Как се нарича кореновата функция? Корен квадратен
Дадени са основните свойства степенна функция, включително формули и свойства на корените. Представени са производна, интеграл, степенни редове и представяне с комплексни числа на степенната функция.
Определение
Определение
Степенна функция с показател pе функцията f (x) = xp, чиято стойност в точката x е равна на стойността на експоненциалната функция с основа x в точката p .
В допълнение, f (0) = 0 p = 0за p > 0
.
За естествени стойности на експонента степенната функция е произведението на n числа, равни на x:
.
Дефинира се за всички реални .
За положителни рационални стойности на степента степенната функция е произведението на n корена от степен m от числото x:
.
За нечетно m то е определено за всички реални x. За четно m степенната функция е дефинирана за неотрицателна.
За отрицателна степенната функция се определя от формулата:
.
Следователно не е дефиниран в точката.
За ирационални стойности на експонента p експоненциалната функция се определя по формулата:
,
където a е произволно положително число, а не равно на едно: .
За , то е определено за .
За степенната функция е дефинирана за .
Приемственост. Степенната функция е непрекъсната в своята дефиниционна област.
Свойства и формули на степенната функция за x ≥ 0
Тук разглеждаме свойствата на степенната функция за неотрицателни стойности на аргумента x. Както бе споменато по-горе, за някои стойности на експонента p, експоненциалната функция също е дефинирана за отрицателни стойности на x. В този случай неговите свойства могат да бъдат получени от свойствата на , като се използва четен или нечетен паритет. Тези случаи са обсъдени и илюстрирани подробно на страницата "".
Степенна функция, y = x p, с показател p има следните свойства:
(1.1)
определени и непрекъснати на множеството
в ,
в ;
(1.2)
има много значения
в ,
в ;
(1.3)
стриктно нараства при ,
строго намалява при ;
(1.4)
в ;
в ;
(1.5)
;
(1.5*)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.7*)
;
(1.8)
;
(1.9)
.
Доказателството за свойствата е дадено на страницата Power Function (Proof of Continuity and Properties).
Корени - определение, формули, свойства
Определение
Корен от x на степен nе числото, чието повдигане на степен n дава x:
.
Тук n = 2, 3, 4, ...
- естествено число, по-голямо от едно.
Можете също така да кажете, че коренът на числото x от степен n е коренът (т.е. решението) на уравнението
.
Обърнете внимание, че функцията е обратна на функцията.
Корен квадратенот числото хе корен от степен 2: .
Корен кубичен от xе корен от степен 3: .
Дори степен
За четни степени n = 2 м, коренът е дефиниран за x ≥ 0
. Една често използвана формула е валидна както за положителен, така и за отрицателен x:
.
За корен квадратен:
.
Редът, в който се извършват операциите, е важен тук - тоест първо се извършва повдигане на квадрат, което води до неотрицателно число, а след това коренът се извлича от него (от неотрицателно число можете да извлечете квадратния корен ). Ако променим реда: , тогава за отрицателно x коренът ще бъде недефиниран, а с него и целият израз ще бъде недефиниран.
нечетна степен
За нечетни степени коренът е дефиниран за всички x:
;
.
Свойства и формули на корените
Коренът на x е степенна функция:
.
За x ≥ 0
важат следните формули:
;
;
,
;
.
Тези формули могат да се прилагат и за отрицателни стойности на променливите. Необходимо е само да се гарантира, че радикалното изразяване на четните правомощия не е отрицателно.
Частни ценности
Коренът на 0 е 0: .
Коренът от 1 е 1: .
Корен квадратен от 0 е 0: .
Корен квадратен от 1 е 1: .
Пример. Корен от корени
Помислете за примера на корен квадратен от корени:
.
Преобразувайте вътрешния квадратен корен, като използвате горните формули:
.
Сега нека трансформираме оригиналния корен:
.
Така,
.
y = x p за различни стойности на експонента p .
