Алгебраический материал в курсе математики начальной школы и методика его изучения. Методика изучения алгебраического материала в начальном курсе математики
Введение.......................................................................................................... 2
Глава I. Общетеоретические аспекты изучения алгебраического материала в начальной школе............................................................................................. 7
1.1 Опыт введения элементов алгебры в начальной школе....................... 7
1.2 Психологические основы введения алгебраических понятий
в начальной школе............................................................................... 12
1.3 Проблема происхождения алгебраических понятий и ее значение
для построения учебного предмета..................................................... 20
2.1 Обучение в начальной школе с точки зрения потребностей
средней школы...................................................................................... 33
2.1 Сравнение (противопоставление) понятий на уроках математики.... 38
2.3 Совместное изучение сложения и вычитания, умножения и деления 48
Глава III. Практика изучения алгебраического материала на уроках математики в начальных классах средней школы № 4 г. Рыльска.................................... 55
3.1 Обоснование использования инновационных технологий (технологии
укрупнения дидактических единиц)..................................................... 55
3.2 Об опыте ознакомления с алгебраическими понятиями в I классе.... 61
3.3 Обучение решению задач, связанных с движением тел..................... 72
Заключение.................................................................................................... 76
Библиографический список.......................................................................... 79
В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.
Что представляет собой современная математика? Зачем она нужна? Эти и подобные им вопросы часто задают учителям дети. И каждый раз ответ будет разным в зависимости от уровня развития ребенка и его образовательных потребностей.
Часто говорят, что математика - это язык современной науки. Однако, представляется, что это высказывание имеет существенный дефект. Язык математики распространен так широко и так часто оказывается эффективным именно потому что математика к нему не сводится.
Выдающийся отечественный математик А.Н. Колмогоров писал: "Математика не просто один из языков. Математика - это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение с другим. … Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых допускает отдельное очень подробное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако, если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому " (, с. 44).
Таким образом, математика позволяет сформировать определенные формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.
В настоящее время все более ощутимой становится диспропорция между степенью наших познаний природы и пониманием человека, его психики, процессов мышления. У. У. Сойер в книге "Прелюдия к математике" (, с. 7) отмечает: "Можно научить учеников решать достаточно много типов задач, но подлинное удовлетворение придет лишь тогда, когда мы сумеем передать нашим воспитанникам не просто знания, а гибкость ума", которая дала бы им возможность в дальнейшем не только самостоятельно решать, но и ставить перед собой новые задачи.
Конечно, здесь существуют определенные границы, о которых нельзя забывать: многое определяется врожденными способностями, талантом. Однако, можно отметить целый набор факторов, зависящих от образования и воспитания. Это делает чрезвычайно важной правильную оценку огромных неиспользованных еще возможностей образования в целом и математического образования в частности.
В последние годы наметилась устойчивая тенденция проникновения математических методов в такие науки как история, филология, не говоря уже о лингвистике и психологии. Поэтому круг лиц, которые в своей последующей профессиональной деятельности возможно будут применять математику, расширяется.
Наша система образования устроена так, что для многих школа дает единственную в жизни возможность приобщиться к математической культуре, овладеть ценностями, заключенными в математике.
Каково же влияние математики вообще и школьной математики в частности на воспитание творческой личности? Обучение на уроках математики искусству решать задачи доставляет нам исключительно благоприятную возможность для формирования у учащихся определенного склада ума. Необходимость исследовательской деятельности развивает интерес к закономерностям, учит видеть красоту и гармонию человеческой мысли. Все это является на наш взгляд важнейшим элементом общей культуры. Важное влияние оказывает курс математики на формирование различных форм мышления: логического, пространственно-геометрического, алгоритмического. Любой творческий процесс начинается с формулировки гипотезы. Математика при соответствующей организации обучения, будучи хорошей школой построения и проверки гипотез, учит сравнивать различные гипотезы, находить оптимальный вариант, ставить новые задачи, искать пути их решения. Помимо всего прочего, она вырабатывает еще и привычку к методичной работе, без которой не мыслим ни один творческий процесс. Максимально раскрывая возможности человеческого мышления, математика является его высшим достижением. Она помогает человеку в осознании самого себя и формировании своего характера.
Это то немногое из большого списка причин, в силу которых математические знания должны стать неотъемлемой частью общей культуры и обязательным элементом в воспитании и обучении ребенка.
Курс математики (без геометрии) в нашей 10-летней школе фактически разбит на три основные части: на арифметику (I - V классы), алгебру (VI - VIII классы) и элементы анализа (IX - Х классы). Что служит основанием для такого подразделения?
Конечно, каждая эта часть имеет свою особую "технологию". Так, в арифметике она связана, например, с вычислениями, производимыми над многозначными числами, в алгебре - с тождественными преобразованиями, логарифмированием, в анализе - с дифференцированием и т.д. Но каковы более глубокие основания, связанные с понятийным содержанием каждой части?
Следующий вопрос касается оснований для различения школьной арифметики и алгебры (т.е. первой и второй части курса). В арифметику включают изучение натуральных чисел (целых положительных) и дробей (простых и десятичных). Однако специальный анализ показывает, что соединение этих видов чисел в одном школьном учебном предмете неправомерно.
Дело в том, что эти числа имеют разные функции: первые связаны со счетом предметов, вторые - с измерением величин . Это обстоятельство весьма важно для понимания того факта, что дробные (рациональные) числа являются лишь частным случаем действительных чисел.
С точки зрения измерения величин, как отмечал А.Н. Колмогоров, "нет столь глубокого различия между рациональными и иррациональными действительными числами. Из педагогических соображений надолго задерживаются на рациональных числах, так как их легко записать в форме дробей; однако то употребление, которое им с самого начала придается, должно было бы сразу привести к действительным числам во всей их общности" (), стр. 9).
А.Н. Колмогоров считал оправданным как с точки зрения истории развития математики, так и по существу предложение А. Лебега переходить в обучении после натуральных чисел сразу к происхождению и логической природе действительных чисел. При этом, как отмечал А.Н. Колмогоров, "подход к построению рациональных и действительных чисел с точки зрения измерения величин нисколько не менее научен, чем, например, введение рациональных чисел в виде "пар". Для школы же он имеет несомненное преимущество" (, стр. 10).
Таким образом, есть реальная возможность на базе натуральных (целых) чисел сразу формировать "самое общее понятие числа" (по терминологии А. Лебега), понятие действительного числа. Но со стороны построения программы это означает не более не менее, как ликвидацию арифметики дробей в ее школьной интерпретации. Переход от целых чисел к действительным - это переход от арифметики к "алгебре", к созданию фундамента для анализа.
Эти идеи, высказанные более 20 лет назад, актуальны и сегодня. Возможно ли изменение структуры обучения математики в начальной школе в данном направлении? Каковы достоинства и недостатки «алгебраизации» начального обучения математики? Цель данной работы - попытаться дать ответы на поставленные вопросы.
