Matemaatiline pendel: periood, kiirendus ja valemid. Pendli saladused Arvutused energia jäävuse seaduse alusel
Matemaatiline pendel kutsuma materjali punkti, mis on riputatud vedrustuse küljes oleva kaaluta ja venimatu keerme küljes ja asub gravitatsiooni (või muu jõu) väljas.
Uurime matemaatilise pendli võnkumisi inertsiaalses tugisüsteemis, mille suhtes tema vedrustuspunkt on puhkeasendis või liigub ühtlaselt sirgjooneliselt. Jätame tähelepanuta õhutakistuse jõu (ideaalne matemaatiline pendel). Esialgu on pendel puhkeasendis C. Sel juhul on sellele mõjuv gravitatsioonijõud \(\vec F\) ja keerme elastsusjõud \(\vec F_(ynp)\) vastastikku. kompenseeritud.
Tõstame pendli tasakaaluasendist välja (kallutades seda näiteks asendisse A) ja vabastame ilma algkiiruseta (joon. 13.11). Sel juhul jõud \(\vec F\) ja \(\vec F_(ynp)\) ei tasakaalusta üksteist. Pendlile mõjuv gravitatsiooni tangentsiaalne komponent \(\vec F_\tau\) annab sellele tangentsiaalse kiirenduse \(\vec a_\tau\) (matemaatilise pendli trajektoori puutuja suunas suunatud kogukiirenduse komponent ) ja pendel hakkab liikuma tasakaaluasendisse absoluutväärtuses suureneva kiirusega. Gravitatsiooni tangentsiaalne komponent \(\vec F_\tau\) on seega taastav jõud. Raskusjõu normaalkomponent \(\vec F_n\) on suunatud piki keerme vastu elastsusjõudu \(\vec F_(ynp)\). Jõudude \(\vec F_n\) ja \(\vec F_(ynp)\) resultant annab pendlile normaalse kiirenduse \(~a_n\), mis muudab kiirusvektori suunda ja pendel liigub mööda kaaret ABCD.
Mida lähemale jõuab pendel tasakaaluasendile C, seda väiksemaks muutub tangentsiaalkomponendi \(~F_\tau = F \sin \alpha\) väärtus. Tasakaalusendis on see võrdne nulliga ja kiirus saavutab maksimaalse väärtuse ning pendel liigub inertsist edasi, tõustes ülespoole suunatud kaarega. Sel juhul on komponent \(\vec F_\tau\) suunatud kiiruse vastu. Paindenurga a suurenemisega suureneb jõumoodul \(\vec F_\tau\) ja kiirusmoodul väheneb ning punktis D pendli kiirus võrdub nulliga. Pendel peatub hetkeks ja hakkab seejärel liikuma tasakaaluasendile vastupidises suunas. Olles sellest uuesti inertsi abil läbinud, jõuab pendel selle liikumist aeglustades punkti A (hõõrdumine puudub), s.t. lõpetab täieliku hoo. Pärast seda korratakse pendli liikumist juba kirjeldatud järjekorras.
Saadame võrrandi, mis kirjeldab matemaatilise pendli vabavõnkumisi.
Olgu pendel antud ajahetkel punktis B. Selle nihe S tasakaaluasendist sel hetkel on võrdne kaare SV pikkusega (st S = |SV|). Tähistagem vedrustuse keerme pikkust l, ja pendli mass on m.
Jooniselt 13.11 on selge, et \(~F_\tau = F \sin \alpha\), kus \(\alpha =\frac(S)(l).\) Väikeste nurkade korral \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому
\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)
Miinusmärk asetatakse sellesse valemisse, kuna raskusjõu tangentsiaalne komponent on suunatud tasakaaluasendisse ja nihet arvestatakse tasakaaluasendist.
Vastavalt Newtoni teisele seadusele \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Projekteerime selle võrrandi vektorkogused matemaatilise pendli trajektoori puutuja suunale
\(~F_\tau = ma_\tau .\)
Nendest võrranditest saame
\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - matemaatilise pendli dünaamiline liikumisvõrrand. Matemaatilise pendli tangentsiaalne kiirendus on võrdeline selle nihkega ja on suunatud tasakaaluasendisse. Selle võrrandi saab kirjutada kui\. Võrreldes seda harmooniliste võnkumiste võrrandiga \(~a_x + \omega^2x = 0\) (vt § 13.3), võime järeldada, et matemaatiline pendel teostab harmoonilisi võnkumisi. Ja kuna pendli vaadeldavad võnkumised toimusid ainult sisemiste jõudude mõjul, siis olid need pendli vabavõnked. Seega matemaatilise pendli vabavõnkumised väikeste kõrvalekalletega on harmoonilised.
