Параметри на цилиндъра. Основно резюме по геометрия на тема "цилиндър"
Цилиндърът е геометрично тяло, ограничено от две успоредни равнинии цилиндрична повърхност. В статията ще говорим за това как да намерим площта на цилиндър и, използвайки формулата, ще решим няколко проблема като пример.
Цилиндърът има три повърхности: горна, основа и странична повърхност.
Горната част и основата на цилиндъра са кръгове и лесно се разпознават.
Известно е, че площта на кръга е равна на πr 2. Следователно формулата за площта на два кръга (горната и основата на цилиндъра) ще бъде πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
Третата, странична повърхност на цилиндъра, е извитата стена на цилиндъра. За да си представим по-добре тази повърхност, нека се опитаме да я трансформираме, за да получим разпознаваема форма. Представете си, че цилиндърът е обикновена тенекия, която няма горен капак или дъно. Нека направим вертикален разрез на страничната стена от върха до дъното на кутията (стъпка 1 на фигурата) и се опитайте да отворите (изправите) получената фигура колкото е възможно повече (стъпка 2).
След като полученият буркан е напълно отворен, ще видим позната фигура (Стъпка 3), това е правоъгълник. Площта на правоъгълник е лесна за изчисляване. Но преди това нека се върнем за момент към оригиналния цилиндър. Върхът на оригиналния цилиндър е кръг и знаем, че обиколката се изчислява по формулата: L = 2πr. На фигурата е отбелязано в червено.
Когато страничната стена на цилиндъра е напълно отворена, виждаме, че обиколката става дължината на получения правоъгълник. Страните на този правоъгълник ще бъдат обиколката (L = 2πr) и височината на цилиндъра (h). Площта на правоъгълник е равна на произведението на неговите страни - S = дължина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В резултат на това получихме формула за изчисляване на площта на страничната повърхност на цилиндъра.
Формула за площта на страничната повърхност на цилиндър
S страна = 2πrh
Обща повърхност на цилиндър
И накрая, ако добавим площта на трите повърхности, получаваме формулата за общата повърхност на цилиндър. Повърхностната площ на цилиндъра е равна на площта на горната част на цилиндъра + площта на основата на цилиндъра + площта на страничната повърхност на цилиндъра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Понякога този израз се записва идентичен с формулата 2πr (r + h).
Формула за общата повърхност на цилиндър
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус на цилиндъра, h – височина на цилиндъра
Примери за изчисляване на повърхността на цилиндър
За да разберем горните формули, нека се опитаме да изчислим повърхността на цилиндър, като използваме примери.
1. Радиусът на основата на цилиндъра е 2, височината е 3. Определете площта на страничната повърхност на цилиндъра.
Общата повърхност се изчислява по формулата: S страна. = 2πrh
S страна = 2 * 3,14 * 2 * 3
S страна = 6,28 * 6
S страна = 37,68
Страничната повърхност на цилиндъра е 37,68.
2. Как да намерим повърхността на цилиндър, ако височината е 4 и радиусът е 6?
Общата площ на повърхността се изчислява по формулата: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
S = 226,08 + 150,72
Площта на цилиндъра е 376,8.
Името на науката "геометрия" се превежда като "измерване на земята". Възниква благодарение на усилията на първите древни земеуправители. И това се случи така: по време на наводненията на свещения Нил потоци вода понякога отмиваха границите на парцелите на фермерите и новите граници можеше да не съвпадат със старите. Данъците се плащат от селяните в хазната на фараона пропорционално на размера на земя. Специални хора бяха ангажирани с измерването на площите обработваема земя в новите граници след разлива. Именно в резултат на тяхната дейност възниква нова наука, която се развива в Древна Гърция. Там получи името си и практически придоби модерен вид. Впоследствие терминът става международно наименование на науката за плоски и триизмерни фигури.
Планиметрията е дял от геометрията, занимаващ се с изучаването на равнинни фигури. Друг клон на науката е стереометрията, която изследва свойствата на пространствените (обемни) фигури. Такива фигури включват описаната в тази статия - цилиндър.