Ето графиките на функцията за неотрицателни стойности на аргумента x. Графиките на степенната функция, дефинирана за отрицателни стойности на x, са дадени на страницата "Степенна функция, нейните свойства и графики"
Обратна функция
Обратната на степенна функция с показател p е степенна функция с показател 1/p.
Ако, тогава.
Производна на степенна функция
Производна от n-ти ред:
;
Извеждане на формули >>>
Интеграл на степенна функция
P≠- 1
;
.
Разширение на степенни редове
на - 1
< x < 1
се извършва следното разлагане:
Изрази чрез комплексни числа
Да разгледаме функция на комплексна променлива z:
f (z) = z t.
Изразяваме комплексната променлива z по отношение на модула r и аргумента φ (r = |z|):
z = r e i φ.
Представяме комплексното число t като реална и въображаема части:
t = p + i q .
Ние имаме:
Освен това вземаме предвид, че аргументът φ не е дефиниран еднозначно:
,
Разгледайте случая, когато q = 0
, тоест показателят е реално число, t = p. Тогава
.
Ако p е цяло число, тогава kp също е цяло число. Тогава, поради периодичността на тригонометричните функции:
.
Това е експоненциална функцияс целочислен показател, за даден z, има само една стойност и следователно е еднозначен.
Ако p е ирационално, тогава произведенията на kp не дават цяло число за нито едно k. Тъй като k преминава през безкрайна серия от стойности k = 0, 1, 2, 3, ..., тогава функцията z p има безкрайно много стойности. Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2 π(един ход), преминаваме към нов клон на функцията.
Ако p е рационално, то може да бъде представено като:
, Където м,нса цели числа без общи делители. Тогава
.
Първите n стойности, за k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, давам n различни значения kp:
.
Следващите стойности обаче дават стойности, които се различават от предишните с цяло число. Например, за k = k 0+nние имаме:
.
Тригонометрични функции, чиито аргументи се различават с кратни на 2 π, имат равни стойности. Следователно, с по-нататъшно увеличаване на k, получаваме същите стойности на z p, както за k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.
По този начин експоненциална функция с рационален показател е многозначна и има n стойности (клонове). Всеки път, когато аргументът z се увеличава 2 π(един ход), преминаваме към нов клон на функцията. След n такива завъртания се връщаме към първия клон, от който е започнало обратното броене.
По-специално, корен от степен n има n стойности. Като пример, разгледайте n-тия корен на реалното положително число z = x. В този случай φ 0 = 0, z = r = |z| = х,
.
.
И така, за корен квадратен, n = 2
,
.
За дори k, (- 1) k = 1. За нечетно k, (- 1) k = - 1.
Тоест квадратният корен има две значения: + и -.
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Lan, 2009.
Основни цели:
1) да се формира представа за целесъобразността на обобщено изследване на зависимостите на реалните количества на примера на количества, свързани с връзката y=
2) да се формира умение за начертаване на y= и неговите свойства;
3) повторете и консолидирайте методите на устни и писмени изчисления, квадратура, извличане на квадратен корен.
Оборудване, демонстрационни материали: раздаване.
1. Алгоритъм:
2. Пример за изпълнение на задачата в групи:
3. Образец за самопроверка на самостоятелна работа:
4. Карта за етапа на размисъл:
1) Разбрах как да начертая графика на функцията y=.
2) Мога да изброя имотите му според графика.
3) Не съм допускал грешки в самостоятелната си работа.
4) Допуснах грешки в самостоятелната работа (избройте тези грешки и посочете причината за тях).
По време на часовете
1. Самоопределение към учебни дейности
Предназначение на етапа:
1) включване на учениците в учебни дейности;
2) определяне на съдържанието на урока: продължаваме да работим с реални числа.
Организация учебен процесна стъпка 1:
Какво научихме в последния урок? (Изучихме набор от реални числа, действия с тях, изградихме алгоритъм за описание на свойствата на функция, повторихме функциите, изучавани в 7 клас).
– Днес ще продължим да работим с множеството от реални числа, функция.