Реализация поставленной цели требует решения следующих задач:
Рассмотрение общетеоретических аспектов введения в начальной школе алгебраических понятий величины и числа. Эта задача ставится в первой главе работы;
Изучение конкретной методики обучения этим понятиям в начальной школе. Здесь, в частности, предполагается рассмотреть так называемую теорию укрупнения дидактических единиц (УДЕ), речь о которой пойдет ниже;
Показать практическую применимость рассматриваемых положений на школьных уроках математики в начальной школе (уроки проводились автором в средней школе № 4 г. Рыльска). Этому посвящена третья глава работы.
Применительно к библиографии, посвященной данному вопросу, можно отметить следующее. Несмотря на то, что в последнее время общее количество изданной методической литературы по математике крайне незначительно, дефицит информации при написании работы не наблюдался. Действительно, с 1960 (время постановки проблемы) по 1990 гг. в нашей стране вышло огромное число учебной, научной и методической литературы, в той или иной степени затрагивающий проблему введения алгебраических понятий в курсе математики для начальной школы. Кроме того, эти вопросы регулярно освещаются и в специализированной периодике. Так, при написании работы в значительной мере использовались публикации в журналах «Педагогика», «Преподавание математики в школе» и «Начальная школа».
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Методика изучения алгебраического материала
Лекция 1. Математические выражения
1.1 Изучение понятия "математическое выражение"
Алгебраический материал изучается, начиная с 1 класса в тесной связи с арифметическим материалом и геометрическим. Введение элементов алгебры способствует общению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях и вместе с тем готовит детей к изучению алгебры в следующих классах.
Основными алгебраическими понятиями курса являются "равенство", "неравенство", "выражение", уравнение". Определений данных понятий в курсе математики начальных классов нет. Учащиеся уясняют эти понятия на уровне представлений в процессе выполнения специально подобранных упражнений.
Программой по математике в 1-4 классах предусматривается научить детей читать и записывать магматические выражения: ознакомить с правилами порядком выполнения действий и научить ими пользоваться при вычислениях, ознакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений.
При формировании у детей понятия математического выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами имеет двоякий смысл; с одной стороны, он обозначает действие, которое надо выполнить над числами (например, 6+4 - прибавить 4); с другой стороны, знак действия служит для обозначения выражения (6+4 - это сумма чисел 6 и 4).
В методике работы над выражениями предусматривается два этапа. На первом из них формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на втором - о сложных (сумма про, изведения и числа, разность двух частных и т.д.).
Знакомство с первым выражением - суммой двух; чисел происходит в 1 классе при изучении сложения в вычитания в пределах 10. Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 5+1, 6-2 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов "прибавить", "вычесть". Это находит отражение в чтении (к 5 прибавить 1 равно 6, из 6 вычесть 2 равно 4). В дальнейшем понятия об этих действиях углубляются. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц, увеличиваем число на столько же единиц, а вычитая - уменьшаем его на столько же единиц. Это также находит отражение в новой форме чтения записей (4 увеличить на 2 равно 6, 7 уменьшить на 2 равно 5), Затем дети узнают названия знаков действий: "плюс", "минус" и читают примеры, называя знаки действий (4+2=6, 7-3 =4),
Ознакомившись с названиями компонентов и результатом действия сложения, учащиеся используют термин "сумма" для обозначения числа, являющегося результатом сложения. Опираясь на знания детей о названиях чисел при сложении, учитель поясняет, что в примерах на сложение запись, состоящая из двух чисел, соединенных знаком "плюс", называется так же, как и число, стоящее по другую сторону от знака "равно" (9 сумма" 6+3 - тоже сумма). Наглядно изображается это так:
Чтобы дети усвоили новое значение термина "сумма" как название выражения, даются такие упражнения: "Запишите сумму чисел 7 и 2; вычислите, чему равна сумма чисел 3 и 4; прочитайте запись (6+3), скажите, чему равна сумма; замените число суммой чисел (9= ?+?); сравните суммы чисел (6+3 и 6+2), скажите, какая из них больше, запишите со знаком "больше" и прочитайте запись". В процессе таких упражнений учащиеся постепенно осознают двоякий смысл термина "сумма": чтобы записать сумму чисел, надо их соединить знаком "плюс"; чтобы найти значение суммы, надо сложить заданные числа.
Примерно в таком же плане идет работа над следующими выражениями: разностью, произведением и частным двух чисел. Однако теперь каждый из этих терминов вводится сразу и как название выражения, и как название результата действия. Умение читать и записывать выражения, находить их значение с помощью соответствующего действия вырабатывается в процессе многократных упражнений, аналогичных упражнениям с суммой.
При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из трех и более чисел, соединенных одинаковыми или различными знаками действий вида: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2. Вычисляя значения этих выражений, дети в выражениях овладевают правилом о порядке выполнения Действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его. Несколько позднее детей учат преобразовывать выражения в процессе вычислений: например: 7+5=3+5=8. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.
Знакомство первоклассников с выражениями вида: 10 - (6+2), (7-4)+5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствуют более глубокому усвоению понятия выражения.
Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10+(6-2), (7+4)+5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствуют более глубокому усвоению понятия выражения.
Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10+(6-2), (5+3) -1 может быть различной. Можно сразу учить читать готовые выражения по аналогии с образцом и вычислять значения выражений, поясняя последовательность действий. Возможен и другой путь ознакомления детей с выражениями данного вида - составление этих выражений учащимися из заданного числа и простейшего выражения.
Умение составлять и находить значение выражений используется учащимися при решении составных задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием выражения, усваивается конкретный смысл выражений в записях решений задач. Полезно в этом плане упражнение: дается условие задачи, например, "У мальчика было 24 рубля. Мороженое стоит 12 рублей, а конфета - 6 рублей". Дети должны объяснить, что в этом случае показывают следующие выражения:
Во втором классе вводятся термины "математическое выражение" и "значение выражения" (без определения). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются математическими выражениями.
По заданию учителя дети сами составляют различные выражения. Учитель предлагает вычислить результаты и поясняет, что результаты иначе называют значениями математических выражений. Затем рассматриваются и более сложные математические выражения.
В дальнейшем при выполнении различных упражнений сначала учитель, а затем и дети употребляют новые термины (запишите выражения, найдите значение выражения, сравните выражения и т.п.).
В сложных выражениях знаки действий, соединяющие простейшие выражения, также имеют двоякий смысл, что постепенно раскрывается учащимися. Например, в выражении 20+(34-8) знак "+" обозначает действие, которое надо выполнить над числом 20 и разностью чисел 34 и 8 (к 20 прибавить разность чисел 34 и 8). Кроме того, знак "плюс" служит для обозначения суммы - это выражение есть сумма, в которой первое слагаемое 20, а второе слагаемое выражено разностью чисел 34 и 8.
После того как дети ознакомятся во втором классе с порядком выполнения действий в сложных выражениях, приступают к формированию понятий суммы, разности, произведения, частного, в которых отдельные элементы заданы выражениями.
В дальнейшем, в процессе многократных упражнений в чтении, составлении и записи выражений, учащиеся постепенно овладевают умением устанавливать вид сложного выражения (в 2-3 действия).