Примери за наличие на цилиндрични предмети в Ежедневиетодостатъчно. Почти всички въртящи се части - валове, втулки, шийки, оси и др. - имат цилиндрична (много по-рядко - конична) форма. Цилиндърът се използва широко и в строителството: кули, подпорни колони, декоративни колони. А също и съдове, някои видове опаковки, тръби с различни диаметри. И накрая - известните шапки, които отдавна са се превърнали в символ на мъжката елегантност. Списъкът продължава и продължава.
Определение за цилиндър като геометрична фигура
Цилиндър (кръгъл цилиндър) обикновено се нарича фигура, състояща се от два кръга, които при желание се комбинират с помощта на паралелен превод. Тези кръгове са основите на цилиндъра. Но линиите (правите сегменти), свързващи съответните точки, се наричат „генератори“.
Важно е основите на цилиндъра винаги да са равни (ако това условие не е изпълнено, тогава имаме - фрустум, всичко друго, но не и цилиндър) и са в успоредни равнини. Отсечките, свързващи съответните точки на окръжности, са успоредни и равни.
Съвкупността от безкраен набор от генератори не е нищо повече от страничната повърхност на цилиндър - един от елементите на дадена геометрична фигура. Другият му важен компонент са кръговете, за които стана дума по-горе. Те се наричат бази.
Видове цилиндри
Най-простият и често срещан тип цилиндър е кръгъл. Оформен е от два правилни кръга, действащи като основи. Но вместо тях може да има други фигури.
Основите на цилиндрите могат да образуват (с изключение на кръгове) елипси и други затворени фигури. Но не е задължително цилиндърът да има затворена форма. Например парабола, хипербола или друга отворена функция може да служи като основа на цилиндър. Такъв цилиндър ще бъде отворен или разгърнат.
Според ъгъла на наклона на образуващите спрямо основите цилиндрите могат да бъдат прави и наклонени. За прав цилиндър генераторите са строго перпендикулярни на равнината на основата. Ако този ъгъл е различен от 90°, цилиндърът е наклонен.
Какво представлява повърхността на въртене
Правият кръгъл цилиндър без съмнение е най-често срещаната повърхност на въртене, използвана в инженерството. Понякога, според техническите показания, се използват конични, сферични и някои други видове повърхности, но 99% от всички въртящи се валове, оси и др. са направени под формата на цилиндри. За да разберем по-добре какво представлява повърхността на въртене, можем да разгледаме как се образува самият цилиндър.
Да кажем, че има определена права линия а, разположен вертикално. ABCD е правоъгълник, чиято една от страните (отсечката AB) лежи на права а. Ако завъртим правоъгълник около права линия, както е показано на фигурата, обемът, който той ще заема, докато се върти, ще бъде нашето тяло на въртене - прав кръгъл цилиндър с височина H = AB = DC и радиус R = AD = BC.
IN в такъв случай, в резултат на въртене на фигурата - правоъгълник - цилиндър се получава. Чрез въртене на триъгълник можете да получите конус, чрез въртене на полукръг - топка и т.н.
Повърхност на цилиндъра
За да се изчисли повърхността на обикновен десен кръгъл цилиндър, е необходимо да се изчислят площите на основите и страничните повърхности.
Първо, нека да разгледаме как се изчислява площта на страничната повърхност. Това е произведението на обиколката на цилиндъра и височината на цилиндъра. Обиколката от своя страна е равна на удвоения продукт на универсалното число Пкъм радиуса на окръжността.
Известно е, че площта на кръга е равна на продукта Пкъм квадрата на радиуса. И така, чрез добавяне на формулите за областта на определяне на страничната повърхност с двойния израз за площта на основата (има две от тях) и извършване на прости алгебрични трансформации, получаваме крайния израз за определяне на повърхността площ на цилиндъра.
Определяне обема на фигура
Обемът на цилиндъра се определя от стандартна схема: Площта на основата, умножена по височината.
Така крайната формула изглежда така: желаната стойност се определя като произведението на височината на тялото с универсалното число Пи квадрат на радиуса на основата.
