимателни експерименти обаче показаха, че този закон се нарушава, ако светлината преминава през много малки дупки, и отклонението от праволинейността на разпространението е по-голямо, колкото по-малки са дупките.
Законът за независимостта на светлинните лъчи: ефектът, произведен от един лъч, не зависи от това дали другите лъчи са активни едновременно или са елиминирани. Чрез разделянето на светлинния поток на отделни светлинни лъчи (например с помощта на диафрагми) може да се покаже, че действието на избраните светлинни лъчи е независимо.
Ако светлината попадне върху границата между две среди (две прозрачни вещества), тогава падащият лъч I (фиг. 1.4) се разделя на две - отразен II и пречупен III, посоките на които са дадени от законите на отражението и пречупването.
Ориз. 1.4. Към законите за отражение и пречупване на светлината.
Закон за отражението:отразеният лъч лежи в същата равнина като падащия лъч и перпендикуляра, начертан към границата между двете среди в точката на падане; ъгълът i ` 1 на отражение е равен на ъгъла i 1 на падане:
Закон за пречупване: падащият лъч, пречупеният лъч и перпендикулярът, прекаран към границата в точката на падане, лежат в една и съща равнина; съотношението на синуса на ъгъла на падане към синуса на ъгъла на пречупване е постоянна стойност за тези среди:
където n 12 е относителният индекс на пречупване на втората среда спрямо първата. Индексите в означенията на ъглите i 1 , i ` 1 , i 2 показват в коя среда (първа или втора) преминава лъчът.
Относителният индекс на пречупване на две среди е равен на отношението на техните абсолютни показатели на пречупване:
Абсолютният индекс на пречупване на средата е стойността "n", равна на отношението на скоростта "c" на електромагнитните вълни във вакуум към тяхната фазова скорост "v" в средата:
Припомнете си отново това къде дИ мса съответно електрическата и магнитната пропускливост на средата.
Като се вземе предвид (1.6), законът за пречупване (1.2) може да бъде написан като
от което може да се получи уравнение, което не само описва поведението на светлинен лъч на интерфейса между слоеста среда, но също така може да бъде наречено като закон за обратимост на лъча:
n 1 ×sini 1 = n 2 ×sini 2 = n 3 ×sini 3 =… (1.7)
Обратимостта на светлинните лъчи следва от симетрията на израза (1.7). Ако лъчът III се обърне (фиг. 1.4), принуждавайки го да падне върху интерфейса под ъгъл i 2, тогава пречупеният лъч в първата среда ще се разпространи под ъгъл i 1, т.е. ще отиде в обратна посока по лъч I.
Основното следствие от закона за пречупване на светлината е закон за пълно вътрешно отражение.
Ако светлината се разпространява от среда с по-висок индекс на пречупване n 1 (оптически по-плътен) към среда с по-нисък индекс на пречупване n 2 (оптично по-малко плътен) (n 1 > n 2), например от стъкло във вода, тогава, съгласно (31.7),
От това следва, че пречупеният лъч се отдалечава от нормалното и ъгълът на пречупване i 2 е по-голям от ъгъла на падане i 1 (фиг. 31.5, а). С увеличаване на ъгъла на падане, ъгълът на пречупване се увеличава (фиг. 31.5, b, c), докато при определен ъгъл на падане (i \u003d i pr) ъгълът на пречупване е равен на стр/2. Ъгълът i pr се нарича граничен ъгъл. При ъгли на падане i\u003e i pr цялата падаща светлина се отразява напълно (фиг. 31.5, d).
|
Ориз. 1.5. Наблюдение на явлението пълно вътрешно отражение.
Когато ъгълът на падане се приближи до границата, интензитетът на пречупения лъч намалява, докато този на отразения лъч се увеличава (фиг. 1.5, a-c). Ако i \u003d i pr, тогава интензитетът на пречупения лъч изчезва, а интензитетът на отразения лъч е равен на интензитета на инцидента (фиг. 1.5, d). Така при ъгли на падане, вариращи от i pr, до стр/2 лъчът не се пречупва, а напълно се отразява в първата среда, като интензитетите на отразения и падащия лъч са еднакви. Това явление се нарича пълно отражение.
