बॅक्टेरियाचा संसर्ग कसा होतो? जिवाणू संसर्ग - लक्षणे, निदान आणि उपचार पद्धती

बहुसंख्य साध्या मोजमापांसाठी, यादृच्छिक त्रुटींचे तथाकथित सामान्य नियम बरेच चांगले समाधानी आहेत ( गॉसचा नियम), खालील अनुभवजन्य तरतुदींमधून व्युत्पन्न.

1) मापन त्रुटी मूल्यांची सतत मालिका घेऊ शकतात;

2) मोठ्या संख्येने मोजमापांसह, त्रुटी समान परिमाणाच्या आहेत, परंतु भिन्न चिन्हतितक्याच वेळा घडतात

3) यादृच्छिक त्रुटी जितकी मोठी असेल तितकी शक्यता कमी आहेतिचे स्वरूप.

सामान्य गॉसियन वितरण कायद्याचा आलेख आकृती 1 मध्ये सादर केला आहे. वक्र समीकरण आहे

यादृच्छिक त्रुटी (त्रुटी) चे वितरण कार्य कोठे आहे, त्रुटीची संभाव्यता दर्शविणारी, σ ही सरासरी वर्ग त्रुटी आहे.

प्रमाण σ हे यादृच्छिक चल नाही आणि मापन प्रक्रियेचे वैशिष्ट्य आहे. मापन परिस्थिती बदलत नसल्यास, σ हे स्थिर मूल्य राहते. या प्रमाणाचा वर्ग म्हणतात मापन फैलाव.फैलाव जितका लहान असेल तितका वैयक्तिक मूल्यांचा प्रसार कमी आणि मोजमाप अचूकता जास्त.

सरासरी चौरस त्रुटी σ चे अचूक मूल्य तसेच मोजलेल्या मूल्याचे खरे मूल्य अज्ञात आहे. एक तथाकथित आहे सांख्यिकीय मूल्यांकनहे पॅरामीटर, ज्यानुसार सरासरी चौरस त्रुटी अंकगणित सरासरीच्या सरासरी चौरस त्रुटीच्या बरोबरीची आहे. ज्याचे मूल्य सूत्रानुसार ठरवले जाते

परिणाम कुठे आहे iव्या परिमाण; - प्राप्त मूल्यांचे अंकगणितीय सरासरी; n- मोजमापांची संख्या.

परिमाणांची संख्या जितकी जास्त असेल तितकी ती σ जवळ येते. जर मोजलेल्या परिमाणाचे खरे मूल्य μ असेल, तर मोजमापाच्या परिणामी मिळालेले त्याचे अंकगणितीय सरासरी मूल्य , आणि यादृच्छिक परिपूर्ण त्रुटी असेल, तर मापन परिणाम फॉर्ममध्ये लिहिला जाईल.

पासून पर्यंतच्या मूल्यांचा मध्यांतर, ज्यामध्ये मोजलेले प्रमाण μ चे खरे मूल्य असते, त्याला म्हणतात. आत्मविश्वास मध्यांतर.हे एक यादृच्छिक चल असल्याने, खरे मूल्य संभाव्यता α सह आत्मविश्वास मध्यांतरात येते, ज्याला म्हणतात आत्मविश्वास संभाव्यता,किंवा विश्वसनीयतामोजमाप हे मूल्य अंकीयदृष्ट्या छायांकित वक्र ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्रफळाच्या समान आहे. (चित्र पहा)

हे सर्व मोजमापांच्या मोठ्या संख्येसाठी खरे आहे, जेव्हा σ जवळ असते. आम्ही अंमलबजावणी दरम्यान हाताळतो त्या मोजमापांच्या लहान संख्येसाठी आत्मविश्वास मध्यांतर आणि आत्मविश्वास संभाव्यता शोधण्यासाठी प्रयोगशाळा काम, वापरले विद्यार्थी संभाव्यता वितरण.हे संभाव्यतेचे वितरण आहे यादृच्छिक चल, म्हणतात विद्यार्थ्याचे गुणांक, अंकगणित सरासरीच्या मुळाच्या वर्गाच्या त्रुटीच्या अंशांमधील आत्मविश्वास मध्यांतराचे मूल्य देते.

या प्रमाणाचे संभाव्य वितरण σ 2 वर अवलंबून नाही, परंतु प्रयोगांच्या संख्येवर लक्षणीयपणे अवलंबून आहे nप्रयोगांच्या वाढत्या संख्येसह nविद्यार्थी वितरण गौसियन वितरणाकडे झुकते.

वितरण कार्य सारणीबद्ध केले आहे (सारणी 1). विद्यार्थी गुणांकाचे मूल्य मोजमापांच्या संख्येशी संबंधित रेषेच्या छेदनबिंदूवर आहे n, आणि आत्मविश्वास संभाव्यता α शी संबंधित स्तंभ

अनेकदा मूल्यमापनकर्त्याला त्या विभागातील रिअल इस्टेट मार्केटचे विश्लेषण करावे लागते ज्यामध्ये मालमत्तेचे मूल्यांकन केले जात आहे. जर बाजार विकसित झाला असेल, तर सादर केलेल्या वस्तूंच्या संपूर्ण संचाचे विश्लेषण करणे कठीण होऊ शकते, म्हणून विश्लेषणासाठी वस्तूंचा नमुना वापरला जातो. हा नमुना नेहमी एकसंध ठरत नाही; काहीवेळा ते अत्यंत बिंदूंपासून दूर करणे आवश्यक असते - खूप उच्च किंवा खूप कमी बाजार ऑफर. या उद्देशासाठी ते वापरले जाते आत्मविश्वास मध्यांतर. लक्ष्य हा अभ्यास- आत्मविश्वास मध्यांतराची गणना करण्यासाठी दोन पद्धतींचे तुलनात्मक विश्लेषण करा आणि निवडा सर्वोत्तम पर्याय estimatica.pro प्रणालीमध्ये वेगवेगळ्या नमुन्यांसह काम करताना गणना.

कॉन्फिडन्स इंटरव्हल हे नमुन्याच्या आधारे गणना केलेल्या विशेषता मूल्यांचे मध्यांतर आहे, ज्यामध्ये ज्ञात संभाव्यतेसह सामान्य लोकसंख्येचे अंदाजे पॅरामीटर असते.

आत्मविश्वास मध्यांतराची गणना करण्याचा मुद्दा म्हणजे नमुना डेटावर आधारित असे मध्यांतर तयार करणे जेणेकरुन दिलेल्या संभाव्यतेसह सांगितले जाऊ शकते की अंदाजित पॅरामीटरचे मूल्य या मध्यांतरात आहे. दुसऱ्या शब्दांत, आत्मविश्वास मध्यांतरामध्ये एका विशिष्ट संभाव्यतेसह अंदाजित मूल्याचे अज्ञात मूल्य असते. मध्यांतर जितका जास्त तितका अयोग्यता जास्त.

कॉन्फिडन्स इंटरव्हल ठरवण्यासाठी वेगवेगळ्या पद्धती आहेत. या लेखात आपण 2 पद्धती पाहू:

• मध्यम आणि मानक विचलनाद्वारे;
• टी-सांख्यिकी (विद्यार्थ्यांचे गुणांक) च्या गंभीर मूल्याद्वारे.

टप्पे तुलनात्मक विश्लेषण वेगळा मार्ग CI गणना:

1. डेटा नमुना तयार करा;

2. त्यावर प्रक्रिया करा सांख्यिकीय पद्धती: मध्य, मध्य, भिन्नता, इ. गणना करा;

3. आत्मविश्वास मध्यांतर दोन प्रकारे मोजा;

4. साफ केलेले नमुने आणि परिणामी आत्मविश्वास मध्यांतरांचे विश्लेषण करा.

स्टेज 1. डेटा सॅम्पलिंग

estimatica.pro प्रणाली वापरून नमुना तयार करण्यात आला. नमुन्यात "ख्रुश्चेव्ह" प्रकारच्या लेआउटसह 3ऱ्या किंमत झोनमध्ये 1-रूमच्या अपार्टमेंटच्या विक्रीसाठी 91 ऑफर समाविष्ट आहेत.

