Математическо махало: период, ускорение и формули. Тайните на махалото. Изчисления, основани на закона за запазване на енергията

Математическо махалонаричаме материална точка, окачена на безтегловна и неразтеглива нишка, прикрепена към окачването и разположена в полето на гравитацията (или друга сила).

Нека изследваме трептенията на математическо махало в инерционна референтна система, спрямо която точката на неговото окачване е в покой или се движи равномерно по права линия. Ще пренебрегнем силата на съпротивлението на въздуха (идеалното математическо махало). Първоначално махалото е в покой в ​​равновесно положение C. В този случай силата на гравитацията \(\vec F\), действаща върху него, и еластичната сила \(\vec F_(ynp)\) на нишката са взаимно компенсиран.

Нека извадим махалото от равновесното положение (като го отклоним, например, в положение А) и го пуснем без начална скорост (фиг. 13.11). В този случай силите \(\vec F\) и \(\vec F_(ynp)\) не се балансират взаимно. Тангенциалният компонент на гравитацията \(\vec F_\tau\), действащ върху махалото, му придава тангенциално ускорение \(\vec a_\tau\) (компонент на общото ускорение, насочено по допирателната към траекторията на математическото махало ), и махалото започва да се движи до равновесно положение с нарастваща по абсолютна стойност скорост. Следователно тангенциалният компонент на гравитацията \(\vec F_\tau\) е възстановяваща сила. Нормалната компонента \(\vec F_n\) на силата на гравитацията е насочена по нишката срещу еластичната сила \(\vec F_(ynp)\). Резултатът от силите \(\vec F_n\) и \(\vec F_(ynp)\) придава нормалното ускорение \(~a_n\) на махалото, което променя посоката на вектора на скоростта и махалото се движи по дъга ABCD.

Колкото повече махалото се доближава до равновесното положение C, толкова по-малка става стойността на тангенциалния компонент \(~F_\tau = F \sin \alpha\). В равновесно положение тя е равна на нула, а скоростта достига максималната си стойност и махалото се движи по-нататък по инерция, издигайки се по дъга нагоре. В този случай компонентът \(\vec F_\tau\) е насочен срещу скоростта. С увеличаване на ъгъла на отклонение a, модулът на силата \(\vec F_\tau\) се увеличава, а модулът на скоростта намалява и в точка D скоростта на махалото става равна на нула. Махалото спира за момент и след това започва да се движи в посока, обратна на равновесното положение. Преминавайки го отново по инерция, махалото, забавяйки движението си, ще достигне точка А (няма триене), т.е. ще завърши пълна люлка. След това движението на махалото ще се повтори в вече описаната последователност.

Нека получим уравнение, описващо свободните трептения на математическо махало.

Нека махалото в даден момент от време е в точка B. Неговото изместване S от равновесното положение в този момент е равно на дължината на дъгата SV (т.е. S = |SV|). Нека обозначим дължината на окачващата нишка л, а масата на махалото е м.

От Фигура 13.11 е ясно, че \(~F_\tau = F \sin \alpha\), където \(\alpha =\frac(S)(l).\) При малки ъгли \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Знакът минус е поставен в тази формула, тъй като тангенциалната компонента на гравитацията е насочена към равновесното положение, а изместването се брои от равновесното положение.

Съгласно втория закон на Нютон \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Нека проектираме векторните величини на това уравнение върху посоката на допирателната към траекторията на математическото махало

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

От тези уравнения получаваме

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - динамично уравнение на движение на математическо махало. Тангенциалното ускорение на математическото махало е пропорционално на неговото изместване и е насочено към равновесното положение. Това уравнение може да се запише като\. Сравнявайки го с уравнението на хармоничните трептения \(~a_x + \omega^2x = 0\) (вижте § 13.3), можем да заключим, че математическото махало извършва хармонични трептения. И тъй като разглежданите трептения на махалото са възникнали само под въздействието на вътрешни сили, това са били свободни трептения на махалото. следователно свободните трептения на математическото махало с малки отклонения са хармонични.

Нека означим \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) От където \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) е цикличната честота на махалото.

