1 нуклеотид е кодиран от 3 аминокиселини. Формулирайте основните свойства на генетичния код
За лотарии
Тази игра отдавна придоби масов характер и се превърна в неразделна част от модерен живот. И въпреки че лотарията разширява възможностите си все повече и повече, много хора все още я виждат просто като начин за забогатяване. Нека и не безплатно и не надеждно. От друга страна, както отбеляза един от героите на Джек Лондон, в хазарта човек не може да пренебрегне фактите - хората понякога имат късмет.
Математика на случая. История на теорията на вероятностите
Александър Буфетов
Стенограма и видеозапис на лекция на доктор на физико-математическите науки, водещ научен сътрудник в Математическия институт на Стеклов, водещ научен сътрудник в IPTP RAS, професор в Математическия факултет гимназияИкономика, директор на научните изследвания Национален център научно изследваневъв Франция (CNRS) от Александър Буфетов, изнесена като част от поредицата Публични лекции на Polit.ru на 6 февруари 2014 г.
Илюзията за редовност: Защо случайността изглежда неестествена
Нашите представи за случайното, редовното и невъзможното често се разминават с данните на статистиката и теорията на вероятностите. В „Несъвършен шанс. Как случайността управлява живота ни” Американският физик и популяризатор на науката Леонард Млодинов говори за това защо случайните алгоритми изглеждат толкова странни, каква е уловката на „случайното” разместване на песни на iPod и какво определя успеха на един борсов анализатор. Теории и практики публикува откъс от книгата.
Детерминизъм
Детерминизмът е общонаучна концепция и философско учение за причинно-следствената връзка, закономерността, генетичната връзка, взаимодействието и обусловеността на всички явления и процеси, протичащи в света.
Бог е статистика
Дебора Нолан, професор по статистика в Калифорнийския университет в Бъркли, моли студентите си да изпълнят една много странна на пръв поглед задача. Първата група трябва да хвърли монета сто пъти и да запише резултата: глави или опашки. Втората трябва да си представи, че хвърля монета - и също така да направи списък от стотици "въображаеми" резултати.
Какво е детерминизъм
Ако е известно начални условиясистема, е възможно, използвайки законите на природата, да се предвиди нейното крайно състояние.
Проблемът с придирчивата булка
Хюсейн-Заде С. М.
Парадоксът на Зенон
Възможно ли е да се стигне от една точка в космоса до друга? Древногръцкият философ Зенон от Елея вярваше, че движението изобщо не може да бъде осъществено, но как аргументира това? Колм Келър говори за това как да разреши известния парадокс на Зенон.
Парадокси на безкрайни множества
Представете си хотел с безкраен брой стаи. Пристига автобус с безкрайно много бъдещи гости. Но поставянето на всички не е толкова лесно. Това е безкрайна караница, а гостите са безкрайно уморени. И ако не успеете да се справите със задачата, можете да загубите безкрайно много пари! Какво да правя?
Зависимостта на ръста на детето от ръста на родителите
Младите родители, разбира се, искат да знаят колко високо ще бъде детето им като възрастен. Математическата статистика може да предложи проста линейна връзка за груба оценка на височината на децата, базирана само на височината на бащата и майката, и също така да посочи точността на такава оценка.
Парадоксът на Монти Хол е може би най-известният парадокс в теорията на вероятностите. Има много негови вариации, например парадоксът на тримата затворници. И има много интерпретации и обяснения на този парадокс. Но тук бих искал да дам не само формално обяснение, но и да покажа "физическата" основа на това, което се случва в парадокса на Монти Хол и други като него.
Класическата формулировка е:
„Вие сте в играта. Пред вас има три врати. Един от тях е с награда. Водещият ви кани да се опитате да познаете къде е наградата. Посочвате една от вратите (на случаен принцип).
Формулиране на парадокса на Монти Хол
Домакинът знае къде всъщност е наградата. Той обаче не отваря тази врата, която показахте. Но ви отваря още една от оставащите врати, зад които няма награда. Въпросът е трябва ли да промените избора си или да останете със същото решение?
Оказва се, че ако просто промените избора си, шансовете ви за печалба ще се увеличат!
Парадоксалността на ситуацията е очевидна. Всичко, което се случва, изглежда случайно. Няма значение дали ще промените решението си или не. Но не е.
"Физическо" обяснение на природата на този парадокс
Нека първо да не навлизаме в математически тънкости, а просто да погледнем ситуацията без предразсъдъци.
В тази игра първо правите произволен избор. След това домакинът ви казва Допълнителна информация , което ви позволява да увеличите шансовете си за печалба.
Как фасилитаторът ви дава допълнителна информация? Много просто. Имайте предвид, че се отваря Не всекиврата.
Нека, за простота (въпреки че има елемент на лукавство в това), помислете за една по-вероятна ситуация: посочили сте врата, която няма награда. След това, зад една от оставащите врати, наградата Има. Тоест лидерът няма избор. Отваря много специфична врата. (Посочихте едното, зад другото има награда, остава само една врата, която домакинът може да отвори.)
