Järeldusparameetriga võrrandite ja võrratuste uurimine. Võrratuste ja võrratuste lahendamine parameetritega
Parameeter \(a\) on arv, mis võib võtta mis tahes väärtuse väärtusest \(\mathbb(R)\) .
Võrrandi/võrratuse uurimine parameetri kõigi väärtuste jaoks tähendab näidata, millistel parameetri väärtustel on, milline konkreetne lahendus antud võrrandil/võrratusel on.
Näited:
1) võrrandil \(ax=2\) kõigi \(a\ne 0\) jaoks on kordumatu lahend \(x=\dfrac 2a\) ja \(a=0\) jaoks pole lahendusi (kuna siis on võrrand kujul \(0=2\) ).
2) võrrandil \(ax=0\) kõigi \(a\ne 0\) jaoks on unikaalne lahend \(x=0\) ja \(a=0\) jaoks on sellel lõpmatult palju lahendeid, s.t. \(x\in \mathbb(R)\) (sellest ajast võtab võrrand kuju \(0=0\) ).
Märka seda
I) võrrandi mõlemat poolt ei saa jagada avaldisega, mis sisaldab parameetrit (\(f(a)\) ), kui see avaldis võib olla võrdne nulliga. Kuid võib kaaluda kahte juhtumit:
esimene kui \(f(a)\ne0\) , sel juhul saame võrdsuse mõlemad pooled jagada \(f(a)\) ;
teine juhtum on siis, kui \(f(a)=0\) , ja sel juhul saame iga \(a\) väärtust eraldi kontrollida (vt näide 1, 2).
II) parameetrit sisaldava avaldise abil ei saa võrratuse mõlemat poolt jagada, kui selle avaldise märk on tundmatu. Kuid võib kaaluda kolme juhtumit:
esimene, kui \(f(a)>0\) , ja sel juhul saame ebavõrdsuse mõlemad pooled jagada \(f(a)\) ;
teiseks, kui \(f(a)<0\)
, и в этом случае при делении обеих частей неравенства на \(f(a)\)
мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный;
kolmas on siis, kui \(f(a)=0\) , sel juhul saame iga \(a\) väärtust eraldi kontrollida.
Näide:
3) võrratuse \(ax>3\) \(a>0\) jaoks on lahendus \(x>\dfrac3a\), \(a<0\) имеет решение \(x<\dfrac3a\) , а при \(a=0\) не имеет решений, т.к. принимает вид \(0>3\) .
Ülesanne 1 #1220
Ülesande tase: lihtsam kui ühtne riigieksam
Lahendage võrrand \(ax+3=0\)
Võrrandi saab ümber kirjutada kujul \(ax=-3\) . Vaatleme kahte juhtumit:
1) \(a=0\) . Sel juhul on vasak pool võrdne \(0\) , kuid parem pool mitte, seetõttu pole võrrandil juuri.
2) \(a\ne 0\) . Seejärel \(x=-\dfrac(3)(a)\) .
Vastus:
\(a=0 \Paremnool x\in \varnothing; \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-\dfrac(3)(a)\).
Ülesanne 2 #1221
Ülesande tase: lihtsam kui ühtne riigieksam
Lahendage võrrand \(ax+a^2=0\) parameetri \(a\) kõigi väärtuste jaoks.
Võrrandi saab ümber kirjutada kujul \(ax=-a^2\) . Vaatleme kahte juhtumit:
1) \(a=0\) . Sel juhul on vasak ja parem külg võrdsed \(0\), seetõttu kehtib võrrand muutuja \(x\) mis tahes väärtuste puhul.
2) \(a\ne 0\) . Seejärel \(x=-a\) .
Vastus:
\(a=0 \Paremnool x\in \mathbb(R); \\ a\ne 0 \Paremnool x=-a\).
Ülesanne 3 #1222
Ülesande tase: lihtsam kui ühtne riigieksam
Lahendage ebavõrdsus \(2ax+5\cos\dfrac(\pi)(3)\geqslant 0\) parameetri \(a\) kõigi väärtuste jaoks.
Ebavõrdsuse saab ümber kirjutada kujul \(ax\geqslant -\dfrac(5)(4)\) . Vaatleme kolme juhtumit:
1) \(a=0\) . Seejärel võtab ebavõrdsus kuju \(0\geqslant -\dfrac(5)(4)\) , mis kehtib muutuja \(x\) mis tahes väärtuste puhul.
2) \(a>0\) . Siis, kui jagades võrratuse mõlemad pooled \(a\), siis võrratuse märk ei muutu, seega \(x\geqslant -\dfrac(5)(4a)\) .
3)\(a<0\) . Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, \(x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .
Vastus:
\(a=0 \Paremnool x\in \mathbb(R); \\ a>0 \Rightarrow x\geqslant -\dfrac(5)(4a); \\ a<0 \Rightarrow x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .
Ülesanne 4 #1223
Ülesande tase: lihtsam kui ühtne riigieksam
Lahendage ebavõrdsus \(a(x^2-6) \geqslant (2-3a^2)x\) parameetri \(a\) kõigi väärtuste jaoks.
Teisendame ebavõrdsuse vormiks: \(ax^2+(3a^2-2)x-6a \geqslant 0\). Vaatleme kahte juhtumit:
1) \(a=0\) . Sel juhul muutub ebavõrdsus lineaarseks ja võtab järgmise kuju: \(-2x \geqslant 0 \Paremnool x\leqslant 0\).
2) \(a\ne 0\) . Siis on ebavõrdsus ruutkeskne. Leiame diskrimineerija:
\(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2\).
Sest \(a^2 \geqslant 0 \Paremnool D>0\) mis tahes parameetri väärtuste jaoks.
Seetõttu on võrrandil \(ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0\) alati kaks juurt \(x_1=-3a, x_2=\dfrac(2)(a)\) . Seega on ebavõrdsus järgmine:
\[(ax-2)(x+3a) \geqslant 0\]
Kui \(a>0\) , siis \(x_1
Kui \(a<0\) , то \(x_1>x_2\) ja parabooli \(y=(ax-2)(x+3a)\) harud on suunatud allapoole, mis tähendab, et lahendus on \(x\in \big[\dfrac(2)(a); -3a]\).
Vastus:
\(a=0 \Rightarrow x\leqslant 0; \\ a>0 \Rightarrow x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac(2)(a); +\infty); \ \a<0 \Rightarrow x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a\big]\) .
Ülesanne 5 #1851
Ülesande tase: lihtsam kui ühtne riigieksam
Mille jaoks \(a\) on ebavõrdsuse lahendite hulk \((a^2-3a+2)x -a+2\geqslant 0\) sisaldab poolintervalli \(\).
Vastus:
\(a\in (-\infty;\dfrac(4)(3)\big]\cup
Vaatleme kahte juhtumit:
1) \(a+1=0 \paremnool a=-1\) . Sel juhul on võrrand \((*)\) samaväärne \(3=0\) , see tähendab, et sellel pole lahendeid.
Siis on kogu süsteem samaväärne \(\begin(cases) x\geqslant 2\\ x=2 \end(cases) \Leftparemnool x=2\)
2) \(a+1\ne 0 \paremnool a\ne -1\). Sel juhul on süsteem samaväärne: \[\begin(cases) x\geqslant -2a\\ \left[ \begin(kogutud) \begin(joondatud) &x_1=-2a \\ &x_2=\dfrac3(a+1) \end(joondatud) \end( kogutud) \õige. \end(juhtumid)\]
Sellel süsteemil on üks lahendus, kui \(x_2\leqslant -2a\) , ja kaks lahendust, kui \(x_2>-2a\) :
2.1) \(\dfrac3(a+1)\leqslant -2a \Paremnool a<-1 \Rightarrow \) meil on üks juur \(x=-2a\) .
2.2) \(\dfrac3(a+1)>-2a \Paremnool a>-1 \Paremnool \) meil on kaks juurt \(x_1=-2a, x_2=\dfrac3(a+1)\) .
Vastus:
\(a\in(-\infty;-1) \Paremnool x=-2a\\ a=-1 \Paremnool x=2\\ a\in(-1;+\infty) \Paremnool x\in\( -2a;\frac3(a+1)\)\)
Nagu näitab statistika, peavad paljud lõpetajad matemaatika ühtseks riigieksamiks 2019 valmistudes kõige keerulisemaks parameetriga probleemidele lahenduste leidmist. Millega see seotud on? Fakt on see, et sageli nõuavad parameetriga seotud probleemid lahenduse uurimismeetodite kasutamist, see tähendab, et õige vastuse arvutamisel ei pea te lihtsalt kasutama valemeid, vaid leidma ka need parameetri väärtused, mille puhul teatud tingimus sest juured on rahul. Samas pole vahel vaja juuri ise otsida.
Sellegipoolest peavad kõik ühtset riigieksamit sooritama valmistuvad õpilased hakkama saama parameetritega ülesannete lahendamisega. Sarnaseid ülesandeid kohtab sertifitseerimistestides regulaarselt. Shkolkovo haridusportaal aitab teil teadmistes lünki täita ja õppida, kuidas matemaatika ühtsel riigieksamil parameetriga ülesannetele kiiresti lahendusi leida. Meie eksperdid on koostanud ja kättesaadaval kujul esitanud kogu selleteemalise teoreetilise ja praktilise põhimaterjali. Shkolkovo portaaliga on parameetri valimise probleemide lahendamine teie jaoks lihtne ega too kaasa raskusi.