Значительно облегчает детям работу схема, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:
установить, какое действие выполняется последним;
вспомнить, как называются числа при выполнении этого действия;
Упражнения в чтении и записи сложных действий, простейшими выражениями, помогают детям усвоить правила порядка действий.
1.2 Изучение правил порядка действий
Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются во 2 классе, но практически некоторые из них дети используют еще в 1 классе.
Сначала рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Необходимость введения выражений, содержащих два и более арифметических действий одной ступени, возникает при знакомстве учеников с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10, а именно:
Аналогично: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.
Так как для нахождения значений этих выражений школьники обращаются к предметным действиям, которые выполняются в определенном порядке, то они легко усваивают тот факт, что арифметические действия (сложение и вычитание), которые имеют место в выражениях, выполняются последовательно слева направо.
С числовыми выражениями, содержащими действия сложения и вычитания, а также скобки, учащиеся впервые встречаются в теме "Сложение и вычитание в пределах 10". Когда дети встречаются с такими выражениями в 1 классе, например: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1 , 4 +3 - 2; во 2 классе, например: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32+18 - 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, учитель показывает, как читают и записывают такие выражения и как находят их значение (например, 4*10:5 читают: 4 умножить на 10 и полученный результат разделить на 5). К моменту изучения во 2 классе темы "Порядок действий" учащиеся умеют находить значения выражений этого вида. Цель работы на данном этапе - опираясь практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли; действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод: если в выражении без скобок указаны только действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их выполняют в том порядке, в каком они записаны (т.е. слева направо).
Несмотря на то, что в выражениях вида а+в+с, а+(в+с) и (а+в)+с наличие скобок не влияет на порядок выполнения действий в силу сочетательного закона сложения, на этом этапе учащихся целесообразнее сориентировать на то, что сначала выполняется действие в скобках. Это связано с тем, что для выражений вида а - (в+с) и а - (в - с) такое обобщение неприемлемо и учащимся на начальном этапе довольно трудно будет сориентироваться в назначении скобок для различных числовых выражений. Использование скобок в числовых выражениях, содержащих действия сложения и вычитания, в дальнейшем получает свое развитие, которое связано с изучением таких правил, как прибавление суммы к числу, числа к сумме, вычитание суммы из числа и числа из суммы. Но при первом знакомстве со скобками важно нацелить учащихся на то, что сначала выполняется действие в скобках.
Учитель обращает внимание детей на то, как важно соблюдать это правило при вычислениях, иначе можно получить неверное равенство. Например, учащиеся объясняют, каким образом, получены значения выражений: 70 - 36 +10=24, 60:10 - 3 =2, почему они неверны, какие значения в действительности имеют эти выражения. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида: 65 - (26 - 14), 50:(30 - 20), 90:(2 * 5). С такими выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в скобках. Рассматривая эти выражения нетрудно показать, что действия в них выполняются не в том порядке, в каком записаны; чтобы показать другой порядок их выполнения, и использованы скобки.
Следующим вводится правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени. Поскольку правила порядка действий приняты по договоренности, учитель сообщает их детям или же учащиеся знакомятся с ними по учебнику. Чтобы учащиеся усвоили введенные правила, наряду с тренировочными упражнениями включают решение примеров с пояснением порядка выполнения их действий. Эффективны также упражнения в объяснении ошибок на порядок выполнения действий. Например, из заданных пар примеров предлагается выписать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка действий:
После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки, изменить порядок действий так, чтобы выражение имело заданное значение. Например, чтобы первое из приведенных выражений имело значение, равное 10, надо записать его так: (20+30):5=10.
Особенно полезны упражнения на вычисление значения выражения, когда ученику приходится применять все изученные правила. Например, на доске или в тетрадях записывается выражение 36:6+3*2. Учащиеся вычисляют его значение. Затем по заданию учителя дети изменяют с помощью скобок порядок действий в выражении:
Интересным, но более трудным является обратное упражнение: расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:
Также интересными являются упражнения следующего вида:
1. Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными:
25-17:4=2 3*6-4=6
2. Поставьте вместо звездочек знаки "+" или "-" так, чтобы получились верные равенства:
3. Поставьте вместо звездочек знаки арифметических действий так, чтобы равенства были верными:
Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются в том, что значение выражения может измениться, если изменяется порядок действий.
Для усвоения правил порядка действий необходимо в 3 и 4 классах включать все более усложняющиеся выражения, при вычислении значений которых ученик применял бы каждый раз не одно, а два или три правила порядка выполнения действий, например:
90*8- (240+170)+190,
469148-148*9+(30 100 - 26909).
При этом числа следует подбирать так, чтобы они допускали выполнение действий в любом порядке, что создает условия для сознательного применения изученных правил.
1.3 Ознакомление с преобразованием выражений
Преобразование выражения - это замена данного выражения другим, значение которого равно значению данного выражения. Учащиеся выполняют такие образования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них.
При изучении каждого правила учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в равные им выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак "=" сохранился:
56- (20+1)=56-20...
(10+5) * 4=10*4...
60:(2*10)=60:10...
Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 56 вычитают сумму чисел 20 и 1, справа из 56 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо справа еще вычесть 1. Аналогично преобразуются другие выражения, т.е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответствующее правило и, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобразованного выражений и сравнивают их. Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся 2-4 классов выполняют преобразования выражений вида:
54+30=(50+4)+20=(50+20)+4=70+4=74
72:3=(60+12):3=60:3+12:3=24
16 * 40=16 * (3 * 10)=(16 * 3) * 10=540
Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясняли, на основе чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком " = ", потому что имеют одинаковые значения. Для этого иногда следует предлагать детям вычислять значения выражений и сравнивать их. Это предупреждает ошибки вида:
75-30=70-30=40+5=45,
24*12=(10+2)=24*10 +24*2=288.
Учащиеся 2 - 3 классов выполняют преобразование выражений не только на основе свойств действии, но и на основе определений действий. Например, сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: 6+6+6=6 * 3, и наоборот: 9 * 4=9+9+9+9. Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 * 4+8=8 * 5, 7 * 6 - 7 =7 * 5.
На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся 3 класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить: (30+20)+10=30+20+10, (10-6):4=10-6:4 и т.д. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились: (65+30) - 20 (20+4) * 3
Объясняя решение первого из заданных выражений на основе правила вычитания числа из суммы, дети заменяют его выражениями: 65+30 - 20, 65 - 20+30, 30 - 20+65, поясняя порядок выполнения действий в них. Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка действий только в том случае, если при этом применяются свойства действий.
Таким образом, знакомство школьников начальных классов с понятием выражение тесно связано с формированием вычислительных умений и навыков. В то же время введение понятия выражения позволяет организовать соответствующую работу по развитию математической речи учащихся.
Лекция 2. Буквенная символика, равенства, неравенства, уравнения
2.1 Методика ознакомления с буквенной символикой
В соответствии с программой по математике буквенная символика вводится в 3 классе.