Именно в този момент на смислен избор той ви дава информация, която можете да използвате.
IN този случай, използването на информация е, че вие променяте решението.
Между другото, вашият втори избор вече е също неслучайно(или по-скоро не толкова случаен като първия избор). В крайна сметка избирате от затворени врати, а една вече е отворена и тя не произволно.
Всъщност вече след тези аргументи може да имате чувството, че е по-добре да промените решението си. Наистина е. Нека го покажем по-формално.
По-формално обяснение на парадокса на Монти Хол
Всъщност вашият първи случаен избор разделя всички врати на две групи. Зад вратата, която сте избрали, наградата се намира с вероятност 1/3, зад другите две - с вероятност 2/3. Сега домакинът прави промяна: отваря една врата във втората група. И сега цялата вероятност от 2/3 се отнася само за затворената врата в групата от две врати.
Ясно е, че сега ви е по-изгодно да промените решението си.
Въпреки че, разбира се, все още имате шанс да загубите.
Промяната на избора ви обаче увеличава шансовете ви за печалба.
Парадоксът на Монти Хол
Парадоксът на Монти Хол е вероятностен проблем, чието решение (според някои) противоречи на здравия разум. Формулиране на задачата:
Представете си, че сте станали участник в игра, в която трябва да изберете една от три врати. Зад една от вратите има кола, зад другите две врати има кози.
Избирате една от вратите, например номер 1, след което домакинът, който знае къде е колата и къде са козите, отваря една от останалите врати, например номер 3, зад която има коза.Парадоксът на Монти Хол. Най-неточната математика досега
След това той ви пита дали искате да промените избора си и да изберете врата номер 2.
Ще се увеличат ли шансовете ви да спечелите кола, ако приемете офертата на домакина и промените избора си?
Когато се решава проблем, често погрешно се приема, че двата избора са независими и следователно вероятността няма да се промени, когато изборът се промени. Всъщност това не е така, както можете да видите, като си спомните формулата на Bayes или разгледате резултатите от симулацията по-долу:
Тук: "стратегия 1" - не променяйте избора, "стратегия 2" - променяйте избора. Теоретично, за случая с 3 врати, разпределението на вероятностите е 33.(3)% и 66.(6)%. Числената симулация трябва да даде подобни резултати.
Връзки
Парадоксът на Монти Хол- задача от раздела теория на вероятностите, в решението на която има противоречие със здравия разум.
Произход[редактиране | редактиране на wiki текст]
В края на 1963 г. в ефир се излъчва ново токшоу, наречено „Да сключим сделка“. Според сценария на викторината, зрителите от публиката получаваха награди за верни отговори, като имаха възможност да ги умножат, като правят нови залози, но рискувайки наличните си печалби. Основатели на шоуто бяха Стефан Хатосу и Монти Хол, последният от които стана негов постоянен водещ в продължение на много години.
Една от задачите за участниците беше тегленето на Голямата награда, която се намираше зад една от трите врати. За останалите двама имаше поощрителни награди, на свой ред водещият знаеше реда на тяхното местоположение. Състезателят трябваше да определи печелившата врата, като заложи всичките си печалби от шоуто.
Когато познатият определи числото, домакинът отвори една от останалите врати, зад която имаше поощрителна награда, и предложи на играча да промени първоначално избраната врата.
Формули[редактиране | редактиране на wiki текст]
Като специфичен проблем, парадоксът беше поставен за първи път от Стив Селвин през 1975 г., който изпрати на The American Statistician и водещ Монти Хол въпроса: Ще се променят ли шансовете на състезателя да спечели Голямата награда, ако след отваряне на вратата със стимул той ще се промени неговият избор? След този инцидент се появи концепцията за "Парадокса на Монти Хол".
През 1990 г. най-често срещаната версия на парадокса е публикувана в Parade Magazine (Списание "Парад") с пример:
„Представете си себе си в телевизионна игра, където трябва да дадете предпочитание на една от трите врати: кози зад две от тях и кола зад третата. Когато направите избор, като приемете например, че печелившата врата е номер едно, домакинът отваря една от останалите две врати, например номер три, зад която има коза. След това имате ли шанс да промените избора си на друга врата? Можете ли да увеличите шансовете си да спечелите кола, като промените избора си от врата номер едно на врата номер две?“
Тази формулировка е опростена версия, т.к остава факторът влияние на водещия, който знае точно къде е колата и е заинтересован да загуби участника.
За да стане проблемът чисто математически, е необходимо да се елиминира човешкият фактор, като се въведат като интегрални условия отварянето на врата с поощрителна награда и възможността за промяна на първоначалния избор.