Tähistame \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) Kust \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) on pendli tsükliline sagedus.
Pendli võnkeperiood on \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Seetõttu
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)
Seda väljendit nimetatakse Huygensi valem. See määrab matemaatilise pendli vabavõnkumiste perioodi. Valemist järeldub, et tasakaaluasendist kõrvalekaldumise väikeste nurkade korral matemaatilise pendli võnkeperiood: 1) ei sõltu tema massist ja võnkumiste amplituudist; 2) võrdeline pendli pikkuse ruutjuurega ja pöördvõrdeline raskuskiirenduse ruutjuurega. See on kooskõlas matemaatilise pendli väikeste võnkumiste eksperimentaalsete seadustega, mille avastas G. Galileo.
Rõhutame, et selle valemi abil saab perioodi arvutada, kui samaaegselt on täidetud kaks tingimust: 1) pendli võnkumised peavad olema väikesed; 2) pendli riputuspunkt peab olema puhkeasendis või liikuma ühtlaselt sirgjooneliselt selle inertsiaalse tugisüsteemi suhtes, milles see asub.
Kui matemaatilise pendli riputuspunkt liigub kiirendusega \(\vec a\), siis muutub keerme tõmbejõud, mis toob kaasa taastava jõu muutumise ja sellest tulenevalt ka võnkesageduse ja perioodi muutumise. Nagu arvutused näitavad, saab pendli võnkeperioodi sel juhul arvutada valemi abil
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)
kus \(~g"\) on pendli "efektiivne" kiirendus mitteinertsiaalses tugisüsteemis. See on võrdne gravitatsioonikiirenduse \(\vec g\) ja sellele vastandliku vektori geomeetrilise summaga vektor \(\vec a\), st seda saab arvutada valemi abil
\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)
Kirjandus
Aksenovitš L. A. Füüsika keskkoolis: teooria. Ülesanded. Testid: Õpik. toetus üldharidust andvatele asutustele. keskkond, haridus / L. A. Aksenovitš, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - Lk 374-376.
Matemaatiliseks pendliks (teine nimi on ostsillaator) nimetatakse mehaanilist süsteemi, mis koosneb materiaalsest punktist (kehast), mis ripub venitamatul kaaluta niidil (selle mass on keha raskusega võrreldes tühine) ühtlases gravitatsiooniväljas. Seda seadet on ka teist tüüpi. Keerme asemel võib kasutada kaaluta varda. Matemaatiline pendel võib selgelt paljastada paljude huvitavate nähtuste olemuse. Kui vibratsiooni amplituud on väike, nimetatakse selle liikumist harmooniliseks.
Mehaanilise süsteemi ülevaade
Selle pendli võnkeperioodi valemi tuletas Hollandi teadlane Huygens (1629-1695). See I. Newtoni kaasaegne oli sellest mehaanilisest süsteemist väga huvitatud. Aastal 1656 lõi ta esimese pendlimehhanismiga kella. Nad mõõtsid aega nende aegade kohta erakordse täpsusega. Sellest leiutisest sai suur etapp füüsiliste katsete ja praktiliste tegevuste arendamisel.
Kui pendel on tasakaaluasendis (rippub vertikaalselt), tasakaalustab see niidi pingutusjõuga. Lame pendel pikendamatul keermel on kahe vabadusastmega süsteem koos siduriga. Kui muudate ainult ühte komponenti, muutuvad kõigi selle osade omadused. Seega, kui niit asendatakse vardaga, on sellel mehaanilisel süsteemil ainult 1 vabadusaste. Millised omadused on matemaatilisel pendlil? Selles kõige lihtsamas süsteemis tekib kaos perioodiliste häirete mõjul. Juhul, kui vedrustuspunkt ei liigu, vaid võngub, on pendlil uus tasakaaluasend. Kiirete üles-alla võnkumiste korral omandab see mehaaniline süsteem stabiilse "tagurpidi" asendi. Sellel on ka oma nimi. Seda nimetatakse Kapitsa pendliks.