Ограничителният ъгъл i pr се определя от формула (1.7) при заместване на i 2 = стр/2.
Тогава
(1.8)
Уравнение (1.8) удовлетворява стойностите на ъгъла i pr за n 2 £n 1 . Следователно се осъществява само явлението пълно отражение когато светлината пада от оптически по-плътна среда в оптически по-малко плътна среда.
Феноменът на пълно отражение се използва в световоди (световоди), които са тънки, случайно огънати нишки (влакна) от оптически прозрачен материал. Във влакнестите части се използва стъклено влакно, чието световодно ядро (сърцевина) е заобиколено от стъкло - обвивка от друго стъкло с по-нисък индекс на пречупване. Светлината, падаща върху края на световода под ъгли, по-големи от граничния, претърпява пълно отражение на границата между сърцевината и обвивката и се разпространява само по дължината на световодната сърцевина.
По този начин, с помощта на световоди, е възможно да се огъва пътя на светлинния лъч по всякакъв начин. Диаметърът на световодните проводници варира от няколко микрометра до няколко милиметра. За предаване на изображение, като правило, се използват многожилни световоди. Въпросите за предаване на светлинни вълни и изображения се изучават в специален клон на оптиката - фиброоптика, възникнал през 50-те години на XX век. Световодите се използват в електронно-лъчеви тръби, в електронни изчислителни машини, за кодиране на информация, в медицината (например диагностика вътрешни органи), за защита на комуникационното оборудване от въздействието на свръхмощен електромагнитен импулс, който възниква по време на експлозия на атомни и термоядрени боеприпаси и др.
Оптика- дял от физиката, който изучава природата на светлината, законите на разпространение и взаимодействие с материята.
Светлина- Това електромагнитно излъчванев диапазона на дължината на вълната от до (f 0,4-0,79 μm cr).
Видима светлинае радиация в диапазона на дължината на вълната: . Геометрична оптика -клон на физиката, занимаващ се с изучаването на законите за разпространение на светлината и изобразяване в оптични инструменти. Геометричната оптика се основава на концепцията светлинен лъч(това е линия, показваща посоката на разпространение на светлината) и светлинен лъч(това е областта от пространството, в която се разпространява светлината). Светлинните лъчи са независими: всеки светлинен лъч се държи независимо, когато се пресича, независимо от други лъчи и няма никакъв ефект върху други светлинни лъчи. Основата на гр. о. Установен е принципът на Ферма.
Принцип на Ферма (първа формулировка):Светлината се движи по пътя, който отнема най-малко време за пътуване. Нека светлината се разпространява от точка 1 до точка 2. Ще отнеме време, докато светлината премине през елементарен участък dS. Абсолютният индекс на пречупване на средата, където c е скоростта на светлината, е скоростта на светлината в средата, тогава . Втора формулировка:количеството се нарича дължина на оптичния път.Ако средата е хомогенна ( н= сonst), Че L=nS, т.е. дължината на оптичния път е равна на произведението на индекса на пречупване на средата и геометричното разстояние между точките. Ако заменим , т.е. пр. Ферма: светлината се разпространява по такъв път, чиято дължина е минимална, където s е геометричната дължина на пътя.
Оптичните свойства на веществото се характеризират с величина, наречена абсолютен индекс на пречупване n.
Абсолютният индекс на пречупване показва колко пъти скоростта на светлината във вакуум c е по-голяма от скоростта на светлината в материята v
Относителният индекс на пречупване е равен на отношението на абсолютните показатели на пречупване в две среди:
n 21 \u003d n 2 / n 1; n 21 \u003d v 1 / v 2.
където v 1 и v 2 са скоростта на светлината съответно в първата и втората среда.
2. Основни закони на геометричната оптика.
1) Z-n праволинейнаразпространение на светлината: в хомогенна прозрачна среда светлината се разпространява по права линия.
2) Z-n на обратимостта на хода на светлинния лъч (Законът за независимост на светлинните лъчи;)
3) Z-n отражениеСвета:
а) падащият лъч, отразеният лъч и перпендикулярът, възстановен до точката на падане на лъча на границата между 2 среди, лежат в една и съща зона.