तक्ता 1. प्रारंभिक नमुना

	किंमत 1 चौ.मी., युनिट

आकृती क्रं 1. प्रारंभिक नमुना

स्टेज 2. प्रारंभिक नमुना प्रक्रिया करणे

सांख्यिकीय पद्धती वापरून नमुना प्रक्रिया करण्यासाठी खालील मूल्यांची गणना करणे आवश्यक आहे:

1. अंकगणित सरासरी

2. मध्यक ही नमुन्याचे वैशिष्ट्य दर्शवणारी संख्या आहे: नमुना घटकांपैकी नेमके अर्धे घटक मध्यकापेक्षा मोठे आहेत, बाकीचे अर्धे मध्यकापेक्षा कमी आहेत

(मूल्यांच्या विषम संख्येच्या नमुन्यासाठी)

3. श्रेणी - नमुन्यातील कमाल आणि किमान मूल्यांमधील फरक

4. भिन्नता - डेटाच्या भिन्नतेचा अधिक अचूक अंदाज लावण्यासाठी वापरला जातो

5. नमुना मानक विचलन (यापुढे - SD) हे अंकगणितीय सरासरीच्या आसपास समायोजन मूल्यांच्या फैलावचे सर्वात सामान्य सूचक आहे.

6. भिन्नतेचे गुणांक - समायोजन मूल्यांच्या विखुरण्याची डिग्री प्रतिबिंबित करते

7. दोलन गुणांक - सरासरीच्या आसपासच्या नमुन्यातील अत्यंत किमतीच्या मूल्यांचे सापेक्ष चढउतार प्रतिबिंबित करते

तक्ता 2. सांख्यिकीय निर्देशकमूळ नमुना

भिन्नतेचे गुणांक, जे डेटाची एकसंधता दर्शवते, 12.29% आहे, परंतु दोलन गुणांक खूप जास्त आहे. अशा प्रकारे, आपण असे म्हणू शकतो की मूळ नमुना एकसंध नाही, म्हणून आपण आत्मविश्वास मध्यांतराची गणना करूया.

स्टेज 3. आत्मविश्वास मध्यांतर गणना

पद्धत 1. मध्य आणि मानक विचलन वापरून गणना.

आत्मविश्वास मध्यांतर खालीलप्रमाणे निर्धारित केले जाते: किमान मूल्य - मानक विचलन मध्यकातून वजा केले जाते; कमाल मूल्य - मानक विचलन मध्यामध्ये जोडले आहे.

अशा प्रकारे, आत्मविश्वास मध्यांतर (47179 CU; 60689 CU)

तांदूळ. 2. कॉन्फिडन्स इंटरव्हलमध्ये येणारी मूल्ये 1.

पद्धत 2. टी-सांख्यिकी (विद्यार्थी गुणांक) चे महत्त्वपूर्ण मूल्य वापरून आत्मविश्वास मध्यांतर तयार करणे

एस.व्ही. पुस्तकात ग्रिबोव्स्की " गणितीय पद्धतीमालमत्तेच्या मूल्याचा अंदाज लावणे" विद्यार्थी गुणांक वापरून आत्मविश्वास अंतराची गणना करण्याच्या पद्धतीचे वर्णन करते. ही पद्धत वापरून गणना करताना, अंदाजकर्त्याने स्वतःच महत्त्व पातळी ∝ सेट केली पाहिजे, जी संभाव्यता निश्चित करते ज्यासह आत्मविश्वास मध्यांतर तयार केले जाईल. सामान्यतः, 0.1 ची महत्त्व पातळी वापरली जाते; 0.05 आणि 0.01. ते 0.9 च्या आत्मविश्वास संभाव्यतेशी संबंधित आहेत; 0.95 आणि 0.99. या पद्धतीसह असे मानले जाते खरी मूल्येगणितीय अपेक्षा आणि भिन्नता व्यावहारिकदृष्ट्या अज्ञात आहेत (जे व्यावहारिक अंदाज समस्या सोडवताना जवळजवळ नेहमीच खरे असते).

आत्मविश्वास मध्यांतर सूत्र:

n - नमुना आकार;

महत्त्वाच्या पातळीसह टी-सांख्यिकी (विद्यार्थी वितरण) चे महत्त्वपूर्ण मूल्य ∝, स्वातंत्र्य n-1 च्या अंशांची संख्या, जी विशेष सांख्यिकीय सारण्यांद्वारे किंवा MS Excel (→"सांख्यिकीय"→ STUDIST) वापरून निर्धारित केली जाते;

∝ - महत्त्व पातळी, ∝=0.01 घ्या.

तांदूळ. 2. कॉन्फिडन्स इंटरव्हलमध्ये येणारी मूल्ये 2.

स्टेज 4. आत्मविश्वास मध्यांतराची गणना करण्यासाठी विविध पद्धतींचे विश्लेषण

आत्मविश्वास मध्यांतराची गणना करण्याच्या दोन पद्धती - मध्यक आणि विद्यार्थी गुणांक - यामुळे भिन्न अर्थअंतराल त्यानुसार, आम्हाला दोन वेगवेगळे स्वच्छ नमुने मिळाले.

तक्ता 3. तीन नमुन्यांची आकडेवारी.

निर्देशांक	प्रारंभिक नमुना	1 पर्याय	पर्याय २
सरासरी मूल्य
फैलाव
कोफ. भिन्नता
कोफ. दोलन
निवृत्त वस्तूंची संख्या, pcs.

केलेल्या गणनेवर आधारित, आम्ही असे म्हणू शकतो की प्राप्त झाले विविध पद्धतीआत्मविश्वास मध्यांतरांची मूल्ये एकमेकांना छेदतात, म्हणून आपण मूल्यांकनकर्त्याच्या विवेकबुद्धीनुसार कोणत्याही गणना पद्धती वापरू शकता.

तथापि, आम्हाला विश्वास आहे की estimatica.pro प्रणालीमध्ये काम करताना, बाजाराच्या विकासाच्या प्रमाणात अवलंबून आत्मविश्वास मध्यांतराची गणना करण्यासाठी एक पद्धत निवडण्याचा सल्ला दिला जातो:

• जर बाजार अविकसित असेल तर, मध्य आणि मानक विचलन वापरून गणना पद्धत वापरा, कारण या प्रकरणात निवृत्त वस्तूंची संख्या कमी आहे;
• जर बाजार विकसित झाला असेल तर, टी-सांख्यिकी (विद्यार्थी गुणांक) च्या गंभीर मूल्याद्वारे गणना लागू करा, कारण मोठा प्रारंभिक नमुना तयार करणे शक्य आहे.

लेख तयार करताना खालील गोष्टी वापरल्या गेल्या:

1. ग्रिबोव्स्की S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. मालमत्तेच्या मूल्याचे मूल्यांकन करण्यासाठी गणितीय पद्धती. मॉस्को, २०१४

2. सिस्टम डेटा estimatica.pro

गणितीय अपेक्षेसाठी आत्मविश्वास मध्यांतर - हा डेटावरून मोजला जाणारा मध्यांतर आहे ज्यामध्ये ज्ञात संभाव्यतेसह, सामान्य लोकसंख्येची गणितीय अपेक्षा असते. गणितीय अपेक्षेसाठी नैसर्गिक अंदाज म्हणजे त्याच्या निरीक्षण मूल्यांचे अंकगणितीय माध्य. म्हणून, संपूर्ण धड्यात आपण "सरासरी" आणि "सरासरी मूल्य" या शब्दांचा वापर करू. आत्मविश्वास मध्यांतराची गणना करण्याच्या समस्यांमध्ये, "सरासरी संख्येचा आत्मविश्वास मध्यांतर [विशिष्ट समस्येतील मूल्य] हे [लहान मूल्य] ते [मोठे मूल्य] आहे" असे उत्तर बहुतेकदा आवश्यक असते. आत्मविश्वास मध्यांतर वापरून, आपण केवळ सरासरी मूल्यांचेच नव्हे तर सामान्य लोकसंख्येच्या विशिष्ट वैशिष्ट्याचे प्रमाण देखील मूल्यांकन करू शकता. सरासरी, फरक, प्रमाणित विचलनआणि ज्या त्रुटींद्वारे आपण नवीन व्याख्या आणि सूत्रांपर्यंत पोहोचू त्या धड्यात चर्चा केल्या आहेत नमुना आणि लोकसंख्येची वैशिष्ट्ये .

