Изследване на уравнения и неравенства с параметър за заключение. Решаване на уравнения и неравенства с параметри
Параметърът \(a\) е число, което може да приеме произволна стойност от \(\mathbb(R)\).
Да се изследва уравнение/неравенство за всички стойности на даден параметър означава да се посочи при какви стойности на параметъра кое конкретно решение има дадено уравнение/неравенство.
Примери:
1) уравнението \(ax=2\) за всички \(a\ne 0\) има единствено решение \(x=\dfrac 2a\), а за \(a=0\) то няма решения (тъй като тогава уравнението приема формата \(0=2\) ).
2) уравнението \(ax=0\) за всички \(a\ne 0\) има единствено решение \(x=0\), а за \(a=0\) има безкрайно много решения, т.е. \(x\in \mathbb(R)\) (оттогава уравнението приема формата \(0=0\) ).
забележи това
I) двете страни на уравнението не могат да бъдат разделени на израз, съдържащ параметър (\(f(a)\) ), ако този израз може да бъде равен на нула. Но могат да се разгледат два случая:
първото, когато \(f(a)\ne0\) , в който случай можем да разделим двете страни на равенството на \(f(a)\) ;
вторият случай е, когато \(f(a)=0\) и в този случай можем да проверим всяка стойност на \(a\) поотделно (вижте пример 1, 2).
II) двете страни на неравенството не могат да бъдат разделени на израз, съдържащ параметър, ако знакът на този израз е неизвестен. Но могат да се разгледат три случая:
първото, когато \(f(a)>0\) , и в този случай можем да разделим двете страни на неравенството на \(f(a)\) ;
второ, когато \(f(a)<0\)
, и в этом случае при делении обеих частей неравенства на \(f(a)\)
мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный;
третото е, когато \(f(a)=0\), в който случай можем да проверим всяка стойност на \(a\) поотделно.
Пример:
3) неравенството \(ax>3\) за \(a>0\) има решение \(x>\dfrac3a\), за \(a<0\) имеет решение \(x<\dfrac3a\) , а при \(a=0\) не имеет решений, т.к. принимает вид \(0>3\) .
Задача 1 #1220
Ниво на задачата: По-лесно от Единния държавен изпит
Решете уравнението \(ax+3=0\)
Уравнението може да бъде пренаписано като \(ax=-3\) . Нека разгледаме два случая:
1) \(a=0\) . В този случай лявата страна е равна на \(0\), но дясната не е, следователно уравнението няма корени.
2) \(a\ne 0\) . Тогава \(x=-\dfrac(3)(a)\) .
Отговор:
\(a=0 \Rightarrow x\in \varnothing; \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-\dfrac(3)(a)\).
Задача 2 #1221
Ниво на задачата: По-лесно от Единния държавен изпит
Решете уравнението \(ax+a^2=0\) за всички стойности на параметъра \(a\) .
Уравнението може да бъде пренаписано като \(ax=-a^2\) . Нека разгледаме два случая:
1) \(a=0\) . В този случай лявата и дясната страна са равни на \(0\), следователно уравнението е вярно за всякакви стойности на променливата \(x\) .
2) \(a\ne 0\) . Тогава \(x=-a\) .
Отговор:
\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb(R); \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-a\).
Задача 3 #1222
Ниво на задачата: По-лесно от Единния държавен изпит
Решете неравенството \(2ax+5\cos\dfrac(\pi)(3)\geqslant 0\)за всички стойности на параметъра \(a\) .
Неравенството може да бъде пренаписано като \(ax\geqslant -\dfrac(5)(4)\) . Нека разгледаме три случая:
1) \(a=0\) . Тогава неравенството приема формата \(0\geqslant -\dfrac(5)(4)\) , което е вярно за всякакви стойности на променливата \(x\) .
2) \(a>0\) . Тогава, когато разделим двете страни на неравенството на \(a\), знакът на неравенството няма да се промени, следователно \(x\geqslant -\dfrac(5)(4a)\) .
3)\(а<0\) . Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, \(x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .
Отговор:
\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb(R); \\ a>0 \Rightarrow x\geqslant -\dfrac(5)(4a); \\ a<0 \Rightarrow x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .
Задача 4 #1223
Ниво на задачата: По-лесно от Единния държавен изпит
Решете неравенството \(a(x^2-6) \geqslant (2-3a^2)x\)за всички стойности на параметъра \(a\) .
Нека трансформираме неравенството във вида: \(ax^2+(3a^2-2)x-6a \geqslant 0\). Нека разгледаме два случая:
1) \(a=0\) . В този случай неравенството става линейно и приема формата: \(-2x \geqslant 0 \Rightarrow x\leqslant 0\).
2) \(a\ne 0\) . Тогава неравенството е квадратно. Нека намерим дискриминанта:
\(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2\).
защото \(a^2 \geqslant 0 \Rightarrow D>0\)за всякакви стойности на параметри.
Следователно уравнението \(ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0\) винаги има два корена \(x_1=-3a, x_2=\dfrac(2)(a)\) . Така неравенството ще приеме формата:
\[(ax-2)(x+3a) \geqslant 0\]
Ако \(a>0\) , тогава \(x_1
Ако<0\) , то \(x_1>x_2\) и клоновете на параболата \(y=(ax-2)(x+3a)\) са насочени надолу, което означава, че решението е \(x\in \big[\dfrac(2)(a); -3a]\).
Отговор:
\(a=0 \Rightarrow x\leqslant 0; \\ a>0 \Rightarrow x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac(2)(a); +\infty); \ \a<0 \Rightarrow x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a\big]\) .
Задача 5 #1851
Ниво на задачата: По-лесно от Единния държавен изпит
За какво \(a\) е множеството от решения на неравенството \((a^2-3a+2)x -a+2\geqslant 0\)съдържа полуинтервал \(\).
Отговор:
\(a\in (-\infty;\dfrac(4)(3)\big]\cup
Нека разгледаме два случая:
1) \(a+1=0 \Дясна стрелка a=-1\) . В този случай уравнението \((*)\) е еквивалентно на \(3=0\) , тоест то няма решения.
Тогава цялата система е еквивалентна \(\begin(cases) x\geqslant 2\\ x=2 \end(cases) \Leftrightarrow x=2\)
2) \(a+1\ne 0 \Дясна стрелка a\ne -1\). В този случай системата е еквивалентна на: \[\begin(cases) x\geqslant -2a\\ \left[ \begin(gathered) \begin(aligned) &x_1=-2a \\ &x_2=\dfrac3(a+1) \end(aligned) \end( събрани) \десен. \край (случаи)\]
Тази система ще има едно решение, ако \(x_2\leqslant -2a\) , и две решения, ако \(x_2>-2a\) :
2.1) \(\dfrac3(a+1)\leqslant -2a \Rightarrow a<-1 \Rightarrow \) имаме един корен \(x=-2a\) .
2.2) \(\dfrac3(a+1)>-2a \Rightarrow a>-1 \Rightarrow \)имаме два корена \(x_1=-2a, x_2=\dfrac3(a+1)\) .
Отговор:
\(a\in(-\infty;-1) \Rightarrow x=-2a\\ a=-1 \Rightarrow x=2\\ a\in(-1;+\infty) \Rightarrow x\in\( -2a;\frac3(a+1)\)\)
Както показва статистиката, много възпитаници смятат намирането на решения на задачи с параметър за най-трудното нещо, когато се подготвят за Единния държавен изпит 2019 по математика. С какво е свързано това? Факт е, че често проблемите с параметър изискват използването на изследователски методи за решение, т.е. при изчисляване на правилния отговор ще трябва не само да прилагате формули, но и да намерите онези параметрични стойности, при които определено условие за корените е доволен. В същото време понякога няма нужда да търсите самите корени.
Въпреки това всички студенти, които се готвят да положат Единния държавен изпит, трябва да се справят с решаването на задачи с параметри. Подобни задачи се срещат редовно в тестовете за сертифициране. Образователният портал на Школково ще ви помогне да запълните пропуските в знанията и да научите как бързо да намирате решения на задачи с параметър в Единния държавен изпит по математика. Нашите експерти подготвиха и представиха в достъпна форма целия основен теоретичен и практически материал по тази тема. С портала Школково решаването на проблеми за избор на параметър ще бъде лесно за вас и няма да доведе до никакви затруднения.