Põhilised hetked
Oluline on mõista, et parameetrite valiku probleemide lahendamiseks pole lihtsalt ühte algoritmi. Õige vastuse leidmise meetodid võivad olla erinevad. Ühendatud riigieksami parameetriga matemaatilise ülesande lahendamine tähendab leidmist, millega muutuja parameetri teatud väärtuse juures võrdub. Kui esialgset võrrandit ja võrratust saab lihtsustada, tuleks seda kõigepealt teha. Mõne ülesande puhul saab selleks kasutada standardseid lahendusviise, justkui oleks parameeter tavaline arv.
Kas olete selle teema teoreetilist materjali juba lugenud? Teabe täielikuks omastamiseks matemaatika ühtseks riigieksamiks valmistumisel soovitame harjutada ülesannete täitmist parameetriga; Iga harjutuse jaoks oleme esitanud lahenduse täieliku analüüsi ja õige vastuse. Vastavast rubriigist leiad nii lihtsamaid kui ka keerulisemaid ülesandeid. Õpilased saavad harjutada parameetritega harjutuste lahendamist, mis on modelleeritud ühtse riigieksami ülesannete järgi, veebis Moskvas või mõnes muus Venemaa linnas viibides.
Inimene, kes oskab parameetritega probleeme lahendada, tunneb suurepäraselt teooriat ja oskab seda rakendada mitte mehaaniliselt, vaid loogiliselt. Ta “mõistab” funktsiooni, “tunneb”, peab seda oma sõbraks või vähemalt heaks tuttavaks ega tea selle olemasolust ainult.
Mis on võrrand parameetriga? Olgu antud võrrand f (x; a) = 0. Kui ülesandeks on leida kõik sellised paarid (x; a), mis seda võrrandit rahuldavad, siis loetakse seda võrrandiks kahe võrdse muutujaga x ja a. Kuid me võime püstitada veel ühe probleemi, eeldades, et muutujad on ebavõrdsed. Fakt on see, et kui anda muutujale mis tahes fikseeritud väärtus, siis f (x; a) = 0 muutub võrrandiks ühe muutujaga x ja selle võrrandi lahendid sõltuvad loomulikult a valitud väärtusest.
Peamised raskused, mis on seotud võrrandite (ja eriti ebavõrdsuse) lahendamisega parameetriga, on järgmised: - parameetri mõne väärtuse puhul pole võrrandil lahendusi; -koos teistega – on lõpmatult palju lahendusi; - kolmandal juhul lahendatakse see samade valemite abil; - neljandaga – see lahendatakse teiste valemite abil. - Kui muutuja X suhtes on vaja lahendada võrrand f (x; a) = 0 ja a mõistetakse suvalise reaalarvuna, siis nimetatakse võrrandit võrrandiks parameetriga a.
Võrrandi lahendamine parameetriga f (x; a) = 0 tähendab võrrandiperekonna lahendamist, mis tuleneb võrrandist f (x; a) = 0 parameetri mis tahes tegelike väärtuste jaoks. Parameetriga võrrand on tegelikult lõpmatu võrrandipere lühike esitus. Iga perekonna võrrand saadakse antud võrrandist koos parameetri konkreetse väärtuse parameetriga. Seetõttu saab parameetriga võrrandi lahendamise probleemi sõnastada järgmiselt:
Lõpmatust võrrandiperest on võimatu üles kirjutada iga võrrandit, kuid sellegipoolest tuleb lahendada iga võrrand lõpmatust perekonnast. Seda saab teha näiteks jagades kõigi parameetrite väärtuste komplekti mõne sobiva kriteeriumi järgi alamhulkadeks ja seejärel lahendades antud võrrandi iga alamhulga kohta. Lineaarvõrrandite lahendamine
Parameetrite väärtuste komplekti alamhulkadeks jagamiseks on kasulik kasutada neid parameetriväärtusi, mille juures või läbimisel toimub võrrandi kvalitatiivne muutus. Selliseid parameetrite väärtusi võib nimetada kontroll- või spetsiaalseteks. Parameetritega võrrandi lahendamise kunst seisneb just nimelt parameetri kontrollväärtuste leidmises.
Tüüp 1. Võrrandid, võrratused, nende süsteemid, mis tuleb lahendada kas mis tahes parameetri väärtuse või etteantud hulka kuuluvate parameetrite väärtuste jaoks. Seda tüüpi ülesanded on teema “Probleemid parameetritega” valdamisel elementaarsed, kuna investeeritud töö määrab edu kõigi teiste põhitüüpide probleemide lahendamisel.
Tüüp 2. Võrrandid, võrratused, nende süsteemid, mille puhul on vaja määrata lahendite arv sõltuvalt parameetri (parameetrite) väärtusest. Seda tüüpi ülesannete lahendamisel ei ole vaja lahendada etteantud võrrandeid, võrratusi või nende süsteeme ega pakkuda neid lahendusi; Enamasti on selline tarbetu töö taktikaline viga, mis toob kaasa asjatut ajaraiskamist. Kuid mõnikord on otselahendus 2. tüüpi probleemi lahendamisel ainus mõistlik viis vastuse saamiseks.
Tüüp 3. Võrrandid, võrratused, nende süsteemid, mille jaoks on vaja leida kõik need parameetrite väärtused, mille jaoks määratud võrranditel, võrranditel ja nende süsteemidel on etteantud arv lahendusi (eelkõige neil ei ole või on lõpmatu arv lahendusi). 3. tüüpi ülesanded on teatud mõttes 2. tüüpi ülesannete pöördvõrdelised.
Tüüp 4. Võrrandid, võrratused, nende süsteemid ja hulgad, mille jaoks parameetri nõutud väärtuste jaoks vastab lahenduste kogum definitsioonivaldkonnas määratud tingimusi. Näiteks leidke parameetrite väärtused, mille korral: 1) võrrand on täidetud muutuja mis tahes väärtusega antud intervallist; 2) esimese võrrandi lahendite hulk on teise võrrandi lahendite hulga alamhulk jne.
Põhimeetodid (meetodid) parameetriga ülesannete lahendamiseks. Meetod I (analüütiline). Parameetriga probleemide lahendamise analüütiline meetod on kõige keerulisem meetod, mis nõuab kõrget kirjaoskust ja suurimat pingutust selle valdamiseks. II meetod (graafiline). Olenevalt probleemist (muutuja x ja parameetriga a) vaadeldakse graafikuid kas Oxy koordinaattasandil või Oxy koordinaattasandil. III meetod (otsus parameetri kohta). Selliselt lahendamisel eeldatakse, et muutujad x ja a on võrdsed ning valitakse muutuja, mille suhtes analüütilist lahendust peetakse lihtsamaks. Pärast loomulikke lihtsustusi pöördume tagasi muutujate x ja a algse tähenduse juurde ning lõpetame lahenduse.
Näide 1. Leidke parameetri a väärtused, mille võrrandil a(2a + 3)x + a 2 = a 2 x + 3a on üks negatiivne juur. Lahendus. See võrrand on võrdne järgmisega:. Kui a(a + 3) 0, st a 0, a –3, siis on võrrandil üks juur x =. X
Näide 2: lahendage võrrand. Lahendus. Kuna murdosa nimetaja ei saa olla võrdne nulliga, on meil (b – 1)(x + 3) 0, st b 1, x –3. Korrutades võrrandi mõlemad pooled arvuga (b – 1)(x + 3) 0, saame võrrandi: See võrrand on muutuja x suhtes lineaarne. Kui 4b – 9 = 0, st b = 2,25, on võrrand järgmiselt: 4b – 9 0, st b 2,25 korral on võrrandi juur x =. Nüüd peame kontrollima, kas b-l on mõni väärtus, mille x leitud väärtus on võrdne –3-ga. Seega b 1, b 2,25, b –0,4 korral on võrrandil üks juur x =. Vastus: b 1 puhul b 2,25, b –0,4 juur x = b = 2,25, b = –0,4 puhul lahendusi pole; kui b = 1, pole võrrandil mõtet.
Ülesannete tüübid 2 ja 3 eristuvad selle poolest, et nende lahendamisel ei ole vaja saada selget lahendust, vaid tuleb leida ainult need parameetrite väärtused, mille puhul see lahendus teatud tingimustele vastab. Selliste lahendustingimuste näited on järgmised: lahendus on olemas; lahendus puudub; on ainult üks lahendus; on positiivne lahendus; lahendusi on täpselt k; on määratud intervalli kuuluv lahendus. Nendel juhtudel osutub parameetritega seotud probleemide lahendamise graafiline meetod väga kasulikuks.
Võrrandi f (x) = f (a) lahendamisel saame eristada kahte graafilise meetodi rakendusviisi: Oxy tasandil on graaf y = f (x) ja graafikute perekond y = f (a) kaalus. See hõlmab ka probleeme, mis on lahendatud "joonte kimbu" abil. See meetod osutub mugavaks kahe tundmatu ja ühe parameetri probleemide korral. Ox-tasandil (mida nimetatakse ka faasitasandiks) vaadeldakse graafikuid, milles x on argument ja a on funktsiooni väärtus. Seda meetodit kasutatakse tavaliselt probleemide puhul, mis hõlmavad ainult ühte tundmatut ja ühte parameetrit (või võib taandada selliseks).