बिंदू आणि मध्यांतराचा अंदाज

जर लोकसंख्येच्या सरासरी मूल्याचा अंदाज एका संख्येने (बिंदू) केला असेल, तर विशिष्ट सरासरी, जी निरीक्षणांच्या नमुन्यावरून मोजली जाते, ती लोकसंख्येच्या अज्ञात सरासरी मूल्याचा अंदाज म्हणून घेतली जाते. या प्रकरणात, नमुन्याचे मूल्य - एक यादृच्छिक चल - सामान्य लोकसंख्येच्या सरासरी मूल्याशी एकरूप होत नाही. म्हणून, नमुन्याचा अर्थ दर्शविताना, आपण एकाच वेळी नमुना त्रुटी सूचित करणे आवश्यक आहे. सॅम्पलिंग एररचे मोजमाप म्हणजे मानक एरर, जी सरासरीच्या समान युनिट्समध्ये व्यक्त केली जाते. म्हणून, खालील नोटेशन बर्याचदा वापरले जाते: .

जर सरासरीचा अंदाज एका विशिष्ट संभाव्यतेशी संबंधित असणे आवश्यक असेल, तर लोकसंख्येतील स्वारस्याच्या पॅरामीटरचा अंदाज एका संख्येने नव्हे तर मध्यांतराने केला पाहिजे. आत्मविश्वास मध्यांतर हा एक मध्यांतर आहे ज्यामध्ये विशिष्ट संभाव्यतेसह पीअंदाजे लोकसंख्या निर्देशकाचे मूल्य आढळले आहे. आत्मविश्वास मध्यांतर ज्यामध्ये ते संभाव्य आहे पी = 1 - α यादृच्छिक व्हेरिएबल आढळले आहे, खालीलप्रमाणे गणना केली आहे:

,

α = 1 - पी, जे आकडेवारीवरील जवळजवळ कोणत्याही पुस्तकाच्या परिशिष्टात आढळू शकते.

व्यवहारात, लोकसंख्येचा मध्य आणि फरक माहित नाही, म्हणून लोकसंख्येचा फरक नमुना भिन्नतेने बदलला जातो आणि लोकसंख्येचा अर्थ नमुना सरासरीने बदलला जातो. अशा प्रकारे, बहुतेक प्रकरणांमध्ये आत्मविश्वास मध्यांतर खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

.

आत्मविश्वास मध्यांतर सूत्राचा उपयोग लोकसंख्येचा अर्थ अंदाज करण्यासाठी केला जाऊ शकतो जर

• लोकसंख्येचे मानक विचलन ज्ञात आहे;
• किंवा लोकसंख्येचे मानक विचलन अज्ञात आहे, परंतु नमुना आकार 30 पेक्षा जास्त आहे.

नमुना सरासरी हा लोकसंख्येच्या सरासरीचा एक निष्पक्ष अंदाज आहे. यामधून, नमुना भिन्नता लोकसंख्येतील फरकाचा निःपक्षपाती अंदाज नाही. नमुना भिन्नता सूत्रामध्ये लोकसंख्येच्या भिन्नतेचा निष्पक्ष अंदाज प्राप्त करण्यासाठी, नमुना आकार nद्वारे बदलले पाहिजे n-1.

उदाहरण १.एका विशिष्ट शहरातील 100 यादृच्छिकपणे निवडलेल्या कॅफेमधून माहिती संकलित करण्यात आली होती की 4.6 च्या मानक विचलनासह त्यामधील कर्मचाऱ्यांची सरासरी संख्या 10.5 आहे. कॅफे कर्मचाऱ्यांच्या संख्येसाठी 95% आत्मविश्वास मध्यांतर निश्चित करा.

महत्त्व पातळीसाठी मानक सामान्य वितरणाचे महत्त्वपूर्ण मूल्य कोठे आहे α = 0,05 .

अशा प्रकारे, कॅफे कर्मचाऱ्यांच्या सरासरी संख्येसाठी 95% आत्मविश्वास मध्यांतर 9.6 ते 11.4 पर्यंत आहे.

उदाहरण २. 64 निरीक्षणांच्या लोकसंख्येतील यादृच्छिक नमुन्यासाठी, खालील एकूण मूल्यांची गणना केली गेली:

निरीक्षणातील मूल्यांची बेरीज,

सरासरी पासून मूल्यांच्या वर्ग विचलनाची बेरीज .

गणितीय अपेक्षेसाठी 95% आत्मविश्वास मध्यांतराची गणना करा.

चला मानक विचलनाची गणना करूया:

,

चला सरासरी मूल्याची गणना करूया:

.

आम्ही आत्मविश्वास मध्यांतरासाठी अभिव्यक्तीमध्ये मूल्ये बदलतो:

महत्त्व पातळीसाठी मानक सामान्य वितरणाचे महत्त्वपूर्ण मूल्य कोठे आहे α = 0,05 .

आम्हाला मिळते:

अशा प्रकारे, या नमुन्याच्या गणितीय अपेक्षेसाठी 95% आत्मविश्वास मध्यांतर 7.484 ते 11.266 पर्यंत आहे.

उदाहरण ३. 100 निरीक्षणांच्या यादृच्छिक लोकसंख्येच्या नमुन्यासाठी, गणना केलेले सरासरी 15.2 आहे आणि मानक विचलन 3.2 आहे. अपेक्षित मूल्यासाठी 95% आत्मविश्वास मध्यांतराची गणना करा, त्यानंतर 99% आत्मविश्वास अंतराल. जर नमुना शक्ती आणि त्याची भिन्नता अपरिवर्तित राहिली आणि आत्मविश्वास गुणांक वाढला, तर आत्मविश्वास मध्यांतर कमी होईल की रुंद होईल?

आम्ही ही मूल्ये आत्मविश्वास मध्यांतरासाठी अभिव्यक्तीमध्ये बदलतो:

महत्त्व पातळीसाठी मानक सामान्य वितरणाचे महत्त्वपूर्ण मूल्य कोठे आहे α = 0,05 .

आम्हाला मिळते:

.

अशा प्रकारे, या नमुन्याच्या सरासरीसाठी 95% आत्मविश्वास मध्यांतर 14.57 ते 15.82 पर्यंत आहे.

आम्ही पुन्हा आत्मविश्वास मध्यांतरासाठी अभिव्यक्तीमध्ये ही मूल्ये बदलतो:

महत्त्व पातळीसाठी मानक सामान्य वितरणाचे महत्त्वपूर्ण मूल्य कोठे आहे α = 0,01 .

आम्हाला मिळते:

.

अशा प्रकारे, या नमुन्याच्या सरासरीसाठी 99% आत्मविश्वास मध्यांतर 14.37 ते 16.02 पर्यंत आहे.

जसे आपण पाहतो, आत्मविश्वास गुणांक जसजसा वाढत जातो, तसतसे मानक सामान्य वितरणाचे महत्त्वपूर्ण मूल्य देखील वाढते, आणि परिणामी, प्रारंभिक आणि शेवटचा बिंदूमध्यांतर मध्यापासून पुढे स्थित आहेत आणि अशा प्रकारे गणितीय अपेक्षेसाठी आत्मविश्वास मध्यांतर वाढते.

विशिष्ट गुरुत्वाकर्षणाचे बिंदू आणि मध्यांतर अंदाज

काही नमुना गुणधर्माचा शेअरचा बिंदू अंदाज म्हणून अर्थ लावला जाऊ शकतो pसामान्य लोकांमध्ये समान वैशिष्ट्यपूर्ण. जर हे मूल्य संभाव्यतेशी संबंधित असणे आवश्यक असेल, तर विशिष्ट गुरुत्वाकर्षणाचा आत्मविश्वास मध्यांतर मोजला जावा. pसंभाव्यतेसह लोकसंख्येमध्ये वैशिष्ट्यपूर्ण पी = 1 - α :

.

उदाहरण ४.काही शहरात दोन उमेदवार आहेत एआणि बीमहापौरपदासाठी धावत आहेत. 200 शहरातील रहिवाशांचे यादृच्छिकपणे सर्वेक्षण करण्यात आले, त्यापैकी 46% लोकांनी प्रतिसाद दिला की ते उमेदवाराला मतदान करतील ए, 26% - उमेदवारासाठी बीआणि 28% लोकांना माहित नाही की ते कोणाला मत देतील. उमेदवाराला पाठिंबा देणाऱ्या शहरातील रहिवाशांच्या प्रमाणात 95% आत्मविश्वास मध्यांतर निश्चित करा ए.

