Презентация на тему элементы комбинаторики. Презентация на тему "комбинаторика"
Слайд 2
Комбинаторика– это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из раздела множеств. Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.
Слайд 3
Вспомним несколько примеров таких задач
1.Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде 3-х горизонтальных полос одинаковых по ширине и цвету: синий, красный и белый. Сколько стран могут испытать такую символику при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг? Будем искать решение с помощью дерева возможных вариантов.
Слайд 4
Ответ: 6 комбинаций
Слайд 5
2.Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9.
Составим таблицу: слева от 1 – го столбца поместим первые цифры искомых чисел, сверху – вторые цифры этих чисел (чётные цифры, тогда столбцов будет три).
Слайд 6
Так в столбце перечислены все возможные варианты, следовательно, их столько же, сколько клеток в столбце, т.е. 15.
Ответ: 15 чисел
Слайд 7
3.На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может кофеем, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?
Решим задачу, перебирая всевозможные варианты, путем кодирования вариантов завтрака Решение: КП КБ КПр КК СП СБ СПр СК К-рП К-рБ К-рПр К-рК Ответ: 12 вариантов.
Слайд 8
Во всех задачах был осуществлён перебор всех возможных вариантов или комбинаций. Поэтому эти задачи называют комбинаторными. Слово комбинация происходит от латинского combino– соединяю. Действительно при получении любой комбинации мы составляем её из отдельных элементов последовательно соединяя их друг с другом. С этой точки зрения: число – это комбинация цифр, слово – это комбинация букв, меню – это комбинация блюд. Во всех предложенных задачах для подсчёта числа комбинаций мы использовали простой способ подсчёта – прямое перечисление (опираясь на «дерево возможных вариантов», таблицу, кодирование). Но способ перебора возможных вариантов далеко не всегда применим, ведь количество комбинаций может исчисляться миллионами. Здесь на помощь приходят несколько замечательных комбинаторных правил, которые позволяют подсчитать количество комбинаций без их прямого перечисления.
Слайд 9
Мы рассмотрели примеры 3-х разных задач, но получили совершенно одинаковые решения, которые основаны на общем правиле умножения: Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим к элементов. Если первый элемент m1выбрать n1 способами, после чего второй элемент m2выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент m3 выбрать n3 способами из оставшихся и т.д., то число способов могут быть выбраны все к элементов, равно произведению Примени это правило к каждой из решённых задач. 1-я задача: выбор верхней полосы - из 3-х цветов, т.е. n1=3; средняя полоса – из 2-х цветов, т.е.n2=2; нижняя полоса – из 1-го цвета, т.е. n3=1. n1 n2 n3 = 3 * 2 * 1 = 6 2-я задача: заметим, что в этой задаче задействованы два независимых исхода, поэтому mn = 5 *3 = 15
Слайд 10
Решение задач в классе: № 714, 716,718(а),721
№714. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник - и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.
Слайд 11
Решение. Что бы указать все обеды из двух блюд, будем рассуждать так. Выберем одно блюдо (борщ) и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда, получая пары: Б г; б к; б с; б п (4 пары). Теперь в качестве первого блюда выберем рассольник и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда: Рг; р к; р с; рп (4 пары). Согласно правилу комбинаторного умножения всего обедов: 2*4=8. Построив дерево возможностей, получим 8 вариантов. Ответ: б г; б к; б с; б п; р г; р к; р с; р п.; получим восемь разных обедов из двух блюд.
Слайд 12
№ 716 Стадион имеет четыре входа: А, В, С и D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?
Слайд 13
Решение. Из условия ясно, что порядок выбора имеет значение: АВ означает, что посетитель вошёл через А и вышел через В, а ВА означает, что вошёл через В, а вышел через А. Чтобы перечислить все варианты выбора двух входов, будем придерживаться следующего правила. Выпишем обозначения всех входов в ряд: А, В, С, Д. Берём первый вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, получаем 3 пары: А В, А С, А Д. Берём второй вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, кроме него самого начиная с начала ряда, т. е. с первого входа: ВА, ВС, ВД. Выбирая третий, а затем четвёртый вход, получаем СА, СВ, СД; ДА, ДВ, ДС. Общее количество способов выбора: 4*3=12 (к каждому из 4 входов мы дописывали 3 других). Замечание. Подсчитать количество способов выбора, не составляя пары, можно по правилу произведения: первый выбор (через какой вход войти) можно сделать 4 способами (А, или В, или С, или Д); после этого второй выбор (через какой вход войти) можно сделать 3 способами (любой вход, кроме того, через который вошли). Общее количество выбора равно 4*3=12. Ответ: 12 способов.
Он может пригласить в гости одного или несколько из них. Определите общее число возможных вариантов. №3 В 9 «а» классе учатся 25 учащихся, в 9 «б» - 20 учащихся, а в 9 «в» - 18 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трёх учащихся из 9 «а», двух -из 9 «б» и одного – из 9 «в». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке? С №1 Пять мальчиков и четыре девочки хотят сесть на девятиместную скамейку так, чтобы каждая девочка сидела между двумя мальчиками. Сколькими способами они могут это сделать? №2 Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд трёх человек. Сколькими способами это можно сделать, если: а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно; б) Иванов и Петров должны остаться; в)Иванов должен пойти в наряд, а Петров –остаться? (Ответы) Устал - отдохни.