Здесь учащиеся знакомятся с буквой а, как символом для обозначения неизвестного числа или одного из компонентов выражения при решении выражений вида: запиши вместо "окошечка" букву а. Найти значения суммы а+6, если а=8, а=7. Затем на последующих уроках знакомятся с некоторыми буквами латинского алфавита, обозначающими один из компонентов в выражении. С буквой х, как символом для обозначения неизвестного числа при решении уравнений вида: а+х=в, х - с =в - знакомятся в 4 четверти в 3 классе.
Введение буквы как символа для обозначения переменной позволяет уже в начальных классах начать работу над формированием понятия переменной, раньше приобщить детей к математическому языку символов.
Подготовительная работа к раскрытию смысла буквы как символа для обозначения переменной проводится в начале учебного года в 3 классе. На этом первом этапе дети знакомятся с некоторыми буквами латинского алфавита (а, в, с, d, k) для обозначения переменной, т.е. одного из компонентов в выражении.
При введении буквенной символики для обозначения числовой переменной важную роль в системе упражнений играет умелое комбинирование индуктивного и дедуктивного методов. В соответствии с этим упражнения предусматривают переходы от числовых выражений к буквенным и, обратно, от буквенных выражений к числовым. Например, на доску вывешивается плакат с тремя карманами, на которых написано: "1 слагаемое", "2 слагаемое", "сумма".
В процессе беседы с учениками учитель заполняет карманы плаката карточками с записанными на них числами и математическими выражениями:
Далее выясняется, можно ли еще составить выражения, сколько таких выражений можно составить. Дети составляют другие выражения и находят в них общее: одинаковое действие - сложение и различное - разные слагаемые. Учитель поясняет, что, вместо того, чтобы записывать разные числа, можно обозначить любое число, которое может быть слагаемым, какой-нибудь буквой, например а, любое число, которое может быть вторым слагаемым, например, в. Тогда сумму можно обозначить так: а+ в (соответствующие карточки выставляются в карманы плаката).
Учитель поясняет, что а+в также математическое выражение, только в нем слагаемые обозначены буквами каждая из букв обозначает любые числа. Эти числа называются значениями букв.
Аналогично вводится разность чисел как обобщенная запись числовых выражений. Чтобы учащиеся осознали, что буквы, входящие в выражение, например, в+с, могут принимать множество числовых значений, а само буквенное выражение является обобщенной записью числовых выражений, предусматриваются упражнения на переход от буквенных выражений к числовым.
Учащиеся убеждаются, что, придавая буквам личные числовые значения, можно получить много, сколько угодно числовых выражений. В таком же плане проводится работа по конкретизации буквенного выражения - разность чисел.
Далее в связи с работой над выражениями раскрывается понятие постоянной величины. С этой целью рассматриваются выражения, в которых постоянная величина фиксируется с помощью числа, например: а±12, 8±с. Здесь, как и на первом этапе, предусматриваются упражнения на переход от числовых выражений к выражениям, записанным с помощью букв и цифр, и обратно.
С этой целью на первых порах используются плакат с тремя карманами.
Заполняя карманы плаката карточками с записанными на них числами и математическими выражениями, учащиеся замечают, что значения первого слагаемого изменяются, а второго - не изменяются.
Учитель поясняет, что второе слагаемое можно записать с помощью чисел, тогда сумму чисел можно записать так: т + 8, и карточки вставляются в соответствующие карманы плаката.
Аналогичным образом можно получить математические выражения вида: 17±а, в ±30, а позднее - выражения вида: 7* в, с*4, а:8, 48:в.
В 4 классе проводятся упражнения вида: Найди значения выражения а:в, если
а=3 400 и в=2;
а=2 800 и в=7.
Когда учащиеся уясняют смысл буквенной символики, можно использовать буквы в качестве средства обобщения формируемых у них знаний.
Конкретной базой для использования буквенной символики как инструмента обобщения служат знания об арифметических действиях и те знания, которые формируются на их основе.
К ним относятся понятия об арифметических действиях, их свойствах, о связях между компонентами и результатами действий, об изменении результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов и т.п.
Таким образом, использование буквенной символики способствует повышению уровня обобщения знаний, приобретаемых учащимися начальных классов, и готовит их к изучению систематического курса алгебры в следующих классах.
2.2 Числовые равенства, неравенства
Понятие о равенствах, неравенствах и уравнениях раскрывается во взаимосвязи. Работа над ними ведется с 1 класса, органически сочетаясь с изучением арифметического материала.
По новой программе ставится задача научить детей выполнять сравнение чисел, а также сравнение выражений с целью установления отношений "больше", "меньше", "равно"; научить записывать результаты сравнения с помощью знаков ">", "<", "=" и читать полученные равенства и неравенства.
Числовые равенства и неравенства учащиеся получают на основе сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Первоначально у младших Школьников формируются понятия только о верных Равенствах и неравенствах (5>4, 6<7, 8=8).
Впоследствии, когда учащиеся накопят опыт работы над выражениями и неравенствами с переменной, после рассмотрения понятий истинного и ложного (верного и неверного) высказывания переходят к такому определению понятий равенства и неравенства, по которым любые два числа, два выражения, соединенные одним из знаков "больше", "меньше" называется неравенством. При этом различают верные и неверные равенства и неравенства. В 3 классе предлагаются такие упражнения: проверь, верны ли данные равенства (4 четверть): 760 - 400=90*4; 630:7=640:8.
Но этих упражнений мало. В 4 классе предлагаются аналогичные упражнения и другие, вида: проверь, верны ли неравенства: 478*24<478* (3*9); 356*10*6>356*16.
Ознакомление с равенствами и неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий. математический алгебра уравнение
Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, как известно, с помощью установления взаимно-однозначного соответствия. Этому способу сравнения множеств учат детей в подготовительный период и в начале изучения нумерации чисел первого десятка. Попутно выполняется счет элементов множеств и сравнение полученных чисел. В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся опираются на их место в натуральном ряду: 9<10, потому что при счете число 9 называют перед числом 10, и т.д.
Установленные отношения записываются с помощью знаков ">", "<", "=", учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначны: чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда.
Сравнение именованных чисел сначала выполняется с опорой на сравнение самих значений величин, а потом осуществляется на основе сравнения отвлеченных чисел, для чего заданные именованные числа выражаются в одинаковых единицах измерения.
Сравнение именованных чисел вызывает большие трудности у учащихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо систематически во 2-4 классах предлагать разнообразные упражнения:
1 дм * 1 см, 2 дм * 2 см
Замените равным числом: 7 км 500 м = _____ м
3) Подберите числа таким образом, чтобы запись была верна: ____ ч < ____ мин, ___ см=__ дм и т.д.
4) Проверить верные или неверные равенства даны, исправьте знак, если равенства неверны:
4 т 8 ц=480 кг, 100 мин.=1 ч, 2 м 5 см=250 см.
Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и. вычитания в пределах 10 дети длительное время упражняются в сравнении выражения и числа. Первые неравенства вида 3+1>3, 3 - 1<3 полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. В дальнейшем выражение и число учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами: находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:
После знакомства с названиями выражений учащиеся читают равенства и неравенства так: сумма чисел 5 и 3 больше, чем 5.