आत्मविश्वास मध्यांतर(CI; इंग्रजीत, confidence interval - CI) नमुन्याच्या सहाय्याने अभ्यासात मिळवलेले, अशा सर्व रूग्णांच्या (सामान्य लोकसंख्येच्या) लोकसंख्येबद्दल निष्कर्ष काढण्यासाठी अभ्यासाच्या निकालांची अचूकता (किंवा अनिश्चितता) मोजते. योग्य व्याख्या 95% CI खालीलप्रमाणे तयार केले जाऊ शकते: अशा मध्यांतरांपैकी 95% लोकसंख्येतील खरे मूल्य असेल. हे स्पष्टीकरण काहीसे कमी अचूक आहे: CI ही मूल्यांची श्रेणी आहे ज्यामध्ये आपण 95% खात्री बाळगू शकता की त्यात खरे मूल्य आहे. CI वापरताना, सांख्यिकीय महत्त्वाच्या चाचणीमुळे परिणाम होणाऱ्या P मूल्याच्या विरूद्ध परिमाणात्मक प्रभाव ठरवण्यावर भर दिला जातो. P मूल्य कोणत्याही प्रमाणाचा अंदाज लावत नाही, परंतु "प्रभाव नाही" च्या शून्य गृहितकाच्या विरूद्ध पुराव्याच्या ताकदीचे मोजमाप म्हणून काम करते. P चे मूल्य स्वतःच आपल्याला फरकाच्या विशालतेबद्दल किंवा त्याच्या दिशेबद्दल काहीही सांगत नाही. म्हणून, स्वतंत्र P मूल्ये लेख किंवा अमूर्तांमध्ये पूर्णपणे माहितीपूर्ण आहेत. याउलट, CI तत्काळ व्याजाच्या प्रभावाचा आकार, जसे की उपचाराचा फायदा आणि पुराव्याची ताकद दोन्ही दर्शवते. म्हणून, DI थेट EBM च्या सरावाशी संबंधित आहे.

साठी मूल्यांकन दृष्टीकोन सांख्यिकीय विश्लेषण, CI द्वारे सचित्र, व्याजाच्या परिणामाचे प्रमाण मोजणे (निदान चाचणीची संवेदनशीलता, अंदाजित प्रकरणांचा दर, उपचारांसह सापेक्ष जोखीम कमी करणे इ.) आणि त्या परिणामातील अनिश्चितता मोजणे हे देखील उद्दिष्ट आहे. बऱ्याचदा, CI ही अंदाजाच्या दोन्ही बाजूंच्या मूल्यांची श्रेणी असते ज्यामध्ये खरे मूल्य असण्याची शक्यता असते आणि आपण याची 95% खात्री बाळगू शकता. 95% संभाव्यता वापरण्याचा करार अनियंत्रित आहे, P मूल्याप्रमाणे.<0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».

CI या कल्पनेवर आधारित आहे की रूग्णांच्या वेगवेगळ्या नमुन्यांवर केलेला समान अभ्यास एकसारखे परिणाम देणार नाही, परंतु त्यांचे परिणाम सत्य परंतु अज्ञात मूल्याभोवती वितरित केले जातील. दुसऱ्या शब्दांत, CI त्याचे वर्णन "नमुना-आश्रित परिवर्तनशीलता" म्हणून करते. सीआय इतर कारणांमुळे अतिरिक्त अनिश्चितता प्रतिबिंबित करत नाही; विशेषतः, त्यात फॉलो-अपसाठी निवडक नुकसानीचा प्रभाव, खराब अनुपालन किंवा चुकीचे परिणाम मोजमाप, अंधत्वाचा अभाव इ.चा समावेश नाही. त्यामुळे CI नेहमी अनिश्चिततेच्या एकूण प्रमाणाला कमी लेखते.

आत्मविश्वास मध्यांतर गणना

तक्ता A1.1. निवडलेल्या क्लिनिकल मापनांसाठी मानक त्रुटी आणि आत्मविश्वास अंतराल

सामान्यतः, CI ची गणना प्रमाणाच्या निरीक्षण केलेल्या अंदाजावरून केली जाते, जसे की दोन प्रमाणांमधील फरक (d) आणि त्या फरकाच्या अंदाजातील मानक त्रुटी (SE). अशा प्रकारे मिळविलेले अंदाजे 95% CI d ± 1.96 SE आहे. परिणाम मापनाच्या स्वरूपानुसार आणि CI च्या व्याप्तीनुसार सूत्र बदलते. उदाहरणार्थ, ॲसेल्युलर पेर्ट्युसिस लसीच्या यादृच्छिक, प्लेसबो-नियंत्रित चाचणीमध्ये, लस घेतलेल्या 1670 पैकी 72 (4.3%) अर्भकांमध्ये पेर्ट्युसिस विकसित झाला आणि 1665 पैकी 240 (14.4%) नियंत्रण गटात. टक्केवारीतील फरक, ज्याला परिपूर्ण जोखीम कमी म्हणून ओळखले जाते, 10.1% आहे. या फरकाचा SE ०.९९% आहे. त्यानुसार, 95% CI 10.1% + 1.96 x 0.99% आहे, म्हणजे. 8.2 ते 12.0 पर्यंत.

त्यांच्या भिन्न तात्विक दृष्टीकोन असूनही, CIs आणि सांख्यिकीय महत्त्व चाचण्यांचा गणिताशी जवळचा संबंध आहे.

अशा प्रकारे, पी मूल्य "महत्त्वपूर्ण" आहे, म्हणजे. आर<0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.

CI मध्ये व्यक्त केलेल्या अंदाजाची अनिश्चितता (अचूकता), मुख्यत्वे नमुन्याच्या आकाराच्या वर्गमूळाशी संबंधित आहे. लहान नमुने मोठ्या नमुन्यांपेक्षा कमी माहिती प्रदान करतात आणि CI लहान नमुन्यात त्या अनुषंगाने विस्तृत आहे. उदाहरणार्थ, हेलिकोबॅक्टर पायलोरी संसर्गाचे निदान करण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या तीन चाचण्यांच्या कामगिरीची तुलना करणाऱ्या लेखात 95.8% (95% CI 75-100) च्या युरिया श्वास चाचणीची संवेदनशीलता नोंदवली गेली. 95.8% आकृती प्रभावी असताना, J. pylori असलेल्या 24 प्रौढ रूग्णांच्या लहान नमुन्याचा अर्थ असा होतो की या अंदाजामध्ये लक्षणीय अनिश्चितता आहे, विस्तृत CI द्वारे दर्शविल्याप्रमाणे. खरंच, 75% ची खालची मर्यादा 95.8% अंदाजापेक्षा खूपच कमी आहे. जर 240 लोकांच्या नमुन्यात समान संवेदनशीलता आढळून आली, तर 95% CI 92.5–98.0 असेल, ज्यामुळे चाचणी अत्यंत संवेदनशील असल्याची खात्री पटते.

यादृच्छिक नियंत्रित चाचण्यांमध्ये (RCTs), महत्त्व नसलेले परिणाम (म्हणजे, P > 0.05 असलेले) विशेषतः चुकीचा अर्थ लावण्यासाठी संवेदनाक्षम असतात. CI येथे विशेषतः उपयुक्त आहे कारण ते दर्शविते की परिणाम वैद्यकीयदृष्ट्या उपयुक्त खरे परिणामाशी किती सुसंगत आहेत. उदाहरणार्थ, कोलोनिक सिवनी आणि स्टेपल ऍनास्टोमोसिसची तुलना करणाऱ्या RCT मध्ये, अनुक्रमे 10.9% आणि 13.5% रुग्णांमध्ये जखमेच्या संसर्गाचा विकास झाला (P = 0.30). या फरकासाठी 95% CI 2.6% (−2 ते +8) आहे. 652 रूग्णांच्या या अभ्यासातही, हे शक्य आहे की दोन प्रक्रियांमुळे संसर्ग होण्याच्या घटनांमध्ये थोडा फरक आहे. जेवढे कमी संशोधन तेवढी अनिश्चितता जास्त. सुंग वगैरे. 100 रूग्णांमध्ये तीव्र व्हेरिसियल रक्तस्रावासाठी तीव्र स्क्लेरोथेरपीसह ऑक्ट्रिओटाइड इन्फ्यूजनची तुलना करण्यासाठी आरसीटी केले. ऑक्ट्रिओटाइड ग्रुपमध्ये, रक्तस्त्राव नियंत्रण दर 84% होते; स्क्लेरोथेरपी गटात - 90%, जे P = 0.56 देते. लक्षात घ्या की चालू रक्तस्रावाचा दर अभ्यासात नमूद केलेल्या जखमेच्या संसर्गाप्रमाणेच आहे. या प्रकरणात, तथापि, हस्तक्षेपांमधील फरकासाठी 95% CI 6% (−7 ते +19) आहे. क्लिनिकल स्वारस्य असलेल्या 5% फरकाच्या तुलनेत ही श्रेणी बरीच विस्तृत आहे. स्पष्टपणे, अभ्यास परिणामकारकतेमध्ये लक्षणीय फरक नाकारत नाही. म्हणून, लेखकांचा निष्कर्ष "वैरिकास नसांमधून रक्तस्त्राव उपचारांमध्ये ऑक्ट्रिओटाइड इन्फ्यूजन आणि स्क्लेरोथेरपी तितकेच प्रभावी आहेत" निश्चितपणे अवैध आहे. यासारख्या प्रकरणांमध्ये, जेथे, येथे 95% CI फॉर ॲबसोल्युट रिस्क रिडक्शन (ARR) मध्ये शून्य समाविष्ट आहे, NNT साठी CI (उपचार करण्यासाठी आवश्यक संख्या) ची व्याख्या करणे खूप कठीण आहे. NPL आणि त्याचे CI ACP च्या परस्परसंबंधांमधून मिळवले जातात (ही मूल्ये टक्केवारी म्हणून दिली असल्यास 100 ने गुणाकार). येथे आपल्याला -14.3 ते 5.3 च्या 95% CI सह NPL = 100: 6 = 16.6 मिळते. टेबलमधील तळटीप "d" वरून पाहिले जाऊ शकते. A1.1, या CI मध्ये 5.3 ते अनंतापर्यंत NPL आणि 14.3 ते अनंतापर्यंत NPL ची मूल्ये समाविष्ट आहेत.