Pendli omadused
Matemaatilisel pendlil on väga huvitavad omadused. Neid kõiki kinnitavad teadaolevad füüsikaseadused. Mis tahes muu pendli võnkeperiood sõltub erinevatest asjaoludest, nagu keha suurus ja kuju, vedrustuspunkti ja raskuskeskme vaheline kaugus ning massi jaotus selle punkti suhtes. Seetõttu on keha rippumisperioodi määramine üsna keeruline ülesanne. Palju lihtsam on arvutada matemaatilise pendli perioodi, mille valem on toodud allpool. Sarnaste mehaaniliste süsteemide vaatluste tulemusena saab kindlaks teha järgmised mustrid:
Kui pendli sama pikkuse säilitamisel riputame erinevad raskused, siis on nende võnkeperiood sama, kuigi nende massid on väga erinevad. Järelikult ei sõltu sellise pendli periood koormuse massist.
Kui süsteemi käivitamisel painutatakse pendel mitte liiga suure, vaid erinevate nurkade all, siis hakkab see võnkuma sama perioodiga, kuid erineva amplituudiga. Kuni kõrvalekalded tasakaalukeskmest ei ole liiga suured, on võnked nende kujul harmoonilistele üsna lähedased. Sellise pendli periood ei sõltu kuidagi võnkeamplituudist. Seda antud mehaanilise süsteemi omadust nimetatakse isokronismiks (tõlkes kreeka keelest "chronos" - aeg, "isos" - võrdne).
Matemaatilise pendli periood
See näitaja tähistab perioodi Hoolimata keerulisest sõnastusest on protsess ise väga lihtne. Kui matemaatilise pendli keerme pikkus on L ja vabalangemise kiirendus on g, siis on see väärtus võrdne:
Väikeste omavõnkumiste periood ei sõltu kuidagi pendli massist ja võnkumiste amplituudist. Sel juhul liigub pendel etteantud pikkusega matemaatilisena.
Matemaatilise pendli võnkumised
Matemaatiline pendel võngub, mida saab kirjeldada lihtsa diferentsiaalvõrrandiga:
x + ω2 sin x = 0,
kus x (t) on tundmatu funktsioon (see on radiaanides väljendatud kõrvalekalde nurk alumisest tasakaaluasendist hetkel t); ω on positiivne konstant, mis määratakse pendli parameetrite järgi (ω = √g/L, kus g on raskuskiirendus ja L on matemaatilise pendli (vedrustuse) pikkus.
Väikeste vibratsioonide võrrand tasakaaluasendi lähedal (harmooniline võrrand) näeb välja järgmine:
x + ω2 sin x = 0
Pendli võnkuvad liigutused
Matemaatiline pendel, mis teeb väikseid võnkumisi, liigub mööda sinusoidi. Teist järku diferentsiaalvõrrand vastab kõigile sellise liikumise nõuetele ja parameetritele. Trajektoori määramiseks on vaja määrata kiirus ja koordinaat, millest seejärel määratakse sõltumatud konstandid:
x = A patt (θ 0 + ωt),
kus θ 0 on algfaas, A on võnkeamplituud, ω on liikumisvõrrandist määratud tsükliline sagedus.
Matemaatiline pendel (suurte amplituudide valemid)
See mehaaniline süsteem, mis võngub märkimisväärse amplituudiga, allub keerukamatele liikumisseadustele. Sellise pendli jaoks arvutatakse need järgmise valemi järgi:
sin x/2 = u * sn(ωt/u),
kus sn on Jacobi siinus, mis u jaoks< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2)/2ω2,
kus ε = E/mL2 (mL2 on pendli energia).
Mittelineaarse pendli võnkeperiood määratakse järgmise valemi abil:
kus Ω = π/2 * ω/2K(u), K on elliptiline integraal, π - 3,14.
Pendli liikumine mööda separatrit
Separatriks on dünaamilise süsteemi trajektoor, millel on kahemõõtmeline faasiruum. Matemaatiline pendel liigub mööda seda mitteperioodiliselt. Lõpmatult kaugel ajahetkel kukub see oma kõrgeimast asendist nullkiirusega küljele, seejärel saavutab selle järk-järgult. Lõpuks see peatub, naases algasendisse.
Kui pendli võnkumiste amplituud läheneb arvule π , see näitab, et liikumine faasitasandil läheneb separatrixile. Sellisel juhul käitub mehaaniline süsteem väikese perioodilise ajava jõu mõjul kaootiliselt.