Периодът на трептене на махалото е \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Следователно,

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Този израз се нарича Формулата на Хюйгенс.Той определя периода на свободните трептения на математическото махало. От формулата следва, че при малки ъгли на отклонение от равновесното положение периодът на трептене на математическото махало: 1) не зависи от неговата маса и амплитуда на трептения; 2) пропорционална на корен квадратен от дължината на махалото и обратно пропорционална на корен квадратен от ускорението на гравитацията. Това е в съответствие с експерименталните закони на малките трептения на математическото махало, открити от Г. Галилей.

Подчертаваме, че тази формула може да се използва за изчисляване на периода, ако са изпълнени едновременно две условия: 1) трептенията на махалото трябва да са малки; 2) точката на окачване на махалото трябва да е в покой или да се движи равномерно по права линия спрямо инерционната отправна система, в която се намира.

Ако точката на окачване на математическото махало се движи с ускорение \(\vec a\), тогава силата на опън на нишката се променя, което води до промяна на възстановяващата сила и, следователно, честотата и периода на трептенията. Както показват изчисленията, периодът на трептене на махалото в този случай може да се изчисли по формулата

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

където \(~g"\) е "ефективното" ускорение на махалото в неинерциална отправна система. То е равно на геометричната сума от ускорението на гравитацията \(\vec g\) и вектора, противоположен на векторът \(\vec a\), т.е. може да се изчисли с помощта на формулата

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средното училище: теория. Задачи. Тестове: Учебник. надбавка за институции, осигуряващи общо образование. среда, образование / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракина, К. С. Фарино; Изд. К. С. Фарино. - Мн.: Адукация и вяхване, 2004. - С. 374-376.

Механична система, която се състои от материална точка (тяло), окачена на неразтеглива безтегловна нишка (нейната маса е пренебрежимо малка в сравнение с теглото на тялото) в еднородно гравитационно поле, се нарича математическо махало (друго име е осцилатор). Има и други видове това устройство. Вместо конец може да се използва безтегловен прът. Математическото махало може ясно да разкрие същността на много интересни явления. Когато амплитудата на трептене е малка, неговото движение се нарича хармонично.

Преглед на механичната система

Формулата за периода на трептене на това махало е изведена от холандския учен Хюйгенс (1629-1695). Този съвременник на И. Нютон много се интересуваше от тази механична система. През 1656 г. създава първия часовник с механизъм с махало. Измерваха времето с изключителна за онези времена точност. Това изобретение се превърна в основен етап в развитието на физическите експерименти и практически дейности.

Ако махалото е в равновесно положение (виси вертикално), то ще бъде балансирано от силата на опън на нишката. Плоско махало върху неразтеглива нишка е система с две степени на свобода със свързване. Когато промените само един компонент, се променят характеристиките на всички негови части. Така че, ако нишката се замени с прът, тогава тази механична система ще има само 1 степен на свобода. Какви свойства има математическото махало? В тази най-проста система хаосът възниква под въздействието на периодични смущения. В случай, че точката на окачване не се движи, а се колебае, махалото има ново равновесно положение. С бързи колебания нагоре и надолу, тази механична система придобива стабилна позиция "с главата надолу". Има си и собствено име. Нарича се махалото на Капица.

Свойства на махалото

Математическото махало има много интересни свойства. Всички те се потвърждават от известни физични закони. Периодът на трептене на всяко друго махало зависи от различни обстоятелства, като размера и формата на тялото, разстоянието между точката на окачване и центъра на тежестта и разпределението на масата спрямо тази точка. Ето защо определянето на периода на висене на едно тяло е доста трудна задача. Много по-лесно е да се изчисли периодът на математическото махало, чиято формула ще бъде дадена по-долу. В резултат на наблюдения на подобни механични системи могат да се установят следните закономерности:

Ако, поддържайки една и съща дължина на махалото, окачваме различни тежести, тогава периодът на техните трептения ще бъде еднакъв, въпреки че масите им ще варират значително. Следователно периодът на такова махало не зависи от масата на товара.

Ако при стартиране на системата махалото се отклони под не твърде големи, но различни ъгли, тогава то ще започне да се колебае със същия период, но с различни амплитуди. Докато отклоненията от центъра на равновесието не са твърде големи, вибрациите по своята форма ще бъдат доста близки до хармоничните. Периодът на такова махало не зависи по никакъв начин от амплитудата на трептене. Това свойство на дадена механична система се нарича изохронизъм (в превод от гръцки „chronos” – време, „isos” – равен).