2. Актуализиране на знанията и отстраняване на затруднения в дейностите
Предназначение на етапа:
1) актуализиране на учебното съдържание, необходимо и достатъчно за възприемане на нов материал: функция, независима променлива, зависима променлива, графики
y \u003d kx + m, y = kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y = - x 2
2) актуализиране на умствените операции, необходими и достатъчни за възприемане на нов материал: сравнение, анализ, обобщение;
3) фиксирайте всички повтарящи се концепции и алгоритми под формата на схеми и символи;
4) да се определи индивидуална трудност в дейността, демонстрираща недостатъчността на съществуващите знания на лично значимо ниво.
Организация на учебния процес на етап 2:
1. Да си припомним как можете да зададете зависимостите между количествата? (Чрез текст, формула, таблица, графика)
2. Какво се нарича функция? (Връзката между две величини, където всяка стойност на една променлива съответства на една стойност на другата променлива y = f(x)).
Как се нарича x? (Независима променлива - аргумент)
как се казваш (Зависима променлива).
3. Учихме ли функции в 7 клас? (y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2 , y = - x 2 , ).
Индивидуална задача:
Каква е графиката на функциите y = kx + m, y =x 2 , y = ?
3. Идентифициране на причините за трудностите и поставяне на целта на дейността
Предназначение на етапа:
1) организира комуникативно взаимодействие, по време на което се разкрива и фиксира отличителното свойство на задачата, което е причинило затруднения в учебните дейности;
2) съгласувайте целта и темата на урока.
Организация на учебния процес на етап 3:
Какво е особеното на тази задача? (Зависимостта се дава от формулата y =, която все още не сме срещали).
- Каква е целта на урока? (Запознайте се с функцията y \u003d, нейните свойства и графика. Функцията в таблицата определя вида на зависимостта, изградете формула и графика.)
- Можете ли да познаете темата на урока? (Функция y=, нейните свойства и графика).
- Запишете темата в тетрадката си.
4. Изграждане на проект за излизане от затруднение
Предназначение на етапа:
1) организира комуникативно взаимодействие за изграждане на нов начин на действие, който елиминира причината за идентифицираната трудност;
2) поправи нов начиндействия в знакова, словесна форма и с помощта на еталон.
Организация на учебния процес на етап 4:
Работата на етапа може да бъде организирана в групи, като ги поканите да начертаят y = , след което да анализират резултатите. Също така могат да бъдат предложени групи за описание на свойствата на тази функция според алгоритъма.
5. Първично затвърдяване във външна реч
Целта на етапа: да се фиксира изучаваното учебно съдържание във външна реч.
Организация на учебния процес на етап 5:
Постройте графика y= - и опишете нейните свойства.
Свойства y= - .
1. Обхват на дефиницията на функцията.
2.Обхват на стойностите на функцията.
3. y=0, y>0, y<0.
y=0, ако x=0.
г<0, если х(0;+)
4. Функция за увеличаване, намаляване.
Функцията намалява при x.
Нека начертаем y=.
Нека изберем неговата част от отсечката. Нека отбележим, че при Naim. = 1 за x = 1 и y макс. \u003d 3 за x \u003d 9.
Отговор: naim. = 1, при макс. =3
6. Самостоятелна работа със самопроверка по стандарт
Целта на етапа: да проверите способността си да прилагате новото учебно съдържание в типични условия въз основа на сравняване на вашето решение със стандарт за самопроверка.
Организация на учебния процес на етап 6:
Учениците изпълняват задачата самостоятелно, провеждат самопроверка по стандарта, анализират, коригират грешки.
Нека начертаем y=.
С помощта на графиката намерете най-малката и най-голямата стойност на функцията върху отсечката.
7. Включване в системата от знания и повторение
Целта на етапа: да се тренират уменията за използване на ново съдържание във връзка с предварително наученото: 2) повторете учебното съдържание, което ще се изисква в следващите уроци.
Организация на учебния процес на етап 7:
Решете графично уравнението: \u003d x - 6.