б) ъгъл на падане = ъгъл на отражение.
4) законът за независимост на светлинните лъчи. ( ефектът, произведен от един лъч, не зависи от това дали,дали други лъчи действат едновременно или се елиминират.
Чрез разделянето на светлинния поток на отделни светлинни лъчи (например с помощта на диафрагми) може да се покаже, че действието на избраните светлинни лъчи е независимо.)
5) Z-n пречупване на светлината:
а) падащият лъч, пречупващият лъч и перпендикулярът, възстановен към точката на падане на лъча на границата между 2 среди, лежат в една и съща равнина.
б) отношението sin на ъгъла на падане към sin на ъгъла на пречупване е постоянна стойност, равна на относителния индекс на двете среди , където е относителният индекс на пречупване, абсолютен показателСвета.
Закон за отражението (фиг. 7.3):
· отразеният лъч лежи в същата равнина като падащия лъч и перпендикуляра,изтеглени към интерфейса между две медии в точката на падане;
· ъгъл на паданеα равен на ъгъла на отражениеγ: α = γ
Да се изведе законът за отражението Нека използваме принципа на Хюйгенс. Да приемем, че плоска вълна (вълнов фронт AB с, попада на интерфейса между две медии (фиг. 7.4). Когато фронтът на вълната ABдостига отразяващата повърхност в точка А, тази точка ще излъчва вторична вълна .
За преминаване на разстояние вълна слънценеобходимо време Δ T= пр.н.е./υ.През същото време фронтът на вторичната вълна ще достигне до точките на полусферата, радиуса ADкоето е равно на: υ Δ t = слънце.Позицията на фронта на отразената вълна в този момент, в съответствие с принципа на Хюйгенс, се дава от равнината DC,а посоката на разпространение на тази вълна е лъч II. От равенството на триъгълниците ABCИ ADCследва закон за отражение: ъгъл на паданеα равен на ъгъла на отражение γ .
Закон за пречупване (Закон на Снел ) (фиг. 7.5):
· падащият лъч, пречупеният лъч и перпендикулярът, прекаран към границата в точката на падане, лежат в една и съща равнина;
· отношението на синуса на ъгъла на падане към синуса на ъгъла на пречупване е постоянна стойност за тези среди.
Извеждане на закона за пречупване. Да приемем, че плоска вълна (вълнов фронт AB), разпространяваща се във вакуум по посока I със скорост с, попада на границата със средата, в която скоростта на нейното разпространение е равна на u(фиг. 7.6).
Нека времето, необходимо на вълната, за да измине пътя слънце, е равно на D T. Тогава слънце=сд T.През същото време, предната част на вълната, възбудена от точката Ав среда със скорост ти,достига до точките на полукълбо, чийто радиус AD=uд T.Позицията на фронта на пречупената вълна в този момент, в съответствие с принципа на Хюйгенс, се дава от равнината DC,и посоката на разпространението му - лъч III . От фиг. 7.6 показва това
това предполага Закон на Снел :
3. Приложение на принципа на Ферма за доказване на законите за отражение и пречупване.
Принцип на Ферма- основният принцип геометрична оптика. най-простата формаПринципът на Ферма е твърдението, че лъч светлинавинаги се простира до пространствомежду две точки по пътя, по който времето за преминаване е по-малко, отколкото по всеки друг път, свързващ тези точки. времепреминаваща светлина разстояниял, напълнен със среда с коефициент на пречупване n, пропорционално дължина на оптичния път С; S = l nза хомогенна среда и за променлива н
S = ∫ndl,
Следователно можем да кажем, че принципът на Ферма е принцип на най-малката дължина на оптичния път. В първоначалната формулировка на самия П. Ферма (около 1660 г.) принципът има значението на най-общия закон за разпространение на светлината, от който следват всички (вече известни по това време) закони геометрична оптика: за хомогенна среда води до законът за праволинейността на светлинния лъч(в съответствие с геометричната позиция, че правата линия е най-късото разстояние между две точки), и за случай на падане на лъч граница различни среди От принципа на Ферма може да се получи закони за отразяване на светлината и пречупване на светлината. В по-строга формулировка принципът на Ферма е вариационен принцип, заявявайки, че реален светлинен лъч се разпространява от една точка до друга по линия, по която времето му за пътуване е екстремно или същото в сравнение с времената за пътуване по всички други линии, свързващи тези точки. Това означава, че оптичната дължина на пътя на лъча може да бъде не само минимална, но и максимална или равна на всички останали. възможни начинисвързване на дадените точки. Примери за минимален път са споменатото разпространение на светлина в хомогенна среда и преминаването на светлината през границата на две среди с различни показателипречупване н. И трите случая (минимум, максимум и стационарност на пътя) могат да бъдат илюстрирани чрез анализиране на отражението на светлинен лъч от вдлъбнато огледало (фиг. 1).