Опираясь на операции над множествами и сравнение множеств, учащиеся практически усваивают важные свойства равенств и неравенств (если а=в, то в=а). Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сравнение чисел и выражений впервые включается при изучении чисел в пределах 20, а затем при изучении действий во всех концентрах эти упражнения систематически предлагаются детям.
При изучении действий в других концентрах упражнения на сравнение выражений усложняются: более сложными становятся выражения, учащимся предлагаются задания вставить в одно из выражений подходящее число так, чтобы получить верные равенства ила неравенства, составить из данных выражений верные равенства или верные неравенства.
Таким образом, при изучении всех концентров упражнения на сравнение чисел и выражений, с одной стороны, способствуют формированию понятий о равенствах и неравенствах, а с другой стороны, усвоению знаний о нумерации и арифметических действиях, а также выработке вычислительных навыков.
2.3 Методика ознакомления с неравенствами с переменной
Неравенства с переменной вида: х+3 < 7, 10 - х >5 вводятся в 3 классе. Сначала переменная обозначается не буквой, а "окошечком", затем обозначается буквой.
Термины "решить неравенство", "решение неравенства" не вводятся в начальных классах, поскольку во многих случаях ограничиваются подбором только нескольких значений переменной, при котором получается верное неравенство. Упражнения выполняются под руководством учителя.
Упражнения с неравенствами закрепляют вычислительные навыки, а также помогают усвоению арифметических знаний. Подбирая значения буквы в неравенствах и равенствах вида: 5 + х = 5, 5 - х =5 10 * х=10, 10* х <10, учащиеся закрепляют знания особых случаев действий. Но самым важным является то, что работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенств в 5 классе. В соответствии с программой в 1-4 классах рассматриваются упражнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х* (17 - 10)=70.
Упражнения в начальных классах рассматриваются как верные равенства, решение уравнения сводится к отыскиванию того значения буквы (неизвестного числа), при котором данное выражение имеет указанное значение. Нахождение неизвестного числа в таких равенствах выполняется на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий. Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями,
2.4 Методика изучения уравнений
На подготовительном этапе к введению первых уравнений при изучении сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся усваивают связь между суммой и слагаемыми. Кроме того, к этому времени дети овладевают умением сравнивать выражение и число и получают первые представления о числовых равенствах вида: 8=5+3, 6+4=40. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют упражнения на подбор пропущенного числа в равенствах вида: 4+*=6, 5- *=2, В процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых.
Понятие об уравнении вводится в 3 классе. Решаются уравнения устно, способом подбора, т.е. детям предлагают простые уравнения вида: х + 3=5. Для решения таких уравнений дети вспоминают состав чисел в пределах 10, в данном случае состав числа 5 (3 и 2), значит, х=2.
В 4 классе учитель показывает запись решения уравнения, опираясь на знания детей о связях между компонентами и результатом арифметических действий. Например, 6+х=15. Нам неизвестно второе слагаемое, Чтобы получить второе слагаемое надо из суммы вычесть первое слагаемое.
Запись решения:
Проверка:
Учащимся надо объяснить, что когда производим проверку, надо обязательно после подстановки вместо х полученного числа, найти значение полученного выражения.
Позже, на следующем этапе, уравнения решаются на основе знания правил нахождения неизвестного компонента.
На каждый случай отводится отдельный урок.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности. Основные свойства числовых неравенств. Методика графического решения неравенств второй степени. Системы неравенств с двумя переменными, с переменной под знаком модуля.
реферат , добавлен 31.01.2009
Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Анализ материала по тригонометрии в различных учебниках. Виды тригонометрических уравнений и методы их решения. Формирование навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств.
дипломная работа , добавлен 06.05.2010
Теоретические сведения по теме "Признаки равенства треугольников". Методика изучения темы "Признаки равенства треугольников". Тема урока "Треугольник. Виды треугольников". "Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников".
курсовая работа , добавлен 11.01.2004
Типы уравнений, допускающих понижение порядка. Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка. Теоремы о свойствах частичных решений. Определитель Вронского и его применение. Использование формулы Эйлера. Нахождение корней алгебраического уравнения.
презентация , добавлен 29.03.2016
Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.
реферат , добавлен 06.08.2013
Метод аналитического решения (в радикалах) алгебраического уравнения n-ой степени с возвратом к корням исходного уравнения. Собственные значения для нахождения функций от матриц. Устойчивость решений линейных дифференциальных и разностных уравнений.
научная работа , добавлен 05.05.2010
Вид уравнения Риккати при произвольном дробно-линейном преобразовании зависимой переменной. Свойства отражающей функции, ее построение для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Формулировка и доказательства леммы для ОФ уравнения Риккати.
курсовая работа , добавлен 22.11.2014
Основные направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики, ее связь с числовой и функциональной системой. Особенности изучения, аналитический и графический методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметры.
курсовая работа , добавлен 01.02.2015
Систематизация сведений о линейных и квадратичных зависимостях и связанных с ними уравнениях и неравенствах. Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач. Свойства функции |х|. Уравнения и неравенства, содержащие модули.
дипломная работа , добавлен 25.06.2010
Анализ особенностей разработки вычислительной программы. Общая характеристика метода простых итераций. Знакомство с основными способами решения нелинейного алгебраического уравнения. Рассмотрение этапов решения уравнения методом половинного деления.
9.3.1. Методика введения понятия «Одночлен» и формирование умения находить его числовое значение.
К опорным знаниям относятся понятия алгебраического выражения, произведения алгебраических выражений, множителя (числового и буквенного); к умениям – запись алгебраического выражения по его элементам, выделение элементов заданного алгебраического выражения.
Актуализация знаний осуществляется посредством упражнений.
1. Из данного набора выберите такие алгебраические выражения, которые являются произведениями нескольких множителей: а) 5а 2 b ; б) (7аb 2 + с 2 ):(5m 2 n ); в) 8; г) 5а 6 bb 4 а ; д) ; е) ж)
Указанному условию удовлетворяют алгебраические выражения: 5а 2 b ; 8; 5а 6 bb 4 а ; ; Скорее всего, учащиеся не назовут в числе требуемых алгебраических выражений 8; ; хотя некоторые могут догадаться, что можно представить как с. Взяв несколько алгебраических выражений, следует поупражняться в выделении их числового множителя, буквенных множителей, в записи по данным алгебраическим выражениям новых выражений.
2. Составьте новое алгебраическое выражение, используя выражения 3а 2 b и а . Возможные ответы учащихся: 3а 2 b + а ; 3а 2 b – а ; 3а 2 b а ; 3а 2 b : а .
3. Какие из указанных выражений являются одночленами: а) 5а 3 bсаb 4 ; б) а ; в) г) 3 4 д) 7аb 2 :n ; д) – 5а 6 b с 2 ; е) – а 3 ; ж) з) – mnx . Назовите числовые и буквенные множители одночленов.
4. Запишите несколько алгебраических выражений, являющихся одночленами.
5. Запишите несколько одночленов, отличающихся только числовым коэффициентом.