Един ученик на дъската, останалите в тетрадките.
8. Отражение на дейността
Предназначение на етапа:
1) фиксирайте новото съдържание, научено в урока;
2) оценяват собствените си дейности в урока;
3) благодарете на съучениците си, които помогнаха да получите резултата от урока;
4) фиксират неразрешените трудности като насоки за бъдещи учебни дейности;
5) Обсъдете и запишете домашното.
Организация на учебния процес на етап 8:
- Момчета, каква ни беше целта днес? (Изучете функцията y \u003d, нейните свойства и графика).
- Какви знания ни помогнаха да постигнем целта? (Способност за търсене на модели, способност за четене на графики.)
- Прегледайте дейностите си в клас. (Карти за размисъл)
Домашна работа
т. 13 (до пример 2) № 13.3, 13.4
Решете графично уравнението:
Начертайте графика на функция и опишете нейните свойства.
N-та степен от реално число, те отбелязаха, че от всяко неотрицателно число можете да извлечете корена на всякаква степен (втора, трета, четвърта и т.н.), а от отрицателно число можете да извлечете корена на всяко нечетно степен. Но тогава трябва да помислите и за функцията на формата, за нейната графика, за нейните свойства. Това е, с което ще се занимаваме в настоящия раздел. Първо, нека поговорим за функцията в случай на неотрицателни стойности аргумент.
Да започнем с познатия ви случай, когато n = 2, т.е. с функцията На фиг. 166 показва графиката на функцията и графиката на функцията y \u003d x 2, x>0. И двете графики представляват една и съща крива - разклонение на парабола, само различно разположено в координатната равнина. За пояснение: тези графики са симетрични спрямо линията y \u003d x, тъй като се състоят от точки, които са симетрични една на друга спрямо определената линия. Вижте: на разглеждания клон на параболата y \u003d x 2 има точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), а на графика на точковата функция (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).
Точките (2; 4) и (4; 2), (3; 9) и (9; 3), (4; 16) и (16; 4) са симетрични по отношение на правата линия y = x, (и точки (0; 0 ) и (1; 1) лежат на тази права). И като цяло, за всяка точка (a; a 2) на функционална графика y \u003d x 2 е точка, симетрична на нея по отношение на правата линия y \u003d x (a 2; a) на графиката на функцията и обратно. Следната теорема е вярна.
Доказателство.Да приемем със сигурност, че a и b са положителни числа. Разгледайте триъгълниците OAM и OVR (фиг. 167). Те са равни, така че OP = OM и . Но тогава и тъй като правата y \u003d x е ъглополовящата на ъгъла AOB. И така, триъгълникът ROM е равнобедрен, OH е неговата ъглополовяща, а оттам и оста на симетрия. Точките M и P са симетрични спрямо правата OH, което трябваше да се докаже.
И така, графиката на функцията може да бъде получена от графиката на функцията y \u003d x 2, x> 0, като се използва трансформацията на симетрия относно линията y \u003d x. По същия начин графиката на функцията може да бъде получена от графиката на функцията y \u003d x 3, x> 0 с помощта на трансформация на симетрия относно линията y \u003d x; графиката на функция може да бъде получена от графиката на функция с помощта на трансформация на симетрия относно права линия y \u003d x и т.н. Припомнете си, че графиката на функцията прилича на клон на парабола. Колкото по-голямо е n, толкова по-стръмен е този клон нагоре по празнината и толкова по-близо до оста x в близост до точката x = 0 (Фиг. 168 ).
Нека формулираме общо заключение: графиката на функцията е симетрична на графиката на функцията по отношение на правата линия y \u003d x (фиг. 169).
Функционални свойства
1)
2) функцията не е нито четна, нито нечетна;
3) се увеличава с
4) неограничен отгоре, ограничен отдолу;
5) не е от най-голямо значение;
6) непрекъснато;
7)
Обърнете внимание на едно любопитно обстоятелство. Помислете за две функции, чиито графики са показани на фиг. 169: Току-що изброихме седем свойства за първата функция, но втората функция има точно същите свойства. Вербалните "портрети" на две различни функции са еднакви. Но нека бъдем ясни, те са еднакви.