Период на математическото махало

Този индикатор представлява периода. Въпреки сложната формулировка, самият процес е много прост. Ако дължината на нишката на математическото махало е L, а ускорението на свободното падане е g, тогава тази стойност е равна на:

Периодът на малки собствени трептения не зависи по никакъв начин от масата на махалото и амплитудата на трептенията. В този случай махалото се движи като математическо с дадена дължина.

Трептения на математическо махало

Математическо махало осцилира, което може да се опише с просто диференциално уравнение:

x + ω2 sin x = 0,

където x (t) е неизвестна функция (това е ъгълът на отклонение от долната равновесна позиция в момент t, изразен в радиани); ω е положителна константа, която се определя от параметрите на махалото (ω = √g/L, където g е ускорението на гравитацията, а L е дължината на математическото махало (окачване).

Уравнението за малки вибрации близо до равновесното положение (хармонично уравнение) изглежда така:

x + ω2 sin x = 0

Осцилаторни движения на махало

По синусоида се движи математическо махало, което прави малки трептения. Диференциалното уравнение от втори ред отговаря на всички изисквания и параметри на такова движение. За да се определи траекторията, е необходимо да се зададат скоростта и координатата, от които след това се определят независими константи:

x = A sin (θ 0 + ωt),

където θ 0 е началната фаза, A е амплитудата на трептене, ω е цикличната честота, определена от уравнението на движение.

Математическо махало (формули за големи амплитуди)

Тази механична система, която трепти със значителна амплитуда, е подчинена на по-сложни закони на движение. За такова махало те се изчисляват по формулата:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

където sn е синусът на Якоби, който за u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

където ε = E/mL2 (mL2 е енергията на махалото).

Периодът на трептене на нелинейно махало се определя по формулата:

където Ω = π/2 * ω/2K(u), K е елиптичният интеграл, π - 3,14.

Движение на махало по сепаратриса

Сепаратриса е траекторията на динамична система, която има двумерно фазово пространство. Математическо махало се движи по него непериодично. В безкрайно отдалечен момент във времето той пада от най-високата си позиция настрани с нулева скорост, след което постепенно я набира. В крайна сметка спира, връщайки се в първоначалното си положение.

Ако амплитудата на трептенията на махалото се доближава до числото π , това показва, че движението във фазовата равнина се доближава до сепаратриса. В този случай, под въздействието на малка задвижваща периодична сила, механичната система проявява хаотично поведение.

Когато математическото махало се отклони от равновесното положение с определен ъгъл φ, възниква тангенциална сила на гравитацията Fτ = -mg sin φ. Знакът минус означава, че тази тангенциална компонента е насочена в посока, обратна на отклонението на махалото. Когато означаваме с x преместването на махалото по дъга от окръжност с радиус L, ъгловото му преместване е равно на φ = x/L. Вторият закон, предназначен за проекции и сила, ще даде желаната стойност:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Въз основа на тази връзка е ясно, че това махало е нелинейна система, тъй като силата, която се стреми да го върне в равновесно положение, винаги е пропорционална не на изместването x, а на sin x/L.

Само когато математическото махало извършва малки трептения, то е хармоничен осцилатор. С други думи, той се превръща в механична система, способна да извършва хармонични трептения. Това приближение е практически валидно за ъгли от 15-20°. Трептенията на махалото с големи амплитуди не са хармонични.

Закон на Нютон за малки трептения на махало

Ако дадена механична система извършва малки трептения, вторият закон на Нютон ще изглежда така:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Въз основа на това можем да заключим, че математическото махало е пропорционално на своето изместване със знак минус. Това е условието, поради което системата се превръща в хармоничен осцилатор. Модулът на коефициента на пропорционалност между преместването и ускорението е равен на квадрата на кръговата честота:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

Тази формула отразява естествената честота на малките трептения на този тип махало. Въз основа на това,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Изчисления, базирани на закона за запазване на енергията

Свойствата на махалото могат да бъдат описани и с помощта на закона за запазване на енергията. Трябва да се има предвид, че махалото в гравитационното поле е равно на:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Общото е равно на кинетичен или максимален потенциал: Epmax = Ekmsx = E

След като законът за запазване на енергията е написан, вземете производната на дясната и лявата страна на уравнението:

Тъй като производната на постоянните величини е равна на 0, тогава (Ep + Ek)" = 0. Производната на сумата е равна на сумата на производните:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

следователно:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Въз основа на последната формула намираме: α = - g/L*x.