6. Заполните пропуски: а) 12а 3 b 4 = 2а … b 2 ; б) – 24 m 2 b 7 p 6 = 24bp …
7. Вместо словесной формулировки записать алгебраические выражения: а) удвоенное произведение чисел а и b; б) утроенное произведение квадрата числа а и числа b.
8. Пояснить выражения: а) 2а b ; б) а 5b .
Например, выражение а 5b можно пояснить как: 1) произведение чисел а , 5 и b ;2) произведение чисел а и 5b ;3) площадь прямоугольника со сторонами а и 5b .
Упражнения типа 7 и 8 способствуют и овладению методом решения текстовых задач с помощью уравнений, так как перевод словесных формулировок на язык чисел и букв и словесная интерпретация алгебраических выражений – важные составляющие метода решения задач с помощью уравнений.
9. Найдите числовое значение одночлена: 1) 5mnx при m= 3, n= ; x =8; 2) (– 0,25)а b при а =12; b =8. При выполнении подобных упражнений следует указать особенным учащимся на необходимость использования свойств и законов арифметических действий для рационализации вычислений.
Организация выполнения упражнений может быть различной: решение у доски, самостоятельное решение, комментированное решение, одновременное выполнение упражнений на доске с привлечением слабых учащихся и самостоятельная работа сильных учащихся и т.д.
Для домашнего задания можно использовать упражнения на запись чисел в стандартном виде, которое будет служить мотивом для введения на следующем уроке понятия стандартного вида одночлена.
9.3.2. Обобщение и систематизация знаний по теме: «Прогрессии» .
Воспроизведение и коррекцию опорных знаний можно осуществить посредством упражнений на заполнение таблицы с последующим обсуждением результатов.
Отметим, что арифметическая и геометрическая прогрессии дают пример изучения материала в сходных ситуациях, поэтому важное место в систематизации знаний о прогрессиях должны занять методы противопоставления и сопоставления. Обсуждение узловых вопросов основывается на выяснении причин различия и общего в прогрессиях.
Вопросы для обсуждения.
А). Назовите общее и различное в структуре определения арифметической и геометрической прогрессий.
Б). Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
В). Что называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии? Запишите ее формулу.
Г). Как доказать, что данная последовательность является арифметической (геометрической) прогрессией?
Д). С помощью стрелок покажите связи между указанными определениями, формулами (рис.7):
a | a n = a n -1 + d | а 1 , а 2 , … … | a n = a l +d(n–1) | ||||||
a n , d | |||||||||
a n = (a n -1 + a n +1) | Признак арифметической прогрессии | S n = (a 1 + a 2) n | |||||||
3. Выпишите все определения, формулы по теме «Геометрическая прогрессия» и укажите зависимости между ними.
Упражнения 2 и 3 можно предложить учащимся выполнить самостоятельно с последующим обсуждением результатов всеми учащимися класса. Можно упражнение 2 выполнить коллективно, а упражнение 3 предложить в качестве самостоятельной работы.
Следующие этапы обобщающего урока реализуются с помощью упражнений, выполнение которых требует анализа и использования основных фактов, приводящих к новым связям и отношениям между изученными понятиями и теоремами.
4. Между числами 4 и 9 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии. Сформулируйте и решите аналогичную задачу применительно к арифметической прогрессии.
5. Определите числа a 1 , а 2 , а 3 и а 4 , если a 1 , а 2 , а 3 – последовательные члены геометрической прогрессии, а a 1 , а 3 и а 4 – арифметической прогрессии и а 1 + а 4 = 14, а 2 + а 3 = 12.
7. Могут ли три положительных числа быть одновременно тремя последовательными членами арифметической и геометрической прогрессий?
8. Можно ли утверждать, что арифметическая и геометрическая прогрессии являются функциями? Если да, то к каким видам функций они относятся?
9. Известно, что a n = 2n +1 – арифметическая прогрессия. Что общего и различного в графиках этой прогрессии и линейной функции f (х ) = 2x +1?
10. Можно ли указать последовательности, являющиеся
одновременно арифметической и геометрической прогрессиями?
Формы выполнения упражнений могут быть различны: выполнение упражнений у доски, комментированное решение и т.д. Некоторые из приведенных упражнений могут быть выполнены учащимися самостоятельно, причем выполнение их может осуществляться в зависимости от возможностей школьников с применением карточек, содержащих пропущенные строки либо указания к их выполнению. Очевидно, что, чем ниже возможности школьника, тем обширнее для него должен быть набор рекомендаций (указаний к выполнению).
9.3.3. Проверка, оценка и коррекция знаний, умений и навыков по теме: «Умножение и деление рациональных чисел» .
Проверка знания учащимися фактического материала, умения объяснять сущность основных понятий осуществляется в процессе беседы с последующим выполнением упражнений.
Вопросы для беседы
1. Сформулируйте правило умножения двух чисел с одинаковыми знаками. Приведите примеры.
2. Сформулируйте правило умножения двух чисел с разными знаками. Приведите примеры.
3. Чему равно произведение нескольких чисел, если одно из них нуль? При каких условиях a b = 0?
4. Чему равно произведение а (–1)? Приведите примеры.
5. Как изменится произведение при перемене знака одного из множителей?
6. Сформулируйте переместительный закон умножения.
7. Как формулируется сочетательный закон умножения?
8. Запишите, используя буквы, переместительный и сочетательный законы умножения.
9. Как найти произведение трех, четырех рациональных чисел?
10. Ученик, выполняя упражнение на отыскание произведения 0,25 15 15 (–4), использовал следующую последовательность действий: (0,25 (–4)) 15 15 = (–1) 15 15 = –15 15. Какие законы он использовал?
11. Какой множитель алгебраического выражения называют коэффициентом?
12. Как найти коэффициент произведения, в котором несколько буквенных и числовых множителей?
13. Чему равен коэффициент выражения: a; – a; ab; – ab?
14. Сформулируйте распределительный закон умножения. Запишите его с помощью букв.
15. Какие слагаемые алгебраической суммы называют подобными?
16. Объясните, что значит привести подобные слагаемые.
17. Объясните, с помощью каких законов выполняется приведение подобных слагаемых в выражении 5,2y – 8a – 4,8y – 2а .
18. Каково правило деления рациональных чисел с одинаковыми знаками?
19. По какому правилу выполняют деление рациональных чисел с разными знаками?
20. В каком случае частное двух рациональных чисел равно нулю?
21. В каком порядке выполняют совместные действия с рациональными числами?
Отдельные вопросы могут быть предметом коллективного обсуждения, другие – листов взаимоконтроля учащихся, возможно на основе некоторых вопросов провести математический диктант и т.д.
Последующая серия упражнений направлена на контроль, оценку, коррекцию умений учащихся. Возможны различные формы выполнения упражнений: самостоятельное решение, сопровождающееся самоконтролем учащихся, комментированное решение, выполнение упражнений на доске, устный опрос и т.д. Эта серия охватывает две группы упражнений. Первая группа не требует для выполнения мыслительной деятельности реконструктивного характера, выполнение второй группы предполагает реконструкцию знаний и умений по изучаемой теме.