सर्वाधिक वापरल्या जाणाऱ्या सांख्यिकीय अंदाज किंवा तुलनासाठी CIs तयार केले जाऊ शकतात. RCT साठी, त्यात सरासरी प्रमाण, सापेक्ष जोखीम, विषम गुणोत्तर आणि NLR मधील फरक समाविष्ट आहे. त्याचप्रमाणे, डायग्नोस्टिक चाचणी अचूकता अभ्यासामध्ये केलेल्या सर्व प्रमुख अंदाजांसाठी CIs मिळू शकतात-संवेदनशीलता, विशिष्टता, सकारात्मक भविष्यसूचक मूल्य (सर्व साधे प्रमाण आहेत), आणि संभाव्यता गुणोत्तर- मेटा-विश्लेषण आणि तुलना-नियंत्रणात मिळालेले अंदाज. अभ्यास MDI च्या यापैकी अनेक उपयोगांचा समावेश करणारा वैयक्तिक संगणक प्रोग्राम स्टॅटिस्टिक्स विथ कॉन्फिडन्सच्या दुसऱ्या आवृत्तीमध्ये उपलब्ध आहे. प्रमाणांसाठी CIs मोजण्यासाठी मॅक्रो एक्सेल आणि सांख्यिकी कार्यक्रम SPSS आणि Minitab साठी विनामूल्य उपलब्ध आहेत http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_statistics/research/statistics/proportions, htm.

उपचार प्रभावाचे अनेक अंदाज

प्राथमिक अभ्यासाच्या परिणामांसाठी सीआय इष्ट असले तरी ते सर्व परिणामांसाठी आवश्यक नाहीत. CI वैद्यकीयदृष्ट्या महत्त्वाच्या तुलनाशी संबंधित आहे. उदाहरणार्थ, दोन गटांची तुलना करताना, वरील उदाहरणांमध्ये दर्शविल्याप्रमाणे, गटांमधील फरकासाठी योग्य CI तयार केला जातो आणि प्रत्येक गटातील अंदाजासाठी तयार करता येणारा CI नाही. प्रत्येक गटातील अंदाजांसाठी स्वतंत्र सीआय प्रदान करणे केवळ उपयुक्त नाही, तर हे सादरीकरण दिशाभूल करणारे असू शकते. त्याचप्रमाणे, वेगवेगळ्या उपसमूहांमधील उपचारांच्या परिणामकारकतेची तुलना करताना योग्य दृष्टिकोन म्हणजे दोन (किंवा अधिक) उपसमूहांची थेट तुलना करणे. उपचार केवळ एका उपसमूहात प्रभावी आहे असे गृहीत धरणे चुकीचे आहे जर त्याच्या CI ने कोणतेही परिणाम नसलेले मूल्य वगळले आणि इतरांना नाही. एकाधिक उपसमूहांमधील परिणामांची तुलना करताना CIs देखील उपयुक्त आहेत. अंजीर मध्ये. A 1.1 मॅग्नेशियम सल्फेटच्या प्लेसबो-नियंत्रित RCT पासून स्त्रियांच्या उपसमूहांमध्ये प्रीक्लॅम्पसिया असलेल्या स्त्रियांमध्ये एक्लॅम्पसियाचा सापेक्ष धोका दर्शवितो.

तांदूळ. A1.2. वन प्लॉट प्लेसबोच्या तुलनेत अतिसार प्रतिबंध करण्यासाठी बोवाइन रोटाव्हायरस लसीच्या 11 यादृच्छिक क्लिनिकल चाचण्यांचे परिणाम दर्शविते. अतिसाराच्या सापेक्ष जोखमीचा अंदाज लावण्यासाठी 95% आत्मविश्वास मध्यांतर वापरण्यात आला. काळ्या चौकोनाचा आकार माहितीच्या प्रमाणात आहे. याव्यतिरिक्त, उपचार प्रभावीतेचा सारांश अंदाज आणि 95% आत्मविश्वास मध्यांतर (हिराने दर्शविलेले) दर्शविले आहेत. मेटा-विश्लेषणामध्ये काही पूर्व-निर्दिष्ट केलेल्यांपेक्षा मोठे यादृच्छिक प्रभाव मॉडेल वापरले; उदाहरणार्थ, नमुना आकार मोजण्यासाठी वापरलेला हा आकार असू शकतो. अधिक कठोर निकषासाठी आवश्यक आहे की संपूर्ण CI श्रेणीने पूर्वनिर्दिष्ट किमान पेक्षा जास्त फायदा दर्शविला आहे.

दोन उपचार तितकेच प्रभावी असल्याचे संकेत म्हणून सांख्यिकीय महत्त्वाचा अभाव घेण्याच्या चुकीची चर्चा आम्ही आधीच केली आहे. सांख्यिकीय महत्त्व आणि क्लिनिकल महत्त्वाची बरोबरी न करणे देखील तितकेच महत्त्वाचे आहे. जेव्हा परिणाम सांख्यिकीयदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण असतो आणि उपचारांच्या परिणामकारकतेच्या अंदाजाची विशालता असते तेव्हा नैदानिक ​​महत्त्व गृहीत धरले जाऊ शकते.

अभ्यास दर्शवू शकतात की परिणाम सांख्यिकीयदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण आहेत आणि कोणते वैद्यकीयदृष्ट्या महत्त्वाचे आहेत आणि कोणते नाहीत. अंजीर मध्ये. A1.2 चार चाचण्यांचे परिणाम दर्शविते, ज्यासाठी संपूर्ण सी.आय<1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.

फ्रिक्वेन्सी आणि फ्रॅक्शन्ससाठी कॉन्फिडन्स इंटरव्हल्स

© 2008

नॅशनल इन्स्टिट्यूट ऑफ पब्लिक हेल्थ, ओस्लो, नॉर्वे

लेख वाल्ड, विल्सन, क्लॉपर - पियर्सन पद्धती वापरून फ्रिक्वेन्सी आणि प्रमाणांसाठी कॉन्फिडन्स इंटरव्हल्सच्या गणनेचे वर्णन आणि चर्चा करतो, कोनीय परिवर्तन वापरून आणि वाल्ड पद्धत ॲग्रेस्टी - कुल सुधारणा वापरून. प्रस्तुत सामग्री फ्रिक्वेन्सी आणि प्रमाणांसाठी आत्मविश्वास मध्यांतरांची गणना करण्याच्या पद्धतींबद्दल सामान्य माहिती प्रदान करते आणि जर्नल वाचकांना केवळ त्यांच्या स्वतःच्या संशोधनाचे निकाल सादर करताना आत्मविश्वास मध्यांतर वापरण्यातच नव्हे तर काम सुरू करण्यापूर्वी विशेष साहित्य वाचण्यात देखील रस जागृत करण्याचा हेतू आहे. भविष्यातील प्रकाशनांवर.