Näide 1. Milliste parameetri a väärtuste korral on võrrandil 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a vähemalt kolm juurt? Lahendus. Koostame funktsioonide f (x) = 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 ja f (x) = a graafikud ühes koordinaatsüsteemis. Meil on: f "(x) = 12x x 2 – 24x = 12x(x + 2) (x - 1), f "(x) = 0 x = –2 (minimaalne punkt), x = 0 (maksimaalne) punkt ) ja x = 1 (maksimaalne punkt). Leiame funktsiooni väärtused äärmuspunktides: f (–2) = –32, f (0) = 0, f (1) = –5. Koostame funktsiooni skemaatilise graafiku, võttes arvesse äärmuspunkte. Graafiline mudel võimaldab vastata püstitatud küsimusele: võrrandil 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a on vähemalt kolm juurt, kui –5
Näide 2. Mitu juurt on võrrandil parameetri a erinevate väärtuste jaoks? Lahendus. Vastus püstitatud küsimusele on seotud poolringi y = ja sirge y = x + a graafiku lõikepunktide arvuga. Sirge, mis on puutuja, on valemiga y = x +. Antud võrrandil ei ole juure a; on üks juur –2 juures
Näide 3. Mitu lahendit on võrrandil |x + 2| = ax + 1 sõltuvalt parameetrist a? Lahendus. Saate joonistada graafikuid y = |x + 2| ja y = ax + 1. Aga me teeme seda teisiti. Kui x = 0 (21), ei ole lahendusi. Jagage võrrand x-ga: ja vaatleme kahte juhtumit: 1) x > –2 või x = 2 2) 2) x –2 või x = 2 2) 2) x
Näide "joonte kimbu" kasutamisest tasapinnal. Leidke parameetri a väärtused, mille jaoks on võrrand |3x + 3| = kirves + 5 on unikaalne lahendus. Lahendus. Võrrand |3x + 3| = ax + 5 on samaväärne järgmise süsteemiga: Võrrand y – 5 = a(x – 0) defineerib tasapinnal joonte pliiatsi, mille keskpunkt on A (0; 5). Joonestame sirgjoonte hunnikust sirgjooned, mis on paralleelsed nurga külgedega, mis on graafik y = |3x + 3|. Need sirged l ja l 1 lõikavad ühes punktis graafikut y = |3x + 3|. Nende sirgete võrrandid on y = 3x + 5 ja y = –3x + 5. Lisaks lõikub iga nende ridade vahel paiknev pliiatsi sirge ka graafikuga y = |3x + 3| ühel hetkel. See tähendab, et parameetri nõutavad väärtused [–3; 3].
Algoritm võrrandite lahendamiseks faasitasandi abil: 1. Leia võrrandi definitsioonipiirkond. 2. Väljendage parameeter a x funktsioonina. 3. Koordinaatsüsteemis xOa koostame funktsiooni a = f(x) graafiku nende x väärtuste jaoks, mis sisalduvad selle võrrandi definitsioonipiirkonnas. 4. Leidke sirge a = c, kus c є (-; +) lõikepunktid funktsiooni a = f (x) graafikuga. Kui sirge a = c lõikub graafikuga a = f(x), siis määrame lõikepunktide abstsissid. Selleks piisab võrrandi a = f(x) lahendamisest x jaoks. 5.Kirjutage vastus üles.
Näide ebavõrdsuse lahendamisest "faasitasandi" abil. Lahendage võrratus x. Lahendus: Ekvivalentse üleminekuga Nüüd Ox tasapinnal koostame funktsioonide graafikud parabooli ja sirge lõikepunktid x 2 – 2x = –2x x = 0. Tingimus a –2x on automaatselt täidetud punktis a x 2 – 2x Seega vasakpoolsel pooltasandil (x
Riigieelarveline õppeasutus
Samara piirkonna keskharidus
nimeline kool nr 2. V. Maskina raudtee Art. Klyavlino
Klyavlinsky linnaosa
Samara piirkond
« Võrrandid
Ja
ebavõrdsused
parameetritega"
õpetus
Klyavlino
Õpetus
"Võrrandid ja võrratused parameetritega" klasside õpilastele 10.–11
käesolev juhend on lisana väliseksami sooritanud valikkursuse “Võrrandid ja võrratused parameetritega” programmile (Samara piirkonna Haridus- ja Teadusministeeriumi teaduslik-metoodiline ekspertnõukogu 19. detsembri 2008.a. kasutamine Samara piirkonna haridusasutustes)
Autorid
Romadanova Irina Vladimirovna
Kljavlinskaja keskkooli matemaatikaõpetaja
nimeline kool nr 2. V. Maskina, Klyavlinsky rajoon, Samara piirkond
Serbaeva Irina Aleksejevna
Sissejuhatus……………………………………………………………… 3-4
Lineaarvõrrandid ja võrratused parameetritega………………..4-7
Ruutvõrrandid ja võrratused parameetritega……………7-9
Murdratsionaalvõrrandid parameetritega……………..10-11
Irratsionaalvõrrandid ja võrratused parameetritega……11-13
Trigonomeetrilised võrrandid ja võrratused parameetritega.14-15
Eksponentvõrrandid ja võrratused parameetritega………16-17
Logaritmvõrrandid ja võrratused parameetritega......16-18
Ühtsed riigieksami eesmärgid…………………………………………………………….18-20
Ülesanded iseseisvaks tööks………………………………21-28
Sissejuhatus.
Võrrandid ja võrratused parameetritega.
Kui võrrandis või võrratuses mõnele koefitsiendile ei anta konkreetseid arvväärtusi, vaid need on tähistatud tähtedega, siis nimetatakse neid parameetrid, ja võrrand või ebavõrdsus ise parameetriline.
Parameetritega võrrandi või võrratuse lahendamiseks peate:
Valige eriline tähendus- see on parameetri väärtus, milles või mille läbimisel võrrandi või võrratuse lahend muutub.
Defineeri kehtivad väärtused– need on parameetri väärtused, mille puhul võrrandil või ebavõrdsusel on mõtet.
Võrrandi või võrratuse lahendamine parameetritega tähendab:
1) teha kindlaks, millistel parameetriväärtustel on lahendused olemas;
2) leida igale lubatavale parameetriväärtuste süsteemile vastav lahenduste komplekt.
Võrrandi parameetriga saate lahendada järgmiste meetoditega: analüütiline või graafiline.
Analüütiline meetod hõlmab ülesannet uurida võrrandit, võttes arvesse mitmeid juhtumeid, millest ühtegi ei saa mööda vaadata.
Igat tüüpi parameetritega võrrandite ja võrratuste lahendamine analüütilise meetodiga hõlmab olukorra üksikasjalikku analüüsi ja järjepidevat uurimistööd, mille käigus tekib vajadus "ettevaatlik käsitsemine" parameetriga.
Graafiline meetod hõlmab võrrandi graafiku koostamist, mille järgi saab määrata, kuidas parameetri muutus mõjutab võrrandi lahendust vastavalt. Graafik võimaldab mõnikord analüütiliselt sõnastada ülesande lahendamiseks vajalikud ja piisavad tingimused. Graafiline lahendusmeetod on eriti tõhus siis, kui on vaja kindlaks teha, mitu juurt võrrandil on olenevalt parameetrist, ja selle vaieldamatu eelis on selle selge nägemine.
§ 1. Lineaarvõrrandid ja võrratused.
Lineaarvõrrand A x = b , kirjutatuna üldkujul, võib pidada parameetritega võrrandiks, kus x - teadmata , a , b - valikud. Selle võrrandi puhul on parameetri eri- või kontrollväärtus see, mille juures tundmatu koefitsient muutub nulliks.
Parameetriga lineaarvõrrandi lahendamisel arvestatakse juhtumeid, kui parameeter on võrdne oma eriväärtusega ja erineb sellest.
Spetsiaalne parameetri väärtus a on väärtus A = 0.
b = 0 on parameetri eriväärtus b .
Kell b ¹ 0 võrrandil pole lahendeid.
Kell b = 0 võrrand saab kujul: 0x = 0. Selle võrrandi lahenduseks on mis tahes reaalarv.
Vormi ebavõrdsused ah > b Ja kirves < b (a ≠ 0) nimetatakse lineaarseteks ebavõrdsusteks. Ebavõrdsuse lahenduste komplekt ah >b- intervall
(; +), Kui a > 0 , Ja (-;) , Kui A< 0 . Samamoodi ka ebavõrdsuse osas
Oh< b lahenduste komplekt - intervall(-;), Kui a > 0, Ja (; +), Kui A< 0.
Näide 1. Lahenda võrrand kirves = 5
Lahendus: See on lineaarne võrrand.
Kui a = 0, siis võrrand 0 × x = 5 pole lahendust.
Kui A¹ 0, x =- võrrandi lahendus.
Vastus: kell A¹ 0, x=
a = 0 puhul lahendust ei ole.
Näide 2. Lahenda võrrand kirves – 6 = 2a – 3x.
Lahendus: See on lineaarne võrrand, kirves – 6 = 2a – 3x (1)
kirves + 3x = 2a +6
Võrrandi ümberkirjutamine kui (a+3)x = 2(a+3), kaaluge kahte juhtumit:
a = -3 Ja A¹ -3.
Kui a = -3, siis mis tahes reaalarv X on võrrandi (1) juur. Kui A¹ -3 , võrrandil (1) on üks juur x = 2.
Vastus: Kell a = -3, x R ; juures A ¹ -3, x = 2.
Näide 3. Milliste parameetrite väärtustel A võrrandi juurte hulgas
2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0 juuri on rohkem 1 ?
Lahendus: Lahendame võrrandi 2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0- lineaarvõrrand
2 (a - 2) x = a 2 - 4a +4
2 (a - 2) x = (a - 2) 2
Kell a = 2 võrrandi lahendamine 0x = 0 on suvaline arv, sealhulgas üks, mis on suurem kui 1.
Kell A¹
2 x =
.
Tingimuste järgi x > 1, see on
>1 ja >4.
Vastus: Kell A (2) U (4;∞).
Näide 4 . Iga parameetri väärtuse jaoks A leida võrrandi juurte arv ah = 8.