Kui matemaatiline pendel kaldub tasakaaluasendist kõrvale teatud nurga φ võrra, tekib tangentsiaalne raskusjõud Fτ = -mg sin φ. Miinusmärk tähendab, et see tangentsiaalne komponent on suunatud pendli läbipainde vastassuunas. Kui tähistada x-ga pendli nihet mööda ringkaare raadiusega L, on selle nurknihe võrdne φ = x/L. Teine seadus, mis on mõeldud projektsioonidele ja jõule, annab soovitud väärtuse:
mg τ = Fτ = -mg sin x/L
Selle seose põhjal on selge, et see pendel on mittelineaarne süsteem, kuna jõud, mis kipub seda tasakaaluasendisse tagasi viima, on alati võrdeline mitte nihkega x, vaid patuga x/L.
Ainult siis, kui matemaatiline pendel sooritab väikseid võnkumisi, on see harmooniline ostsillaator. Teisisõnu, sellest saab mehaaniline süsteem, mis on võimeline teostama harmoonilisi võnkumisi. See lähenemine kehtib praktiliselt 15-20° nurkade puhul. Suure amplituudiga pendli võnked ei ole harmoonilised.
Newtoni seadus pendli väikeste võnkumiste kohta
Kui antud mehaaniline süsteem teostab väikseid võnkumisi, näeb Newtoni 2. seadus välja järgmine:
mg τ = Fτ = -m* g/L* x.
Selle põhjal võime järeldada, et matemaatiline pendel on võrdeline selle nihkega miinusmärgiga. See on seisund, mille tõttu süsteem muutub harmooniliseks ostsillaatoriks. Nihke ja kiirenduse vahelise proportsionaalsuse koefitsiendi moodul on võrdne ringsageduse ruuduga:
ω02 = g/l; ω0 = √ g/L.
See valem peegeldab seda tüüpi pendli väikeste võnkumiste loomulikku sagedust. Selle põhjal
T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.
Arvutused energia jäävuse seaduse alusel
Pendli omadusi saab kirjeldada ka energia jäävuse seaduse abil. Tuleb arvestada, et pendel gravitatsiooniväljas on võrdne:
E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2
Kogusumma võrdub kineetilise või maksimaalse potentsiaaliga: Epmax = Ekmsx = E
Pärast energia jäävuse seaduse kirjutamist võtke võrrandi parema ja vasaku külje tuletis:
Kuna konstantsete suuruste tuletis võrdub 0, siis (Ep + Ek)" = 0. Summa tuletis võrdub tuletiste summaga:
Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,
seega:
Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.
Viimase valemi põhjal leiame: α = - g/L*x.
Matemaatilise pendli praktiline rakendamine
Kiirendus varieerub sõltuvalt laiuskraadist, kuna maakoore tihedus ei ole kogu planeedil ühesugune. Seal, kus esineb suurema tihedusega kivimeid, on see veidi kõrgem. Geoloogiliseks uurimiseks kasutatakse sageli matemaatilise pendli kiirendust. Seda kasutatakse erinevate mineraalide otsimiseks. Lihtsalt pendli võnkumiste arvu loendades saab Maa sisikonnas tuvastada kivisütt või maaki. See on tingitud asjaolust, et selliste fossiilide tihedus ja mass on suurem kui nende all olevatel lahtistel kivimitel.
Matemaatilist pendlit kasutasid sellised silmapaistvad teadlased nagu Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutarchos, Archimedes. Paljud neist uskusid, et see mehaaniline süsteem võib mõjutada inimese saatust ja elu. Archimedes kasutas oma arvutustes matemaatilist pendlit. Tänapäeval kasutavad paljud okultistid ja selgeltnägijad seda mehaanilist süsteemi oma ennustuste täitmiseks või kadunud inimeste otsimiseks.
Ka kuulus prantsuse astronoom ja loodusteadlane K. Flammarion kasutas oma uurimistöös matemaatilist pendlit. Ta väitis, et selle abil suutis ta ennustada uue planeedi avastamist, Tunguska meteoriidi ilmumist ja muid olulisi sündmusi. Teise maailmasõja ajal tegutses Saksamaal (Berliinis) spetsialiseerunud Pendliinstituut. Tänapäeval tegeleb samalaadse uurimistööga Müncheni parapsühholoogia instituut. Selle asutuse töötajad nimetavad oma tööd pendliga "radiesteesiaks".
