Типовое положение об образовательном учреждении дополнительного образования. Новый порядок организации дополнительного образования детей
Принцип Ферма
Геометрическая оптика может быть построена, исходя из разных принципов. С одной стороны мы можем воспользоваться законами отражения и преломления, с другой – можно использовать принцип Ферма или принцип Гюйгенса. С законами отражения и преломления мы работали уже достаточно долго, а сейчас обсудим принцип Ферма.
Рассмотрим оптическую среду, в которой скорость света меняется от точки к точке , такая среда называется неоднородной.
Рис. 1. Скорость света зависит от точки
Можно сказать, что скорость света зависит от точки, а можно сказать, что показатель преломления зависит от точки
. Это одно и то же, т.к. они связаны соотношением
, где постоянная – скорость света в вакууме.
В неоднородной среде световые лучи не движутся по прямым, они искривляются.
Время прохождения пути . Пусть у нас имеется некоторый путь
, соединяющий точки и , это может быть световой луч, а может и нет. Тем не менее, мы можем вычислить некоторое условное время – время, которое потратил бы световой луч, если бы он шел вдоль этого пути , имея в каждой точке
скорость
. Приближенно это время можно вычислить, разбив весь путь на маленькие отрезки длины
и выбрав внутри каждого отрезка некоторую точку . Тогда время прохождения маленького отрезка можно оценить как
, а общее время прохождения будет равно сумме этих времен
.
Равенство это конечно приближенное, но правая часть – это интегральная сумма для следующего криволинейного интеграла вдоль пути , дающего уже точный результат
.
Этот интеграл мы и назовем временем прохождения пути . Для светового луча это время совпадает с тем временем, которое он на самом деле затрачивает на путь от до . Теперь можно сформулировать принцип Ферма.
П
ринцип Ферма . Зафиксируем две точки и . Из точки выпустим световые лучи во всех возможных направлениях. Пусть, скажем, один из них попадет в точку .
Рис. 2. Один из лучей, выходящих ииз точки , попадает в точку
П
роведем все возможные пути из точки в точку , в том числе и сам световой луч.
Рис. 3. Все пути из в , среди них красным отмечен световой луч
Принцип Ферма говорит о том, чем реальный световой луч отличается от всех остальных путей, соединяющих эти точки,
время прохождения светового луча, идущего из одной точки в другую, наименьшее по сравнению со всеми другими путями, соединяющими эти точки.
Почему, скажем, световой луч может не пойти по отрезку, соединяющему точки, а пойдет по искривленному пути. По принципу Ферма это будет происходить в том случае, если скорость света в точках отрезка больше, чем в точках на искривленном пути.
Часто вместо времени прохождения оперируют с оптической длиной пути
.
Т.к. оптическая длина и время прохождения пропорциональны между собой
(коэффициентом пропорциональности служит скорость света в вакууме ), принцип Ферма может быть сформулирован и следующим образом
оптическая длина светового луча, идущего из одной точки в другую, наименьшая по сравнению со всеми другими путями, соединяющими эти точки.
На самом деле обе данные нами формулировки принципа Ферма требуют некоторого уточнения – вместо слова наименьшее в них должно стоять слово стационарное , но сейчас мы не будем на этом останавливаться.
А теперь покажем, что из принципа Ферма следуют все основные законы геометрической оптики.
Прямолинейность световых лучей в однородных средах . Если среда однородна, т.е. скорость света в ней постоянна,
, то вдоль любого пути время прохождения пропорционально длине этого пути
.
Здесь в правой части
обозначает длину пути. Отсюда следует, что наименьшее время прохождения у того пути, у которого длина наименьшая, т.е. у отрезка прямой. Значит, по принципу Ферма свет пойдет по прямой.
П
ринцип Ферма
закон отражения . Пусть световой луч выходит из точки и после отражения попадает в точку . Исходя из принципа Ферма докажем, что угол падения равен углу отражения.
Рис. 4. Среди всех двузвенных ломаных нужно выбрать кратчайшую
Тут нужно небольшое уточнение к принципу Ферма. Чтобы учесть отражение, нам нужно будет сравнивать между собой не все пути из и , а только соприкасающиеся с зеркалом. Т.к. мы считаем, что свет распространяется в однородной среде, где свет движется по прямым, нужно будет сравнивать между собой двузвенные пути
, состоящие из двух отрезков
и
с вершиной , лежащей на зеркале, и выбрать среди них ломаную наименьшей длины.
Этот выбор осуществляют с помощью следующего геометрического приема. Отразим точку в зеркале
. Основное геометрическое утверждение состоит в следующем: для любой точки на зеркале длины ломаных и
равны.
Рис. 5. Длины ломаных
и
равны, ломаная
– кратчайшая
Это следует из равнобедренности треугольника
. Поэтому вместо минимальной ломаной можно искать минимальную ломаную , но такой ломаной будет просто отрезок
. Обозначим его точку пересечения с зеркалом . Равенство трех углов с вершиной следует из того, что два из них вертикальны, а для другой пары равенство вытекает из того, что в равнобедренном треугольнике
высота является биссектрисой. И теперь углы падения и отражения равны как дополнительные до 90° к двум другим равным углам. Закон отражения доказан.
Принцип Ферма закон преломления . На этот раз световой луч выходит из точки , находящейся в среде, где скорость света равна , и после преломления попадает в точку , которая находится в среде, где скорость света . Исходя из принципа Ферма, для определения траектории светового луча нам нужно найти такую точку , лежащую на границе между средами, чтобы время прохождения ломаной было наименьшим.
Введем систему координат, в которой ось идет вдоль границы раздела сред, а ось проходит через точку . Будем считать, что
,
и
.
Рис. 6. Отрезок
имеет длину
, длина отрезка
равна
Нам нужно минимизировать время прохождения двузвенного пути , подобрав подходящую точку , т.е. определив ее координату
.
Для нахождения минимума вычислим производную
и приравняем ее нулю
.
Итак
.
Но второй множитель слева – это
, а второй множитель справа – это
, поэтому имеем
.
После умножения на скорость света получаем
.
С учетом равенства получаем закон преломления
,
где
– показатель преломления первой среды, а
– показатель преломления второй среды.
Линза как устройство, собирающее все лучи, выходящие из одной точки, в другую точку . Сначала выразим сомнение в существовании такого устройства. Рассмотрим все лучи, проходящие через него. Эти лучи соединяют две точки. Выберем среди них тот луч, который требует для своего прохождения наименьшего времени. По принципу Ферма свет пойдет только по этому лучу, но никак не по остальным, – явное противоречие.