Lahendus. kirves = 8- lineaarvõrrand.
y = a– horisontaaljoonte perekond;
y = - Graafik on hüperbool. Koostame nende funktsioonide graafikud.
Vastus: Kui a =0, siis pole võrrandil lahendeid. Kui a ≠ 0, siis on võrrandil üks lahend.
Näide 5 . Uurige graafikute abil, mitu juurt võrrandil on:
|x| = ah – 1.
y =| x | ,
y = ah – 1– graafik on punkti läbiv sirgjoon (0;-1).
Koostame nende funktsioonide graafikud.
Vastus: Millal |a|>1- üks juur
juures | a|≤1 – võrrandil pole juuri.
Näide 6 . Lahendage ebavõrdsus kirves + 4 > 2x + a 2
Lahendus
:
kirves + 4 > 2x + a
2
(a – 2) x >A
2
– 4. Vaatleme kolme juhtumit.
Vastus. x > a + 2 juures a > 2; X<а + 2, juures A< 2; juures a = 2 lahendusi pole.
§ 2. Ruutvõrrandid ja võrratused
Ruutvõrrand on vormi võrrand Oh ² + b x + c = 0 , Kus a≠ 0,
A, b , Koos - valikud.
Ruutvõrrandite lahendamiseks parameetriga saate kasutada standardseid lahendusmeetodeid, kasutades järgmisi valemeid:
1
)
ruutvõrrandi diskriminant:
D
=
b
² - 4
ac
,
(
²-
ac)
2)
ruutvõrrandi juurte valemid:X
1
=
, X
2
=
,
(X
1,2 =
)
Ruutvõrratust nimetatakse
a X 2 + b x + c > 0,a X 2 + b x + c< 0, (1), (2)
a X 2 + b x + c ≥ 0,a X 2 + b x + c ≤ 0,(3), (4)
Ebavõrdsuse (3) lahendite hulk saadakse võrratuse (1) lahendite hulga ja võrrandi kombineerimisel , a X 2 + b x + c = 0. Sarnaselt võib leida ka ebavõrdsuse (4) lahenduste hulga.
Kui ruuttrinoomi diskriminant a X 2 + b x + c on väiksem kui null, siis a > 0 puhul on kolmik positiivne kõigi x-ide korral R.
Kui ruuttrinoomil on juured (x 1
< х
2
), siis a > 0 korral on see komplektis positiivne(-;
x 2 )
(X 2;
+)
ja intervalli negatiivne
(x 1; x 2 ). Kui a< 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1 ; x 2 ) ja negatiivne kõigi x kohta (-;
x 1 )
(X 2;
+).
Näide 1. Lahenda võrrand ax² – 2 (a – 1)x – 4 = 0.
See on ruutvõrrand
Lahendus: Eriline tähendus a = 0.
Kell a = 0 saame lineaarvõrrandi 2x – 4 = 0. Sellel on üks juur x = 2.
Kell a ≠ 0. Leiame diskrimineerija.
D = (a-1)² + 4a = (a+1)²
Kui a = -1, See D = 0 - üks juur.
Leiame juure asendades a = -1.
-x² + 4x - 4 = 0, see on x² -4x + 4 = 0, leiame selle x=2.
Kui a ≠ - 1, See D
>0
. Juurevalemi abil saame:x=
;
X 1 =2, x 2 = -.
Vastus: Kell a=0 ja a= -1 võrrandil on üks juur x = 2; juures a ≠ 0 ja
A ≠ - 1 võrrandil on kaks juurtX 1 =2, x 2 =-.
Näide 2. Leidke selle võrrandi juurte arv x²-2x-8-a=0 sõltuvalt parameetri väärtustest A.
Lahendus. Kirjutame selle võrrandi ümber kujul x²-2x-8=a
y = x²-2x-8- graafik on parabool;
y =a- horisontaalsete joonte perekond.
Koostame funktsioonide graafikud.
Vastus: Millal A<-9 , võrrandil pole lahendeid; kui a=-9, on võrrandil üks lahend; juures a>-9, on võrrandil kaks lahendit.
Näide 3. Mille juures A ebavõrdsus (a – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 kehtib kõigi x väärtuste kohta?
Lahendus. Ruuttrinoom on positiivne kõigi x väärtuste puhul, kui
a-3 > 0 ja D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
kust see järelduba
> 6
.
Vastus.a > 6
§ 3. Murdratsionaalvõrrandid parameetriga,
taandatav lineaarseks
Murdvõrrandite lahendamise protsess viiakse läbi vastavalt tavapärasele skeemile: murdosa asendatakse täisarvuga, korrutades võrrandi mõlemad pooled selle vasaku ja parema külje ühisnimetajaga. Pärast seda lahendatakse kogu võrrand, välja arvatud kõrvalised juured, st arvud, mis muudavad nimetaja nulliks.
Parameetriga võrrandite puhul on see probleem keerulisem. Siin on kõrvaliste juurte “elimineerimiseks” vaja leida parameetri väärtus, mis muudab ühisnimetaja nulliks, ehk siis lahendada parameetrile vastavad võrrandid.
Näide 1.
Lahenda võrrand
= 0
Lahendus: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2
x – a = 0, x = a.
Vastus: Kell a ≠ - 2, x=a
Kell a = -2 juured puuduvad.
Näide 2
.
Lahenda võrrand
-
=
(1)
See on murdosaline ratsionaalne võrrand
Lahendus: Tähendus a = 0 on eriline. Kell a = 0 võrrandil pole mõtet ja seetõttu pole sellel ka juuri. Kui a ≠ 0, siis pärast teisendusi saab võrrand järgmise kuju: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a - 3 = 0 (2)- ruutvõrrand.
Leiame diskrimineerija = (1 – a)² – (a² – 2a – 3) = 4, leida võrrandi juuredX 1 = a + 1, x 2 = a - 3.
Võrrandilt (1) võrrandile (2) liikudes laienes võrrandi (1) määratluspiirkond, mis võib viia kõrvaliste juurte ilmnemiseni. Seetõttu on kontrollimine vajalik.
Läbivaatus. Jätame leitud väärtuste hulgast välja X need, milles
x 1 +1 = 0, x 1 +2 = 0, x 2 +1 = 0, x 2 +2 = 0.
Kui X 1 +1=0, see on (a+1) + 1 = 0, See a = -2. Seega
juures a = -2 , X 1 -
Kui X 1 +2=0, see on (a+1)+2=0, See a = -3. Seega, millal a = - 3, x 1 - võrrandi kõrvaline juur. (1).
Kui X 2 +1=0, see on (a – 3) + 1 = 0, See a = 2. Seega, millal a = 2 x 2 - võrrandi (1) kõrvaline juur.
Kui X 2 +2=0, see on ( a – 3) + 2 = 0, See a = 1. Seega, millal a = 1,
X 2 - võrrandi (1) kõrvaline juur.
Vastavalt sellele, millal a = -3 saame x = -3 - 3 = -6;
juures a = -2 x = -2 – 3= - 5;
juures a = 1 x = 1 + 1 = 2;
juures a = 2 x = 2+1 = 3.
Vastuse võid kirja panna.
Vastus: 1) kui a = -3, See x = -6; 2) kui a = -2, See x = -5; 3) kui a = 0, siis pole juuri; 4) kui a = 1, See x=2; 5) kui a = 2, See x=3; 6) kui a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ 2, siis x 1 = a + 1, x 2 = a-3.
§4. Irratsionaalsed võrrandid ja ebavõrdsused
Nimetatakse võrrandeid ja võrratusi, milles muutuja sisaldub juurmärgi all irratsionaalne.
Irratsionaalsete võrrandite lahendamine taandub irratsionaalselt võrrandilt ratsionaalsele võrrandile liikumisele, suurendades võrrandi mõlemat poolt või asendades muutuja. Kui võrrandi mõlemad pooled tõstetakse ühtlase astmeni, võivad ilmneda kõrvalised juured. Seetõttu peaksite selle meetodi kasutamisel kontrollima kõiki leitud juuri, asendades need algsesse võrrandisse, võttes arvesse parameetrite väärtuste muutusi.
Vormi võrrand
=g (x) on samaväärne süsteemiga
Võrrand f (x) ≥ 0 tuleneb võrrandist f (x) = g 2 (x).
Irratsionaalsete võrratuste lahendamisel kasutame järgmisi ekvivalentseid teisendusi:
≤ g(x)
≥g(x)
Näide 1.
Lahenda võrrand
= x + 1 (3)
See on irratsionaalne võrrand
Lahendus:
Aritmeetilise juure definitsiooni järgi on võrrand (3) samaväärne süsteemiga
.
Kell a = 2 süsteemi esimesel võrrandil on vorm 0 x = 5, see tähendab, et sellel pole lahendusi.
Kell a≠ 2 x=
.
Uurime, millistel väärtustelA
leitud väärtusX
rahuldab ebavõrdsustx ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,
kus a ≤ või a > 2.
Vastus: Kell a≤, a > 2 x=
,
juures < а ≤ 2
võrrandil pole lahendeid.
Näide 2.
Lahenda võrrand
= a
(4. lisa)
Lahendus. y
=
y = a– horisontaalsete joonte perekond.
Koostame funktsioonide graafikud.
Vastus: kell A<0 – lahendusi pole;
juures A≥ 0 - üks lahendus.
Näide 3
. Lahendame ebavõrdsuse(a+1)
<1.
Lahendus. O.D.Z. x ≤ 2. Kui a+1 ≤0, siis kehtib ebavõrdsus kõigi lubatud väärtuste puhul X. Kui a+1>0, See
(a+1)
<1.
<
kus X (2-
2
Vastus.