Joonisel fig. 2, on erineva kuju ja suurusega pikendatud korpused, mis võnguvad ümber riputus- või tugipunkti. Selliseid süsteeme nimetatakse füüsilisteks pendliteks. Tasakaaluseisundis, kui raskuskese on vertikaalsel vedrustuspunktist (või tugipunktist) allpool, tasakaalustatakse gravitatsioonijõud (deformeerunud pendli elastsusjõudude kaudu) toe reaktsiooniga. Tasakaaluasendist kõrvalekaldumisel määravad gravitatsiooni- ja elastsusjõud igal ajahetkel pendli nurkkiirenduse, st määravad pendli liikumise (võnkumise) olemuse. Vaatleme nüüd võnkumiste dünaamikat üksikasjalikumalt, kasutades lihtsaimat näidet nn matemaatilisest pendlist, mis kujutab endast väikest raskust, mis on riputatud pikale peenele niidile.
Matemaatilise pendli puhul võime jätta tähelepanuta keerme massi ja raskuse deformatsiooni, st eeldada, et pendli mass on koondunud raskusesse ja elastsusjõud on koondunud keermesse, mida peetakse venimatuks. . Vaatame nüüd, milliste jõudude mõjul meie pendel võngub pärast seda, kui ta on mingil viisil tasakaaluasendist (tõuge, läbipaine) eemaldatud.
Kui pendel on tasakaaluasendis, tasakaalustab selle raskusele mõjuv ja vertikaalselt allapoole suunatud gravitatsioonijõud keerme tõmbejõuga. Paindunud asendis (joonis 15) mõjub raskusjõud piki keerme suunatud tõmbejõu suhtes nurga all. Jaotame gravitatsioonijõu kaheks komponendiks: keerme suunas () ja sellega risti (). Pendli võnkumisel ületab keerme tõmbejõud veidi komponenti – tsentripetaaljõu võrra, mis sunnib koormust kaarekujuliselt liikuma. Komponent on alati suunatud tasakaaluasendisse; tundub, et ta püüab seda olukorda taastada. Seetõttu nimetatakse seda sageli taastavaks jõuks. Mida rohkem pendlit kõrvale kaldutakse, seda suurem on absoluutväärtus.
Riis. 15. Jõu taastamine pendli tasakaaluasendist kõrvalekaldumisel
Nii et niipea, kui pendel hakkab oma võnkumiste ajal tasakaaluasendist kõrvale kalduma, näiteks paremale, ilmub jõud, mis aeglustab selle liikumist, mida rohkem, seda kaugemale see kaldub. Lõppkokkuvõttes peatab see jõud ta ja tõmbab ta tagasi tasakaaluasendisse. Kuid sellele positsioonile lähenedes jääb jõud järjest väiksemaks ja tasakaaluasendis ise muutub nulliks. Seega läbib pendel tasakaaluasendit inertsi abil. Niipea, kui see hakkab vasakule kalduma, ilmub jälle jõud, mis kasvab koos suureneva kõrvalekaldega, kuid on nüüd suunatud paremale. Liikumine vasakule hakkab jälle aeglustuma, siis pendel peatub hetkeks, misjärel algab kiirendatud liikumine paremale jne.
Mis juhtub pendli energiaga selle võnkumisel?
Perioodi jooksul kaks korda - suurimate kõrvalekallete korral vasakule ja paremale - pendel peatub, st nendel hetkedel on kiirus null, mis tähendab, et kineetiline energia on null. Kuid just nendel hetkedel tõstetakse pendli raskuskese oma suurimale kõrgusele ja seetõttu on potentsiaalne energia suurim. Vastupidi, tasakaaluasendi läbimise hetkedel on potentsiaalne energia madalaim ning kiirus ja kineetiline energia saavutavad suurima väärtuse.
Eeldame, et pendli hõõrdejõude õhu vastu ja hõõrdumist vedrustuspunktis saab tähelepanuta jätta. Siis vastavalt energia jäävuse seadusele on see maksimaalne kineetiline energia täpselt võrdne potentsiaalse energia ülemääraga asendis, kus tasakaaluasendis on suurim kõrvalekalle potentsiaalsest energiast.
