Центробежная сила пропорциональна. Физические законы отжима в центрифуге
Стивен Хокинг
"МИР В ОРЕХОВОЙ СКОРЛУПКЕ"
Живо и интригующе. Хокинг от природы наделен даром учить и разъяснять, с юмором иллюстрировать крайне сложные понятия аналогиями из повседневной жизни.
New York Times
Эта книга обручает детские чудеса с гениальным интеллектом. Мы путешествуем по вселенной Хокинга, перенесенные гуда силой его разума.
Sunday Times
Живо и остроумно… Позволяет широкому читателю почерпнуть глубокие научные истины из первоисточника.
New Yorker
Стивен Хокинг - мастер ясности… Трудно представить, чтобы кто-то другой из ныне живущих доходчивее изложил устрашающие профана математические выкладки.
Chicago Tribune
Наверное, лучшая научно-популярная книга Мастерское обобщение того, что современные физики по астрофизике. Спасибо, доктор Хокинг! думают о Вселенной и том, как она стала такой.
Wall Street journal
В 1988 году книга Стивена Хокинга «Краткая история времени», побившая рекорды продаж, познакомила читателей во всем мире с идеями этого замечательного физика-теоретика. И вот новое важное событие: Хокинг возвращается! Великолепно иллюстрированное продолжение - «Мир в ореховой скорлупке» - раскрывает суть научных открытий, которые были сделаны после выхода в свет его первой, широко признанной книги.
Один из самых блестящих ученых нашего времени, известный не только смелостью идей, но также ясностью и остроумием их выражения, Хокинг увлекает нас к переднему краю исследований, где правда кажется причудливее вымысла, чтобы объяснить простыми словами принципы, которые управляют Вселенной. Как и многие физики-теоретики, Хокинг жаждет отыскать Священный Грааль науки - Теорию Всего, которая лежит в основании космоса. Он позволяет нам прикоснуться к тайнам мироздания: от супергравитации до суперсимметрии, от квантовой теории до М-теории, от голографии до дуальностей. Вместе с ним мы пускаемся в увлекательные приключения, когда он рассказывает о попытках создать на основе общей теории относительности Эйнштейна и выдвинутой Ричардом Фейнманом идеи о множественности историй Полную объединенную теорию, которая опишет все, что происходит во Вселенной.
Мы сопутствуем ему в необыкновенном путешествии через пространство-время, а великолепные цветные иллюстрации служат нам вехами в этом странствии по сюрреалистической Стране чудес, где частицы, мембраны и струны движутся в одиннадцати измерениях, где черные дыры испаряются, унося с собой свои секреты, и где космическое семя, из которого выросла наша Вселенная, было крохотным орешком.
Стивен Хокинг занимает кресло Лукасовского профессора математики в Кембриджском университете, наследуя на этом посту Исааку Ньютону и Полу Дираку. Он считается одним из самых выдающихся физиков-теоретиков со времен Эйнштейна.
Предисловие
Я не ожидал, что моя научно-популярная книга «Краткая история времени» окажется настолько успешной. В списке бестселлеров лондонской «Санди тайме» она продержалась более четырех лет - дольше любой другой книги, что особенно удивительно для издания о науке, ведь они обычно расходятся не очень быстро. Потом люди стали спрашивать, когда ожидать продолжения. Я противился, мне не хотелось писать что-то вроде «Продолжения краткой истории» или «Немного более длинной истории времени». А еще я был занят исследованиями. Но постепенно стало ясно, что можно написать другую книгу, которая имеет шанс оказаться проще для понимания. «Краткая история времени» была построена по линейной схеме: в большинстве случаев каждая следующая глава логически связана с предшествующими. Одним читателям это нравилось, но другие, застряв на первых главах, так и не добирались до более интересных тем. Настоящая книга построена иначе - она скорее похожа на дерево: главы 1 и 2 образуют ствол, от которого отходят ветви остальных глав.