Основни моменти
Важно е да се разбере, че просто няма единен алгоритъм за решаване на проблеми с избора на параметри. Методите за намиране на верния отговор могат да варират. Решаването на математическа задача с параметър в Единния държавен изпит означава да се намери на какво е равна променливата при определена стойност на параметъра. Ако първоначалното уравнение и неравенство могат да бъдат опростени, това трябва да се направи първо. В някои проблеми можете да използвате стандартни методи за решение за това, сякаш параметърът е обикновено число.
Прочетохте ли вече теоретичния материал по тази тема? За да усвоите напълно информацията, когато се подготвяте за Единния държавен изпит по математика, препоръчваме да практикувате изпълнение на задачи с параметър; За всяко упражнение сме предоставили пълен анализ на решението и верния отговор. В съответния раздел ще намерите както прости, така и по-сложни задачи. Студентите могат да се упражняват да решават задачи с параметри, моделирани по задачи от Единния държавен изпит, онлайн, докато са в Москва или друг град в Русия.
Човек, който умее да решава задачи с параметри, знае теорията перфектно и умее да я прилага не механично, а с логика. Той „разбира“ функцията, „усеща“ я, смята я за свой приятел или поне добър познат, а не просто знае за нейното съществуване.
Какво е уравнение с параметър? Нека е дадено уравнението f (x; a) = 0. Ако задачата е да се намерят всички такива двойки (x; a), които удовлетворяват това уравнение, то се разглежда като уравнение с две равни променливи x и a. Но можем да поставим друг проблем, като приемем, че променливите са неравни. Факт е, че ако дадете на променливата a някаква фиксирана стойност, тогава f (x; a) = 0 се превръща в уравнение с една променлива x и решенията на това уравнение естествено зависят от избраната стойност на a.
Основната трудност, свързана с решаването на уравнения (и особено неравенства) с параметър, е следната: - за някои стойности на параметъра уравнението няма решения; -с други – има безкрайно много решения; - в третия случай се решава по същите формули; - с четвъртата – решава се по други формули. - Ако уравнението f (x; a) = 0 трябва да бъде решено по отношение на променливата X и a се разбира като произволно реално число, тогава уравнението се нарича уравнение с параметър a.
Решаването на уравнение с параметър f (x; a) = 0 означава решаване на семейство уравнения, произтичащи от уравнението f (x; a) = 0 за всякакви реални стойности на параметъра. Уравнение с параметър всъщност е кратко представяне на безкрайно семейство от уравнения. Всяко от уравненията на семейството се получава от дадено уравнение с параметър за определена стойност на параметъра. Следователно проблемът за решаване на уравнение с параметър може да се формулира по следния начин:
Невъзможно е да се запише всяко уравнение от безкрайно семейство уравнения, но въпреки това всяко уравнение от безкрайно семейство трябва да бъде решено. Това може да стане, например, чрез разделяне на набора от всички стойности на параметри на подмножества според някакъв подходящ критерий и след това решаване на даденото уравнение за всяко от тези подмножества. Решаване на линейни уравнения
За да разделите набора от стойности на параметри на подмножества, е полезно да използвате тези стойности на параметри, при които или при преминаване през които настъпва качествена промяна в уравнението. Такива стойности на параметрите могат да се нарекат контролни или специални. Изкуството да се решава уравнение с параметри е именно да можете да намерите контролните стойности на параметъра.
Тип 1. Уравнения, неравенства, техните системи, които трябва да бъдат решени или за всяка стойност на параметър, или за стойности на параметри, принадлежащи към предварително определен набор. Този тип задачи са базови при усвояването на темата „Задачи с параметри“, тъй като вложеният труд предопределя успеха при решаването на задачи от всички други основни типове.
Тип 2. Уравнения, неравенства, техните системи, за които е необходимо да се определи броят на решенията в зависимост от стойността на параметъра (параметрите). При решаването на задачи от този тип не е необходимо нито да се решават дадени уравнения, неравенства или техните системи, нито да се предоставят тези решения; В повечето случаи такава ненужна работа е тактическа грешка, която води до ненужна загуба на време. Но понякога директното решение е единственият разумен начин да получите отговора при решаване на проблем от тип 2.
Тип 3. Уравнения, неравенства, техните системи, за които се изисква да се намерят всички онези стойности на параметрите, за които посочените уравнения, неравенства и техните системи имат определен брой решения (по-специално, те нямат или имат безкраен брой решения). Проблемите от тип 3 са в известен смисъл обратни на проблемите от тип 2.
Тип 4. Уравнения, неравенства, техните системи и набори, за които за необходимите стойности на параметъра наборът от решения отговаря на зададените условия в областта на дефиниция. Например, намерете стойностите на параметъра, при които: 1) уравнението е изпълнено за всяка стойност на променливата от даден интервал; 2) множеството от решения на първото уравнение е подмножество от множеството от решения на второто уравнение и т.н.
Основни методи (методи) за решаване на задачи с параметър. Метод I (аналитичен). Аналитичният метод за решаване на задачи с параметър е най-трудният метод, изискващ висока грамотност и най-големи усилия за овладяването му. Метод II (графичен). В зависимост от проблема (с променлива x и параметър a), графиките се разглеждат или в координатната равнина Oxy, или в координатната равнина Oxy. Метод III (решение относно параметъра). При решаване по този начин променливите x и a се приемат за равни и се избира променливата, по отношение на която аналитичното решение се счита за по-просто. След естествени опростявания се връщаме към първоначалното значение на променливите x и a и завършваме решението.
Пример 1. Намерете стойностите на параметъра a, за които уравнението a(2a + 3)x + a 2 = a 2 x + 3a има един отрицателен корен. Решение. Това уравнение е еквивалентно на следното:. Ако a(a + 3) 0, тоест a 0, a –3, тогава уравнението има един корен x =. х
Пример 2: Решете уравнението. Решение. Тъй като знаменателят на дробта не може да бъде равен на нула, имаме (b – 1)(x + 3) 0, тоест b 1, x –3. Умножавайки двете страни на уравнението по (b – 1)(x + 3) 0, получаваме уравнението: Това уравнение е линейно по отношение на променливата x. За 4b – 9 = 0, което е b = 2,25, уравнението приема формата: За 4b – 9 0, което е b 2,25, коренът на уравнението е x =. Сега трябва да проверим дали има стойности на b, за които намерената стойност на x е равна на –3. Така, за b 1, b 2,25, b –0,4, уравнението има един корен x =. Отговор: за b 1, b 2.25, b –0.4 корен x = за b = 2.25, b = –0.4 няма решения; когато b = 1 уравнението няма смисъл.
Видовете задачи 2 и 3 се отличават с факта, че при решаването им не е необходимо да се получи изрично решение, а само да се намерят онези стойности на параметрите, при които това решение отговаря на определени условия. Примери за такива условия за решение са следните: има решение; няма решение; има само едно решение; има положително решение; има точно k решения; има решение, принадлежащо на посочения интервал. В тези случаи графичният метод за решаване на задачи с параметри се оказва много полезен.
Можем да различим два вида приложение на графичния метод при решаване на уравнението f (x) = f (a): В равнината Oxy графиката y = f (x) и семейството от графики y = f (a) са разглеждан. Това също включва проблеми, разрешени с помощта на „пакет от линии“. Този метод се оказва удобен при задачи с две неизвестни и един параметър. В равнината Ox (която също се нарича фазова равнина) се разглеждат графики, в които x е аргументът, а a е стойността на функцията. Този метод обикновено се използва при проблеми, които включват само едно неизвестно и един параметър (или могат да бъдат сведени до такъв).