Трябва да се каже, че получената формула е приложима за решаване на най-неочаквани проблеми. По същия начин като обема на цилиндъра, например, се определя обемът на електрическото окабеляване. Това може да е необходимо за изчисляване на масата на проводниците.
Единствената разлика във формулата е, че вместо радиуса на един цилиндър има диаметър на кабелната нишка, разделен наполовина, а броят на нишките в жицата се появява в израза н. Освен това се използва дължина на проводника вместо височина. По този начин обемът на „цилиндъра“ се изчислява не само по един, а по броя на проводниците в плитката.
Такива изчисления често се изискват на практика. В крайна сметка значителна част от резервоарите за вода са направени под формата на тръба. И често е необходимо да се изчисли обемът на цилиндър дори в домакинството.
Въпреки това, както вече беше споменато, формата на цилиндъра може да бъде различна. И в някои случаи е необходимо да се изчисли какъв е обемът на наклонен цилиндър.
Разликата е, че повърхността на основата не се умножава по дължината на генератора, както в случая на прав цилиндър, а по разстоянието между равнините - перпендикулярен сегмент, изграден между тях.
Както се вижда от фигурата, такъв сегмент е равен на произведението на дължината на генератора и синуса на ъгъла на наклона на генератора към равнината.
Как да изградим цилиндър за почистване
В някои случаи се изисква изрязване на цилиндричен райбер. Фигурата по-долу показва правилата, по които се конструира заготовка за производството на цилиндър с дадена височина и диаметър.
Моля, обърнете внимание, че фигурата е показана без шевове.
Разлики в скосения цилиндър
Нека си представим определен прав цилиндър, ограничен от едната страна от равнина, перпендикулярна на образуващите. Но равнината, ограничаваща цилиндъра от другата страна, не е перпендикулярна на образуващите и не е успоредна на първата равнина.
Фигурата показва скосен цилиндър. Самолет Апод определен ъгъл, различен от 90° спрямо образуващите, пресича фигурата.
Тази геометрична форма се среща по-често в практиката под формата на тръбопроводни връзки (колена). Но има дори сгради, построени под формата на скосен цилиндър.
Геометрични характеристики на скосен цилиндър
Наклонът на една от равнините на скосен цилиндър леко променя процедурата за изчисляване както на повърхността на такава фигура, така и на нейния обем.
Името на науката "геометрия" се превежда като "измерване на земята". Възниква благодарение на усилията на първите древни земеуправители. И това се случи така: по време на наводненията на свещения Нил потоци вода понякога отмиваха границите на парцелите на фермерите и новите граници можеше да не съвпадат със старите. Данъците се плащат от селяните в хазната на фараона пропорционално на размера на земя. След разлива специални хора бяха ангажирани с измерването на площите обработваема земя в новите граници. Именно в резултат на тяхната дейност възниква нова наука, която се развива в древна Гърция. Там получава името си и придобива почти модерен вид. В бъдеще терминът става международно наименование на науката за плоски и триизмерни фигури.
Планиметрията е дял от геометрията, занимаващ се с изучаването на равнинни фигури. Друг клон на науката е стереометрията, която изследва свойствата на пространствените (обемни) фигури. Такива фигури включват описаната в тази статия - цилиндър.
Има много примери за присъствието на цилиндрични предмети в ежедневието. Почти всички въртящи се части - валове, втулки, шийки, оси и др. - имат цилиндрична (много по-рядко - конична) форма. Цилиндърът се използва широко и в строителството: кули, подпорни колони, декоративни колони. А също и съдове, някои видове опаковки, тръби с различни диаметри. И накрая - известните шапки, които отдавна са се превърнали в символ на мъжката елегантност. Списъкът продължава и продължава.
Определение за цилиндър като геометрична фигура
Цилиндър (кръгъл цилиндър) обикновено се нарича фигура, състояща се от два кръга, които при желание се комбинират с помощта на паралелен превод. Тези кръгове са основите на цилиндъра. Но линиите (правите сегменти), свързващи съответните точки, се наричат „генератори“.
Важно е основите на цилиндъра винаги да са равни (ако това условие не е спазено, тогава имаме пресечен конус, нещо друго, но не и цилиндър) и да са в успоредни равнини. Отсечките, свързващи съответните точки на окръжности, са успоредни и равни.