Эти «ответвления» в значительной степени независимы друг от друга, и, получив представление о «стволе», читатель может знакомиться с ними в произвольном порядке. Они связаны с областями, в которых я работал или о которых размышлял после публикации «Краткой истории времени». То есть отображают наиболее активно развивающиеся направления современных исследований. Внутри каждой главы я также попытался уйти от линейной структуры. Иллюстрации и подписи к ним указывают читателю альтернативный маршрут, как в «Иллюстрированной краткой истории времени», изданной в 1996 г. Врезки и замечания на полях позволяют затронуть некоторые темы глубже, чем это возможно в основном тексте.
В 1988 г., когда впервые вышла «Краткая история времени», впечатление было такое, что окончательная Теория Всего едва-едва замаячила на горизонте. Насколько с тех пор изменилась ситуация? Приблизились ли мы к нашей цели? Как вы узнаете из этой книги, прогресс был весьма значительным. Но путешествие еще продолжается, и конца ему пока не видно. Как говорится, лучше продолжать путь с надеждой, чем прибыть к цели". Наши поиски и открытия питают творческую активность во всех сферах, не только в науке. Если мы достигнем конца пути, человеческий дух иссохнет и умрет. Но я не думаю, что мы когда-либо остановимся: будем двигаться если не в глубину, то в сторону усложнения, всегда оставаясь в центре расширяющегося горизонта возможностей.
В работе над этой книгой у меня было много помощников. Особо я хотел бы отметить Томаса Хертога и Нила Ширера за их помощь с рисунками, подписями и врезками, Энн Харрис и Китти Фергюссон, которые редактировали рукопись (или, точнее, компьютерные файлы, поскольку все, что я пишу, появляется в электронной форме), Филиппа Данна из Book Laboratory и Moonrunner Design, который создал иллюстрации. Но кроме того, я хочу поблагодарить всех тех, кто дал мне возможность вести нормальную жизнь и заниматься научными исследованиями. Без них эта книга не была бы написана.
Глава 1. Краткая история относительности
О том, как Эйнштейн заложил основы двух фундаментальных теорий XX века: общей теории относительности и квантовой механики
Альберт Эйнштейн, создатель специальной и общей теорий относительности, родился в 1879 г. в немецком городе Ульме, позднее семья перебралась в Мюнхен, где у отца будущего ученого, Германа, и его дяди, Якоба, была небольшая и не слишком преуспевающая электротехническая фирма. Альберт не был вундеркиндом, но утверждения, будто он не успевал в школе, выглядят преувеличением. В 1894 г. бизнес его отца прогорел, и семья переехала в Милан. Родители решили оставить Альберта в Германии до окончания школы, но он не выносил немецкого авторитаризма и спустя несколько месяцев бросил школу, отправившись в Италию к своей семье. Позднее он завершил образование в Цюрихе, получив в 1900 г. диплом престижного Политехникума (ЕТН). Склонность к спорам и нелюбовь к начальству помешали Эйнштейну наладить отношения с профессорами ЕТН, так что никто из них не предложил ему места ассистента, с которого обычно начиналась академическая карьера. Только через два года молодому человеку наконец удалось устроиться на должность младшего клерка в Швейцарском патентном бюро в Берне. Именно в тот период, в 1905 г., он написал три статьи, которые не только сделали Эйнштейна одним из ведущих ученых мира, но и положили начало двум научным революциям - революциям, которые изменили наши представления о времени, пространстве и самой реальности.
Ранее рассматривались характеристики прямолинейного движения: перемещение, скорость, ускорение . Их аналогами при вращательном движении являются: угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение .
- Роль перемещения во вращательном движении играет угол ;
- Величина угла поворота за единицу времени - это угловая скорость ;
- Изменение угловой скорости за единицу времени - это угловое ускорение .
Во время равномерного вращательного движения тело совершает движение по окружности с одинаковой скоростью, но с изменяющимся направлением. Например, такое движение совершают стрелки часов по циферблату.
Допустим, шар равномерно вращается на нити длиной 1 метр. При этом он будет описывать окружность с радиусом 1 метр. Длина такой окружности: C = 2πR = 6,28 м
Время, за которое шар полностью делает один полный оборот по окружности, называется периодом вращения - T .