Действителният път на светлината съответства на екстремното време на разпространение
Ако огледалото има формата на елипсоид на въртене и светлината се разпространява от един от неговите фокуси P към друг Q (а пътят без отражение е невъзможен), тогава оптичната дължина на пътя на лъча PO" + O"Qпо свойствата на елипсоида е равен на всички други възможни, напр PO"" + O""Q; ако по пътя между същите точки светлината се отразява от огледало с по-малка кривина от тази на елипсоид ( ММ), минималният път се реализира, но ако по-големият (огледален NN) е максимумът. Условието дължината на оптичния път да бъде екстремална се свежда до изискването тя да е равна на нула вариацияот интеграла
където A и B са точките, между които се разпространява светлината. Този израз е математическата формулировка на принципа на Ферма.
Във вълновата теория на светлината принципът на Ферма е граничният случай Принцип на Хюйгенс-Френели е приложимо, когато дифракцията на светлината може да бъде пренебрегната (когато дължината на вълната на светлината е достатъчно малка в сравнение с размерите, характерни за проблема): разглеждайки лъчите като нормали към вълновите повърхности, лесно е да се покаже, че за всяко разпространение светлина, оптичната дължина на техните пътища ще има екстремни стойности. Във всички случаи, когато е необходимо да се вземе предвид дифракция, принципът на Ферма престава да бъде приложим.
4. Пречупване на светлината при плоска повърхност между 2 среди. Пълно вътрешно отражение
Ако светлинен лъч падне върху повърхност, която разделя две прозрачни среди с различна оптична плътност, като въздух и вода, тогава част от светлината се отразява от тази повърхност, а другата част прониква във втората среда. При преминаване от една среда в друга светлинният лъч променя посоката си на границата на тези среди. Това явление се нарича пречупване на светлината.
Закони за пречупване на светлината.
От всичко казано заключаваме:
1 . На границата между две среди с различна оптична плътност светлинният лъч променя посоката си, когато преминава от една среда в друга.
2. При преминаване на светлинен лъч в среда с по-висока оптична плътност ъгълът на пречупване е по-малък от ъгъла на падане; когато светлинният лъч преминава от оптически по-плътна среда към по-малко плътна среда, ъгълът на пречупване е по-голям от ъгъла на падане.
Пречупването на светлината е придружено от отражение и с увеличаване на ъгъла на падане яркостта на отразения лъч се увеличава, докато пречупеният отслабва. Това може да се види чрез провеждане на експеримента, показан на фигурата. Следователно отразеният лъч отнася със себе си толкова повече светлинна енергия, толкова по-голям е ъгълът на падане.
Позволявам MN- интерфейсът между две прозрачни среди, например въздух и вода, АД- падаща греда OV- пречупен лъч, - ъгъл на падане, - ъгъл на пречупване, - скорост на разпространение на светлината в първата среда, - скорост на разпространение на светлината във втората среда.
Първият закон на пречупването звучи така: съотношението на синуса на ъгъла на падане към синуса на ъгъла на пречупване е константа за тези две среди:
, където е относителният коефициент на пречупване (коефициентът на пречупване на втората среда спрямо първата).
Вторият закон за пречупване на светлината е много подобен на втория закон за отражение на светлината:
падащият лъч, пречупеният лъч и перпендикулярът, прекаран към точката на падане на лъча, лежат в една равнина.