На самом деле имеется единственная возможность устранить это противоречие – предположить, что время прохождения всех этих лучей одно и то же и, кроме того, оно минимально по отношению к времени прохождения всех других путей, соединяющих эти две точки.
Этот принцип, являющийся следствием принципа Ферма, называется принципом таутохронности
или принципом равновремённости
. Приступим к конструированию нашего устройства. Самый примитивный эскиз может выглядеть следующим образом
Рис. 7. Первый набросок устройства, собирающего все лучи в одну точку
Я
сно, что эта неверна, т.к. средний луч проходится за наименьшее время и свет пойдет только по нему. В силу принципа таутохронности мы должны уравнять время прохождения всех лучей. Для этого поставим на пути каждого луча замедлитель – кусок стекла, там скорость в полтора раза меньше, чем в воздухе. Для коротких лучей замедлитель (кусок стекла) должен быть потолще, для длинных – потоньше.
Рис. 7. Второй набросок – примитивная линза
Понятно, что полученное устройство – это примитивный прообраз линзы. На самом деле тут не так уж далеко до точного расчета формы идеальной линзы.
Приведем еще один пример применения принципа таутохронности.
Оптическое определение эллипса . На этот раз попытаемся сконструировать отражающее устройство, собирающее (фокусирующее) все лучи, выходящие из одной точки, в некоторой другой точке. Опять принцип Ферма как будто бы препятствует существованию такого устройства. Среди всех таких лучей нужно выбрать самый короткий, и свет будет распространять только вдоль него, но не вдоль остальных лучей.
Но нас опять спасает принцип таутохронности. Мы должны потребовать, чтобы длины всех этих лучей были одинаковы и минимальны по отношению к длинам всех других путей, соприкасающихся с отражающей кривой и соединяющих эти две точки.
Точку, из которой выходят световые лучи, обозначим , точку, в которой они собираются после отражения, – . Точку на кривой обозначим . Принцип таутохронности приводит к тому, что длина двузвеного пути
должна быть постоянной величиной, не зависящей от выбора точки Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Полезным бывает и параметрическое уравнение эллипса
.
Добавим еще, что величины и ,
называются полуосями эллипса – большой и малой.
1. Пьер Ферма (1601--1675) выдвинул принцип, согласно которому свет при распространении из одной точки в другую выбирает путь, которому соответствует наименьшее время распространения. Ферма руководствовался телеологическими соображениями, согласно которым природа действует целенаправленно: она не может быть расточительной и должна достигать своих целей с наименьшей затратой средств. Подобные соображения, конечно, чужды науке и не могут служить обоснованием принципа Ферма. Но сам принцип (после введения некоторых уточнений) верен и может оказаться полезным при решении отдельных вопросов геометрической оптики. Это было продемонстрировано уже самим Ферма, который с помощью своего принципа вывел закон преломления Снеллиуса и получил такое же выражение для показателя преломления, что и в волновой теории света. В частности, он пришел к заключению, что скорость света в более преломляющей среде меньше, чем в менее преломляющей.
2. Для доказательства принципа Ферма допустим сначала, что показатель преломления среды меняется в пространстве непрерывно и достаточно медленно, так что условия применимости геометрической оптики выполнены. Пусть в среде распространяется волна вида
(где а(r) , Ф(r) - вещественные функции координат.
Волновое число
например порожденная точечным источником. Ей соответствует система лучей, представленная на рис. 2.
Если эйконал Ф - однозначная функция координат, то из уравнения gradФ=ns (где s - единичный вектор нормали к фронту волны) следует, что циркуляция вектора ns по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е.
где dl -- вектор элементарного смещения вдоль этого контура. Возьмем две произвольные точки А и В, лежащие на одном из лучей. Соединим их произвольной линией ADB. В силу (3)
На луче АСВ векторы s и dl направлены одинаково, следовательно, (sdl)=dl. На линии же ADB (sdl)=dl cos (s,dl)
Знак равенства относится только к случаю, когда кривая ADB сама является лучом. Таким образом, если показатель преломления меняется в пространстве непрерывно, то оптическая длина луча между любыми двумя точками меньше оптической длины всякой другой линии, соединяющей те же точки. Но это есть другая формулировка принципа Ферма, так как оптическая длина луча пропорциональна времени распространения света вдоль него.
Приведенная формулировка принципа Ферма нуждается в уточнении. В некоторых случаях она может оказаться неверной. Рассмотрим например, среду с сферически симметричным распределением показателя преломления вокруг центра О (рис. 3).
Примером такой среды может служить планетная атмосфера. Предположим, что показатель преломления меняется в пространстве так, что световой луч, выйдя из какой-либо точки перпендикулярно к радиусу, описывает окружность с центром в точке О. Пусть свет попадает из точки А в точку В по большой дуге АСВ этой окружности. Но он может пройти из А в В и по дуге ADB той же окружности, затрачивая на распространение меньшее время. Меньшее время потребовалось бы и в том случае, если бы свет избрал какой-либо другой путь, бесконечно близкий к дуге ADB. Все это противоречит принципу Ферма в приведенной выше формулировке.
Причина противоречия состоит в том, что в приведенном примере эйконал Ф не есть однозначная функция координат, как это предполагалось при выводе. Действительно, если луч описывает окружность вокруг центра О, то он вернется в исходную точку с новым значением эйконала: эйконал Ф получит приращение nl , где l -- длина описанной окружности. Если окружность описывается т раз, то приращение эйконала будет 2mп1. Это и значит, что функция Ф неоднозначна. Для справедливости принципа Ферма необходимо наложить на выбор воображаемых путей распространения света такие ограничения, чтобы эйконал Ф вел себя как однозначная функция координат. В приведенном примере этого можно достигнуть, поставив перегородку вдоль меридиональной полуплоскости ODE и ограничиваясь только такими путями, которые не пересекают эту перегородку.
Подобным приемом можно воспользоваться и во всех остальных случаях, в которых эйконал Ф оказывается неоднозначным. Впрочем, в применениях принципа Ферма достаточно ограничиться только такими путями, которые проходят бесконечно близко от действительного пути света. В этом случае надобность во введении перегородок отпадает.