Практическо приложение на математическо махало

Ускорението варира в зависимост от географската ширина, тъй като плътността на земната кора не е еднаква на цялата планета. Там, където има скали с по-висока плътност, тя ще бъде малко по-висока. Ускорението на математическото махало често се използва за геоложки проучвания. Използва се за търсене на различни минерали. Просто като преброите броя на трептенията на махалото, можете да откриете въглища или руда в недрата на Земята. Това се дължи на факта, че такива вкаменелости имат плътност и маса, по-големи от лежащите под тях рохкави скали.

Математическото махало е използвано от такива изключителни учени като Сократ, Аристотел, Платон, Плутарх, Архимед. Много от тях вярваха, че тази механична система може да повлияе на съдбата и живота на човек. Архимед е използвал математическо махало в своите изчисления. В наши дни много окултисти и екстрасенси използват тази механична система, за да изпълнят своите пророчества или да търсят изчезнали хора.

Известният френски астроном и натуралист К. Фламарион също използва математическо махало за своите изследвания. Той твърди, че с негова помощ е успял да предскаже откриването на нова планета, появата на Тунгуския метеорит и други важни събития. По време на Втората световна война в Германия (Берлин) работи специализиран Институт по махало. Днес Мюнхенският институт по парапсихология се занимава с подобни изследвания. Служителите в това заведение наричат ​​работата си с махалото „радиестезия“.

Махалата, показани на фиг. 2, са разширени тела с различни форми и размери, които се люлеят около точка на окачване или опора. Такива системи се наричат ​​физически махала. В състояние на равновесие, когато центърът на тежестта е на вертикалата под точката на окачване (или опора), силата на гравитацията се балансира (чрез еластичните сили на деформирано махало) от реакцията на опората. При отклонение от равновесното положение гравитационните и еластичните сили определят ъгловото ускорение на махалото във всеки момент от времето, т.е. те определят естеството на неговото движение (трептене). Сега ще разгледаме по-подробно динамиката на трептенията, като използваме най-простия пример за така нареченото математическо махало, което представлява малка тежест, окачена на дълга тънка нишка.

В математическото махало можем да пренебрегнем масата на нишката и деформацията на тежестта, т.е. можем да приемем, че масата на махалото е концентрирана в тежестта, а еластичните сили са концентрирани в нишката, която се счита за неразтеглива . Нека сега да видим под действието на какви сили трепти нашето махало, след като бъде извадено от равновесното си положение по някакъв начин (тласък, отклонение).

Когато махалото е в покой в ​​равновесно положение, силата на гравитацията, действаща върху теглото му и насочена вертикално надолу, се балансира от силата на опън на нишката. В отклонено положение (фиг. 15) силата на гравитацията действа под ъгъл спрямо силата на опън, насочена по нишката. Нека разделим силата на гравитацията на два компонента: по посока на нишката () и перпендикулярна на нея (). При трептене на махалото силата на опън на нишката леко надвишава компонента - с размера на центростремителната сила, която принуждава товара да се движи по дъга. Компонентът винаги е насочен към равновесното положение; тя изглежда се стреми да възстанови това положение. Затова често се нарича възстановяваща сила. Колкото повече се отклонява махалото, толкова по-голяма е абсолютната стойност.

Ориз. 15. Възстановяваща сила при отклонение на махалото от равновесното положение

И така, веднага щом махалото по време на своите колебания започне да се отклонява от равновесното положение, да речем, надясно, се появява сила, която забавя движението му толкова повече, колкото повече се отклонява. В крайна сметка тази сила ще го спре и ще го върне обратно в равновесно положение. Въпреки това, докато се приближаваме до това положение, силата ще става все по-малка и в самото равновесно положение ще стане нула. Така махалото преминава през равновесното положение по инерция. Веднага щом започне да се отклонява наляво, отново ще се появи сила, нарастваща с нарастващо отклонение, но вече насочена надясно. Движението наляво отново ще се забави, след което махалото ще спре за момент, след което ще започне ускореното движение надясно и т.н.