Съвкупността от безкраен набор от генератори не е нищо повече от страничната повърхност на цилиндър - един от елементите на дадена геометрична фигура. Другият му важен компонент са кръговете, за които стана дума по-горе. Те се наричат бази.
Видове цилиндри
Най-простият и често срещан тип цилиндър е кръгъл. Оформен е от два правилни кръга, действащи като основи. Но вместо тях може да има други фигури.
Основите на цилиндрите могат да образуват (с изключение на кръгове) елипси и други затворени фигури. Но не е задължително цилиндърът да има затворена форма. Например парабола, хипербола или друга отворена функция може да служи като основа на цилиндър. Такъв цилиндър ще бъде отворен или разгърнат.
Според ъгъла на наклона на образуващите спрямо основите цилиндрите могат да бъдат прави и наклонени. За прав цилиндър генераторите са строго перпендикулярни на равнината на основата. Ако този ъгъл е различен от 90°, цилиндърът е наклонен.
Какво представлява повърхността на въртене
Правият кръгъл цилиндър без съмнение е най-често срещаната повърхност на въртене, използвана в инженерството. Понякога, според техническите показания, се използват конични, сферични и някои други видове повърхности, но 99% от всички въртящи се валове, оси и др. са направени под формата на цилиндри. За да разберем по-добре какво представлява повърхността на въртене, можем да разгледаме как се образува самият цилиндър.
Да кажем, че има определена права линия а, разположен вертикално. ABCD е правоъгълник, чиято една от страните (отсечката AB) лежи на права а. Ако завъртим правоъгълник около права линия, както е показано на фигурата, обемът, който той ще заема, докато се върти, ще бъде нашето тяло на въртене - прав кръгъл цилиндър с височина H = AB = DC и радиус R = AD = BC.
В този случай в резултат на завъртане на фигурата - правоъгълник - се получава цилиндър. Чрез въртене на триъгълник можете да получите конус, чрез въртене на полукръг - топка и т.н.
Повърхност на цилиндъра
За да се изчисли повърхността на обикновен десен кръгъл цилиндър, е необходимо да се изчислят площите на основите и страничните повърхности.
Първо, нека да разгледаме как се изчислява площта на страничната повърхност. Това е произведението на обиколката на цилиндъра и височината на цилиндъра. Обиколката от своя страна е равна на удвоения продукт на универсалното число Пкъм радиуса на окръжността.
Известно е, че площта на кръга е равна на продукта Пкъм квадрата на радиуса. И така, чрез добавяне на формулите за областта на определяне на страничната повърхност с двойния израз за площта на основата (има две от тях) и извършване на прости алгебрични трансформации, получаваме крайния израз за определяне на повърхността площ на цилиндъра.
Определяне обема на фигура
Обемът на цилиндъра се определя съгласно стандартната схема: повърхността на основата се умножава по височината.
Така крайната формула изглежда така: желаната стойност се определя като произведението на височината на тялото с универсалното число Пи квадрат на радиуса на основата.
Трябва да се каже, че получената формула е приложима за решаване на най-неочаквани проблеми. По същия начин като обема на цилиндъра, например, се определя обемът на електрическото окабеляване. Това може да е необходимо за изчисляване на масата на проводниците.
Единствената разлика във формулата е, че вместо радиуса на един цилиндър има диаметър на кабелната нишка, разделен наполовина, а броят на нишките в жицата се появява в израза н. Освен това се използва дължина на проводника вместо височина. По този начин обемът на „цилиндъра“ се изчислява не само по един, а по броя на проводниците в плитката.
Такива изчисления често се изискват на практика. В крайна сметка значителна част от резервоарите за вода са направени под формата на тръба. И често е необходимо да се изчисли обемът на цилиндър дори в домакинството.
Въпреки това, както вече беше споменато, формата на цилиндъра може да бъде различна. И в някои случаи е необходимо да се изчисли какъв е обемът на наклонен цилиндър.