Пример 1. За какви стойности на параметъра a уравнението 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a има поне три корена? Решение. Нека построим графики на функциите f (x) = 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 и f (x) = a в една координатна система. Имаме: f "(x) = 12x x 2 – 24x = 12x(x + 2)(x – 1), f "(x) = 0 при x = –2 (минимална точка), при x = 0 (максимална точка ) и при x = 1 (максимална точка). Нека намерим стойностите на функцията в точките на екстремума: f (–2) = –32, f (0) = 0, f (1) = –5. Изграждаме схематична графика на функцията, като вземаме предвид екстремалните точки. Графичният модел ни позволява да отговорим на поставения въпрос: уравнението 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a има поне три корена, ако –5
Пример 2. Колко корена има уравнението за различни стойности на параметъра a? Решение. Отговорът на поставения въпрос е свързан с броя на пресечните точки на графиката на полуокръжността y = и правата y = x + a. Права линия, която е допирателна, има формулата y = x +. Даденото уравнение няма корени в a; има един корен при –2
Пример 3. Колко решения има уравнението |x + 2| = ax + 1 в зависимост от параметъра a? Решение. Можете да начертаете графики y = |x + 2| и y = ax + 1. Но ще го направим по различен начин. При x = 0 (21) няма решения. Разделете уравнението на x: и разгледайте два случая: 1) x > –2 или x = 2 2) 2) x –2 или x = 2 2) 2) x
Пример за използване на „пакет от линии“ в равнина. Намерете стойностите на параметъра a, за които уравнението |3x + 3| = ax + 5 има уникално решение. Решение. Уравнение |3x + 3| = ax + 5 е еквивалентно на следната система: Уравнението y – 5 = a(x – 0) определя в равнината молив от прави с център A (0; 5). Нека начертаем прави линии от куп прави линии, които ще бъдат успоредни на страните на ъгъла, което е графиката на y = |3x + 3|. Тези прави l и l 1 пресичат графиката y = |3x + 3| в една точка. Уравненията на тези прави са y = 3x + 5 и y = –3x + 5. В допълнение, всяка права от молива, разположена между тези линии, също ще пресича графиката y = |3x + 3| в един момент. Това означава, че необходимите стойности на параметъра [–3; 3].
Алгоритъм за решаване на уравнения с помощта на фазовата равнина: 1. Намерете областта на дефиниране на уравнението. 2. Изразете параметъра a като функция от x. 3. В координатната система xOa изграждаме графика на функцията a = f(x) за тези стойности на x, които са включени в областта на дефиниция на това уравнение. 4. Намерете пресечните точки на правата a = c, където c є (-; +) с графиката на функцията a = f (x). Ако правата a = c пресича графиката a = f(x), тогава определяме абсцисите на пресечните точки. За да направите това, достатъчно е да решите уравнението a = f(x) за x. 5. Запишете отговора.
Пример за решаване на неравенство с помощта на „фазова равнина“. Решете неравенството x. Решение: Чрез еквивалентен преход Сега в равнината Ox ще построим графики на функции Точки на пресичане на параболата и правата линия x 2 – 2x = –2x x = 0. Условието a –2x автоматично се изпълнява при a x 2 – 2x Така в лявата полуравнина (x
Държавно бюджетно учебно заведение
Самарска област средно общо образование
Училище № 2 на името на. В. Маскина ж.п Изкуство. Клявлино
Клявлински общински район
Самарска област
« Уравнения
И
неравенства
с параметри"
урок
Клявлино
Урок
"Уравнения и неравенства с параметри"за ученици от 10-11 клас
това ръководство е приложение към програмата на избираемия курс „Уравнения и неравенства с параметри“, който премина външен изпит (научно-методическият експертен съвет на Министерството на образованието и науката на Самарска област от 19 декември 2008 г. препоръча за използване в образователни институции в Самарска област)
автори
Ромаданова Ирина Владимировна
учител по математика в Средно учебно заведение Клявлинская
Училище № 2 на името на. В. Маскина, Клявлински район, Самарска област
Сербаева Ирина Алексеевна
Въведение………………………………………………………………3-4
Линейни уравнения и неравенства с параметри……………..4-7
Квадратни уравнения и неравенства с параметри……………7-9
Дробно-рационални уравнения с параметри……………..10-11
Ирационални уравнения и неравенства с параметри……11-13
Тригонометрични уравнения и неравенства с параметри.14-15
Показателни уравнения и неравенства с параметри………16-17
Логаритмични уравнения и неравенства с параметри......16-18
Цели на единния държавен изпит…………………………………………………………...18-20
Задачи за самостоятелна работа……………………………21-28
Въведение.
Уравнения и неравенства с параметри.
Ако в уравнение или неравенство на някои коефициенти не са дадени конкретни числени стойности, а са обозначени с букви, тогава те се наричат параметри,и самото уравнение или неравенство параметричен.
За да решите уравнение или неравенство с параметри, трябва:
Изберете специално значение- това е стойността на параметъра, в който или при преминаване през който се променя решението на уравнението или неравенството.
Дефинирайте валидни стойности– това са стойностите на параметъра, при които уравнението или неравенството има смисъл.
Решаването на уравнение или неравенство с параметри означава:
1) определете при какви стойности на параметрите съществуват решения;
2) за всяка допустима система от стойности на параметри, намерете съответния набор от решения.
Можете да решите уравнение с параметър, като използвате следните методи: аналитичен или графичен.
Аналитичен метод включва задачата за изучаване на уравнение чрез разглеждане на няколко случая, нито един от които не може да бъде пропуснат.
Решаването на уравнения и неравенства с параметри от всеки тип с помощта на аналитичен метод включва подробен анализ на ситуацията и последователни изследвания, по време на които възниква необходимостта "внимателно боравене"с параметър.
Графичен метод включва конструиране на графика на уравнението, от която може да се определи как промяната в параметъра влияе съответно на решението на уравнението. Графиката понякога ви позволява аналитично да формулирате необходимите и достатъчни условия за решаване на проблема. Методът на графичното решение е особено ефективен, когато трябва да установите колко корена има дадено уравнение в зависимост от даден параметър и има несъмненото предимство да вижда това ясно.
§ 1. Линейни уравнения и неравенства.
Линейно уравнение А х = b , написано в общ вид, може да се разглежда като уравнение с параметри, където х – неизвестен , а , b - настроики. За това уравнение специалната или контролна стойност на параметъра е тази, при която коефициентът на неизвестното става нула.
При решаване на линейно уравнение с параметър се разглеждат случаите, когато параметърът е равен на специалната си стойност и е различен от нея.
Специална стойност на параметъра а е стойността А = 0.
b = 0 е специална стойност на параметър b .
При b ¹ 0 уравнението няма решения.
При b = 0 уравнението ще приеме формата: 0x = 0. Решението на това уравнение е всяко реално число.
Неравенства на формата ах > b И брадва < b (a ≠ 0)се наричат линейни неравенства. Набор от решения на неравенство ах >b– интервал
(; +), Ако а > 0 , И (-;) , Ако А< 0 . По същия начин за неравенството
о< b набор от решения - интервал(-;), Ако а > 0, И (; +), Ако А< 0.
Пример 1. Решете уравнението брадва = 5
Решение: Това е линейно уравнение.
Ако а = 0, тогава уравнението 0 × х = 5няма решение.
Ако А¹ 0, х =- решение на уравнението.
Отговор: при А¹ 0, х=
за a = 0 няма решение.
Пример 2. Решете уравнението брадва – 6 = 2a – 3x.
Решение:Това е линейно уравнение, брадва – 6 = 2a – 3x (1)
брадва + 3x = 2a +6
Пренаписване на уравнението като (a+3)x = 2(a+3), разгледайте два случая:
а= -3И А¹ -3.
Ако а= -3, тогава всяко реално число хе коренът на уравнение (1). Ако А¹ -3 , уравнение (1) има един корен х = 2.
Отговор:При а = -3, х Р ; при А ¹ -3, х = 2.
Пример 3. При какви стойности на параметрите Асред корените на уравнението
2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0има повече корени 1 ?
Решение: Да решим уравнението 2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0- линейно уравнение
2(a - 2) x = a 2 – 4a +4
2(a - 2) x = (a - 2) 2
При а = 2решаване на уравнението 0x = 0ще бъде всяко число, включително едно по-голямо от 1.
При А¹
2 х =
.
По условие х > 1, това е
>1 и >4.
Отговор:При А (2) U (4; ∞).
Пример 4 . За всяка стойност на параметъра Анамерете броя на корените на уравнението ах=8.
Решение. брадва = 8- линейно уравнение.
г = а– семейство от хоризонтални линии;
г = - Графиката е хипербола. Нека изградим графики на тези функции.
Отговор: Ако а =0, тогава уравнението няма решения. Ако a ≠ 0, тогава уравнението има едно решение.
Пример 5 . Използвайки графики, разберете колко корена има уравнението:
|x| = ах – 1.
y =| x | ,
г = ах – 1– графиката е права линия, минаваща през точка (0;-1).
Нека изградим графики на тези функции.
Отговор: Кога |a|>1- един корен
при | а|≤1 – уравнението няма корени.
Пример 6 . Решете неравенство брадва + 4 > 2х + а 2
Решение
:
брадва + 4 > 2х + а
2
(a – 2) x >А
2
– 4. Да разгледаме три случая.