Пълно вътрешно отражение
Наблюдава се за електромагнитни или звукови вълнина границата между две среди, когато вълната пада от среда с по-ниска скорост на разпространение (в случай на светлинни лъчи това съответства на по-висок индекс на пречупване).
С увеличаване на ъгъла на падане се увеличава и ъгълът на пречупване, докато интензитетът на отразения лъч нараства, а този на пречупения намалява (сумата им е равна на интензитета на падащия лъч). При определена критична стойност интензитетът на пречупения лъч става нула и настъпва пълно отражение на светлината. Стойността на критичния ъгъл на падане може да се намери, като се зададе ъгълът на пречупване равен на 90° в закона за пречупване:
5. Призми
Призма- оптичен елемент, изработен от прозрачен материал (например оптично стъкло) под формата на геометрично тяло - призма, имаща плоски полирани ръбове, през които влиза и излиза светлина. Светлината се пречупва в призма. Най-важната характеристикаПризмата е индексът на пречупване на материала, от който е направена. Видове призми : дисперсионни призми. отразяващи призми. Поляризиращи призми.
Дисперсионни призмиДисперсионните призми се използват в спектрални инструменти за пространствено разделяне на излъчване с различни дължини на вълната.
Светлоотразителни призмиОтражателните призми се използват за промяна на хода на лъчите, промяна на посоката на оптичната ос, промяна на посоката на зрителната линия, за намаляване на габаритните размери на устройствата. Отражателните призми се класифицират по няколко критерия:
брой отражения в призма
наличието или липсата на "покрив"
естеството на конструкцията на призмата
ъгъл на прегъване на оптичната ос
Призма Абе
Призма на Абе-Поро
6. Тънки лещи. Формула за тънки лещи
ЛещиПрозрачно тяло, ограничено от две сферични повърхности, се нарича. Ако дебелината на самата леща е малка в сравнение с радиусите на кривината на сферичните повърхности, тогава лещата се нарича тънък. Лещите са част от почти всички оптични устройства. Лещите са събиранеИ разсейване. Събиращата леща в средата е по-дебела, отколкото по краищата, разсейващата леща, напротив, е по-тънка в средната част.Лещите са част от почти всички оптични устройства. Лещите (фиг. 3) се делят на събирателни и разсейващи
Диаграма на тънка леща
Фиг. 3, Събирателна (a) и разсейваща (b) лещи и техните символи.
Главна оптична осЛещата се счита за ос, минаваща през центровете на кривина на нейните повърхности. В тънка леща точките на пресичане на главната оптична ос с двете повърхности на лещата се сливат в една точка O. (Тъй като много големи радиуси на кривина се приближават до равнините, сферичните повърхности теоретично се сливат в една равнина). Тази точка се нарича оптичен център на лещата. Тънката леща има една основна равнина, която е обща за две сферични повърхности и минава през центъра на призмата и е перпендикулярна на главната оптична ос. Всички линии, минаващи през оптичния център на лещата, се наричат вторични оптични оси на лещата. Важно е всички лъчи, преминаващи през оптичния център на лещата, да не се пречупват.
Потокът от монохроматични успоредни лъчи или снопове от лъчи с осите на техните тесни конуси, нормални към сферичната граница (към основната равнина, се нарича параксиални (параксиални) греди. В същото време, преминавайки през него, те се събират в главният фокус на лещата F 2. Главните фокуси на лещата лежат върху главната оптична ос на лещата Точки, разположени на главната оптична ос на лещата от двете страни на оптичния център на равни разстояния f 2 . , са наречени главните фокуси на лещата. Плоскости, преминаващи през главни фокуси f 2 лещи и перпендикулярно на него главна оптична ос, са наречени фокални равнини на лещата .
Формула за тънки лещи.
Формулата на тънката леща свързва между; три величини: разстоянието от обекта до лещата d, разстояниеот обектив до изображение fи фокусното разстояние на обектива Е:
Във формулата на тънката леща фокусното разстояние е НАозначен с буквата Е.Ако лещата е събирателна, тогава > 0, ако лещата е дивергентна, тогава се поставя знак минус отпред. Ако изображението е реално, тогава > 0; ако изображението е въображаемо, тогава пред него се поставя знак минус. Всички стойности във формулата на лещата се заместват в метри.