Разликата е, че повърхността на основата не се умножава по дължината на генератора, както в случая на прав цилиндър, а по разстоянието между равнините - перпендикулярен сегмент, изграден между тях.
Както се вижда от фигурата, такъв сегмент е равен на произведението на дължината на генератора и синуса на ъгъла на наклона на генератора към равнината.
Как да изградим цилиндър за почистване
В някои случаи се изисква изрязване на цилиндричен райбер. Фигурата по-долу показва правилата, по които се конструира заготовка за производството на цилиндър с дадена височина и диаметър.
Моля, обърнете внимание, че фигурата е показана без шевове.
Разлики в скосения цилиндър
Нека си представим определен прав цилиндър, ограничен от едната страна от равнина, перпендикулярна на образуващите. Но равнината, ограничаваща цилиндъра от другата страна, не е перпендикулярна на образуващите и не е успоредна на първата равнина.
Фигурата показва скосен цилиндър. Самолет Апод определен ъгъл, различен от 90° спрямо образуващите, пресича фигурата.
Тази геометрична форма се среща по-често в практиката под формата на тръбопроводни връзки (колена). Но има дори сгради, построени под формата на скосен цилиндър.
Геометрични характеристики на скосен цилиндър
Наклонът на една от равнините на скосен цилиндър леко променя процедурата за изчисляване както на повърхността на такава фигура, така и на нейния обем.
Ограничена от цилиндрична повърхност и две успоредни равнини, пресичащи я.
Свързани определения
Цилиндрична повърхност- повърхнина, получена чрез преместване на права линия (генератор), успоредна на която и да е дадена, пресичаща крива линия (директор), разположена в неуспоредна на дадена права равнина. Наричат се равнинни фигури, образувани от пресичането на цилиндрична повърхност с две успоредни равнини цилиндрови основи. Цилиндричната повърхност между равнините на основите се нарича странична повърхностцилиндър. Ако равнината на основата и равнината на водача са успоредни, границата на основата ще съвпадне по форма с водача.
Видове
В повечето случаи под цилиндър се разбира прав кръгъл цилиндър, чийто водач е окръжността, а основите са перпендикулярни на образуващата. Такъв цилиндър има ос на симетрия.
Други видове цилиндър - (според наклона на образуващата) кос или наклонен (ако образуващата не опира основата под прав ъгъл); (според формата на основата) елиптични, хиперболични, параболични.
Призма също е вид цилиндър - с многоъгълна основа.
Повърхност на цилиндъра
Площ на страничната повърхност
Площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на дължината на генератора, умножена по периметъра на сечението на цилиндъра с равнина, перпендикулярна на генератора.
Площта на страничната повърхност на прав цилиндър се изчислява от неговото развитие. Развитието на цилиндър е правоъгълник с височина и дължина , равен на периметъра на основата. Следователно площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на площта на неговото развитие и се изчислява по формулата:
По-специално, за прав кръгъл цилиндър:
, И
За наклонен цилиндър площта на страничната повърхност е равна на дължината на генератора, умножена по периметъра на сечението, перпендикулярно на генератора:
За разлика от обема, няма проста формула, изразяваща площта на страничната повърхност на наклонен цилиндър чрез параметрите на основата и височината. За наклонен кръгъл цилиндър можете да използвате приблизителни формули за периметъра на елипса и след това да умножите получената стойност по дължината на генератора.
Обща площ
Общата повърхност на цилиндъра е равна на сумата от площите на неговата странична повърхност и неговите основи.
За прав кръгъл цилиндър:
Обем на цилиндъра
За наклонен цилиндър има две формули:
- Обемът е равен на дължината на генератора, умножена по площта на напречното сечение на цилиндъра с равнина, перпендикулярна на генератора. ,
- Сила на звука равна на площоснова, умножена по височината (разстоянието между равнините, в които лежат основите): ,
За прав цилиндър , И , а обемът е равен на:
За кръгъл цилиндър:
Където д- диаметър на основата.
Напишете отзив за статията "Цилиндър"
Бележки
Откъс, характеризиращ цилиндъра
„Paris la capitale du monde... [Париж е столицата на света...]“, каза Пиер, завършвайки речта си.Капитанът погледна Пиер. Имаше навика да спира по средата на разговор и да гледа с напрегнато смеещи се, нежни очи.