Решение[редактиране | редактиране на wiki текст]
При сравняване на коефициентите на пръв поглед промяната на номера на вратата няма да даде никакво предимство, т.к. и трите опции имат 1/3 шанс за печалба (приблизително 33,33% за всяка от трите врати). В същото време отварянето на една от вратите няма да повлияе на шансовете на останалите две, чиито шансове ще станат 1/2 към 1/2 (50% за всяка от двете останали врати). Тази преценка се основава на предположението, че изборът на вратата от играча и изборът на вратата от домакина са две независими събития, които не влияят едно на друго. Всъщност е необходимо да се разгледа цялата последователност от събития като цяло. В съответствие с теорията на вероятностите шансовете на първата избрана врата от началото до края на играта са неизменно 1/3 (приблизително 33,33%), а останалите две врати имат общо 1/3 + 1 /3 = 2/3 (приблизително 66,66%). Когато една от двете останали врати бъде отворена, нейните шансове стават 0% (зад нея е скрита поощрителната награда) и в резултат на това шансовете за затворена неизбрана врата ще бъдат 66,66%, т.е. два пъти повече от първоначалния.
За да улесним разбирането на резултатите от избора, можем да разгледаме алтернативна ситуация, в която броят на опциите ще бъде по-голям, например хиляда. Вероятността за избор на печеливша опция ще бъде 1/1000 (0,1%). При условие, че впоследствие се отворят деветстотин деветдесет и осем грешни от останалите деветстотин деветдесет и девет опции, става очевидно, че вероятността една оставаща врата от деветстотин деветдесет и девет неизбрана е по-висока от тази на само един избран в началото.
Споменавания[редактиране | редактиране на wiki текст]
Можете да срещнете споменаването на парадокса на Монти Хол в "Двадесет и едно" (филм на Робърт Лукетич), "Клутьоп" (роман на Сергей Лукяненко), телевизионен сериал "4isla" (телевизионен сериал), "Мистериозното нощно убийство на Куче“ (романи на Марк Хадън), „XKCD“ (комикс), „Ловци на митове“ (телевизионно шоу).
Вижте също[редактиране | редактиране на wiki текст]
На изображението процесът на избор между две затворени врати от трите първоначално предложени
Примери за решения на задачи по комбинаторика
Комбинаторикае наука, с която всеки се сблъсква Ежедневието: по колко начина да изберете 3-ма придружители, които да чистят класа или по колко начина да съставите дума от дадените букви.
Като цяло комбинаториката ви позволява да изчислите колко различни комбинации, според определени условия, могат да бъдат направени от дадени обекти (еднакви или различни).
Като наука комбинаториката възниква през 16 век и сега всеки ученик (и често дори ученик) я изучава. Те започват да учат с концепциите за пермутации, разположения, комбинации (със или без повторения), ще намерите задачи по тези теми по-долу. Най-известните правила на комбинаториката са правилата за сумата и произведението, които най-често се използват в типичните комбинаторни задачи.
По-долу ще намерите няколко примерни задачи с решения за комбинаторни понятия и правила, които ще ви помогнат да се справите с типични задачи. Ако има затруднения със задачите, поръчайте тест по комбинаторика.
Задачи по комбинаторика с решения онлайн
Задача 1.Мама има 2 ябълки и 3 круши. Всеки ден в продължение на 5 дни подред тя раздава по един плод. По колко начина може да стане това?
Решение на задачата по комбинаторика 1 (pdf, 35 Kb)
Задача 2.Едно предприятие може да осигури работа по една специалност на 4 жени, по друга - на 6 мъже, по трета - на 3 служители, независимо от пола. По колко начина могат да се запълнят свободните места, ако има 14 кандидати: 6 жени и 8 мъже?
Решение на задачата по комбинаторика 2 (pdf, 39 Kb)
Задача 3.В пътнически влак има 9 вагона. По колко начина могат да се настанят 4 души във влак, при условие че всички пътуват в различни вагони?
Решение на задачата по комбинаторика 3 (pdf, 33 Kb)
Задача 4.В групата има 9 души. Колко различни подгрупи могат да се образуват, при условие че подгрупата включва поне 2 души?
Решение на задачата по комбинаторика 4 (pdf, 34 Kb)
Задача 5.Група от 20 ученика трябва да се раздели на 3 отбора, като първият трябва да включва 3 човека, вторият - 5 и третият - 12. По колко начина може да стане това.
Решение на задачата по комбинаторика 5 (pdf, 37 Kb)
Задача 6.За участие в отбора треньорът избира 5 момчета от 10. По колко начина може да сформира отбор, ако в отбора трябва да бъдат включени 2 определени момчета?
Комбинаторна задача с решение 6 (pdf, 33 Kb)
Задача 7.В шахматния турнир участваха 15 шахматисти, като всеки изигра само по една партия с всеки един от тях. Колко игри бяха изиграни в този турнир?
Комбинаторна задача с решение 7 (pdf, 37 Kb)
Задача 8.Колко различни дроби могат да се съставят от числата 3, 5, 7, 11, 13, 17, така че всяка дроб да съдържа 2 различни числа? Колко от тях ще бъдат правилни дроби?
Комбинаторна задача с решение 8 (pdf, 32 Kb)
Задача 9.Колко думи могат да се получат чрез пренареждане на буквите в думата Horus и Institute?