7. Изобразяване в лещи
Опитът показва, че параксиалните светлинни лъчи, излизащи от една светеща точка, след като преминат през лещата, също се събират в една точка, което е изображениесветеща точка. Следователно, за да се изгради изображение на точка, достатъчно е да се вземат всеки два лъча, но по-добре тези, чийто ход след пречупване е известен предварително: 1 - лъч, преминаващ през оптичния център; 2 - лъч, успореден на главната оптична ос; 3 - лъч, преминаващ през предния фокус на събирателна леща (или продължението на лъч 3 преминава през задния фокус на разсейваща леща) (фиг. 16.41).
Положението на изображението на реален обект и неговите размери зависят от положението на обекта спрямо лещата. Позволявам де разстоянието от обекта до лещата, fе разстоянието от лещата до изображението. Нека изградим изображение на плосък обект ABразположени на различни разстояния дот обектива. Ако лещата е събирателна, тогава d>2F(фиг. 16.42) изображението е реално, обърнато, намалено, Е
При F (фиг. 16.43) изображението е реално, обърнато, увеличено, f>2F.
Ориз. 16.43
При d (фиг. 16.44) изображението е въображаемо, директно, увеличено, разположено от същата страна на лещата като самия обект, но по-далеч от обекта (f>d).
Ориз. 16.44
В разсейваща леща (фиг. 16.45) изображението на реален обект винаги е въображаемо, директно, намалено, разположено между лещата и нейния фокус от страната на изобразения обект.
8. Окото като оптичен уред. Лупа, микроскоп, камера.
око.Основният източник на зрение е очна ябълказад зеницата е лещата, а зад ретината. Оптичната роля в окото се изпълнява от елемент с формата двойноизпъкнала лещаи се нарича кристал. Към краищата на лещата са прикрепени мускули, които компресират или разтягат лещата, в резултат на което се променят радиусите на сферичната кривина. pov-ti обектив и съответно фокусни разстояния. При промяна на разстоянието d до наблюдавания обект, разстоянието f от лещата до ретината остава непроменено, но се променя фокусното разстояние. Зрителните увреждания са късогледство и далекогледство.
лупапризова събранието тънка лещас малки фокусно разстояние(5-10 см) Увеличение на лупата: , най-доброто разстояние за виждане.
17 век е белязан от бързото развитие в Европа на специален клон на физиката - оптиката. Законите за отражение и пречупване бяха открити за светлината и принципът на Ферма показа защо те имат съответната математическа форма. Нека да разгледаме по-подробно какъв е този принцип.
Явленията пречупване и отражение
Отражението се разбира като явление, при което светлината, разпространявайки се в прозрачно за нея вещество, среща препятствие по пътя си и рязко променя траекторията си. Препятствието може да бъде всичко: течност или твърдо, прозрачни и непрозрачни.
Феноменът на отражението е известен от древността. Според историческите доказателства законите на отражението вече са били формулирани преди нашата ера. И през първи век от н. е. египетският философ Херон от Александрия изрази идеята за траекторията на светлината, която по-късно беше използвана от французина Пиер дьо Ферма при формулирането на неговия принцип.
Феноменът на пречупване се състои в прекъсване на правата линия, по която се движи светлината, когато пресича повърхността, разделяща два прозрачни материала. Имайте предвид, че в случай на отражение лъчът се движи в един прозрачен материал или, както се казва, в една среда.
Първата формулировка на законите на пречупването се приписва на персийския математик от 10-ти век, някой си Ибн Сахл, който в своите трудове разчита на произведенията на Клавдий Птолемей (I-II век сл. Хр.). В края на 16-ти - началото на 17-ти век холандският учен Снел, обобщавайки резултатите от много експерименти със светлина, формулира в математическа форма втория закон на пречупването, който в момента носи неговото фамилно име. Снел даде своята формулировка по отношение на разстояния, а не ъгли, както е обичайно сега. Модерна визиявече даден законът за пречупването от Рене Декарт.