Niisiis, kui pendel võngub, toimub kineetilise energia perioodiline üleminek potentsiaalseks energiaks ja vastupidi ning selle protsessi periood on poole pikem kui pendli enda võnkeperiood. Pendli koguenergia (potentsiaalse ja kineetilise energia summa) on aga kogu aeg konstantne. See on võrdne energiaga, mis anti pendlile käivitamisel, olenemata sellest, kas see on potentsiaalse energia kujul (esialgne läbipaine) või kineetilise energia kujul (esialgne tõuge).
See kehtib kõigi võnkumiste korral, kui puudub hõõrdumine või muud protsessid, mis võtavad võnkesüsteemist energiat või annavad sellele energiat. Seetõttu jääb amplituud muutumatuks ja selle määrab tõuke algne läbipaine või tõukejõud.
Samad muutused taastavas jõus ja samasuguse energiaülekande saame siis, kui palli keermele riputamise asemel paneme selle kerakujulises tassis vertikaaltasapinnas või mööda ümbermõõtu kaardus soones veerema. Sel juhul võtab niidi pinge rolli üle tassi või renni seinte surve (jällegi jätame tähelepanuta kuuli hõõrdumise seinte ja õhu vastu).
Matemaatiline pendel.
Matemaatiline pendel on materiaalne punkt, mis ripub pikendamatul kaaluta niidil, mis sooritab gravitatsiooni mõjul võnkuvat liikumist ühel vertikaaltasandil.
Sellist pendlit võib pidada õhukesel niidil riputatud raskeks palliks massiga m, mille pikkus l on kuuli suurusest palju suurem. Kui see kaldub vertikaaljoonest kõrvale nurga α võrra (joon. 7.3.), siis jõu F mõjul, mis on üks raskuse P komponentidest, võngub. Teist, piki niiti suunatud komponenti ei võeta arvesse, sest on tasakaalustatud niidi pingega. Väikeste nihkenurkade ja siis saab x-koordinaati mõõta horisontaalsuunas. Jooniselt 7.3 on selgelt näha, et keermega risti olev kaalukomponent on võrdne
Jõumoment punkti O suhtes: ja inertsimoment:
M = FL .
Inertsimoment J sel juhul
Nurkkiirendus:
Neid väärtusi arvesse võttes on meil:
(7.8) |
Tema otsus
,
kus ja | (7.9) |
Nagu näeme, sõltub matemaatilise pendli võnkeperiood selle pikkusest ja raskuskiirendusest ning ei sõltu võnkumiste amplituudist.
Füüsiline pendel.
Füüsikaline pendel on jäik keha, mis on fikseeritud fikseeritud horisontaalteljele (vedrustustelg), mis ei läbi raskuskeset ja mis võnkub ümber selle telje gravitatsiooni mõjul. Erinevalt matemaatilisest pendlist ei saa sellise keha massi pidada punktitaoliseks.
Väikeste läbipaindenurkade α (joon. 7.4) korral teostab füüsikaline pendel ka harmoonilisi võnkumisi. Eeldame, et füüsilise pendli raskus on rakendatud selle raskuskeskmele punktis C. Jõud, mis pendli tagasi tasakaaluasendisse viib, on antud juhul gravitatsiooni komponent – jõud F.
Paremal pool olev miinusmärk tähendab, et jõud F on suunatud kahaneva nurga α poole. Võttes arvesse nurga α väiksust
Matemaatiliste ja füüsikaliste pendlite liikumisseaduse tuletamiseks kasutame pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrandit
Jõumoment: ei saa selgesõnaliselt määrata. Võttes arvesse kõiki füüsikalise pendli võnkumiste algses diferentsiaalvõrrandis sisalduvaid suurusi, on järgmine kuju:
Matemaatika pendel on materiaalne punkt, mis ripub kaalutu ja venimatu niidi küljes, mis asub Maa gravitatsiooniväljas. Matemaatiline pendel on idealiseeritud mudel, mis kirjeldab reaalset pendlit õigesti ainult teatud tingimustel. Tõelist pendlit võib pidada matemaatiliseks, kui niidi pikkus on palju suurem kui sellele riputatud keha suurus, niidi mass on keha massiga võrreldes tühine ja niidi deformatsioonid on nii väikesed. et need võib üldse tähelepanuta jätta.
Võnkesüsteemi moodustavad sel juhul niit, selle külge kinnitatud keha ja Maa, ilma milleta see süsteem ei saaks pendlina toimida.