Математиците не можеха да понесат такава несправедливост, когато различни функции с различни графики се описват вербално по един и същ начин и въведоха понятията за изпъкналост нагоре и изпъкналост надолу. Графиката на функцията е изпъкнала нагоре, докато графиката на функцията y \u003d x n е изпъкнала надолу.
Обикновено се казва, че една непрекъсната функция е изпъкнала надолу, ако чрез свързване на произволни две точки от нейната графика с прав сегмент се установи, че съответната част от графиката лежи под начертания сегмент (фиг. 170); непрекъсната функция е изпъкнала нагоре, ако чрез свързване на произволни две точки от нейната графика с прав сегмент се установи, че съответната част от графиката лежи над начертания сегмент (фиг. 171).
Освен това ще включим свойството за изпъкналост в процедурата за четене на графиката. Отбелязваме го "(продължавайки номерирането на описаните по-рано свойства) за разглежданата функция:
8) функцията е изпъкнала нагоре върху лъча
В предишната глава се запознахме с друго свойство на функция - диференцируемост, видяхме, че функцията y \u003d x p е диференцируема във всяка точка, нейната производна е равна на x n-1. Геометрично това означава, че във всяка точка на графиката на функцията y \u003d x n към нея може да се начертае допирателна. Графиката на функцията също има същото свойство: във всяка нейна точка може да се начертае допирателна към графиката. Така можем да отбележим още едно свойство на функцията
9) функцията е диференцируема във всяка точка x > 0.
Моля, обърнете внимание: диференцируемостта на функцията в точката x = 0 е изключена - в тази точка допирателната към графиката на функцията съвпада с оста y, т.е. перпендикулярно на оста x.
Пример 1. Графика на функция
Решение. 1) Отидете на спомагателна системакоординати с начало в точка (-1; -4) - пунктирани линии x = -1 и y = -4 на фиг. 172.
2) „Свържете“ функцията към нова системакоординати. Това ще бъде желаният график.
Пример 2реши уравнението
Решение. Първи начин. 1) Нека въведем две функции
2) Нека построим графика на функцията
3) Нека изградим графика на линейна функция y \u003d 2-x (вижте фиг. 173).
4) Построените графики се пресичат в една точка А, като според графиката може да се приеме, че координатите на точка А са: (1; 1). Проверката показва, че всъщност точката (1; 1) принадлежи както на графиката на функцията, така и на графиката на функцията y=2-x. Това означава, че нашето уравнение има един корен: x \u003d 1 - абсцисата на точка A.
Вторият начин.
Геометричният модел, представен на фиг. 173, ясно илюстрира следното твърдение, което понякога позволява много елегантно решение на уравнението (и което вече използвахме в § 35 при решаването на пример 2):
Ако функцията y \u003d f (x) нараства, а функцията y \u003d g (x) намалява и ако уравнението f (x) \u003d g (x) има корен, тогава то е само едно.
Ето как, въз основа на това твърдение, можем да решим даденото уравнение:
1) обърнете внимание, че за x \u003d 1 равенството е вярно, което означава, че x \u003d 1 е коренът на уравнението (познахме този корен);
2) функцията y=2-x е намаляваща, но функцията е нарастваща; следователно даденото уравнение има само един корен и този корен е стойността x = 1, намерена по-горе.
Отговор: x = 1.
Досега говорихме само за функцията за неотрицателни стойности на аргумент. Но ако n е нечетно число, тогава изразът също има смисъл за x<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.
В интерес на истината само един имот ще бъде добавен към изброените:
ако n е нечетно число (n = 3,5, 7,...), тогава това е нечетна функция.
Наистина, нека такива трансформации са верни за нечетен показател n. И така, f(-x) = -f(x) и това означава, че функцията е нечетна.