1. Какие из указанных равенств верные:
1) (–9) (–8) = –72; 2) (–1,4) 0,5 = – 0,7;
3) 12 (–0,2) = –0,24; 4) (–3,2) (–2,1) = 6,72?
Выберите правильный ответ.
Ответ: 1); 2); 3); 4); верных равенств нет.
2. Не выполняя вычислений, определите, какое произведение положительно:
1) 0,26 (–17) (–52) (–34); 2) (–1) (–8) 0,4 (–3,4);
3) (–16) (–0,87) (– ) (–5); 4) 5 (–3,2) 0 (0,7).
Ответ: 1); 2); 3); 4).
3. Укажите выражения, имеющие равные коэффициенты:
1) 9ас и 3x (4y ); 2) (–3) (–8cb ) и 4х 6у;
3) аbс и 2,75xy ; 4) 3,15аbс и 0,001аbс .
4. Какое из выражений содержит подобные слагаемые:
1) 7а – 12аb + 14; 2) – 0,5ху + 2,7kх – 0,5;
3) 3с – 2,7хус – ;4) 72ab – ab + 241?
Укажите правильный ответ.
Ответ: 1); 2); 4); выражений, содержащих подобные слагаемые, нет.
5. Укажите верные равенства: : (–18,2
3. Выберите наибольшее и наименьшее число среди чисел
а
, а
2 , а
3 , а
4 , а
5 , а
6 , а
7 при а
= – 5, а
= 3.
4. Упростите выражение:
1) – х (у – 4) – 2(ху – 3) – 3х; 2) a (b + 3) – 3(2 – ab) + a.
Приведенная совокупность заданий и их последовательность охватывают все уровни усвоения знаний. Выполнение всей совокупности заданий соответствует качественному усвоению знаний и умений и может быть оценено на «отлично». Усвоению знаний и умений на уровне их применения в ситуациях, не требующих реконструкции знаний и умений, соответствуют упражнения первой группы. Правильные ответы на вопросы характеризуют усвоение знаний на уровне воспроизведения. Оценка «удовлетворительно» может быть выставлена ученику, выполнившему большинство упражнений первой группы. Оценка «хорошо» соответствует правильно выполненному большинству упражнений первой и второй групп.
Задания
1. Выберите конкретную тему коррекционно-развивающего курса алгебры основной школы. Изучите соответствующие разделы программы и учебника. Выявите методические особенности изучения темы. Разработайте фрагменты методики обучения теме. Подготовьте комплект карточек для коррекции знаний учащихся.
2. Посетите несколько уроков алгебры одного из специальных (коррекционных) учреждений VII вида вашего региона. Проведите анализ одного урока с точки зрения его образовательной, коррекционно-развивающей, воспитательной и практической направленности.
3. Одной из целей обучения математике является формирование математической культуры. Вычислительная культура – один из компонентов математической культуры. Предложите ваш вариант трактовки понятия «вычислительная культура». На каких этапах обучения математике особенных учащихся, при обучении какому содержанию возможна и целесообразна постановка цели «формирование вычислительной культуры»? Приведите конкретный пример с соответствующей системой заданий. Составьте список литературы по вопросам развития понятия о числе для внеклассного чтения особенных учащихся. Укажите, в каких классах она может быть использована.
ГЛАВА 10. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ КОРРЕКЦИОННО-РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ в основной школе .
Лекция 7. Понятие периметра многоугольника
1. Методика рассмотрения элементов алгебры.
2. Числовые равенства и неравенства.
3. Подготовка к ознакомлению с переменной. Элементы буквенной символики.
4. Неравенства с переменной.
5. Уравнение
1. Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий как: выражение, равенство, неравенство, уравнение. Ознакомление с использованием буквы как символа обозначающего любое число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих на начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями в переменной функций. Более раннее ознакомление с использованием алгебраического способа решения задач позволяет внести серьезнее усовершенствования во всю систему обучения детей решению разнообразных текстовых задач.
Задачи : 1.Сформировать у учащихся умения читать, записывать и сравнивать числовые выражения.2. Познакомить учащихся с правилами выполнения порядка действий в числовых выражениях и выработать умение вычислять значения выражений в соответствии с этими правилами.3. Сформировать у учащихся умение читать, записывать буквенные выражения и вычислять их значения при данных значениях букв.4. Познакомить учащихся с уравнениями 1-ой степени, содержащее действия первой и второй ступени, сформировать умение решать их способом подбора, а также на основе знания взаимосвязи м/у компонентами и результатом арифметический действий.
Программой начальных классов предусматривается знакомство учащихся с использования буквенной символики, решений элементарных уравнений первой степени с одним неизвестным и применений их к задачам в одно действие. Эти вопросы изучаются в тесной связи с арифметическим материалом, что способствует формированию числа и арифметических действий.
С первых дней обучения начинается работа по формированию у учащихся понятий равенства. Первоначально дети учатся сравнивать множество предметов уравнивать неравные группы, преобразовывать равные группы в неравные. Уже при изучении десятка чисел вводятся упражнения сравнения. Сначала они выполняются с опоры на предметы.
Понятие о выражении формируется у младших школьников в тесной связи с понятиями об арифметических действиях. В методике работы над выражениями предусматривается два этапа. На 1-формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на 2- о сложных (сумма произведения и числа, разность двух частных и т. п.). Вводятся термины «математическое выражение» и «значение математического выражения» (без определений). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются метаматематическими выражениями. При изучении арифметических действий включаются упражнения на сравнения выражений, их делят на 3 группы. Изучение правил порядка действий. Цель на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод. Тождественное преобразование выражения - это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.). При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется.
2. Числовые выражения с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равен-ми и неравен-ми. Числовые равенства и неравенства делятся на «верные» и «неверные». Задачи: сравнивать числа, сравнивать арифметические выражения, решать простейшие неравенства с одним неизвестным, переходить от неравенства к равенству и от равенства к неравенству
1. Упражнение, направленное на уточнение знаний учащихся об арифметических действиях и на их применение. При ознакомлении учащихся с арифметическими действиями сравниваются выражение вида 5+3 и 5-3; 8*2 и 8/2. Сначала выражения сравниваются путем нахождения значений каждого и сравнения полученных чисел. В дальнейшем задание выполняется ни основе того, что сумма двух чисел больше их разности, а произведение - больше их частного; вычисление используется только для проверки результата. Сравнение выражений вида 7+7+7 и 7*3 проводится для закрепления знаний учащихся о связи сложения и умножения.
В процессе сравнения учащиеся знакомятся с порядком выполнения арифметических действий. Сначала рассматриваются выражения, содержание скобки, вида 16 - (1+6).
2. После этого рассматривается порядок действий в выражениях без скобок содержащих действия одной и двух степеней. Эти значения учащиеся усваивают в процессе выполнения примеров. Сначала рассматриваются порядок действий в выражениях, содержащих действия одной ступени, например: 23 + 7 - 4 , 70: 7 * 3. При этом дети должны усвоить, что если выражений есть только сложение и вычитания или только умножение и деление, то они выполняются в том порядке в каком записаны. Затем вводятся выражения, содержащие действия обеих ступеней. Учащимся сообщается, что в таких выражениях надо сначала выполнить по порядку действия умножения и деления, а затем сложение и вычитание, например: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Чтобы убедить учащихся в необходимости соблюдения порядка действий, полезно выполнить их в одном и тоже выражении в другой последовательности и сравнить полученные результаты.