Комбинаторна задача с решение 9 (pdf, 32 Kb)
Задача 10.Кои числа от 1 до 1 000 000 са по-големи: тези, в които единицата се среща, или тези, в които не се среща?
Комбинаторна задача с решение 10 (pdf, 39 Kb)
Готови примери
Имате нужда от решени задачи по комбинаторика? Намерете в ръководството:
Други решения на проблеми в теорията на вероятностите
През декември 1963 г. по американския телевизионен канал NBCпрограма, пусната за първи път Хаиде да направим сделка(„Да сключим сделка!“), в която състезатели, избрани от публиката в студиото, се пазареха помежду си и с водещия, играеха малки игри или просто гадаеха отговора на въпрос. В края на излъчването участниците можеха да играят „сделката на деня“. Пред тях имаше три врати, за които се знаеше, че зад една от тях е Голямата награда (например кола), а зад другите две има по-малко ценни или напълно абсурдни подаръци (например живи кози) . След като играчът направи своя избор, Монти Хол, водещият на програмата, отвори една от двете останали врати, показвайки, че зад нея няма награда и остави участника да се радва, че все още има шанс да спечели.
През 1975 г. ученият от Калифорнийския университет в Лос Анджелис Стив Селвин попита какво ще се случи, ако в този момент, след като отвори вратата без награда, участникът бъде помолен да промени избора си. Ще се променят ли шансовете на играча да получи наградата в този случай и ако да, в каква посока? Той изпрати съответния въпрос като брой на списанието Американският статистик("The American Statistician"), а също и на самия Монти Хол, който му дава доста любопитен отговор. Въпреки този отговор (или може би поради него), проблемът стана популярен под името "проблемът на Монти Хол".
Задача
Попаднахте в шоуто на Монти Хол като участник - и в последния момент, отваряйки вратата с коза, водещият предложи да промените избора си. Ще повлияе ли вашето решение - съгласие или не - върху вероятността да спечелите?
Улика
Опитайте се да вземете предвид хора, които са избрали различни врати в един и същ случай (тоест, когато наградата е например зад врата номер 1). Кой ще спечели от промяна на избора си и кой не?
Решение
Както е предложено в подсказката, помислете за хора, които са направили различен избор. Да предположим, че наградата е зад врата №1, а зад врати №2 и №3 има кози. Да предположим, че имаме шест души и всяка врата е избрана от двама души и от всяка двойка единият впоследствие промени решението, а другият не.
Имайте предвид, че Домакинът, който избере врата № 1, ще отвори една от двете врати по свой вкус, докато независимо от това, колата ще бъде получена от този, който не промени избора си, а този, който промени първоначалния си избор ще остане без Наградата. Сега нека да разгледаме тези, които са избрали врати №2 и №3. Тъй като зад врата № 1 има кола, Домакинът не може да я отвори, което не му оставя избор - той отваря съответно врати № 3 и № 2 за тях. В същото време този, който промени решението във всяка двойка, ще избере наградата като резултат, а този, който не промени, ще остане без нищо. Така от трима души, които променят решението си, двама ще получат наградата, а един ще получи козата, докато от тримата, оставили непроменен първоначалния си избор, само един ще получи наградата.
Трябва да се отбележи, че ако колата беше зад врата №2 или №3, резултатът би бил същият, само конкретните победители ще се променят. Така, ако приемем, че първоначално всяка врата е избрана с еднаква вероятност, получаваме, че тези, които променят избора си, печелят Наградата два пъти по-често, тоест вероятността за победа в този случай е по-голяма.
Нека да разгледаме този проблем от гледна точка на математическата теория на вероятностите. Ще приемем, че вероятността за първоначалния избор на всяка от вратите е еднаква, както и вероятността да се намирате зад всяка от вратите на Колата. Освен това е полезно да се направи резервация, че лидерът, когато може да отвори две врати, избира всяка от тях с еднаква вероятност. Тогава се оказва, че след първото решение вероятността наградата да е зад избраната врата е 1/3, докато вероятността да е зад една от другите две врати е 2/3. В същото време, след като Домакинът отвори една от двете "неизбрани" врати, цялата вероятност от 2/3 пада само върху една от останалите врати, като по този начин се създава основа за промяна на решението, което ще увеличи вероятността за победа с 2 пъти. Което, разбира се, изобщо не го гарантира в един конкретен случай, но ще доведе до по-успешни резултати в случая многократно повторениеексперимент.
Послеслов
Проблемът на Монти Хол не е първата известна формулировка на този проблем. По-специално, през 1959 г. Мартин Гарднър публикува в списанието Scientific Americanподобен проблем „за трима затворници“ (Three Prisoners problem) със следната формулировка: „ От тримата затворници един трябва да бъде помилван, а двама да бъдат екзекутирани. Затворник А убеждава пазача да му каже името на този от другите двама, които ще бъдат екзекутирани (или ако и двамата бъдат екзекутирани), след което, след като получи името Б, той смята, че вероятността за собственото му спасение е станала не 1/3, но 1/2. В същото време затворник С твърди, че вероятността за бягството му е станала 2/3, докато за А нищо не се е променило. Кой от тях е прав?»