Как изглежда графиката на функцията в случай на нечетен показател n? Когато, както е показано на фиг. 169 е клон на желаната графика. Добавяйки към него клон, който е симетричен към него по отношение на произхода на координатите (което, припомнете си, е типично за всяка нечетна функция), получаваме графиката на функцията (фиг. 174). Обърнете внимание, че оста y е допирателна към графиката при x = 0.
Така че нека го повторим отново:
ако n е четно число, тогава графиката на функцията има формата, показана на фиг. 169;
ако n е нечетно число, тогава графиката на функцията има формата, показана на фиг. 174.
Пример 3Постройте и прочетете графиката на функцията y \u003d f (x), където
Решение.Първо, нека изградим графика на функцията и да изберем нейната част върху лъча (фиг. 175).
След това ще изградим графика на функцията и ще изберем нейната част върху отворения лъч (фиг. 176). И накрая, ще изобразим и двете „парчета“ в една и съща координатна система - това ще бъде графиката на функцията y \u003d f (x) (фиг. 177).
Ние изброяваме (въз основа на построената графика) свойствата на функцията y \u003d f (x):
1)
2) нито четно, нито нечетно;
3) намалява на лъча, увеличава на лъча
4) неограничен отдолу, ограничен отгоре;
5) няма най-малка стойност, a (достигната в точката x = 1);
6) непрекъснато;
7)
8) изпъкнал надолу при , изпъкнал нагоре върху сегмента , изпъкнал надолу при
9) функцията е диференцируема навсякъде, с изключение на точките x = 0 и x = 1.
10) графиката на функцията има хоризонтална асимптота, което означава, припомнете си това
Пример 4Намерете обхвата на функция:
Решение,а) Под знака на корен от четна степен трябва да има неотрицателно число, което означава, че задачата се свежда до решаване на неравенството
б) Всяко число може да бъде под знака на корен от нечетна степен, което означава, че тук не се налагат ограничения върху x, т.е. D(f) = R.
в) Изразът има смисъл при условието и изразът Следователно трябва едновременно да са изпълнени две неравенства: тези. Проблемът се свежда до решаване на системата от неравенства:
Решаване на неравенството
Да решим неравенството. Нека разложим лявата страна на неравенството на множители: Лявата страна на неравенството се превръща в 0 в точки -4 и 4. Нека отбележим тези точки на реалната права (фиг. 178). Числовата линия е разделена от посочените точки на три интервала и на всеки интервал изразът p (x) \u003d (4-x) (4 + x) запазва постоянен знак (знаците са показани на фиг. 178). Интервалът, на който е валидно неравенството p(x)>0, е оцветен на фиг. 178. По условието на задачата ни интересуват и тези точки x, в които е изпълнено равенството p(x) = 0. Има две такива точки: x = -4, x = 4 - те са отбелязани на фиг. . 178 тъмни кръгове. Така на фиг. 178 е показан геометричен модел за решаване на второто неравенство на системата.
Отбелязваме намерените решения за първото и второто неравенство на системата на една координатна права, като използваме горната щриховка за първото и долната щриховка за второто (фиг. 179). Решението на системата от неравенства ще бъде пресечната точка на решенията на неравенствата на системата, т.е. интервалът, където двете щриховки съвпадат. Отсечката [-1, 4] е такъв интервал.
Отговор. D(f) = [-1,4].
А.Г. Мордкович алгебра 10 клас
Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище
Урок и презентация на тема: "Графика на функцията корен квадратен. Обхват и начертаване"
Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения. Всички материали се проверяват с антивирусна програма.
Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин "Интеграл" за 8 клас
Електронен учебник за учебника Mordkovich A.G.