В №1 В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира: а) команду из четырёх человек; б) команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой досках?
Петров Владимир,учащийся 12 группы ГБОУ СО НПО "Профессиональное училище №22" г. Саратова
В презентации рассмотрены премеры решения задач на нахождение перестановок, размещений, сочетаний.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения Презентацию подготовил студент 12 группы ГБОУ СО НПО Петров Владимир.
Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.
Комбинаторные задачи делятся на несколько групп: Задачи на перестановки Задачи на размещение Задачи на сочетание
Задачи на перестановки Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке? Это задача на перестановки
Запись n ! читается так:«эн факториал» Факториал - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n Например, 4! = 1*2*3*4 = 24 n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n! 1 4 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 Факториалы растут удивительно быстро:
Задача. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках? P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке. P n = 1 · 2 · 3 · ... · n. P n =n !
Задача. Квартет Проказница Мартышка Осёл, Козёл, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть… Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов? P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
Задачи на размещения
Задача: У нас имеется 5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 книги. Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги? Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 5-ю способами. Теперь на полке осталось два места и у нас осталось 4 книги. Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых. Таких пар может быть 5·4. Осталось 3 книги и одно место. Одну книгу из 3-ёх можно выбрать 3-мя способами и поставить рядом с одной из возможных 5·4 пар. Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60. Это задача на размещения.
Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.
Задача. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета? A 4 9 = = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024
Решите самостоятельно: В классе 27 учащихся. Нужно отправить одного учащегося за мелом, второго дежурить в столовую, а третьего вызвать к доске. Сколькими способами можно это сделать?
Задачи на сочетания: Задача. Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг? Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения. 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 ответ: 10 Это задача на сочетания
Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.
Задача. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде? C 7 2 = = 21
Решите самостоятельно: В классе 7 учащихся успешно занимаются по математике. Сколькими способами можно выбрать двоих из них, чтобы направить для участия в математической олимпиаде?
Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать так, чтобы он начинался словами «Сколькими способами…» или «Сколько вариантов…»
Перестановки Размещения Сочетания n элементов n клеток n элементов k клеток n элементов k клеток Порядок имеет значение Порядок имеет значение Порядок не имеет значения Составим таблицу:
Решите самостоятельно задачи: 1.В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров. Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета? 2.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге. 3. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Презентация на тему:Элементы Комбинаторики!!!
Студента Группы ПР – 101(К) Савченко А.А Проверила Малыгина Г.С.
Комбинаторика! (Комбинаторный анализ) - раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания,перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики - алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике). Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
Методы Комбинаторики Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n. Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел. Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.
Комбинаторные задачи Комбинаторика – от латинского слова combinare, что означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономики и др. областях знания. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.
I. Уровни решения комбинаторных задач 1. Начальный уровень. Задачи поиска хотя бы одного решения, хотя бы одного расположения объектов, обладающих заданным свойствами - отыскание такого расположения десяти точек на пяти отрезках, при котором на каждом отрезке лежит по четыре точки; - такого расположения восьми ферзей на шахматной доске, при котором они не бьют друг друга. Иногда удаётся доказать, что данная задача не имеет решения (например, нельзя расположить 10 шаров в 9 урнах так, что бы в каждой урне было не более одного шара – хотя бы в одной урне окажется не менее двух шаров). 6
2. Второй уровень. Если комбинаторная задача имеет несколько решений, то возникает вопрос о подсчете числа таких решений, описании всех решений данной задачи. 3. Третий уровень. Решения данной комбинаторной задачи отличаются друг от друга некоторыми параметрами. В этом случае возникает вопрос отыскания оптимального варианта решения такой задачи. Например: Путешественник хочет выехать из города А, посетить города В, С, и D. После чего вернуться в город А. 7
8 На рис. изображена схема путей, связывающих эти города . Различные варианты путешествий отличаются друг от друга порядком посещения городов В, С, и.D. Существует шесть вариантов путешествия. В таблице указаны варианты и длин каждого пути:
Правила суммы и произведения 1. Сколько различных коктейлей можно составить из четырёх напитков, смешивая их в равных количествах по два? AB, AC, AD, BC, BD, CD – всего 6 коктейлей 2. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 ? Первой цифрой двузначного числа может одна из цифр 1, 2, 3 (цифра 0 не может быть первой). Если первая цифра выбрана, то вторая может быть любая из цифр 0, 1, 2, 3. Т.к. каждой выбранной первой соответствует четыре способа выбора второй, то всего имеется 4 + 4 + 4 = 4·3 = 12 различных двузначных чисел. 9 А D С В
2. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3 ? 4 + 4 + 4 = 4·3 = 12 различных двузначных чисел. Первая цифра вторая цифра 1 2 3 10 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
«Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило суммы, правило умножения». 11 Сколькими способами могут быть расставлены 4 участниц финального забега на четырёх беговых дорожках? Рп = 4· 3 ·2 ·1= 24 способа (перестановки из 4-х элементов) 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 3 4 2 4 2 3 4 3 4 2 3 2 3 4 1 4 3 1 4 3 4 1 1 3 2 4 1 4 1 2 4 2 4 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 1 дорожка 2 доржка 3доржка 4 дор. Р е ш е н о п е р е б о р о м в а р и а н т о в
Пример Задачи Комбинаторики При игре в кости бросаются две кости, и выпавшие очки складываются; сколько существует комбинаций, таких, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати? Решение: Каждый возможный исход соответствует функции (аргумент функции - это номер кости, значение - очки на верхней грани). Очевидно, что лишь 6+6 даёт нам нужный результат 12. Таким образом существует лишь одна функция, ставящая в соответствие 1 число 6, и 2 число 6. Или, другими словами, существует всего одна комбинация, такая, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати.