Закони за разпространение на светлината в прозрачни среди
Преди да се пристъпи към разглеждане на принципа на Ферма, трябва да се формулират законите за пречупване и отражение на светлината. За всяко от тези явления е обичайно да се отделят два закона. Те са групирани по-долу:
- Траекторията на лъча, когато пресича интерфейса между две среди, винаги лежи в една равнина с нормалата, начертана към равнината на този интерфейс. Възможната траектория на лъча се формира в общия случай от три части: падащ лъч, пречупен и отразен.
- Ако ъгълът между падащия светлинен лъч и нормалата се нарича θ 1, подобен ъгъл, но за отразения лъч, се записва като θ 2, а пречупеният е θ 3, тогава вторият закон ще изглежда така:
В тези формули n 1 и n 2 са индексите на пречупване в прозрачни среди 1 и 2. Индексът на пречупване, съгласно определението, се изчислява, както следва:
Тук v и c са скоростите на светлинния лъч в средата и във вакуум.
Изявление на принципа на Ферма
Пиер Ферма е един от известните френски математици и юристи през първата половина на 17 век. Принципът, който носи неговото фамилно име, той формулира през 1662 г., тоест половин век след като Снел открива своя закон за пречупване.
Накратко, принципът на Ферма може да се формулира по следния начин: светлината, когато се движи в абсолютно всяка прозрачна среда, избира такава траектория, че да премине за най-кратко време.
Всъщност тази формулировка не се различава от тази, която Херон от Александрия е направил преди хиляда и половина години за феномена на отражението. Въпреки това французинът го направи общ за всички явления, свързани със светлината, и показа как законите за пречупване и отражение могат да бъдат извлечени от този принцип.
Извеждане на 1-ви закон за отражение
Използвайки принципа на Ферма, ние получаваме законите на отражението математически. За да направите това, разгледайте фигурата по-долу.
Тук е показано, че лъчът излиза от точката S, която лежи на оста y. След това се отразява от равнината xz в някаква неизвестна точка M. След отражение лъчът се придвижва до точката P, която лежи на равнината xy. Избраната позиция на точките S и P не влияе на общото по-нататъшно разсъждение, а само опростява математическите изчисления.
И така, нека запишем координатите на всяка точка:
Позиционните координати на точките S и P са известни. Задачата е да се намери точка M, която да съответства на реалната траектория на SMP, премината от светлинния лъч. Ще приемем също, че разглежданото пространство е хомогенно, тоест скоростта на светлината във всяка точка е постоянна стойност.
Според принципа на Ферма, SMP пътят на светлината ще отнеме най-кратко време, ако е най-краткият възможен път. Нека запишем дължината му:
SM = √(x 2 + y S 2 + z 2); MP \u003d √ ((x-x P) 2 + y P 2 + z 2);
SMP = √(x 2 + y S 2 + z 2) + √((x-x P) 2 + y P 2 + z 2).
За да се изчисли минималната дължина на SMP, е необходимо да се намерят частните производни по отношение на x и z (неизвестни координати на точка M) и да се приравнят резултатите към нула.
Първо намираме частната производна по отношение на z. Ние имаме:
∂(SMP)/∂z = z/√(x 2 + y S 2 + z 2) + z/√((x-x P) 2 + y P 2 + z 2) = 0.
Това равенство има един корен, когато z = 0. С други думи, точката M лежи на оста x, тоест в същата равнина като точките P и S (равнината xy). От което следва, че възстановената нормала към равнината xz, в която според условието на задачата се намира точката M, ще лежи заедно със SM и MP в една и съща равнина (xy). Това е първият закон на отражението.
Извеждане на 2-ри закон на отражението
Продължаваме да изчисляваме предишния параграф. Както споменахме, сега трябва да намерим частната производна по отношение на x. Ние имаме:
∂(SMP)/∂x = x/√(x 2 + y S 2 + z 2) + (x-x P)/√((x-x P) 2 + y P 2 + z 2) = 0.
Записваме последното равенство във вида:
x/SM + (x-x P)/MP = 0 =>
x/SM = (xP-x)/MP.
Съотношенията, получени във всяка част от равенството, са синусите на ъглите с върха в точки S и P. Ако сега възстановим нормалата към равнината xz през точката M, тогава маркираните ъгли ще съответстват на ъглите на падане ( между SM и нормалното) и отражение (между MP и нормалното).