Чтобы вычислить линейную скорость шара, необходимо разделить перемещение на время, т.е. длину окружности на период вращения:
V = C/T = 2πR/T
Период вращения:
T = 2πR/V
Если наш шар будет делать один оборот за 1 секунду (период вращения = 1с), то его линейная скорость:
V = 6,28/1 = 6,28 м/с
2. Центробежное ускорение
В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центробежным (центростремительным) ускорением .
Во время равномерного вращательного движения меняется только направление вектора скорости, но не величина! Поэтому линейное ускорение = 0 . Изменение линейной скорости поддерживается центробежным ускорением, которое направлено к центру окружности вращения перпендикулярно вектору скорости - a ц .
Центробежное ускорение можно вычислить по формуле: a ц = V 2 /R
Чем больше линейная скорость тела и меньше радиус вращения, тем центробежное ускорение больше.
3. Центробежная сила
Из прямолинейного движения мы знаем, что сила равна произведению массы тела на его ускорение.
При равномерном вращательном движении на вращающееся тело действует центробежная сила:
F ц = ma ц = mV 2 /R
Если наш шарик весит 1 кг , то для удержания его на окружности понадобится центробежная сила:
F ц = 1·6,28 2 /1 = 39,4 Н
С центробежной силой мы сталкиваемся в повседневной жизни при любом повороте.
Сила трения должна уравновесить центробежную силу:
F ц = mV 2 /R; F тр = μmg
F ц = F тр; mV 2 /R = μmg
V = √μmgR/m = √μgR = √0,9·9,8·30 = 16,3 м/с = 58,5 км/ч
Ответ : 58,5 км/ч
Обратите внимание, что скорость в повороте не зависит от массы тела!
Наверняка вы обращали внимание, что некоторые повороты на шоссе имеют некоторый наклон внутрь поворота. Такие повороты "легче" проходить, вернее, можно проходить с бОльшей скоростью. Рассмотрим какие силы действуют на автомобиль в таком повороте с наклоном. При этом силу трения учитывать не будем, а центробежное ускорение будет компенсироваться только горизонтальной составляющей силы тяжести:
F ц = mV 2 /R или F ц = F н sinα
В вертикальном направлении на тело действует сила тяжести F g = mg , которая уравновешивается вертикальной составляющей нормальной силы F н cosα :
F н cosα = mg , отсюда: F н = mg/cosα
Подставляем значение нормальной силы в исходную формулу:
F ц = F н sinα = (mg/cosα)sinα = mg·sinα/cosα = mg·tgα
Т.о., угол наклона дорожного полотна:
α = arctg(F ц /mg) = arctg(mV 2 /mgR) = arctg(V 2 /gR)
Опять обратите внимание, что в расчетах не участвует масса тела!
Задача №2: на некотором участке шоссе имеется поворот с радиусом 100 метров. Средняя скорость прохождения этого участка дороги автомобилями 108 км/ч (30 м/с). Каким должен быть безопасный угол наклона полотна дороги на этом участке, чтобы автомобиль "не вылетел" (трением пренебречь)?
α = arctg(V 2 /gR) = arctg(30 2 /9,8·100) = 0,91 = 42° Ответ : 42° . Довольно приличный угол. Но, не забывайте, что в наших расчетах мы не принимаем во внимание силу трения дорожного полотна.
4. Градусы и радианы
Многие путаются в понимании угловых величин.
При вращательном движении основной единицей измерения углового перемещения является радиан .
- 2π радиан = 360° - полная окружность
- π радиан = 180° - половина окружности
- π/2 радиан = 90° - четверть окружности
Чтобы перевести градусы в радианы, необходимо значение угла разделить на 360° и умножить на 2π . Например:
- 45° = (45°/360°)·2π = π/4 радиан
- 30° = (30°/360°)·2π = π/6 радиан
Ниже в таблице представлены основные формулы прямолинейного и вращательного движения.