X (- ;2aadressil a (-;-1,
X (2-
2
juures A (-1;+).
§ 5. Trigonomeetrilised võrrandid ja võrratused.
Siin on valemid lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks:
Sinx = a
x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)
Cos x = a
x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1.
(2)
Kui >1, siis võrranditel (1) ja (2) pole lahendeid.
tan x = a
x= arctan a + πn, n Z, a R
ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z, a R
Iga standardvõrratuse jaoks näitame lahenduste komplekti:
1.
sin x > a
arcsin a + 2 πn
Z,
juures a <-1, x R ; juures a ≥ 1, lahendusi pole.
2. . sin x< a
π - arcsin a + 2 πnZ,
a≤-1 puhul pole lahendusi; > 1 jaoks,x R
3.
cos
x
>
a
-
arccos
a
+ 2
πn
<
x
<
arccos
a
+ 2
πn
,
n
Z
,
juures A<-1, x R ; juures a ≥ 1 , lahendusi pole.
4. cos x arccos a+ 2 πnZ,
juures a≤-1 , lahendusi pole; juuresa > 1, x R
5. tan x > a, arctan a + πnZ
6.tg x< a, -π/2 + πn Z
Näide 1. Otsi A, mille jaoks sellel võrrandil on lahendus:
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
Lahendus. Kirjutame võrrandi vormile
Koosos 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(a+1) =0, lahendades selle ruutarvuna, saame cosx = 5-A Ja cosx = -a-1.
Võrrand cosx
= 5-
A
pakub lahendusi -1≤ 5-A
≤1
4≤
A≤ 6 ja võrdne. cosx
= -
a-1
tingimusel -1≤ -1-A
≤ 1
-2 ≤
A
≤0.
Vastus.
A
-2; 0
4; 6
Näide 2.
Mille juures bon selline, et ebavõrdsus
+
b> 0 kehtib kõigi x ≠ korralπn
,
n
Z
.
Lahendus. Paneme A= 0. Ebavõrdsus kehtib b >0 korral. Näitame nüüd, et ükski b ≤0 ei täida ülesande tingimusi. Tõepoolest, piisab, kui panna x = π /2, Kui A <0, и х = - π /2 juures A ≥0.
Vastus.b>0
§ 6. Eksponentvõrrandid ja võrratused
1. Võrrand h(x)
f ( x )
=
h(x)
g ( x) kell h(x) > 0 võrdub kahe süsteemi kogumiga
Ja
2. Erijuhul (h (x)= a ) võrrand A f(x) = A g(x) juures A> 0, võrdub kahe süsteemi kogumiga
Ja
3. Võrrand A f(x) = b , Kus A > 0, a ≠1, b>0, mis on samaväärne võrrandiga
f (x )= log a b . Toimub A=1 käsitletakse eraldi.
Lihtsamate eksponentsiaalvõrratuste lahendus põhineb võimsusomadusel. Vormi ebavõrdsusf(a
x ) > 0, kasutades muutuja muutustt=
a
x taandub ebavõrdsuse süsteemi lahendamisele
ja seejärel vastavate lihtsate eksponentsiaalvõrratuste lahendamisele.
Mitterange võrratuse lahendamisel on vaja rangele võrratuse lahendite hulgale lisada vastava võrrandi juured. Nagu ka võrrandite lahendamisel kõigis avaldist sisaldavates näidetes A f (x), eeldame A> 0. Juhtum A= 1 vaadeldakse eraldi.
Näide 1
.
Mille juures A võrrand 8 x =
on ainult positiivsed juured?
Lahendus.
Eksponentfunktsiooni omaduse järgi, mille alus on suurem kui üks, saame x>0
8
X >1
>1
>0, kusta
(1,5;4).
Vastus. a (1,5;4).
Näide 2. Lahendage ebavõrdsus a 2 ∙2 x > a
Lahendus. Vaatleme kolme juhtumit:
1. A< 0 . Kuna ebavõrdsuse vasak pool on positiivne ja parem pool negatiivne, kehtib ebavõrdsus iga x kohta R.
2. a=0. Lahendusi pole.
3.
A
> 0
.
a
2
∙2
x
> a
2
x
>
x > -log 2
a
Vastus. X R juures A > 0; jaoks pole lahendusi a =0; X (- logi 2 a; +) kella> 0 .
§ 7. Logaritmvõrrandid ja võrratused
Toome välja mõned lahendamisel kasutatud ekvivalentid logaritmilised võrrandid ja võrratused.
1. Võrrand log f (x) g (x) = log f (x) h (x) on samaväärne süsteemiga
Eelkõige siis, kui A >0, A≠1, siis
logi a
g(x)= log a
h(x)
2.
Võrrand logi a
g(x)=b
g(x)=a
b (
A
>0,
a ≠
1, g(x) >0).
3. Ebavõrdsus logi f ( x )
g (x) ≤
logi f ( x )
h(x) on samaväärne kahe süsteemi kombinatsiooniga:
Ja
Kui a, b on arvud, a >0, a ≠1, siis
logi a
f(x) ≤ b
logi a
f(x)>b
Näide 1.
Lahenda võrrand
Lahendus. Leiame ODZ: x > 0, x ≠ A 4 , a > 0, A≠ 1. Teisenda võrrand
logi x – 2 = 4 – logi a
x
logi x + logi a
x– 6 = 0, kust logi a
x = - 3
x = A-3 ja logi a
x = 2
x = A 2. Tingimus x = A
4
A
– 3
=
A 4 või A
2
=
A
4
ei teostata ODZ-ga.
Vastus: x = A-3, x = A 2 kl A
(0; 1)
(1; ).
Näide 2 . Leia suurim väärtus A, mille jaoks võrrand
2
logi -
+
a
= 0 sisaldab lahendusi.
Lahendus.
Teeme asendus
=
tja saame ruutvõrrandi 2t 2
–
t +
a
= 0. Lahendades leiameD = 1-8
a
. Mõelgem D≥0, 1-8
A
≥0
A
≤.
Kell A = ruutvõrrandil on juurt= >0.
Vastus. A =
Näide 3 . Lahendage ebavõrdsuslogi(x 2 – 2 x + a ) > - 3
Lahendus.
Lahendame võrratuste süsteemi
Ruuttrinoomide x juured 1,2
= 1 ±
nende 3,4
= 1 ±
.
Kriitiliste parameetrite väärtused: A= 1 ja A= 9.
Olgu siis X 1 ja X 2 esimese ja teise võrratuse lahendite hulk
X 1
X 2
= X – algse võrratuse lahend.
Kell 0<
a
<1 Х
1
= (-
;1 -
)
(1 +
; +), kellA> 1 x 1 = (-;+).
Kell 0<
a
< 9 Х
2
= (1 -
; 1 +
), kellA≥9 X 2 – lahendusi pole.
Vaatleme kolme juhtumit:
1. 0<
a
≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).
2. 1 <
a
< 9 Х = (1 -
;1 +
).
3. a≥ 9 X – lahendusi pole.
Ühtsed riigieksami eesmärgid
Kõrge tase C1, C2
Näide 1. Otsige üles kõik väärtused R, mille jaoks võrrand
R ∙ ctg 2x+2sinx+ lk= 3-l on vähemalt üks juur.
Lahendus. Teisendame võrrandi
R ∙ (
- 1) + 2sinx + lk= 3, sinx = t, t
, t 0.
- lk+2t+ lk = 3, + 2 t = 3, 3 -2 t = , 3t 2 – 2t 3 = lk .
Lase f(y) = 3
t 2
– 2
t 3
. Leiame funktsiooni väärtuste hulgaf(x) peal
. juures /
= 6
t – 6
t 2
, 6
t - 6
t 2
= 0,
t 1
=0,
t 2
= 1.
f(-1) = 5,
f(1) = 1.
Kell t
,
E(f) =
,
Kell t
,
E(f) =
, ehk millal t
,
E(f) =
.
Võrrandi 3 juurdet 2
– 2
t 3
=
lk
(seega antud) oli vähemalt üks vajalik ja piisav juurlk
E(f), see on lk
.
Vastus.
.
Näide 2.
Milliste parameetrite väärtustelA võrrand logi
(4
x 2
– 4
a
+
a
2
+7) = 2-l on täpselt üks juur?
Lahendus. Teisendame võrrandi selle üheks ekvivalendiks:
4x 2-4 a + a 2 +7 = (x 2 + 2) 2.
Pange tähele, et kui teatud arv x on saadud võrrandi juur, siis arv – x on ka selle võrrandi juur. Tingimuste järgi pole see teostatav, seega on ainus juur number 0.
Me leiame A.
4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.
Läbivaatus.
1)
a
1
= 1. Siis näeb võrrand välja selline:logi
(4
x 2
+4) =2. Lahendame selle ära
4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 on ainus juur.
2)
a
2
= 3. Võrrand näeb välja selline:logi
(4
x 2
+4) =2
x = 0 on ainus juur.
Vastus. 1; 3
Kõrge tase C4, C5
Näide 3. Otsige üles kõik väärtused R, mille jaoks võrrand
x 2 – ( R+ 3)x + 1= 0 on täisarvu juurtega ja need juured on võrratuse lahendid: x 3 – 7 R x 2 + 2x 2 – 14 R x - 3x +21 R ≤ 0.
Lahendus.