Гарднър обаче не е първият, тъй като през 1889 г., в своето Изчисление на вероятностите, френският математик Джоузеф Бертран (да не се бърка с англичанина Бертран Ръсел!) предлага подобен проблем (вижте парадокса на кутията на Бертран): „ Има три кутии, всяка от които съдържа две монети: две златни в първата, две сребърни във втората и две различни в третата. От произволно избрана кутия на случаен принцип беше извадена монета, която се оказа златна. Каква е вероятността останалата монета в кутията да е златна?»
Ако разбирате решенията и на трите проблема, е лесно да забележите сходството на техните идеи; математически всички те са обединени от понятието условна вероятност, т.е. вероятността от събитие А, ако е известно, че събитие Б е настъпило. Най-простият пример: вероятността обикновен зар да бъде хвърлен е 1/6; обаче, ако се знае, че хвърленото число е нечетно, тогава вероятността то да е едно вече е 1/3. Проблемът на Монти Хол, подобно на другите два цитирани проблема, показва, че с условните вероятности трябва да се работи внимателно.
Тези проблеми също често се наричат парадокси: парадоксът на Монти Хол, парадоксът на кутията на Бертран (последният не трябва да се бърка с истинския парадокс на Бертран, даден в същата книга, който доказва неяснотата на понятието за вероятност, съществуващо по това време) - което предполага известно противоречие (например в „парадокса на лъжеца“ фразата „това твърдение е невярно“ противоречи на закона за изключената среда). В този случай обаче няма противоречие със строгите твърдения. Но има явно противоречие с "общественото мнение" или просто "очевидното решение" на проблема. Всъщност повечето хора, разглеждайки проблема, вярват, че след отваряне на една от вратите, вероятността да се намери Наградата зад някоя от двете останали затворени е 1/2. По този начин те твърдят, че няма значение дали са съгласни или не да променят решението си. Освен това на много хора им е трудно да разберат отговор, различен от този, дори след като им е казано подробното решение.
19 септември 2013 гПредставете си, че определен банкер ви предлага да изберете една от три затворени кутии. В едната от тях 50 цента, в другата - един долар, в третата - 10 хиляди долара. Който и да изберете, ще го получите като награда.
Избирате на случаен принцип, кажете кутия номер 1. И тогава банкерът (който, разбира се, знае къде е всичко) точно пред очите ви отваря кутия с един долар (да кажем, че това е № 2), след което ви предлага да смените първоначално избраната кутия №. 1 към кутия №3.
Трябва ли да промените решението си? Това ще увеличи ли шансовете ви да получите 10 хиляди?
Това е парадоксът на Монти Хол - проблем на теорията на вероятностите, чието решение на пръв поглед противоречи на здравия разум. Хората си блъскат главите по този проблем от 1975 г.
Парадоксът е кръстен на водещия на популярното американско телевизионно предаване Let's Make a Deal. Това телевизионно шоу имаше подобни правила, само че участниците избираха врати, две от които криеха кози, а третата беше кадилак.
Повечето играчи разсъждаваха, че след като има две затворени врати и има Cadillac зад една от тях, тогава шансовете да го получите са 50 на 50. Очевидно, когато домакинът отвори една врата и ви покани да промените решението си, той започва нова игра. Независимо дали промените решението си или не, шансовете ви пак ще бъдат 50 процента. Толкова правилно?
Оказва се, че не става. Всъщност, променяйки решението си, вие удвоявате шансовете си за успех. Защо?
Най-простото обяснение на този отговор е следното съображение. За да спечели кола, без да променя избора си, играчът трябва незабавно да познае вратата, зад която стои колата. Вероятността за това е 1/3. Ако играчът първоначално удари вратата с коза зад нея (и вероятността за това събитие е 2/3, тъй като има две кози и само една кола), тогава той определено може да спечели колата, като промени решението си, тъй като колата и остава една коза, а домакинът вече е отворил вратата с козата.
Така, без да променя избора си, играчът остава с първоначалната си вероятност да спечели 1/3, а при промяна на първоначалния избор играчът обръща в своя полза два пъти оставащата вероятност, че не е познал правилно в началото.
Освен това може да се направи интуитивно обяснение чрез размяна на двете събития. Първото събитие е решението на играча да промени вратата, второто събитие е отварянето на допълнителна врата. Това е приемливо, тъй като отварянето на допълнителна врата не дава на играча нищо нова информация(вижте документа в тази статия). Тогава проблемът може да се сведе до следната формулировка. В първия момент от време играчът разделя вратите на две групи: в първата група има една врата (тази, която е избрал), във втората група има две останали врати. В следващия момент играчът прави избор между групите. Очевидно е, че за първата група вероятността за победа е 1/3, за втората група 2/3. Играчът избира втората група. Във втората група той може да отвори и двете врати. Единият се отваря от домакина, а вторият от самия играч.