Отговор. x > a + 2при а > 2; х<а + 2, при А< 2; при а=2няма решения.
§ 2. Квадратни уравнения и неравенства
Квадратно уравнениее уравнение на формата о ² + b x + c = 0 , Където a≠ 0,
а, b , С - настроики.
За да решите квадратни уравнения с параметър, можете да използвате стандартни методи за решаване, като използвате следните формули:
1
)
дискриминант на квадратно уравнение:
д
=
b
² - 4
ак
,
(
²-
ac)
2)
формули за корените на квадратно уравнение:х
1
=
, Х
2
=
,
(Х
1,2 =
)
Квадратните неравенства се наричат
а х 2 + b x + c > 0,а х 2 + b x + c< 0, (1), (2)
а х 2 + b x + c ≥ 0,а х 2 + b x + c ≤ 0,(3), (4)
Наборът от решения на неравенство (3) се получава чрез комбиниране на наборите от решения на неравенство (1) и уравнението , а х 2 + b x + c = 0.Множеството от решения на неравенство (4) може да се намери по подобен начин.
Ако дискриминантът на квадратен тричлен а х 2 + b x + c е по-малко от нула, тогава за a > 0 тричленът е положителен за всички x Р.
Ако квадратичен трином има корени (x 1
< х
2
), тогава за a > 0 то е положително на множеството(-;
х 2 )
(Х 2;
+)
и отрицателен на интервала
(x 1; x 2 ). Ако< 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1 ; х 2 ) и отрицателни за всички x (-;
х 1 )
(Х 2;
+).
Пример 1. Решете уравнението ax² - 2 (a – 1)x – 4 = 0.
Това е квадратно уравнение
Решение: Специално значение а = 0.
При а = 0получаваме линейно уравнение 2x – 4 = 0. Има един корен х = 2.
При a ≠ 0.Нека намерим дискриминанта.
д = (a-1)² + 4a = (a+1)²
Ако а = -1,Че д = 0 - един корен.
Нека намерим корена чрез заместване а = -1.
-x² + 4x – 4= 0,това е x² -4x + 4 = 0,намираме това х=2.
Ако а ≠ - 1, Че д
>0
. Използвайки формулата на корена, получаваме:x=
;
х 1 =2, х 2 = -.
Отговор:При а=0 и а= -1уравнението има един корен х = 2;при a ≠ 0 и
А ≠ - 1 уравнение има два коренах 1 =2, х 2 =-.
Пример 2. Намерете броя на корените на това уравнение x²-2x-8-a=0в зависимост от стойностите на параметрите А.
Решение. Нека пренапишем това уравнение във формата x²-2x-8=a
г = x²-2x-8- графиката е парабола;
г =а- семейство от хоризонтални линии.
Нека изградим графики на функции.
Отговор: Кога А<-9 , уравнението няма решения; когато a=-9, уравнението има едно решение; при а>-9, уравнението има две решения.
Пример 3. При какво Анеравенство (a – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0важи за всички стойности на x?
Решение.Квадратният трином е положителен за всички стойности на x if
а-3 > 0 и д<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
откъдето следва, чеа
> 6
.
Отговор.а > 6
§ 3. Дробни рационални уравнения с параметър,
свеждащи се до линейни
Процесът на решаване на дробни уравнения се извършва по обичайната схема: дробта се заменя с цяло число чрез умножаване на двете страни на уравнението по общия знаменател на лявата и дясната му страна. След което се решава цялото уравнение, като се изключат външни корени, тоест числа, които превръщат знаменателя в нула.
В случай на уравнения с параметър този проблем е по-сложен. Тук, за да се „елиминират“ външните корени, е необходимо да се намери стойността на параметъра, която превръща общия знаменател в нула, тоест да се решат съответните уравнения за параметъра.
Пример 1.
Решете уравнението
= 0
Решение: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2
x – a = 0, x = a.
Отговор:При a ≠ - 2, x=a
При а = -2няма корени.
Пример 2
.
Решете уравнението
-
=
(1)
Това е дробно рационално уравнение
Решение:Смисъл а = 0е специално. При а = 0уравнението няма смисъл и следователно няма корени. Ако a ≠ 0,тогава след трансформации уравнението ще приеме формата: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- квадратно уравнение.
Нека намерим дискриминанта = (1 – a)² - (a² - 2a – 3)= 4, намерете корените на уравнениетох 1 = a + 1, x 2 = а - 3.
При преминаване от уравнение (1) към уравнение (2), областта на дефиниране на уравнение (1) се разширява, което може да доведе до появата на външни корени. Следователно е необходима проверка.
Преглед.Нека изключим от намерените стойности хтези, в които
x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.
Ако х 1 +1=0, това е (a+1) + 1= 0, Че а= -2.По този начин,
при а= -2 , х 1 -
Ако х 1 +2=0, това е (a+1)+2=0,Че а = - 3. По този начин, когато а = - 3, х 1 - външен корен на уравнението. (1).
Ако х 2 +1=0, това е (a – 3) + 1= 0, Че а = 2. По този начин, когато а = 2 х 2 - външен корен на уравнение (1).
Ако х 2 +2=0, това е ( а – 3) + 2 = 0,Че а=1. По този начин, когато а = 1,
х 2 - външен корен на уравнение (1).
В съответствие с това, когато а = - 3получаваме x = - 3 – 3 = -6;
при a = - 2 x = -2 – 3= - 5;
при a = 1 x =1 + 1= 2;
при a = 2 x = 2+1 = 3.
Можете да запишете отговора.
Отговор: 1) ако а= -3,Че х= -6; 2) ако а= -2, Че х= -5; 3) ако а= 0, тогава няма корени; 4) ако а= 1, Че х=2; 5) ако а=2, Че х=3; 6) ако a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ 2, тогава x 1 = a + 1, x 2 = а-3.
§4. Ирационални уравнения и неравенства
Уравнения и неравенства, в които променливата се съдържа под знака на корена, се наричат ирационален.
Решаването на ирационални уравнения се свежда до преминаване от ирационално към рационално уравнение чрез степенуване на двете страни на уравнението или замяна на променлива. Когато двете страни на уравнението се повдигнат на четна степен, може да се появят външни корени. Следователно, когато използвате този метод, трябва да проверите всички намерени корени, като ги замените в оригиналното уравнение, като вземете предвид промените в стойностите на параметрите.
Уравнение на формата
=g (x) е еквивалентна на системата
Неравенството f (x) ≥ 0 следва от уравнението f (x) = g 2 (x).
При решаване на ирационални неравенства ще използваме следните еквивалентни трансформации:
≤ g(x)
≥g(x)
Пример 1.
Решете уравнението
= x + 1 (3)
Това е ирационално уравнение
Решение:
По дефиницията на аритметичен корен уравнение (3) е еквивалентно на системата
.
При а = 2първото уравнение на системата има формата 0 x = 5, тоест няма решения.
При a≠ 2 x=
.
Нека разберем при какви стойностиА
намерена стойностх
удовлетворява неравенствотоx ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,
където a ≤или а > 2.
Отговор:При a≤, a > 2 x=
,
при < а ≤ 2
уравнението няма решения.
Пример 2.
Решете уравнението
= а
(Приложение 4)
Решение. г
=
г = а– семейство от хоризонтални линии.
Нека изградим графики на функции.
Отговор: при А<0 – няма решения;
при А≥ 0 - едно решение.
Пример 3
. Нека решим неравенството(a+1)
<1.
Решение.О.Д.З. x ≤ 2. Ако а+1 ≤0, то неравенството е в сила за всички допустими стойности х. Ако а+1>0, Че
(a+1)
<1.
<
където х (2-
2
Отговор.
х (- ;2при а (-;-1,
х (2-
2
при А (-1;+).
§ 5. Тригонометрични уравнения и неравенства.
Ето формулите за решаване на най-простите тригонометрични уравнения:
Sinx = а
x= (-1)н arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)
Cos x = a
x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1.
(2)
Ако >1, тогава уравнения (1) и (2) нямат решения.
тен х = а
x= arctan a + πn, n Z,a Р
ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z,a Р
За всяко стандартно неравенство посочваме множеството от решения:
1.
sin x > a
arcsin a + 2 πn
Z,
при а <-1, х Р ; при а ≥ 1, няма решения.
2. . грях х< a
π - arcsin a + 2 πnZ,
за a≤-1, няма решения; за a > 1,х Р
3.
cos
х
>
а
-
arccos
а
+ 2
πn
<
х
<
arccos
а
+ 2
πn
,
н
З
,
при А<-1, х Р ; при а ≥ 1 , няма решения.