कीवर्ड: आत्मविश्वास मध्यांतर, वारंवारता, प्रमाण

मागील प्रकाशनांपैकी एकाने गुणात्मक डेटाच्या वर्णनाचा थोडक्यात उल्लेख केला आहे आणि अहवाल दिला आहे की लोकसंख्येमध्ये अभ्यासल्या जाणाऱ्या वैशिष्ट्यांच्या घटनेच्या वारंवारतेचे वर्णन करण्यासाठी त्यांच्या मध्यांतराचा अंदाज बिंदू अंदाजापेक्षा श्रेयस्कर आहे. खरंच, संशोधन नमुना डेटा वापरून आयोजित केले जात असल्याने, लोकसंख्येवर परिणामांच्या प्रक्षेपणात नमुना अशुद्धतेचा घटक असणे आवश्यक आहे. कॉन्फिडन्स इंटरव्हल हे अंदाजित पॅरामीटरच्या अचूकतेचे मोजमाप आहे. हे मनोरंजक आहे की डॉक्टरांच्या मूलभूत आकडेवारीवरील काही पुस्तके फ्रिक्वेन्सीसाठी आत्मविश्वास मध्यांतराच्या विषयाकडे पूर्णपणे दुर्लक्ष करतात. या लेखात आपण फ्रिक्वेन्सीसाठी आत्मविश्वास मध्यांतरांची गणना करण्याचे अनेक मार्ग पाहू, ज्यामध्ये पुनरावृत्ती न होणे आणि प्रातिनिधिकता, तसेच एकमेकांपासून निरिक्षणांचे स्वातंत्र्य यासारख्या नमुना वैशिष्ट्यांचा अर्थ होतो. या लेखात, वारंवारता हे एक विशिष्ट मूल्य एकूणात किती वेळा येते हे दर्शविणारी परिपूर्ण संख्या म्हणून नाही, तर एक सापेक्ष मूल्य म्हणून समजले जाते जे अभ्यास सहभागींचे प्रमाण निर्धारित करते ज्यामध्ये अभ्यास केलेले वैशिष्ट्य आढळते.

जैववैद्यकीय संशोधनामध्ये, 95% आत्मविश्वास मध्यांतर सर्वात सामान्यपणे वापरले जातात. हा आत्मविश्वास मध्यांतर हे क्षेत्र आहे ज्यामध्ये खरे प्रमाण 95% वेळा येते. दुसऱ्या शब्दांत, आम्ही 95% विश्वासार्हतेसह असे म्हणू शकतो की लोकसंख्येतील वैशिष्ट्यांच्या वारंवारतेचे खरे मूल्य 95% आत्मविश्वास अंतराच्या आत असेल.

वैद्यकीय संशोधकांसाठी बहुतेक आकडेवारी पुस्तिका अहवाल देतात की वारंवारता त्रुटी सूत्र वापरून मोजली जाते

जेथे p ही नमुन्यातील वैशिष्ट्याच्या घटनेची वारंवारता आहे (0 ते 1 पर्यंतचे मूल्य). बहुतेक देशांतर्गत वैज्ञानिक लेख नमुना (पी) मधील वैशिष्ट्याची वारंवारता तसेच p ± s मधील त्रुटी (s) दर्शवतात. तथापि, लोकसंख्येतील वैशिष्ट्यांच्या वारंवारतेसाठी 95% आत्मविश्वास मध्यांतर सादर करणे अधिक योग्य आहे, ज्यामध्ये ची मूल्ये समाविष्ट असतील

आधी

काही मॅन्युअल शिफारस करतात की लहान नमुन्यांसाठी, 1.96 चे मूल्य N - 1 अंश स्वातंत्र्यासाठी t च्या मूल्यासह बदला, जेथे N ही नमुन्यातील निरीक्षणांची संख्या आहे. t मूल्य t-वितरणासाठी सारण्यांमधून आढळते, जवळजवळ सर्व सांख्यिकी पाठ्यपुस्तकांमध्ये उपलब्ध आहे. वाल्ड पद्धतीसाठी टी वितरणाचा वापर खाली चर्चा केलेल्या इतर पद्धतींच्या तुलनेत दृश्यमान फायदे प्रदान करत नाही आणि म्हणून काही लेखकांनी शिफारस केलेली नाही.

फ्रिक्वेन्सी किंवा प्रमाणांसाठी आत्मविश्वास मध्यांतरांची गणना करण्यासाठी वर सादर केलेल्या पद्धतीला अब्राहम वाल्ड (1902-1950) च्या सन्मानार्थ वाल्ड असे नाव देण्यात आले आहे, कारण 1939 मध्ये वाल्ड आणि वोल्फोविट्झच्या प्रकाशनानंतर त्याचा व्यापक वापर सुरू झाला. तथापि, 1812 मध्ये पियरे सायमन लाप्लेस (1749-1827) यांनी स्वतः ही पद्धत प्रस्तावित केली होती.

वाल्ड पद्धत खूप लोकप्रिय आहे, परंतु त्याचा वापर महत्त्वपूर्ण समस्यांशी संबंधित आहे. या पद्धतीची शिफारस लहान नमुन्याच्या आकारांसाठी केली जात नाही, तसेच अशा प्रकरणांमध्ये जेव्हा वैशिष्ट्यांच्या घटनेची वारंवारता 0 किंवा 1 (0% किंवा 100%) असते आणि 0 आणि 1 च्या वारंवारतेसाठी केवळ अशक्य आहे. सामान्य वितरणाचे अंदाजे, जे त्रुटीची गणना करताना वापरले जाते, "काम करत नाही" अशा प्रकरणांमध्ये जेथे n · p< 5 или n · (1 – p) < 5 . Более консервативные статистики считают, что n · p и n · (1 – p) должны быть не менее 10 . Более детальное рассмотрение метода Вальда показало, что полученные с его помощью доверительные интервалы в большинстве случаев слишком узки, то есть их применение ошибочно создает слишком оптимистичную картину, особенно при удалении частоты встречаемости признака от 0,5, или 50 % . К тому же при приближении частоты к 0 или 1 доверительный интревал может принимать отрицательные значения или превышать 1, что выглядит абсурдно для частот. Многие авторы совершенно справедливо не рекомендуют применять данный метод не только в уже упомянутых случаях, но и тогда, когда частота встречаемости признака менее 25 % или более 75 % . Таким образом, несмотря на простоту расчетов, метод Вальда может применяться лишь в очень ограниченном числе случаев. Зарубежные исследователи более категоричны в своих выводах и однозначно рекомендуют не применять этот метод для небольших выборок , а ведь именно с такими выборками часто приходится иметь дело исследователям-медикам.

नवीन व्हेरिएबल सामान्यपणे वितरीत केले जात असल्याने, व्हेरिएबल φ साठी 95% आत्मविश्वास मध्यांतराची खालची आणि वरची सीमा φ-1.96 आणि φ+1.96left असेल">

लहान नमुन्यांसाठी 1.96 ऐवजी, N - 1 अंश स्वातंत्र्यासाठी टी मूल्य बदलण्याची शिफारस केली जाते. ही पद्धत नकारात्मक मूल्ये निर्माण करत नाही आणि वाल्ड पद्धतीपेक्षा फ्रिक्वेन्सीसाठी आत्मविश्वास मध्यांतरांचे अधिक अचूक अंदाज लावू देते. याव्यतिरिक्त, वैद्यकीय आकडेवारीवरील अनेक देशांतर्गत संदर्भ पुस्तकांमध्ये त्याचे वर्णन केले आहे, ज्यामुळे वैद्यकीय संशोधनात त्याचा व्यापक वापर झाला नाही. 0 किंवा 1 च्या जवळ येणाऱ्या फ्रिक्वेन्सीसाठी कोनीय परिवर्तन वापरून आत्मविश्वास मध्यांतरांची गणना करण्याची शिफारस केलेली नाही.

वैद्यकीय संशोधकांसाठी आकडेवारीच्या मूलभूत गोष्टींवरील बहुतेक पुस्तकांमध्ये आत्मविश्वास मध्यांतराचा अंदाज लावण्याच्या पद्धतींचे वर्णन येथेच संपते आणि ही समस्या केवळ देशांतर्गतच नाही तर परदेशी साहित्यासाठी देखील वैशिष्ट्यपूर्ण आहे. दोन्ही पद्धती मध्यवर्ती मर्यादेच्या प्रमेयावर आधारित आहेत, ज्याचा अर्थ मोठा नमुना आहे.