Разделы Комбинаторики!
Перечислительная комбинаторика Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая комбинаторика) рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п. Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правиламсложения и умножения. Типичным примером задач данного раздела является подсчёт количества перестановок. Другой пример - известная Задача о письмах.
Вероятностная комбинаторика! Этот раздел отвечает на вопросы вида: какова вероятность присутствия определённого свойства у заданного множества.
Краткая историческая справка Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI-XVII вв.). Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654-1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов. Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева (1821-1894) и его учеников А.А.Маркова(1856-1922) и А. М.Ляпунова (1857-1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математика м (С. Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит советским
- Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
- Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».
- Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.
- Комбинаторика - важный раздел математики,
- знание которого необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, специалистам по кодам и др.
- Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории
- вероятностей и
- ее приложений.
- В Древней Греции
- подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей и т.д.
- Со временем появились различные игры
- (нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.)
- В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.
- Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716)
- Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».
- Леонард Эйлер(1707-1783)
- рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку-топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур.
- Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (m+n) способами.
- При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-либо способом выбора объекта В.
- Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем лишь (m + n - k) способов выбора, где k-число совпадений.
- В коробке находится 10 шаров: 3 белых, 2 черных, 1 синий и 4 красных. Сколькими способами можно взять из ящика цветной шар?
- Решение:
- Цветной шар – это синий или красный, поэтому применим правило суммы:
- Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.
- При этом число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент.
- Сколько может быть различных комбинаций выпавших
- граней при бросании двух игральных костей?
- Решение:
- На первой кости может быть: 1,2,3,4,5 и 6 очков, т.е. 6 вариантов.
- На второй – 6 вариантов.
- Всего: 6*6=36 вариантов.
- Правила суммы и произведения верны для любого количества объектов.
- №1. Из города А а город В ведут 6 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город С?
- №2. На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 7 по геометрии и 2 по литературе. Сколькими способами можно взять с полки одну книгу по математике?
- №3. В меню имеется 4 первых блюда, 3 – вторых, 2 – десерта. Сколько различных обедов можно из них составить?
- « Эн факториал»-n!.
- Определение.
- Произведение подряд идущих первых n
- натуральных чисел обозначают n! и называют
- «эн факториал»: n!=1 2 3 … (n-1) n.
- 1 2 3=
- 1 2 3 4=
- 1 2 3 4 5=
- 1 2 3 4 5 6=
- 1 2 3 4 5 6 7=
- n!=(n-1)! n
- Удобная формула!!!
- Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, называются перестановками.
- Обозначаются Рn
- Перестановки
- Из чисел 1, 5, 9 составить трёхзначное
- число без повторяющихся цифр.
- 2 комбинации
- 2 комбинации
- 2 комбинации
- Всего 2 3=6 комбинаций.
- Комбинации из n-элементов по k, отличающиеся друг от друга составом и порядком, называются размещениями.
- Размещения
- Комбинации из n-элементов по к , отличающиеся только составом элементов, называются сочетаниями из n -элементов по к .
- Сочетания
- Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных.
- Сколькими способами это можно сделать?
- Решение:
- Надо выбрать двух человек из 20.
- Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть
- Иванов - Петров или Петров - Иванов - это одна
- и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.
- 1. Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять: из 8 букв; из 7 букв; из 3 букв?
- 2. Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение десяти дней. Сколькими способами можно составить ему расписание экзаменов?
- 3. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?
- 4. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из 5 цифр, если первая из них не равна нулю? Если номер состоит из одной буквы, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля?
- 5. Подрядчику нужны 4 плотника, а к нему с предложением своих услуг обратились 10. Сколькими способами он может выбрать среди них четверых?
- 6. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг
- 7. Сколько 5-буквенных слов можно образовать, используя для этого 10 различных букв.
- 8. Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок, четырех лимонов и девяти апельсинов? (Фрукты одного вида считаем неразличимыми.)