3. При наличии поверхностей раздела сред, на которых лучи могут испытывать отражение или преломление, в формулировку и доказательство принципа Ферма надо ввести дополнения. Пусть луч, выйдя из точки А (рис. 4), после отражений или преломлений в точках С, D,Е, попадает в точку В. Назовем виртуальным путем света любую линию AC"D"E"B между крайними точками А и В, которая получается из ACDEB в результате бесконечно малого бокового смещения ее и отличается от нее бесконечно мало по направлению. Принцип Ферма утверждает, что оптическая длина действительного светового пути (или пропорциональное ей время распространения) стационарна. Это значит, что разность оптических длин действительного и виртуального путей света есть величина более высокого порядка малости, чем боковое смещение виртуального пути относительно действительного. Только эта стационарность, а не минимальность оптической длины луча и существенна в приложениях.
При доказательстве достаточно ограничиться преломлением на одной границе. Случай отражения исследуется так же. Пусть MN -- граница раздела сред 1 и 2, а АСВ -- действительный луч, соединяющий течку А с точкой В (рис. 5). Вообразим два бесконечно узких пучка лучей: один в первой среде, исходящий из точки А, другой во второй среде, сходящийся в точке В. За положительные направления лучей примем направления от А к В. Выберем в этих пучках два луча АС" и C"В, пересекающихся на границе раздела в точке С". Кривую АС"В можно рассматривать как виртуальный путь света, так как луч С"В в общем случае отнюдь не возникает в результате преломления луча АС" . Обозначим через и эйконалы рассматриваемых пучков лучей, отсчитываемые от точек А и В соответственно. Тогда
Вариация интеграла при смещении точки С в произвольную бесконечно близкою точку С" границы раздела будет
Если -- вектор смещения, то и аналогично, так что
В силу закона преломления Снеллиуса вектор перпендикулярен к границе раздела сред в точке падения, а потому и к бесконечно малому смещению вдоль границы Таким образом, в первом порядке по вариация оптической длины луча АСВ обращается в нуль. При доказательстве предполагалось, что виртуальный путь состоит из отрезков лучей АС" и СВ". Однако результат отрезки заменить произвольными бесконечно близкими к ним линиями, соединяющими те же точки A и С", С" и В, В самом деле, поскольку АС" и С" В -- действительные лучи в первой и второй средах, их оптические длины по доказанному выше минимальны. По этой причине замена действительных лучей АС" и С"В бесконечно близкими к ним линиями, соединяющими те же крайние точки, не меняет в первом порядке оптические длины соответствующих путей. Следовательно, вариация оптической длины луча АСВ останется равной нулю, каков бы ни был виртуальный путь света. А к этому в рассматриваемом случае и сводится содержание принципа Ферма.
4. В применениях иногда удобна следующая теорема, являющая- ся непосредственным следствием принципа Ферма. Пусть А и В -- произвольные точки луча АСВ (рис.6).
Проведем через точку В произвольную гладкую поверхность BE, ортогональную к лучу АСВ в точке В. Пусть BD -- бесконечно малое смещение вдоль этой поверхности. Соединим начальную точку луча А с точкой D произвольной линией AHD, бесконечно мало отличающейся по направлению от луча АСВ. Тогда вариация оптической длины при переходе от истинного пути света АСВ к виртуальному AHD будет равна нулю. Для доказательства возьмем пучок лучей, исходящих из точки А. Все А эти лучи ортогональны к волновому фронту BF, а их оптические длины от точки А до волнового фронта одинаковы. В частности, (АСВ) = (АМК). Но по принципу Ферма с точностью до бесконечно малых высшего порядка (АМК) = (AHK). Далее, поскольку поверхности BDE и BKF касаются друг друга в точке В, длина луча KD будет бесконечно малой высшего порядка по сравнению с BD. Поэтому оптическая длина AHD будет отличаться от оптической длины АСВ также на величину высшего порядка малости по сравнению с боковым смещением BD. Это и требовалось доказать.
5. Если между собой, то в каждой среде путь света будет прямолинеен. В этом случае задача сводится только к нахождению точек на поверхностях раздела сред, в которых происходит отражение и преломление светового луча. Поэтому нет необходимости вводить криволинейные виртуальные пути света. Достаточно ограничиться ломаными виртуальными путями, состоящими из отрезков прямых линий, причем изломы таких путей должны происходить на границах раздела рассматриваемых сред. Даже при таких ограничениях оптическая длина действительного светового пути может быть не только минимальной, но и максимальной или стационарной.
Чтобы показать это в случае отражения света, возьмем эллипсоидальное зеркало, получающееся от вращения эллипса вокруг его большой оси (рис. 7). Пусть и - фокусы эллипсоида Если А --точка на его поверхности, то
где 2а -- длина большой оси эллипсоида. Поверхность зеркала делит все пространство на две части: внутреннюю, сумма расстояний каждой точки которой от фокусов и меньше 2а, и внешнюю, для которой эта сумма больше 2а, Пусть световой луч выходит из фокуса Тогда после отражения от эллипсоидального зеркала в точке А он пройдет через второй фокус F 2, так как по известному свойству эллипса прямые A и F 2 A образуют одинаковые углы с нормалью к поверхности зеркала. При смещении вдоль поверхности зеркала сумма А+ F 2 A, а с ней и время распространения света из в F 2 не изменяются. Вариация времени распространения при таком смещении равна нулю. Однако это время ни минимально, ни максимально -- оно постоянно. Именно по этой причине любой луч, вышедший из F l, обязательно пройдет через F 2 , в какой бы точке зеркала он ни отразился. Убедиться в этом можно с помощью таких же рассуждений, какие были приведены в пункте 3.
Вообразим теперь зеркало S, касающееся эллипсоида в точке А, обращенное вогнутостью в ту же сторону, что и эллипсоид, но имеющее большую кривизну. Световой луч A после отражения от этого зеркала снова попадает в точку F 2 . Однако при смещении точки А по поверхности зеркала S длина ломаной AF 2 уменьшается. Следовательно, время распространения света из в F 2 вдоль действительного пути максимально.
Наоборот, если взять зеркало S" имеющее в точке касания меньшую кривизну, чем эллипсоид, или обращенное вогнутостью в противоположную сторону, то время распространения света вдоль действительного пути будет минимально. В частности, оно минимально при отражении от плоского зеркала. Допустим, наконец, что зеркало SAS" имеет в А точку перегиба. Тогда при смещении точки падения луча по поверхности этого зеркала время распространения либо увеличится, либо уменьшится, либо останется неизменным, в зависимости от направления смещения.