वरील पद्धतींचा वापर करून आत्मविश्वास मध्यांतराचा अंदाज लावण्याच्या त्रुटी लक्षात घेऊन, क्लॉपर आणि पिअर्सन यांनी 1934 मध्ये तथाकथित अचूक आत्मविश्वास मध्यांतराची गणना करण्यासाठी एक पद्धत प्रस्तावित केली, ज्याचा अभ्यास केला जात असलेल्या वैशिष्ट्याचे द्विपदीय वितरण दिले. ही पद्धत बऱ्याच ऑनलाइन कॅल्क्युलेटरमध्ये उपलब्ध आहे, परंतु अशा प्रकारे प्राप्त होणारा आत्मविश्वास मध्यांतर बहुतेक प्रकरणांमध्ये खूप विस्तृत आहे. त्याच वेळी, ही पद्धत रूढिवादी मूल्यांकन आवश्यक असलेल्या प्रकरणांमध्ये वापरण्यासाठी शिफारस केली जाते. नमुना आकार कमी झाल्यामुळे पद्धतीच्या रूढिवादीपणाची डिग्री वाढते, विशेषतः जेव्हा एन< 15 . описывает применение функции биномиального распределения для анализа качественных данных с использованием MS Excel, в том числе и для определения доверительных интервалов, однако расчет последних для частот в электронных таблицах не «затабулирован» в удобном для пользователя виде, а потому, вероятно, и не используется большинством исследователей.

बऱ्याच सांख्यिकीशास्त्रज्ञांच्या मते, फ्रिक्वेन्सीसाठी आत्मविश्वास मध्यांतरांचे सर्वात इष्टतम मूल्यांकन विल्सन पद्धतीद्वारे केले जाते, जे 1927 मध्ये प्रस्तावित होते, परंतु घरगुती बायोमेडिकल संशोधनात व्यावहारिकपणे वापरले जात नाही. ही पद्धत केवळ खूप लहान आणि खूप मोठ्या फ्रिक्वेन्सींसाठी आत्मविश्वास मध्यांतरांचा अंदाज लावू शकत नाही, परंतु थोड्या निरीक्षणांसाठी देखील लागू आहे. सर्वसाधारणपणे, विल्सनच्या सूत्रानुसार आत्मविश्वास मध्यांतराचे स्वरूप असते

जेथे 95% आत्मविश्वास मध्यांतराची गणना करताना मूल्य 1.96 घेते, N ही निरीक्षणांची संख्या आहे आणि p ही नमुन्यातील वैशिष्ट्यांच्या घटनेची वारंवारता आहे. ही पद्धत ऑनलाइन कॅल्क्युलेटरमध्ये उपलब्ध आहे, त्यामुळे तिचा वापर समस्याप्रधान नाही. आणि n p साठी ही पद्धत वापरण्याची शिफारस करू नका< 4 или n · (1 – p) < 4 по причине слишком грубого приближения распределения р к нормальному в такой ситуации, однако зарубежные статистики считают метод Уилсона применимым и для малых выборок .

विल्सन पद्धती व्यतिरिक्त, Agresti-Coll सुधारणा असलेली Wald पद्धत देखील फ्रिक्वेन्सीसाठी आत्मविश्वास मध्यांतराचा इष्टतम अंदाज प्रदान करते असे मानले जाते. Agresti-Coll सुधारणा हे नमुन्यातील वैशिष्ट्यांच्या वारंवारतेच्या वारंवारतेच्या वाल्ड फॉर्म्युलामधील बदल आहे (p) द्वारे, मोजताना कोणता 2 अंशात जोडला जातो आणि 4 भाजकात जोडला जातो, म्हणजे, p` = (X + 2) / (N + 4), जेथे X ही अभ्यासातील सहभागींची संख्या आहे ज्यांचा अभ्यास केला जात आहे आणि N हा नमुना आकार आहे. हा बदल विल्सनच्या सूत्राप्रमाणेच परिणाम देतो, जेव्हा घटना वारंवारता 0% किंवा 100% पर्यंत पोहोचते आणि नमुना लहान असतो. फ्रिक्वेन्सीसाठी आत्मविश्वास मध्यांतरांची गणना करण्यासाठी वरील पद्धतींव्यतिरिक्त, लहान नमुन्यांसाठी वाल्ड आणि विल्सन या दोन्ही पद्धतींसाठी सातत्य सुधारणा प्रस्तावित केल्या गेल्या आहेत, परंतु अभ्यासांनी दर्शविले आहे की त्यांचा वापर अयोग्य आहे.

दोन उदाहरणे वापरून आत्मविश्वास मध्यांतरांची गणना करण्यासाठी वरील पद्धती वापरण्याचा विचार करूया. पहिल्या प्रकरणात, आम्ही यादृच्छिकपणे निवडलेल्या 1,000 अभ्यास सहभागींच्या मोठ्या नमुन्याचा अभ्यास करतो, ज्यापैकी 450 अभ्यासाधीन गुणधर्म आहेत (हे एक जोखीम घटक, परिणाम किंवा इतर कोणतेही वैशिष्ट्य असू शकते), 0.45, किंवा 45 ची वारंवारता दर्शवते. % दुसऱ्या प्रकरणात, अभ्यास लहान नमुना वापरून केला जातो, म्हणा, फक्त 20 लोक, आणि केवळ 1 अभ्यास सहभागी (5%) मध्ये अभ्यास केला जात आहे. जेफ सॉरो (http://www. /wald. htm) द्वारे विकसित केलेल्या ऑनलाइन कॅल्क्युलेटरचा वापर करून वॉल्ड पद्धत, ॲग्रेस्टी-कॉल सुधारणासह वाल्ड पद्धत आणि विल्सन पद्धत वापरून आत्मविश्वास मध्यांतरांची गणना केली गेली. विल्सनच्या सातत्य-दुरुस्त आत्मविश्वास मध्यांतरांची गणना वासर आकडेवारीद्वारे प्रदान केलेल्या कॅल्क्युलेटरद्वारे केली गेली: सांख्यिकीय गणनेसाठी वेब साइट (http://faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html). एंगुलर फिशर ट्रान्सफॉर्मेशन कॅल्क्युलेशन अनुक्रमे 19 आणि 999 अंश स्वातंत्र्यासाठी क्रिटिकल टी व्हॅल्यू वापरून स्वहस्ते केले गेले. दोन्ही उदाहरणांसाठी गणना परिणाम टेबलमध्ये सादर केले आहेत.

मजकूरात वर्णन केलेल्या दोन उदाहरणांसाठी सहा वेगवेगळ्या प्रकारे आत्मविश्वास मध्यांतरांची गणना केली जाते

आत्मविश्वास मध्यांतर गणना पद्धत	P=0.0500, किंवा 5%	X=450, N=1000, P=0.4500, किंवा 45% साठी 95% CI
	–0,0455–0,2541
Agresti-Coll सुधारणा सह वाल्ड	<,0001–0,2541
सातत्य सुधारणासह विल्सन
क्लॉपर-पीअरसन "अचूक पद्धत"
कोनीय परिवर्तन	<0,0001–0,1967

सारणीवरून पाहिल्याप्रमाणे, पहिल्या उदाहरणासाठी "सामान्यपणे स्वीकृत" वाल्ड पद्धत वापरून गणना केलेला आत्मविश्वास मध्यांतर नकारात्मक प्रदेशात प्रवेश करतो, जे फ्रिक्वेन्सीच्या बाबतीत असू शकत नाही. दुर्दैवाने, अशा घटना रशियन साहित्यात असामान्य नाहीत. वारंवारता आणि त्याच्या त्रुटीच्या बाबतीत डेटा सादर करण्याचा पारंपारिक मार्ग या समस्येस अंशतः मास्क करतो. उदाहरणार्थ, जर एखाद्या वैशिष्ट्याच्या घटनेची वारंवारता (टक्केवारीमध्ये) 2.1 ± 1.4 म्हणून सादर केली गेली असेल, तर हे 2.1% (95% CI: –0.7; 4.9) इतके "डोळ्याला आक्षेपार्ह" नाही, जरी आणि याचा अर्थ तीच गोष्ट Agresti-Coll दुरुस्त्यांसह वाल्ड पद्धत आणि कोनीय परिवर्तन वापरून गणना केल्याने शून्यावर कमी बाउंड टेंडिंग मिळते. विल्सनची सातत्य-दुरुस्त पद्धत आणि "अचूक पद्धत" विल्सनच्या पद्धतीपेक्षा अधिक विश्वासार्ह अंतराल निर्माण करते. दुस-या उदाहरणासाठी, सर्व पद्धती अंदाजे समान आत्मविश्वास अंतराल देतात (फरक फक्त हजारात दिसतात), जे आश्चर्यकारक नाही, कारण या उदाहरणातील घटनेची वारंवारता 50% पेक्षा खूप वेगळी नाही आणि नमुना आकार खूप मोठे.