Святого Писания, без труда вспомнит сюжет сражения Давида с Голиафом. Сражён страшный великан был при помощи пращи. А ведь праща - совершенно реально существовавший предмет, самое что ни на есть простое устройство, оружие, которое применялось во времена, когда лук считался передовой техникой. Самые ранние, обнаруженные при раскопках артефакты, классифицированные как праща, имеют возраст в десяток тысяч лет. Надо сказать, что, несмотря на чрезвычайно простое устройство, праща не была столь безобидной. Камень, выпущенный из пращи рукой опытного метальщика, летел в сторону врага со скоростью около ста метров в секунду. Максимальная реально зафиксированная дальность броска составила более 400 метров.
На каких же физических законах основаны столь внушительные результаты? Ответ: начальную скорость камню (а позднее - металлическому снаряду в форме шара) придавала именно эта загадочная, непонятно откуда берущаяся центробежная сила. Кроме пращи, это физическое явление легло в основу создания ещё многих и многих других машин и механизмов, используемых человеком.
Описание силы с позиций физики
Очень часто люди, а иногда, страшно сказать, даже студенты технических вузов используют в разговоре такое выражение, как центростремительная сила, отождествляя его с центробежной. Безусловно, у двух терминов много общего, хотя это отнюдь не одно и то же. Чтобы получше представить себе, о каких явлениях идет речь, нужно вспомнить немного школьной физики.
Что такое инерция. Револьверная пуля весит около 9 граммов. Если подбросить её вверх примерно на метр и затем поймать рукой (скорость менее 1,0 м/с.), можно почувствовать лёгкий толчок. Та же пуля, выпущенная из оружия и летящая со скоростью около 500 м/с. с лёгкостью пробивает сосновую доску толщиной в дюйм. И наконец, кусочек космического мусора той же массы, летящий по орбите с первой космической скоростью (8 000 м/с.), как кусок масла, с лёгкостью прошьёт тяжёлый танк.
Любое тело, обладающее массой m и движущееся со скоростью V, обладает кинетической энергией :
Для подброшенной пули:
Е = 0,009∙1 2 /2=0,0045 Дж.
Для выпущенной из пистолета:
Е = 0,009∙500 2 /2=1 125 Дж.
Для космического мусора:
Е = 0,009∙8 000 2 /2=288 000 Дж
Для того чтобы движущееся тело остановить, необходимо приложить такую же энергию; чтобы неподвижное тело разогнать до такой скорости, необходимо эту же энергию затратить.
Теперь представим, что некое тело, летящее по прямой, заставляют изменить направление движения.
Изображённое на рисунке тело имеет скорость в направлении оси x - V x , изменение направления его движения придаёт ему скорость в направлении оси ординат - V y , на что, соответственно требуется затратить энергию:
Наконец, вооружившись знаниями об инерции, можно вернуться к праще. Если коротко, то это камень (груз), вращающийся по круговой траектории на нити.
Тело, обладающее массой m, не держи его нить, полетит прямо (что, собственно, и испытал на себе Голиаф), но, удерживаемое нитью, постоянно меняет своё направление. Очевидно, что это происходит под действием какой-то силы, которую и принято называть центростремительной - F цс. В рассматриваемом случае - это сила натяжения нити.
Но почему в этом случае камень не летит в руку пращника? Всему виной третий закон гениального Ньютона, который гласит, что любая сила, приложенная к предмету, порождает силу противодействия, равную по величине и противоположную по направлению. Вот так и рождается центробежная сила F цб.
Примеры из жизни
Не случайно в начале статьи рассматривается именно праща - самый простой пример действия центробежной силы, который проще простого смоделировать, попробовать и ощутить. Но кроме этого, данная физическая величина присутствует в целом ряде ежедневно окружающих нас вещей и предметов. Так, центробежная сила, работая в катушках ремней безопасности, делает поездки безопасными.
Любители рыбалки так без этой силы вообще не смогли бы заниматься любимым хобби и затем рассказывать нам небылицы. Например, заброс тяжёлой кормушки - один в один имитация боевой пращи. А спиннинг или карповая снасть в руке рыбака представляет собой не что иное, как то же самое оружие, только вместо смертоносного камня - блесна, воблер или джиг.