Нека се опитаме да дадем "най-разбираемото" обяснение. Преформулирайте проблема: Честен домакин съобщава на играча, че зад една от трите врати има кола и му предлага първо да посочи една от вратите и след това да избере едно от две действия: да отвори посочената врата (в стара формулировка, това се нарича „не променяйте избора си“) или отворете другите две (в старата формулировка това би било просто „променете избора“. Помислете за това, това е ключът към разбирането!). Ясно е, че играчът ще избере второто от двете действия, тъй като вероятността да получи кола в този случай е два пъти по-висока. И малкото нещо, че домакинът дори преди да избере действието „показа коза“, не помага и не пречи на избора, защото зад една от двете врати винаги има коза и домакинът определено ще я покаже по всяко време по време на играта, така че играчът да може върху тази коза и да не гледа. Задачата на играча, ако е избрал второто действие, е да каже „благодаря“ на домакина, че му е спестил труда сам да отвори едната от двете врати и да отвори другата. Е, или дори по-лесно. Нека си представим тази ситуация от гледна точка на домакина, който прави подобна процедура с десетки играчи. Тъй като той знае отлично какво има зад вратите, тогава средно в два от три случая той вижда предварително, че играчът е избрал „грешната“ врата. Следователно за него определено няма парадокс, че правилната стратегия е да промените избора след отваряне на първата врата: в края на краищата, в същите два случая от три, играчът ще напусне студиото в нова кола.
И накрая, най-"наивното" доказателство. Нека този, който отстоява избора си, се нарича "Упорит", а този, който следва инструкциите на водача, - "Внимателен". Тогава Упоритият печели, ако първоначално е познал колата (1/3), а Внимателният - ако първо е пропуснал и е уцелил козата (2/3). В крайна сметка само в този случай той ще посочи вратата с колата.
Монти Хол, продуцент и водещ на шоуто Хаиде да направим сделкаот 1963 до 1991 г.
През 1990 г. този проблем и неговото решение са публикувани в американското списание Parade. Публикацията предизвика вълна от възмутени отзиви от читатели, много от които имаха научни степени.
Основното оплакване беше, че не всички условия на проблема са посочени и всеки нюанс може да повлияе на резултата. Например домакинът може да предложи промяна на решението само ако играчът избере кола на първия ход. Очевидно промяната на първоначалния избор в такава ситуация ще доведе до гарантирана загуба.
Въпреки това, през цялото съществуване на телевизионното шоу на Монти Хол, хората, които са променили мнението си, печелят два пъти по-често:
От 30 играча, които промениха решението си, Cadillac спечели 18 - т.е. 60%
От 30 играчи, останали с избора си, Кадилак спечели 11 - тоест приблизително 36%
Така че мотивите в решението, колкото и нелогични да изглеждат, се потвърждават от практиката.
Увеличаване на броя на вратите
За да разберем по-лесно същността на случващото се, можем да разгледаме случая, когато играчът вижда не три врати пред себе си, а например сто. В същото време зад една от вратите има кола, а зад другите 99 - кози. Играчът избира една от вратите, докато в 99% от случаите ще избере вратата с коза, а шансовете веднага да избере вратата с кола са много малки - те са 1%. След това домакинът отваря 98 врати с кози и моли играча да избере оставащата врата. В този случай в 99% от случаите колата ще бъде зад тази оставаща врата, тъй като шансовете играчът веднага да избере правилната врата са много малки. Ясно е, че в тази ситуация един рационално мислещ играч винаги трябва да приеме предложението на лидера.
Когато се разглежда увеличен брой врати, често възниква въпросът: ако в първоначалния проблем лидерът отвори една врата от три (т.е. 1/3 от обща сумаврати), защо трябва да приемем, че в случай на 100 врати домакинът ще отвори 98 врати с кози, а не 33? Това съображение обикновено е една от значимите причини парадоксът на Монти Хол да противоречи на интуитивното възприятие на ситуацията. Би било правилно да приемем отварянето на 98 врати, тъй като същественото условие на проблема е наличието само на една алтернативаизбор за играча, който се предлага от лидера. Следователно, за да са сходни задачите, при 4 врати лидерът трябва да отвори 2 врати, при 5 врати - 3 и т.н., така че винаги да има една неотворена врата, различна от тази които играчът първоначално е избрал. Ако фасилитаторът отвори по-малко врати, тогава задачата вече няма да бъде подобна на оригиналната задача на Monty Hall.
Трябва да се отбележи, че в случай на много врати, дори ако домакинът не остави една врата затворена, а няколко, и предложи на играча да избере една от тях, тогава при промяна на първоначалния избор шансовете на играча да спечели колата ще бъдат все още нарастват, макар и не толкова значително. Например, помислете за ситуация, при която играч избира една врата от сто, а след това фасилитаторът отваря само една от останалите врати, канейки играча да промени избора си. В същото време шансовете колата да е зад първоначално избраната от играча врата остават същите - 1/100, а за останалите врати шансовете се променят: общата вероятност колата да е зад една от оставащите врати ( 99/100) сега се разпределя не на 99 врати, а на 98. Следователно вероятността да се намери кола зад всяка от тези врати няма да бъде 1/100, а 99/9800. Увеличението на вероятността ще бъде приблизително 1%.