Така, следвайки принципа на Ферма, получихме и 2-ри закон за отразяване на светлината.
Извеждане на закона на Снел за пречупването
Сега ще покажем как законът за пречупване на светлината може да бъде изведен от принципа на Ферма. За да направите това, помислете за фигура, подобна на предишната.
За простота ще разгледаме случая в равнината xy. Нека запишем координатите на източника S и приемника P на светлината, които са в различни среди:
Нека намерим неизвестната координата на точката M. Координатата y=0 за нея е точно известна, тъй като на границата на средата (оста x) се променя скоростта на разпространение на светлината. Дължините на отсечките SM и MP са равни:
SM \u003d √ (x-x S) 2 + y S 2);
MP = √(x P -x) 2 + y P 2).
Общото време, необходимо на светлината да премине по SMP пътя е:
Тук v 1 , v 2 са скоростите на лъча в съответните среди. За да намерите минималното време за пътуване, трябва да вземете общата производна по отношение на променливата x и да я приравните към нула. Получаваме:
dt/dx = (x-x S)/(√(x-x S) 2 + y S 2)*v 1) - (x P -x)/(√(x P -x) 2 + y P 2)*v 2 ) = 0
(x-x S) / (SM * v 1) \u003d (x P - x) / (MP * v 2).
Използвайки синусовите функции на ъгъла на падане θ 1 и пречупването θ 3 , получаваме:
sin(θ 1)/v 1 = sin(θ 3)/v 2 .
За да приведем полученото равенство към закона на Снел удобна форма(чрез показателите на пречупване на средата), е необходимо лявата и дясната част да се умножат по скоростта на светлината c.
По този начин прилагането на принципа на Ферма улеснява извеждането на закони за основните явления на движението на светлинен лъч в прозрачни материали.
Движението на светлината в нехомогенна среда
Разгледаните по-горе случаи предполагат, че материалът е хомогенен и светлинният лъч, когато се движи в него, запазва скоростта си. В случай на нехомогенни среди е вярно равенството:
Този интеграл се взема по траекторията на светлината. Диференциалът dl е сегментът от пътя, за който средата запазва своята хомогенност. Стойността n(x,y,z) е локалният индекс на пречупване.
Маркираният интеграл обикновено се нарича интеграл на оптичния път. Принципът на Ферма за оптичен път включва намиране на екстремуми за L.
Обобщена формулировка на разглеждания принцип
Принципът за минимално време за движение на светлината е специфичен за една по-обща формулировка. Понастоящем обобщеният принцип на Ферма е формулиран по следния начин: светлината избира такава траектория по време на своето движение, която съответства на екстремумите на оптичния път.
Екстремумите на функцията, според математическата дефиниция, са минимум, максимум и инфлексна точка. Общ принципФермата отговаря на всички тези стойности, тоест траекторията на светлината не е задължително да бъде минимална, тя може да бъде както максимална, така и съответстваща на инфлексната точка на оптичния път.
Битова аналогия с разглеждания принцип
Общият принцип на Ферма от своя страна е частен случай на така наречения принцип на най-малкото действие. Тук няма да даваме съответните дефиниции и техните математически формулировки, но ще покажем къде може да се приложи предложеният от французина принцип.
Използва се при решаването на прост, на пръв поглед ежедневен проблем: например човек се дави близо до плаж в морето. Как трябва да се движи спасител на брега, за да спаси давещ се човек? Разбира се, той трябва да се притече на помощ в най-кратки срокове. Тъй като скоростта на спасителя на плажа е по-голяма, отколкото на водата, той трябва да пробяга известно разстояние по брега и едва след това да скочи във водата и да плува. Тоест задачата се свежда до прилагане на принципа на Ферма, където ролята на светлинен лъч играе спасителят.
Обърнете внимание, че решението на този проблем не е просто, тъй като в неговия процес се появяват уравнения от 4-та степен.
По този начин принципът на Ферма е инструмент за получаване на основните закони за разпространение на светлината. То обаче не е принципно. Можем да кажем, че следва от принципа на Хюйгенс за източниците на вторични сферични вълни.