Как рассчитать центробежную силу
Скалярная величина центробежной силы рассчитывается по формуле:
F - искомое значение центробежной силы, Н;
m - масса тела, кг;
V - скорость движения тела, м/с.;
r - радиус вращения, м.
Примеры расчётов
Рассчитаем, с какой силой выталкивается камень из пращи: длина ремня от руки пращника до ложа 1 метр. Воин вращает своё орудие со скоростью 2 оборота в секунду. В праще лежит камень весом 200 граммов.
L = 2πR = 2∙3,14∙1=6,28 м.
Таким образом, в секунду камень пролетает 2∙L = 6,28∙2 = 12,56 м, это и есть его скорость - 12,56 м/с.
Искомая величина находится таким образом:
F = mV 2 /r = 0,2 кг∙12,56 2 /1 = 31,55 Н.
Сила, поставленная на службу
Примеров, где центробежная сила выполняет полезную работу, множество. Кроме боевого метательного оружия, она прекрасно работает в современном спорте. Техника метания молота и в меньшей степени - диска основана на придании снаряду скорости путём именно раскручивания.
Тысячи всевозможных машин имеют принцип действия, основанный на применении центробежной силы. Не нужно далеко ходить, достаточно вспомнить название одного из самых распространенных типов насосов. А название он носит «центробежный». Внутри т.н. «улитки» колесо с лопастями раскручивает какое-то рабочее тело (жидкость или газ). После чего у внешней стенки окружности насоса благодаря центробежным силам образуется область повышенного давления, а в центре улитки, где скорость вращения минимальна, - пониженного. Таким образом, транспортируемая среда, поступив в полость насоса через патрубок в центральной части, под давлением выбрасывается через выходное отверстие во внешней стенке.
И это только один из примеров. Центробежные силы работают во всевозможных очистных машинах в сельском хозяйстве. Принцип сепарации (разделения) сыпучих материалов основан на разности энергий, полученных частицами из-за разной плотности и массы.
Ну и, наконец, пример самый что ни на есть бытовой, для созерцания которого не нужно ехать ни на стадион, ни на зерноток. Достаточно посмотреть, как работает самая обычная стиральная машина-автомат на отжиме. Бельё прижимается к стенкам барабана благодаря центробежной силе, да так, что после отжима на 1000 об./мин. бельё достаётся их машины почти сухим.
Когда с ней борются
Но не всегда центробежная сила желательна. В некоторых случаях с ней приходится бороться. Детали больших размеров в станкостроении, корабельных механизмах в моторах карьерных самосвалов испытывают при вращении огромные нагрузки. Каждый более-менее тяжёлый элемент конструкции, закреплённый на вращающейся основе, стремиться оторваться и улететь в сторону, противоположную центру вращения. А крепление, например, вертолётных лопастей - вообще целая наука.
Каждый автомобилист знает, что на скользкой дороге машину сносит так же в сторону, противоположную закруглению полотна. Иногда можно заметить, как на наиболее крутых поворотах дорожники специально делают уклон к центру кривизны.
Центробежная сила в природе
Ярким примером проявления центробежной силы в природе могут служить приливы - отливы в экваториальных областях. Дело в том, что не только Луна вращается вокруг Земли. Наша планета, хоть и намного тяжелее своего спутника, но всё же немного «подтанцовывает» ему, чуть вращаясь вокруг него по небольшому радиусу. Это приводит к тому, что в двух областях - направленной к Луне и противоположной - образуются как бы горбы вод мирового океана.
К слову сказать, Луне от приливных сил досталось больше. Именно они остановили её вращение вокруг своей оси. Благодаря центробежной силе жители голубой планеты могут видеть лишь одну сторону своего естественного спутника.
Краткое резюме
Итак, центробежная сила является ответной реакцией на силу центростремительную. Скалярная величина центробежной силы прямо пропорциональна произведению массы тела на квадрат его линейной скорости и обратно пропорциональна радиусу вращения. Вектор силы проходит через центр вращения и имеет направление - от него.