6. Чтобы разобрать случай преломления, введем понятие анаберрационной поверхности. Пусть точка Р находится в однородной среде с показателем преломления n, а точка Р" -- в однородной среде с показателем преломления n" (рис. 8). Поверхность АА", вдоль которой среды граничат друг с другом, называется анаберрационной, если любая точка А этой поверхности удовлетворяет условию
n*РА + n"* АР" = С = const. (9)
Для случая преломления анаберрационная поверхность имеет форму так называемого картезианского овала. Он обращен вогнутостью в сторону более преломляющей среды (n" > n). Анаберрационная поверхность делит пространство на две части, обладающие следующим свойством. Если точка М расположена в менее преломляющей среде, то сумма n*РМ + n"*MP" больше С; если же она лежит в более преломляющей среде, то эта сумма меньше С.
Докажем следующую теорему. Луч света, вышедший из точки Р, после преломления на анаберрационной поверхности обязательно пройдет через точку Р". Действительно, пусть РА -- падающий луч, as -- единичный вектор, направленный вдоль него. Соединим точку А с точкой Р" и обозначим через s" единичный вектор, направленный вдоль прямой АР". По определению анаберрационной поверхности вариация оптической длины ломаной РAР" при смещении точки А по анаберрационной поверхности будет равна нулю. Поэтому, применяя такие же рассуждения, какие были проведены в пункте 2, найдем, что вектор ns -- n"s" перпендикулярен к анаберрационной поверхности в точке А. Отсюда следует, что АР" дает направление преломленного луча.
Доказанной теореме можно дать также следующую формулировку. Если АА" -- анаберрационная поверхность относительно пары точек Р и Р", то каждая из этих точек будет оптическим изображением другой при преломлении лучей на этой анаберрационной поверхности. При этом на угловую ширину пучка лучей не накладывается никаких ограничений.
Вернемся к исследованию характера экстремума оптической длины луча при преломлении. Наши рассуждения ничем не будут отличаться от рассуждений, проведенных выше для эллипсоидального зеркала. Допустим, например, что среды граничат друг с другом вдоль поверхности S (рис. 8), касающейся анаберрационной поверхности в точке A. Тогда падающий луч после преломления в точке А опять пройдет через точку Р". Пусть поверхность S обращена вогнутостью в ту же сторону, что и анаберрационная поверхность, и имеет в точке касания большую кривизну. Тогда при смещении точки падения вдоль S она окажется в менее преломляющей среде. Следовательно, смещенный путь будет иметь меньшую оптическую длину, чем действительный: время распространения света вдоль действительного пути максимально. Напротив, когда кривизна поверхности S в точке касания А меньше кривизны анаберрационной поверхности, а также тогда, когда поверхность S обращена вогнутостью в противоположную сторону, то время распространения вдоль действительного пути минимально. В частности, оно Минимально при преломлении на плоской поверхности.
В однородной среде свет распространяется прямолинейно. В неоднородной среде световые лучи искривляются. Путь, по которому распространяется свет в неоднородной среде, может быть найден с помощью принципа, установленного французским математиком Ферма в 1679 г. Принцип Ферма гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.
Для прохождения участка пути dS (рис. 1.3) свету нужно время dt = dS/v, где v - скорость света в данной точке среды.
DS Рис. 1.3. К выводу принципа Ферма.
Заменив v через с и п по формуле (1.3), получим, что . Следовательно, времяt , затрачиваемое светом на прохождение пути от точки1 доточки 2, можно вычислить по формуле
Согласно принципу Ферма t должно быть минимальным. Поскольку с - константа, должна быть минимальна величина
которую называют оптической длиной пути . В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути S на показатель преломления среды п:
L = nS. (1.5)
Принцип Ферма можно сформулировать следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.
Основные законы оптики. Полное отражение
Еще до установления природы света были известны следующие основные законы оптики: закон прямолинейного распространения света в оптически однородной среде; закон независимости световых пучков (справедлив только в линейной оптике); закон отражения света; закон преломления света.
Закон прямолинейного распространения света: свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно.
Доказательством этого закона является наличие тени с резкими границами от непрозрачных предметов при освещении их точечными источниками света (источники, размеры которых значительно меньше освещаемого предмета и расстояния до него). Тщательные эксперименты показали, однако, что этот закон нарушается, если свет проходит сквозь очень малые отверстия, причем отклонение от прямолинейности распространения тем больше, чем меньше отверстия.
Закон независимости световых пучков : эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены. Разбивая световой поток на отдельные световые пучки (например, с помощью диафрагм), можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо.
Если свет падает на границу раздела двух сред (двух прозрачных веществ), то падающий луч I (рис. 1.4) разделяется на два - отраженный II и преломленный III, направления которых задаются законами отражения и преломления.
Рис. 1.4. К законам отражения и преломления света.
Закон отражения: отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения; угол i ` 1 отражения равен углу i 1 падения:
Закон преломления: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред:
где n 12 - относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Индексы в обозначениях углов i 1 , i ` 1 , i 2 указывают, в какой среде (первой или второй) идет луч.
Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления:
Абсолютным показателем преломления среды называется величина “n”, равная отношению скорости “с” электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости “v” в среде:
Напомним ещё раз, что , где e и m - соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.
Учитывая (1.6), закон преломления (1.2) можно записать в виде
откуда можно получить уравнение, которое не только описывает поведение светового пучка на границе раздела слоистых сред, но и может быть поименовано как закон обратимости луча:
n 1 ×sini 1 = n 2 ×sini 2 = n 3 ×sini 3 =… (1.7)
Обратимость световых лучей вытекает из симметрии выражения (1.7). Если обратить луч III (рис. 1.4), заставив его падать на границу раздела под углом i 2 , то преломленный луч в первой среде будет распространяться под углом i 1 , т. е. пойдет в обратном направлении вдоль луча I.
Фундаментальным следствием закона преломления света является закон полного внутреннего отражения.
Если свет распространяется из среды с большим показателем преломления n 1 (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления n 2 (оптически менее плотную) (n 1 >n 2), например, из стекла в воду, то, согласно (31.7),
Отсюда следует, что преломленный луч удаляется от нормали и угол преломления i 2 больше, чем угол падения i 1 (рис. 31.5, a). С увеличением угла падения увеличивается угол преломления (рис. 31.5,б,в) до тех пор, пока при некотором угле падения (i = i пр) угол преломления не окажется равным p /2. Угол i пр называется предельным углом. При углах падения i > i пр весь падающий свет полностью отражается (рис. 31.5, г).
|
Рис. 1.5. Наблюдение явления полного внутреннего отражения.
По мере приближения угла падения к предельному интенсивность преломленного луча уменьшается, а отраженного - растет (рис. 1.5, а-в). Если i = i пр, то интенсивность преломленного луча обращается в нуль, а интенсивность отраженного равна интенсивности падающего (рис. 1.5, г). Таким образом, при углах падения в пределах от i пр, до p /2 луч не преломляется, а полностью отражается в первую среду, причем интенсивности отраженного и падающего лучей одинаковы. Это явление и называется полным отражением.