Електронна учебна тетрадка по алгебра за 8 клас
Графика на функцията квадратен корен
Момчета, вече се срещнахме с изграждането на графики на функции и то повече от веднъж. Изградихме набори от линейни функции и параболи. По принцип е удобно да напишете всяка функция като $y=f(x)$. Това е уравнение с две променливи - за всяка стойност на x получаваме y. След извършване на дадена операция f, ние преобразуваме множеството от всички възможни x към множеството y. Като функция f можем да запишем почти всяка математическа операция.Обикновено, когато чертаем функции, използваме таблица, в която записваме стойностите на x и y. Например за функцията $y=5x^2$ е удобно да използвате следната таблица: Маркирайте получените точки върху декартовата координатна система и внимателно ги свържете с гладка крива. Нашата функция не е ограничена. Само с тези точки можем да заместим абсолютно всяка стойност на x от дадената област на дефиниция, тоест тези x, за които изразът има смисъл.
В един от предишните уроци, които научихме нова операцияизвличане на корен квадратен. Възниква въпросът можем ли, използвайки тази операция, да зададем някаква функция и да изградим нейната графика? Да използваме общ изгледфункции $y=f(x)$. Оставяме y и x на тяхно място и вместо f въвеждаме операцията за квадратен корен: $y=\sqrt(x)$.
Познавайки математическата операция, успяхме да дефинираме функцията.
График на функцията за квадратен корен
Нека начертаем тази функция. Въз основа на дефиницията на квадратния корен можем да го изчислим само от неотрицателни числа, тоест $x≥0$.Нека направим таблица:
Нека отбележим нашите точки на координатната равнина.
Остава внимателно да свържем получените точки.
Момчета, обърнете внимание: ако графиката на нашата функция се обърне настрани, получаваме ляв клонпараболи. Всъщност, ако редовете в таблицата със стойности са разменени (горния ред с долния), тогава получаваме стойностите само за параболата.
Област на функция $y=\sqrt(x)$
Използвайки графиката на функцията, свойствата са доста лесни за описание.1. Домейн на дефиниция: $$.
б) $$.
Решение.
Можем да решим нашия пример по два начина. Всяка буква описва различен начин.
А) Да се върнем към построената по-горе графика на функцията и да отбележим търсените точки от отсечката. Ясно се вижда, че за $x=9$ функцията е по-голяма от всички други стойности. Така и най-висока стойностдостига до тази точка. За $x=4$ стойността на функцията е по-ниска от всички други точки, което означава, че има най-малка стойност.
$y_(най-много)=\sqrt(9)=3$, $y_(най-много)=\sqrt(4)=2$.
Б) Знаем, че нашата функция се увеличава. Това означава, че всяка по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията. Най-големите и най-малките стойности се достигат в края на сегмента:
$y_(naib)=\sqrt(11)$, $y_(naim)=\sqrt(2)$.
Пример 2
Решете уравнението:
$\sqrt(x)=12-x$.
Решение.
Най-лесният начин е да начертаете графики на две функции и да намерите тяхната пресечна точка.
Графиката ясно показва точката на пресичане с координатите $(9;3)$. И така, $x=9$ е решението на нашето уравнение.
Отговор: $x=9$.
Момчета, можем ли да сме сигурни, че този пример няма повече решения? Една от функциите е нарастваща, другата намаляваща. В общия случай те или нямат общи точки, или се пресичат само в една.
Пример 3
Начертайте и прочетете графиката на функцията:
$\начало (случаи) -x, x 9. \край (случаи)$
Трябва да изградим три частични графики на функцията, всяка на свой собствен интервал.
Нека опишем свойствата на нашата функция:
1. Област на дефиниция: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ за $x=0$ и $x=12$; $y>0$ за $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Функцията е намаляваща върху отсечките $(-∞;0)U(9;+∞)$. Функцията нараства на интервала $(0;9)$.
4. Функцията е непрекъсната върху цялата област на дефиниция.
5. Няма максимална или минимална стойност.
6. Диапазон от стойности: $(-∞;+∞)$.
Задачи за самостоятелно решаване
1. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията квадратен корен върху отсечката:а) $$;
б) $$.
2. Решете уравнението: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Начертайте и прочетете графиката на функцията: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Постройте и прочетете графиката на функцията: $y=\sqrt(-x)$.
Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на трети страни
Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.