- Eh bien, si vous ne m"aviez pas dit que vous etes Russe, j"aurai parie que vous etes Parisien. Vous avez ce je ne sais, quoi, ce… [Е, ако не ми казахте, че сте руснак, бих се обзаложил, че сте парижанин. Има нещо в теб, това...] - и след като каза този комплимент, той отново погледна мълчаливо.
- J "ai ete a Paris, j" y ai passe des annees, [Бях в Париж, прекарах цели години там] - каза Пиер.
– Oh ca se voit bien. Париж!.. Un homme qui ne connait pas Paris, est un sauvage. Un Parisien, ca se изпрати a deux lieux. Paris, s"est Talma, la Duschenois, Potier, la Sorbonne, les boulevards" и забелязвайки, че заключението е по-слабо от предишното, той прибързано добави: „Il n"y a qu"un Paris au monde. Vous avez ete a Paris et vous etes reste Busse. Eh bien, je ne vous en estime pas moins. [О, очевидно е. Париж!.. Човек, който не познава Париж, е дивак. Можете да разпознаете парижанина на две мили. Париж е Талма, Дюшеноа, Потие, Сорбоната, булевардите... В целия свят има само един Париж. Ти беше в Париж и си остана руснак. Е, уважавам те не по-малко за това.]
Под въздействието на изпитото вино и след дни, прекарани в самота с мрачните си мисли, Пиер изпита неволно удоволствие от разговора с този весел и добродушен човек.
– Pour en revenir a vos dames, on les dit bien belles. Quelle fichue idee d "aller s" enterrer dans les steppes, quand l "armee francaise est a Moscou. Quelle chance elles ont manque celles la. Vos moujiks c" est autre chose, mais voua autres gens civilises vous devriez nous connaitre mieux que ca . Nous avons pris Vienne, Berlin, Madrid, Naples, Rome, Varsovie, toutes les capitales du monde... On nous craint, mais on nous aime. Nous sommes bons a connaitre. Et puis l „Empereur! [Но да се върнем на вашите дами: те казват, че са много красиви. Каква глупава идея да отидете да копаете в степите, когато френската армия е в Москва! Пропуснаха чудесна възможност. Вашите хора, разбирам, но вие сте хора образовани -трябваше да ни познавате по-добре от това.Взехме Виена,Берлин,Мадрид,Неапол,Рим,Варшава,всички столици на света.Страхуват се от нас,но ни обичат.Не е вредно да знаем ние по-добре. И тогава императорът ...] - започна той, но Пиер го прекъсна.
- L "Empereur", повтори Пиер и лицето му внезапно придоби тъжно и смутено изражение. - Est ce que l "Empereur? .. [Император ... Какво е императорът? ..]
- L"Empereur? C"est la generosite, la clemence, la justice, l"ordre, le genie, voila l"Empereur! C "est moi, Ram ball, qui vous le dit. Tel que vous me voyez, j" etais son ennemi il y a encore huit ans. Mon pere a ete comte emigre... Mais il m"a vaincu, cet homme. Il m"a empoigne. Je n "ai pas pu resister au spectacle de grandeur et de gloire dont il couvrait la France. Quand j" ai compris ce qu "il voulait, quand j" ai vu qu "il nous faisait une litiere de lauriers, voyez vous, je me suis dit: voila un souverain, et je me suis donne a lui. Eh voila! Oh, oui, mon cher, c "est le plus grand homme des siecles passes et a venir. [Император? Тази щедрост, милосърдие, справедливост, ред, гениалност – това е императорът! Аз, Рамбал, ти го казвам. Както ме виждате, бях негов враг преди осем години. Баща ми беше граф и емигрант. Но той ме победи, този човек. Той ме завладя. Не можах да устоя на спектакъла от величие и слава, с който той покри Франция. Като разбрах какво иска, като видях, че ни приготвя легло от лаври, казах си: ето го суверенът и му се отдадох. И така! О, да, скъпа моя, това е най-много велик човекминали и бъдещи векове.]