Дърво възможни решенияиграч и домакин, показващи вероятността за всеки резултат По-формално, сценарият на играта може да бъде описан с помощта на дърво на решенията. В първите два случая, когато играчът първо е избрал вратата, зад която е козата, промяната на избора води до печалба. В последните два случая, когато играчът първо избра вратата с колата, промяната на избора води до загуба.
Ако пак не разбираш, плюй на формулите и простопроверете всичко статистически. Друго възможно обяснение:
- Играч, чиято стратегия би била да сменя избраната врата всеки път, би загубил само ако първоначално избере вратата, зад която се намира колата.
- Тъй като шансът да се избере кола при първия опит е едно към три (или 33%), шансът да не се избере кола, ако играчът промени избора си, също е едно към три (или 33%).
- Това означава, че играчът, който е използвал стратегията за смяна на вратата, ще спечели с вероятност от 66% или две към три.
- Това ще удвои шансовете за победа на играч, чиято стратегия не е да променя избора си всеки път.
Все още не вярвате? Да приемем, че сте избрали врата №1. Ето всички възможни варианти какво може да се случи в този случай.
"Има три вида лъжи: лъжи, проклети лъжи и статистика." Тази фраза, приписвана от Марк Твен на британския премиер Бенджамин Дизраели, добре отразява отношението на мнозинството към математическите закони. Наистина, теорията на вероятностите понякога хвърля невероятни факти, които са трудни за вярване на пръв поглед - и които въпреки това се потвърждават от науката. „Теории и практики” припомни най-известните парадокси.
Проблем с Монти Хол
Именно тази задача предложи хитрият професор от Масачузетския технологичен институт на студентите във филма „Двадесет и едно“. Даване на правилния отговор главен геройсе присъединява към екип от брилянтни млади математици, които побеждават казината в Лас Вегас.
Класическата формулировка е следната: „Да приемем, че на определен играч е предложено да участва в известното американско телевизионно шоу Let’s Make a Deal, водено от Monty Hall, и той трябва да избере една от трите врати. Зад две врати има кози, зад една е главната награда, кола, водещият знае местоположението на наградите. След като играчът направи своя избор, фасилитаторът отваря една от останалите врати, зад която има коза, и кани играча да промени решението си. Трябва ли играчът да се съгласи или е по-добре да запази първоначалния си избор?“
Ето една типична линия на разсъждение: след като домакинът е отворил една от вратите и е показал козата, играчът трябва да избере между две врати. Колата е зад един от тях, така че вероятността да го познаете е ½. Така че няма разлика - да промените избора си или не. И все пак теорията на вероятностите казва, че можете да увеличите шансовете си за печалба, като промените решението си. Да видим защо това е така.
За да направите това, нека се върнем една стъпка назад. В момента, в който направихме първоначалния си избор, разделихме вратите на две части: едната, която избрахме, и другите две. Очевидно вероятността колата да се крие зад „нашата“ врата е ⅓ – съответно колата е зад една от двете останали врати с вероятност ⅔. Когато фасилитаторът посочи, че зад една от тези врати има коза, се оказва, че тези ⅔ шансове се падат на втората врата. И това свежда избора на играча до две врати, зад едната от които (първоначално избрана) е колата с вероятност ⅓, а зад другата с вероятност ⅔. Изборът става очевиден. Което, разбира се, не отменя факта, че от самото начало играчът можеше да избере врата с кола.
Задачата на тримата затворници
Парадоксът на трима затворници е подобен на проблема на Монти Хол, въпреки че действието се развива в по-драматични условия. Трима затворници (A, B и C) бяха осъдени на смъртно наказаниеи поставен в изолация. Губернаторът избира произволно един от тях и го помилва. Надзирателят знае кой от тримата е помилван, но му е казано да пази това в тайна. Затворник A моли пазача да му каже името на втория затворник (освен него), който определено ще бъде екзекутиран: „ако B бъде помилван, кажете ми, че C ще бъде екзекутиран. Ако C бъде помилван, кажете ми, че B ще бъде екзекутиран Ако и двамата бъдат екзекутирани, но имам милост, хвърлете монета и кажете някое от тези две имена. Надзирателят казва, че затворник Б ще бъде екзекутиран. Трябва ли затворник А да е щастлив?
Изглежда, да. В края на краищата, преди да получи тази информация, вероятността за смърт на затворник А беше ⅔, а сега той знае, че един от другите двама затворници ще бъде екзекутиран, което означава, че вероятността за неговата екзекуция е намаляла до ½. Но всъщност затворник А не научи нищо ново: ако не беше помилван, щеше да му бъде казано името на друг затворник и той вече знаеше, че един от двамата останали ще бъде екзекутиран. Ако е имал късмет и екзекуцията е била отменена, той ще чуе произволно име B или C. Следователно шансовете му за спасение не са се променили по никакъв начин.