Предельный угол i пр определим из формулы (1.7) при подстановке в нее i 2 = p /2.
Тогда
(1.8)
Уравнение (1.8) удовлетворяет значениям угла i пр при n 2 £n 1 . Следовательно, явление полного отражения имеет место только при падении света из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную.
Явление полного отражения используется в световодах (светопроводах), представляющих собой тонкие, произвольным образом изогнутые нити (волокна) из оптически прозрачного материала. В волоконных деталях применяют стеклянное волокно, световедущая жила (сердцевина) которого окружается стеклом - оболочкой из другого стекла с меньшим показателем преломления. Свет, падающий на торец световода под углами, большими предельного, претерпевает на поверхности раздела сердцевины и оболочки полное отражение и распространяется только по световедущей жиле.
Таким образом, с помощью световодов можно как угодно искривлять путь светового пучка. Диаметр световедущих жил лежит в пределах от нескольких микрометров до нескольких миллиметров. Для передачи изображений, как правило, применяются многожильные световоды. Вопросы передачи световых волн и изображений изучаются в специальном разделе оптики - волоконной оптике, возникшей в 50-е годы XX столетия. Световоды используются в электронно-лучевых трубках, в электронно-счетных машинах, для кодирования информации, в медицине (например, диагностика внутренних органов), для защиты средств связи от воздействия сверхмощного электромагнитного импульса, возникающего при взрыве атомных и термоядерных боеприпасов и т. д.
Оптика - раздел физики, который занимается изучением природы света, законов распространения и взаимодействия с веществом.
Свет - это электромагнитное излучение в диапазоне длин волн от до (ф 0,4-0,79 мкм кр).
Видимый свет – это излучение в интервале длин волн: . Геометрическая оптика – раздел физики занимающийся изучением законов распространения света и получением изображений в оптических приборах. В основу геометрической оптики положено понятие светового луча (это линия указывающая направление распространения света) и световой пучок (это область пространства, в пределах которой распространяется свет). Световые пучки являются независимыми: каждый световой пучок при взаимном пересечении ведет себя самостоятельно, независимо от других пучков и не оказывает никакого влияния на другие пучки света. В основу г. о. положен принцип Ферма.
Принцип Ферма (первая формулировка): свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время. Пусть свет распространяется из точки 1 в точку 2 .Для прохождения элементарного участка dS свету потребуется время. Абсолютный показатель преломления среды , где с – скорость света, – скорость света в среде, то . Вторая формулировка: величина называется оптической длиной пути.Если среда однородна (n =с onst ), то L=nS , т. е. оптическая длина пути равнапроизведению показателя преломления среды на геометрическое расстояние между точками. Если заменить , т. е. пр. Ферма: свет распространяется по такому пути, длина которого минимальна, где s- геометрическая длина пути.
Оптические свойства вещества характеризуются величиной, называемой абсолютным показателем преломления n.
Абсолютный показатель преломления показывает во сколько раз скорость света в вакууме с больше скорости света в веществе v
Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления в двух средах:
n 21 = n 2 /n 1 ; n 21 = v 1 /v 2 .
где v 1 и v 2 - скорость света в первой и во второй среде соответственно.
2. Основные законы геометрической оптики.
1) З-н прямолинейного распространения света: в однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно.
2) З-н обратимости хода светового луча.(закон независимости световых лучей;)
3) З-н отражения света:
а)луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр восстановленный в точку падения луча на границе раздела 2 сред, лежат в одной пл-ти.
б)угол падения= углу отражения.
4) закон независимости световых пучков. · (эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того , действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены.
Разбивая световой поток на отдельные световые пучки (например, с помощью диафрагм), можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо.)
5) З-н преломления света:
а)луч падающий, луч преломляющий и перпендикуляр восстановленный в точку падения луча на границе раздела 2 сред, лежат в одной плоскости.
б)отношение sin угла падения к sin угла преломления есть величина постоянная, равная относительному показателю двух сред, где – относительный показатель преломления, – абсолютный показатель света.
Закон отражения (рис. 7.3):
· отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром , проведенным к границе раздела двух сред в точке падения ;
· угол падения α равен углу отражения γ: α = γ
Для вывода закона отражения воспользуемся принципом Гюйгенса. Предположим, что плоская волна (фронт волны АВ с , падает на границу раздела двух сред (рис. 7.4). Когда фронт волны АВ достигнет отражающей поверхности в точке А , эта точка начнет излучать вторичную волну .
· Для прохождения волной расстояния ВС требуется время Δt = BC/υ. За это же время фронт вторичной волны достигнет точек полусферы, радиус AD которой равен: υ Δt = ВС. Положение фронта отраженной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а направление распространения этой волны – лучом II. Из равенства треугольников ABC и ADC вытекает закон отражения : угол падения α равен углу отражения γ.
Закон преломления (закон Снелиуса ) (рис. 7.5):
· луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости;
· отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред.
Вывод закона преломления. Предположим, что плоская волна (фронт волны АВ ), распространяющаяся в вакууме вдоль направления I со скоростью с , падает на границу раздела со средой, в которой скорость ее распространения равна u (рис. 7.6).
Пусть время, затрачиваемое волной для прохождения пути ВС , равно Dt . Тогда ВС = с Dt. За это же время фронт волны, возбуждаемой точкой А в среде со скоростью u, достигнет точек полусферы, радиус которой AD = u Dt. Положение фронта преломленной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а направление ее распространения – лучом III. Из рис. 7.6 видно, что
Отсюда следует закон Снелиуса :
3. Применение принципа Ферма к доказательству законов отражения и преломления.