Какво се случва с енергията на махалото, докато осцилира?

Два пъти през периода - при най-големите отклонения наляво и надясно - махалото спира, т.е. в тези моменти скоростта е нула, което означава, че кинетичната енергия е нула. Но точно в тези моменти центърът на тежестта на махалото се издига на най-голяма височина и следователно потенциалната енергия е най-голяма. Напротив, в моментите на преминаване през равновесното положение потенциалната енергия е най-ниска, а скоростта и кинетичната енергия достигат най-големите си стойности.

Ще приемем, че силите на триене на махалото с въздуха и триенето в точката на окачване могат да бъдат пренебрегнати. Тогава, съгласно закона за запазване на енергията, тази максимална кинетична енергия е точно равна на излишъка на потенциалната енергия в позицията на най-голямо отклонение над потенциалната енергия в позицията на равновесие.

Така че, когато махалото се колебае, възниква периодичен преход на кинетичната енергия в потенциална енергия и обратно, като периодът на този процес е наполовина по-дълъг от периода на колебание на самото махало. Въпреки това, общата енергия на махалото (сумата от потенциалната и кинетичната енергия) е постоянна през цялото време. Тя е равна на енергията, която е била предадена на махалото при стартиране, без значение дали е под формата на потенциална енергия (първоначално отклонение) или под формата на кинетична енергия (първоначален тласък).

Такъв е случаят с всякакви трептения при липса на триене или други процеси, които отнемат енергия от осцилиращата система или й предават енергия. Ето защо амплитудата остава непроменена и се определя от първоначалното отклонение или сила на натиска.

Ще получим същите промени във възстановяващата сила и същия трансфер на енергия, ако вместо да окачим топката на конец, я накараме да се търкаля във вертикална равнина в сферична чаша или в жлеб, извит по обиколката. В този случай ролята на опън на конеца ще се поеме от натиска на стените на чашата или коритото (отново пренебрегваме триенето на топката по стените и въздуха).

Математическо махало.

Математическото махало е материална точка, окачена на неразтеглива безтегловна нишка, извършваща колебателно движение в една вертикална равнина под въздействието на гравитацията.

Такова махало може да се счита за тежка топка с маса m, окачена на тънка нишка, чиято дължина l е много по-голяма от размера на топката. Ако тя се отклони под ъгъл α (фиг. 7.3.) от вертикалната линия, то под въздействието на силата F, една от компонентите на тежестта P, тя ще се колебае. Другият компонент, насочен по нишката, не се взема предвид, т.к се балансира от напрежението на конеца. При малки ъгли на изместване и тогава координатата x може да бъде измерена в хоризонтална посока. От фиг. 7.3 става ясно, че тегловният компонент, перпендикулярен на нишката, е равен на

Силов момент спрямо точка O: и инерционен момент:
M=FL .
Момент на инерция Джв такъв случай
Ъглово ускорение:

Като вземем предвид тези стойности, имаме:

(7.8)

Неговото решение
,

Както виждаме, периодът на трептене на математическото махало зависи от неговата дължина и ускорението на гравитацията и не зависи от амплитудата на трептенията.

Физическо махало.

Физическото махало е твърдо тяло, фиксирано върху фиксирана хоризонтална ос (ос на окачване), което не минава през центъра на тежестта и което се колебае около тази ос под въздействието на гравитацията. За разлика от математическото махало, масата на такова тяло не може да се счита за точкова.

При малки ъгли на отклонение α (фиг. 7.4) физическото махало също извършва хармонични трептения. Ще приемем, че теглото на физическото махало е приложено към неговия център на тежестта в точка C. Силата, която връща махалото в равновесно положение, в този случай ще бъде компонентът на гравитацията - сила F.

Знакът минус от дясната страна означава, че силата F е насочена към намаляване на ъгъла α. Като се има предвид малкостта на ъгъла α

За да изведем закона за движение на математическите и физическите махала, ние използваме основното уравнение на динамиката на въртеливото движение

Силов момент: не може да се определи изрично. Като се вземат предвид всички количества, включени в оригиналното диференциално уравнение на трептенията на физическо махало, има формата:

Математическо махалое материална точка, окачена на безтегловна и неразтеглива нишка, разположена в гравитационното поле на Земята. Математическото махало е идеализиран модел, който правилно описва реално махало само при определени условия. Истинското махало може да се счита за математическо, ако дължината на нишката е много по-голяма от размера на тялото, окачено върху нея, масата на нишката е незначителна в сравнение с масата на тялото и деформациите на нишката са толкова малки че те могат да бъдат напълно пренебрегнати.