3. Упражнения, при выполнении которые учащиеся усваивают и закрепляют знания по соотношению между компонентами и результатами арифметических действий. Они включаются уже при изучении чисел десятка.
В этой группе упражнений учащиеся знакомятся со случаями изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Сравниваются выражения, в которых изменяется одно из слагаемых (6+3 и 6+4) или уменьшаемое 8-2 и 9-2 и т.д. Подобные задания включаются также при изучении табличного умножения и деления и выполняются с помощью вычислений (5*3 и 6*3, 16:2 и 18:2) и т.д. В дальнейшем можно сравнивать эти выражения без опоры на вычисления.
Рассмотренные упражнения тесно связаны с программным материалом и способствует его усвоению. Наряду с этим в процессе сравнения чисел и выражений учащиеся получают первые представления о равенстве и неравенстве .
Так, в 1 классе, где ещё термины «равенство» и «неравенство» не используются, учитель может при проверке правильности выполненных детьми вычислений задавать вопросы в такой форме: «Коля прибавил к шести восемь и получил 15. Верное это решение или неверное?», или предлагать детям упражнения в которых требуется проверить решение данных примеров, найти верные записи и т.д. Аналогично при рассмотрении числовых неравенств вида 5<6,8>4 и более сложных учитель может задавать вопрос в такой форме: «Верны ли эти записи?», а после введения неравенства – «Верны ли эти неравенства?».
Начиная с 1 класса дети знакомятся и с преобразованиями числовых выражений, выполняемое на основе применения изученных элементов арифметической теории(нумерации, смысла действий и другое). Например, на основе знания нумерации, разрядного состава чисел учащиеся могут представить любое число в виде суммы его разрядных слагаемых. Это умение используется при рассмотрении преобразования выражений в связи с выражением многих вычислительных приемов.
В связи с подобными преобразованиями уже в I классе дети встречаются с «цепочкой» равенств.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
1. Назовите геометрические понятия, которые изучаются в начальной школе. Почему именно они являются предметом изучения?
2. Составляет ли геометрический материал в начальном курсе математики самостоятельный раздел? Почему?
3. Опишите методику формирования у учащихся геометрических понятий: отрезок, треугольник, угол, прямоугольник.
4. Какие возможности для развития логического мышления учащихся предоставляет изучение геометрического материала? Приведите примеры.
5. С какими отношениями знакомятся учащиеся при изучении геометрического материала?
6. Какую функцию в начальной школе выполняют задачи на построение?
7. Приведите примеры типичных для начальной школы задач на построение.
8. Из каких этапов состоит решение задач на построение? Покажите, в какой мере общая схема решения задач на построение может использоваться в начальных классах.
Лекция 14. Методика изучения алгебраического материала
1. Основные понятия математики.
2. Общие вопросы методики изучения алгебраическогоматериала в курсе математики начальных классов.
3. Числовые выражения. Изучение правил порядка выполнения арифметических действий.
4. Выражения с переменной.
5. Методика изучения уравнений.
6. Методика изучения числовых равенств и числовых неравенств.
7. Ознакомление учащихся с функциональной зависимостью.
Литература: (1) Глава 4; (2) § 27, 37, 52; (5) - (12).
Основные понятия математики
Числовое выражение в общем виде можно определить так:
1) Каждое число является числовым выражением.
2) Если А и В - числовые выражения, то (А) + (В), (А) - (В), (А) (В), (А): (В); (А)⁽ⁿ⁾ и f(А), где f (х) - некоторая числовая функция, тоже являются числовыми выражениями.
Если в числовом выражении можно выполнить все указанные в нем действия, то полученное в результате действительное число называют числовым значением данного числового выражения, а о числовом выражении говорят, что оно имеет смысл. Иногда числовое выражение не имеет числового значения, т.к. не все указанные в нем действия выполнимы; о таком числовом выражении говорят, что оно не имеет (лишено) смысла. Так, следующие числовые выражения (5 - 3) : (2 – 8:4); √7 – 2 · 6 и (7 - 7)° не имеют смысла.
Таким образом, любое числовое выражение либо имеет одно числовое значение, либо лишено смысла. -
Принят следующий порядок действий при вычислении значения числового выражения:
1. Сначала выполняются все операции внутри скобок. Если имеется несколько пар скобок, вычисления начинаются с самых внутренних.
2. Внутри скобок порядок вычислений определяется приоритетом операций: первыми вычисляются значения функций, затем выполняется возведение в степень, потом - умножение или деление, последними - сложение и вычитание.
3. При наличии нескольких операций одного приоритета вычисления выполняются последовательно слева направо.
Числовое равенство - два числовых выражения А и В, соединенные знаком равенства ("=").
Числовое неравенство - два числовых выражения А и В, соединенных знаком неравенства ("<", ">", "≤" или "≥").
Выражение, содержащее переменную и обращающееся в число выражение при замене переменной ее значением, называетсявыражением с переменной или числовой формой.
Уравнение с одной переменной (с одним неизвестным) – предикат вида f₁(х) = f₂(х), где х ∊Х, где f₁(х) и f₂(х) - выражения с переменной х, определенные на множестве X.
Всякое значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем (решение уравнения). Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что их нет. Множество всех корней уравнения (или множество истинности Т предиката f₁(х) = f₂(х)) называют множеством решений уравнения
Множество значенийх, при которых определены обе части уравнения, называют областью допустимыхзначений (ОДЗ) переменной х иобластью определения уравнения.
2. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала
Начальный курс математики наряду с основным арифметическим материалом включает в себя и элементы алгебры, представленные следующими понятиями:
Числовые выражения;
Выражения с переменной;
Числовые равенства и неравенства;
Уравнения.
Целью включения элементов алгебры в курс математики начальных классов является:
Более полно и более глубоко рассматривать арифметический материал;
Доводить обобщения учащихся до более высокого уровня;
Создать предпосылки для более успешного изучения алгебры в среднем и старшем звене школы.
Алгебраический материал не выделен в программе отдельной темой. Он распределен по всему курсу математики начальных классов отдельными вопросами. Изучаются эти вопросы, начиная с 1 класса, параллельно с изучением основного арифметического материала. Последовательность рассмотрения предложенных программой вопросов определяется учебником.
Усвоение изучаемых алгебраических понятий в начальных классах предполагает введение соответствующей терминологии и выполнение простейших операций без построения формально логических определений.
- Молитвы от блуда Кому помолиться от блуда в семье
- Сила позитивного мышления — Пил Норман Винсент Пил норман сила позитивного мышления читать pdf
- Литературный вечер "жизнь и творчество марины ивановны цветаевой" Лит вечер посвященный цветаевой в библиотеке
- Страховые компании с отозванными лицензиями Ли лицензия у страховой