Сега си представете, че един от останалите затворници научава за въпроса на затворник А и получения отговор. Това ще промени представите му за вероятността от помилване.
Ако затворник Б чуе разговора, той ще разбере, че определено ще бъде екзекутиран. И ако затворникът е B, тогава вероятността за неговото помилване ще бъде ⅔. защо стана така Затворник А не е получил никаква информация и шансовете му да бъде помилван са все още ⅓. Затворник Б определено няма да бъде помилван и шансовете му са нулеви. Това означава, че вероятността третият затворник да бъде освободен е ⅔.
Парадоксът на двата плика
Този парадокс стана известен благодарение на математика Мартин Гарднър и се формулира по следния начин: „Да предположим, че на вас и ваш приятел се предлагат два плика, единият от които съдържа определена сума пари X, а другият съдържа сума, два пъти по-голяма. Вие самостоятелно отваряте пликове, броите пари, след което можете да ги обмените. Пликовете са еднакви, така че има ½ шанс да получите плик с по-малка сума. Да приемем, че сте отворили плик и сте намерили 10 долара в него. Следователно пликът на вашия приятел е еднакво вероятно да съдържа $5 или $20. Ако решите да обменяте, тогава можете да изчислите математическото очакване на крайната сума - тоест нейната средна стойност. Това е 1/2x$5+1/2x20=$12,5. По този начин обменът е полезен за вас. И най-вероятно вашият приятел ще спори по същия начин. Но е очевидно, че обменът не може да бъде от полза и за двама ви. каква е грешката
Парадоксът е, че докато не отворите плика си, вероятностите се държат справедливо: всъщност имате 50 процента шанс да намерите X в плика си и 50 процента шанс да намерите 2X в плика си. А здравият разум подсказва, че информацията за сумата, с която разполагате, не може да повлияе на съдържанието на втория плик.
Въпреки това, веднага щом отворите плика, ситуацията се променя драстично (този парадокс донякъде прилича на историята с котката на Шрьодингер, където самото присъствие на наблюдател влияе върху състоянието на нещата). Факт е, че за да се спазят условията на парадокса, вероятността да намерите във втория плик по-голяма или по-малка сума от вашата трябва да е еднаква. Но тогава всяка стойност на тази сума от нула до безкрайност е еднакво вероятна. И ако има еднакво вероятен брой възможности, те се събират до безкрайност. А това е невъзможно.
За по-голяма яснота можете да си представите, че намирате един цент в плика си. Очевидно вторият плик не може да съдържа половината сума.
Любопитно е, че дискусиите относно разрешаването на парадокса продължават и в момента. В същото време се правят опити както парадоксът да се обясни отвътре, така и да се развие най-добра стратегияповедение в подобна ситуация. По-специално, професор Томас Ковър предложи оригинален подход за формиране на стратегия - да промените или да не промените обвивката, ръководени от някакво интуитивно очакване. Да кажем, че ако отворите плик и намерите в него 10 долара – малка сума според вашите оценки – струва си да го обмените. И ако пликът съдържа, да речем, 1000 долара, което надхвърля най-смелите ви очаквания, тогава няма нужда да променяте. Тази интуитивна стратегия, ако редовно ви се предлага да изберете два плика, прави възможно увеличаването на общите печалби повече от стратегията постоянна смянапликове.
Парадоксът на момчето и момичето
Този парадокс е предложен и от Мартин Гарднър и е формулиран по следния начин: „Г-н Смит има две деца. Поне едно дете е момче. Каква е вероятността второто също да е момче?
Изглежда, че задачата е проста. Ако обаче започнете да разбирате, се разкрива любопитно обстоятелство: правилният отговор ще се различава в зависимост от това как изчисляваме вероятността за пола на другото дете.
Опция 1
Обмислете всички възможни комбинации в семейства с две деца:
Момиче/Момиче
момиче момче
Момче момиче
Момче/Момче
Варианта момиче/момиче не ни устройва според условията на проблема. Следователно за семейството на г-н Смит има три еднакво вероятни варианта – което означава, че вероятността другото дете също да е момче е ⅓. Това беше първоначалният отговор на самия Гарднър.
Вариант 2
Нека си представим, че срещнем г-н Смит на улицата, когато се разхожда със сина си. Каква е вероятността второто дете също да е момче? Тъй като полът на второто дете не зависи от пола на първото, очевидният (и правилен) отговор е ½.
Защо се случва това, защото, изглежда, нищо не се е променило?
Всичко зависи от това как подходим към въпроса за изчисляване на вероятността. В първия случай разгледахме всички възможни варианти на семейство Смит. Във втория - разгледахме всички семейства, попадащи под необходимо условие"трябва да има едно момче." Изчисляването на вероятността за пола на второто дете беше извършено с това условие (в теорията на вероятностите това се нарича "условна вероятност"), което доведе до резултат, различен от първия.