4. cos x arccos a+ 2 πnZ,
при а≤-1 , няма решения; приа > 1, х Р
5. tan x > a, arctan a + πnZ
6.tg x< a, -π/2 + πn Z
Пример 1. намирам А, за което това уравнение има решение:
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
Решение.Нека напишем уравнението във формата
соперационна система 2 х + (2 а -4) cosx +(а – 5)(a+1) =0,решавайки го като квадрат, получаваме cosx = 5-АИ cosx = -а-1.
Уравнението cosx
= 5-
А
има предоставени решения -1≤ 5-А
≤1
4≤
А≤ 6 и ур. cosx
= -
а-1
при условие -1≤ -1-А
≤ 1
-2 ≤
А
≤0.
Отговор.
А
-2; 0
4; 6
Пример 2.
При какво bима такова, че неравенството
+
b> 0 е валидно за всички x ≠πn
,
н
З
.
Решение.Да сложим А= 0. Неравенството е в сила при b >0. Нека сега покажем, че никое b ≤0 не отговаря на условията на задачата. Наистина, достатъчно е да поставим x = π /2, Ако А <0, и х = - π /2 при А ≥0.
Отговор.b>0
§ 6. Показателни уравнения и неравенства
1. Уравнение ч(х)
f ( х )
=
ч(х)
ж ( х) при ч(х) > 0 е еквивалентно на колекция от две системи
И
2. В специалния случай (h (x)= а ) уравнението А f(x) = А g(x) при А> 0, е еквивалентно на колекция от две системи
И
3. Уравнение А f(x) = b , Където А > 0, а ≠1, b>0, еквивалентно на уравнението
f (x)= log a b. Случва се А=1 се разглеждат отделно.
Решението на най-простите експоненциални неравенства се основава на свойството степен. Неравенство на форматаf(а
х ) > 0 с помощта на промяна на променливаT=
а
х се свежда до решаване на системата от неравенства
и след това към решаване на съответните прости експоненциални неравенства.
При решаване на нестрого неравенство е необходимо да добавите корените на съответното уравнение към множеството от решения на строгото неравенство. Както при решаването на уравнения във всички примери, съдържащи израза А f (x), приемаме А> 0. Случай А= 1 се разглеждат отделно.
Пример 1
.
При какво Ауравнение 8 x =
има само положителни корени?
Решение.
По свойството на експоненциална функция с основа, по-голяма от единица, имаме x>0
8
х >1
>1
>0, откъдеа
(1,5;4).
Отговор. а (1,5;4).
Пример 2. Решете неравенство а 2 ∙2 х > а
Решение. Нека разгледаме три случая:
1. А< 0 . Тъй като лявата страна на неравенството е положителна, а дясната е отрицателна, неравенството е валидно за всяко x Р.
2. а=0. Решения няма.
3.
А
> 0
.
а
2
∙2
х
> а
2
х
>
x > - дневник 2
а
Отговор. х Рпри А > 0; няма решения за а =0; х (- дневник 2 а; +) приа> 0 .
§ 7. Логаритмични уравнения и неравенства
Нека представим някои еквивалентности, използвани при решаването логаритмични уравнения и неравенства.
1. Уравнението log f (x) g (x) = log f (x) h (x) е еквивалентно на системата
По-специално, ако А >0, А≠1, тогава
дневник а
g(x)=log а
h(x)
2.
Уравнението дневник а
g(x)=b
g(x)=а
b (
А
>0,
а ≠
1, g(x) >0).
3. Неравенство дневник f ( х )
ж (х) ≤
дневник f ( х )
ч(х) е еквивалентен на комбинация от две системи:
И
Ако, b са числа, a >0, a ≠1, тогава
дневник а
f(x) ≤ b
дневник а
f(x)>b
Пример 1.
Решете уравнението
Решение. Нека намерим ODZ: x > 0, x ≠ А 4 , а > 0, А≠ 1. Трансформирайте уравнението
дневник x – 2 = 4 – дневник а
х
дневник x + дневник а
х– 6 = 0, откъдето дневник а
х = - 3
x = А-3 и дневник а
х = 2
x = А 2. Условие x = А
4
А
– 3
=
А 4 или А
2
=
А
4
не се извършва на ОДЗ.
Отговор: x = А-3, x = А 2 при А
(0; 1)
(1; ).
Пример 2 . Намерете най-голямата стойност А, за което уравнението
2
дневник -
+
а
= 0 има решения.
Решение.
Ще направим замяна
=
Tи получаваме квадратно уравнение 2T 2
–
T +
а
= 0. Решаване, намирамед = 1-8
а
. Нека помислим д≥0, 1-8
А
≥0
А
≤.
При А = квадратното уравнение има коренT= >0.
Отговор. А =
Пример 3 . Решете неравенстводневник(х 2 – 2 х + а ) > - 3
Решение.
Нека да решим системата от неравенства
Корени от квадратни тричлени x 1,2
= 1 ±
техен 3,4
= 1 ±
.
Критични стойности на параметрите: А= 1 и А= 9.
Тогава нека X 1 и X 2 са множествата от решения на първото и второто неравенство
X 1
х 2
= X – решение на първоначалното неравенство.
На 0<
а
<1 Х
1
= (-
;1 -
)
(1 +
; +), приА> 1 X 1 = (-;+).
На 0<
а
< 9 Х
2
= (1 -
; 1 +
), приА≥9 X 2 – няма решения.
Нека разгледаме три случая:
1. 0<
а
≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).
2. 1 <
а
< 9 Х = (1 -
;1 +
).
3. а≥ 9 X – няма решения.
Цели на единния държавен изпит
Високо ниво C1, C2
Пример 1. Намерете всички стойности Р, за което уравнението
Р ∙ ctg 2x+2sinx+ стр= 3 има поне един корен.
Решение.Нека трансформираме уравнението
Р ∙ (
- 1) + 2sinx + стр= 3, sinx = t, T
,T 0.
- стр+2t+ стр = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = стр .
Позволявам f(г) = 3
T 2
– 2
T 3
. Нека намерим набора от стойности на функциятаf(х) На
. при /
= 6
T – 6
T 2
, 6
T - 6
T 2
= 0,
T 1
=0,
T 2
= 1.
f(-1) = 5,
f(1) = 1.
При T
,
д(f) =
,
При T
,
д(f) =
, тоест кога T
,
д(f) =
.
Към уравнение 3T 2
– 2
T 3
=
стр
(следователно даденото) имаше поне един необходим и достатъчен коренстр
д(f), това е стр
.
Отговор.
.
Пример 2.
При какви стойности на параметритеАуравнението дневник
(4
х 2
– 4
а
+
а
2
+7) = 2 има точно един корен?
Решение.Нека трансформираме уравнението в един еквивалент на това:
4х 2 – 4 а + а 2 +7 = (x 2 + 2) 2.
Обърнете внимание, че ако определено число x е корен на полученото уравнение, то числото – x също е корен на това уравнение. По условие това не е възможно, така че единственият корен е числото 0.
Ще намерим А.
4∙ 0 2 - 4а + а 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
а 2 - 4а +7 = 4, а 2 - 4а +3 = 0, а 1 = 1, а 2 = 3.
Преглед.
1)
а
1
= 1. Тогава уравнението изглежда така:дневник
(4
х 2
+4) =2. Нека го решим
4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 е единственият корен.
2)
а
2
= 3. Уравнението изглежда така:дневник
(4
х 2
+4) =2
x = 0 е единственият корен.
Отговор. 1; 3
Високо ниво C4, C5
Пример 3. Намерете всички стойности R,за които уравнението
x 2 – ( Р+ 3)x + 1= 0 има цели числа и тези корени са решения на неравенството: x 3 – 7 Р x 2 + 2x 2 – 14 Рх - 3х +21 Р ≤ 0.
Решение.
Нека x 1,
х 2
– цели корени на уравнението x 2
– (Р
+ 3)x + 1= 0. Тогава, съгласно формулата на Виета, равенствата x 1
+ x 2
=
Р
+ 3, х 1
∙ x 2
= 1. Произведение на две цели числа x 1
, Х 2
може да бъде равно на единица само в два случая: x 1
= х 2
= 1 или x 1
= х 2
= - 1. Ако x 1
= х 2
= 1, тогаваР
+ 3 = 1+1 = 2
Р
= - 1; ако х 1
= х 2
= - 1, тогаваР
+ 3 = - 1 – 1 = - 2
Р
= - 5. Да проверим дали корените на уравнението x 2
– (Р
+ 3)x + 1= 0 в описаните случаи чрез решения на това неравенство. За случаяР
= - 1, х 1
= х 2
= 1 имаме
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – вярно; за случая Р= - 5, x 1 = x 2 = - 1 имаме (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – правилно. И така, условията на проблема са изпълнени само Р= - 1 и Р = - 5.