या समस्येमध्ये स्वारस्य असलेल्या वाचकांसाठी, आम्ही R. G. Newcombe आणि Brown, Cai आणि दासगुप्ता यांच्या कामांची शिफारस करू शकतो, जे आत्मविश्वास मध्यांतरांची गणना करण्यासाठी अनुक्रमे 7 आणि 10 भिन्न पद्धती वापरण्याचे फायदे आणि तोटे देतात. देशांतर्गत मॅन्युअल्समध्ये, आम्ही पुस्तकाची शिफारस करतो आणि, जे सिद्धांताच्या तपशीलवार वर्णनाव्यतिरिक्त, वाल्ड आणि विल्सनच्या पद्धती, तसेच द्विपद वारंवारता वितरण लक्षात घेऊन आत्मविश्वास मध्यांतरांची गणना करण्याची पद्धत सादर करते. मोफत ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर (http://www. /wald. htm आणि http://faculty. vassar. edu/lowry/prop1.html) व्यतिरिक्त, फ्रिक्वेन्सीसाठी आत्मविश्वास अंतराल (आणि केवळ नाही!) वापरून मोजले जाऊ शकतात. सीआयए प्रोग्राम ( कॉन्फिडन्स इंटरव्हल्स ॲनालिसिस), जो http://www वरून डाउनलोड केला जाऊ शकतो. मेडस्कूल soton एसी. uk/cia/ .

पुढील लेखात गुणात्मक डेटाची तुलना करण्याच्या अविभाज्य मार्गांवर विचार केला जाईल.

संदर्भग्रंथ

वैद्यकीय आकडेवारी स्पष्ट भाषेत: एक परिचयात्मक अभ्यासक्रम / ए. बॅनर्जी. - एम.: प्रॅक्टिकल मेडिसिन, 2007. - 287 पी. वैद्यकीय आकडेवारी / . – एम.: मेडिकल इन्फॉर्मेशन एजन्सी, 2007. – 475 पी. वैद्यकीय आणि जैविक सांख्यिकी / S. Glanz. - एम.: प्राक्टिका, 1998. डेटा प्रकार, वितरण चाचणी आणि वर्णनात्मक आकडेवारी // मानवी पारिस्थितिकी – 2008. – क्रमांक 1. – पी. 52–58. सह. वैद्यकीय आकडेवारी: पाठ्यपुस्तक / . – रोस्तोव एन/डी: फिनिक्स, 2007. – 160 पी. लागू वैद्यकीय आकडेवारी / , . - सेंट पीटर्सबर्ग. : फोलिओट, 2003. - 428 p. एफ. बायोमेट्रिक्स / . – एम.: हायर स्कूल, 1990. – 350 पी. ए. औषधातील गणितीय आकडेवारी / , . – एम.: वित्त आणि सांख्यिकी, 2007. – 798 पी. क्लिनिकल रिसर्चमधील गणितीय आकडेवारी / , . – M.: GEOTAR-MED, 2001. - 256 p. जंकेरोव्ह व्ही. आणि. वैद्यकीय संशोधन डेटाची वैद्यकीय आणि सांख्यिकीय प्रक्रिया / , . - सेंट पीटर्सबर्ग. : VmedA, 2002. - 266 p. अग्रेस्टी ए.द्विपदी प्रमाणांच्या मध्यांतर अंदाजासाठी अंदाजे अचूक पेक्षा चांगले आहे / A. Agresti, B. Coull // अमेरिकन सांख्यिकीशास्त्रज्ञ. – १९९८. – एन ५२. – पी. ११९–१२६. ऑल्टमन डी.आत्मविश्वासासह आकडेवारी // डी. ऑल्टमन, डी. मशीन, टी. ब्रायंट, एम. जे. गार्डनर. - लंडन: बीएमजे बुक्स, 2000. - 240 पी. ब्राऊन एल.डी.द्विपदी प्रमाणासाठी मध्यांतर अंदाज / L. D. Brown, T. T. Cai, A. दासगुप्ता // सांख्यिकी विज्ञान. – २००१. – एन २. – पी. १०१–१३३. क्लॉपर सी.जे.द्विपदी / C. J. Clopper, E. S. Pearson // Biometrika च्या बाबतीत स्पष्ट केलेल्या आत्मविश्वासाचा किंवा विश्वस्त मर्यादांचा वापर. – १९३४. – एन २६. – पी. ४०४–४१३. गार्सिया-पेरेझ एम. ए. द्विपद मापदंडासाठी आत्मविश्वास अंतरावर / M. A. गार्सिया-पेरेझ // गुणवत्ता आणि प्रमाण. – २००५. – एन ३९. – पी. ४६७–४८१. मोतुल्स्की एच.अंतर्ज्ञानी बायोस्टॅटिस्टिक्स // एच. मोटुल्स्की. – ऑक्सफर्ड: ऑक्सफर्ड युनिव्हर्सिटी प्रेस, 1995. – 386 पी. न्यूकॉम्बे आर.जी.एकल प्रमाणासाठी द्वि-पक्षीय आत्मविश्वास अंतराल: सात पद्धतींची तुलना / आर. जी. न्यूकॉम्बे // मेडिसिनमधील आकडेवारी. – १९९८. – एन. १७. – पृष्ठ ८५७–८७२. सौरो जे.द्विपदी आत्मविश्वास अंतराल वापरून लहान नमुन्यांमधून पूर्ण होण्याच्या दरांचा अंदाज लावणे: तुलना आणि शिफारसी / जे. सौरो, जे. आर. लुईस // मानवी घटक आणि एर्गोनॉमिक्स सोसायटी वार्षिक बैठकीची कार्यवाही. - ऑर्लँडो, FL, 2005. वाल्ड ए.सतत वितरण फंक्शन्ससाठी आत्मविश्वास मर्यादा // ए. वाल्ड, जे. वोल्फोविट्झ // गणितीय आकडेवारीचे इतिहास. – १९३९. – एन १०. – पृष्ठ १०५–११८. विल्सन ई.बी. संभाव्य अनुमान, उत्तराधिकाराचा कायदा आणि सांख्यिकीय अनुमान / ई. बी. विल्सन // जर्नल ऑफ अमेरिकन स्टॅटिस्टिकल असोसिएशन. – १९२७. – एन २२. – पृष्ठ २०९–२१२.

प्रमाणांसाठी कॉन्फिडन्स इंटरव्हल्स

ए. एम. गर्जिबोव्स्की

नॅशनल इन्स्टिट्यूट ऑफ पब्लिक हेल्थ, ओस्लो, नॉर्वे

लेख द्विपदी प्रमाणांसाठी आत्मविश्वास मध्यांतरांची गणना करण्यासाठी अनेक पद्धती सादर करतो, म्हणजे, वाल्ड, विल्सन, आर्कसिन, ऍग्रेस्टी-कॉल आणि अचूक क्लॉपर-पियरसन पद्धती. हा पेपर द्विपदी प्रमाणाच्या आत्मविश्वास मध्यांतर अंदाजाच्या समस्येचा फक्त एक सामान्य परिचय देतो आणि वाचकांना त्यांच्या स्वत: च्या अनुभवजन्य संशोधनाचे परिणाम सादर करताना आत्मविश्वास मध्यांतर वापरण्यास उत्तेजित करणे हेच नाही तर त्यांना सांख्यिकी पुस्तकांचा सल्ला घेण्यासाठी प्रोत्साहित करणे देखील आहे. स्वतःच्या डेटाचे विश्लेषण करण्यापूर्वी आणि हस्तलिखिते तयार करण्याआधी.

मुख्य शब्द: आत्मविश्वास मध्यांतर, प्रमाण

संपर्क माहिती:

– वरिष्ठ सल्लागार, नॅशनल इन्स्टिट्यूट ऑफ पब्लिक हेल्थ, ओस्लो, नॉर्वे