Принцип Ферма – основной принцип геометрической оптики . Простейшая форма принципа Ферма – утверждение, что луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками по тому пути, по которому время его прохождения меньше, чем по любому из всех других путей, соединяющих эти точки. Время прохождения светом расстояния l, заполненного средой с показателем преломления n , пропорционально оптической длине пути S ; S = l n для однородной среды, а при переменном n
S = ∫ndl,
Поэтому можно сказать, что принцип Ферма есть принцип наименьшей оптической длины пути . В первоначальной формулировке самого П. Ферма (около 1660) принцип имел смысл наиболее общего закона распространения света , из которого следовали все (к тому времени уже известные) законы геометрической оптики : для однородной среды он приводит к закону прямолинейности светового луча (в соответствии с геометрическим положением о том, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками), а для случая падения луча на границу различных сред из принципа Ферма можно получить законы отражения света и преломления света . В более строгой формулировке принцип Ферма представляет собой вариационный принцип , утверждающий, что реальный луч света распространяется от одной точки к другой по линии, по которой время его прохождения экстремально или одинаково по сравнению с временами прохождения по всем другим линиям, соединяющим эти точки. Это означает, что оптическая длина пути луча может быть не только минимальной, но и максимальной либо равной всем остальным возможным путям, соединяющим указанные точки. Примерами минимального пути служат упомянутые распространение света в однородной среде и прохождение светом границы двух сред с разными показателями преломления n . Все три случая (минимальности, максимальности и стационарности пути) можно проиллюстрировать, анализируя отражение луча света от вогнутого зеркала (рис.1).
Действительный путь света соответствует экстремальному времени распространения
Если зеркало имеет форму эллипсоида вращения, а свет распространяется от одного его фокуса Р к другому Q (причём путь без отражения невозможен), то оптическая длина пути луча PO" + O"Q по свойствам эллипсоида равна всем остальным возможным, например PO"" + О"" Q ; если на пути между теми же точками свет отражается от зеркала меньшей, чем у эллипсоида, кривизны (MM ), реализуется минимальный путь, если же большей (зеркало NN ) – максимальный. Условие экстремальности оптической длины пути сводится к требованию, чтобы была равна нулю вариация от интеграла
где А и В – точки, между которыми распространяется свет. Это выражение и представляет собой математическую формулировку принципа Ферма.
В волновой теории света принцип Ферма представляет собой предельный случай принципа Гюйгенса – Френеля и применим, когда можно пренебречь дифракцией света (когда длина световой волны достаточно мала по сравнению с характерными для задачи размерами): рассматривая лучи как нормали к волновым поверхностям, легко показать, что при всяком распространении света оптической длины их путей будут иметь экстремальные значения. Во всех случаях, когда необходимо учитывать дифракцию , принцип Ферма перестаёт быть применимым.
4.Преломоение света на плоской границе раздела 2-х сред. Полное внутреннее отражение
Если световой пучок падает на поверхность, разделяющую две прозрачные среды разной оптической плотности, например воздух и воду, то часть света отражается от этой поверхности, а другая часть - проникает во вторую среду. При переходе из одной среды в другую луч света изменяет направление на границе этих сред. Это явление называется преломлением света.
Законы преломления света.
Из всего сказанного заключаем:
1 . На границе раздела двух сред различной оптической плотности луч света при переходе из одной среды в другую меняет своё направление.
2. При переходе луча света в среду с большей оптической плотностью угол преломления меньше угла падения; при переходе луча света из оптически более плотной среды в среду менее плотную угол преломления больше угла падения.
Преломление света сопровождается отражением, причём с увеличением угла падения яркость отражённого пучка возрастает, а преломлённого ослабевает. Это можно увидеть проводя опыт, изображённом на рисунке. Следовательно, отражённый пучок уносит с собой тем больше световой энергии, чем больше угол падения.
Пусть MN -граница раздела двух про зрачных сред, например, воздуха и воды, АО -падающий луч, ОВ - преломленный луч, -угол падения, -угол преломления, -скорость распространения света в первой среде, - скорость распространения света во второй среде.
Первый закон преломления звучит так: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления является постоянной величиной для данных двух сред:
, где - относительный показатель преломления (показатель преломления второй среды относительно первой).
Второй закон преломления света очень напоминает второй закон отражения света:
падающий луч, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный в точку падения луча, лежит в одной плоскости.
Полное внутреннее отражение
Наблюдается для электромагнитных или звуковых волн на границе раздела двух сред, когда волна падает из среды с меньшей скоростью распространения (в случае световых лучей это соответствует бо́льшему показателю преломления).
С увеличением угла падения , угол преломления также возрастает, при этом интенсивность отражённого луча растет, а преломленного - падает (их сумма равна интенсивности падающего луча). При некотором критическом значении интенсивность преломленного луча становится равной нулю и происходит полное отражение света. Значение критического угла падения можно найти, положив в законе преломления угол преломления равным 90°:
5. Призмы
Призма - оптический элемент из прозрачного материала (например, оптического стекла) в форме геометрического тела - призмы, имеющий плоские полированные грани, через которые входит и выходит свет. Свет в призме преломляется. Важнейшей характеристикой призмы является показатель преломления материала, из которого она изготовлена. Виды призм: Дисперсионные призмы. Отражательные призмы. Поляризационные призмы.
Дисперсионные призмы Дисперсионные призмы используют в спектральных приборах для пространственного разделения излучений различных длин волн.
Отражательные призмы
Отражательные призмы используют для изменения хода лучей, изменения направления оптической оси, изменения направления линии визирования, для уменьшения габаритных размеров приборов. Классифицируются отражательные призмы по нескольким признакам:
количеству отражений в призме
наличию или отсутствию «крыши»
характеру конструкции призмы
углу излома оптической оси
Призма Аббе
Призма Аббе-Порро
6. Тонкие линзы. Формула тонкой линзы
Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Если толщина самой линзы мала по сравнению с радиусами кривизны сферических поверхностей, то линзу называют тонкой . Линзы входят в состав практически всех оптических приборов. Линзы бывают собирающими и рассеивающими . Собирающая линза в середине толще, чем у краев, рассеивающая линза, наоборот, в средней части тоньше Линзы входят в состав практически всех оптических устройств . Линзы (Рис.3) делятся на собирающие и рассеивающие
Схема тонкой линзы
Рис.3,Собирающие (a) и рассеивающие (b) линзы и их условные обозначения.
Главной оптической осью линзы считается ось, прожодящая через центры кривизны её поверхностей. В тонкой линзе точки пересечения главной оптической оси с обеими поверхностями линзы сливаются в одну точку О.(Т.к. очень большие радиусы кривизны приближаются к плоскостям, то сферические поверхности теоретически сливаються в одну плоскость). Эта точка называется оптическим центром линзы. Тонкая линза имеет одну главную плоскость, которая общая для двух сферических поверхностей и проходит через центр призмы и перпендикулярна к главной оптической оси. Все прямые, проходящие через оптический центр линзы, называются побочными оптическими осями линзы. Важным является то, что все лучи, идущие через оптический центр линзы, не преломляются.