Las x 1,
X 2
– võrrandi x täisarvu juured 2
– (R
+ 3)x + 1= 0. Siis vastavalt Vieta valemile võrrandid x 1
+ x 2
=
R
+ 3, x 1
∙ x 2
= 1. Kahe täisarvu x korrutis 1
, X 2
võib olla võrdne ühega ainult kahel juhul: x 1
= x 2
= 1 või x 1
= x 2
= - 1. Kui x 1
= x 2
= 1, siisR
+ 3 = 1+1 = 2
R
= -1; kui x 1
= x 2
= - 1, siisR
+ 3 = - 1 – 1 = - 2
R
= - 5. Kontrollime, kas võrrandi x juured 2
– (R
+ 3)x + 1= 0 kirjeldatud juhtudel selle võrratuse lahendite järgi. Selleks puhuksR
= - 1, x 1
= x 2
= 1 meil on
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2 ∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – õige; selleks puhuks R= - 5, x 1 = x 2 = - 1 meil on (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – õige. Seega on probleemi tingimused täidetud ainult R= - 1 ja R = - 5.
Vastus.R 1 = - 1 ja R 2 = - 5.
Näide 4. Leidke parameetri kõik positiivsed väärtused A, mille puhul number 1 kuulub funktsiooni määratluspiirkonda
juures
= (A
-
A
).
Valikkursuse tund
sellel teemal: "Võrrandite ja võrratuste lahendamine parameetritega"
(Üldistamise ja kordamise õppetund)
Sihtmärk: 1. Korrata ja üldistada õpilaste teadmisi võrrandite ja parameetritega võrratuste lahendamise meetoditest; kinnistada teadmiste rakendamise oskust konkreetsete ülesannete lahendamisel; 2. Arendada loogilist mõtlemist; 3. Kasvatage tähelepanu ja täpsust.
Tunniplaan: I. Organisatsioonimoment___________________________________2 min.
II. Põhiteadmiste värskendamine:
- Kordamine______________________________________3 min.
- Suuline töö________________________________________3 min.
- Kaartidega töötamine (1. ja 2. ajal)
III. Harjutuste lahendus______________________________________________22 min.
IY. Testi sooritamine___________________________________8 min.
Y. Kokkuvõtete tegemine, kodutöö seadmine__2 min.
Tundide ajal:
I. Aja organiseerimine.
Õpetaja: - Tere kutid. Tore teid kõiki näha, me alustame oma õppetundi. Tänasel tunnil on meie eesmärgiks korrata ja praktiseerida seda teemat õppides eelmistes tundides omandatud teadmisi, oskusi ja vilumusi.
II . Põhiteadmiste värskendamine:
1) Kordamine.
Õpetaja: - Niisiis, kordame.
Kuidas nimetatakse parameetritega lineaarvõrrandit?
Milliseid juhtumeid me selliste võrrandite lahendamisel arvestasime?
Too näiteid parameetritega lineaarvõrranditest.
Too näiteid parameetritega lineaarsetest ebavõrdsustest.
2) Suuline töö.
Ülesanne: viige see võrrand lineaarsele kujule.
Töölaual:
a) 3a x – 1 =2 x;
b) 2+5 x = 5a x;
c) 2 x – 4 = a x + 1.
3) Töötage kaartide abil.
III . Harjutuste lahendus.
1. harjutus. Lahenda võrrand parameetriga A.
3 (kirves + 1) + 1 = 2 (a – x) + 1.
Ülesanne täidetakse tahvlil ja vihikutes.
2. ülesanne. Mis väärtuses a, sirgjoon y = 7ax + 9, läbib
t A(-3;2)?
Ülesande sooritab iseseisvalt tahvli juures üks õpilane. Ülejäänud töötavad vihikutes, seejärel kontrollige seda tahvliga.
Kehaline kasvatus üks minut.
3. ülesanne. Mis väärtuses a, võrrand 3(ax – a) = x – 1 on
Lõpmatult palju lahendusi?
Õpilastel palutakse see ülesanne iseseisvalt oma vihikus lahendada. Seejärel kontrolli vastuseid.
4. ülesanne. Millise parameetri väärtusega A , võrrandi juurte summa
2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0 võrdne 1-ga?
Ülesanne täidetakse kohapeal kommenteerides.
5. ülesanne. Lahenda ebavõrdsus parameetriga R :
р(5х – 2)
Seda ülesannet täidetakse tahvlil ja vihikutes.
IY. Testi täitmine.
Õpilastele antakse individuaalsed lehed ülesannetega:
1) Kas võrrand6 (ax + 1) + a = 3 (a – x) + 7 lineaarne?
A) jah; b) ei; c) saab taandada lineaarseks
2) Võrrand (2ax + 1)a = 5a – 1 taandatakse lineaarvõrrandi kujule
A) ei; b) jah;
3) Millise parameetri väärtuse juures ja läbib sirge y = ax – 3
T.A(-2;9)?
A) a = 1/6; b) a = 1/2; c) a = -6; d) a = 6.
4) Mille a korral on võrrand 2ax + 1 = x mille juur on -1?
a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1; d) a = 1/2.
5) Kui ruutvõrrand ax² + inx + c = 0 D ax² + inx + c >0 oleneb
A) väärtused ; b) a väärtused; c) väärtused -v/a;
d) pole lahendusi.
TESTIMISE VASTUSED: V; A; V; V; b.
YII. Õppetunni kokkuvõte. Kodutöö seadmine.
Õpetaja: - Tänases tunnis kordasime ja kinnistasime varasemates tundides omandatud teadmisi, harjutasime vajalikke oskusi erinevate ülesannete täitmisel. Ma arvan, et sa tegid head tööd, hästi tehtud.
Lisaks tunnile pandud hinnetele saate hinnata ka mitmete teiste õpilaste töid tunnis.
Õpetaja : - Kirjutage oma kodutöö üles:
Töölaual:
Lahendage ebavõrdsus: x² - 2ax + 4 > 0.
Õppetund on läbi.
Vladimiri piirkonna haridusosakond
Sudogodski rajooni haridusosakond
Munitsipaalharidusasutus
"Moshoki keskkool"
«
Lahendus võrrandid Ja ebavõrdsused Koos parameeter»
Arendaja: Gavrilova G.V.
matemaatika õpetaja
munitsipaalharidusasutus "Moshokskaya keskmine"
üldhariduslik kool"
aasta 2009
Võrratuste ja võrratuste lahendamine parameetritega
Selgitav märkus
Parameetri mõiste on matemaatiline mõiste, mida kasutatakse sageli koolimatemaatikas ja sellega seotud erialadel.
7. klass - lineaarfunktsiooni ja ühe muutujaga lineaarvõrrandi õppimisel.
8. klass - ruutvõrrandite õppimisel.
Koolimatemaatika kursuse üldhariduse õppekava ei näe ette parameetritega ülesannete lahendamist ning ülikoolide sisseastumiseksamitel ja matemaatika ühtsel riigieksamil esineb probleeme parameetritega, mille lahendamine tekitab õpilastele suuri raskusi. parameetritega on diagnostiline ja prognostiline väärtus, mis võimaldab teil testida teadmisi kooli matemaatikakursuse põhiosadest, loogilise mõtlemise taset, esialgseid uurimisoskusi.
Kursuse põhieesmärk on tutvustada üliõpilastele üldisi käsitlusi parameetritega ülesannete lahendamisel, valmistada üliõpilasi ette nii, et nad suudaksid edukalt toime tulla parameetreid sisaldavate ülesannetega võistluseksami õhkkonnas.
Lahendage võrrand, määrake lahendite arv, uurige võrrandit, leidke positiivsed juured, tõestage, et võrratusel pole lahendeid jne - kõik need on parameetriliste näidete võimalused. Seetõttu ei saa anda universaalseid juhiseid näidete lahendamiseks, sellel kursusel vaadeldakse erinevaid näiteid koos lahendustega. Kursuse materjal esitatakse järgmise skeemi järgi: taustinfo, näited lahendustega, näited iseseisvaks tööks, näited materjali valdamise edukuse määramiseks.
Parameetritega ülesannete lahendamine aitab kaasa uurimisoskuste kujunemisele ja intellektuaalsele arengule.
Kursuse eesmärgid:
Süstematiseerida õpilaste 7. ja 8. klassis omandatud teadmisi lineaar- ja ruutvõrrandite ning võrratuste lahendamisel;
Tuvastada ja arendada oma matemaatilisi võimeid;
Loo terviklik arusaam lineaarvõrrandite ja parameetreid sisaldavate võrratuste lahendamisest;
Luua terviklik arusaam parameetreid sisaldavate ruutvõrrandite ja võrratuste lahendamisest;
Süvendada teadmisi matemaatikas, kujundades õpilastes jätkusuutlikku huvi aine vastu;
pakkuda ettevalmistust kõrget matemaatilist kultuuri nõudvaks erialaseks tegevuseks.
Haridus- ja teemaplaan
№ p/p
|
Teema |
Kogus tundi
|
Tegevused |
1. |
|
|
Töötuba |
2. |
Esialgne teave parameetriga ülesannete kohta. |
Seminar |
|
3. |
Parameetreid sisaldavate lineaarvõrrandite lahendamine. |
|
|
4. |
Parameetreid sisaldavate lineaarvõrratuste lahendamine. |
Uurimistöö; oskuste koolitus; iseseisev töö. |
|
5. |
Ruutvõrrandid. Vieta teoreem. |
3 |
Uurimistöö; oskuste koolitus; iseseisev töö. |
6. |
Kursuse edukas läbimine |
1 |
Viimane test |
Teema 1. Lineaarvõrrandite ja võrratuste, ruutvõrrandite ja võrratuste lahendamine, ülesannete lahendamine Vieta teoreemi abil.
Teema 2. Alginfo parameetriga ülesannete kohta.
Parameetri mõiste. Mida tähendab "probleemi lahendamine parameetriga"? Parameetriga seotud probleemide põhitüübid. Põhimeetodid parameetriga ülesannete lahendamiseks.