Осцилаторната система в този случай се формира от нишка, тяло, прикрепено към нея и Земята, без която тази система не би могла да служи като махало.

Където А х – ускорение, ж - ускорение на гравитацията, х- денивелация, л– дължина на нишката на махалото.

Това уравнение се нарича уравнение на свободните трептения на математическо махало.Той правилно описва въпросните вибрации само когато са изпълнени следните предположения:

2) разглеждат се само малки трептения на махалото с малък ъгъл на люлеене.

Свободните вибрации на всяка система се описват във всички случаи с подобни уравнения.

Причините за свободните трептения на математическото махало са:

1. Действието на напрежението и гравитацията върху махалото, което му пречи да се движи от равновесното положение и го принуждава да падне отново.

2. Инерцията на махалото, поради която то, запазвайки скоростта си, не спира в равновесното положение, а преминава през него по-нататък.

Период на свободни трептения на математическо махало

Периодът на свободно трептене на математическото махало не зависи от неговата маса, а се определя само от дължината на нишката и ускорението на гравитацията в мястото, където се намира махалото.

Преобразуване на енергия при хармонични трептения

При хармонични трептения на пружинно махало потенциалната енергия на еластично деформирано тяло се преобразува в неговата кинетична енергия, където к – коефициент на еластичност, Х -модул на изместване на махалото от равновесно положение, м- маса на махалото, v- неговата скорост. Според уравнението на хармоничните вибрации:

, .

Обща енергия на пружинно махало:

.

Обща енергия за математическо махало:

В случай на математическо махало

Енергийните трансформации по време на трептения на пружинно махало се извършват в съответствие със закона за запазване на механичната енергия ( ). Когато махалото се движи надолу или нагоре от равновесното си положение, потенциалната му енергия се увеличава, а кинетичната енергия намалява. Когато махалото премине равновесното положение ( х= 0), неговата потенциална енергия е нула, а кинетичната енергия на махалото има най-голяма стойност, равна на пълната му енергия.

Така в процеса на свободни трептения на махалото неговата потенциална енергия се превръща в кинетична, кинетичната в потенциална, потенциалната отново в кинетична и т.н. Но общата механична енергия остава непроменена.

Принудителни вибрации. Резонанс.

Наричат ​​се трептения, възникващи под въздействието на външна периодична сила принудени трептения. Външна периодична сила, наречена движеща сила, придава допълнителна енергия на осцилаторната система, която отива за попълване на загубите на енергия, възникващи поради триене. Ако движещата сила се променя с течение на времето според закона на синуса или косинуса, тогава принудените трептения ще бъдат хармонични и незатихващи.

За разлика от свободните трептения, когато системата получава енергия само веднъж (когато системата е изведена от равновесие), в случай на принудителни трептения системата поглъща тази енергия от източник на външна периодична сила непрекъснато. Тази енергия компенсира загубите, изразходвани за преодоляване на триенето, поради което общата енергия на осцилаторната система остава непроменена.

Честотата на принудителните трептения е равна на честотата на движещата сила. В случай, когато честотата на движещата сила υ съвпада със собствената честота на колебателната система υ 0 , има рязко увеличение на амплитудата на принудените трептения - резонанс. Резонанс възниква поради факта, че когато υ = υ 0 външната сила, действаща във времето със свободни вибрации, винаги е съобразена със скоростта на трептящото тяло и извършва положителна работа: енергията на трептящото тяло се увеличава и амплитудата на неговите трептения става голяма. Графика на амплитудата на принудените трептения А T върху честотата на движещата сила υ показана на фигурата, тази графика се нарича резонансна крива:

Феноменът на резонанса играе важна роля в редица природни, научни и индустриални процеси. Например, необходимо е да се вземе предвид явлението резонанс при проектирането на мостове, сгради и други конструкции, които изпитват вибрации при натоварване, в противен случай при определени условия тези конструкции могат да бъдат унищожени.