Поток монохроматических параллельных лучей или пучков лучей с осями их узких конусов, нормалльных к сферической границе раздела (к главной плоскости, называют парксиальными (приосевыми) пучками. При этом, пройдя через неё сходятся в главном фокусе линзы F 2 . Главные фокусы линзы лежат на главной оптической оси линзы. Точки, расположенные на главной оптической оси линзы с двух сторон оптического центра на равных расстояниях f 2 . , называются главными фокусами линзы . Плоскости, проходящие через главные фокусы f 2 линзы и перпендикулярные к её главной оптической оси , называются фокальными плоскостями линзы .
Формула тонкой линзы.
Формула тонкой линзы связывает между; собой три величины: расстояние от предмета до линзы d, расстояние от линзы до изображения f и фокус ное расстояние линзы F :
В формуле тонкой линзы фокусное расстояние ОF обозначается буквой F. Если линза собирающая, то > 0, если линза рассеивающая, то перед ставится знак «минус». Если изображение действительное, то > 0; если изображение воображаемое, то перед ставиться знак «минус». Все величины в формулу линзы подставляются в метрах.
7. Построение изображений в линзах
Опыт показывает, что параксиальные лучи света, выходящие из одной светящейся точки, после прохождения через линзу сходятся также в одной точке, которая является изображением светящейся точки. Поэтому для построения изображения точки достаточно взять два любых луча, но лучше те, ход которых после преломления заранее известен: 1 - луч, идущий через оптический центр; 2 - луч, параллельный главной оптической оси; 3 - луч, проходящий через передний фокус собирающей линзы (или продолжение луча 3 проходит через задний фокус рассеивающей линзы) (рис. 16.41).
Положение изображения действительного предмета и егоразмеры зависят от положения предмета относительно линзы. Пусть d
- расстояние от предмета до линзы, f
- расстояние от линзы до изображения. Построим изображение плоского предмета АВ
, расположенного на различных расстояниях d
от линзы. Если линза собирающая, то при d>2F
(рис. 16.42) изображение действительное, перевернутое, уменьшенное,F
При F (рис. 16.43) изображение действительное, перевернутое, увеличенное, f>2F.
Рис. 16.43
При d (рис. 16.44) изображение мнимое, прямое, увеличенное, находится с той же стороны от линзы, что и сам предмет, но дальше предмета (f>d).
Рис. 16.44
В рассеивающей линзе (рис. 16.45) изображение действительного предмета всегда мнимое, прямое, уменьшенное, находится между линзой и ее фокусом со стороны изображаемого предмета.
8.Глаз как оптический прибор. Лупа, Микроскоп, фотоаппарат.
Глаз. Основным источником зрения является глазное яблоко, за зрачком находится хрусталик, а сзади сетчатка. Оптическую роль в глазе выполняет элемент, имеющий форму двояковыпуклой линзы и наз-ся хрусталиком. К краям хрусталика прикреплены мышцы, которые сжимают или растягивают хрусталик, в результате меняются радиусы кривизны сферич. пов-ти хрусталика и соответственно фокусные расстояния. При изменении расстояния d до наблюдаемого объекта, расстояние f от хрусталика до сетчатки остается неизменным, а меняется фокусное расстояние. Недостатки зрения – близорукость и дальнозоркость.
Лупой называют собирающую тонкую линзу с малым фокусным расстоянием (5-10 см).увеличение лупы: , расстояние наилучшего зрения.
Век XVII был ознаменован бурным развитием в Европе специального раздела физики - оптики. Были открыты для света законы отражения и преломления, а принцип Ферма показал, почему они имеют соответствующий математический вид. Разберемся подробнее, что собой представляет этот принцип.
Явления преломления и отражения
Под отражением понимают явление, при котором свет, распространяясь в прозрачном для него веществе, встречает на своем пути препятствие и резко изменяет свою траекторию. Препятствием может быть любое: жидкое или твердое тело, прозрачное и непрозрачное.
Явление отражения было известно с глубокой древности. Согласно историческим свидетельствам, законы отражения уже были сформулированы еще до нашей эры. А в первом веке нашей эры египетский философ Герон Александрийский высказал идею о траектории света, которую впоследствии использовал француз Пьер Ферма при формулировке своего принципа.
Явление преломления заключается в изломе прямой линии, по которой движется свет, при пересечении им поверхности, разделяющей два прозрачных материала. Заметим, что в случае отражения луч движется в одном прозрачном материале или, как принято говорить, в одной среде.
Первая формулировка законов преломления приписывается персидскому математику X века, некоему Ибну Сахлю, который в своих работах опирался на труды Клавдия Птолемея (I-II века н. э.). На рубеже конца XVI - начала XVII веков голландский ученый Снелл, обобщив результаты многих экспериментов со светом, сформулировал в математическом виде 2-й закон преломления, который в настоящее время носит его фамилию. Снелл свою формулировку привел в терминах расстояний, а не углов, как это принято сейчас. Современный вид закону преломления придал уже Рене Декарт.
Законы распространения света в прозрачных средах
Перед тем как переходить к рассмотрению принципа Ферма, законы преломления и отражения света следует сформулировать. Для каждого из этих явлений принято выделять по два закона. Ниже они попарно объединены:
- Траектория луча, когда он пересекает границу раздела двух сред, всегда лежит в одной плоскости с нормалью, проведенной к плоскости этой границы. Возможная траектория луча формируется в общем случае из трех частей: падающий луч, преломленный и отраженный.
- Если угол между падающим лучом света и нормалью назвать θ 1 , аналогичный угол, но уже для отраженного луча, записать как θ 2 , а преломленный - θ 3 , тогда 2-й закон будет иметь вид:
В этих формулах n 1 и n 2 - это показатели преломления в прозрачных средах 1 и 2. Показатель преломления, согласно определению, вычисляется так:
Здесь v и c - скорости движения луча света в среде и в вакууме.
Формулировка принципа Ферма
Пьер Ферма был одним из известных математиков и юристов Франции в первой половине XVII века. Принцип, который носит его фамилию, он сформулировал в 1662 году, то есть спустя полвека после открытия Снеллом своего закона для преломления.
Кратко принцип Ферма может быть сформулирован так: свет при движении в абсолютно любых прозрачных средах выбирает такую траекторию, которую он пройдет за наименьшее время.
По сути, эта формулировка ничем не отличается от той, что сделал Герон Александрийский полторы тысячи лет ранее для явления отражения. Тем не менее француз сделал ее общей для всех явлений, связанных со светом, и показал, как из этого принципа могут быть получены законы преломления и отражения.
Вывод 1-го закона отражения
Пользуясь принципом Ферма, законы отражения получим математически. Для этого рассмотрим рисунок ниже.