Näited lineaarvõrrandite lahendamisest parameetriga.
Teema 4. Parameetreid sisaldavate lineaarvõrratuste lahendamine.
Näited lineaarvõrratuste lahendamisest parameetriga.
Teema 5. Ruutvõrrandid. Vieta teoreem.
Näiteid ruutvõrrandite lahendamisest parameetriga.
Valikkursuse didaktiline materjal
"Võrrandite lahendamine ja
ebavõrdsused parameetriga"
Teema 1. Näited selle teema kohta.
2. teema. Näited, kus õpilased on parameetritega juba kokku puutunud:
Otsese proportsionaalsuse funktsioon: y = kx (x ja y on muutujad; k on parameeter, k ≠ 0);
Pöördvõrdelisuse funktsioon: y = k / x (x ja y on muutujad, k on parameeter, k ≠ 0)
Lineaarfunktsioon: y = kh + b (x ja y on muutujad; k ja b on parameetrid);
Lineaarvõrrand: ax + b = 0 (x on muutuja; a ja b on parameetrid);
Ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 (x on muutuja; a, b ja c on parameetrid,
Mis on parameeter?
Kui võrrandis või võrratuses on mõned koefitsiendid asendatud mitte kindlate arvväärtustega, vaid tähistatud tähtedega, siis nimetatakse neid parameetriteks ja võrrand või võrratus on parameetriline.
Parameetrid tähistatakse tavaliselt ladina tähestiku esimeste tähtedega: a, b, c, ... või a 1, a 2, a 3, ... ja tundmatuid ladina tähestiku viimaste tähtedega x, y, z, ... Need tähistused ei ole kohustuslikud, kuid kui tingimusel pole märgitud, millised tähed on parameetrid ja millised on teadmata -
mi, siis kasutatakse järgmisi tähistusi.
Näiteks lahendage võrrand (4x – ax)a = 6x – 10. Siin on x tundmatu ja a on parameeter.
Mida tähendab "probleemi lahendamine parameetriga"?
Ülesande lahendamine parameetriga tähendab, et iga parameetri a väärtuse jaoks leitakse väärtus x, mis seda ülesannet rahuldab, s.t. see oleneb probleemis olevast küsimusest.
Võrrandi või võrratuse lahendamine parameetritega tähendab:
Määrake, millistel parameetriväärtustel on lahendused olemas;
Iga lubatud parameetriväärtuste süsteemi jaoks leidke vastav lahenduste komplekt.
Millised on parameetriga seotud probleemide peamised tüübid?
Tüüp 1. Võrrandid, võrratused, mis tuleb lahendada kas mis tahes parameetri väärtuse või etteantud hulka kuuluvate parameetrite väärtuste jaoks. Seda tüüpi ülesanded on teema "Probleemid parameetritega" valdamisel põhilised.
Tüüp 2. Võrrandid, võrratused, mille puhul on vaja määrata lahendite arv sõltuvalt parameetri väärtusest.
Tüüp 3. Võrrandid, võrratused, mille jaoks on vaja leida kõik need parameetrite väärtused, mille jaoks määratud võrranditel ja võrratustel on teatud arv lahendeid (eelkõige pole neil või on lõpmatu arv lahendeid). 3. tüüpi ülesanded on teatud mõttes 2. tüüpi ülesannete pöördvõrdelised.
Tüüp 4. Võrrandid, võrratused, mille puhul parameetri nõutud väärtuste jaoks rahuldab lahenduste hulk definitsioonivaldkonnas etteantud tingimusi.
Näiteks leidke parameetrite väärtused, mille juures:
1) võrrand on täidetud muutuja mis tahes väärtuse korral antud intervallist;
2) esimese võrrandi lahendite hulk on teise võrrandi lahendite hulga alamhulk jne.
Põhimeetodid parameetriga ülesannete lahendamiseks.
Meetod 1. (analüütiline) See meetod on nn otselahendus, mis kordab parameetrita ülesannetes vastuse leidmise standardmeetodeid.
Meetod 2. (graafiline) Olenevalt ülesandest vaadeldakse graafikuid koordinaattasandil (x; y) või koordinaattasandil (x; a).
Meetod 3. (otsus parameetri kohta) Selle meetodi abil lahendades eeldatakse, et muutujad x ja a on võrdsed ning valitakse muutuja, mille suhtes analüütilist lahendust peetakse lihtsamaks. Pärast loomulikke lihtsustusi pöördume tagasi muutujate x ja a algse tähenduse juurde ning lõpetame lahenduse.
Kommenteeri. Parameetritega seotud probleemide lahendamise oluline samm on vastuse üleskirjutamine. See kehtib eriti nende näidete kohta, kus lahendus näib "hargnevat" sõltuvalt parameetri väärtustest. Sellistel juhtudel on vastuse koostamine eelnevalt saadud tulemuste kogum. Ja siin on väga oluline mitte unustada vastuses kajastada kõiki lahenduse etappe.
Vaatame näiteid. 2.1. Võrdle -a ja 5a.
Lahendus. Arvestada tuleb kolme juhtumiga: kui a 5a;
kui a = 0, siis –a = 5a;
kui a > 0, siis –a
Vastus. Kui a 5a; at a = 0, –a = 5a; kui a > 0, -a
Lahendage võrrand ax = 1.
Kui a ≠ 0, siis x = 1 / a.
Vastus. Kui a = 0 ei ole lahendusi; a ≠ 0 korral x = 1/a.
Võrdle ja – 7c.
Lahendage võrrand cx = 10
3. teema.
Lineaarvõrrandid
Vormi võrrandid
kus a, b kuuluvad reaalarvude hulka ja x on tundmatu, mida nimetatakse lineaarvõrrandiks x suhtes.
Lineaarvõrrandi (1) uurimise skeem.
1.Kui a ≠ 0, on b mis tahes reaalarv. Võrrandil on kordumatu lahend x = b/a.
2. Kui a=0, b=0, siis on võrrand kujul 0 ∙ x = 0, võrrandi lahendiks on kõigi reaalarvude hulk.
3. Kui a=0, b ≠ 0, siis võrrandil 0 ∙ x = b pole lahendeid.
Kommenteeri. Kui lineaarvõrrandit kujul (1) ei esitata, peate selle esmalt viima vormile (1) ja alles seejärel viima läbi uuringu.
Näited. 3.1 Lahendage võrrand (a -3)x = b+2a
Võrrand on kirjutatud kui (1).
Lahendus: Kui a≠ 3, siis on võrrandil iga b jaoks lahendus x = b+2a/ a-3.
See tähendab, et ainus a väärtus, mille juures ei pruugi olla võrrandi lahendeid, on a = 3. Sel juhul saab võrrand (a -3)x = b+2a kuju
0 ∙ x = b+6. (2)
Kui β≠ - 6, siis võrrandil (2) pole lahendeid.
Kui β = – 6, siis on suvaline x (2) lahendus.
Järelikult on β = – 6 parameetri β ainus väärtus, mille jaoks võrrandil (1) on lahendus mis tahes a jaoks (x=2, kui a ≠3 ja x kuulub reaalarvude hulka, kui a=3).
Vastus: b = -6.
3.2. Lahendage võrrand 3(x-2a) = 4(1-x).
3.3. Lahendage võrrand 3/kx-12=1/3x-k
3.4. Lahendage võrrand (a 2 -1)x = a 2 – a -2
3.5. Lahendage võrrand x 2 + (2a +4)x +8a+1=0
Iseseisev töö.
Variant 1. Lahenda võrrandid: a) sisend + 2 = - 1;
b) (a – 1)x = a – 2;
c) (a 2 – 1)x – a 2 + 2a – 1 = 0.
Variant 2. Lahenda võrrandid: a) – 8 = in + 1;
b) (a + 1)x = a – 1;
c) (9а 2 – 4)х – 9а 2 + 12а – 4 = 0.
4. teema.
Lineaarsed võrratused parameetriga
Ebavõrdsused
ah > sisse, ah
kus a, b on parameetritest sõltuvad avaldised ja x on tundmatu, nimetatakse lineaarseteks võrratusteks parameetritega.
Võrratuse lahendamine parameetritega tähendab kõigi parameetrite väärtuste ebavõrdsusele lahenduste komplekti leidmist.
Ebavõrdsuse lahendamise skeem aX > c.
Kui a > 0, siis x > b/a.
Kui a
Kui a = 0, siis on võrratus kujul 0 ∙ x > b. β ≥ 0 korral ei ole võrratusel lahendeid; juures
Näited. 4.1. Lahendage võrratus a(3x-1)>3x – 2.
Lahendus: a(3x-1)>3x – 2, mis tähendab 3x(a-1)>a-2.
Vaatleme kolme juhtumit.
a=1, lahendus 0 ∙ x > -1 on mis tahes reaalarv.
a>1, 3x(a-1)>a-2, mis tähendab x>a-2/3 (a-1).
ja a-2 tähendab x
2ax +5 > a+10x .
(a + 1)x – 3a + 1 ≤ 0.
X 2 + kirves +1 > 0.
Iseseisev töö.
Valik 1. Lahenda ebavõrdsused: a) ( A– 1)x ≤ A 2 – 1;
b) 3x-a > ah – 2.
2. variant. Lahendage võrratused: a) (a – 1)x – 2a +3 ≥ 0;
b) akh-2v
5. teema.
Parameetreid sisaldavad ruutvõrrandid. Vieta teoreem.
Vormi võrrand
ax 2 +in + c = 0, (1)
kus a, b, c on parameetritest sõltuvad avaldised, a ≠ 0, x on tundmatu, mida nimetatakse parameetritega ruutvõrrandiks.