Kus A X – kiirendus, g - raskuskiirendus, X- nihe, l– pendli keerme pikkus.
Seda võrrandit nimetatakse matemaatilise pendli vabavõnkumiste võrrand. See kirjeldab kõnealust vibratsiooni õigesti ainult siis, kui on täidetud järgmised eeldused:
2) arvestatakse ainult väikese pöördenurgaga pendli väikseid võnkeid.
Mis tahes süsteemide vaba vibratsiooni kirjeldatakse kõigil juhtudel sarnaste võrranditega.
Matemaatilise pendli vabavõnkumiste põhjused on järgmised:
1. Pinge ja gravitatsiooni mõju pendlile, mis takistab selle liikumist tasakaaluasendist ja sunnib seda uuesti kukkuma.
2. Pendli inerts, mille tõttu ta oma kiirust säilitades ei peatu tasakaaluasendis, vaid läbib seda edasi.
Matemaatilise pendli vabavõnkumiste periood
Matemaatilise pendli vabavõnke periood ei sõltu selle massist, vaid selle määrab ainult keerme pikkus ja raskuskiirendus pendli asukohas.
Energia muundamine harmooniliste võnkumiste ajal
Vedrupendli harmooniliste võnkumiste käigus muudetakse elastselt deformeerunud keha potentsiaalne energia selle kineetiliseks energiaks, kus k – elastsuse koefitsient, X - pendli nihkemoodul tasakaaluasendist, m- pendli mass, v- selle kiirus. Vastavalt harmoonilise vibratsiooni võrrandile:
, .
Vedrupendli koguenergia:
.
Matemaatilise pendli koguenergia:
Matemaatilise pendli puhul
Energia muundumine vedrupendli võnkumisel toimub vastavalt mehaanilise energia jäävuse seadusele ( ). Kui pendel liigub tasakaaluasendist alla või üles, siis selle potentsiaalne energia suureneb ja kineetiline energia väheneb. Kui pendel läbib tasakaaluasendi ( X= 0), selle potentsiaalne energia on null ja pendli kineetiline energia on suurim, võrdne koguenergiaga.
Seega muutub pendli vabavõnkumise käigus selle potentsiaalne energia kineetiliseks, kineetiline potentsiaalseks, potentsiaal seejärel tagasi kineetiliseks jne. Kuid kogu mehaaniline energia jääb muutumatuks.
Sunnitud vibratsioonid. Resonants.
Välise perioodilise jõu mõjul toimuvaid võnkumisi nimetatakse sunnitud võnkumised. Väline perioodiline jõud, mida nimetatakse liikumapanevaks jõuks, annab võnkesüsteemile lisaenergiat, mis täiendab hõõrdumise tõttu tekkivaid energiakadusid. Kui liikumapanev jõud muutub ajas vastavalt siinuse või koosinuse seadusele, siis on sundvõnkumised harmoonilised ja summutamata.
Erinevalt vabavõnkumisest, kui süsteem saab energiat ainult üks kord (kui süsteem viiakse tasakaalust välja), siis sundvõnkumiste korral neelab süsteem seda energiat välise perioodilise jõu allikast pidevalt. See energia korvab hõõrdumise ületamiseks kulutatud kaod ja seetõttu jääb võnkesüsteemi koguenergia endiselt muutumatuks.
Sundvõnkumiste sagedus on võrdne edasiviiva jõu sagedusega. Juhul, kui liikumapanev jõud sagedus υ langeb kokku võnkesüsteemi omasagedusega υ 0 , sundvõnkumiste amplituud on järsult suurenenud - resonants. Resonants tekib tänu sellele, et millal υ = υ 0 vabade vibratsioonidega ajas mõjuv välisjõud on alati võnkekeha kiirusega joondatud ja teeb positiivset tööd: võnkuva keha energia suureneb, võnkumiste amplituud muutub suureks. Sundvõnkumiste amplituudi graafik A T liikuva jõu sagedusel υ joonisel näidatud graafikut nimetatakse resonantskõveraks:
Resonantsi nähtus mängib olulist rolli paljudes loodus-, teadus- ja tööstusprotsessides. Näiteks tuleb sildade, hoonete ja muude koormuse all vibratsiooni tekitavate konstruktsioonide projekteerimisel arvestada resonantsi nähtusega, vastasel juhul võivad need konstruktsioonid teatud tingimustel hävida.