Отговор.Р 1 = - 1 и Р 2 = - 5.
Пример 4. Намерете всички положителни стойности на параметъра А, за които числото 1 принадлежи към областта на дефиниране на функцията
при
= (А
-
А
).
Избираем урок
по тази тема: „Решаване на уравнения и неравенства с параметри“
(Урок за обобщение и повторение)
Мишена: 1. Повторете и обобщете знанията на учениците за методите за решаване на уравнения и неравенства с параметри; консолидират способността за прилагане на знания при решаване на конкретни задачи; 2. Развиват логическото мислене; 3. Култивирайте внимание и точност.
План на урока: I. Организационен момент________________________________2 мин.
II. Актуализиране на основни знания:
- Повторение_________________________________3 мин.
- Устна работа________________________________3 мин.
- Работа с карти (по време на 1 и 2)
III. Решение на упражненията________________________________22 мин.
IY. Изпълнение на теста__________________________ 8 мин.
Y. Обобщаване, поставяне на домашна работа__2 мин.
По време на часовете:
аз Организиране на времето.
Учител: - Здравейте момчета. Радвам се да ви видя всички, започваме нашия урок. Днес в урока нашата цел е да повторим и упражним знанията, уменията и способностите, придобити в предишни уроци при изучаването на тази тема.
II . Актуализиране на основни знания:
1) Повторение.
Учителят: - И така, нека повторим.
Как се нарича линейно уравнение с параметри?
Какви случаи разгледахме при решаването на такива уравнения?
Дайте примери за линейни уравнения с параметри.
Дайте примери за линейни неравенства с параметри.
2) Устна работа.
Задача: Приведете това уравнение в линеен вид.
На бюрото:
а) 3a x – 1 =2 x;
б) 2+5 x = 5a x;
в) 2 x – 4 = a x + 1.
3) Работа с карти.
III . Решение на упражнения.
Упражнение 1. Решете уравнение с параметърА.
3(ax + 1) + 1 = 2(a – x) + 1.
Задачата се изпълнява на дъската и в тетрадките.
Задача 2. На каква стойност a, права линия y = 7ax + 9, минава през
т. A(-3;2) ?
Задачата се изпълнява самостоятелно на дъската от един ученик. Останалите работят в тетрадки, след което проверяват на дъската.
Физическо възпитание само минутка.
Задача 3. На каква стойност a, уравнение 3(ax – a) = x – 1 има
Безкрайно много решения?
Учениците трябва да решат тази задача самостоятелно в своите тетрадки. След това проверете отговорите.
Задача 4. При каква стойност на параметъраА , сумата от корените на уравнението
2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0равно на 1?
Задачата се изпълнява с коментар от място.
Задача 5. Решете неравенство с параметър R:
р(5х – 2)
Тази задача се изпълнява на дъската и в тетрадките.
IY. Изпълнение на теста.
На учениците се раздават индивидуални листове със задачи:
1) Е уравнението6(ax + 1) + a = 3(a – x) + 7линеен?
А) да; б) не; в) могат да бъдат сведени до линейни
2) Уравнение (2ax + 1)a = 5a – 1 свежда се до формата на линейно уравнение
А) не; б) да;
3) При каква стойност на параметъраи правата y = ax – 3 минава през
T. A(-2;9) ?
А) a = 1/6; б) а = 1/2; в) а = -6; г) а = 6.
4) При какво a е уравнението 2ax + 1 = x има корен равен на -1?
а) а = -1; б) а = 0; в) а = 1; г) а = 1/2.
5) Ако квадратното уравнение ax² + inx + c = 0 D ax² + inx + c >0 зависи от
A) стойности в ; б) стойности на a; в) стойности -v/a;
г) няма решения.
ОТГОВОРИ НА ТЕСТА: V; А; V; V; b.
YII. Обобщаване на урока. Поставяне на домашна работа.
Учител: - Днес в урока повторихме и затвърдихме знанията, придобити в предишни уроци, упражнихме необходимите умения при изпълнение на различни задачи. Мисля, че си свършил добра работа, браво.
В допълнение към оценките, дадени за урока, можете да оцените работата на редица други ученици в урока.
Учител : - Напишете домашното си:
На бюрото:
Решете неравенство: x² - 2ax + 4 > 0.
Урокът свърши.
Министерство на образованието на Владимирска област
Министерство на образованието на област Sudogodsky
Общинско учебно заведение
"Средно училище Мошок"
«
Решение уравнения И неравенства с параметър»
Разработено от: Гаврилова G.V.
учител по математика
общинска образователна институция "Мошокская средна"
общообразователно училище"
2009 година
Решаване на уравнения и неравенства с параметри
Обяснителна бележка
Концепцията за параметър е математическа концепция, която често се използва в училищната математика и свързаните с нея дисциплини.
7 клас - при изучаване на линейна функция и линейно уравнение с една променлива.
8 клас – при изучаване на квадратни уравнения.
Общообразователната програма на училищния курс по математика не предвижда решаване на задачи с параметри, а на приемните изпити в университетите и Единния държавен изпит по математика има задачи с параметри, чието решение създава големи трудности за учениците с параметри имат диагностична и прогностична стойност, която ви позволява да проверите знанията по основните раздели на училищния курс по математика, ниво на логическо мислене, първоначални изследователски умения.
Основната цел на курса е да запознае студентите с общи подходи за решаване на задачи с параметри, да подготви студентите по такъв начин, че да могат успешно да се справят със задачи, съдържащи параметри в атмосферата на състезателен изпит.
Решете уравнение, определете броя на решенията, изследвайте уравнение, намерете положителни корени, докажете, че неравенството няма решения и т.н. - всичко това са опции за параметрични примери. Следователно е невъзможно да се дадат универсални инструкции за решаване на примери; този курс разглежда различни примери с решения. Учебният материал е представен по следната схема: основна информация, примери с решения, примери за самостоятелна работа, примери за определяне на успеха на усвояване на материала.
Решаването на задачи с параметри допринася за формирането на изследователски умения и интелектуалното развитие.
Цели на курса:
Систематизира знанията, придобити от учениците в 7 и 8 клас при решаване на линейни и квадратни уравнения и неравенства;
Идентифицират и развиват своите математически способности;
Създайте холистично разбиране за решаване на линейни уравнения и неравенства, съдържащи параметри;
Създайте холистично разбиране за решаване на квадратни уравнения и неравенства, съдържащи параметри;
Задълбочаване на знанията по математика, осигуряване на формирането на устойчив интерес на учениците към предмета;
осигуряват подготовка за професионални дейности, изискващи висока математическа култура.
Учебен и тематичен план
№ п/п
|
Предмет |
Кол часа
|
дейности |
1. |
|
|
Работилница |
2. |
Първоначална информация за задачи с параметър. |
Семинар |
|
3. |
Решаване на линейни уравнения, съдържащи параметри. |
|
|
4. |
Решаване на линейни неравенства, съдържащи параметри. |
Изследователска работа; обучение на умения; самостоятелна работа. |
|
5. |
Квадратни уравнения. Теорема на Виета. |
3 |
Изследователска работа; обучение на умения; самостоятелна работа. |
6. |
Успешно завършване на курса |
1 |
Последен тест |
Тема 1.Решаване на линейни уравнения и неравенства, квадратни уравнения и неравенства, решаване на задачи по теоремата на Виета.
Тема 2. Начална информация за задачи с параметър.
Концепцията за параметър. Какво означава „решаване на проблем с параметър“? Основни типове задачи с параметър. Основни методи за решаване на задачи с параметър.
Примери за решаване на линейни уравнения с параметър.
Тема 4. Решаване на линейни неравенства, съдържащи параметри.
Примери за решаване на линейни неравенства с параметър.
Тема 5. Квадратни уравнения. Теорема на Виета.
Примери за решаване на квадратни уравнения с параметър.
Дидактически материали за избираемата дисциплина
„Решаване на уравнения и
неравенства с параметър"
Тема 1.Примери за тази тема.