Ruutvõrrandi (1) uurimise skeem.
Kui a = 0, siis on lineaarvõrrand inx + c = 0.
Kui a ≠ 0 ja võrrandi D diskriminant = 2 – 4ac
Kui a ≠ 0 ja D = 0, siis on võrrandil ainulaadne lahendus x = - B / 2a või, nagu öeldakse, kattuvad juured x 1 = x 2 = - B / 2a.
Kui a ≠ 0 ja D > 0, siis on võrrandil kaks erinevat juurt X 1,2 = (- V ± √D) / 2a
Näited. 5.1. Kõigi parameetri a väärtuste puhul lahendage võrrand
(a – 1) x 2 – 2ax + a + 2 = 0.
Lahendus. 1. a – 1 = 0, s.o. a = 1. Siis on võrrand kujul -2x + 3 = 0, x = 3 / 2.
2. a ≠ 1. Leiame võrrandi D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 2) = - 4a + 8 diskriminant.
Võimalikud on järgmised juhud: a) D 8, a > 2. Võrrandis puudub
b) D = 0, s.o. -4a + 8 = 0, 4a = 8, a = 2. Võrrandil on üks
juur x = a / (a–1) = 2 / (2–1) = 2.
c) D > 0, s.o. -4a + 8 > 0,4a
juur x 1,2 = (2a ± √ -4a + 8) / 2 (a - 1) = (a ± √ 2 - a) / (a - 1)
Vastus. Kui a = 1 x = 3/2;
kui a =2 x = 2;
a > 2 puhul pole juuri;
Kõigi parameetrite väärtuste jaoks lahendage võrrandid:
ax 2 + 3ax – a – 2 = 0;
kirves 2 +6x – 6 = 0;
in 2 – (in + 1)x +1 = 0;
(b + 1) x 2 – 2x + 1 – b = 0.
Iseseisev töö.
Variant 1. Lahendage võrrand ax 2 - (a+3)x + 3 = 0.
Variant 2. Lahendage võrrand a 2 + (a + 1)x + 2a-4 = 0.
Ülesanded.
. Leia kõik parameetri a väärtused, mille jaoks ruutvõrrand
Lahendus. See võrrand on tingimuse järgi ruutkeskne, mis tähendab
a – 1 ≠ 0, s.o. a ≠ 1. Leiame diskriminandi D = 4(2a + 1) 2 – 4(a – 1)(4a +3) =
4 (4a 2 + 4a + 1 – 4a 2 + a + 3) = 4 (5a + 4).
Meil on: 1) Kui a ≠ 1 ja D > 0, st. 4(5a + 4) > 0, a > - 4/5 võrrandil on kaks
mitmesugused juured.
2) a ≠ 1 ja D korral
3) Kui a ≠ 1 ja D = 0, st. a = - 4/5 võrrandil on üks juur.
Vastus. Kui a > - 4/5 ja a ≠ 1, siis on võrrandil kaks erinevat juurt;
kui a = - 4 / 5, siis on võrrandil üks juur.
Milliste parameetri a väärtuste korral on võrrandil (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 unikaalne lahendus?
.Missuguste parameetri a väärtuste korral ei ole võrrandil (a 2 – a – 2)x 2 + (a +1)x + 1 = 0 lahendusi?
.Milliste parameetri a väärtuste korral on võrrandil ax 2 - (2a+3)x+a+5=0 kaks erinevat juurt?
Iseseisev töö.
Valik 1. Otsige üles kõik parameetrite väärtused A, mille jaoks ruutvõrrand (2 A – 1)X 2 +2X– 1 = 0 on kahe erineva juurega; pole juuri; on üks juur.
2. variant.. Leia kõik parameetri a väärtused, mille ruutvõrrand (1 – A)X 2 +4X– 3 = 0 on kahe erineva juurega; pole juuri; on üks juur.
Vieta teoreem.
Järgmisi teoreeme kasutatakse paljude parameetreid sisaldavate ruutvõrranditega seotud probleemide lahendamiseks.
Vieta teoreem. Kui x 1, x 2 on ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0, a≠0 juured, siis x 1 + x 2 = - B / a ja x 1 ∙ x 2 = C / a.
1. teoreem. Selleks, et ruutkolminoomi ax 2 + bx + c juured oleksid reaalsed ja neil oleks samad märgid, on vajalik ja piisav järgmiste tingimuste täitmine: D = in 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C / A > 0.
Sel juhul on mõlemad juured positiivsed, kui x 1 + x 2 = - B /a > 0, ja mõlemad juured on negatiivsed, kui x 1 + x 2 = - B /a
2. teoreem. Selleks, et ruutkolminoomi ax 2 + bx + c juured oleksid reaalsed ja mõlemad mittenegatiivsed või mõlemad mittepositiivsed, on vajalik ja piisav järgmiste tingimuste täitmine: D = in 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C /a≥ 0.
Sel juhul on mõlemad juured mittenegatiivsed, kui x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0, ja mõlemad juured on mittepositiivsed, kui x 1 + x 2 = - B /a ≤ 0.
3. teoreem. Selleks, et ruuttrinoomi ax 2 + bx + c juured oleksid reaalsed ja erinevate märkidega, on vajalik ja piisav järgmiste tingimuste täitmine: x 1 ∙ x 2 = C /aSellisel juhul on tingimus D = b 2 – 4ac > 0 rahuldatakse automaatselt.
Märge. Need teoreemid mängivad olulist rolli võrrandi ax 2 + bx + c = 0 juurte märkide uurimisega seotud probleemide lahendamisel.
Kasulikud võrdsused: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2, (1)
x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2) (x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 – 3 x 1 x 2), (2)
(x 1 - x 2) 2 = (x 1 + x 2) 2 - 4x 1 x 2, (3)
(5)
5.10.
(a – 1)x 2 – 2ax + a +1 = 0 on: a) kaks positiivset juurt; b) kaks negatiivset juurt; c) erinevate märkide juured?
Lahendus. Võrrand on ruutkeskne, mis tähendab ≠ 1. Vieta teoreemi järgi on meil
x 1 + x 2 = 2a / (a - 1), x 1 x 2 = (a + 1) / (a - 1).
Arvutame diskriminandi D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 1) = 4.
a) 1. teoreemi kohaselt on võrrandil positiivsed juured, kui
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, s.o. (a + 1) / (a - 1) > 0, 2a / (a - 1) > 0.
Seega є (-1; 0).
b) 1. teoreemi kohaselt on võrrandil negatiivsed juured, kui
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 0, 2a / (a–1)
Seega є (0; 1).
c) Lause 3 kohaselt on võrrandil erinevate märkide juured, kui x 1 x 2
(a + 1) / (a - 1) Vastus. a) є (-1; 0) korral on võrrandil positiivsed juured;
b) є (0; 1) korral on võrrandil negatiivsed juured;
c) є (-1; 1) korral on võrrandil erinevate märkide juured.
5.11.
Millistel parameetri a väärtustel on ruutvõrrand
(a – 1)x 2 – 2(a +1)x + a +3 = 0 on: a) kaks positiivset juurt; b) kaks negatiivset juurt; c) erinevate märkide juured?
5. 12. Lahendamata võrrandit 3x 2 – (b + 1)x – 3b 2 +0, leidke x 1 -1 + x 2 -1, kus x 1, x 2 on võrrandi juured.
5.13. Milliste parameetri a väärtuste korral on võrrandil x 2 – 2(a + 1)x + a 2 = 0 juured, mille ruutude summa on 4.
Test.
Variant 1. 1. Lahendage võrrand (a 2 + 4a)x = 2a + 8.
2. Lahendage võrratus (in + 1)x ≥ (in 2 - 1).
3. Millistel parameetri a väärtustel võrrand toimib
x 2 – (2a +1)x + a 2 + a – 6 = 0 on: a) kaks positiivset juurt; b) kaks negatiivset juurt; c) erinevate märkide juured?
Variant 2. 1. Lahenda võrrand (a 2 – 2a)x = 3a.
2. Lahendage võrratus (a + 2)x ≤ a 2 – 4.
3. Millistel parameetri väärtustel võrrandis
x 2 – (2b – 1)x + b 2 – t – 2 = 0 on: a) kaks positiivset juurt; b) kaks negatiivset juurt; c) erinevate märkide juured?
Kirjandus.
V.V. Mochalov, V.V. Silvestrov. Võrrandid ja võrratused parameetritega. Ch.: ChSU kirjastus, 2004. – 175 lk.
Yastrebinsky G.A. Probleemid parameetritega. M.: Haridus, 1986, - 128 lk.
Bashmakov M.I. Algebra ja analüüsi algus. Õpik keskkooli 10 – 11 klassile. M.: Haridus, 1991. – 351 lk.
T. Peskova. Esimene sissejuhatus võrrandite parameetritesse. Haridus- ja metoodiline ajaleht "Matemaatika". nr 36, 1999.
T. Kosjakova. Parameetreid sisaldavate lineaar- ja ruutvõrratuste lahendamine. 9. klass Haridus- ja metoodiline ajaleht "Matemaatika".nr 25 - 26, nr 27 - 28. 2004.a.
T. Goršenina. Probleemid parameetriga. 8. klass Haridus- ja metoodiline ajaleht "Matemaatika". nr 16. 2004.
Sh Tsyganov. Ruuttrinoomid ja parameetrid. Haridus- ja metoodiline ajaleht "Matemaatika". nr 5. 1999. aasta.
S. Nedeljajeva. Parameetriga ülesannete lahendamise omadused. Haridus- ja metoodiline ajaleht "Matemaatika". nr 34. 1999. aasta.