Здесь показано, что луч выходит с точки S, которая лежит на оси y. Затем он отражается от плоскости xz в некоторой неизвестной точке M. После отражения луч движется к точке P, лежащей на плоскости xy. Выбранное положение точек S и P не влияет на общность дальнейших рассуждений, а лишь упрощает математические выкладки.
Итак, запишем координаты каждой точки:
Координаты положения точек S и P известны. Задача состоит в том, чтобы найти такую точку M, которая будет соответствовать реальной траектории SMP, пройденной световым лучом. Также будем полагать, что рассматриваемое пространство является однородным, то есть скорость света в любой точке является постоянной величиной.
Согласно принципу Ферма, траекторию SMP свет пройдет за наименьшее время, если она будет наиболее короткой из всех возможных. Запишем ее длину:
SM = √(x 2 + y S 2 + z 2); MP = √((x-x P) 2 +y P 2 +z 2);
SMP = √(x 2 + y S 2 + z 2) + √((x-x P) 2 +y P 2 +z 2).
Чтобы вычислить минимальную длину SMP, необходимо найти частные производные по x и z (неизвестные координаты точки M) и приравнять к нулю полученные результаты.
Сначала найдем частную производную по z. Имеем:
∂(SMP)/∂z = z/√(x 2 + y S 2 + z 2) + z/√((x-x P) 2 +y P 2 +z 2) = 0.
Это равенство имеет единственный корень, когда z = 0. Иными словами, точка M лежит на оси x, то есть в той же плоскости, что и точки P и S (плоскость xy). Откуда следует, что восстановленная нормаль к плоскости xz, в которой, по условию задачи, находится точка M, будет лежать вместе с SM и MP в одной плоскости (xy). Это и есть 1-й закон отражения.
Вывод 2-го закона отражения
Продолжим производить вычисления предыдущего пункта. Как было сказано, теперь необходимо найти частную производную по x. Имеем:
∂(SMP)/∂x = x/√(x 2 + y S 2 + z 2) + (x-x P)/√((x-x P) 2 +y P 2 +z 2) = 0.
Последнее равенство запишем в виде:
x/SM + (x-x P)/MP = 0 =>
x/SM = (x P -x)/MP.
Полученные отношения в каждой части равенства - это синусы углов с вершиной в точках S и P. Если восстановить теперь нормаль к плоскости xz через точку M, то отмеченные углы будут соответствовать углам падения (между SM и нормалью) и отражения (между MP и нормалью).
Таким образом, следуя принципу Ферма, мы получили также 2-й закон отражения света.
Вывод закона преломления Снелла
Теперь покажем, как можно вывести из принципа Ферма закон преломления света. Для этого рассмотрим рисунок, похожий на предыдущий.
Для простоты будем рассматривать случай в плоскости xy. Выпишем координаты источника S и приемника P света, которые находятся в разных средах:
Найдем неизвестную координату точки M. Координата y=0 для нее точно известна, поскольку именно на границе сред (ось x) меняется скорость распространения света. Длины отрезков SM и MP равны:
SM = √(x-x S) 2 + y S 2);
MP = √(x P -x) 2 + y P 2).
Общее время, которое затратит свет на прохождение траектории SMP, будет равно:
Здесь v 1 , v 2 - скорости луча в соответствующих средах. Чтобы найти минимальное время движения, следует взять полную производную по переменной x и приравнять ее к нулю. Получаем:
dt/dx = (x-x S)/(√(x-x S) 2 + y S 2)*v 1) - (x P -x)/(√(x P -x) 2 + y P 2)*v 2) = 0 =>
(x-x S)/(SM*v 1) = (x P -x)/(MP*v 2).
Используя функции синусов угла падения θ 1 и преломления θ 3 , получаем:
sin(θ 1)/v 1 = sin(θ 3)/v 2 .
Чтобы привести полученное равенство к закону Снелла в удобном виде (через показатели преломления сред), необходимо помножить левую и правую части на скорость света c.
Таким образом, применение принципа Ферма позволяет легко вывести законы для основных явлений движения светового луча в прозрачных материалах.
Движение света в неоднородной среде
Рассмотренные выше случаи предполагают, что материал является гомогенным, и световой луч при движении в нем скорость свою сохраняет. В случае же негомогенных сред справедливо равенство:
Этот интеграл берется вдоль траектории следования света. Дифференциал dl - это отрезок пути, для которого среда сохраняет свою однородность. Величина n(x,y,z) - это локальный показатель преломления.
Отмеченный интеграл принято называть интегралом оптического пути. Принцип Ферма для оптического пути предполагает нахождение экстремумов для L.
Обобщенная формулировка рассматриваемого принципа
Принцип минимального времени для движения света является частным для более общей формулировки. В настоящее время обобщенный принцип Ферма формулируют так: свет выбирает во время движения такую траекторию, которая соответствует экстремумам оптического пути.
Экстремумами функции, согласно математическому определению, являются минимум, максимум и точка перегиба. Общий принцип Ферма удовлетворяет всем этим значениям, то есть траектория света не обязательно будет минимальной, она может быть и максимальной, и соответствующей точке перегиба оптического пути.
Бытовая аналогия с рассматриваемым принципом
Общий принцип Ферма, в свою очередь, является частным случаем так называемого принципа наименьшего действия. Здесь не будем приводить соответствующие определения и их математические формулировки, однако покажем, где можно применить предложенный французом принцип.
Используется он при решении простой, на первый взгляд, бытовой задачи: допустим, вблизи пляжа в море тонет человек. Как должен двигаться спасатель, находящийся на берегу, чтобы спасти утопающего? Конечно же, он должен прийти на помощь за наименьшее время. Поскольку скорость движения спасателя по пляжу больше, чем по воде, ему следует пробежать некоторое расстояние по берегу, а лишь затем прыгнуть в воду и поплыть. То есть задача сводится к применению принципа Ферма, где роль светового луча играет спасатель.
Отметим, что решение этой задачи не является простым, поскольку в его процессе появляются уравнения 4-й степени.
Таким образом, принцип Ферма - это инструмент получения основных законов распространения света. Однако он не является фундаментальным. Можно сказать, что он следует из принципа Гюйгенса об источниках вторичных сферических волн.
- Молитвы от блуда Кому помолиться от блуда в семье
- Сила позитивного мышления — Пил Норман Винсент Пил норман сила позитивного мышления читать pdf
- Литературный вечер "жизнь и творчество марины ивановны цветаевой" Лит вечер посвященный цветаевой в библиотеке
- Страховые компании с отозванными лицензиями Ли лицензия у страховой