Тема 2.Примери, при които учениците вече са срещали параметри:
Функция на пряка пропорционалност: y = kx (x и y са променливи; k е параметър, k ≠ 0);
Функция на обратната пропорционалност: y = k / x (x и y са променливи, k е параметър, k ≠ 0)
Линейна функция: y = kh + b (x и y са променливи; k и b са параметри);
Линейно уравнение: ax + b = 0 (x е променлива; a и b са параметри);
Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 (x е променлива; a, b и c са параметри,
Какво е параметър?
Ако в уравнение или неравенство някои коефициенти не са заменени с конкретни числени стойности, а са обозначени с букви, тогава те се наричат параметри, а уравнението или неравенството е параметрично.
Параметрите обикновено се означават с първите букви от латинската азбука: a, b, c, ... или a 1, a 2, a 3, ..., а неизвестните с последните букви от латинската азбука x, y, z, ... Тези обозначения не са задължителни, но ако в условието не е посочено кои букви са параметри и кои са неизвестни -
mi, тогава се използват следните обозначения.
Например, решете уравнението (4x - ax)a = 6x - 10. Тук x е неизвестното, а a е параметърът.
Какво означава „решаване на проблем с параметър“?
Решаването на задача с параметър означава за всяка стойност на параметъра a да се намери стойността x, която удовлетворява тази задача, т.е. зависи от въпроса в проблема.
Решаването на уравнение или неравенство с параметри означава:
Определете при какви стойности на параметрите съществуват решения;
За всяка допустима система от стойности на параметри намерете съответния набор от решения.
Кои са основните видове проблеми с параметър?
Тип 1.Уравнения, неравенства, които трябва да бъдат решени или за всяка стойност на параметър, или за стойности на параметри, принадлежащи към предварително определен набор. Този тип задача е основна при усвояване на темата „Проблеми с параметри“.
Тип 2.Уравнения, неравенства, за които е необходимо да се определи броят на решенията в зависимост от стойността на параметъра.
Тип 3.Уравнения, неравенства, за които се изисква да се намерят всички онези стойности на параметри, за които посочените уравнения и неравенства имат даден брой решения (по-специално, те нямат или имат безкраен брой решения). Проблемите от тип 3 са в известен смисъл обратни на проблемите от тип 2.
Тип 4.Уравнения, неравенства, за които, за необходимите стойности на параметъра, наборът от решения удовлетворява зададените условия в областта на дефиницията.
Например, намерете стойности на параметри, при които:
1) уравнението е изпълнено за всяка стойност на променливата от даден интервал;
2) множеството от решения на първото уравнение е подмножество от множеството от решения на второто уравнение и т.н.
Основни методи за решаване на задачи с параметър.
Метод 1. (аналитичен) Този метод е така нареченото директно решение, повтарящо стандартните методи за намиране на отговор в задачи без параметър.
Метод 2. (графичен) В зависимост от задачата се разглеждат графики в координатна равнина (x; y) или в координатна равнина (x; a).
Метод 3. (решение относно параметър) При решаване по този метод променливите x и a се приемат за равни и се избира променливата, по отношение на която аналитичното решение се счита за по-просто. След естествени опростявания се връщаме към първоначалното значение на променливите x и a и завършваме решението.
Коментирайте. Съществена стъпка при решаването на задачи с параметри е записването на отговора. Това се отнася особено за онези примери, при които решението изглежда се „разклонява“ в зависимост от стойностите на параметрите. В такива случаи съставянето на отговор е колекция от предварително получени резултати. И тук е много важно да не забравите да отразите в отговора всички етапи на решението.
Нека да разгледаме примерите. 2.1. Сравнете -a и 5a.
Решение. Необходимо е да се разгледат три случая: ако a 5a;
ако a = 0, тогава –a = 5a;
ако a > 0, тогава –a
Отговор. Когато 5a; при a = 0, –a = 5a; за а > 0, -а
Решете уравнението ax = 1.
Ако a ≠ 0, тогава x = 1 / a.
Отговор. За a = 0 няма решения; за a ≠ 0, x = 1 / a.
Сравнете с и – 7c.
Решете уравнението cx = 10
Тема 3.
Линейни уравнения
Уравнения на формата
където a, b принадлежат към набора от реални числа и x е неизвестно, наречено линейно уравнение по отношение на x.
Схема за изследване на линейно уравнение (1).
1.Ако a ≠ 0, b е всяко реално число. Уравнението има единствено решение x = b/a.
2. Ако a=0, b=0, тогава уравнението ще приеме формата 0 ∙ x = 0, решението на уравнението ще бъде множеството от всички реални числа.
3. Ако a=0, b ≠ 0, то уравнението 0 ∙ x = b няма решения.
Коментирайте. Ако линейното уравнение не е представено във формата (1), тогава първо трябва да го приведете във формата (1) и едва след това да извършите изследването.
Примери. 3.1 Решете уравнението (a -3)x = b+2a
Уравнението е написано като (1).
Решение: Ако a≠ 3, тогава уравнението има решение x = b+2a/ a-3 за всяко b.
Това означава, че единствената стойност на a, при която може да няма решения на уравнението, е a = 3. В този случай уравнението (a -3)x = b+2a приема формата
0 ∙ x = b+6. (2)
Ако β≠ - 6, тогава уравнение (2) няма решения.
Ако β = - 6, тогава всяко x е решение на (2).
Следователно, β = - 6 е единствената стойност на параметъра β, за която уравнение (1) има решение за всяко a (x=2 за a ≠3 и x принадлежи към набора от реални числа за a=3).
Отговор: b = -6.
3.2. Решете уравнението 3(x-2a) = 4(1-x).
3.3. Решете уравнението 3/kx-12=1/3x-k
3.4. Решете уравнението (a 2 -1)x = a 2 – a -2
3.5. Решете уравнението x 2 + (2a +4)x +8a+1=0
Самостоятелна работа.
Вариант 1. Решете уравненията: а) вход + 2 = - 1;
б) (a – 1)x = a – 2;
в) (a 2 – 1)x – a 2 + 2a – 1 = 0.
Вариант 2. Решете уравненията: а) – 8 = in + 1;
б) (a + 1)x = a – 1;
в) (9a 2 – 4)x – 9a 2 + 12a – 4 = 0.
Тема 4.
Линейни неравенства с параметър
Неравенства
ах > в, ах
където a, b са изрази в зависимост от параметрите, а x е неизвестното,се наричат линейни неравенства с параметри.
Решаването на неравенство с параметри означава намиране на набор от решения на неравенството за всички стойности на параметри.
Схема за решаване на неравенство ах > c.
Ако a > 0, тогава x > b/a.
Ако
Ако a = 0, тогава неравенството ще приеме формата 0 ∙ x > b. При β ≥ 0 неравенството няма решения; при
Примери. 4.1. Решете неравенството a(3x-1)>3x – 2.
Решение: a(3x-1)>3x – 2, което означава 3x(a-1)>a-2.
Нека разгледаме три случая.
a=1, решението 0 ∙ x > -1 е всяко реално число.
a>1, 3x(a-1)>a-2, което означава x>a-2/3 (a-1).
и a-2 означава x
2ax +5 > a+10x.
(a + 1)x – 3a + 1 ≤ 0.
X 2 + брадва +1 > 0.
Самостоятелна работа.
Опция 1.Решете неравенства: а) ( А– 1)x ≤ А 2 – 1;
б) 3x-a > ah – 2.
Вариант 2.Решете неравенствата: а) (a – 1)x – 2a +3 ≥ 0;
б) ах-2в
Тема 5.
Квадратни уравнения, съдържащи параметри. Теорема на Виета.
Уравнение на формата
брадва 2 +in + c = 0, (1)
където a, b, c са изрази в зависимост от параметрите, a ≠ 0, x е неизвестно, наречено квадратно уравнение с параметри.
Схема за изучаване на квадратно уравнение (1).
Ако a = 0, тогава имаме линейното уравнение inx + c = 0.
Ако a ≠ 0 и дискриминантът на уравнението D = 2 – 4ac
Ако a ≠ 0 и D = 0, тогава уравнението има уникално решение x = - B / 2a или, както се казва, съвпадащи корени x 1 = x 2 = - B / 2a.
Ако a ≠ 0 и D > 0, тогава уравнението има два различни корена х 1,2 = (- V ± √D) / 2a
Примери. 5.1. За всички стойности на параметър a, решете уравнението
(a – 1)x 2 – 2ax + a + 2 = 0.
Решение. 1. a – 1 = 0, т.е. a = 1. Тогава уравнението ще приеме формата -2x + 3 = 0, x = 3 / 2.
2. a ≠ 1. Нека намерим дискриминанта на уравнението D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 2) = - 4a + 8.
Възможни са следните случаи: а) D 8, a > 2. Уравнението няма
б) D = 0, т.е. -4a + 8 = 0, 4a = 8, a = 2. Уравнението има едно
корен x = a / (a – 1) = 2 / (2 – 1) = 2.
в) D > 0, т.е. -4a + 8 > 0,4a
корен x 1,2 = (2a ± √ -4a + 8) / 2(a – 1) = (a ± √ 2 – a) / (a – 1)
Отговор. Когато a = 1 x = 3/2;
когато a =2 x = 2;
за a > 2 няма корени;
За всички стойности на параметрите решете уравненията:
ax 2 + 3ax – a – 2 = 0;
брадва 2 +6x – 6 = 0;
в 2 – (в + 1)x +1 = 0;
(b + 1)x 2 – 2x + 1 – b = 0.
Самостоятелна работа.
Вариант 1. Решете уравнението ax 2 - (a+3)x + 3 = 0.
Вариант 2. Решете уравнението a 2 + (a + 1)x + 2a-4 = 0.
Задачи.
. Намерете всички стойности на параметъра a, за които квадратното уравнение
Решение. Това уравнение е квадратно по условие, което означава
a – 1 ≠ 0, т.е. a ≠ 1. Нека намерим дискриминанта D = 4(2a + 1) 2 – 4(a – 1)(4a +3) =
4(4a 2 + 4a + 1 – 4a 2 + a + 3) = 4(5a + 4).
Имаме: 1) За a ≠ 1 и D > 0, т.е. 4(5a + 4) > 0, a > - 4/5 уравнението има две
различни корени.
2) За a ≠ 1 и D
3) За a ≠ 1 и D = 0, т.е. a = - 4/5 уравнението има един корен.
Отговор. Ако a > - 4/5 и a ≠ 1, тогава уравнението има два различни корена;
ако a = - 4 / 5, тогава уравнението има един корен.
.За какви стойности на параметъра a уравнението (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 има единствено решение?
.За какви стойности на параметъра a уравнението (a 2 – a – 2)x 2 + (a +1)x + 1 = 0 няма решения?
.За какви стойности на параметъра a уравнението ax 2 - (2a+3)x+a+5=0 има два различни корена?
Самостоятелна работа.
Опция 1.Намерете всички стойности на параметрите А, за което квадратното уравнение (2 А – 1)х 2 +2х– 1 = 0 има два различни корена; няма корени; има един корен.
Вариант 2.. Намерете всички стойности на параметъра a, за които квадратното уравнение (1 – А)х 2 +4х– 3 = 0 има два различни корена; няма корени; има един корен.
Теорема на Виета.
Следните теореми се използват за решаване на много проблеми, включващи квадратни уравнения, съдържащи параметри.
Теорема на Виета.Ако x 1, x 2 са корените на квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0, a≠0, тогава x 1 + x 2 = - B / a и x 1 ∙ x 2 = C / a.
Теорема 1.За да бъдат корените на квадратния трином ax 2 + bx + c реални и да имат еднакви знаци, е необходимо и достатъчно да бъдат изпълнени следните условия: D = in 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C / A > 0.
В този случай и двата корена ще бъдат положителни, ако x 1 + x 2 = - B /a > 0, и двата корена ще бъдат отрицателни, ако x 1 + x 2 = - B /a
Теорема 2.За да бъдат корените на квадратния трином ax 2 + bx + c реални и неотрицателни или неположителни, е необходимо и достатъчно да бъдат изпълнени следните условия: D = in 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C /a≥ 0.
В този случай и двата корена ще бъдат неотрицателни, ако x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0, и двата корена ще бъдат неположителни, ако x 1 + x 2 = - B /a ≤ 0.
Теорема 3.За да бъдат корените на квадратния тричлен ax 2 + bx + c реални и да имат различни знаци, е необходимо и достатъчно да бъдат изпълнени следните условия: x 1 ∙ x 2 = C /a В този случай условието D = b 2 – 4ac > 0 се удовлетворява автоматично.
Забележка.Тези теореми играят важна роля при решаването на проблеми, свързани с изучаването на знаците на корените на уравнението ax 2 + bx + c = 0.
Полезни равенства: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2, (1)
x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2), (2)
(x 1 - x 2) 2 = (x 1 + x 2) 2 – 4x 1 x 2, (3)
(5)
5.10.
(a – 1)x 2 – 2ax + a +1 = 0 има: а) два положителни корена; б) два отрицателни корена; в) корени от различни знаци?
Решение. Уравнението е квадратно, което означава a ≠ 1. По теоремата на Виета имаме
x 1 + x 2 = 2a / (a – 1) , x 1 x 2 = (a + 1) / (a – 1) .
Нека изчислим дискриминанта D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 1) = 4.
а) Според теорема 1 уравнението има положителни корени, ако
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, т.е. (a + 1) / (a – 1) > 0, 2a / (a – 1) > 0.
Следователно a є (-1; 0).
б) Съгласно теорема 1 уравнението има отрицателни корени, ако
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 0, 2a / (a – 1)
Следователно a є (0; 1).
в) Съгласно теорема 3 уравнението има корени с различни знаци, ако x 1 x 2
(a + 1) / (a – 1) Отговор. а) при a є (-1; 0) уравнението има положителни корени;
б) при a є (0; 1) уравнението има отрицателни корени;
в) за a є (-1; 1) уравнението има корени с различни знаци.
5.11.
При какви стойности на параметър а е квадратното уравнение
(a – 1)x 2 – 2(a +1)x + a +3 = 0 има: а) два положителни корена; б) два отрицателни корена; в) корени от различни знаци?
5. 12. Без да решавате уравнението 3x 2 – (b + 1)x – 3b 2 +0, намерете x 1 -1 + x 2 -1, където x 1, x 2 са корените на уравнението.
5.13. За какви стойности на параметъра a уравнението x 2 – 2(a + 1)x + a 2 = 0 има корени, чиято сума на квадратите е 4.
Тест.
Вариант 1. 1. Решете уравнението (a 2 +4a)x = 2a + 8.
2. Решете неравенството (in + 1)x ≥ (in 2 – 1).
3. За какви стойности на параметър а прави уравнението
x 2 – (2a +1)x + a 2 + a – 6 = 0 има: а) два положителни корена; б) два отрицателни корена; в) корени от различни знаци?
Вариант 2. 1. Решете уравнението (a 2 – 2a)x = 3a.
2. Решете неравенството (a + 2)x ≤ a 2 – 4.
3. При какви стойности на параметъра в уравнението
x 2 – (2b – 1)x + b 2 – t – 2 = 0 има: а) два положителни корена; б) два отрицателни корена; в) корени от различни знаци?
Литература.
В.В. Мочалов, В.В. Силвестров. Уравнения и неравенства с параметри. Гл.: Издателство на ЧСУ, 2004. – 175 с.
Yastrebinsky G.A. Проблеми с параметрите. М .: Образование, 1986, - 128 с.
Башмаков M.I. Алгебра и началото на анализа. Учебник за 10 – 11 клас на средното училище. М.: Образование, 1991. – 351 с.
Т. Пескова. Първо въведение в параметрите в уравненията. Учебно-методически вестник "Математика". бр.36, 1999.
Т. Косякова. Решаване на линейни и квадратни неравенства, съдържащи параметри. 9 клас Учебно-методически вестник "Математика" бр.25 - 26, бр.27 - 28. 2004г.
Т. Горшенина. Проблеми с параметър. 8 клас Учебно-методически вестник "Математика". номер 16. 2004 г.
Ш. Циганов. Квадратни триноми и параметри. Учебно-методически вестник "Математика". номер 5. 1999 г.
С. Неделяева. Характеристики на решаване на задачи с параметър. Учебно-методически вестник "Математика". № 34. 1999 г.
- Молитви против блуд На кого да се молим срещу блуд в семейството
- Литературна вечер "Животът и творчеството на Марина Ивановна Цвеева" Литературна вечер, посветена на Цветаева в библиотеката
- Застрахователни компании с отнет лиценз Застрахователната компания има ли лиценз?
- Силата на амулета, направен от зъб на акула или крокодил. От какво е направена висулка с зъби?